240:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 15:04:36.22 2l42E8SE.net
>>224 つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.shimane-u.ac.jp)
中西敏浩のホームページへ
2015年12月28日お笑い日記追記
目次
● 自己紹介
名前 中西敏浩(なかにしとしひろ)
職種 島根大学大学院総合理工学研究科・数理科学領域・教授
専門 数学・複素解析学（とくにタイヒミュラー空間論)
● 研究業績（科学研究費補助金申請用）と履歴
● 講義ノートの案内
● 読書記録
● 写真集
● リンク
お便りは tosihiro@の後に math.shimane-u.ac.jp まで
(引用終り)
以上
241:１３２人目の素数さん
18/01/07 15:45:06.32 N8CS4cZU.net
＞”ε-δ論法”にコンプレックスのある方へ（＾＾
おまえやんｗ
242:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 16:42:46.93 2l42E8SE.net
わたしら、”ε-δ論法”なんか、超越してまんがな～（＾＾
”ε-δ論法”が、わたしを、超越しているかもしらんが～（＾＾
243:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 16:46:40.06 2l42E8SE.net
前スレより再録
376 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/21(木) 10:22:00.72 ID:xTe57EH6 [2/4]
>>371
>例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
これを踏まえて
１．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。
２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう
３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ。
既知・既存の定理であれば、既存の理論体系の中のどこに位置するのかの確認をすべき
４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。
であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。
５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
それ無くしては、その定理の応用もできまい。
また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。
（もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう）
(引用終り)
244:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 16:57:25.98 2l42E8SE.net
>>217 補足
>有理点が無い場合
>実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る曲線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない２次曲線も、実はいっぱい存在するのです。
トリビアだが、係数を無理数まで許せば、有理点を持たない直線（１次曲線）も、実はいっぱい存在する
例えば、y=ax で、aを無理数にすれば、良い！
（有理数p,qに対し、常にq≠ap （∵ aは無理数なので、a≠q/p ）（＾＾ ）
245:１３２人目の素数さん
18/01/07 17:03:21.48 sQeN1pyF.net
>>229
トリビアだがy=axは原点(0, 0)を通る
246:１３２人目の素数さん
18/01/07 17:10:04.00 WplCTiTS.net
おっちゃんです。
数学の定理はプロやシロート関係なく、発見されていること位認識せい。
247:１３２人目の素数さん
18/01/07 17:36:22.02 VTzP8LoB.net
>>230
笑
248:１３２人目の素数さん
18/01/07 17:38:25.30 VTzP8LoB.net
どうしてこうも簡単に間違えるんですかね
しかも自信満々に
249:１３２人目の素数さん
18/01/07 17:54:49.47 N8CS4cZU.net
バカ自慢したいんでしょう
250:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 18:14:22.19 2l42E8SE.net
>>230>>232-234
まあ、有理数点 p、q ≠ 0 とでもしますかね？（＾＾
251:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 18:15:25.68 2l42E8SE.net
>>231
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ああ、おっちゃん、シロートの新定理発見者やったね（＾＾
論文まっているよ～（＾＾
252:１３２人目の素数さん
18/01/07 18:22:11.66 VTzP8LoB.net
>>235
係数を無理数に拡大した時点で元の話題から完全に逸れてる
さらには小学生でも分かる自明な間違いを冒しているにも関わらず
自信満々にドヤ顔で！マークまで付けちゃってるところにスレ主の「どうしようもなさ」がヒシヒシと伝わってくる
253:１３２人目の素数さん
18/01/07 18:24:19.00 WplCTiTS.net
>>236
いっておくけど、系 1.8 の結果は
有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
まで拡張出来る。
254:１３２人目の素数さん
18/01/07 18:32:13.19 WplCTiTS.net
>>236
しかし、
>有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
のfの定義域を閉区間にすると成り立たない。
ま、つまり、fの定義域がRであれば、
>有理数の点で不連続, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R は存在しない
どころか
>有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
までいえる。
255:１３２人目の素数さん
18/01/07 18:44:29.65 WplCTiTS.net
じゃ、おっちゃん寝る。
256:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 19:30:16.25 2l42E8SE.net
>>237
>係数を無理数に拡大した時点で元の話題から完全に逸れてる
原点を通らない直線なら、トリビアだが、例えば、y=ax+b で、aを有理数,bを無理数にすれば、良い！ドヤ！（＾＾
257:１３２人目の素数さん
18/01/07 19:46:58.28 VTzP8LoB.net
>>241
日本語通じないのか？
258:１３２人目の素数さん
18/01/07 19:49:43.98 VTzP8LoB.net
キミ、定数項bは係数ではないと思ってる？
259:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 20:34:30.47 2l42E8SE.net
>>242-243
係数が有理数の一次関数で、有理点を通らない関数は存在しない！！
それが大前提・・・だよ？ だろ？ 当然、係数の範囲を拡張しないと
260:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 20:46:08.89 2l42E8SE.net
>>238
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>いっておくけど、系 1.8 の結果は
>有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
>まで拡張出来る。
ああ、下記だな”g fails to satisfy・・even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”＆
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
繰返すが、
”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”
だから（特に後者Dini微分）、どこかの無理数の点で一様連続も破綻するだろうな
（>>40より）URLﾘﾝｸ(mathforum.org)
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points.
In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
（>>41より）
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my
261: note in item [15] below. (引用終り)
262:１３２人目の素数さん
18/01/07 20:55:58.03 VTzP8LoB.net
>>229
> トリビアだが、係数を無理数まで許せば、有理点を持たない直線（１次曲線）も、実はいっぱい存在する
> 例えば、y=ax で、aを無理数にすれば、良い！
（有理数p,qに対し、常にq≠ap （∵ aは無理数なので、a≠q/p ）（＾＾ ）
君の>>229の「実はいっぱい存在する」というドヤ発言に対して
>>237
>係数を無理数に拡大した時点で元の話題から完全に逸れてる
とコメントしているのであって
>>241
> 原点を通らない直線なら、トリビアだが、例えば、y=ax+b で、aを有理数,bを無理数にすれば、良い！ドヤ！（＾＾
>>247
> 係数が有理数の一次関数で、有理点を通らない関数は存在しない！！
> それが大前提・・・だよ？ だろ？ 当然、係数の範囲を拡張しないと
では支離滅裂だろうがよ
「実はいっぱい存在する」が全員の大前提ならば
「実は」なんて勿体ぶった言い方にはならんだろうが。
大丈夫かキミは
263:１３２人目の素数さん
18/01/07 20:56:58.68 VTzP8LoB.net
頭イカれてるぞここのスレ主は
みんな分かってここにいるのか？
264:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 21:06:35.79 2l42E8SE.net
>>239
>しかし、
>>有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
>のfの定義域を閉区間にすると成り立たない。
そんなことはないだろう
the Ruler Functionとかトマエ関数の変形版は
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
で、閉区間[0,1]で論じれば、あとは各整数区間[n,n+1](nは整数)
で同じ繰り返しだよ（例えば下記）
URLﾘﾝｸ(www.desmos.com)
トマエ関数 - Desmos
265:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 21:08:05.07 2l42E8SE.net
>>246-247
最初から、係数は無理数まで拡張しているよ
266:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 21:09:07.87 2l42E8SE.net
最初から、一貫して、係数は無理数まで拡張している
267:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 21:15:06.29 2l42E8SE.net
係数や解の範囲を、どう定めたら（定義したら）、面白い・良い結果が得られるか？
それは、問題ごとに考えるべし
範囲を複素数にとったり
代数的整数に取ることもあるだろう
二次式なら、有理数係数で良いが
一次式なら、有理数係数では足りないってことだ
268:１３２人目の素数さん
18/01/07 21:28:58.73 VTzP8LoB.net
>>251
> 係数や解の範囲を、どう定めたら（定義したら）、面白い・良い結果が得られるか？
> それは、問題ごとに考えるべし
一次式の係数を無理数にとったら値が有理数にならないことがある、ということのどこが面白いの？
肝心の>>237のレスとは噛み合わないままだし、キミは本当に頭大丈夫なヒト？
>>237
>係数を無理数に拡大した時点で元の話題から完全に逸れてる
269:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 22:39:08.33 2l42E8SE.net
>>252
>一次式の係数を無理数にとったら値が有理数にならないことがある、ということのどこが面白いの？
数理女子(>>217)にならって言えば
"有理点が無い場合
実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る直線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない直線（１次関数）も、実はいっぱい存在するのです。"
ってこと
なお、下記「この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された」みたいな話は、数学では至る所ある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ファルティングスの定理
(抜粋)
数論では、モーデル予想(Mordell conjecture)は、Mordell (1922) で提出された予想で、有理数体 Q 上に定義された 1 よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の有理点しか持たないであろうという予想である。
後日、この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された。この予想は Gerd Faltings (1983) により証明されたので、ファルティングスの定理(Faltings' theorem)として知られている。
目次
1 背景
2 証明
3 結論
4 一般化
背景
C を Q 上の種数 g の非特異代数曲線とすると、C の有理点の集合は次のように決定することができる。
g = 0 の場合：全く点が存在しないか、もしくは無限個： C は円錐の断面（英語版）である。
g = 1 の場合：全く点が存在しないか、もしくは C が楕円曲線で、有理点が有限生成アーベル群である。（モーデル定理(Mordell's Theorem)は、後日、モーデル・ヴェイユの定理(Mordell?Weil theorem)へ一般化された。さらにメイザーの捩れ定理[1]は捩れ部分群の構造を制限している。）
g > 1 の場合：モーデル予想、�
270:ｻ在はファルティングスの定理である。C は有限個の有理点しか持たない。 つづく
271:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/07 22:40:03.16 2l42E8SE.net
>253 つづき
証明
ファルティングスの元々の証明は、テイト予想の既知の場合へ帰着させることと、ネロンモデルの理論を含む代数幾何学の多くのツールを使う方法であった。ディオファントス近似を基礎とする全く異なる証明は、ポール・ヴォイタ（英語版）(Paul Vojta)により得られている。さらにヴォイタの証明の初等的な証明はエンリコ・ボンビエリ(Enrico Bombieri)が与えた。
一般化
モーデル・ヴェイユの定理により、ファルテングスの定理はアーベル多様体 A の有限生成部分群 Γ を持つ曲線 C の交点理論についてのステートメントとして再定式化することができる。
C を A の任意の部分多様体に置き換え、Γ を任意の A の有限ランクの部分群へ置き換えることで、モーデル・ラング予想（英語版）(Mordell?Lang conjecture)[2]を証明することになる。
ファルテングスの定理の別の項次元への一般化は、ラング・ボンビエリ予想（英語版）(Bombieri?Lang conjecture)であり、X が数体 k 上の準標準多様体（英語版）(pseudo-canonical variety)（すなわち、一般型の多様体）であれば、X(k) は X でザリスキー稠密ではない。さらに一般的な予想がポール・ヴォイタ（英語版）(Paul Vojta)により提示されている。
函数体のモーデル予想は、Manin (1963) と Grauert (1965) により証明された。Coleman (1990) はマーニンの証明のギャップを見つけ修正した。
(引用終り)
272:１３２人目の素数さん
18/01/07 22:59:17.61 abwOwMGc.net
スレ主へ
実力が伴って無いのに色々なトピックに手をだすのはあまり良くない。まずは落ち着いて微積分と線形代数を理解するところから始めるべき。
273:１３２人目の素数さん
18/01/07 23:24:26.42 VTzP8LoB.net
> 実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る直線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない直線（１次関数）も、実はいっぱい存在するのです。"
> ってこと
だーかーらー、「気がしてしまう」のは係数がQだからでしょうが。
キミの例のように係数を無理数にしてしまったら不思議でもなんでもないだろ？
どこまで馬鹿なんだよまったく
>>253
> なお、下記「この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された」みたいな話は、数学では至る所ある
話をごっちゃにすな阿呆
お前の無理数の例は一般化になっとらんわ
274:１３２人目の素数さん
18/01/07 23:25:29.32 VTzP8LoB.net
アホくさ
275:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 07:51:44.95 KgoytC9i.net
>>255-257
(>>217)
URLﾘﾝｸ(www.suri-joshi.jp)
２次曲線の有理点 数理女子さん （多分2017）
で、冒頭の節は
「2次曲線とは一般的な方程式で
f(x,y)=a1x^2+a2xy+a3y^2+a4x+a5y+a6=0,(a1,・・・,a6∈R)
という形で表される曲線です。」
と始まっている
で、途中から
「以下では２次曲線がQ上定義された場合、すなわち a, b, c∈Qの場合のみ考えます。」
と変わった
だから、もともとは、(a1,・・・,a6∈R)だったでしょ
276:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 08:20:11.67 KgoytC9i.net
>>255
"実力が伴って無い"は、全く正しい（＾＾
が、URLﾘﾝｸ(www.axfc.net) 「定理1.7 (422 に書いた定理)」（>>145）とその証明不成立を主張したのは
私スレ主と、前スレで
401 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/12/22(金) 13:35:59.80 ID:zkh22JUH [1/2]
どっちもどっち
ID:KNjgsEZnはただの基地外
(引用終り)
と言った人の二人だけ
（>>180-183）の「定理1.7 (422 に書いた定理)」のどこがまずいかというと、
Bf自身と、Bfを被覆するBN,Mとの区別がついていないってことだ
Bfを被覆するBN,Mについて論じて、それが、即Bf自身についても成り立つと思ってしまった
この場合はそうじゃない。
補集合 R－Bf が、有理数Qのように稠密分散されている場合は、Bf自身も内点を持たないし開区間(a, b)など取れない（言われて見れば当たり前）
他の理論の被覆と混同したん
277:だろう 集合の被覆では、被覆する集合と被覆される集合との関係は、他の理論の被覆とは違う（>>212） ただ、間違いは間違いだから、そこははっきりさせないと数学じゃないが この証明を書いた人は、おれより大分レベル上で、実力あるよ また、証明は天才大数学者でも間違うことがあるから、ドンマイだ >色々なトピックに手をだすのはあまり良くない ここは、”雑談スレ”という定義だよ
278:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 09:22:06.80 KgoytC9i.net
”実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る直線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。
しかし、有理点を持たない直線（１次関数）も、実はいっぱい存在するのです。"
なんで、不思議じゃないのかね？
有理点が、稠密に、びっしりと詰まっているんだよ？
279:１３２人目の素数さん
18/01/08 10:10:05.42 MoNlXTFq.net
母なる科学の懐に
我ら人の子の喜びはある
科学を愛せよ
科学に生きる人の子ら理科に感謝せよ
美麗な科学を
偉大な科学を
科学をほめよ
讃えよ理科を
我ら人の子の
我ら人の子の
科学をほめよ
ほめよ讃えよ
母なる科学を
母なる科学を
讃えよ
ほめよ
讃えよ理科を
母なる科学を ああ
讃えよ科学を
280:１３２人目の素数さん
18/01/08 10:26:40.86 txpZHc5a.net
>>260
アホだろ
281:１３２人目の素数さん
18/01/08 10:39:01.11 bY6nKX5P.net
要するにスレ主は基礎がわかってないんだよ
基礎もわからず数学板にのさばってるのをアホと言えばアホだがね
282:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 11:39:17.26 KgoytC9i.net
>>262
ちがうよ
アホバカだ
アホ＆バカです（＾＾
283:１３２人目の素数さん
18/01/08 12:01:02.36 bY6nKX5P.net
ならば黙って勉強しろ
スレの削除依頼もな
284:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 13:05:56.64 KgoytC9i.net
ごうろうさん（＾＾
285:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 16:28:25.09 KgoytC9i.net
>>259 追加
追加を書いておく
「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」（>>184）
このような”f : R → R は存在しない”という理由は、
無理数側にあって、 無理数側に微分不可のみならず、>>245にあるように
”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”
なる集合Eがあって、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”となってしまうこと
だから、微分不可の集合は、「高々可算ではおさまらず、非可算濃度になる」と。それが”系1.8 の関数f : R → Rが存在しない”理由なのだ（決して”開区間(a, b)”が存在するからではない ）
つづく
286:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 16:30:21.37 KgoytC9i.net
>>267 つづき
だから、（>>180）
「定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」
で、有理数Qを想定して、仮定の”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”としたところは、うなづけるが
結論は、（>>245より）集合E：”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”
が出来て、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”を、導くべしってことじゃないかな？
だから、証明の大きな方向が間違っている。
「ある開区間の上でリプシッツ連続である」を導くのではなく
「R－Bfは、非可算集合（co-meager in R (i.e. the complement of a first category set)）を含む」を証明すべきだと
例えば、（>>90より）下記のProposition 3.1.の証明の方向を目指すべき
URLﾘﾝｸ(kbeanland.files.wordpress.com)
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
(抜粋)
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals.
Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.
(引用終り)
つづく
287:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 16:48:13.57 KgoytC9i.net
>>268 つづき
だから、定理1.7は、二つに分けて
１．R－Bfが稠密でなく、Bfがある開区間(a, b) を含む場合
２．R－Bfが稠密で、Bfが全く開区間(a, b) を含まない場合
とすべき
１．の場合、”f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”は自明。ほとんど、証明の必要もない
２．の場合、「非可算無限の集合E：”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、存在することになるので、そのようなｆは存在しえない」のような方向を目指すべき
２．の場合をさらに細分化する（>>194を一部修正）
R－Bf がR中で稠密な場合を更に、４つに細分する
ａ）R－Bfが不連続、Bfが可微分（これが系1.8に当たる）
ｂ）R－Bfが不連続、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
ｃ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが可微分
ｄ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
（注＊）一般のリプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞を満たすこと、一般の不リプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜＝ +∞を満たすこと）
系1.8は、定理1.7中の上記ａ）の場合。ｂ）は下記。よって、ａ）ｂ）のみが、既存の別証明がある＊）。しかし、ｃ）ｄ）の２ケースは、既存の証明は見つかっていない
＊）ｂ）は、（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”が成り立つことが分っている
繰返すが、ｃ）ｄ）の２ケースで、有理数Qを想定して、R－Bf がR中で稠密かつ可算濃度の集合の場合に、ケースｃ）ｄ）のような関数f : R → Rが存在するか否か
そこが、まだ不明。
以上
288:１３２人目の素数さん
18/01/08 17:44:21.98 8Ag0p06c.net
おっちゃんです。
自説にこだわってばかりでは意味ない。
間違いの連発を繰り返すだけ。
289:１３２人目の素数さん
18/01/08 17:45:37.92 8Ag0p06c.net
じゃ、おっちゃん寝る。
290:１３２人目の素数さん
18/01/08 17:52:27.37 8Ag0p06c.net
>271に語呂を付けて書こうとしたがすぐに思い付かなかった。
それじゃ、おっちゃん寝る。
291:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 18:11:53.81 KgoytC9i.net
>>270-272
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
>自説にこだわってばかりでは意味ない。
>間違いの連発を繰り返すだけ。
おっちゃんらしいな
おれは、極力主張の裏付け文献を付けているので、ほとんど自説ではない
間違いは連発したが、
URLﾘﾝｸ(www.axfc.net) 「定理1.7 (422 に書いた定理)」（>>145）とその証明不成立の主張だけは、間違いなかったろ？
292:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 18:23:03.57 KgoytC9i.net
スレチだが、豊島将之八段が、第1局勝利
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
久保利明王将vs豊島将之八段 第67期王将戦第1局二日目ハイライト 元奨励会員アユムの将棋実況 2018/01/07
293:１３２人目の素数さん
18/01/08 18:34:04.49 P5ysLR3O.net
>>273
> URLﾘﾝｸ(www.axfc.net) 「定理1.7 (422 に書いた定理)」（>>145）とその証明不成立の主張だけは、間違いなかったろ？
間違いですよ
294:１３２人目の素数さん
18/01/08 18:59:37.48 9p2nFd2N.net
＞定義1.2 (X,O) は位相空間とする.
これがなんか怪しい
295:１３２人目の素数さん
18/01/08 19:11:40.74 9p2nFd2N.net
Ｘを定義していない
296:１３２人目の素数さん
18/01/08 19:12:07.62 bY6nKX5P.net
εδを理解せざれば自ずと解析は全滅
解析が全滅なれば自ずと位相は全滅
297:
18/01/08 19:22:20.91 cACzgBBc.net
>>274
うーん、久保王将は地元（に近い）なので、谷川九段とともに応援しているのです
298:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 21:10:10.29 KgoytC9i.net
>>269 追加
突然の引用だが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
不連続性の分類
(抜粋)
ある関数がその定義域内のある点で連続でないとき、その関数は不連続性 (discontinuity) を有する。関数の不連続点全体の成す集合は離散集合の場合もあるし、稠密集合の場合もある。場合によっては定義域全体と同じとなるかもしれない。
本項目では、最も単純な実一変数で実数を値にとる函数の場合における不連続性の分類を述べる。
不連続性の分類
１．可除不連続点: L? と L+ が有限確定（存在して有限）で相等しいが f(x0) ≠ L であるとき、f(x) は x = x0 に除去可能な不連続点 (removable discontinuity) を持つという。f(x0) の値を変更して「x = x0 においても連続であるようにする」ことができるという意味でこの不連続性は除きうる。
関数の不連続点の集合
・函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。
・単
299:調関数の不連続点は高々可算である。これをフローダの定理（英語版）という。 ・トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。 ・ディリクレ函数として知られる、有理数全体の集合の指示函数は至る所不連続である。 (引用終り) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E7%A4%BA%E9%96%A2%E6%95%B0 指示関数 (抜粋) 数学において指示関数（しじかんすう、英: indicator function）、集合の定義関数[1]、特性関数（とくせいかんすう、英: characteristic function）は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である。 (引用終り) つづく
300:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 21:10:58.54 KgoytC9i.net
>>280 つづき
ところで、下記は、指示関数そのものではないが、R中の部分集合Bfとその補集合R－Bfに分けて、関数値を決めていると考えることができる
(>>268)
URLﾘﾝｸ(kbeanland.files.wordpress.com)
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
の記載より(抜粋)
2. MODIFIED THOMAE FUNCTION.
Let (ai) be a sequence of reals decreasing to zero. Define the modified Thomae
function with respect to (ai) as follows:
T(ai)(x)
= 0 if x ∈ R ＼ Q,
= an if x = m/n where m and n are coprime,
= 1 if x = 0.
Since limn an = 0, T(an) is continuous on the irrationals. The faster the sequence (ai)
tends to zero, the larger the set of irrationals on which T(ai) will be differentiable.
3. A DENSE SET. While attempting to prove that T(1/n^2) is differentiable on the irrationals,
we discovered that quite the opposite is actually true. In fact, as the following
proposition indicates, functions that are zero on the irrationals and positive on the rationals
will always be non-differentiable on a rather large set.
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals.
Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.
(引用終り)
つづく
301:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 21:12:26.56 KgoytC9i.net
>>281 つづき
この”function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. ”で考えてみると
「0 on the irrationals」の部分は、不変というか動かせない。
動かせるのは、「positive on the rationals」の方のみで、「= an if x = m/n where m and n are coprime,」の部分のみ。
でさらに考えてみると、
「= an if x = m/n where m and n are coprime,」で、an：positive or an=0 の二択問題。(一般性を失わず負数は除外するとして)
an=0の場合、この点（有理点）では連続になる。
が、an：positiveの場合、この点（有理点）では不連続であって、それ以外の選択肢例えば、「連続であるがリプシッツ連続ではない」ということは、あり得ない
繰返すが、Proposition 3.1. のような、「a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. 」という規定では、
an：positive or an=0 の二択で、それぞれ不連続か連続かの二択で、それ以外の選択肢は、あり得ない
ところで、上記で、T(ai)(x) = F(x) if x ∈ R ＼ Q において、ここに、F(x)が解析関数なり、微分可能関数を取ったとしよう
そのときは、
=F(x)＋ an if x = m/n where m and n are coprime,
=F(x)＋ 1 if x = 0.
と考えれば、いままでの議論がそのまま踏襲できる。（つまり、"F(x)＝0 if x ∈ R ＼ Q "の場合だけで、 微分や連続についての議論は尽くされていることになる）
（なお、このような、有理数と無理数とに分けて、それぞれ異なる方式で値を決める関数は、上記、”不連続性の分類（wikipedia）”の「可除不連続点」（除きうる不連続点）しかなりえない）
なので、結局、ｃ）ｄ）の２ケースのR－Bfが”一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）”の場合は、考える余地がないように思う
以上
302:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 21:25:45.31 KgoytC9i.net
>>279
C++さん、どうも。スレ主です。
久保王将は、加古川でしたね
年末のNHKラジオ（全国放送？）で、聞きましたよ
（下記youtube）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
久保利明
(抜粋)
久保 利明（くぼ としあき、1975年8月27日 - ）は、将棋棋士。棋士番号は207。淡路仁茂九段門下。兵庫県加古川市出身。県立加古川南高校中退[1]。棋王と王将のタイトルを獲得。竜王戦1組通算5期、名人戦A級通算9期。日本将棋連盟棋士会副会長（2015年6月 - ）。
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
2017年11月11日放送 NHKラジオ第1「かんさい土曜ほっとタイム」ほっと人物ファイル 将棋棋士 久保利明
303:１３２人目の素数さん
18/01/08 21:31:02.09 wOk7ob+W.net
>>268
>だから、証明の大きな方向が間違っている。
間違ってません
B_N,Mについて言うだけで十分ですよ？
304:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/08 21:31:33.67 KgoytC9i.net
>>276-277
"定義1.2 (X,O) は位相空間とする."の部分は、なにかのテキストから引いていると思いました。（それを、いじる必要もないだろうし）
で、Xとしては、この「定理1.7 (422 に書いた定理)」では、R及びその部分集合のことでしょう
位相Oも、この場合、通常のアルキメデス距離から決まる位相でいいんでしょう
305:１３２人目の素数さん
18/01/08 23:47:42.05 wOk7ob+W.net
>>276
？
306:１３２人目の素数さん
18/01/09 02:01:21.27 yFIFej7I.net
>>285
Ｘはある空でない集合として固定されてなければならないはず
307:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 07:12:23.59 Xw3gWI4S.net
>>278
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>Ｘはある空でない集合として固定されてなければならないはず
うーんと、下記で
・定義1.2 (X,O) は、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の定義のために使った
・定理1.7で、”もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”とあるので、X＝R、位相Oは通常のアルキメデス距離から決まる位相と解せられる
・この後、”証明 仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR－Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1) ”としている
・なので、この証明中では、”X＝R、位相Oは通常のアルキメデス距離から決まる位相”で、完結していると思いますが。
（引用）
(>>178)
定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
・ 各Fiは内点を持たない,
・ S ⊆∪i Fi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書
くことにする.
(>>180)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
(>>181)
証明
仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR－Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1)
(引用終り)
以上
308:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 07:32:41.21 Xw3gWI4S.net
>>284
>B_N,Mについて言うだけで十分ですよ？
不十分でしょ？
R－Bf側の検討が是非必要でしょう？
R－Bfが、QのようにR中に稠密分散しているとき、Bfは決して、開区間(a, b) を持つことはありません
Bfの被覆空間として、B_N,Mを作って、この中に開区間(a, b) を作った
まあ、この論理を認めるとして
それなら、「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R 」（>>184）で
その証明中の
R － Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf
R － Bf ⊆ Q = ∪p ∈Q ｛p｝ ・・・(1)
で、同じように、Bf(無理数全体)の被覆空間として、B_N,Mを作って、この中に開区間(a, b) を作れば良い
この論理を認めるなら、矛盾は導けない
309:１３２人目の素数さん
18/01/09 07:36:50.21 2VVPqXn0.net
>>289
>不十分でしょ？
証明を読みましょう
310:１３２人目の素数さん
18/01/09 08:57:03.64 7+QSYxb9.net
>>288
＞・定義1.2 (X,O) は、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の定義のために使った
定義になっていないと思われる。「もしかするとこういうＳを含むＸがあるかもよ」と言っている以上の意味を持たない。
311:１３２人目の素数さん
18/01/09 09:00:42.34 2VVPqXn0.net
>>291
ぷ
312:１３２人目の素数さん
18/01/09 09:14:17.55 ebIjgFuJ.net
おっちゃんです。
プ君はスレ主かい？ それとも別人かい？
まあ、何れにしろスレ主の実力からすると ε-N や ε-δ からなんだが。
313:１３２人目の素数さん
18/01/09 09:14:42.71 7+QSYxb9.net
>>292
ぷ
314:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 09:33:47.36 zTuDuk+z.net
>>293
おっちゃん、どうも、スレ主です。
プ君二人、ID:2VVPqXn0 さんと、ID:7+QSYxb9 さんと
別人ですよ
ID:2VVPqXn0 さんが、旧来の「ぷふ」さんで、
ID:7+QSYxb9 さんは、>>276 で、”定義1.2 (X,O) は位相空間とする”に対し、「これがなんか怪しい」と書いた人だろう
315:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 09:35:50.07 zTuDuk+z.net
>>293
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>まあ、何れにしろスレ主の実力からすると ε-N や ε-δ からなんだが。
ああ、おっちゃんは偉いね～
素人ながら、新定理を証明して、論文を投稿するんだって？（＾＾
実現したら、実力を認めてやるよ（＾＾
しっかり、論文をしあげてくれ～！
316:１３２人目の素数さん
18/01/09 09:47:01.77 ebIjgFuJ.net
>>296
>実現したら、実力を認めてやるよ（＾＾
>しっかり、論文をしあげてくれ～！
おめーにいわれる筋合いはないw
317:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 10:10:47.09 zTuDuk+z.net
>>291
>＞・定義1.2 (X,O) は、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の定義のために使った
>定義になっていないと思われる。「もしかするとこういうＳを含むＸがあるかもよ」と言っている以上の意味を持たない。
いやいや
そもそも、定義とは？
まあ、平たく言えば、繰り返し使われる概念を、ある言葉や記号に置き換えて
表現を簡素にするために、用いられるもの
とでもしますか？
で、
（>>178より）
定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
・ 各Fiは内点を持たない,
・ S ⊆∪i Fi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書
くことにする.
(引用終わり)
”「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする”で
直前４行の表現を、一言にまとめたわけだ
＜逐条解説＞
(いまの問題では）
X=R,
O：通常の距離空間の位相
閉集合：閉区間（内点を持つ）又は１点（内点を持たない）
高々可算和：１個から加算無限までの和
例
１点ａ：１点（内点を持たない）で被覆できる
Q(有理数)：Q = ∪p ∈Q ｛p｝ ・・・(1)（詳細>>184の通り）
(終わり)
「もしかするとこういうＳを含むＸがあるかもよ」でなく・・、
「こういうSがあって、それを定義して、以下”ｘｙｚ・・”と表現することにして、証明を簡潔にしますよ」ということでしょう
318:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 10:11:40.02 zTuDuk+z.net
>>297
はいはい
がんばって～（＾＾
319:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 10:15:25.26 zTuDuk+z.net
>>290
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
この人は、レベル高いからな～
いろいろ教えてもらおう
いま職場なので、帰ってからね（＾＾
320:１３２人目の素数さん
18/01/09 10:15:52.46 ebIjgFuJ.net
>>299
記念カキコとして、ヘーヘー。
321:１３２人目の素数さん
18/01/09 10:17:04.79 ebIjgFuJ.net
あっ、記念カキコ失敗した。
322:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 10:33:27.68 zTuDuk+z.net
余談だが
Ruler Function とか、Thomae functionとか、その変形関数は
奥が深くて、いろんな分野と関連している
例えば、位相、連続、リプシッツ、微分、Dini微分、極限、稠密、ハウスドルフ、ルベーグ測度、リュービル数、Diophantine approximation ・・
だれか、学部４年の卒業研究のテーマにして、まとめPDFを作って公開してくれると助かるけどね（＾＾
2018年のその時点までの研究をまとめてもらえると（そのときは、「ここにアップした」と知らせてくれ）
ひょっとして、（>>180）”定理1.7 (422 に書いた定理)”もどきの、新定理なり、あるいは既存定理の別証明が
できる可能性もあるよ
323:１３２人目の素数さん
18/01/09 17:19:34.55 pT3K4EEF.net
>>298
＞そもそも、定義とは？
＞まあ、平たく言えば、繰り返し使われる概念を、ある言葉や記号に置き換えて
＞表現を簡素にするために、用いられるもの
＞とでもしますか？
よく誤解されるが、Ｃ言語の#define Ａ Ｂは「ＡをＢと定義する」じゃなくて、
「ＡをＢと対応させるマクロを定義する」なんだよね。
324:
18/01/09 18:32:30.88 qht9c6IE.net
>>304
「A を B と書き換える」というのが正確なところ
325:１３２人目の素数さん
18/01/09 19:46:04.18 iQNHclg3.net
＞この人は、レベル高いからな～
バカがバレないよう「ぷ」しか言わないぷをどうやったらそう認識できるのやら
バカの考えはわからん
326:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 20:25:37.09 Xw3gWI4S.net
>>304-305
ああ、そうなんか！（＾＾
327:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 20:27:40.10 Xw3gWI4S.net
>>306
「ぷふ」さんは、時枝不成立を見抜いたし
また、今回のRuler Function とか、Thomae functionとかでも、いろいろ教えてくれたからな～（＾＾
328:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 20:39:51.28 Xw3gWI4S.net
>>307 補足
定義で、こんなのがヒットしたな～（＾＾
数学もレベルが上がると、まったく新概念を定義したり、従来の定義を改良・拡張して、新理論を作ったりしますねどね・・（＾＾
URLﾘﾝｸ(trenabi.seesaa.net)
数学：中学2年生、定義と定理の違いについての教え方のコツ なるほど！塾講師が教える教え方のコツ 2013年12月23日
(抜粋)
＜数学：中学2年生、定義と定理の違いについての教え方のコツ＞
本日は、数学：中学2年生、定義と定理の違いについての教え方のコツについて書いていきます。
丸暗記すれば、定義と定理の違いについて触れなくてすみますが、頭の良い生徒ほど「定義」と「定理」の違いについて気になる傾向があります。
では、その違いをどう教えたらよいのか？
私は、このように教えています。
数学の教え方のコツ！
・「定義」：辞書としての意味。
・「定理」：性質・その図形の特徴・個性・キャラクター。
特に、定義の意味を重要視して教えています。
定義は、簡単に言えば辞書に載っているような説明。
定理は、その辞書の言葉を噛み砕いて説明しているもの。
よって、定義だけ覚えておいて、それ以外の説明が出てくればそれは定理だと生徒に認識させています。
また、性質というフレーズが出てくれば、定理で確定。とも教えています。
定義と定理の違いを理解させなければならないのが難しいところですねあせあせ（飛び散る汗）
この説明で、私が教えている生徒は定義と定理の違いについてなんとなくではありますが理解しています。
＜以上、数学：中学2年生、定義と定理の違いについての教え方のコツでした。
中学2年生の数学の教え方のコツについて質問・疑問がありましたら、コメントお待ちしております。＞
(引用終り)
329:１３２人目の素数さん
18/01/09 20:56:50.05 2VVPqXn0.net
>>306
ぷ
330:１３２人目の素数さん
18/01/09 20:58:12.88 2VVPqXn0.net
>>291
Xを定義しようとしているわけでは無いということを認識してないのが致命傷
331:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 21:01:39.68 Xw3gWI4S.net
>>289 自己レス
R－Bf側の検討が是非必要と思うんだよね～（＾＾
ちょっと自分の頭の整理を兼ねて書くと・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) トマエ関数
で、（>>81より）
fν(x) =0 if x ∈ R ＼ Q,
or =1/q^ν if x = p/q ∈ Q, irreducible,
for various values of ν ∈ R.
ここで、ν＝１が、トマエ関数。ν＝0で ”=1 if x = p/q ∈ Q”で、ディリクレの関数 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。ディリクレ函数として知られる、有理数全体の集合の指示函数は至る所不連続である。
（URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 関数の不連続点の集合 より）
で、無理数側 ”=0 if x ∈ R ＼ Q”は、トマエ、ディリクレ、両関数で不変
さらに、ν＞２になると、多くの無理数点で微分可能になる。これも、無理数側は不変で、有理数側のみが変化している（詳細は下記）
URLﾘﾝｸ(kbeanland.files.wordpress.com)
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
つづく
332:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 21:03:00.15 Xw3gWI4S.net
>>312 つづき
で、
”Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals.
Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.”
”As a corollary, no matter how quickly the sequence (ai) converges to zero (e.g., ai = 1/i^(i^i) ), there is always an uncountable dense subset on which T(ai ) is not differentiable.”
この論文の証明で論じているのは、Bf（無理数）に関係するB_N,Mではなく（∵つねに”0 on the irrationals”ですから、論じる必要もない）
Bf－R(有理数)に関する部分（”positive on the rationals ”）。
もっと言えば、Bf－R(有理数)側で、無理数ａに収束する閉区間 In+1 ｜ ”f (xn+1) >= |xn+1 ? x| ”∈ In+1 ですよ
f (xn+1)は、”positive on the rationals”側で、つまり、Bf－R(有理数)側
Bf－R(有理数)側のf (xn+1)が、早く減衰する場合でも、”uncountable dense subset”が、” not differentiable”
T（1/n^k）=1/n^k on the rationals, if x = m/n where m and n are coprime,
で、k<=2ではどこも微分不可、k > 2で、代数的数の集合で微分可、k=9でπなどほとんどの超越数で微分可。
但し、リュービル数
333:は、ずっと微分不可で残る。 これらの議論中、Bf（無理数）での関数は、常に”0 on the irrationals”で、全く変化しないにも関わらず 指数ｋによって、Bf（無理数）側で、微分不可（各点リプシッツ連続でもない）から、至る所微分可になり、最後、リュービル数は、ずっと微分不可で残る。 これら、すべてBf－R(有理数)側の関数値ｆの変化が、Bf（無理数）側に影響を与えた結果ですよ なので、論ずべきは、Bf－R(有理数)側の関数値ｆの変化であるべきでは？ 以上
334:１３２人目の素数さん
18/01/09 21:07:09.90 iQNHclg3.net
＞「ぷふ」さんは、時枝不成立を見抜いたし
理由を一言も語れないようじゃスレ主と同レベル
335:１３２人目の素数さん
18/01/09 21:17:32.99 2VVPqXn0.net
>>314
十分説明してますよ
理解できないんですね
ぷ
336:１３２人目の素数さん
18/01/09 21:25:42.82 iQNHclg3.net
レス番号は？
337:１３２人目の素数さん
18/01/09 21:28:12.96 iQNHclg3.net
というか↓この低能な煽りを見ただけでスレ主レベルとわかるわ
＞理解できないんですね
＞ぷ
338:１３２人目の素数さん
18/01/09 21:34:34.44 iQNHclg3.net
ん？どうした？
十分説明はしたけど、そのレス番号は答えられないと？
さすがにレベル高いわ
339:１３２人目の素数さん
18/01/09 21:49:55.57 2VVPqXn0.net
>>318
> ID:iQNHclg3
数学的に何も言えずに煽るしか能がないのですね
340:１３２人目の素数さん
18/01/09 21:53:45.23 pT3K4EEF.net
>>311
位相空間論はＸの定義から始まる
341:１３２人目の素数さん
18/01/09 22:13:59.52 iQNHclg3.net
>>319
＞数学的に何も言えずに煽るしか能がないのですね
何か言おうにもお前がレス番号示さなきゃ言えないだろ
言語障害？
342:１３２人目の素数さん
18/01/09 22:49:05.05 2VVPqXn0.net
>>320
あそこで定義しているのはXではありませんが？
343:１３２人目の素数さん
18/01/09 22:56:54.17 pT3K4EEF.net
>>322
定義しなければいけないのは飽くまでＸだよ。
344:１３２人目の素数さん
18/01/09 23:03:07.42 2VVPqXn0.net
>>323
いいえ？
345:１３２人目の素数さん
18/01/09 23:05:57.98 2VVPqXn0.net
定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
・ 各Fiは内点を持たない,
・ S ⊆∪i Fi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書
くことにする.
ここで定義しているのは
「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」
ということ
そしてそれはSに関する命題
Xを定義とかアホですか
346:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/09 23:29:48.09 Xw3gWI4S.net
>>94
"Irrationality measure"について
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Liouville number
(抜粋)
6 Irrationality measure
The irrationality measure (or irrationality exponent or approximation exponent or Liouville?Roth constant) of a real number x is a measure of how "closely" it can be approximated by rationals. Generalizing the definition of Liouville numbers, instead of allowing any n in the power of q, we find the least upper bound of the set of real numbers μ such that
0< |x-p/q|< 1/q^μ
is satisfied by an infinite number of integer pairs (p, q) with q > 0. This least upper bound is defined to be the irrationality measure of x.[3]:246
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
Irrationality Measure MathWorld Wolfram Research, Inc.
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
irrationality measure planetmath.org Owner: mathcam Added: 2004-02-27 - 13:34 Author(s): mathcam Versions (v8) by mathcam 2013-03-22
(畑 政義先生)
URLﾘﾝｸ(projecteuclid.org)
URLﾘﾝｸ(projecteuclid.org)
Improvement in the irrationality measures of π and π^2 Masayoshi Hata Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. Volume 68, Number 9 (1992), 283-286.
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
畑 政義 京都大学 理学研究科／理学部 数学教室
347:１３２人目の素数さん
18/01/10 00:08:09.11 JohJXC7c.net
>>325
ﾊｲﾊｲ。
348:１３２人目の素数さん
18/01/10 00:40:14
349:.76 ID:N+Cjs8Xm.net
350:１３２人目の素数さん
18/01/10 00:42:07.70 9NYY/5Sm.net
>>327
本気で分かってないとは
あんまりレベル低すぎて
351:１３２人目の素数さん
18/01/10 00:43:25.59 9NYY/5Sm.net
>>328
ホントに何も理解できてないんですね
ぷ
352:１３２人目の素数さん
18/01/10 00:57:20.37 YMAlX1XJ.net
ぷ は遠い昔から逃げ回ってる奴な
353:１３２人目の素数さん
18/01/10 01:27:17.90 N+Cjs8Xm.net
>>330
おい言語障害君、会話が噛み合ってないぞ、大丈夫か？
354:１３２人目の素数さん
18/01/10 01:59:31.46 JohJXC7c.net
>>329
ダメだなぁ。
355:１３２人目の素数さん
18/01/10 02:44:43.71 S3F8nm1Y.net
にょきにょき
356:１３２人目の素数さん
18/01/10 08:19:46.05 N+Cjs8Xm.net
ぷ は今回も逃亡しましたとさ
357:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 08:28:42.58 xixJS48Q.net
>>318
>十分説明はしたけど、そのレス番号は答えられないと？
>さすがにレベル高いわ
代返すると
前スレでのNo.531以下の幾つかが、彼の数学的発言だな
主要なやりとりは、No.531～609辺りかな
それ以外にもあるかも知れないが・・
358:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 08:31:16.73 xixJS48Q.net
まあ、おれと彼との違いは、例の”定理1.7 (422 に書いた定理)”が成立しているかどうかってところでね
それ以外の点では、いろいろ教えて貰っているんだ（＾＾
359:１３２人目の素数さん
18/01/10 09:10:25.82 9NYY/5Sm.net
答えて貰えないのは自分がどこかおかしいと思うのが普通ですね
360:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 11:49:13.10 vsfEZQC9.net
>>336
ああ、このスレだと、
>>96-124のID:okX91MtSとID:fOPEnBccとが、彼だな
361:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 11:53:03.21 vsfEZQC9.net
>>323
>定義しなければいけないのは飽くまでＸだよ。
うーんと、相対位相（下記）みたいな話かな？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
境界 (位相空間論)
(抜粋)
例
有理数全体の集合に通常の位相（R の部分位相空間としての位相）を考えた位相空間の中では、a が無理数であるときの区間 (－∞, a) の境界は空集合である。
集合の境界というのは位相的な概念であり、集合に入れる位相を変えれば（同じ集合であっても）何が境界であるかが変わってくる。
(引用終わり)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
相対位相
(抜粋)
そのような位相は、部分空間位相 (subspace topology), 相対位相 (relative topology) あるいは誘導位相 (induced topology) やトレース位相 (trace topology) などと呼ばれる。
例
以下、R は実数全体の集合に通常の位相をいれたものとする。
・R の部分空間としての自然数全体の成す集合の位相は離散位相である。
・R の部分空間としての有理数全体の成す集合の位相は離散位相ではない（例えば、点 0 のみから成る部分集合は Q の開集合ではない）。
a, b が有理数ならば、開区間 (a, b) および閉区間 [a, b] はそれぞれ Q の開および閉集合であるが、a, b がともに無理数のとき、a < x < b を満たす有理数 x の全体の成す部分集合は Q の開かつ閉集合となる。
・R の部分空間としての閉区間 [0, 1] は開かつ閉である（R の部分集合としては閉でしかないが）。
・R の部分空間としての互いに素な区間和 [0, 1] ∪ [2, 3] は二つの互いに素な開集合（もちろん閉集合でもある）の和であり、従ってこれは非連結空間となっている。
・R の部分空間としての S = [0, 1) について、[0, ?) は S の開集合だが R では開でない。同様に [?, 1) は S において閉だが、R の閉集合でない。S は自身の部分集合として開かつ閉�
362:ｾが、R の部分集合としては開でも閉でもない。 (引用終わり) 以上
363:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 11:54:07.93 vsfEZQC9.net
>>312 自己レス追加
それで、ちょっと戻ると
（>>128関連）
”Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
Q^i = Φ, Q^e = Φ, Q^f = R, Q^a = R.
R ＼ Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
(R ＼ Q)^i = Φ, (R ＼ Q)^e =Φ, (R ＼ Q)^f = R, (R ＼ Q)^a = R.
つまりは、R内に稠密分散するQは、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
同様に、RからQを除いたR ＼ Qも、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
ということで、付け加えると、QとR ＼ Qとも、開集合でも閉集合でもない
（ URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
有理数の全体は開集合でも閉集合でもないが、自然数は閉集合、というのはよく分かりません。ofurospeakerさん yahoo 2013/8/22 ）
つづく
364:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 11:59:38.46 vsfEZQC9.net
>>341 つづき
（>>180より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．”
上記との対応は、Q：R－Bf 、R ＼ Q：Bf だ
（余談だが、ついでに言うと、>>178の通り (X,O) → (X,d) → (R,d)ってことでしょう ）
で、ある開区間（a, b）があって
いまR－BfがQのように、R中に稠密分散しているとする
（a, b）内のQ：R－Bfと 、R ＼ Q：Bf（無理数）とも、両者”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
R ＼ Q：Bf（無理数）の部分集合であるリュービル数も、同様に”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”（まあ、リュービル数自信R中で稠密で、ルベーグ測度０は知られている）
で、集合としてのリュービル数も、開集合でも閉集合でもないし
非可算集合になるから、１点からなる閉集合では被覆できないことになる
なので、>>313のような”Modifications of Thomae’s function”で、特に急速減少関数では、Qとリュービル数の集合とのみが、” not differentiable”になる
が、ある開区間（a, b）が生じるわけでは、決してない
以上
365:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 12:03:01.72 vsfEZQC9.net
>>342 訂正
非可算集合になるから、１点からなる閉集合では被覆できないことになる
↓
非可算集合になるから、高々加算の１点からなる閉集合では被覆できないことになる
366:１３２人目の素数さん
18/01/10 12:07:31.14 Dmr1OLA6.net
おっちゃんです。
コピペより ε-N を。
367:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 12:56:06.21 vsfEZQC9.net
>>253 補足追加
">一次式の係数を無理数にとったら値が有理数にならないことがある、ということのどこが面白いの？
数理女子(>>217)にならって言えば
"有理点が無い場合
実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る直線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない直線（１次関数）も、実はいっぱい存在するのです。"
ってこと"
まあ、代数的に考えたら、なにも面白くないかもしれないが
幾何的に考えたら、無限長の平面直線が、平面上に無数に稠密分散する有理点（p,q）と全く交わらない
そういう直線が存在する
逆は不成立。
無理数点を避けることはできない
そういう幾何学的イメージを持つことが、Qの稠密性を理解する上で、面白いと思った次第
368:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 13:01:29.40 vsfEZQC9.net
>>344
おっちゃん、どうも、スレ主です。
よほど、ε-Nコンプレックスなんだね（＾＾
369:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 13:03:46.33 vsfEZQC9.net
まあ、わかるよ
おっちゃんみてたら
370:１３２人目の素数さん
18/01/10 13:07:59.37 Dmr1OLA6.net
>>346-347
>>344は「ローマよりアテネを」というセリフにかけてスレ主へ向けて書いたんだが。
371:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 13:11:49.51 vsfEZQC9.net
>>342 訂正
（a, b）内のQ：R－Bfと 、R ＼ Q：Bf（無理数）とも、両者”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
↓
（a, b）内のQ：R－Bfと 、R ＼ Q：Bf（無理数）とも、両者”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包は閉区間[a, b]になる”
かな
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
境界 (位相空間論)
(抜粋)
内点を持たない稠密集合の境界はその集合の閉包に一致するという一般的な事実を説明するものになっている。
(引用終わり)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
閉包
(抜粋)
・位相空間において部分集合の閉包はその部分集合を含む最小
372:の閉集合。クラトフスキの閉包公理（英語版） も参照。 (引用終わり)
373:１３２人目の素数さん
18/01/10 13:17:35.08 Dmr1OLA6.net
>>346-347
古代、ローマでは実用性が重視されていて数学が発展したことはなく、ギリシアで数学が発展した。
一方、ギリシアでは数学が発展した。「ローマよりアテネを」というのは大体そういう意味のセリフ。
それと同様に、コピペばかりしても何の発展もありませんと。そういう意味で書いた。
374:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 13:18:06.28 vsfEZQC9.net
>>348
google先生は、「"ローマよりアテネを"との一致はありません。」だって（＾＾
さすれば、おっちゃんの数学新定理と同じく、新格言か
おっちゃん、数学だけではなく
格言でも才能を発揮したんだね～（＾＾
375:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 13:20:56.36 vsfEZQC9.net
>>350
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご高説は結構だから
早く論文書いて、実力を証明してくれ～！（＾＾
376:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 13:53:48.62 vsfEZQC9.net
>>350
＜参考＞
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
ローマ帝国がキリスト教化しなかったら、人類の科学技術は1000年くらい早く今のレベルに到達していたというのは本当ですか？ rmcgkfさん yahoo 2011/5/13
(抜粋)
ベストアンサーに選ばれた回答 xiaomaoさん 2011/5/14
古代ローマ人の頭が良かったというより、キリスト教が「疑うこと」を悪と見なしたため、古代ローマ時代に獲得した技術が失われ、中世の時代の技術発展が停滞したからです。
例えて言うなら、古代ローマ時代までの人たちが順調に積み重ねていた積み木が崩れて、またゼロからやり直しになったんです。
積み木が崩れることが無く、そのまま順調に積み重ねていたらきっと1000年くらいは早くなっただろう・・・という意味です。
科学技術というのは「あの太陽とはいったい何なのだろう？」と疑うところから出発します。しかし、キリスト教では世界というのは聖書に書いてある通り神が作ったものであり、それを疑い実験しようものなら神を試す行為として糾弾されました。
そのため、技術の発展が止まってしまったんです。
それに加えて、ローマ時代の文献はラテン語で書かれていたのですが、聖職者はラテン語を神学を学ぶ為だけのものとして独占してしまったんです。そのため、古代ローマ人が培った技術を読めるものがいなくなって失われてしまいました。ちなみに、後にそれはおかしいということで、ラテン語で文献を読む人たちが出てきて技術を復興します。それがルネサンスです。
失われてしまった技術の例としては、都市に完備された上下水道網、各都市をつなぐ舗装された幹線道路、
コンスタンティノポリスのような巨大かつ堅固な城壁を築く築城技術、それを破ることが出来るような精度の高い投石器や様々な力学を駆使した攻城兵器、
「アンティキティラ島の機械」を作ることが出来るほどの天文知識と機械技術、現代にも見劣りしない「ミロのヴィーナス」のような美術・・・などなどキリがありません。
なんかこう書くとキリスト教が悪いように見えてしまいますが、この中世の時代を当のキリスト教徒である西洋人たち自身が「暗黒の時代」と呼び、現代では戒めとしています。そういう反省し教訓とする姿勢は見習うべきものであるでしょう。
(引用終わり)
つづく
377:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 13:54:57.76 vsfEZQC9.net
>>353 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学史
(抜粋)
3.5 ギリシアおよびヘレニズム数学（紀元前55
378:0年?西暦300年頃） 4 中世以降のヨーロッパ数学の発展 4.1 中世初期（西暦500?1100年頃） 4.2 ヨーロッパ数学の復活（西暦1,100?1,400年頃） 5 近代ヨーロッパ数学（西暦1400?1600年頃） ピタゴラス学派は無理数の存在を発見した。エウドクソス（紀元前408?355年頃）は、現在の積分法の先駆である、取り尽くし法を開発した。アリストテレス（紀元前384?233年頃）は最初に論理学の法を書いた。 エウクレイデスは今日の数学でも使用される形式である、定義、原理、定理、証明の最も初期の例である。 彼はまた円錐曲線の研究も行った。彼の本、『ユークリッド原論』は、20世紀の中頃まで、西洋で教育を受けたものすべてに知られていた[31]。 ピタゴラスの定理などの幾何学のよく知られた定理に加えて、『ユークリッド原論』には2の平方根が無理数であることや素数が無限に存在することの証明が記述されている。素数の発見にはエラトステネスの篩（紀元前230年頃）が使用された。 ギリシア数学の、あるいは全時代の最も偉大な数学者は、シラクサのアルキメデス（紀元前287?212年）であると言われている。 プルタルコスによると、75歳のとき、地面に数式を書いている最中にローマの軍人に槍で刺されたとされている。古代ローマは純粋数学への関心の証拠をほとんど残していない。 中世以降のヨーロッパ数学の発展 中世ヨーロッパの数学への関心は、現代の数学者と全く異なる動機にもよっていた。 その1つは、数学による自然の記述を通じて宗教的な理解が促進されるという信念であり、プラトンの『ティマイオス』および聖書の『知恵の書』11章20節[33]によって幾度も正当化された。 (引用終わり) つづく
379:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 13:55:29.25 vsfEZQC9.net
>>354 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
Category:古代ローマの数学者
(抜粋)
・アレクサンドリアのディオファントス
・パップス
・アレクサンドリアのヘロン
(引用終わり)
以上
380:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 15:45:12.85 vsfEZQC9.net
これ（下記）がちょっと面白かったな～（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
ＡＩ的間違い電話 村田沙耶香 プロムナード 日本経済新聞 2018/1/10
(抜粋)
だいぶ前のことだが、アルバイトをその少し前に辞めたエミちゃん（仮名）から突然電話がかかってきたことがあった。
「さやかー！ 久しぶりー！」
「わあー！ エミちゃん、久しぶり！」
私は明るく返事をした。
話の内容は、彼女が今している恋愛の話と、新しいバイト先の愚痴だった。私は、「そっか、そっか」「大変だね」と頷きながら話を聞いていた。
明るく話し続けるエミちゃんに「そっか」「そうだね」と適当に相槌（あいづち）を打ちながら、私はまさか、と思い始めていた。
エミちゃんの話が途切れたときに、私は勇気を出して、「あの……あなたはどなたですか？」と聞いてみた。
エミちゃんは驚いたようで、一瞬無言になった。
「……は？ 何？ え？ 何言ってるの、さやか？」
「いえ、あの……あなたの苗字（みょうじ）は何ですか？ 私は村田というんですが……」
「え？ 村田？ は？」
しばらく話し合った結果、この電話は間違い電話だということがわかった。三十分以上お喋（しゃべ）りをしてしまった手前、いきなり切るのも憚（はばか）られ、気まずい時間が流れた。
つづく
381:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 15:46:14.03 vsfEZQC9.net
>>356 つづき
「……あの、じゃあ、あなたは、○○学校のさやかさんじゃないってことですよね」
「はい、そうです。エミちゃんという友達がいたので、その子からかと思って……」
「え、あなたもエミちゃんって友達がいるんですね……すごい偶然ですね……」
「そうですね、えへへ……」
さっきまであんなに親しく話していたのに、赤の他人と分かった瞬間に敬語でおそるおそる話している自分たちが不思議だった。
私はこの奇妙な間違い電話のことを、なかなか忘れることができなかった。なぜ、赤の他人である私とエミちゃんは、三十分以上も仲良く会話することができたのだろうと何度も思い返した。
先日、ＡＩの番組に出演させていただく機会があった。テーマは「会話」だった。そのとき、ふと思った。私はあのとき、ＡＩだったのではないか。エミちゃんの発した言葉に、いかにもそれらしい相槌を打つ。ただそれだけで、私たちは三十分も親しい友達のように会話をした。
実は私たちも、ＡＩと同じような仕組みで会話をしている瞬間があるのではないか。
観（み）ていない映画を、勘違いして観たかのように話をしていた時、顔はわかるがどこで会ったのかよく覚えていない人と談笑している時、私はきっとＡＩ的に会話をしているのだ。
それは必ずしも不誠実というわけではなく、人間の面白い一部分なのではないか。そう思うと、自分という生きものの新しい一面を発見している気持ちになれる。自分の中の「ＡＩ的部分」を、もっともっと見つけてみたくなるのだ。
（作家）
(引用終わり)
382:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 17:24:55.87 vsfEZQC9.net
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こんにちは、ウェブスタジオアラクネと申します。弊社では毎年、オリジナルのカレンダーPDFを制作して公開しています。
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制作者について
ウェブスタジオアラクネという名前で、フリーランスでウェブ制作業をしております、笹井智之と申します。2004年から仕事をスタートして、このカレンダーは2006年から作り始めました。
こちらがウェブスタジオアラクネのサイトです。制作実績などございますので、ご興味ございましたらご覧ください。
(引用終わり)
383:１３２人目の素数さん
18/01/10 19:03:18.12 N+Cjs8Xm.net
＞前スレでのNo.531以下の幾つかが、彼の数学的発言だな
＞主要なやりとりは、No.531～609辺りかな
＞それ以外にもあるかも知れないが・・
さすがに８０ものレス追う
384:気せんわ そんだけ紛糾するってことはその程度の内容なんだろう。 ぷよ 反論があるなら指摘されたことを踏まえて改めてうｐしてみ？ それともまた逃げる？
385:１３２人目の素数さん
18/01/10 19:29:36.11 oaWP3F32.net
>>359
ぷ
その程度の人だって白状したのは褒めてあげましょう
386:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 19:35:18.67 xixJS48Q.net
>>359
どうも。スレ主です。
>さすがに８０ものレス追う気せんわ
まあ、そうだろうね。論争当事者でなければ、レス追う気せんだろう
で、まあ、下記辺りが、彼の主張の中核だろうね
（前スレ）
「564 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/12/26(火) 12:39:46.63 ID:bh2BICch [2/4]
もともと取れないからこそ背理法が効くわけです
可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続→矛盾→可算集合の補集合で微分可能ではない
という流れですよ
ある開区間で連続以降の論証に持ち込むのに
可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続
の論証が最も重要です
565 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/12/26(火) 12:55:35.93 ID:bh2BICch [3/4]
>>562
> 例えば、>>554に示したように、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり”（>>506）で、
> この背理法の論法が正しいならば、「微分可能なある区間(a, b)が取れないから（取れるとすると矛盾するから）、このような関数は存在しない」という結論が、導かれてしまう（本来有理点は稠密であるから、この背理法の論法自身がおかしい）
その関数は連続関数なのでは？それに微分可能な区間が取れないということからはそのような関数の存在も許されるということしか言えませんよ
566 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/12/26(火) 12:57:59.52 ID:bh2BICch [4/4]
許されるは変でした
許されないとは言えない
ですか」
(引用終り)
以上
387:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 19:44:36.98 xixJS48Q.net
>>361 補足
で、私の主張は、下記
（前スレより）
「607 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/27(水) 07:13:19.94 ID:JqNELMW3 [2/8]
>>604
>で？そのあとの最終的な結論は？
単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正）
１）補集合R－Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
２）補集合R－Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
それだけ
608 自分返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/27(水) 07:20:51.76 ID:JqNELMW3 [3/8]
>>607
（補足）
１）の場合
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ が、区間(a, b)で成り立っているとする
区間(a, b)での、lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜の最大値を、Mとする
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜<= Mと書ける
区間(a, b)で、リプシッツ連続である
以上
614 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/27(水) 20:28:08.95 ID:hLkm2n+q [1/4]
>>607
「場合分けしただけ」というのが最終的な結論なのであれば、
「例の定理(もしくは "弱い定理")は自明な定理であって、証明の必要がない」
という当初の主張は撤回するということだな？
だったらそれでいい。場合分けすること自体には別に間違いもクソもないからな。
621 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/27(水) 23:17:07.10 ID:JqNELMW3 [7/8]
>>614
場合分けは、普通は、証明のためだよ
自得するのを、待ったんだが・・（＾＾
貴方の証明を斜め読みしたが、稠密で無い場合、つまり、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる前提でしか、
証明していないように見えるが、どう？」
(引用終り)
以上
388:１３２人目の素数さん
18/01/10 19:57:19.96 N+Cjs8Xm.net
>>360
やはり逃げの一手か
かかる見苦しい醜態晒すなら、いっそ消え去れば良いものを
389:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 20:36:23.95 xixJS48Q.net
>>363 いやいや、彼「ぷふ」さんも、例の「定理1.7 (422 に書いた定理)」（>>178）の証明を書いた方も、明らかに私スレ主より、レベル上だわ（＾＾ 私ら、不勉強の、単なるアホバカですからね 但し、この「定理1.7 (422 に書いた定理)」については、Ruler FunctionとかModifications of Thomae’s functionとかの論文を、曲がりなりにも読み込んでいたので、”定理の結論と読み込んだ論文の結論とが合わない”ということが分った そこが大きな違いです
391:１３２人目の素数さん
18/01/10 21:00:12.32 9NYY/5Sm.net
>>363
おやまあ
自分を棚に上げるのがお上手ですね
392:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 21:42:07.86 xixJS48Q.net
>>364 追加
ちょっと思いついたので、悪いが、忘れないうちに下記を書いておく
（>>40より）
URLﾘﾝｸ(mathforum.org) （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
より
The modefied ruler function f is defined by
f(x) = 0 if x is irrational,
f(0) = 1, and
f(x) = 1/w(q) if x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
ここに
w(q)：an increasing function that eventually majorizes every power function.
（w(q)は、どんなｐの冪より早く増大する関数
URLﾘﾝｸ(kbeanland.files.wordpress.com)
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
などではP532で、” (e.g., ai = 1/i^(i^i) )”などと記されている。qで書けば、= 1/q^(q^q)だ）
簡単のために、区間[0, 1]を考える。（同じことを、区間[n, n+1] (ｎは整数)で考えれば、実数R全体に展開できる）
このような、場合、上記数学者のRenfroさんや、Robertsさんたちは、”Qで不連続、リュービル数（超越数）で微分不可（リプシッツ連続でもない）だが、それ以外の無理数では、微分可だ”という
つづく
393:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 21:47:52.62 xixJS48Q.net
>>366 つづき
さて、上記と、「定理1.7 (422 に書いた定理)」との間をつなぐために、上記のThe modefied ruler functionのさらなる変形を考えてみた
The modefied ruler function f is defined by
f(x) = 0 if x is irrational,
f(0) = 1, and
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = 0 if q> m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/w(q) if q<=m, x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
また、他の条件は、すべて上記に同じ
まあ、要するに、分母q がある値ｍ以下の場合のみ、1/w(q)とする。分母q がある値ｍ超えの場合は、値を０に取る
そうすると、不連続点は、分母q がある値ｍ以下の場合のみの有限個になる
この場合、「定理1.7 (422 に書いた定理)」が成り立ち
”R－Bf が内点を持たない閉集合の（有限個の）可算和で被覆でき、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”となる
（細かい証明は略す）
つづく
394:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 21:52:59.52 xixJS48Q.net
>>367 つづき
ところで、ここの多くの読者が想定内だろうが、ｍ→∞を考えると、まずqは任意のQの元まで拡大される ＊）
この場合、いままで述べたことと同じだが、x = p/q ∈Q は、Q全体になり、
それ（Q）は”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”が、上記の数学論文などの通り、”Qで不連続、リュービル数で微分不可（リプシッツ連続でもない）”が結論になる！
で、（定理1.7 の結論のような）” f はある開区間（a, b）の上でリプシッツ連続である”とは、できない
（ ＊）余談だが、q = ∞ まで広げると、ｘは無理数なのか有理数なのか、訳分からなくなるかも。そういう意味で、ｍ→∞に対しては、可能無限と実無限という言葉が
395:、現実味を帯びるかもしれない。時枝の可算無限個の箱と似ているような気がする・・（＾＾ ） 以上
396:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 22:59:32.43 xixJS48Q.net
>>368 訂正
ｍ→∞を考えると、まずqは任意のQの元まで拡大される ＊）
↓
ｍ→∞を考えると、まずp/qは任意のQの元まで拡大される ＊）
397:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 23:01:30.67 xixJS48Q.net
>>368 補足
>（ ＊）余談だが、q = ∞ まで広げると、ｘは無理数なのか有理数なのか、訳分からなくなるかも。
ここ、いま考えると>>367で
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = 0 if q> m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/w(q) if q<=m, x = p/q ∈Q
↓
f(x) = 0 if q>= m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q
とする方が、ｍ→∞のとき、”f(x) = 1/w(q) if q< ∞ ”となるので、形式的には綺麗かも
が、実質は”p/qは任意のQの元まで拡大される”は同じなので、単に形式美だけだが・・
398:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/10 23:05:18.90 xixJS48Q.net
>>342 補足
>（余談だが、ついでに言うと、>>178の通り (X,O) → (X,d) → (R,d)ってことでしょう ）
ここらは、細かいけど、大学の先生の書いたテキスト（教科書）では、きちんと（位相空間について）明示されていることが殆どだね（＾＾
なので、試験（院試）などを考えて、きちんと書くクセを付けた方が良いだろうね
試験の採点では、重要な試験ほど、採点が厳格かつ客観的になり、好意に斟酌してもらえる余地が減るから
（きちんと書いてないと減点対象かも。専門の論文では、スペース（字数制限）の関係で”分るだろう・・”と流している場合も無くはないが）
399:１３２人目の素数さん
18/01/10 23:38:39.34 N+Cjs8Xm.net
>>365
煽りだけは一人前だね
不成立の根拠を示すことすらできないのに
そんなに自信が無いの？
400:１３２人目の素数さん
18/01/11 01:34:23.00 eQoxU2RG.net
>>364
＞私ら、不勉強の、単なるアホバカですからね
それは時枝不成立論の敗北宣言と受け取ってよろしいか？
だってそうだろ？不勉強のアホバカに正しい判断ができようはずないではないか
401:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/11 06:52:41.66 dLTvfhGd.net
>>373
ぷ
402:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/11 07:35:26.50 dLTvfhGd.net
>>367 追加コメント
さて、f(x) = 0 if x is irrational→f(x) = F(x) if x is irrationalとする
The modefied ruler function f is defined by
f(x) = F(x) if x is irrational,
f(0) = 1, and
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = F(x) if q>= m, x = p/q ∈Q
f(x) = F(x)+ 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
ここに、 F(x) は、簡単のために、解析函数で多くの多項式や初等関数のように、無限大のみに極を持つとする。（有限の範囲に極があっても問題ないが、記述が複雑になる）
また、他の条件は、すべて上記に同じ
ある無理数点zとその近くの有理点x = p/q (q< m)に対して
（f(z) - f(x) ）/(z - x) = (F(z)- F(p/q)- 1/w(q))/(z - p/q ) となる
”F(z)- F(p/q)”の部分は、解析函数なので、p/q→zのとき、”F(z)- F(p/q)”→0 になるので、この場合は、上記のF(x) ≡0 の議論と変わらずそのまま成り立つ
よって、このような、有理数 x = p/q ∈Q の場合のみ、”= F(x)+ 1/w(q)”と定めるような、いわゆる除去可能不連続関数とする場合の議論は、
F(x) ≡0 の議論で尽くされている
つづく
403:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/11 07:38:20.41 dLTvfhGd.net
>>375 つづき
さらに
1/w(q)→1/q^ν としてみよう
The modefied ruler function f is defined by
f(x) = 0 if x is irrational,
f(0) = 1, and
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = 0 if q>= m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/q^ν if q< m, x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
ここに、ν>=0の実数とする
この場合も、mが有限の値の場合、不連続点は、分母q がある値ｍ以下の場合のみの有限個になる
この場合も、「定理1.7 (422 に書いた定理)」が常に成り立ち
”R－Bf が内点を持たない閉集合の（有限個の）可算和で被覆でき、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”となる
しかし、ｍ→∞を考えると、f(x) = 1/q^νの場合のp/qは、任意のQの元まで拡大される
この場合
１）ν= 0の場合、いわゆるディリクレ関数になり、f(x)は至る所不連続
２）ν= 1の場合、いわゆるトマエ関数になり、f(x)は無理数で連続、有理数で不連続となる
３）ν>= 2の場合、f(x)は無理数の多くで微分可能（微分不可能な無理数点も残る）、有理数で不連続
となる
なにが言いたいかというと、
f(x)の無理数側の決めは不変だが、有理数側の決めが変わることによって、f(x)全体の特性（連続、不連続、微分可否など）が全く変わってしまうということ
これで、「定理1.7 (422 に書いた定理)」の不備が見えるだろう
「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明は、無理数側（定理ではBf側）の関数しか扱っていない。
それで証明が完了としている。が、それは上記数理に反するってことだ
以上
404:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/11 07:43:41.60 dLTvfhGd.net
>>369 訂正の訂正
405:>>368の訂正 ｍ→∞を考えると、まずqは任意のQの元まで拡大される ＊） ↓ ｍ→∞を考えると、まずp/qは任意のQの元まで拡大される ＊） ↓ ｍ→∞を考えると、まずf(x) = 1/w(q) の場合のp/qは、任意のQの元まで拡大される ＊） かな？（＾＾ （>>376を書いていて気付いたよ）
406:１３２人目の素数さん
18/01/11 08:21:20.24 eQoxU2RG.net
>>374
敗北宣言と受け取りました
407:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/11 08:40:45.35 dLTvfhGd.net
逝ってよし（＾＾
408:１３２人目の素数さん
18/01/11 09:32:37.68 pCvZqe21.net
おっちゃんです。
スレ主が導こうとしている結論は元からどのようにしても導けない
(定理 1.7 の反例を挙げてそれを否定することは出来ない)
から、幾らやってもムダ。
409:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/11 09:43:14.12 clSPRjXH.net
どうもスレ主です。
いつものおっちゃんらしいね（＾＾
410:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/11 09:57:59.92 clSPRjXH.net
>>380
話は逆で
（>>376に書いた通りだが）
（>>180）”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．”
で、
１）補集合R－Bfが、”が内点を持たない閉集合の可算”有限”和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”は、正しい
しかし
２）補集合R－Bfが、”が内点を持たない閉集合の”稠密”分散可算無限和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続とはできない．”が、正しい
補足
１）補集合R－Bfが主に有理数Qで、Bfが主に無理数（ R＼Q）を想定したもの
２）有理数Qが稠密である以上、無理数のみからなる開区間（a, b）など取れるはずもない
中学校レベルの話だろう
411:１３２人目の素数さん
18/01/11 10:14:50.34 pCvZqe21.net
>>375
>さて、f(x) = 0 if x is irrational→f(x) = F(x) if x is irrationalとする
>
>The modefied ruler function f is defined by
>f(x) = F(x) if x is irrational,
>f(0) = 1, and
>(さらに有理数で場合けして)
>f(x) = F(x) if q>= m, x = p/q ∈Q
>f(x) = F(x)+ 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q
>where p and q are relatively prime integers with q > 0.
>
>ここに、 F(x) は、簡単のために、解析函数で多くの多項式や初等関数のように、
>無限大のみに極を持つとする。（有限の範囲に極があっても問題ないが、記述が複雑になる）
>>367の補足としてmを或る値として続けて書いているようだが、
解析関数 F(x) の定義域は複素平面Cの弧状連結で開円盤を含む開集合だから、
虚部が0ではない何らかの複素数xに対しても F(x) は定義されることになる。
だが、f(x)＝F(x) としているのに、そのような複素数に対する F(x) の複素数値の定義がどこにもなされていないので、
その定義は意味をなさない。結局実関数 f(x) を直線R上で定義することになる。
412:１３２人目の素数さん
18/01/11 10:33:48.09 pCvZqe21.net
>>381
トマエ関数や modefied ruler function は有理数か無理数かが分かってからその関数値が決まるような関数。
で、有理数全体Qは直線Rの部分空間としてのルベーグ測度が0の可測空間で、無理数の全体 R＼Q はその補集合になる上、
有理数に対して決まるそれらの関数値の決まり方は定義域Rの点としての既約分数 p/q の分母qや分子pの値にもよるから、
そういった関数を持ち出して有理数か無理数かを基準にして考えても何の意味もない。
413:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/11 10:54:01.96 clSPRjXH.net
>>383
>結局実関数 f(x) を直線R上で定義することになる。
無問題。
実関数 f(x) を直線R上で定義し、それが解析関数なら、解析接続でき、一致の定理が適用でき、リーマン球面上の解析関数として一意である
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
解析接続
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一致の定理
(抜粋)
一致の定理(いっちのていり、英: Identity theorem)は、複素解析において、通常は可算点列上で局所的に一致する2つの正則関数が大域的に一致することを主張する定理である。重要な定理であり、解析接続の一意性の証明にはこの定理が必要となる。
この定理には名は冠されていないが、1844年頃、リウヴィルが楕円関数に特殊な形で適用したのが最初であり、直後にコーシーが自分が開発した複素解析の中に取り入れて一般化したものである[1]。
(引用終わり)
414:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/11 10:58:21.63 clSPRjXH.net
>>384
支離滅裂かつ意味不明
また、そんな考えじゃ、論文を読むこともできまい？
現実に、ディリクレ関数およびトマエ関数や modefied ruler functionなどは、まっとう
415:な数学としての研究対象である 返答として、それだけ言えば十分だろう
416:１３２人目の素数さん
18/01/11 11:31:02.95 pCvZqe21.net
>>385
複素解析が分からないってことだな。
417:１３２人目の素数さん
18/01/11 11:36:11.25 pCvZqe21.net
>>386
>現実に、ディリクレ関数およびトマエ関数や modefied ruler functionなどは、まっとうな数学としての研究対象である
>返答として、それだけ言えば十分だろう
元々は、実解析の問題で、より一般に直線R上で考える問題である。
返答は、これで十分だろう。
418:１３２人目の素数さん
18/01/11 12:12:24.76 W/l1qArm.net
ぬーん
419:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/11 13:56:37.43 clSPRjXH.net
>>387
もともとは、病的な関数を考えているので（下記）、複素解析の外
だが、解析関数を使って、”F(x) ≡0 ”（>>375）の話にちょっと、ふくらみをもたせただけなんだよ（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
病的な (数学)
(抜粋)
病的な関数
「病的な関数」の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが至る所微分不可能な、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある。
微分可能な関数とワイエルシュトラス関数の和は、ふたたび至る所で連続であるが至る所微分不可能な関数となるため、そのような病的な関数は少なくとも微分可能な関数と同じだけ存在することが分かる。
実は、ベールのカテゴリー定理により、「ほとんどすべての」連続関数は至る所で微分不可能であるということが示される。
平たく言えば、これは考え得る関数が非常にたくさん存在することが原因である。
大部分は至る所微分不可能であり、描いたり研究したりできる関数は比較的稀で、そのうち興味があったり有用であるものは「行儀が良い」関数でもあることが分かる。
病的な例
・ワイエルシュトラス関数: 至る所連続だが至る所微分不能な実関数の例。
・ディリクレ関数（有理数の集合 Q の指示関数）は、有界だがリーマン可積分でない。
・カントール関数は [0, 1] を [0, 1] の上へ写す単調連続関数だが、ほとんど至るところ微分係数は0である。
(引用終わり)
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
病的な関数の例は？ dolzarkさん yahoo 2012/6/7
(抜粋)
病的な関数の例は？
名前を知っているのはカントール関数、高木関数、ディリクレの関数、ワイエルシュトラス関数ぐらいですが、このうち前3つはどんな関数でどこが病的なのか理解できます。
でもワイエルシュトラス関数は何をやっているのか全然分かりません。分かりやすく説明できる代物なのかも分かりませんが、分かりやすく説明してくれませんか？
またこれ以外に病的とされる関数はありますか？
(引用終わり)
420:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/11 14:02:31.76 clSPRjXH.net
>>388
>元々は、実解析の問題で、より一般に直線R上で考える問題である。
(>>390に書いたが） ”F(x) ≡0 ”（>>375）の話にちょっと、ふくらみをもたせるときに
解析関数という言葉で、膨らませた関数に剛性を持たせると同時に、微分可能性の縛りも入れた
それだけのことよ。病的な関数の対比として、解析関数がその対極でもあるしね
それだけのことで、定義域を複素数に拡大する話では、元々ないよ（＾＾
421:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/11 14:04:16.42 clSPRjXH.net
>>390 補足
こんなスレがある（＾＾
キチガイ関数一覧表できたよー(R→R編)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
422:１３２人目の素数さん
18/01/11 16:15:11.09 pCvZqe21.net
>>391
剛性という言葉は図形は形を変えないというニュアンスのれっきとした数学用語として用いられている、
関数のグラフは図形であるけど、関数自体は図形ではないべ。
剛性という言葉の使い方に注意した方がいい。
まあ、何れにしろ、定理 1.7 を否定することは、
ブルバキが書いた数学原論の中の少なくとも測度(積分)や位相の巻の内容を否定することにつながるし、
その測度や位相の巻はよく出来ている内容の巻らしいから、
スレ主が大好きな権威主義という観点から見てもムリ。
423:１３２人目の素数さん
18/01/11 16:22:39.48 pCvZqe21.net
>>391
ブルバキのことは以前>>6の知恵袋の数学の学�
424:K法とかいうサイトに書かれていたが、何故か消えていた。
425:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/01/11 16:37:47.93 clSPRjXH.net
病的関数で検索すると、下記がなぜかヒット。貼っておく。なお、文字化けご容赦（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
「やさしい」ゼータ関数について 伊吹山 知義, 齋藤 裕 数学 / 50 巻 (1998) 1 号
(抜粋)
この論説の目的は種々のゼータ関数の中には,易しい表示を持つものが通常信じられているより
もずっと多いことを解説することにある。すなわち概均質ベクトル空間のゼータ関数や保型形式の
ゼータ関数の中には,定義のみではその易しさがわからないが,算術的知識を総動員して計算する
と既知の関数になるものが思いがけず多いと言うことを説明したい。前半では数学的な正確さより
も流れに重点を置いて書く.
1) 2種類のゼータ関数
ちょっと冗談めくが,ゼータ関数には2種類あると思うようになった.1つは「やさしいゼータ
関数」もう1つは「むつかしいゼータ関数」である.とくにこれらの定義を正確に与えようという
わけではないが,その気持ちは徐々に説明していきたい.
数列{an}と複素数sに対し,Σ 一1α。η}8なる級数をDirichlet級数という。{an}のとりかたに
よってはこの級数はかなり良い性質をもつ.たとえばζ(S)= n一､n-Sとおくと次がなりたっ.
(1) ζ(S)はRe(S)>1で絶対収束しsさらに全S平面に有理型に解析接続される。
(2) ζ(S)は関数等式を持つ.すなわちξ(S)=π}8/2F(S/2)ζ(S)とおくとξ(1-S)=ξ(s)をみ
たす。
(3) ζ(S)はEuler積をもつ.すなわちζ(S)=llp(1-p-8)一1(pは素数をわたる。)
このζ(S)をRiemannのゼータ関数という.ζ(S)をモデルとして,上の(1),(2),(3)ないしは
その一部をみたすようなDirichlet級数が数多く考えられてきた。それらは適当な形容詞つきで,
ゼータ関数ないしはL関数の名称で呼ばれる.ここで{an}は当然何らかの算術的に意味のある良
い定義がなされているわけであるが,これは別にan自身が非常に具体的な公式によって記述でき
るということを意味するわけではない.とりあえずanのやさしい具体的な公式があるときに,漠
然と「やさしいゼータ関数」と呼ぶことにしよう。この観点から言えば,Riemannのゼータ関数は
やさしいゼータの典型である.
(引用終わり)