17/12/28 23:40:45.35 IsA0R4yK.net
>>23-24
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>場合分けをするのは証明においてそれをしたことで結論を導けるときで、
結論が分かれるときも、場合分けすべきだろうね
１）稠密でない場合は、どこかにリプシッツ連続な区間（a,b）がとれる
２）稠密である場合は、仮定を満たす関数は存在しない（空集合）
のようにね（＾＾
41:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/28 23:41:21.42 IsA0R4yK.net
>>25
沢山のレスがありがとう
年末は忙しいので、ゆっくり読む暇が無い
だが、あなたのレスはレベルが高いね
助かるよ
勉強になるな～
貴方は力があるね～
だが、あなたくらいレベルの高い友達が・・近くにいないんだね
それが、残念だね
42:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/28 23:41:49.82 IsA0R4yK.net
>>30
沢山のレスがありがとう
まあ、ゆっくりやろう
まだ、疑問に思っているのは
下記のDifferentiability of the Ruler Functionの記述と貴方の定理との整合性だ
URLﾘﾝｸ(mathforum.org) （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventu
43:ally majorizes every power function. Define f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers. ** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25) Interesting, each of the sets of points where these functions fail to be differentiable is large in the sense of Baire category. THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set. (Each co-meager set has c points in every interval.) つづく
44:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/28 23:44:24.28 IsA0R4yK.net
>>40 つづく
[13] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at irrationals and discontinuous at rationals", abstract of talk given 2 November 1963 at the annual fall meeting of the Minnesota Section of the MAA, American Mathematical Monthly 71 #3 (March 1964), 349.
The complete text of the abstract follows, with minor editing changes to accommodate ASCII format.
Earlier results of Porter, Fort, and others suggest additional questions about the functions in the title. Differentiability and Lipschitz conditions are considered. Special attention ispaid to the ruler function (f) and its powers.
Sample results:
THEOREM:
If 0 < r < 2, f^r is nowhere Lipschitzian; f^2 is nowhere differentiable, but is Lipschitzian on a dense subset of the reals.
THEOREM:
If r > 0, f^r is continuous but not Lipschitzian at every Liouville number;
if r > 2, f^r is differentiable at every algebraic irrational.
THEOREM:
If g is continuous at the irrationals and not continuous at the rationals, then there exists a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
(引用終り)
つづく
45:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/28 23:46:02.50 IsA0R4yK.net
>>41 つづき
ああ、いま改めて読むと
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957) Senguptaより
”・・・ f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
なんてありますね。”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、貴方の定理に近いかな？
”Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”か・・
これか、これに近い文献を読まないことには、訳わからんな
えーと、Meagre setか・・
”E is co-meager in R”が、イメージできんな・・（＾＾
前提a)(連続不連続が稠密)を、b)(連続とディニ微分発散が稠密な組み合わせ)に、緩和しても・・
a) f is continuous and discontinuous are each dense in R.
↓
b) f is continuous and the E *) are each dense in R. ( *)the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.)
a)Eは、co-meager
↓
b)Eは、meager
には出来ない？ それとも出来るの？
定理1.7成立なら、「 meager には出来ない」？
これ、やっぱり元論文読まないと、イメージ湧かないな～（＾＾
まあ、ゆっくりやろうや
46:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/28 23:46:59.66 IsA0R4yK.net
>>42 つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Meagre set
Examples
Subsets of the reals
The rational numbers are meagre as a subset of the reals and as a space ? that is, they do not form a Baire space.
The Cantor set is meagre as a subset of the reals, but not as a space, since it is a complete metric space and is thus a Baire space, by the Baire category theorem.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
疎集合
数学の分野における、位相空間内の疎集合（そしゅうごう、英語: nowhere dense set）[* 1]とは、閉包の内部が空であるような集合のことである。
この言葉の順番が大事で、例えば、R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。
注釈
1^ a b 「疎集合」という名称を meagre set のために用い、nowhere dense には「至る所疎」や「至る所非稠密」などの訳語を充てる流儀もある。
URLﾘﾝｸ(math.cs.kitami-it.ac.jp)
例えば 渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎
以上
47:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/29 00:05:38.18 wAjWw3D/.net
>>30
ところで、証明をつっついて悪いが
補題1.5の証明中で
１）
"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N (y － x)] (1) が成り立つ"
を、条件 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ から導いている
｜y － x｜ <1/M は、そこに書かれているように、ある区間(x-1/M, x+1/M)のことだな
ならば、c = x-1/M 、d = x+1/M として、ある区間（c, d）と書けるだろ？
定理1.7の証明は、それで終りでは？
２）
それから、前スレ>>615で
”「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a, b)が存在する」
という条件からは、
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」という条件は導けない”
というが、それ（”全体で”）を導くことは、定理1.7（「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」）をいうだけなら、不必要では？
（ 上記のある区間（c,d）で、リプシッツ連続を言えば、定理1.7の証明は、そこで終わってないかい？ ）
３）
それから、これは重要だが、補題1.5の証明中で、"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N(y － x)] (1) が成り立つ"というけれど
R－Bfが、稠密なら、区間(x-1/M, x+1/M)で、Dini微分が発散している点が、この区間内に多数存在することになるよ
それでも、"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N(y － x)] (1) が成り立つ"が言えるのかね？ （言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが）
まあ、年末年始は忙しい
十分レスできないと思うが
貴方も、気張らずにやってください （＾＾
以上
48:１３２人目の素数さん
17/12/29 00:12:33.08 gcYWyS10.net
>>40-42
＞まだ、疑問に思っているのは
＞下記のDifferentiability of the Ruler Functionの記述と貴方の定理との整合性だ
悪あがきは やめたまえ。前スレ540 で既に述べたとおり、
スレ主の大好きな f^r と f_w は、例の定理の反例になり得ない。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:540番)
このレスにより、R－B_
49:{f^r} は第一類集合にならず、R－B_{f_w} も第一類集合にならないので、 f^r と f_w は例の定理の「適用範囲外」ということになり、よって例の定理の反例になり得ない。 また、f^r と f_w が例の定理の「適用範囲外」であるという事実により、Differentiability of the Ruler Function が どのように記述されていようとも、そのことと例の定理との間の整合性なんか 全 く 考 え る 必 要 が な い 。
50:１３２人目の素数さん
17/12/29 00:15:47.15 bDrChn34.net
忙しい、ゆっくりやろう
で4年間進歩が無いスレ主
未だにεδ論法さえ理解できず
51:１３２人目の素数さん
17/12/29 00:27:48.51 gcYWyS10.net
>>38
＞１）稠密でない場合は、どこかにリプシッツ連続な区間（a,b）がとれる
＞２）稠密である場合は、仮定を満たす関数は存在しない（空集合）
いつまでそのゴミみたいな場合分けに拘るつもりだ？場合分けせずとも、例の pdf の証明を辿ることで
直接的に結論が出せるのだから、その場合分けは必要ない。仮に場合分けしたところで、
>>26-30で書いたことと全く同じ理屈になるだけから意味が無い。一応やってみようか？
[続く]
52:１３２人目の素数さん
17/12/29 00:29:45.44 gcYWyS10.net
[続き]
R－B_f は第一類集合とする。f がある開区間の上でリプシッツ連続であることを示したい。(1),(2)で場合分けする。
「その１(>>28)」の流儀の場合
――――――――――――――――――
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて
矛盾するので、このケースは起きない。よって、(1)のみ考えればよい。そして(1)の場合は、
例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――
「その２(>>29)」の流儀の場合
――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて矛盾するので、
矛盾した状態からは何でも帰結できることにより、「リプシッツ連続な区間が取れる」ことになる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――
「その３(>>30)」の流儀の場合
――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――
このとおり、どの証明の どの場合分けにおいても、「例の pdf の証明そのもの」を
その都度 持ち出せば証明が終わるので、お前の場合分けは実質的には全く機能していない。
53:１３２人目の素数さん
17/12/29 00:47:07.18 gcYWyS10.net
>>44
＞ならば、c = x-1/M 、d = x+1/M として、ある区間（c, d）と書けるだろ？
＞定理1.7の証明は、それで終りでは？
息をするように間違えるゴミクズ。ぜんぜん終わらないよ。
なぜなら、その pdf の(1)の部分では「x」が固定されていて、動かせるのは y だけだからだ。
もし、お前が言うように c, d を定義したとしても、(1)で言えているのは
∀y∈(c, d) [ ｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜ ]
ということに過ぎず、y しか動かせていない。一方で、f が(c,d)上でリプシッツ連続であるためには、
∀y,z∈(c, d) [ ｜f(y) － f(z)｜ <= N ｜y － z｜ ]
が言えなければならない。しかし、補題1.5の条件だけでは、ここまで強いことは言えない。
あるいは、別の言い方をすると、次のように言ってもよい。まず、
f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という例の関数を考える。すると、｜Af(0)｜＝｜f '(0)｜＝0＜＋∞ だから、この f と x＝0 に対して補題1.5 の議論が使える。
すると、そのまま(1)のところまで来たとき、もしスレ主の言い分が正しいなら、「それで終わり」となり、
この f は原点の近傍でリプシッツ連続ということになるが、実際にはそんなことは無いだろ？
つまり、スレ主の言い分は自動的に間違ってるということ。
54:１３２人目の素数さん
17/12/29 01:04:58.18 gcYWyS10.net
>>44
＞というが、それ（”全体で”）を導くことは、定理1.7（「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」）をいうだけなら、不必要では？
＞（ 上記のある区間（c,d）で、リプシッツ連続を言えば、定理1.7の証明は、そこで終わってないかい？ ）
その言い分そのものは正しいが、そのような (c,d) を見つける方法が全く自明ではなく、
ベールのカテゴリ定理を使わなければ そういう (c,d) が出て来ない、という話をしているんだよ。
つまり、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明になってないってこと。
少し詳しく見てみようか？まず前提として、
状況Ａ：
―――――――――――――――――――
「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a, b)が存在する」という条件からは
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」という条件は導けない
―――――――――――――――――――
という「状況Ａ」があるわけだ。すると、次のようになる。
(a,b)⊂B_f が成り立つとする。このとき、状況Ａにより、f は(a,b)全体でリプシッツ連続であるとは断言できない。
しょうがないので、(a,b)内の十分小さな区間(c,d)を取る。当然ながら、(c,d)⊂B_f である。
では、f は(c,d)上でリプシッツ連続なのか？残念ながら、状況Ａを区間(c,d)に対して適用すれば、
f は(c,d)上でリプシッツ連続だとは断言できない。では、(c,d)内の更なる小さな区間(s,t)を考えたらどうか？
当然ながら、(s,t)⊂B_f である。では、f は(s,t)上でリプシッツ連続なのか？
残念ながら、「状況Ａ」を区間(s,t)に対して適用すれば、f は(s,t)上でリプシッツ連続だとは断言できない。
……このように、いくら小さな開区間に限定しても、状況Ａがその開区間に適用できるので、
f がその区間の上でリプシッツ連続であるとは断言できなくなってしまう。
では、どうやって望みの部分区間(c,d)を見つければいいのか？
そのために本当に必要になるのが、ベールのカテゴリ定理である。
結局、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明にならないのである。
55:
17/12/29 01:06:07.40 A/roP4cE.net
>>37
教科書（宮島微積分）では、逆像と逆写像を区別しており、
逆像：写像f: X->Y について、「B⊂Y に対してB に写されるような X の要素の全体 { x ∈X | f(x)∈B} をBのfによる逆像といい、f^(-1)(B) で表す」
逆写像：「写像f:X->Y が単写のときf の値域に属する要素 y に対して f(x) = y となる x ∈ Xが唯一つ存在するので、y∈f(X) にこの x を対応させる f(X) から X への写像が定義され
る。この写像をf^(-1) で表し、f の逆写像という。」
また、
「逆像 f^(-1)(B) に用いた f^(-1) と、逆写像の意味は微妙にずれている」
とも書かれています。教科書では
① f(A∩B)⊂f(A)∩ f(B)
②f^(-1)(A∩B)=f^(-1)(A)∩ f^(-1)(B)
の f^(-1) は逆像の意味で与えられているのですが、これは、 y = f(x) を満たす x が複数あっても①②が成立するように見えます。
56:１３２人目の素数さん
17/12/29 01:22:50.98 gcYWyS10.net
>>44
＞それから、これは重要だが、補題1.5の証明中で、"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N(y － x)] (1) が成り立つ"というけれど
＞R－Bfが、稠密なら、区間(x-1/M, x+1/M)で、Dini微分が発散している点が、この区間内に多数存在することになるよ
＞それでも、"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N(y － x)] (1) が成り立つ"が言えるのかね？ （言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが）
息をするように間違えるゴミクズ。その(1)では「x」が固定されていて、y の方しか動かせないので、
別の点におけるディニ微分が発散していようがいまいが、(1)にとっては何の関係も無いのである。
具体例を１つ挙げておく。
f(x) ＝ x^2 (｜x｜は有理数), －x^2 (｜x｜は無理数)
として f を定義すると、この f は原点以外の各点で不連続なので、特に Af(x)＝＋∞ (x≠0) が成り立つ。
しかし、この f は原点で微分可能であり、f '(0)＝0 である。特に、正整数 N を何でもいいから1つ取れば、
Af(0)＝｜f '(0)｜＝ 0 ＜ N
となるので、M＞0 を十分大きく取れば、
∀y ∈ R [｜y － 0｜ <1/M → ｜f(y) － f(0)｜ <= N｜y － 0｜] (1)
が成り立つことが実際に示せる。この(1)の様子を、グラフを書いて視覚的に確かめてみよ。
(f(y)－f(0)/(y－0))
という、x の方を x＝0 に固定して y の方だけ動かしたときの「傾き」は、y が原点に十分近ければ実際に有界の範囲に
収まっていることが視覚的に容易に確かめられるだろう(x≠0 なる任意の点では Af(x)＝＋∞が成り立っているにも関わらず)。
57:１３２人目の素数さん
17/12/29 01:42:52.56 gcYWyS10.net
>>44
＞（言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが）
他の点でのディニ微分の値がどうなっているかなんて、全く考える必要がない。
なぜなら、そのような情報とは無関係に(1)が導けていることが、機械的に容易に確認できるからだ。
実際、(1)を導くのに使ったのは、ほとんど limsup の定義のみである。
お前は証明の読み方が おかしい。
証明の中に盛り込まれてない別の情報Ｐとの整合性が お前にとって気になったのだとしても、
それはお前が自分の頭の中で解決すればいいだけの話であって、
「この証明は情報Ｐについての議論を盛り込むべきである」
なんていうことにはならない。その証明が情報Ｐとは無関係に進むことが機械的に確認できたなら、
その情報Ｐはお前にとっての単なる「杞憂」に過ぎなかったのであり、その証明は情報Ｐを盛り込む必要がどこにも無い。
58:１３２人目の素数さん
17/12/29 03:06:01.36 fCvz7u7e.net
>>51
その通りです
yに対しy=f(x)を満たすxが複数有り得るからこそ①になり
ｘに対しy=f(x)を満たすyが複数あり得ないからこそ②になります
59:１３２人目の素数さん
17/12/29 07:35:03.66 fCvz7u7e.net
>>54
逆にfが写像(1価)でも単射なら
すなわち
yに対しy=f(x)を満たすxが複数あり得ないのであればf^-1の場合の②同様①は等号になります
60:１３２人目の素数さん
17/12/29 15:32:31.01 UhtZ751q.net
ガロアのスレ主がゴミクズ野郎なのがよく分かるな
61:１３２人目の素数さん
17/12/29 17:19:18.60 bDrChn34.net
スレ主は勉強するか黙るかどちらかにすべき
62:１３２人目の素数さん
17/12/29 17:49:49.79 41hqZa6e.net
お兄さん「先生来られました」
おばあさん「先生？」
おじいさん「数学の先生」
俺「まあ…うん…数学やってる」
おばあさん「計算が得意なの？」
俺「計算は…あまり得意じゃない。計算するのが数学じゃなくて計算するための理論を組み立てるのが数学だから」
63:１３２人目の素数さん
17/12/30 12:02:04.90 T5iI1wtu.net
スレ主は今年も進歩ゼロでしたとさ
64:１３２人目の素数さん
17/12/30 13:17:27.93 dSbKeTYf.net
ここまで酷いとホントにゴミだよ
なんで数学板にいるの？ってレベル
65:１３２人目の素数さん
17/12/31 11:42:22.49 yDllqZzl.net
>>58
これってスレ主？
66:１３２人目の素数さん
17/12/31 12:15:45.13 65THZoXS.net
ズレ主を表す今年の漢字2017は？
「誤」「乱」「偽」「劣」「愚」
67:１３２人目の素数さん
17/12/31 15:12:52.22 yDllqZzl.net
スレ主の反応が無い。
冬休み、うつ、飽きた
どれだ？
68:１３２人目の素数さん
18/01/01 01:44:15.87 9ORABeV3.net
スレ主がこのまま消えますように
69:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:04:59.09 dCRrvhl7.net
皆さま、どうも。スレ主です。（＾＾
明けまして、おめでとうございます。
新年も、よろしくお願いします。ｍ（＿ ＿）ｍ
70:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:06:29.09 dCRrvhl7.net
>>53
ID:gcYWyS10 さん、沢山レスありがとう
貴方のレスは、レベル高いね
あとで、じっくり読むよ（＾＾
71:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:07:53.69 dCRrvhl7.net
で、勝手ながら、年末年始に読んだ関連を貼るよ（＾＾
まず、関連参考：検索でヒットしたので貼る。
BaireCategory.pdfの”3. Pointwise limits of continuous functions.”に、「422に書いた定理」の関連記述
「Theorem. If f : R → R is a pointwise limit of continuous functions,
then Df is Fσ meager (that is, a countable union of closed sets with empty interior).
(In particular, by Baire's theorem, f is continuous on a dense subset of R.)」とあり（当たり前か？ （＾＾ ）
URLﾘﾝｸ(www.math.utk.edu)
MATH 447- Advanced Calculus I- Fall 2016- A. FREIRE
(or: ANALYSIS IN R^n)
(抜粋)
URLﾘﾝｸ(www.math.utk.edu)
Sets of discontinuity and Baire's theorem Baire Category Notes (5 problems) (the problems are HW8, due Friday 11/4)A. FREIRE 2016
(抜粋)
1. Sets of discontinuity. For f : R → R, we define
Df = {x ∈ R; f is not continuous at xg:
3. Pointwise limits of continuous functions.
Theorem. If f : R → R is a pointwise limit of continuous functions,
then Df is Fσ meager (that is, a countable union of closed sets with empty interior).
(In particular, by Baire's theorem, f is continuous on a dense subset of R.)
Proof. We know Df = ∪ n>=1 D1/n (see Section 1), so it suffices to show
that the closed sets Dε have empty interior, for any ε > 0.
By contradiction, suppose Dε contains an open interval I.
We'll find an open interval J ⊂ I disjoint from Dε!
Let fn → f pointwise on R, with each fn : R → R continuous.
For each N >= 1, consider the set:
CN = {x ∈ I; (∀m, n >= N)|fm(x) - fn(x)| <= ε/3}.
Clearly ∪ N>=1 CN = I (by pointwise convergence). QED
(引用終り)
つづく
72:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:08:32.82 dCRrvhl7.net
>>67 つづき
（上記の関連参考：出典URL）
URLﾘﾝｸ(www.math.utk.edu)
Math 447 Fall 2016- A. FREIRE
TOPICS
PART I: Topology
Supplementary handouts (for advanced students):
(adapted from more advanced classes and not yet in final form)
URLﾘﾝｸ(www.math.utk.edu)
Definitions and Theorems from General Topology
URLﾘﾝｸ(www.math.utk.edu)
Locally compact Banach spaces are finite dimensional (includes 4 problems)
URLﾘﾝｸ(www.math.utk.edu)
Spaces of Continuous Functions (outdated)
URLﾘﾝｸ(www.math.utk.edu)
Stone-Weierstrass theorem-notes (includes 6 problems)
URLﾘﾝｸ(www.math.utk.edu)
Ascoli-Arzela-Notes (final-included 7 exercises with solutions, and 11 extra problems.)
URLﾘﾝｸ(www.math.utk.edu)
Alex Freire
Department of Mathematics
University of Tennessee
（終り）
つづく
73:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:10:25.74 dCRrvhl7.net
>>68 つづき
あと、いま、「422に書いた定理」に、似た文献を見つけて読んでいる。（＾＾
”I-DENSITY CONTINUOUS FUNCTIONS Krzysztof Ciesielski他 1994”
これ、出版されていて、アマゾンでもヒットした
疑問が二つ
１）Proposition 1.1.1. の「Given ε > 0 there is a δ > 0 such that {x ∈ (x0 － δ, x0 + δ) : |f(x) － f(x0)| ≧ ε} ∈ J.」で、普通のεδ論法だと、 |f(x) － f(x0)| ＜ ε と不等号の向きが逆になると思うが、誤植か？ σ-ideal を考えているから、これで良いのか？ どうも良いみたいだが
２）Corollary 1.1.6. の「(ii): There exists a residual set K such that f|K is continuous.*2」で、f|Kは、Theorem 1.1.4.の”(ii): There exists a set K ∈ J such that the restricted function f|Kc is continuous.”の記載ぶりとの比較から、f|Kcの誤記かなと思ったり？ 意味が全く違ってくる
これにも、「422に書いた定理」の関連記述あり（後述）
つづく
74:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:10:50.85 dCRrvhl7.net
>>69 つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.wvu.edu)
I-DENSITY CONTINUOUS FUNCTIONS Krzysztof Ciesielski他 1994- 被引用数: 84
(抜粋)
CHAPTER 1
The Ordinary Density Topology
1.1. A Simple Category Topology
To gain some insight into what is happening with limits like this, it is useful
to generalize this idea to a topological setting.
A nonempty family J ⊂P(X) of subsets of X is an ideal on X if A ⊂ B and
B ∈ J imply that A ∈ J and if A∪B ∈ J provided A,B ∈ J. An ideal J on X
is said to be a σ-ideal on X if ∪n∈N An ∈ J for every family {An : n ∈ N} ⊂ J.
Let J be an ideal on R and Ｔo be the ordinary topology on R. The set
T (J) = {G ＼ J : G ∈ Ｔo, J ∈ J}
is a topology on R which is finer than Ｔo. The following proposition is evident
from the definitions.
Proposition 1.1.1. Let J be a σ-ideal on R and T (J ) be as above. For
f : (R, T (J )) → (R, Ｔo) and x0 ∈ R the following statements are equivalent to
each other.
(i): f is continuous at x0.
(ii): Given ε > 0 there is a δ > 0 such that
{x ∈ (x0 － δ, x0 + δ) : |f(x) － f(x0)| ≧ ε} ∈ J.
つづく
75:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:11:20.87 dCRrvhl7.net
>>70 つづき
Theorem 1.1.4. Let J be a σ-ideal and f : R → R. The following statements
are equivalent.
(i): The function f is J -continuous J -a.e.
(ii): There exists a set K ∈ J such that the restricted function f|Kc is continuous.
Furthermore, if the ideal J contains no interval, then the following statement is
equivalent to (i) and (ii)
(iii): There exists a function g : R → R such that f = g J -a.e. and g is continuous in the ordinary sense J -a.e.
Proof. The fact that (ii) implies (i) is obvious. Suppose (i) is true and let
f be J -continuous on a set M = Jc for J ∈ J. For each n ∈ N and x ∈ M,
by Proposition 1.1.1(ii) there is an open interval I(n, x) and a J(n, x) ∈ J such
that
x ∈ I(n, x) \ J(n, x) ⊂ f－1((f(x) － 1/n, f(x) + 1/n)).
For each fixed n, there must be a countable sequence xn,m ∈ M such that
M ⊂∪m∈N I(n, xn,m).
Let
K = J ∪ ∪ n,m∈N J(n, xn,m) ∈ J.
If x ∈ Kc and ε > 0, then there must exist natural numbers n and m such that
2/n < ε and x ∈ I(n, xn,m). Then |f(x) － f(xn,m)| < 1/n so that
f(x) ∈ (f(xn,m) － 1/n, f(xn,m) + 1/n) ⊂ (f(x) － ε, f(x) + ε)
つづく
76:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:11:49.95 dCRrvhl7.net
>>71 つづき
and
I(n, xn,m) ∩ Kc ⊂ f－1((f(x) － ε, f(x) + ε)).
Hence, f|Kc is continuous at x.
To prove the last part of the theorem, note first that (iii) implies (ii) even
without the restriction that J contains no interval. Now suppose that J contains
no interval and that f,K are as in (ii). Define
(1) G(x) = lim sup t→x,t∈Kc f(t)
and
(2) g(x) = G(x) when G(x) is finite,
or = f(x) otherwise.
In particular, it follows from (ii) that f|Kc = g|Kc . Let x ∈ Kc and ε > 0.
According to (ii) there is a δ > 0 such that
(3) |g(y) － g(x)| = |f(y) － f(x)| < ε/2
whenever y ∈ (x － δ, x + δ) ∩Kc. If z ∈ (x － δ, x + δ) ∩K, then the assumption
that K can contain no nonempty open set implies the existence of a sequence
{zn : n ∈ N} ⊂ (x － δ, x + δ) ∩ Kc
such that f(zn) → G(z). Hence, by (3), G(z) is finite, so g(z) = G(z) and
|g(z) － g(x)| ? ε/2 < ε. Therefore, g is continuous at x. QED
つづく
77:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:12:19.36 dCRrvhl7.net
>>72 つづき
The following example is interesting in light of the previous theorem.
Example 1.1.5. Let I be the σ-ideal consisting of all first category subsets of
R. I-continuity is often called qualitative continuity [26]. It is well-known in
this case that f is a Baire function if, and only if, f is qualitatively continuous I-a.e.
In particular, combining Example 1.1.5 with Theorem 1.1.4 yields the following
well-known corollary, which will be useful in the sequel.
Corollary 1.1.6. Let f : R → R. The following statements are equivalent.
(i): f is a Baire function.
(ii): There exists a residual set K such that f|K is continuous.*2
(iii): f is qualitatively continuous I-a.e.
In the case of Lebesgue measure, the following is true.
*2 A set is residual if its complement is first category. This is often called comeager.
つづく
78:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:12:44.18 dCRrvhl7.net
>>73 つづき
If condition (i) in Theorem 1.1.4 is strengthened to everywhere, the following corollary results.
Corollary 1.1.8. Let J be a σ-ideal which contains no nonempty open set.
A function f : R → R is continuous everywhere if, and only if, it is J -continuous everywhere.
Proof. If f is continuous, then it is clearly J -continuous. So, suppose f is
J -continuous everywhere, x0 ∈ R and ε > 0. Using Proposition 1.1.1(ii), there
must be an ordinary open neighborhood G0 of x0 such that
F0 = {x ∈ G0 : |f(x) － f(x0)| > ε} ∈ J.
Suppose there is an x1 ∈ F0. Choose δ > 0 such that
δ < |f(x1) － f(x0)| － ε.
As before, there exists an ordinary open neighborhood G1 ⊂ G0 of x1 such that
F1 = {x ∈ G1 : |f(x1) － f(x)| > δ} ∈ J.
It is clear that G1 ⊂ F0 ∪ F1 ∈ J, because |f(x1) － f(x0)| > ε + δ. But, this
implies J contains a nonempty open set, which contradicts the condition placed
on J in the statement of the corollary. This contradiction shows that F0 = Φ.
The preceding corollary demonstrates that global J -continuity may not be a
very useful concept. In particular, it is worthwhile noting for future reference
that global I-continuity and global N-continuity are no different than ordinary continuity.
(引用終り)
つづく
79:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:13:26.56 dCRrvhl7.net
sage
80:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:13:34.44 dCRrvhl7.net
>>74 つづき
（上記の関連参考：出典URL）
URLﾘﾝｸ(www.math.wvu.edu)
Krzysztof Chris Ciesielski, Ph.D. Professor of Mathematics at Department of Mathematics, West Virginia University and Adjunct Professor at Medical Image Processing Group, Dept. of Radiology, Univ. of Pennsylvania.
(抜粋)
Books:
(with L. Larson and K. Ostaszewski) I-density continuous functions, Memoirs of the AMS vol. 107 no 515, 1994; MR 94f:54035.
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
I-Density Continuous Functions (Memoirs of the American Mathematical Society) (英語) Krzysztof Ciesielski (著),? Lee Larson (著),? Krzysztof Ostaszewski (著) 1994/1/1
URLﾘﾝｸ(www.jstor.org)
JOURNAL ARTICLE I-density Continuous Functions Krzysztof Ciesielski, Lee Larson and Krzysztof Ostaszewski Real Analysis Exchange Vol. 15, No. 1 (1989-90), pp. 13-15 Published by: Michigan State University Press
（終り）
つづく
81:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:14:10.20 dCRrvhl7.net
>>76 つづき
（参考：用語解説）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(set_theory)
Ideal (set theory)
(抜粋)
In the mathematical field of set theory, an ideal is a collection of sets that are considered to be "small" or "negligible". Every subset of an element of the ideal must also be in the ideal (this codifies the idea that an ideal is a notion of smallness), and the union of any two elements of the ideal must also be in the ideal.
More formally, given a set X, an ideal I on X is a nonempty subset of the powerset of X, such that:
1. Φ ∈ I
2.if A∈ I and B⊆ A, then B∈ I, and
3.if A,B∈ I, then A ∪ B∈ I
Some authors add a third condition that X itself is not in I; ideals with this extra property are called proper ideals.
Ideals in the set-theoretic sense are exactly ideals in the order-theoretic sense, where the relevant order is set inclusion. Also, they are exactly ideals in the ring-theoretic sense on the Boolean ring formed by the powerset of the underlying set.
Contents
1 Terminology
2 Examples of ideals
2.1 General examples
2.2 Ideals on the natural numbers
2.3 Ideals on the real numbers
2.4 Ideals on other sets
3 Operations on ideals
4 Relationships among ideals
5 See also
6 References
(引用終り)
つづく
82:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:14:45.77 dCRrvhl7.net
>>77 つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
σ-ideal Sigma-ideal (Redirected from Σ-ideal)
(抜粋)
In mathematics, particularly measure theory, a σ-ideal of a sigma-algebra (σ, read "sigma," means countable in this context) is a subset with certain desirable closure properties. It is a special type of ideal. Its most frequent application is perhaps in probability theory.
Let (X,Σ) be a measurable space (meaning Σ is a σ-algebra of subsets of X). A subset N of Σ is a σ-ideal if the following properties are satisfied:
(i) O ∈ N;
(ii) When A ∈ N and B ∈ Σ , B ⊆ A ⇒ B ∈ N;
(iii) {A_n}_{n∈N }⊆ N→ ∪ _{n∈N }A_n∈ N.
Briefly, a sigma-ideal must contain the empty set and contain subsets and countable unions of its elements. The concept of σ-ideal is dual to that of a countably complete (σ-) filter.
If a measure μ is given on (X,Σ), the set of μ-negligible sets (S ∈ Σ such that μ(S) = 0) is a σ-ideal.
The notion can be generalized to preorders (P,?,0) with a bottom element 0 as follows: I is a σ-ideal of P just when
(i') 0 ∈ I,
(ii') x ? y & y ∈ I ⇒ x ∈ I, and
(iii') given a family xn ∈ I (n ∈ N), there is y ∈ I such that xn ? y for each n
Thus I contains the bottom element, is downward closed, and is closed under countable suprema (which must exist). It is natural in this context to ask that P itself have countable suprema.
A σ-ideal of a set X is a σ-ideal of the power set of X. That is, when no σ-algebra is specified, then one simply takes the full power set of the underlying set. For example, the meager subsets of a topological space are those in the σ-ideal generated by the collection of closed subsets with empty interior.
(引用終り)
つづく
83:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:15:30.82 dCRrvhl7.net
>>78 つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Ideal
(抜粋)
Mathematics
Ideal (ring theory), special subsets of a ring considered in abstract algebra
Ideal, special subsets of a semigroup
Ideal (order theory), special kind of lower sets of an order
Ideal (set theory), a collection of sets regarded as "small" or "negligible"
Ideal (Lie algebra), a particular subset in a Lie algebra
Ideal point, a boundary point in hyperbolic geometry
Ideal triangle, a triangle in hyperbolic geometry whose vertices are ideal points
(引用終り)
つづく
84:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:16:04.01 dCRrvhl7.net
>>79 つづき
URLﾘﾝｸ(www.artsci.kyushu-u.ac.jp)
典型的連続関数のDini微分（著者最終稿）斎藤新悟 実解析学シンポジウム2009報告集，pp. 25-33.
（上記の関連参考：出典URL）
URLﾘﾝｸ(www.artsci.kyushu-u.ac.jp)
斎藤新悟 出版物
URLﾘﾝｸ(www.artsci.kyushu-u.ac.jp)
斎藤新悟 九州大学基幹教育院准教授 1981年大阪府生まれ 東京大学理学部数学科卒業
つづく
85:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:16:33.36 dCRrvhl7.net
>>80 つづき
（以前のスレから関連抜粋）
スレ46 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:398番)
＜引用＞
URLﾘﾝｸ(www.unirioja.es)
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Volume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.
(抜粋)
So, in this paper we
are going to analyze the dierentiability of the real function
fν(x) =0 if x ∈ R ＼ Q,
or =1/q^ν if x = p/q ∈ Q, irreducible,
for various values of ν ∈ R.
Theorem 1. For ν > 2, the function fν is discontinuous (and consequently
not dierentiable) at the rationals, and continuous at the irrationals. With
respect the dierentiability, we have:
(a) For every irrational number x with bounded elements in its continued fraction expansion, fν is differentiable at x.
(b) There exist infinitely many irrational numbers x such that fν is not differentiable at x.
Moreover, the sets of numbers that fulfill (a) and (b) are both of them uncountable.
Theorem 2. For ν > 2, let us denote
Cν = { x ∈ R : fν is continuous at x },
Dν = { x ∈ R : fν is dierentiable at x }.
Then, the Lebesgue measure of the sets R ＼ Cν and R ＼ Dν is 0, but the four sets Cν, R ＼ Cν, Dν, and R ＼ Dν are dense in R.
(引用終り)
つづく
86:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 17:17:30.4
87:6 ID:dCRrvhl7.net
88:１３２人目の素数さん
18/01/01 17:38:20.61 WRx3yiBV.net
>>82
>R中のQのように稠密分散で、
>R＼Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども
？
89:１３２人目の素数さん
18/01/01 17:48:29.72 HicRQN2S.net
おっちゃんです。
今日は午前4時に散歩したら、新聞配達のお姉ちゃんが自転車で配達していた。
今は意識もうろうとしていて、もうお寝んねタイム。
90:１３２人目の素数さん
18/01/01 18:10:20.43 HicRQN2S.net
まあ、深夜に散歩するのも案外日常とは違う面白い光景が見られる。
深夜にコンビニに行く人も時々見かける。
昼間の車の排気ガスで汚れた空気とは違い、昼間程汚れていない新鮮な空気は吸えるな。
それじゃ、おっちゃん寝る。
91:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 19:50:40.49 dCRrvhl7.net
Thomae（「ポップコーン」）関数の絵が面白いので、ご紹介。
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Number-theoretic aspects of 1D localization: "popcorn function" with Lifshitz tails and its continuous approximation by the Dedekind eta S. Nechaev, K. Polovnikov (Submitted on 22 Feb 2017 (v1), last revised 26 Feb 2017 (this version, v2))
(抜粋)
We discuss the number-theoretic properties of distributions appearing in physical systems when an observable is a quotient of two independent exponentially weighted integers.
The spectral density of ensemble of linear polymer chains distributed with the law ?fL (0<f<1),
where L is the chain length, serves as a particular example.
At f→1, the spectral density can be expressed through the discontinuous at all rational points, Thomae ("popcorn") function.
We suggest a continuous approximation of the popcorn function, based on the Dedekind η-function near the real axis.
Moreover, we provide simple arguments, based on the "Euclid orchard" construction, that demonstrate the presence of Lifshitz tails, typical for the 1D Anderson localization, at the spectral edges.
We emphasize that the ultrametric structure of the spectral density is ultimately connected with number-theoretic relations on asymptotic modular functions.
We also pay attention to connection of the Dedekind η-function near the real axis to invariant measures of some continued fractions studied by Borwein and Borwein in 1993.
(引用終り)
92:１３２人目の素数さん
18/01/01 20:25:48.18 9ORABeV3.net
コピペ癖・思考停止は今年も健在でしたとさ
93:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 20:35:10.81 dCRrvhl7.net
>>86
Figure 5: Plots of everywhere continuous f1(x) = -ln |η(x + iε)| (blue) and discrete f2(x) = Π/(12ε) g^2(x) (red) for ε = 10^-6 at rational points in 0 < x < 1.
が面白いね
94:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 20:36:14.06 dCRrvhl7.net
>>84-85
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
今年もよろしく（＾＾
95:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 21:08:33.72 dCRrvhl7.net
（追加貼付）
スレ47 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:245番)
245 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/02
ちょっと、ピエロの過去レス46に戻る
スレ46 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:181番)
（ピエロ）
181 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/15(水) 19:42:29.78 ID:fz0TcIh0 [2/3]
(抜粋)
さらにいえば、1/q^nを1/e^(-q)に置き換えても
リュービル数では微分不可能URLﾘﾝｸ(kbeanland.files.wordpress.com)
(引用終り)
これ、結構面白ね（＾＾
要するに、Proposition 3.1で、無理数で０で有理数でプラス（T(x)＞０ xは有理数）となるどんな関数も、必ずどこか微分不可能な無理数があり、それは稠密だというのだ（下記PDF）
URLﾘﾝｸ(kbeanland.wordpress.com)
Kevin Beanland ASSOCIATE PROFESSOR OF MATHEMATICS in the Department of Mathematics at Washington and Lee University.
Research Articles
My main research area is Banach space theory but, I have some work in real analysis and know some descriptive set theory as it applies to Banach space theory.
URLﾘﾝｸ(kbeanland.files.wordpress.com)
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
(抜粋)
3. A DENSE SET. While attempting to prove that T(1/n2) is differentiable on the irrationals,
we discovered that quite the opposite is actually true. In fact, as the following
proposition indicates, functions that are zero on the irrationals and positive on the rationals
will always be non-differentiable on a rather large set.
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on
the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not
differentiable.
(引用終り)
96:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 21:12:55.81 dCRrvhl7.net
>>51
C++さん、どうも。スレ主です。
年末は、ばたばたして、お相手できませんでしたが
新年おめでとうございます
今年もよろしくお願いします。ｍ（＿ ＿）ｍ
97:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 23:33:24.50 dCRrvhl7.net
Liouville Numbers について、調べていたら、下記ヒット
URLﾘﾝｸ(www.mathematik.uni)<) -wuerzburg.de/~steuding/
Prof. Dr. Jorn Steuding Universitat Wurzburg Institut fur Mathematik
98:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 23:34:23.48 dCRrvhl7.net
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リウヴィル数
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
(抜粋)
Structure of the set of Liouville numbers[edit]
For each positive integer n, set
U_n=∪_q=2～∞ ∪_p= -∞ ～∞ {x∈ R :0<|x - p/q|< 1/q^n｝ =∪_q=2～∞ ∪_p= -∞～∞ ( p/q - 1/q^n, p/q+ 1/q^n)＼ { p/q}
The set of all Liouville numbers can thus be written as
L=∩_n=1～∞ U_n.
Each Un is an open set; as its closure contains all rationals (the p/q's from each punctured interval), it is also a dense subset of real line. Since it is the intersection of countably many such open dense sets, L is comeagre, that is to say, it is a dense Gδ set.
Along with the above remarks about measure, it shows that the set of Liouville numbers and its complement decompose the reals into two sets, one of which is meagre, and the other of Lebesgue measure zero.
つづく
99:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 23:35:35.73 dCRrvhl7.net
>>93 つづき
Irrationality measure
The irrationality measure (or irrationality exponent or approximation exponent or Liouville?Roth constant) of a real number x is a measure of how "closely" it can be approximated by rationals. Generalizing the definition of Liouville numbers, instead of allowing any n in the power of q, we find the least upper bound of the set of real numbers μ such that
0<|x - p/q|< {1/q^μ
is satisfied by an infinite number of integer pairs (p, q) with q > 0. This least upper bound is defined to be the irrationality measure of x.[3]:246 For any value μ less than this upper bound, the infinite set of all rationals p/q satisfying the above inequality yield an approximation of x.
Conversely, if μ is greater than the upper bound, then there are at most finitely many (p, q) with q > 0 that satisfy the inequality; thus, the opposite inequality holds for all larger values of q. In other words, given the irrationality measure μ of a real number x, whenever a rational approximation x ? p/q, p,q ∈ N yields n + 1 exact decimal digits, we have
1/10^n >= |x - p/q| >= {1/q^(μ +ε)
for any ε>0, except for at most a finite number of "lucky" pairs (p, q).
For a rational number α the irrationality measure is μ(α) = 1.[3]:246 The Thue?Siegel?Roth theorem states that if α is an algebraic number, real but not rational, then μ(α) = 2.[3]:248
Almost all numbers have an irrationality measure equal to 2.[3]:246
Transcendental numbers have irrationality measure 2 or greater. For example, the transcendental number e has μ(e) = 2.[3]:185 The irrationality measure of π is at most 7.60630853: μ(log 2)<3.57455391 and μ(log 3)<5.125.[4]
The Liouville numbers are precisely those numbers having infinite irrationality measure.[3]:248
(引用終り)
100:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/01 23:43:31.65 dCRrvhl7.net
>>83
>>R中のQのように稠密分散で、
>>R＼Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども
>？
リウヴィル数をイメージしてもらえば、良いのでは？ 稠密分散で、”a nonempty open set”の集まり
例えば
Structure of the set of Liouville numbers より
”Each Un is an open set; as its closure contains all rationals (the p/q's from each punctured interval), it is also a dense subset of real line. Since it is the intersection of countably many such open dense sets, L is comeagre, that is to say, it is a dense Gδ set.”
101:１３２人目の素数さん
18/01/02 00:34:32.73 okX91MtS.net
>>95
>リウヴィル数をイメージしてもらえば、良いのでは？ 稠密分散で、”a nonempty open set”の集まり
R＼Qは？
102:１３２人目の素数さん
18/01/02 00:36:21.27 okX91MtS.net
>>95
>Since it is the intersection of countably many such open dense sets
103:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 10:01:09.76 p6PjQh75.net
>>96-97
>R＼Qは？
(>>82より再録)
"で、”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）が、結構重要キーワードじゃないかな？
R中のQのように稠密分散で、
R＼Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども
（似た状況は、上記の「the Lebesgue measure of the sets R ＼ Cν and R ＼ Dν is 0, but the four sets Cν, R ＼ Cν, Dν, and R ＼ Dν are dense in R.」とある通りで）
「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えるかどうかだ？"
R＼Qも、リウヴィル数に同じ
つまり、屋上屋の説明だが、RからQを抜く（Qは、孤立点の集合（内点を持たない閉区間の集合））
Rは至る所開（”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）の集合）
R＼Qの各”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）は、ここにはq∈Qは含まれない
故に、このような場合には、「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えないのでは？
104:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 10:03:28.28 p6PjQh75.net
>>98 訂正
Rは至る所開（”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）の集合）
↓
R＼Qは至る所開（”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）の集合）
105:１３２人目の素数さん
18/01/02 10:25:50.08 okX91MtS.net
>>98
>R＼Qも、リウヴィル数に同じ
まずリュービル数全体は
>Since it is the intersection of countably many such open dense sets
のようですので
開集合とは言えませんし実際開集合ではありません
内点を持たないからです
内点を持つなら有理数の稠密性によりリュービル数である有理数がそんざいしてしまいますよ
次に
R＼Qですが
Qは孤立点の集合ではありません
どの有理数の近傍にも必ず有理数が存在するからです
また閉集合でもありません
閉包がRだからです
ですのでR＼Qもまた開集合にはならないのです
106:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 10:25:56.29 p6PjQh75.net
>>87
どうも。スレ主です。
ID:9ORABeV3くんは、ピエロかな？
まあ、今年もよろしくね（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(textream.yahoo.co.jp)
サイコパスのピエロ（＝不遇な「一石」 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
107:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 10:33:26.53 p6PjQh75.net
>>100
ID:okX91MtSさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
なるほど、”Since it is the intersection of countably many such open dense sets”からは、開集合は言えないのか？
でも、”「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えかどうか”については、どうですか？
108:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 10:36:16.06 p6PjQh75.net
>>100
ID:okX91MtSさん、あなたはレベルが高いね～（＾＾
ひょっとして、「ぷふ」さん？（＾＾
109:１３２人目の素数さん
18/01/02 11:18:53.68 okX91MtS.net
>>102
>でも、”「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えかどうか”については、どうですか？
前にも書きましたが
無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能ではない
という証明の流れですよ
110:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 11:45:25.56 p6PjQh75.net
>>104
やっぱ、「ぷふ」さんか（＾＾
あなたと、例の「422に書いた定理」の人は、本当にレベル高いね
（書かれた証明にいちゃもんを付けるのは、数十分の一の能力できる。作曲や演奏はできないのに、音楽の批評ができるみたいにね（＾＾ （当然、数学の証明はそれで良いのだが・・。敬意を表して一言））
>無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能ではない
>という証明の流れですよ
ところで、いままでも散々出ているし、>>90などにもあるけど
トマエ関数の改良版が実例としてあって、
有理数の1/q^n で、n>2 で、nを十分大きく取ると、無理数の殆どで微分可能になる。リュービル数だけは、微分不能で残る
この場合、有理数の1/q^nで不連続点は、稠密分散のまま
だから、”無理数で微分可能→開区間（a, b）で連続”のところが、厳密な証明になっていないのでは？ と思っています
111:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 11:45:40.78 p6PjQh75.net
>>100
ところで、追加質問で悪いが
>まずリュービル数全体は
>Since it is the intersection of countably many such open dense sets
>のようですので
>開集合とは言えませんし実際開集合ではありません
>内点を持たないからです
とすると、リュービル数全体は
「422に書いた定理」中の
「S は内点を持たない閉集合で被覆できる」（非可算に緩和してだが）に当てはまりますか？
112:１３２人目の素数さん
18/01/02 12:31:32.66 YXYfIwXt.net
>>105
それも散々指摘されていたと思いますが
微分可能点全体の補集合が非可算であり
可算この疎な閉集合で覆えませんので
件の定理は使えないのです
113:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 12:35:48.94 p6PjQh75.net
>>107
いや、定理を離れて、数学として考えて
１．リュービル数全体は、「S は内点を持たない閉集合で被覆できる」
２．ただし、非可算を要する
ということでいいですね？
114:１３２人目の素数さん
18/01/02 12:36:17.11 YXYfIwXt.net
>>106
非可算に緩和したら証明の根幹が崩れますよ
115:１３２人目の素数さん
18/01/02 12:37:09.96 YXYfIwXt.net
>>108
それは言えますが意味ありますか？
116:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 12:51:51.69 p6PjQh75.net
>>108 追加
それで、
１．Qは、「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」
２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。（「内点を持つ開集合の高々可算和で被覆できる」？ 当たり前か・・）
ですかね？
117:
18/01/02 12:55:44.49 ql5PO6mi.net
>>91
いえいえ、遥か後方から追いかけていくつもりですので、お気が向かわれるようでしたら、相手してやってください‥
118:１３２人目の素数さん
18/01/02 13:00:11.03 okX91MtS.net
>>111
>１．Qは、「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」
はい
>２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。
高々可算個ではできそうにありませんね
>（「内点を持つ開集合の高々可算和で被覆できる」？ 当たり前か・・）
それはムリです
119:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 13:03:58.93 p6PjQh75.net
>>109-110
レスありがとう
数学的イメージをはっきりさせたかったので・・（＾＾
120:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 13:06:42.96 p6PjQh75.net
>>113
ご丁寧にレスありがとうございます。ちょっと、考えてみます（＾＾
お手間を取らせて悪いが
で、「422に書いた定理」中の定理1.7の証明中で
「系1.4 により， あるi に対してAiは内点を持つか， もし
くは， あるN，M >= 1 に対してB_N，M は内点を持つかのいずれかである. 各Aiは内点を持たないの
だったから， あるN，M >= 1 に対してB_N，M が内点を持つことになる.
特に， (a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.」
の
B_N，M が内点を持つことになる.
↓
(a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.
にギャップないですか？
つまり、R－BfがQのような稠密分散集合で、よって、BfがR＼Qのような集合になりますと
このような場合、「内点を持つから、開区間(a， b) が取れる」と言えますか？
121:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 13:07:39.88 p6PjQh75.net
>>112
C++さん、レスありがとう
深謝！（＾＾
122:１３２人目の素数さん
18/01/02 13:15:13.20 okX91MtS.net
>>115
>にギャップないですか？
内点を持つことの定義です
>つまり、R－BfがQのような稠密分散集合で、よって、BfがR＼Qのような集合になりますと
>このような場合、「内点を持つから、開区間(a， b) が取れる」と言えますか？
もしかすると
背理法による証明を理解していないのかも知れませんね
Aを仮定して矛盾が起こるためAが否定されるのですよ
この場合の矛盾とは「開区間が取れるはずなのにそれはあり得ない」ということです
123:１３２人目の素数さん
18/01/02 14:24:29.65 /Z3ufxtn.net
スレ主が何を分かってないかを当てるクイズスレかここは
124:１３２人目の素数さん
18/01/02 14:37:52.28 kCdh3Yzn.net
新年からみっともないなスレ主は
わからないなら勉強しろよ
人に一から十まで聞くなよ
125:１３２人目の素数さん
18/01/02 18:14:00.10 okX91MtS.net
>>113
>>２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。
>高々可算個ではできそうにありませんね
ベールのカテゴリー定理より高々可算個では無理と分かりますね
126:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 22:59:26.64 p6PjQh75.net
>>117
あなたは、「ぷふ」さんではなさそうですね
前スレ 592で、「件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ」と書いた人ですね
>背理法による証明を理解していないのかも知れませんね
定理1.7 (422 に書いた定理)の段階では、背理法はまだ使っていませんよね
背理法は、系1.8の証明からですよ
で、>>115に戻ると
”B_N，M が内点を持つことになる.
↓
(a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.”
の”反例が、R＼Qではないか”と思っています
つまり、R＼Qは、内点を持つが、
系1.8の背理法に使えるような開区間(a， b) を取ると、そこにはR－Bfの点が入ることになる（∵R－Bfが稠密だから）
もう少し説明をすると
定理1.7のターゲットは、「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R」だ
だから、Q vs R＼Q（＝無理数点）の集合としての性質が問題になる
この場合、Qは、内点を持たない有理数点の加算和。なので、R＼Q（無理数）は、内点を持つ集合になる（ベールの範疇定理の典型例）
上記の定理1.7との対応で、QがR－Bfに対応しリプシッツ不連続。R＼QがBfに対応しリプシッツ連続だ。
ところで、R＼Q（無理数）は、上記の通りで、内点を持つ集合だが、ある開区間(a， b) を取ると、そこには必ずQの点が入る
この性質は、リプシッツだとか微分だとか、関数の性質とは無関係だ
よって、ベールの範疇定理だけでは、
Qの補集合であるR＼Q（＝無理数点の集合）は、内点を持つ集合までは言えるが、
ある開区間(a， b) を取れるとまでは言えないことがわかる
繰返すが、
”B_N，M が内点を持つことになる.
↓
(a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.”
は、言えない
127:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/02 23:21:30.13 p6PjQh75.net
>>120
>>>２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。
>>高々可算個ではできそうにありませんね
>ベールのカテゴリー定理より高々可算個では無理と分かりますね
正しい引用は（>>111より）
２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。（「内点を持つ開集合の高々可算和で被覆できる」？ 当たり前か・・）
(引用終り)
ですね。
ああ、非可算まで広げると、”被覆”の意味が訳分からなくなるので、”可算しばりを入れろ！”ということか・・・（＾＾
なお、「内点を持つ開集合の高々可算和で被覆できる」は、通常の距離を入れたRが、第二可算的空間あるいは、第一可算的空間ですから・・、当然
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
第二可算的空間
(抜粋)
数学の位相空間論おける第二可算空間（だいにかさんくうかん、英: second-countable space）とは、第二可算公理を満たす位相空間のことである。空間が第二可算公理を満たすとは「その位相が可算な開基を持つ」ということを言う。
「素性のよい」空間のほとんどは第二可算的である。例えば、普通の位相を入れたユークリッド空間 (Rn) がそうである。全ての開球体を考える通常の開基をとるとこれは可算ではないけれども、半径が有理数で中心が有理点であるような開球体全体のなす集合を考えると、これは可算であり、開基も成す。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
第一可算的空間
(抜粋)
数学の位相空間論において、第一可算空間（だいいちかさんくうかん、英: first-countable space）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を指す。
普通に使われる空間のほとんどは第一可算的である。特に、距離空間はすべて第一可算的である。というのは、各点 x に対し、それを中心とする半径 1/n (n は正の整数) の開球の系列は x の可算な基本近傍系となっている。
128:１３２人目の素数さん
18/01/02 23:59:09.89 okX91MtS.net
>>121
>前スレ 592で、「件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ」と書いた人ですね
そうですよ？
そしてあなたに「ぷふ」と呼ばれている者のようですね
>”B_N，M が内点を持つことになる.
> ↓
>(a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.”
内点とは何かを学ぶべきです
といいますか
それを理解していないのであれば
これまでのすべての話は正しく理解することは出来ないのでは？
>>122
>ああ、非可算まで広げると、”被覆”の意味が訳分からなくなるので、”可算しばりを入れろ！”ということか・・・（＾＾
そうではありません
ベールのカテゴリー定理を使うためです
それとRの部分集合なのですから
非可算に広げると何でも内点を持たない閉集合（1点）の合併になってしまい
条件を付けることになりませんよ？
129:１３２人目の素数さん
18/01/03 00:05:43.29 fOPEnBcc.net
>>121
>この場合、Qは、内点を持たない有理数点の加算和。なので、R＼Q（無理数）は、内点を持つ集合になる（ベールの範疇定理の典型例）
その定理を使うためには
疎な閉集合の可算和でRを表す必要がありますが
R＼Qはどうするのですか？
使えない状況で定理を使った気になってはいけません
130:１３２人目の素数さん
18/01/03 02:09:24.76 CkM+NgPo.net
スレ主よ
いい加減にわかった気になるのはやめろ
お前は一年一学期の内容すらわかってない それを自覚しろ
131:１３２人目の素数さん
18/01/03 12:00:14.84 CkM+NgPo.net
＞内点とは何かを学ぶべきです
と言われることがどれほど低レベルで恥ずかしいことか自覚しろ
お前に必要なのは 自 覚 力 だ
132:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/03 21:30:53.39 fcJ2W/Es.net
>>123-124
「ぷふ」さんと、「件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ」と書いた人とが、
同一人物か？ 衝撃の事実だな～！（＾＾
あなたは、前スレ >>571のID:84+rbTu3さんですね。８つレス付けてくれた（＾＾
黄色い救急車ならぬ黄金の救急車で、黄色いクスリを処方してくれましたね。
どうもありがとう。あのクスリで、悪いなりに私の頭がかなりすっきりしましたよ（＾＾
つづく
133:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/03 21:32:15.26 fcJ2W/Es.net
>>127 つづき
>R＼Qはどうするのですか？
>使えない状況で定理を使った気になってはいけません
そこは、調べて、分りました！（＾＾
Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
Q^i = Φ, Q^e = Φ, Q^f = R, Q^a = R.
R ＼ Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
(R ＼ Q)^i = Φ, (R ＼ Q)^e =Φ, (R ＼ Q)^f = R, (R ＼ Q)^a = R.
つまりは、R内に稠密分散するQは、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
同様に、RからQを除いたR ＼ Qも、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
（資料は後述ご参照）
これは、実に面白いですね
面白すぎて、理解がついていかないが・・。
まあ、無限集合で、自身�
134:ﾆ同じ濃度の真部分集合を含むというヒルベルトのホテルのパラドックスを思わせますね（＾＾ まあ、有理点の集合Qと無理点R ＼ Qが、互いに稠密に入り交じっているからですね・・（＾＾ （参考） http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/edu2/st/ 龍谷大学> 理工学部> 数理情報学科> 国府> > 11 回め 講義（集合・位相）☆ 配布: 2009-07-01Thu 更新: 2009-07-02 11.4.2 1 次元ユークリッド空間R1 で, 有理数全体Q, 無理数全体R \ Q の内部, 外部, 境界,閉包を求めよう. 講義（集合・位相）☆ 11 回めの問題(2009-07-01Thu) (^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包) Q^i = Φ, Q^e = Φ, Q^f = R, Q^a = R. (R ＼ Q)^i = Φ, (R ＼ Q)^e =Φ, (R ＼ Q)^f = R, (R ＼ Q)^a = R. http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/ Welcome to Hiroe's Home Page! Hiroe Oka professor Department of Applied Mathematics and Informatics Faculty of Science and Technology Ryukoku University （龍谷大 岡先生？） http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/teaching.html 講義(2009年度) 学部 集合と位相および・演習II 2年前期 http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/edu2/st/index.html つづく
135:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/03 21:33:20.09 fcJ2W/Es.net
>>128 つづき
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
(抜粋)
katakana121225さん2016/12/19 yahoo
1次元のユークリッド空間Rでの有理数Qの内部、外部、境界はどうなるのですか？
解説も出来ればお願いします
ベストアンサーに選ばれた回答 clicky_clicky_clicky_clickyさん 2016/12/19
一般に, 内点・外点・境界点の定義 (近傍による定義) から, 距離空間 X の点は X の部分集合 A にたいして内点または外点または境界点のいずれかです. (※排他的 : 同時に2種類以上は無い)
有理数 Q の任意の点の近傍 (ε-近傍) には, 無理数の点, すなわち, 有理数 Q の補集合 R-Q の点が含まれます. したがって, Q の任意の点は Q の境界点 (同時に R-Q の境界点) です.
無理数 R-Q の任意の点の近傍 (ε-近傍) には, 有理数の点, すなわち, 無理数の補集合 Q の点が含まれます. したがって, 無理数 R-Q の任意の点は R-Q の境界点 (同時に Q の境界点) です.
以上, 先に述べたとおり, R=Q∪(R-Q) の任意の点は, Q の境界点であり, (排他的な内点・外点・境界点の定義から) Q の内点も外点も存在しません. すなわち
Q の内部 (内点全体) = 空集合
Q の外部 (外点全体) = 空集合
Q の境界 (境界点全体) = R
(引用終り)
つづく
136:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/03 21:34:15.76 fcJ2W/Es.net
>>129 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
境界 (位相空間論)
(抜粋)
一般位相において位相空間 X の部分集合 S の境界（きょうかい、英語: boundary, frontier）とは、S の中からも外からも近づくことのできる点の全体の成す X の部分集合のことである。
もうすこし形式的に言えば、S の触点（閉包に属する点）のうち、S の内点（開核に属する点）ではないものの全体の成す集合のことである。S の境界に属する点のことを、S の境界点(boundary point) と呼ぶ。S が境界を持たない (boundaryless) とは、S が自身の境界を包含しないこと、あるいは同じことだが境界点がひとつも S に属さないことをいう[1]。
集合 S の境界を表すのに、bd(S), fr(S), ∂S[2] のような記法がしばしば用いられる。代数的位相幾何学における境界 (boundary) の概念との区別のため、ここでいう境界に対応する語として "boundary" の代わりに "frontier" を用いることがある（たとえば松坂『集合・位相入門』[3]）。
集合 S の境界の連結成分のことを、S の境界成分 (boundary component) という。
例
実数直線 R に通常の位相（つまり、開区間を開基とする位相）を考えると、たとえば
・∂Q = R
・∂(Q ∩ [0,1]) = [0,1]
などが成立する。最後のふたつの例は、内点を持たない稠密集合の境界はその集合の閉包に一致するという一般的な事実を説明するものになっている。
有理数全体の集合に通常の位相（R の部分位相空間としての位相）を考えた位相空間の中では、a が無理数であるときの区間 (?∞, a) の境界は空集合である。
集合の境界というのは位相的な概念であり、集合に入れる位相を変えれば（同じ集合であっても）何が境界であるかが変わってくる。
つづく
137:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/03 21:34:49.94 fcJ2W/Es.net
>>130 つづき
性質
・集合の境界は閉である。
・集合の境界は補集合の境界に等しい： ∂S = ∂(Sc)。
これらのことから以下のようなことが従う。
・p が集合の境界点となる必要十分条件は、p の任意の近傍が少なくとも一つその集合の点を含みかつ少なくとも一つその集合の補集合の点を含むことである。
・集合が閉であることの必要十分条件は、その集合が自身の境界を包含することであり、開であることの必要十分条件はその集合が自身の境界と交わりを持たないことである。
・集合の閉包はその集合自身とその境界との和に等しい：Cl(S) = S ∪ ∂S。
・集合の境界が空であることの必要十分条件は、その集合が開かつ閉 (clopen) であることである。
・Rn における任意の閉集合は、適当な集合の境界になっている。
S の各点は内点であるか境界点であるかのいずれかである。また、S の各点は集積点であるか孤立点であるかのいずれかである。同様に、S の各境界点は集積点であるか孤立点であるかのいずれかである。Rnの部分集合の孤立点は常に境界点である。
つづく
138:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/03 21:35:57.77 fcJ2W/Es.net
>>131 つづき
境界の境界
如何なる集合 S についても ∂S ⊇ ∂∂S が成立する。ここで等号は S の境界が内点を持たないとき、かつそのときに限り成り立つ。
これは S が開または閉であるときにも正しい。任意の集合の境界が閉となることから、∂∂S = ∂∂∂S は如何なる集合 S についても成り立つ。したがって、境界をとる操作は弱い意味で冪等である。特に、集合の境界の境界はふつう空でない。
多様体や単体および単体的複体の境界に関する議論では、しばしば境界の境界はつねに空であるという主張を目にすることもあるだろう。
実際、特異ホモロジーの構成はこの事実に決定的に基づいている。この明らかな不整合に対する説明としては、この項目の主題となる位相的な境界と、多様体や単体的複体の境界とは少し異なる概念であるからということになる。
例えば閉円板をそれ自身位相空間とみなしたときの位相的な境界は空集合だが、円板自身を多様体と見なしたときの境界は円板自身の円周である。
(引用終り)
以上
139:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/03 21:39:37.82 fcJ2W/Es.net
>>131 補足
>・集合の境界は補集合の境界に等しい： ∂S = ∂(Sc)。
Qの境界がR。
故に、Qの補集合のR ＼ Qの境界も、R。
だが、Rは、全体集合でもある！（＾＾
140:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/03 22:51:08.14 fcJ2W/Es.net
>>124
甘えて悪いが、もう一つ二つ黄色いクスリ（あなたの見解の開陳で結構だが）を
処方してもらえるとありがたい（＾＾
１）
定理1.7 (422 に書いた定理)で、BfとR－Bfで、
前者Bfが無理数（R ＼ Q）を想定した集合で、後者R－Bfが有理数（Q）を想定した集合だ
もし、R－Bfが有理数（Q）のように、R中に稠密に分散していたら
例え、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるとして（実際Qがそうだが）も
補集合のBfは、ベールのカテゴリーで２類だが、それは内点を持たず、従って、Bfに区間(a, b)をとれば、そこにR－Bfが含まれる
（ちょうど、QとR ＼ Qとの関係に同じ）
つまり、Bf内には、定理1.7の結論のBfの点のみから成る区間(a, b)は取れないことになる
２）
上記とほぼ同じだが、従来のRuler Functionやトマエ関数とその類似の研究で、
”f(x) = 0 if x is irrational, f(x) = 1/q^2 if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0.”(n > 2)
のとき、nが大きくなると、ほとんどの
141:無理数で微分可能になるという。 ただ、リュービル数だかけが、リュービル数では微分不可能で残るという リュービル数もまた、R中で稠密だという で、当たり前だが、Ruler Functionは、Qでは不連続ゆえ、これら微分可能な点の集合は、内点を持ち得ない。（そして境界がRだろう） この事実と、定理1.7の証明での、内点を持つこととか、Bfの点のみから成る区間(a, b)が取れるということが、いかにも上記と不整合だと思う次第 （ある一箇所、区間(a, b)が取れるということは、それはどこにでも、いたるところ区間(a, b)が取れるということにもなるし・・） 上記の１）２）などが、自分の中ですっきり納得できない限り、定理1.7 は、手放しでは首肯できない なので、いま、いろいろ、先行研究との対比検討をしているところです なにか、ヒントなり、あなたの見解の開陳をしてもらえると、ありがたい（＾＾ なお、念押しだが、あなたは、定理1.7が成立すると思っているのですね？
142:１３２人目の素数さん
18/01/04 01:03:10.61 UP3dM11A.net
お前は教科書に普通に書いてあることがわかってないんだから
黙って教科書を勉強しろ
143:１３２人目の素数さん
18/01/04 07:41:28.80 SdDpJUKm.net
>>134
> 上記の１）２）などが、自分の中ですっきり納得できない限り、定理1.7 は、手放しでは首肯できない
> なので、いま、いろいろ、先行研究との対比検討をしているところです
それよりも証明を読めるように基礎から勉強した方が良いというのが私の意見です
> なにか、ヒントなり、あなたの見解の開陳をしてもらえると、ありがたい（＾＾
> なお、念押しだが、あなたは、定理1.7が成立すると思っているのですね？
見事な証明であるとあなたにわからないのが残念です
144:１３２人目の素数さん
18/01/04 07:43:40.04 SdDpJUKm.net
12に関してはすでに私も説明しましたから繰り返しません
また
証明を書いた人もそれぞれについてとても詳しい解説をつけてくれてますよ
145:１３２人目の素数さん
18/01/04 07:45:36.59 SdDpJUKm.net
数学的な指摘もせずにチャチャを入れるだけの無能な人もいるようですが
それは無視して基礎から勉強してみてください
146:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 07:55:47.26 OB3VBXEA.net
昨日のTVだが、「イップス」、スポーツ用語らしいが、精神的な原因が関係しているなら、スポーツ以外の分野でもあるかも・・
URLﾘﾝｸ(www.tbs.co.jp)
消えた天才 TBS 20180103
(抜粋)
水谷隼 が絶対に勝てないと思った 怪物Ｓ
卓球界でオリンピック史上初の男子メダリストとなった天才・水谷隼。
そんな水谷がかつて、「絶対に勝てない」と思った怪物卓球選手がいたという。
その人物は185ｃｍの身長で卓球選手とは思えない屈強な肉体の持ち主。
誰もが恐れる天才だったという。
さらに独自の技を次々に開発し、「卓球界のパイオニア」とも言われた。
しかし、ある時を境に、突然第一線の表舞台から姿を消したという…
怪物Ｓに降りかかったある“悲劇”とはいったい？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
イップス
(抜粋)
イップス (yips) は、精神的な原因などによりスポーツの動作に支障をきたし、突然自分の思い通りのプレー（動き）や意識が出来なくなる症状のことである。本来はゴルフの分野で用いられ始めた言葉だが、現在ではスポーツ全般で使われるようになっている。
目次 [非表示]
1 概説
2 治療
3 ゴルフ以外のスポーツでのイップス
4 イップスを扱った作品
5 脚注
6 外部リンク
治療
明確な治療法は無く、克服出来るかはその人間次第である。最終的に克服出来たとしてもイップス発症から数年・数十年経過しているケースも珍しくない。
よく行われる治療法としては、最初は原因を発見して失敗した場面を直視することから始まり、無意識に身体が拒否反応しているので小さい部分から徐々に成功体験させて自信を体感させる行為がある。
しかしこれは精神的に覚悟や開き直りを求める行為でもあるので新たに精神に負荷をかけてしまう恐れもある。また別に、単なるスランプや緊張からくるあがり、あるいは精神的な病気が原因ではなく、運動障害であるジストニアが疑われる場合には、職業性ジストニアの治療に準じた治療が少数の医療機関にて行われつつある。
147:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 08:06:13.49 OB3VBXEA.net
>>139 関連
URLﾘﾝｸ(www.counselingservice.jp)
やりたい事ができない 基礎講座 大谷 常緑 Counseling Service 20140919
(抜粋)
「やりたい事ができない！」
そんな行動をとる時はその結果で自分を責める気持ちを感じたくない時です。
自分が満足する結果ではないのではないか、と自信がない時です。意識していなくてもできない時は、強大な力を持つ無意識が行動を支配している時です。
結果に自信が無い時、多くの場合、高い完成度を求めています。完成度を高く設定する傾向にある人を、完璧主義者と言います。
完璧主義者は日常生活でも○か×の判断をする傾向にあり、不十分さを認めません。人間は、何かを認めたくない時、「自分はその認めたくない状態にある」と責めています。「不十分だと思っているのに、不十分さを感じる事なんかしたくない」と感じています。
完璧主義の下側には、不十分な自分が隠れているのです。
この問題から抜け出るには、出来ていない部分に着目するのではなく、出来ている部分に目を移す事、また、「どうせ嫌な気分を感じるのであれば、やった方がまし」と開き直ってみることです。
◎リクエストを頂きました。
とてもわかりやすく毎回楽しみにしています。
リクエストなのですが、私は、「やらなくてもいいこと」に労力を払ってしまいます。
最近はその傾向が酷くなってきて肝心なことが手につかなくなっています。
例えば、学校の勉強でわからないことを調べ始めたら永遠終わらなくて課題が仕上がらなくなっても、どんどんドツボに嵌って結局何一つわからなくなってしまったり、
気分転換に荷物の整理をはじめたら、最初整理しようと思ってた範囲を越えて家の隅々までひっくりかえしてしまいます。馬鹿なことをやってると思いながら止められません。
何かアドバイスがありましたら簡単でもいいのでお願いしたいです。
何かをやろうとしても、その途中でひっかかった何かに時間を費やしてしまって終わらなかったり、ここまでやろうと決めた範囲を超えてやってしまって終わらなかったり、あるいは、やらなければと思いつつも最初から関係のないことばかりをやって結局は手をつけられなくなってしまったり
ではなぜ、やらなければならない事を、しないような行動をとってしまうのでしょうか？
(引用終り)
148:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 08:08:30.13 OB3VBXEA.net
>>136-138
どうも。スレ主です。
了解。まあ、ゆっくりやりましょう（＾＾
細かいレスは、後ほど（＾＾
149:１３２人目の素数さん
18/01/04 08:57:00.76 h0lPBL80.net
おっちゃんです。
>無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能
について。概ねの証明という感じにはなるが、
殆ど大学1年レベルの数学によるこの流れの論法による証明は以前私がここに書いた。
この証明では、ベールの範疇定理は用いていない。だが、スレ主はその証明も読めない。
そうなると、スレ主は ε-δ や ε-N から始めろとなってしまう。
150:１３２人目の素数さん
18/01/04 09:11:59.45 h0lPBL80.net
ぶっちゃけ、
>無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能
という流れの証明にあたり、リウビル数にこだわっても、
その数論的な性質は全く用いていないから、それにこだわる意味は何もない。
151:１３２人目の素数さん
18/01/04 09:57:50.34 UI9gVYwB.net
>>142-143
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おめでとうございます！
今年もよろしくお願いいたします。（＾＾
152:１３２人目の素数さん
18/01/04 09:58:36.20 UI9gVYwB.net
＜引用＞
579 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/26(火) 20:15:47.76 ID:IBTJ7HPw [4/13]
>>577
>無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ
なるほど
それは興味深いですね
出典がありますか？ あれば読んでみたい
おっと、このスレには書かないで下さい。
このスレでアスキー文字制限で書かれた数学の証明は、
読みにくくてしかたないのでね（＾＾
580 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/26(火) 20:17:19.39 ID:IBTJ7HPw [5/13]
>>579 訂正
おっと、このスレには書かないで下さい。
↓
おっと、このスレに直に証明は書かないで下さい。
581 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/26(火) 20:23:06.49 ID:IBTJ7HPw [6/13]
>>579-580 補足
いまの定理の証明も、無理を言って、PDFにしてもらって、ダウンロードで読めるようにしてもらいました（下記URL）
URLﾘﾝｸ(www.axfc.net) 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明（>>513）
(引用終わり)
153:１３２人目の素数さん
18/01/04 10:00:20.33 h0lPBL80.net
実数直線R上におけるルベ－グ測度0の稠密な非可算集合として考えても結果は同じになる。
リウビル数全体の集合の性質に合致する。
154:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 10:00:47.47 UI9gVYwB.net
ああ、コテハンとトリップ抜けたね（＾＾
155:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 10:03:30.12 UI9gVYwB.net
>>146
リプシッツ連続な開区間（a, b）が取れると？
リウビル数の集合は、R中に稠密に存在するというけど？
（リウビル数では、リプシッツ連続は満たされない前提としてだが）
156:１３２人目の素数さん
18/01/04 10:13:05.80 h0lPBL80.net
>>145
そのサイトをクリックすると、
>2分以内にダウンロードしてください
とか、注意喚起として
>コンピュータウイルスによる被害が発生しています．必ずセキュリティソフトウェアを有効にし，
>信頼の出来ないファイルの実行は避けるよう十分注意頂きますようお願い致します．
と書いてあって、何やらウイルスによるセキュリティー上の問題が発生しているサイトのようだが。
157:１３２人目の素数さん
18/01/04 10:36:22.02 h0lPBL80.net
>>148
>リプシッツ連続な開区間（a, b）が取れると？
これはリウビル数の集合が持つ性質であるルベーグ測度が0の非可算稠密集合に反する。
a、b はどっちもリウビル数としているのだろう。通常のRの位相で考える。
リウビル数の全体に対して開区間 （a, b） が取れたら、リウビル数はRで稠密だから
（a, b） に対して a＜c＜d＜b なるリウビル数 c, dを取ると （a, b） の中に開区間 (c, d) が取れる。
同様な操作を行うことは無限回出来る。なので、リウビル数の全体のルベーグ測度は0より大きくなって、矛盾が生じる。
158:１３２人目の素数さん
18/01/04 10:39:42.08 h0lPBL80.net
>>148
>>150においても、やはり、リウビル数の数論的な性質は全く用いていない。
159:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 10:50:21.17 UI9gVYwB.net
>>145 補足
１．私は、このスレに書かれた証明は読まない主義。読みにくくてしようがないし、PDFなど公開資料があれば、それを読みたいのでね
２．今回も、PDFにしてもらってよかった。このスレに直書きでは、何スレにもわたって読めたものじゃない
３．素人証明に、うっかり乗らないというのも、私の主義でね
４．この定理1.7 (422 に書いた定理)の証明を書いた人の実力は認めるけれども
「無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けます」と
定理1.7 の系として
そして、この命題は、ネット検索ではまだ見つからないので、初出かもしれない
（系1.8の「無理数で可微分、有理数で不連続な関数は存在しない」は、既出だが）
ならば、ますます、うっかり乗れないと（すらーと読んで正しいと言ったとたんに、うっちゃりになりかねない）
５．なので、パブリックコメントを募集します。特に、大学教員レベルの情報（成立・不成立）があれば、ありがたい（＾＾
160:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 10:52:16.39 UI9gVYwB.net
>>149
PDFをダウンロードするだけなら、問題なし。他の操作は、しないこと。他の操作は保証の限りではない
161:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 10:54:00.03 UI9gVYwB.net
>>150-151
PDF（>>145の）を見ずに、論じているのか？（＾＾
162:１３２人目の素数さん
18/01/04 10:56:19.95 h0lPBL80.net
>>148
>>150の訂正：
(a, b) の中に開区間 (c, d) が取れる。 → （a, b） の中に閉区間 [c, d] が取れる。
163:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 10:56:35.67 UI9gVYwB.net
>>152 補足
証明についてでなくとも
「無理数で可微分、有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論」について
正しいかどうかと、既出か初出か
そういう情報を、希望します（＾＾
164:１３２人目の素数さん
18/01/04 11:02:40.25 h0lPBL80.net
>>154
ああ、何か危なっかしいサイトのようだから、ダウンロードは止めている。
>１．私は、このスレに書かれた証明は読まない主義。
あと、>>150(や>>155)位の証明は読めな。pdf の証明に比べたら相当短い証明だろう。
165:１３２人目の素数さん
18/01/04 11:20:40.00 h0lPBL80.net
>>156
多分既出だよ。
どこかの大学の数学科のテストやレポートの問題として出てもおかしくない命題の証明だろうし、
pdf の証明全体を大学一年レベルの数学による証明に置き換えた証明も出来るしな。
166:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 11:27:42.15 UI9gVYwB.net
>>157
>ああ、何か危なっかしいサイトのようだから、ダウンロードは止めている。
じゃ、抜粋下記な
前スレ 489より
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
”系1.8 有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”
(引用終わり)
167:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 11:28:24.60 UI9gVYwB.net
>>157
>あと、>>150(や>>155)位の証明は読めな。pdf の証明に比べたら相当短い証明だろう。
その程度は、証明というより、説明だろう。それ拒否したら、会話にならん
読まないのは、コテコテ証明だよ（＾＾
特に、本来なら、上付き添え字、下付き添え字になるところを、むりむりアスキーとか
分数で３行以上に書き分けるところを、むりむりアスキー １行とか
視認性が悪いから、下記ても十分チェックできず、あちこちにバグがある。なので、読む方はバグ取りしながら読むことになる
なんで、証明のバグ取りをしながら読む？ 公開PDFでバグ取り終わったテキストの証明を出せ！（＾＾
168:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 11:31:13.26 UI9gVYwB.net
>>158
>多分既出だよ。
>どこかの大学の数学科のテストやレポートの問題として出てもおかしくない命題の証明だろうし、
>pdf の証明全体を大学一年レベルの数学による証明に置き換えた証明も出来るしな。
そういうのは、基本命題とか基本定理とかでね
かならず、教科書にあるべきなんだよ
あるいは、論文とかで
かつ、応用範囲が広ければ、いろんなところで使われているはず
で、そうでないなら、
あやしい定理ってことだろ？
169:１３２人目の素数さん
18/01/04 12:01:53.31 h0lPBL80.net
>>159
系1.8 有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない
を否定したら、つまりいい換えれば
有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在する
としたら、定理の証明の中身はともかく、定理1.7 (422 に書いた定理)が否定されることになる。
だが、このように 系1.8 を否定したら矛盾が導かれる。だから、背理法により 系1.8 の否定は出来ない。
だから、命題の証明の中身はともかく、対偶を取って論理的に考えると、流れとしては
定理1.7 (422 に書いた定理)が肯定されて 系1.8 も肯定されることになる。
リプシッツ連続は杉浦 解析入門に書かれているようだから、大学1年で習うことがあるようだな。
170:１３２人目の素数さん
18/01/04 12:18:31.63 UP3dM11A.net
＞３．素人証明に、うっかり乗らないというのも、私の主義でね
一年生向け教科書にも乗らない主義？
171:１３２人目の素数さん
18/01/04 12:20:11.47 UP3dM11A.net
何をかっこつけてるのか？
お前は 勉 �
172:ｭ し な い 主 義 だろうが
173:１３２人目の素数さん
18/01/04 12:21:02.90 h0lPBL80.net
>かならず、教科書にあるべきなんだよ
そういう結論を全部書いてある教科書はない。
全部書こうとしても、数冊だけではそれらの中には書き切れない。
174:１３２人目の素数さん
18/01/04 12:23:58.52 UP3dM11A.net
バカは黙って勉強しろ
２ちゃんでかっこつけても全く進歩しないことはお前の4年間が証明しているではないか
教科書に普通に書いてることがわからないのにコピペも数学談義も無用と気付け
175:１３２人目の素数さん
18/01/04 12:29:55.45 UP3dM11A.net
教科書を勉強して「ここはこう思うがどうか？」とか「この問題が解けないので教えて欲しい」
とかなら意味がある。だが全く教科書を読んでもいないお前がコピペと数学談義しても何の意味も無い。
いつになったらそれに気付くのか？4年間も進歩ゼロなんだからそろそろ気付け。
176:１３２人目の素数さん
18/01/04 12:33:59.05 4V9t1bpU.net
834名無しさん＠お腹いっぱい。2018/01/03(水) 23:27:05.00ID:OwRfM25O
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
お母様。ぼくは高校の時そう1年か2年の始め宇宙が無から始まったと思っていました。
中学の時、あるところに行く道が幾通りかある時自分が選んだ道筋は後から見たら当然実現したことになってる。
と思った。で、宇宙が無から出来たらこの宇宙の法則では当然この宇宙が生まれこうなった。という理屈があるだろう。
と言う事で、これを解明する理論が万有理論である●●論なのだ。そしてその研究をやって来たのだ。で、これは
集合論では無限が実現出来れはその結果からさらに無限が生まれさらに・・・と続く。これは不完全性理論が成り立つ
理由であるが、宇宙膨張の理由だろう。集合論ではその要素である元はまず数えられる存在であり、まず 0 がある。
その集合である｛０｝とする。これを1と数える。それらの集合を｛０、｛０｝｝を2と数え又｛０、｛０｝｛０、｛０｝｝を3と数え・・・・。
こうして何も無いと言う概念の 0 から数の概念を生み出していく。これは集合論の数の創造だが。
数学をやった者なら酔っ払ってもわかるよな。
835名無しさん＠お腹いっぱい。2018/01/04(木) 00:07:18.97ID:nZUhCplw
しかし思うと確かゲーデルの不完全定理ではその体系が正しいとはその体系の内部では決定できない。
とか言うのもあって、バイトする暇もないくらいなんだが、酒は飲みたいのう。
177:１３２人目の素数さん
18/01/04 14:44:31.89 UP3dM11A.net
＞そうなると、スレ主は ε-δ や ε-N から始めろとなってしまう。
だから以前から繰り返し言ってきた
それは解析の根幹であり、それがわからないということは解析が全滅であるに等しいと
178:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 21:10:34.51 OB3VBXEA.net
>>162-169
おまいら、なにを言っているのか、支離滅裂だな～（＾＾
179:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 21:22:21.76 OB3VBXEA.net
>>165
>>かならず、教科書にあるべきなんだよ
>そういう結論を全部書いてある教科書はない。
>全部書こうとしても、数冊だけではそれらの中には書き切れない。
数学は体系を成しているものだから、大体基礎的な話（定理）などは、大定理の簡単な系として導かれるはず
定理1.7 (422 に書いた定理)も、本来そうあるべきだと思うよ
木に竹を接いだような話には、本来ならんだろうと言っているのだ
180:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 21:25:46.43 OB3VBXEA.net
学生：先生、こんな定理があります
教官：ほう、どうしたんだ？
学生：証明を読みました。正しいです
教官：それは、どの本に載っているのだ？
学生：５CHにありました
教官：・・・。・・・５CHでは引用文献として使えないよ（＾＾
181:１３２人目の素数さん
18/01/04 21:26:34.39 UP3dM11A.net
>>170
支離滅裂に読めるのはお前の国語力が足りないからだ
数学の前に国語を勉強せよ
182:１３２人目の素数さん
18/01/04 21:28:28.54 UP3dM11A.net
＞教官：・・・。・・・５CHでは引用文献として使えないよ（＾＾
誰が２ｃｈを引用すると？
お前は国語から
183:１３２人目の素数さん
18/01/04 21:29:12.67 UP3dM11A.net
スレ主 国語 国語
184:１３２人目の素数さん
18/01/04 21:32:02.30 RvWI02ev.net
＞教官：・・・。・・・５CHでは引用文献として使えないよ（＾＾
生徒 嘘を嘘と見抜ける人たちですから
185:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/04 21:41:34.99 OB3VBXEA.net
>>162
不連続と、各点でリプシッツ連続でないことと
この二つの区別ついているかい
ついているとして、「系1.8 有理数の点で不連続、無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」は、既存の論文ですでにある
が、系1.8の”リプシッツ連続でない版”で「有理数の点でリプシッツ連続でなく、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」は、見つからない
見つからない理由は、１）不成立だから、２）成立するがいままで知られていなかった
の２択しかないだろ？ （まあ、探し方が悪いというのもあるかも知れないが）
あんたら、完璧に証明したから２）だと。そう単純に、言って委員会？
この定理は、成り立つなら面白いと思うし、また、成り立つなら将来教科書に載ってもおかしくないと思うけどね～・・・？
おれは、もっと、この線を調べるよ
その過程で、成否もはっきりしてくるだろう
186:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/05 00:05:05.01 miqaDy4s.net
>>145 主義に反するが、おっちゃんのために、PDFから証明をアスキー化して、全文を貼るよ（＾＾
（文字化けと誤記はご容赦。読みにくいだろうが、そう思ったら右のURLのPDFを嫁め。（＾＾ URLﾘﾝｸ(www.axfc.net) 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明 ）
＜422 に書いた定理の証明＞
定義1.1 一般に, g : R → R とx ∈ R に対して,
lim sup y→x g(y) := inf δ>0 sup 0<｜y－x｜<δ g(y)
と定義される.
定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
・ 各Fiは内点を持たない,
・ S ⊆∪i Fi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書
くことにする.
定理1.3 (X, d) は空でない完備距離空間とする. 高々可算無限個のFi ⊆ X は,
・ 各Fiは閉集合,
・ X ⊆∪i Fi
を満たすとする. このとき, あるi に対して, Fiは内点を持つ. 証明はベールのカテゴリ定理から即
座に出る.
系1.4 高々可算無限個のFi ⊆ R は,
・ 各Fiは閉集合,
・ R ⊆∪i Fi
を満たすとする. このとき, あるi に対して, Fiは内点を持つ. 証明は前定理からすぐに従う.
補題1.5 f : R → R とx ∈ R は
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
を満たすとする. このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [x － 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)]が成り立つ.
つづく
187:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/05 00:05:36.46 miqaDy4s.net
>>178 つづき
証明
仮定により,
lim sup y→x ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N
を満たす正整数N が取れる.
lim sup y→x ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜= inf δ>0 sup 0<｜y－x｜<δ ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜
に注意して,
inf δ>0 sup 0<｜y－x｜<δ ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N
ということになるので, あるδ > 0 に対して
sup 0<｜y－x｜<δ ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N
である. 以下, δ > 1/M を満たす正整数M を1 つ取っておく. このとき,
∀y ∈ R [ ｜y － x｜ < 1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜] ・・・(1)
が成り立つことを示す. ｜y － x｜ < 1/M を満たすy ∈ R を任意に取る. もしy = x ならば, 明らか
に｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜ が成り立つ. 以下では, y ≠ x としてよい. よって,
0 < ｜y － x｜ < 1/M < δ
となるので, δの定義から,
｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N
となる. 特に, ｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜ となる. 以上より, (1) が成り立つ. 以上の準備のもとで,
題意を示す. y, z ∈ R であって
x － 1/M < y < x < z < x +1/M
を満たすものを任意に取る. このとき, (1) により
｜f(z) － f(y)｜ <= ｜f(z) － f(x)｜ + ｜f(x) － f(y)｜ <= N｜z － x｜ + N｜x － y｜ = N(z － y)
が成り立つ(絶対値が外れてN(z － y) になっているのは, y < x < z から出る). よって, 題意が成
り立つ.
つづく