17/12/28 16:47:03.94 XpoKjxLL.net
[続き]
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証明その２：
f は点 x で微分可能とする。ケース１,２に場合分けすることで、f が点 x で連続であることを導く。
ケース１： f は点 x で連続であると仮定する。よって、f は点 x で連続である。
ケース２： f は点 x で連続でないと仮定する。一方で、lim[y→x](f(y)－f(x))/(y―x) ＝ f'(x) が存在するのだったから、
lim[y→x](f(y)－f(x)) ＝ lim[y→x](f(y)－f(x))/(y－x) * (y－x) ＝ f'(x) * 0 ＝ 0 となる。
すなわち、lim[y→x] f(y)＝f(x) となる。よって、f は点 x で連続である。これは、
f が点 x で連続でないという仮定に矛盾する。矛盾した状態からはどんな条件も導けるので、
特に、「 f は点 x で連続である」という条件が導ける。
よって、いずれのケースにおいても、f は点 x で連続であることが言えた。
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上記の証明は、
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「 P → Q 」という形の命題を証明するのに必要なのは、
「 P を仮定すれば Q が導ける」ことを示すことだけである
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という原則に立ち返った証明である。ただし、各ケースの最中で矛盾が起きた場合には、
「矛盾した状態からは何でも帰結できるので、特に Q 自体を帰結できる」
という論法を用いて、「このケースでも Q が導ける」という捉え方をしている。
スレ主が「なんかヘン」と言っていた感覚は、実際にはこのような論法で解消可能なのである。
[続く]