18/02/01 22:21:00.46 Uh1pL2rv.net
>>418
1．I＝∫(0、∞)exp(-x^2)dx
（※）∫（0、∞）・dy・∫（0、∞）x・exp(-x^2・(1+y^2))・dx
∫（0、∞）x・exp(-x^2・(1+y^2))・dx
=∫（0、∞）(1/2)* exp(-u・(1+y^2))・du (u=x^2, du/dx=2x)
=(1/2)*(1/(1+y^2))*[-exp^(-u)]_u=0 -> ∞
=1/(2*(1+y^2))
よって
（※）∫（0、∞）・dy・∫（0、∞）x・exp(-x^2・(1+y^2))・dx
=(1/2)*∫（0、∞）1/(1+y^2)dy
=(1/2)*[Arctan(y)]_y=0 -> ∞
=(1/2)*(pi/2) (pi=π、念のため)
フビニの定理（の一つ）は、積分の順序の交換を許すものだから
（定理の十分条件が成り立っていることはちゃんと確認すること）、
（※）=∫（0、∞）・dx・∫（0、∞）x・exp(-x^2・(1+y^2))・dy
でもある、これを計算すると、
∫（0、∞）x・exp(-x^2・(1+y^2))・dy
=(x*exp(-x^2)) * ∫（0、∞）exp(-(x^2)*(y^2))・dy
=(x*exp(-x^2))*∫（0、∞）(1/x)*exp(-v^2)・dv (v=x*y, dv/dy =x)
=exp(-x^2)*∫（0、∞）exp(-v^2)・dv
=exp(-x^2)* I (積分変数に何の文字を使っても同じ)
だから、
（※）=∫（0、∞）・dx・exp(-x^2)・I
= I^2
よって I^2 = pi/4 ∴I=(√pi)/2
こんな感じで 2. も考えてみてください