暇つぶし2chat MATH

- 暇つぶし2ch190::={x ∈ R ｜ ∀y, z ∈ R [x － 1/M < y < x < z < x +1/M) ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)] } と置く. このとき, Bf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M が成り立つことを示す. x ∈ Bf を任意に取る. このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である. よって, 確かにBf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M である. (1) と合わせて, R = Bf [ (R－Bf ) ⊆ (∪N ,M>=1BN,M ) [ (∪i Ai) となる. すなわち, R ⊆ (∪N ,M>=1BN,M ) [ (∪i Ai) ・・・ (2) となる. 次に, 各BN,M は閉集合であることを示す. x ∈ R とxi ∈ BN,M (i >= 1) はxi → x (i → +∞) を満たすとする. このとき, x ∈ BN,M が成り立つことを示せばよい. そのためには, ∀y, z ∈ R[x － 1/M < y < x < z < x +1/M ) ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)] を示せばよい. さて, x － 1/M < y < x < z < x +1/M が成り立つようなy, z ∈ R を任意に取る. xi → x と補題1.6 により, i が十分大きければ xi － 1/M < y < xi < z < xi +1/M つづく