17/12/15 12:49:09.81 S7p1wcDw.net
>>40-41 >>44 補足
(抜粋)
・「トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示」
・定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。
・”系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。”（下記）
・ここらが、”開区間上リプシッツ連続定理”の反例にならないかな～（＾＾
(引用終わり)
（補足）
・まあ、要するに、トマエ関数（有理点たる不連続点が稠密に分散するが無理数点では連続）を、連続関数の１回の極限（Baire-1級関数）として、�
54:ﾀ現できる！ ・ならば、”変形”トマエ関数（リプシッツ不連続点が稠密に分散するが他の数点ではリプシッツ連続）を、連続関数の１回の極限（Baire-1級関数）として、実現できないのか？ こういう問題設定なのだが・・ どなたか、ご存知ないですかね？ もし、出来て、いままでに論文になっていなければ、 Baire-1級関数の研究として面白んじゃないかな？（＾＾
55:１３２人目の素数さん
17/12/15 12:51:42.24 S7p1wcDw.net
>>49-50
おっちゃん、どうも、スレ主です。
いつも、ご苦労さまです。
証明投稿の途中で、じゃまかな？（＾＾
そうそう、最初に証明すべき命題をきちんと書いてくれると助かるよ（＾＾
56:１３２人目の素数さん
17/12/15 12:53:30.18 8RLwNZRE.net
(>>50の続き)
[第３段]：正の実数εと実数 f(a) とに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、x-座標が有理点aとなる
連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) を完全集合とする。無理数 c_1∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R^2 から誘導された位相について、連結距離空間 R^2 の点 (a,f(a)) の R^2 の
ε-近傍 U_ε(a,f(a)) 上にx-座標が有理数なる R^2 の点は稠密に存在し、(a,f(a)) は孤立点ではない。
従って、A＝d/2 となって |f(a)－f(b)|≧ε＞d＝2A となることに着目し、三角不等式に注意すると、
任意に、すべての正整数nについて条件 |c_1－x_{1,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_1 に対して x_{1, m'_1}＝a であり、
すべての n≠m'_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるようなIの点列 { x_{1,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{1,n} }、及び或る非負実数 μ_1 がそれぞれ定まって、{ ε_{1,n} } は μ_1 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_1≦|f(c_1)－f(x_{1,n})|＜ε_{1,n}＜A となる。
同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、x-座標が有理点bとなる
連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) を完全集合とする。無理数 c_2∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R^2 から誘導された位相について、連結距離空間 R^2 の点 (b,f(b)) の R^2 の
ε-近傍 U_ε(b,f(b)) 上にx-座標が有理数なる R^2 の点は稠密に存在し、(b,f(b)) は孤立点ではない。
従って同様に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c_2－x_{2,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_2 に対して x_{2, m'_2}＝b であり、
すべての n≠m'_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるようなIの点列 { x_{2,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{2,n} }、及び或る非負実数 μ_2 がそれぞれ定まって、{ ε_{2,n} } は μ_2 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_2≦|f(c_2)－f(x_{2,n})|＜ε_{2,n}＜A となる。
57:１３２人目の素数さん
17/12/15 12:55:23.66 S7p1wcDw.net
>>51 補足
リプシッツ不連続点は、可算無限が元だが、まずは非可算でも面白そうだよ（＾＾
58:１３２人目の素数さん
17/12/15 12:56:00.96 8RLwNZRE.net
(>>53の続き)
[第４段]：故に c_1＝c_2 として点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{1,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_1 に対して x_{1, m_1}＝a であり、すべての n≠m_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるような
Iの点列 { x_{1,n} } が取れる。このとき更に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{2,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_2 に対して x_{2, m_2}＝b であり、すべての n≠m_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、各 i＝1,2 に対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A となる。
[第５段]：i＝1,n＝m_1 とすると、x_{1,m_1}＝a から |c－a|＜M であって、|f(c)－f(a)|＜A＝d/2。
同様に、i＝2,n＝m_2 とすると、x_{2,m_2}＝b から |c－b|＜M であって、|f(c)－f(b)|＜A＝d/2。
従って、三角不等式から、|a－b|≦|a－c|＋|c－b|＜M＋M＝2M、|f(a)－f(b)|≦|f(a)－f(c)|＋|f(c)－f(b)|＜d/2＋d/2＝d。
d/2 に対して定まる正の実数 δ(d/2) を δ(d/2)＝2M とおけば、|a－b|＜δ(d/2) であって |f(a)－f(b)|＜d＜ε、
故に、εに対して定まる正の実数 δ(ε) を δ(ε)＝δ(d/2) とおけば、|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|＜ε。
しかし、これは |f(a)－f(b)|≧ε であったことに反し矛盾する。背理法が適用出来るから、任意の正の実数εに対して、
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意のIの有理点a'と任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数a'となるような、
連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a',y) を完全集合とすると、区間Iで定義された
すべてのIの有理点で不連続、すべてのIの無理点で連続な実関数 f(x) は存在しないことになる。
59:１３２人目の素数さん
17/12/15 12:58:18.30 8RLwNZRE.net
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第６段]：Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
正の実数εを任意に取る。I上の無理点aを任意に取る。点aで微分可能な f(x) はaで連続だから、有理数の稠密性から、
通常の位相について、任意のI上のaを含む開区間上に有理数は稠密に存在し、aは孤立点ではない。
従って、或るIの有理点bが存在して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) に点 (b,f(b)) は存在し、(b,f(b)) は孤立点ではない。
0＜ε'＜ε なる実数ε'を任意に取る。ε'に対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε'-近傍 U_ε'(b,f(b)) 上において、x-座標のy、及びy-座標のy'が任意の実数
なるような連結距離空間 R^2 の点 (y,y') は稠密に存在し、(y,y') は孤立点ではない。開区間IはRの連結部分空間だから、
連結な距離空間 R^2 のε'-近傍 U_ε'(b,f(b)) 上において、yが任意のIの有理数、y'が任意の実数なるような
連結距離空間 R^2 の点 (y,y') は稠密に存在し、(y,y') は孤立点ではない。
0＜ε'＜ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、正の実数εを走らせつつ、ε'を条件 0＜ε'＜ε の下で走らせれば、
或る正の実数εに対して、或るIの有理数yと或る実数y'が両方共に存在して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (y,y') の R^2 のε-近傍 U_ε(y,y') は完全集合となる。従って、yが属しかつIに含まれるような
開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
60:１３２人目の素数さん
17/12/15 13:00:53.36 8RLwNZRE.net
あっ、>>56は>>55の続きで、新たな命題の証明。
61:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 15:35:16.05 S7p1wcDw.net
スマン
新スレだから、トリップとコテハンが抜けた（＾＾
62:１３２人目の素数さん
17/12/15 16:37:37.27 8RLwNZRE.net
>>49の訂正：
示す命題の仮定
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意の正の実数εに対し、
>任意のIの有理点aと任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数aとなるような、
>連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a,y) が完全集合とする。
は
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
に変更。
>>53の訂正：>>53のはじめの文
>…連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) を完全集合とする。
と途中の文
>同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、…連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) を完全集合とする。
は、それぞれ
>…連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) 「の閉包」を完全集合とする。
>同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、…連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) 「の閉包」を完全集合とする。
に訂正。「の閉包」を加える。
63:１３２人目の素数さん
17/12/15 16:40:48.25 8RLwNZRE.net
>>55の第５段の
>背理法が適用出来るから、任意の正の実数εに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
>任意のIの有理点a'と任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数a'となるような、
>連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a',y) を完全集合とすると、
の部分は
>背理法が適用出来るから、任意の正の実数εに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
>高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とすると、
に変更。
64:１３２人目の素数さん
17/12/15 16:45:18.79 8RLwNZRE.net
>>56の訂正：
或る正の実数εに対して、或るIの有理数yと或る実数y'が両方共に存在して、…
→ 或る正の実数εについて、或るIの有理数yに対して実数 f(y) が定まって、…
つまり、
>0＜ε'＜ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、
以降の「y'」は全部(或るyに対して定まる)「f(y)」に変更。
>0＜ε'＜ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、正の実数εを走らせつつ、ε'を条件 0＜ε'＜ε の下で走らせれば、
>或る正の実数εについて、或るIの有理数y�
65:ﾆ或る実数 f(y) が定まって、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、 >連結距離空間 R^2 上の点 (y,f(y)) の R^2 のε-近傍 U_ε(y,f(y)) は完全集合となる。従って、… の部分の「ε-近傍 U_ε(y,f(y)) は完全集合となる。」は「ε-近傍 U_ε(y,f(y)) の閉包は完全集合となる。」に訂正。 あと、下から4行目の「従って、…」とその直前の文「…「U_ε(y,f(y)) の閉包」は完全集合となる。」との間に、次の一文を挿入。 >同様にして考えると、或る正の実数ε'に対して、或るyとは異なるIの有理数y'に対して実数 f(y') が定まって、連結な距離空間 R^2 から >誘導される位相について、連結距離空間 R^2 上の点 (y',f(y')) の R^2 のε'-近傍 U_ε'(y',f(y')) の閉包は完全集合となる。 >従って、δ＝min(ε,ε') とおけば、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、連結距離空間 R^2 上の2点 (y,f(y))、(y',f(y')) の >各 R^2 のδ-近傍 U_δ(y,f(y))、U_δ(y',f(y')) の各閉包は両方共に完全集合となる。
66:１３２人目の素数さん
17/12/15 17:27:27.28 8RLwNZRE.net
じゃ、昨日余り寝ていないんで、おっちゃん寝る。
67:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 19:39:45.79 dUFtnfpO.net
>>62
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね～（＾＾
68:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 19:55:48.11 dUFtnfpO.net
>>52
まず
＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
Iを開区間とする。
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
＜おわり＞
申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
１）普通の開区間Iと何が違う？
２）”普通の１変数関数 （x,y）∈R^2 ｙ＝f(x) で、通常のユークリッド距離空間（√（x^2+y^2））”と何が違う？
３）”トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24”
URLﾘﾝｸ(corollary2525.hatenablog.com)
これ読んだか？
読んだ上で、なお、「任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない」だと？
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね～（＾＾
69:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 20:07:44.47 dUFtnfpO.net
>>56
(抜粋)
（命題）
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第６段]
（中略）
開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(引用終り)
ああ、ここで、上記 >>64 ＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
「Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。」を使っているのか？
だが、＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞には、反例として、>>64のトマエ関数が挙げられると思うよ
おれの>>34を全然読んでない～（＾＾
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね～（＾＾
このスレには、必須の人やね～（＾＾
70:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 21:22:34.52 dUFtnfpO.net
>>36 補足
話は飛びますが、みなさん、”どっきりカメラ”（下記）をご存知でしょう（＾＾
で、「こんな簡単な証明がなぜ分らないのだ！！ こら～！」と言われ、「はい、分りました」と言った後で
大学院DRコースの人とかが来て、「それ成り立たないよ」とかね。
あるいは、「この前の院の関数論講義で、成り立たないと言っていた」とか。そんな、「ドッキリ」が出てこないとも限らない
自分が、「確かにこの定理は成立するだろう」というかなりの確信が持てるまで、うっかり証明論争に巻き込まれないようにしたいねと
自分が、この証明を読んで、証明の成否を判断できるほど、私のレベルは高くない
で、いまのところ、一人だけ「正しいと思います」と言ったが
しかし、それ以外に賛否を明らかにした人は、まだいない
なので、しばらく、リプシッツ連続の勉強を兼ねて、
反例探しを、続けますよ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
元祖どっきりカメラ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ドッキリ
ドッキリとはバラエティ番組の表現手法のひとつ。番組進行を知らない、または虚偽の進行だけ知らされている出演者をだましたりイタズラを仕掛けたりして、出演者の反応を楽しむという手法。
語源は「ドッキリする」という心臓の鼓動が高まるほど驚く様子を表す言葉である（後述の元祖どっきりカメラの影響）。最後にネタばらしを行うが、ネタばらしは仕掛け人と呼ばれる進行役が番組名や
71:「ドッキリ」と書かれたプラカードを持って登場する方式が多い。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%86%E3%82%8F%E3%81%A3!%E3%83%80%E3%83%9E%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%9F%E5%A4%A7%E8%B3%9E うわっ!ダマされた大賞
72:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 21:45:11.26 dUFtnfpO.net
>>40 補足
反例の一つの可能性は、連続関数の１回の極限としてのBaire-1級関数で、
可算無限個のリプシッツ”不”連続点（＝内点を持たない）が、稠密に分散している関数
そういう関数が、反例として構成できる可能性がないか？
私には、どうすれば良いか
さっぱり浮かびませんがね～（＾＾
73:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 21:47:57.17 dUFtnfpO.net
>>67 訂正
可算無限個のリプシッツ”不”連続点（＝内点を持たない）が、稠密に分散している関数
↓
可算無限個のリプシッツ”不”連続点（＝内点を持たない）が、稠密に分散していて、それらリプシッツ”不”連続点以外ではリプシッツ連続な関数
74:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 23:21:02.39 dUFtnfpO.net
>>66 補足
いや、当然、あの定理を考えた人は、真剣に定理が成り立つと思っているのでしょう
が、証明が公開されたあとの、他の人の反応がね・・・
静か過ぎる（＾＾
ひょっとすると、皆さん正しい答えを知っていて、私が間違うのを待っている可能性もあるかなと（＾＾
なので、自分で定理の正否について、
ある程度の確信が持てない限り、「証明論争には、うっかり乗れません」ということです（＾＾
75:１３２人目の素数さん
17/12/15 23:34:23.34 esELFcoa.net
バカは黙ってな
76:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 23:59:51.61 dUFtnfpO.net
>>35 関連
”Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)”
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベール空間
定義
ベール空間の詳しい定義は、主にその時々に支配的だった需要と観点に起因して、時代とともに少しずつ変化してきた。まずは、よくある現代的定義を述べ、そのあとベールが与えたオリジナルの定義により近い歴史的定義を挙げる。
現代的定義
位相空間がベール空間であるとは、内部が空であるような閉集合からなる任意の可算族の合併は必ず内部が空になるときに言う。
この定義は以下のように同値な条件で言い換えることもできる。
・可算個の稠密開集合の交わりは必ず稠密になる。
・可算個の疎閉集合の合併の内部は必ず空になる。
・X の可算個の閉集合の合併が内点を持つ限り常に、それら閉集合の中に内点を持つものがある。
つづく
77:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 00:00:21.07 /2xvBEHK.net
>>71 つづき
歴史的定義
詳細は「第一類集合」を参照
ベールのオリジナルの定義では、範疇の概念が以下のように定義された。
位相空間 X の部分集合が、
X において疎あるいは至る所疎 (nowhere dense) であるとは、その閉包の内部が空であることを言う。
X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。
X において第二類 (second category) または痩せていない (nonmeagre) とは、それが X において第一類でないことを言う。
これらの言葉でベール空間の定義を述べると次のようになる：「位相空間 X がベール空間となるのは、任意の空でない開集合が X において第二類であるときである」。この定義は先述の現代的定義と同値である。
X の部分集合 A が残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X ? A が痩せていることを言う。位相空間 X がベール空間であるための必要十分条件は、X の任意の残留的部分空間が稠密になることである。
例
・実数の全体 R に通常の位相を考えたものはベール空間であり、したがって自分自身において第二類である。有理数の全体 Q は R において第一類であり、無理数の全体 P は R において第二類である。
・カントル集合 C はベール空間であり、したがって自分自身において第二類だが、C は単位閉区間 [0,?1] に通常の位相を入れたものにおいて第一類である。
・有理数の全体 Q に R からくる通常の位相を入れた空間はベール空間でない。これは Q が可算個ある各点 q に対応する一元集合 {q}（これは内点を持たない閉集合になっている）の合併として書けることによる。
(引用終り)
以上
78:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 00:00:49.29 /2xvBEHK.net
>>70
笑える
最下位くん、必死だな（＾＾
79:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 00:01:34.40 /2xvBEHK.net
>>70
こしぎんちゃく（＾＾
80:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 00:06:12.38 /2xvBEHK.net
>>72 関連
URLﾘﾝｸ(ejje.weblio.jp)
研究社 新英和中辞典での「meagre」の意味
meager
表記meager(米国英語), meagre(英国英語)
1貧弱な，乏しい，不十分な; 豊かでない.
81:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 07:44:16.55 /2xvBEHK.net
>>5 関連
>大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを
”A Pointwise Lipschitz Selection Theorem Article Miek Messerschmidt”
”Acknowledgement. The author would like to thank the MathOverflow community”だと
MathOverflow communityね
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net) Full-text (PDF)
A Pointwise Lipschitz Selection Theorem Article Miek Messerschmidt Institution University of Pretoria Department of Mathematics and Applied
Abstract
We prove that any correspondence (multi-function) mapping a metric space into a Banach space that satisfies a certain pointwise Lipschitz condition, always has a continuous selection that is pointwise Lipschitz on a dense set of its domain.
We apply our selection theorem to demonstrate a slight improvement to a well-known version of the classical Bartle-Graves Theorem: Any continuous linear surjection between infinite dimensional Banach spaces has a positively homogeneous continuous right inverse that is pointwise Lipschitz on a dense meager set of its domain.
An example devised by Aharoni and Lindenstrauss shows that our pointwise Lipschitz selection theorem is in some sense optimal: It is impossible to improve our pointwise Lipschitz selection theorem to one that yields a selection that is pointwise Lipschitz on the whole of its domain in general.
A Pointwise Lipschitz Selection Theorem (PDF Download Available). Available from: URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net) [accessed Dec 16 2017].
つづく
82:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 07:45:03.22 /2xvBEHK.net
>>76 つづき
Acknowledgement. The author would like to thank the MathOverflow community
(Nate Eldredge in particular, for pointing out the example in Remark 3.5 to the
author), and the anonymous referees of the paper for their constructive comments
and suggestions.
(引用終り)
追記：
これ、本当は最初arXivでヒットしたが、別キーワード検索で、上記researchgateがヒットしたので、このURLを採用した
以上
83:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 08:11:03.48 /2xvBEHK.net
>>71
戻る
（引用開始）
スレ47 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
594 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/12(火) 17:31:09.14 ID:14lo33mI [4/9]
以下の pdf に証明を書いた。
URLﾘﾝｸ(www.axfc.net)
なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いた
84:つもりである。 なお、「疎な閉集合」は「内点を持たない閉集合」と同じことであるから、 pdf の中では「疎な閉集合」という概念を導入せず、必要な個所では その都度 「内点を持たない閉集合」 という言葉に置き換えた。 (引用終り) つづく
85:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 08:11:35.92 /2xvBEHK.net
>>78 つづき
上記PDFより
(抜粋) （なお、この板では正確に記述できないので、原文PDFをご参照ください）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
証明
略
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
つづく
86:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 08:12:02.07 /2xvBEHK.net
>>79 つづき
で、定理1.7 より、>>21の
命題B
f：R → R であって、「xがリプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し、xがそれ以外でリプシッツ連続」
となるものは存在しない
∵定理1.7より、”f は(a, b) 上でリプシッツ連続である”と、”リプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し”とが、両立しないから
で、問題は、
１．命題Bが、いままで誰も発表していない定理なのか？（プロ数学界で）
２．”いままで誰も発表していない定理”だとすると、正しいとすると素晴らしいことだが、一方、命題Bが本当に成立しているのか？ ということが問題になる
いろいろ、”リプシッツ連続”について調べているのは、そういうわけです（＾＾
つづく
87:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 08:12:52.54 /2xvBEHK.net
>>80 つづき
>>71の
”Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)”
が
命題Bに近いか、ほぼ同じ意味なのか？
以上
88:１３２人目の素数さん
17/12/16 09:22:55.31 6lAUkPpQ.net
と、バカが独り言を重ねております
89:１３２人目の素数さん
17/12/16 10:55:38.86 Ysy8e8oN.net
［定理］
開集合Ωに含まれる任意のコンパクト集合で値が一致
するふたつ関数はΩ全体で一致する
［証明］
Ωに含まれる任意のコンパクト集合Kに対してΩ＼Kで
値が一致しないとしてもKの取り方は任意だからKよ
り大きいΩに含まれるコンパクト集合K'が存在してK'
で値が一致することになるが(Ω＼K)∩K'では値が一致
せずかつ値が一致するからΩ＼Kで値が一致しないこ
とはなくΩ全体で値が一致する［証明終了］
［解説］
要は任意に与えられたΩに含まれるコンパクト集合K
に属さないΩの点xで値が一致しないとしてもKの取り
方は任意だからxを含むようにKを取り直せばKにおい
て値が一致するからΩの点で値が一致しない点は存在
しないということ
90:１３２人目の素数さん
17/12/16 10:56:13.39 w5clnf6m.net
時枝記事を理解できないわけだよ
証明を全然読めないんだから
91:１３２人目の素数さん
17/12/16 10:58:03.27 w5clnf6m.net
>.>83
> ［証明］
> Ωに含まれる任意のコンパクト集合Kに対してΩ＼Kで
> 値が一致しないとしてもKの取り方は任意だからKよ
> り大きいΩに含まれるコンパクト集合K'が存在してK'
> で値が一致することになるが(Ω＼K)∩K'では値が一致
> せずかつ値が一致するからΩ＼Kで値が一致しないこ
> とはなくΩ全体で値が一致する［証明終了］
読点を使わずにこんなに長い日本文を書いてはいけない
92:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 11:43:49.45 /2xvBEHK.net
>>84-85
笑える
言っている尻からこれか？
おい、>>83の証明を読んでやれ！（＾＾
そうすりゃ、おれが素人証明を読まない気持ちが、分るだろう（＾＾
93:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 11:52:45.95 /2xvBEHK.net
おれが、素人証明を読む条件としては
１．その命題が、成立すると確信がある場合
２．その命題が、成立する場合でも、成書あるいはPDFなど出版物に証明がある場合は、そちらを主にして読む
３．まず読まないのが、この数学板に書き散らされた素人証明だよ
>>78のPDFは、まだ読めるが
条件１の「成立すると確信がある場合」に該当しないから、真剣に読むつもりなしだ
いま、条件２を探している
94:１３２人目の素数さん
17/12/16 12:02:21.68 6lAUkPpQ.net
と、素人以下のバカが申しております
95:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 12:21:33.78 /2xvBEHK.net
>>87 補足
正直、>>78のPDFは、ざっと読んだが
どこにギャップがあるか、分らなかったし、ギャップを見つける自信がなかった
なので、反例から攻めることにした
PDFの定理1.7（>>79）の証明を読むより、いろいろ自分で調べた文献を読む方が、面白いしね（＾＾
96:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 12:24:23.40 /2xvBEHK.net
>>87-88
時枝はさ、明らかに不成立だからね
証明なぞ、読む価値なしだよ
97:１３２人目の素数さん
17/12/16 12:30:23.81 6lAUkPpQ.net
＞１．その命題が、成立すると確信がある場合
＞２．その命題が、成立する場合でも、成書あるいはPDFなど出版物に証明がある場合は、そちらを主にして読む
と広言するからには教科書はバッチリかと思いきや、εδすら理解していないスレ主だったとさ
98:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 12:37:30.30 /2xvBEHK.net
他のスレでも上がっているが、一応アップする
（いまのところ、朝日のみ）
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
望月氏のＡＢＣ予想「証明」、独創的すぎて数学者も苦闘 朝日
嘉幡久敬、阿部彰芳2017年12月16日08時58分
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
数学の超難問・ＡＢＣ予想を「証明」 望月京大教授 朝日
石倉徹也2017年12月16日03時01分
99:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 12:46:47.44 /2xvBEHK.net
>>81
>>91
その”εδ”な、「スレ主、おまえ”εδ”分ってない。おれ、分っているぞ」と、言った方々
ピエロ、High level people、おっちゃん、”おまえ”（＾＾
みな、証明間違ったろ～（＾＾
>>78のPDFを書いた”ID:14lo33mI”さんとは、未決着だがね（＾＾
>>78のPDFについては、おいおい書いて行く
100:１３２人目の素数さん
17/12/16 12:57:40.78 wsqRW9GA.net
502 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/08/15(火) 19:14:09.11 ID:MgvDl1uC
【悲報】スレ主がεN論法を全く理解していないことが判明
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:473番)
＞∀n∈N,∃m∈N,n≦m
＞∃m∈N,∀n∈N,n≦m
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:497番)
＞命題１は、不成立。理由は、Nに上限はないから
＞命題２は、成立。理由は、第一条件であるｍ∈Nを取って、その範囲で、”第二条件（小前提）∀n∈N, 結論 n≦m”が成り立つようにできる
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:569番)
逆ですよー ：－）
命題1 は成立するのです。どんな n についても、それぞれの n がそれ以上の自然数を持っていますから。
命題2 は成立しません。すべての自然数nに対して絶対的に n <= m となる特定の自然数mは存在しません。
101:１３２人目の素数さん
17/12/16 13:23:35.24 wsqRW9GA.net
スレ主は「基本的なε－δ論法」を理解していないので証明を読むのは無理なのであった。
649 １３２人目の素数さん sage 2017/12/13(水) 21:47:45.73 ID:Emn1o5My
>>644
まずは補題1.5から始める。
補題1.5は、実質的には 0.5ページ 程度の分量しかない。その内容も、
limsup の定義に沿って基本的なε－δ論法を展開するだけである。
この程度の内容が読めないわけがないし、この程度の内容に徒労もクソもない。
102:１３２人目の素数さん
17/12/16 13:27:21.76 9/yG/0pd.net
>>64
おっちゃんです。
>＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
>Iを開区間とする。
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
>このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
>＜おわり＞
>
>申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
その命題の意味？ 開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、
かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しないことを示すための準備。
この場合は完全集合は閉区間と同じ扱いになる。その完全集合つまり閉区間についての
元の仮定が偽で、結論も偽の命題なんだから、対偶を取れば正しい命題になって数学的には正しい命題になる。
今気付いたが、ε-δ だけで示せるだろう。ただ、もっと長くなるとは思う。
>１）普通の開区間Iと何が違う？
この場合も含めて普通は、連結な距離空間 R^2 に定められた距離関数はユークリッド平面 R^2 に
定義された任意の2点に定義された通常の距離の取り方をするが、距離関数の取り方次第では
他の距離関数が定義されたユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うことも出来る。
このときは空間 R^2 を通常のユークリッド平面 R^2 とは異なる扱いをすることになる。
そして、ユークリッド平面 R^2 からその高々有限個の点からなる
離散距離空間を構成することも出来て、通常の距離とは異なる扱いをすることも出来る。
>２）”普通の１変数関数 （x,y）∈R^2 ｙ＝f(x) で、通常のユークリッド距離空間（√（x^2+y^2））”と何が違う？
この場合は普通のユークリッド距離関数と同じと考えて問題はない。
普通はユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うとき、その距離関数は任意の2点間に定義されたような通常の距離関数の取り方をする。
103:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:27:28.54 /2xvBEHK.net
>>79 補足
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
これで、
１．”内点を持たない閉集合”とは、平たく言えば、「ただ１点」ってことだ
２．”被覆できる”とは、平たく言えば、「和集合」ってことだ
３．で、”高々可算”というけれど、有限なら、「 f は(a, b) 上でリプシッツ連続」はトリビアだ
４．もし、”可算無限”でも、どこかに偏在すれば、当然偏在箇所以外では、「 f は(a, b) 上でリプシッツ連続」もトリビアだ
５．だから、この定理1.7のキモは、「”可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは（数学的に）ありえない」ということ
（∵「リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散」ならば、”(a, b) 上でリプシッツ連続”と矛盾するから）
つづく
104:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:28:10.27 /2xvBEHK.net
>>97 つづき
６．で、”可算無限”は本質だな
例えば、>>81 THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.
" In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)"
ここで、”on a co-meager set”は、dense（稠密）。（∵ 最初の仮定 ”each dense in the reals”だから）
co-meagerは、非可算濃度（∵ >>72より 「残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X ＼ A が痩せていることを言う。」
「X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。」）
（なお>>35 "** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)" も補足しておく。）
７．つまり、かの定理1.7は、ちょうど「”可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは（数学的に）ありえない」という主張に等価
（「”非可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは（数学的に）可能」であるにも拘わらず）
で、私スレ主が、疑問に思うのは、「本当に、それ成り立つのか？」ということ
それを、いま調べているのだ
以上
105:１３２人目の素数さん
17/12/16 13:33:03.68 6lAUkPpQ.net
>>93
＞その”εδ”な、「スレ主、おまえ”εδ”分ってない。おれ、分っているぞ」と、言った方々
＞ピエロ、High level people、おっちゃん、”おまえ”（＾＾
＞みな、証明間違ったろ～（＾＾
相変わらず錯乱してるｗ 証明？ 間違った？ ちゃんと薬飲めよ？
106:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:33:29.35 /2xvBEHK.net
>>93-95
つー、>>97-98（＾＾
107:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:36:02.55 /2xvBEHK.net
>>99
では、質問二つ
１．時枝の成立を信じているかい？（＾＾
２．>>78のPDFの証明読んだか？ 正しいと思うかい？（＾＾
108:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:39:59.94 /2xvBEHK.net
>>96
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>>34 URLﾘﾝｸ(corollary2525.hatenablog.com)
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24
(抜粋)
定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．
(引用終り)
を熟読願いたし（＾＾
>元の仮定が偽で、結論も偽の命題なんだから、対偶を取れば正しい命題になって数学的には正しい命題になる。
意味分らん（＾＾
109:１３２人目の素数さん
17/12/16 13:48:58.96 9/yG/0pd.net
>>102
対偶を取って命題を把握しろってことだよ。
前提をp、結論をqとしたら、命題 p⇒q とその対偶の命題 ￢q ⇒ ￢p とは同値な命題になるだろ。
これは高校で習ったろ。
110:１３２人目の素数さん
17/12/16 13:49:20.41 6lAUkPpQ.net
>>93
しかも日本語が全く読めていない
俺は
-----------------------------------
＞１．その命題が、成立すると確信がある場合
＞２．その命題が、成立する場合でも、成書あるいはPDFなど出版物に証明がある場合は、そちらを主にして読む
と広言するからには教科書はバッチリかと思いきや、εδすら理解していないスレ主だったとさ
-----------------------------------
と言ったにもかかわらず、何�
111:ﾌか教科書すら理解していないことには全く触れず 他人の中傷を始める始末。（スレ主がεδを理解していないことは事実なので中傷 ではない。一方俺が証明を間違えたというのは事実ではないので中傷である。） スレ主に数学は20年早い、国語と道徳からやり直すべき。
112:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:58:01.32 /2xvBEHK.net
>>104
最下位のこしぎんちゃくが、なにを焦っている（＾＾
日本語が全く読めていない
質問二つ
１．時枝の成立を信じているかい？（＾＾
２．>>78のPDFの証明読んだか？ 正しいと思うかい？（＾＾
（>>101より再録）
113:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:59:11.20 /2xvBEHK.net
>>103
おっちゃん、どうも、スレ主です。
対偶は、いいわ。些末だから
>>34 URLﾘﾝｸ(corollary2525.hatenablog.com)
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24
(抜粋)
定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．
(引用終り)
を熟読願いたし（＾＾
114:１３２人目の素数さん
17/12/16 14:07:43.30 6lAUkPpQ.net
＞１．時枝の成立を信じているかい？（＾＾
信じる信じないではない、正しいか正しくないかだ。
時枝記事は正しい。
スレ主は学力が無いから理解できないだけのこと。
＞２．>>78のPDFの証明読んだか？ 正しいと思うかい？（＾＾
読んでない。
115:１３２人目の素数さん
17/12/16 14:09:01.41 6lAUkPpQ.net
＞なにを焦っている（＾＾
焦って数学なぞに手を出してるのはスレ主
お前が今すべきは国語と道徳の学習だ
116:１３２人目の素数さん
17/12/16 14:10:11.89 6lAUkPpQ.net
それと薬も欠かさず飲むこと
117:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:36:58.33 /2xvBEHK.net
>>98 関連
（>>35より、いままでと、重複もあるが、”co-meager”関連引用）
URLﾘﾝｸ(mathforum.org)
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker than any power of f gives behavior that one would expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that eventually majorizes every power function.
Define f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these functions fail to be differentiable is large in the sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points.
In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
つづく
118:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:37:26.86 /2xvBEHK.net
>>110 つづき
[13] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at irrationals and discontinuous at rationals", abstract of talk given 2 November 1963 at the annual fall meeting of the Minnesota Section of the MAA, American Mathematical Monthly 71 #3 (March 1964), 349.
The complete text of the abstract follows, with minor editing changes to accommodate ASCII format.
Earlier results of Porter, Fort, and others suggest additional questions about the functions in the title. Differentiability and Lipschitz conditions are considered. Special attention ispaid to the ruler function (f) and its powers.
Sample results:
THEOREM:
If 0 < r < 2, f^r is nowhere Lipschitzian; f^2 is nowhere differentiable, but is Lipschitzian on a dense subset of the reals.
THEOREM:
If r > 0, f^r is continuous but not Lipschitzian at every Liouville number;
if r > 2, f^r is differentiable at every algebraic irrational.
THEOREM:
If g is continuous at the irrationals and not continuous at the rationals, then there exists a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
つづく
119:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:37:52.20 /2xvBEHK.net
>>111 つづき
[15] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at the irrationals and discontinuous at the rationals", American Mathematical Monthly 72 #4 (April 1965), 370-373. [MR 31 #3550; Zbl 131.29201]
NOTE: Sengupta/Lahiri had essentially obtained this result in 1957 (the points of discontinuity have to form an F_sigma set, however).
See my remark in [13] above.
This result is also proved in Gerald Arthur Heuer, "A property of functions discontinuous on a dense set", American Mathematical Monthly 73 #4 (April 1966), 378-379 [MR 34 #2791].
Heuer proves that for each 0 < s <= 1 and for each f:R --> R such that {x: f is continuous at x} is dense in R and {x: f is not continuous at x} is dense in R, the set of points where f does not satisfy a pointwise Holder condition of order s is the complement of a first category set (i.e. a co-meager set).
By choosing s < 1, we obtain a stronger version of Sengupta/Lahiri's result.
By intersecting theco-meager sets for s = 1/2, 1/3, 1/4, ..., we get a co-meager set G such that, for each x in G, f doesnot satisfy a pointwise Holder condition at x forany positive Holder exponent.
(Heuer does not explicitly state this last result.)
A metric space version of Heuer's result for an arbitrary given pointwise modulus of continuity condition is essentially given in: Edward Maurice Beesley, Anthony Perry Morse, and Donald Chesley Pfaff, "Lipschitzian points", American Mathematical Monthly 79 #6 (June/July 1972), 603-608 [MR 46 #304; Zbl 239.26004].
See also the last theorem in Norton [17] below.
つづく
120:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:38:16.03 /2xvBEHK.net
>>112 つづき
[17] Alec Norton [Kercheval], "Continued fractions and differentiability of functions", American Mathematical Monthly 95 #7 (Aug./Sept. 1988), 639-643. [MR 89j:26009; Zbl 654.26006]
On p. 643, Norton proves the following result.
THEOREM:
Let f:R --> R be discontinuous on a set of points that is dense in R.
Then there exists a co-meager (i.e. residual) set B such that for all x in B and for all s > 0, f fails to satisfy a pointwise Holder condition of order (exponent) s at x.
NOTE: See also the comments I make in Heuer [15] and Nymann [16] above.
(引用終り)
以上
121:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:38:38.85 /2xvBEHK.net
>>107
ご苦労さん
正直で良いわ
122:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:39:16.74 /2xvBEHK.net
>>108
確かに、あんた、道徳はOKかも（>>114）
うそつきサイコパスのピエロとは、違うね（＾＾
123:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:43:18.58 /2xvBEHK.net
>>110
>(Each co-meager set has c points in every interval.)
"c points"の意味が分らん（＾＾
”critical”か”cotinuous”かな？
124:１３２人目の素数さん
17/12/16 14:44:36.41 6lAUkPpQ.net
＞正直で良いわ
つまり学力不足で時枝記事を理解できないと認めるわけだな？
125:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 15:04:54.86 /2xvBEHK.net
>>116
>"c points"の意味が分らん（＾＾
違うかも知れないが、検索ヒットと他にめぼしいヒットがないので下記を貼る
（下記だと、cは連続濃度の意味だね）
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
(抜粋)
Is a random subset of the real numbers non-measurable? Is the set of measurable sets measurable?
edited Nov 29 '12 at 22:06
19 answered Jul 16 '12
The answer to your second question (assuming the axiom of choice, to dodge Asaf's comment) is that 2^R/Σ has dimension 2^c, where c=2^?0 is the cardinality of the continuum.
The main ingredient of the proof is a partition of [0,1] into c subsets, each of which intersects every uncountable closed subset of [0,1].
To get such a partition,
first note that there are only c closed subsets of [0,1], so you can list them in a sequence of length (the initial ordinal of cardinality) c in such a way that each closed set is listed c times.
Second, recall that every uncountable closed subset of [0,1] has cardinality c.
Finally, do a transfinite inductive construction of c sets in c steps as follows:
At any step, if the closed set at that position in your list is C and if this is its α-th occurrence in the list,
then put an element of C into the α-th of the sets under construction, being careful to use an element of C that hasn't already been put into another of the sets under construction.
You can be this careful, because fewer than c points have been put into any of your sets in the fewer than c preceding stages, while C has c points to choose from. At the end, if some points in [0,1] remain unassigned to any of the sets under construction, put them into some of these sets arbitrarily, to get a partition of [0,1].
つづく
126:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 15:05:17.21 /2xvBEHK.net
>>118 つづき
Once you have this partition, notice that every piece has outer measure 1, because otherwise it would be disjoint from some closed set that has positive measure and is therefore uncountable. This implies that, among the 2c2c sets that you can form as unions of your partition's pieces, only φ and [0,1] can be measurable.
In particular, no finite, nonempty, symmetric difference of these pieces is measurable.
That is, they represent linearly independent elements of 2^R/Σ.
(引用終り)
127:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 15:09:33.82 /2xvBEHK.net
>>117
いやいや、正直は、PDF読んでないの方
時枝の誤読は、君だけじゃない。最下位レベルでは無理ないよ
128:１３２人目の素数さん
17/12/16 15:16:14.27 6lAUkPpQ.net
>>120
誤読とは？
129:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 15:32:29.99 /2xvBEHK.net
>>111
フルペーパーまではゲットできず（＾＾
まあ、Abstractだけでも
URLﾘﾝｸ(www.calmathsoc.org)
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society
Article Details
Article ID B.1957.49.31
Title A Note on Derivatives of a Function
Author H.M. Sengupta & B.K. Lahiri
Issue Vol. 49, No. 4, - 1957
Article No. 31, Pages 189-191
Abstract
Recently Prof. Fort Jr. (1951) has proved a striking theorem regarding the differentiability of a function which is discontinuous over an everywhere dense set and continuous over an everywhere dense set.
He has proved that if the set of points where the function is discontinuous be everywhere dense and if there be an everywhere dense set of points where f(x) is continuous, then the set of points (if it exists) where the function is differentiable is a set of the first category.
He proves this by showing that the set of points where f(x) is continuous but not differentiable is a residual set.
In this note it is a proposed to show that in case there is an everywhere dense set of points when f(x) is discontinuous and an everywhere dense set of points where f(x) is continuous, then there always exists a residual set at each point of which at least one of the four derivatives D^+f, D_+f, D^-f is infinite.
In this connection, we refer to an article by W.H. Young (1903) [see Hobson, 1927] where it is proved that for any function f(x) defined in a
Latex Reference [BiBTeX format]
@ARTICLE { [citing tag of your choice],
? ?AUTHOR = {H.M. Sengupta & B.K. Lahiri},
? ?TITLE = {A Note on Derivatives of a Function},
? ?YEAR = {1957},
? ?JOURNAL = "Bulletin of Cal. Math. Soc.",
? ?VOLUME = {49},
? ?NUMBER = {4},
? ?PAGES = {189-191} }
以上
130:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 15:33:03.62 /2xvBEHK.net
>>121
「ぷふ」さんが教えてくれるよ（＾＾
131:１３２人目の素数さん
17/12/16 15:54:07.85 6lAUkPpQ.net
>>123
一言も見解を述べれなかったアホに何ができるって？
132:１３２人目の素数さん
17/12/16 16:04:32.84 9/yG/0pd.net
>>106
トーメ関数でも何でもいいけど、それとよく似た性質を持つような、
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x)
の存在性によって
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個の開区間Iの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε] 「のみに限り完全集合となるようなことはあり得ない」。
となって、元の仮定が否定がされるから、
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、2個以上の正の実数εに対し、
>3個の開区間Iの相異なる有理点 a,b,c に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε]、[c＋ε, c＋ε] は完全集合となる。
というごく当たり前のことが従う。
133:１３２人目の素数さん
17/12/16 16:14:51.15 9/yG/0pd.net
>>106
>>125の訂正：
下から6行目： [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε] → [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε]
下から2行目： [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε]、[c＋ε, c＋ε] → [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε]、[c－ε, c＋ε]
134:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 16:21:46.09 /2xvBEHK.net
>>97-98
＜いままで読み込んだ調査文献からの暫定結論＞
１．>>110 "Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals."
↓
”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
(Each co-meager set has c points in every interval.)”
なので、”continuous and discontinuous”＆”each dense”は、本質で、これを、”リプシッツ連続とリプシッツ"不"連続”＆”each dense”に緩めることはできない
２．その理由は、”continuous and discontinuous”＆”each dense”の絡みで、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set."
が出るのであって、リプシッツ"不"連続に緩めたら、”a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition”は言えないだろうということ
（１と同じことの言い換えみたいだが・・、うまく書けないね（＾＾ ）
３．あと、まだ分らないのが、無理数と有理数に限定した、ruler-like functionsや下記の変形トマエ関数などで、関数の減衰で、無理数での微分可能点が増減するメカニズム
４．あと、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }と置く:
もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
で、R上R－Bfが稠密になる関数が、反例として本当に構成できるかどうか？（可能と思うが・・）
（R－Bfは、リプシッツ"不"連続であって、通常の不連続とは違うという理解なのだが、それで良いかどうかも、そこがいまいち分らんが・・（＾＾ ）
まあ、もう少し調べるか（＾＾
つづく
135:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 16:22:20.86 /2xvBEHK.net
>>127 つづき
（参考）
スレ46 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:398番)
＜引用＞
URLﾘﾝｸ(www.unirioja.es)
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION,
DIOPHANTINE APPROXIMATION,
AND A REFORMULATION
OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM
JUAN LUIS VARONA
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Vol-
ume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.
Received 29 February 2008; accepted for publication 6 October 2009.
(抜粋)
ここに
fν(x)
＝0 if x ∈ R - Q（無理数）
＝1/q^ν if x = p/q ∈ Q, irreducible （有理数で既約分数）
で
Theorem 1. For ν > 2, the function
136:fν is discontinuous (and consequently not differentiable) at the rationals, and continuous at the irrationals. With respect the differentiability, we have: (a) For every irrational number x with bounded elements in its continued fraction expansion, fν is differentiable at x. (b) There exist infinitely many irrational numbers x such that fν is not differentiable at x. Moreover, the sets of numbers that fulfill (a) and (b) are both of them un-countable. (引用終り) 以上
137:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 16:25:43.98 /2xvBEHK.net
>>124
何をして貰えるかって？
「ぷふ」さんに聞いてみな（＾＾
138:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 16:30:16.01 /2xvBEHK.net
>>125
おっちゃん、どうも、スレ主です。
１．
おっちゃんの定理
（>>96より）
”このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。”
２．
トマエ関数
（>>106より）
定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．
この１と２は、矛盾しないのかと、聞いているのだが？
139:１３２人目の素数さん
17/12/16 16:43:09.16 9/yG/0pd.net
>>130
私が示したのは
>開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) が存在ならば、
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個の開区間Iの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] を完全集合とする「ことは出来ない」。
の方(の対偶)だよ。トーメ関数及びそれによく似た性質を持つ関数は数学的に存在するから何も問題ないだろ。
140:１３２人目の素数さん
17/12/16 16:58:17.31 9/yG/0pd.net
>>130
一応、>>131の
>トーメ関数及びそれによく似た性質を持つ関数は数学的に存在するから何も問題ないだろ。
の部分は
>(任意の)閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] は完全集合だから問題ないだろ。
と書くべきだった。
141:１３２人目の素数さん
17/12/16 17:17:43.14 6lAUkPpQ.net
>>129
アホに聞いても無意味
142:１３２人目の素数さん
17/12/16 17:56:34.85 iHlQmc+f.net
スレ主のヤツ、、、
スレが進むにつれて、どんどん態度がデカくなってる、というか悪くなってるな。
何か勘違いしてるわな。
143:１３２人目の素数さん
17/12/16 18:10:39.16 6lAUkPpQ.net
そもそも
ぷはこれといった数学的発言を一度もしていない
にもかかわらず何故スレ主はぷを手放しで称賛するのか？
不自然極まりないではないか？
潔く白状せよスレ主
144:１３２人目の素数さん
17/12/16 18:12:07.20 wsqRW9GA.net
>>134
スレ主みたいな性格の悪い人が現実にいると思うと怖いよね
145:１３２人目の素数さん
17/12/16 19:46:34.14 1gDMckgM.net
>>136
証明書いた人？
146:１３２人目の素数さん
17/12/16 19:48:09.08 wsqRW9GA.net
>>137
いいえ
ぷ君こんばんは
147:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 21:15:20.68 /2xvBEHK.net
>>137-138
これだけで、「ぷふ」さんと分るのか・・？ （おれには分らなかったがね（＾＾ ）
とすると、ID:wsqRW9GAは、High level people かい？
148:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 21:18:58.84 /2xvBEHK.net
>>131
>>連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] を完全集合とする「ことは出来ない」。
"完全集合"? うーん、意味わからん・・（＾＾
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
完全集合 かんぜんしゅうごうperfect set
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
(抜粋)
位相空間 S の部分集合 A が完全集合であるとは，A が孤立点をもたない閉集合であることをいう。すなわち，A の集積点の全体 A' が A と一致するときである。
世界大百科事典内の完全集合の言及
【集合】より
… 集合Sに対し，Sの集積点全体のなす集合をSの導集合という。それがSと一致するとき，Sは完全集合であるという。
［カントル集合］
次に示すカントル集合は，(1)完全集合であって，(2)内点をもたず，(3)どんな正数εを与えても，長さの和がε以内であるような線分で覆うことができるということから，長さ0と考えられ，(4)濃度は連続体の濃度であるということで有名である。…
※「完全集合」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(pc1.math.gakushuin.ac.jp)
12. '16位相空間 川崎 徹郎 教授 学習院数学科
(抜粋)
定義(X，O) を位相空間とする。その部分集合A X に対して：
(i) A の集積点の全体をAd またはA′ で表して，A の導集合という。（触点の全体は閉包である。）
(ii) A の境界点の全体を∂A で表して，A の境界という。
(iii) A の内点の全体をIntA で表して，A の内部という。
(iv) A = Ad を満たすとき，A を完全集合という。
注意距離空間の場合，導集合Ad は閉集合であるが，一般の位相空間においては，閉集合とは限らない。
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(pc1.math.gakushuin.ac.jp)
ようこそ！ 川崎研究室文庫です。
URLﾘﾝｸ(www.math.gakushuin.ac.jp)
川崎 徹郎 教授 学習院数学科 かわさき てつろう KAWASKI, Teturou 専攻分野： 位相幾何学
149:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 21:30:49.65 /2xvBEHK.net
>>140
>位相空間 S の部分集合 A が完全集合であるとは，A が孤立点をもたない閉集合であることをいう。
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
孤立点
(抜粋)
位相空間論において、位相空間 X の点 x が X の部分集合 S の孤立点（こりつてん、英: isolated point）であるとは、x が S に属し、かつ、x の近傍であって x 以外の S の点がひとつも含まれないようなものが存在することをいう。
特に X がユークリッド空間（あるいはもっと一般の距離空間）の場合に即して言えば、x が S の孤立点であるとは、x を中心とする開球体のうち x 以外の S の点を含まないものが存在するということを意味する。
別な言葉で言えば、点 x ∈ S が S において孤立するための必要十分な条件は、x が S の集積点とはならないことである。
孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
（これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。
一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値（英語版）を距離函数とした距離空間）。離散空間も参照。
孤立点を持たない集合は自己稠密（英語版）であるという。孤立点を持たない閉集合を完全集合（英語版）という。
つづく
150:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 21:31:27.99 /2xvBEHK.net
>>141 つづき
直観に反する例
実数直線内の開区間 (0, 1) に属する点 x であって、その二進小数展開の各位の数 (digit) xi が以下のような条件をすべて満足するもの全体の成す集合を F とする。
・xi = 0 または xi = 1 の何れかが成り立つ。
・xi = 1 となる添字 i は有限個しかない。
・m が xm = 1 なる最大の添字ならば xm?1 = 0 が成り立つ。
・xi = 1 かつ i < m ならば xi?1 = 1 または xi+1 = 1 が二者択一で成り立つ。
これは感覚的に言えば、x の二進小数展開の各位の数で 1 に等しいものはどれも連続した 1 の対で現れるが、最後の一つは孤立するということである。
さて F は全く孤立点のみからなる陽に表された集合である[1]一方で、F はその閉包が非可算集合になるという直観に反する性質を持つ[2]。
同様の性質を持つ集合 F の別な例は、単位閉区間 [0, 1] 内のカントール集合の補集合において、その各連結成分から一点（例えば中央点）を選び出すことでも与えられる。この集合の各点は孤立するが、F の閉包は F とカントール集合との合併であり、可算でない。
[1][2] URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
Gomez-Ramirez, Danny (2007), “An explicit set of isolated points in R with uncountable closure”, Matematicas: Ensenanza universitaria (Escuela Regional de Matematicas. Universidad del Valle, Colombia) 15: 145?147
(引用終り)
以上
151:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 21:37:38.71 /2xvBEHK.net
>>141 補足
”孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
（これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。”
これは、常識として覚えておかねば（＾＾
>一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値（英語版）を距離函数とした距離空間）。離散空間も参照。
「可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値（英語版）を距離函数とした距離空間）」
か
意味分らん。Qに距離を導入すると、離散的でない集合になるのかな・・（＾＾
>孤立点を持たない集合は自己稠密（英語版）であるという。孤立点を持たない閉集合を完全集合（英語版）という。
なるほど（＾＾
152:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 22:33:15.57 /2xvBEHK.net
>>143
>一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値（英語版）を距離函数とした距離空間）。離散空間も参照。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学の位相空間論周辺分野における離散空間（りさんくうかん、英: discrete space）は、その点がすべてある意味で互いに「孤立」しているような空間で、位相空間（またはそれと同様の構造）の非常に単純で極端な例の一つを与える。
性質
離散距離空間上の一様系は離散一様系であり、離散一様空間上の位相は離散位相である。故に、先に離散空間として挙げたいくつかの概念は、互いに両立する。他方、一様空間あるいは距離空間として離散でないものの中に、その位相が離散位相となるものが存在する。
例えば、実数直線における通常の距離からくる距離空間 X := {1/n : n = 1, 2, 3, …} を考えると、これが離散距離空間でないこと、また（完備でないから）一様空間としても離散でないことは明らかである。にもかかわらず、これは離散位相を備えた離散位相空間になる。
すなわち、この X は「位相的に離散」だが、「一様離散」でも「距離的に離散」でもないということになる。
さらに以下のようなことが成り立つ。
・離散空間の位相次元は 0 である。
・位相空間が離散であるための必要十分条件は、その一元集合が必ず開になることであり、あるいはそれが集積点を一切含まないことである。
・任意の離散位相空間は各種の分離公理を全て満たす。特に、任意の離散空間はハウスドルフ空間、つまり分離空間である。
・離散空間がコンパクトであることと、それが有限集合であることとは同値である。
・任意の離散一様空間あるいは離散距離空間は必ず完備空間である。
・上二つの事実をあわせれば、任意の離散一様または距離空間が全有界であるための必要十分条件は、それが有限集合であることである。
・任意の離散距離空間は有界空間である。
・任意の離散空間は第一可算空間であり、さらに第二可算空間であることと可算であることとが同値になる。
・少なくとも二点を含む任意の離散空間は完全不連結である。
つづく
153:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 22:33:36.89 /2xvBEHK.net
>>144 つづき
・任意の空でない離散空間は、ベールの第二類である。
・濃度が同じ二つの離散空間は互いに同相である。
・任意の離散空間は離散距離によって距離化可能である。
・有限空間が距離化可能なのは、それが離散空間であるときに限る。
・X が位相空間で Y が離散位相を備えた集合ならば、X は X × Y 二よって十分に被覆される（射影が所期の被覆になる）。
つづく
154:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 22:35:22.25 /2xvBEHK.net
>>145 つづき
離散位相空間から他の位相空間への任意の写像は連続であり、離散一様空間から他の一様空間への任意の写像は一様連続になる。つまり、離散空間 X は位相空間と連続写像の圏および一様空間と一様連続写像の圏における X 上の自由対象である。これらのことは、離散構造が集合上自由であるというより広い現象の例になっている。
距離空間の場合は、距離空間の圏においては射の取りようによって複数の圏を考えうるから、事態はより複雑になる。射として一様連続写像の全体や連続写像の全体を取れば、確かに離散位相空間は自由だが、これでは一様構造や位相構造について考えただけで、距離構造については何も言っていないに等しい。
距離構造についてより関連のある圏は、射をリプシッツ連続写像や弱縮小写像に限ればよいが、これらの圏は（二元以上を持つ集合上で）自由対象を持たない。それでも、離散距離空間は有界距離空間とリプシッツ連続写像の圏における自由対象であり、1 で押さえられる有界距離空間と弱縮小写像の圏における自由対象となる。
すなわち、離散距離空間からベルの有界距離空間への任意の写像はリプシッツ連続になり、離散距離空間から別の 1 で押さえられる有界距離空間への任意の写像は弱縮小になる。
別な方向で考えると、位相空間 Y から離散空間 X への写像 f が連続になるための必要十分条件は、それが局所定数函数になる（つまり、Y の各点の近傍でその上で f が定数となるようなものが存在する）になることである。
応用例
離散構造は、集合上にほかに自然な位相や一様系、距離が入らないときの「何もしない構造」としてもよく用いられる。また、離散構造は特定の仮定における「極端な」例としても用いられる。
例えば、任意の群は離散位相を与えることにより位相群と考えることができ、それにより位相群に対する結果を任意の群に対して適用することができる。実際、代数学で研究されてきた通常の非位相群について、解析学的に離散群として言及することがある。
これはいくつかの場合において実際に有効に応用されており、例えば、ポントリャーギン双対などが得られている。0-次元位相多様体（あるいは可微分多様体や解析的多様体）は離散位相空間に他ならないから、任意の離散群を 0-次元リー群と見ることもできる。
つづく
155:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 22:35:51.30 /2xvBEHK.net
>>146 つづき
自然数全体の成す離散空間の可算無限個のコピーの直積は、無理数全体の成す空間に同相であり、同相写像は連分数展開によって与えられる。二点から成る離散空間 {0, 1} の可算無限個のコピーの直積はカントール集合に同相であり、この直積に直積一様系を考えれば、実は一様同相になる。この同相写像は三進展開から得られる（カントール空間を参照）。
数学基礎論において、{0, 1} の積のコンパクト性の研究は、（選択公理よりも弱い）超フィルター原理への位相的取り組みにおいて中心的である。
密着位相
詳細は「密着空間」を参照
離散空間の対極にあるのが密着空間である（密着空間の位相は自明位相とも呼ばれる）。これは開集合の数が可能な限り最小（つまり空集合と全体集合のみ）となるような空間である。離散位相が始対象・自由対象であるのに対して、密着位相は終対象・余自由対象になる。つまり、位相空間「から」密着空間「への」任意の写像は連続になる、などの性質がなりたつ。
つづく
156:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 22:36:32.73 /2xvBEHK.net
>>147 つづき
関連項目
円筒集合
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cylinder set
(抜粋)
In mathematics, a cylinder set is the natural open set of a product topology. Cylinder sets are particularly useful in providing the base of the natural topology of the product of a countable number of copies of a set.
If V is a finite set, then each element of V can be represented by a letter, and the countable product can be represented by the collection of strings of letters.
Applications
Cylinder sets over topological vector spaces are the core ingredient in the formal definition of the Feynman path integral or functional integral of quantum field theory, and the partition function of statistical mechanics.
(引用終り)
以上
157:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 22:47:53.73 /2xvBEHK.net
>>144
>・位相空間が離散であるための必要十分条件は、その一元集合が必ず開になることであり、あるいはそれが集積点を一切含まないことである。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単集合 （一元集合から転送）
(抜粋)
数学における単集合（たんしゅうごう、英: singleton; 単元集合、単項集合、一元集合）あるいは単位集合（unit set[1]）は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。
例えば、{0} という集合は単集合である。
性質
ツェルメロ・フレンケル集合論の枠組みの中では正則性の公理が「自身を元とする集合」が存在しないことを保証するから、単元集合とその単元集合を含む集合とは必然的に
158:異なる数学的対象を意味するものとなる[1]。 つまり、1 と {1} とは同じものではないし、空集合のみからなる単項集合 {?} は 空集合 ? ではない。また、例えば、{{1, 2, 3}} のような集合も唯一の集合（それ自体は単集合ではないが）を元として持つ単集合である。 単集合であることと、その集合の濃度が 1 であることは同値である。自然数の集合論的構成において、自然数の 1 とは単集合 {0} のことと定義される。 公理的集合論において、対の公理からの帰結として単元集合の存在が導かれる。 即ち、任意の集合 A に対して、A と A に対して対の公理を適用すれば {A, A} なる集合の存在が保証されるが、これは A のみを元に持ちそれ以外の元は持たないから、単元集合 {A} に他ならない。 ここで A は任意の集合でよい、といっても集合がそもそもまったく存在しない場合には意味がないが、空集合の公理があれば少なくとも空集合 ? は集合になるから、A = ? ととって先の議論は正当化できる。 任意の集合 A と単集合 S に対し、A から S への写像はちょうど一つだけ存在する（それは A の各元を S の唯一の元へ写すものである）。従って任意の単元集合は集合の圏にける終対象である。 つづく
159:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 22:48:26.78 /2xvBEHK.net
>>149 つづき
応用
位相幾何学において、ある空間の全ての単集合が閉集合であることと、その空間が T1-空間であることは同値である。
単集合を台として構築される構造が、様々な圏における終対象や零対象を与えることがしばしばある。例えば
・既に述べたように単集合は集合の圏 Set における終対象にちょうどなっており、他の集合で Set の終対象となるものは存在しない。
・任意の単集合は、唯1通りの（全ての部分集合を開集合とする位相を考える）方法で位相空間にすることができる。このような一元位相空間は位相空間と連続写像の圏 Top における終対象である。他にこの圏 Top の終対象となる位相空間は存在しない。
・任意の単集合は、唯1通りの（唯一の元を単位元とする）方法で群にすることができる。このような一元群（単位群）は、群と群準同形の圏 Grp における零対象である。他にこの圏 Grp の終対象となる群は存在しない。
(引用終り)
以上
160:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 23:06:51.65 /2xvBEHK.net
>>143
”孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
（これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。”
リウヴィル数は、「リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である」から、”孤立点のみから成る離散集合 (discrete set) ではない”ことになるのか・・。なるほど・・（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リウヴィル数
(抜粋)
リウヴィル数（リウヴィルすう、Liouville number）とは、以下の定義を満たす実数 α のことである：任意の正整数 n に対して、
0<｜α － p／q｜< 1／q^n
を満たす有理数 p/q (q > 1) が少なくとも一つ存在する。
例えば、
l=Σ _{k=1}～{∞ }10^{－k!}=0.110001 000000 000000 000001 000000 000000 000000 ・・・
はリウヴィル数である。この数は、超越数であることが証明された初めての数である(ジョゼフ・リウヴィル、1844年)。特にこの数の場合、1が小数点以下、自然数の階乗の桁数に出現する(1!=1桁目、2!=2桁目、3!=6桁目、4!=24桁目、 ・・・ ・・・)。
有理数 α が 0 < |α| < 1 を満たし、整数からなる単調増加列 {ak}k ? 1 が ak + 1/ak → ∞ (k → ∞) を満たすとき、
Σ _{k=1}～{∞ }α ^{a_{k}
はリウヴィル数である。
性質
・リウヴィル数は超越数である（リウヴィルの定理）。
・リウヴィル数はマーラーの分類で U 数に属する。
・0 でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、および積で表現することができる。
・リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である。
つづく
161:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 23:07:35.51 /2xvBEHK.net
>>151 つづき
上記の性質より、ほとんど全ての超越数はリウヴィル数ではない。リウヴィル数でないことが知られている数としては以下のようなものが挙げられる。
・自然対数の底 e 。
・円周率 π。
・チャンパーノウン定数 0.123456789101112 ・・・ 。
・1 でない任意の有理数 r に対する log r 。
・任意の整数 d ≧ 2 に対する Σ _{n=1}～{∞ }d^{－n^2} 。
(引用終り)
以上
162:１３２人目の素数さん
17/12/16 23:37:32.72 6lAUkPpQ.net
バカを覆い隠すためひたすらコピペで埋め尽くすスレ主であったとさ
163:１３２人目の素数さん
17/12/16 23:45:18.59 w5clnf6m.net
スレ主のコピペにはうんざりだな
164:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 23:46:40.92 /2xvBEHK.net
>>127
＜いままで読み込んだ調査文献からの暫定結論（修正版）＞
１．（>>97より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
ここで、"Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }","R－Bf"において
「< +∞」の解釈が問題となる
２．"R－Bf"が、単純にリプシッツ”不”連続点ではなく、実質的に不連続点の集合と考えるならば、
「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」は、つまり変形トマエ関数などの有理点での不連続点で、それは”孤立点のみから成る離散集合 (discrete set) ”とできる。
（繰返すが、この場合、上記定義のリプシッツ”不”連続は、実質通常の不連続点と解することができる。）
３．そうすると、>>110 の”THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
が適用できて
co-meager setは、リウヴィル数全体からなる集合と同様で、”非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 ”となる
この場合、実数内で稠密であるから、”リプシッツ連続である区間(a, b) を取ること”はできない。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リプシッツ連続
(抜粋)
定義
実多変数の実数値函数に対して、これが成り立つのは、任意の割線の傾きの絶対値が K で抑えられるときであり、かつそのときに限る。函数のグラフ上の一点を通る傾き K の直線全体の成す集合は円錐を成すから、したがって函数がリプシッツ連続であるための必要十分条件は、その函数のグラフが至る所この錐のまったく外側にあることである。
(引用終り)
165:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 23:49:42.03 /2xvBEHK.net
>>153-154
つー、良いタイミングで書いてくれるよ（>>155） （＾＾
166:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 23:54:32.46 /2xvBEHK.net
>>64 戻る
＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
Iを開区間とする。
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
＜おわり＞
いろいろ調べたが、
やはり、結局は（＾＾
「Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない」は、言えないように思うよ（＾＾
以上
167:１３２人目の素数さん
17/12/16 23:57:29.73 fRMS+153.net
pdf を投下した者だが、結局スレ主は、
たった2ページの証明から逃げ回って反例モドキの探索に明け暮れた挙句に、
トンチンカンな論法で何かを結論したつもりになっているわけで、
呆れ返るばかりである。
>>155
＞ここで、"Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }","R－Bf"において
＞「< +∞」の解釈が問題となる
ここでの「 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ 」 とは、
「ある実数 R＞0 が存在して lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ < R が成り立つ」
という意味。というか、それ以外の意味に解釈することは不可能。
＞２．"R－Bf"が、単純にリプシッツ”不”連続点ではなく、実質的に不連続点の集合と考えるならば、
R－Bf は「実質的に不連続点の集合」とは全然違う集合なので、
「２」以降のスレ主の考察は意味を成さず、例の定理の反例にもならない。
さっさと pdf の証明をキチンと読んで出直してこい。
168:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 23:58:11.32 /2xvBEHK.net
>>157 追加
むかしは、”メンター”さんなる導師みたいな人がいてね
おっちゃんの証明を、逐一添削して、赤ペン入れたんだがな～（＾＾
最近見かけないね
卒業していったんだろうね（＾＾
169:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 23:58:59.50 /2xvBEHK.net
>>158
どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾
また、かんがえるわ
170:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/17
171:00:02:16.61 ID:uVIGteN6.net
172:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/17 00:03:49.25 uVIGteN6.net
そもそも
”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”だったろ？
173:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/17 00:05:51.65 uVIGteN6.net
”「 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ 」 ”で、+∞は、極限を取らない？
174:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/17 00:08:05.53 uVIGteN6.net
「ある実数 R＞0 が存在して lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ < R が成り立つ」
という意味。というか、それ以外の意味に解釈することは不可能。"
なら、最初から、 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ < R が成り立つ」と書かないのか？
175:１３２人目の素数さん
17/12/17 00:11:32.90 YpPuPyFW.net
>>161
＞「ある実数 R＞0 が存在して lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ < R が成り立つ」以外での孤立点は、考えられないのかね？
質問が意味不明で答えられない。孤立点とは「集合」とセットで定義される概念であり、
「 点 x が集合 A の孤立点であるとは、x∈A が成り立ち、かつ、x∈O, O∩A＝φ を満たす開集合 O が取れるときを言う」
…という定義によって「孤立点」というものが定義される。
従って、まずスレ主は「集合A」としてどのような集合を考えているのかを明記しなければ、
質問の体を成さない。
>>162
何が言いたいのか意味不明。だから何？
>>163
「α＜＋∞」という書き方は、「ある実数 R が存在して α＜R が成り立つ」という文章の省略記法である。
あるいは、拡大実数の中での不等式として「α＜＋∞」というものを考えてもよい。この場合も、
「ある実数 R が存在して α＜R が成り立つ」という意味になる。
>>164
そのような書き方も可能。次のように定義すればよい。
B_f：＝{ x∈R｜ある C＞0 が存在して limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜C が成り立つ }
しかし、次のような定義は意味が違ってしまうのでダメ。
・ 特定の C＞0 に対して、B_f：＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜C }
176:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/17 07:48:44.34 uVIGteN6.net
>>165
どうも。スレ主です。
回答ありがとう
一晩考えたが、「その定理は正しいし、素晴らしいかも知れない」という考えに変わった（＾＾
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、”（>>155より）
ここで、
１）Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
かつ
２）R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる
の組み合わせだと、それは実は「不連続点」と言えそうかな
（∵Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< K } でKはある有限値に留まる（通常のリプシッツ連続）とすると、
”R－Bf は内点を持たない閉集合では、被覆できない”（広がりを持つ）がおそらく言えて、「< +∞」の場合は結局それは通常の「不連続点」だと）
とすると、>>155に書いた通り、そのような「不連続点」が可算無限個、R中に稠密に分散されている場合、
>>110 の”THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
が適用できて、そういう場合は実は、非可算無限個必要かあるいは内点を持つので、排除されている。
で、一見、>>110 の”THEOREMの言い換え”みたいだが、使い易い形への言い換えは大事なのと、簡単な分り易い別証明もまた大事だ
（>>110 の”THEOREM”みたいな大定理を適用出来るとするのも、これもまた大事だと思うが）
この定理が成り立たないと思って、ご無礼な物言いがあったかも知れないが、お詫びします ｍ（＿ ＿）ｍ
あとは、”上記１）と２）の組み合わせだと、それは実は「不連続点」”が、確かかどうかだな。そこは、もう少し掘り下げて考えてみるよ
証明の成否？ それは、おれよりもっと賢い人がコメントしてくれるだろう
おれみたいな、アホバカが「正しい」と言ったところで、それなんの保証にもならない
177:１３２人目の素数さん
17/12/17 09:27:15.92 vYfx1iwu.net
ぷとスレ主の共通点
必要なことから逃げ回る
178:１３２人目の素数さん
17/12/17 09:35:20.17 YpPuPyFW.net
今日は昼から用事があるので、少しだけ。
>>166
＞の組み合わせだと、それは実は「不連続点」と言えそうかな
ぜんぜん言えない。f：R→R を
f(x)＝xlog|x| (x≠0), 0 (x＝0)
と定義すると、
B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞} ＝ R－{0}
が成り立つことが分かる。すなわち�
179:AR－B_f＝{0} が成り立つことが分かる。 {0} は内点を持たない閉集合であり、この集合は1個だから、 R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できている。 よって、スレ主の理屈だと、この f は x＝0 で不連続でなければならないが、 実際には f は任意の点で連続である。 ＞で、一見、>>110 の”THEOREMの言い換え”みたいだが、使い易い形への言い換えは大事なのと、簡単な分り易い別証明もまた大事だ 言い換えではない。
180:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/17 09:43:59.76 uVIGteN6.net
突然ですが
検索ヒットしたので貼る
URLﾘﾝｸ(izumi-math.jp)
高校生のための不動点定理 和田 文興 北海道札幌国際情報高等学校 2006
@Author Fumioki.Wada @Version 1.00;17.Mar.2014
第14回北海道高等学校数学コンテストの第5問に、「縮小写像の不動点定理」を題材にした問題を出題しました。問題の背景にあるこの定理の１次元の場合を、高校生の読み物としてプリントにしましたので紹介します。
十年くらい前に北海道算数数学教育会高等学校部会第59回大会で発表したものとは違った方法をとり、証明を工夫して高校生向けにしました。また，高校生が自習用としても学べるように、単に「定義」，「定理」、「証明」の羅列ではなく、例題や練習、問題も取り入れて、理解しやすいようにしたつもりです。
URLﾘﾝｸ(izumi-math.jp)
和田 文興 北海道札幌国際情報高等学校
URLﾘﾝｸ(izumi-math.jp)
数学コンテスト
第14回北海道高等学校数学コンテスト
平成8年1月12日(金)9時～12時30分 実施
問題、解答、解説、採点を終えてを掲載。
URLﾘﾝｸ(izumi-math.jp)
北海道算数数学教育会
高等学校部会研究部
数学のいずみ
181:１３２人目の素数さん
17/12/17 09:48:47.38 YpPuPyFW.net
成立しそうと思う理屈もトンチンカン、成立しなそうと思う理由もトンチンカン。
そんなふうに右往左往した挙句、未だに2ページの証明すら自分で読んでみようと思う気配なし。
「成り立つという目途が立たないうちは証明を読む気にならない」
とか言ってたやつが、いざ賛成側に傾いても結局は
＞証明の成否？ それは、おれよりもっと賢い人がコメントしてくれるだろう
＞おれみたいな、アホバカが「正しい」と言ったところで、それなんの保証にもならない
この有様。しかも、既に指摘したように、成立しそうと思う理由もトンチンカン。
いかに上っ面だけで数学に触れてきたかがよく分かる。
コピペだけして表面的には意味を理解した気になって、その記述から推測される「意味」を
勝手に捏造して別の現象に当てはめようとするも、定理の本質的なところを理解したわけではないので、
推測した「意味」は的外れであり、それゆえに賛成・反対どちらに回っても、その理由は常にトンチンカン。
こいつこそがド素人ではないか。なんでこんなクズが数学板に常駐してるんだ。
そもそも、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ という基本的な対象ですらロクに扱えずに
「大いなる勇気を持って恐る恐る触っている」ような仕草が見られる時点で問題外。
いい加減に相手するのもバカらしくなってきたわ。
182:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/17 09:59:45.22 uVIGteN6.net
>>168
なるほど、あなたは力があるね（＾＾
>＞で、一見、>>110 の”THEOREMの言い換え”みたいだが、使い易い形への言い換えは大事なのと、簡単な分り易い別証明もまた大事だ
>言い換えではない。
もしそうだとすると、本当に素晴らしい定理だと思うが
逆に、本当？という疑念も強くなる
まあ、証明読む前に、定理の成立不成立をもっと考えてみるよ
証明を読むのは、そういう趣味の人がだれかやるでしょう
183:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/17 10:01:27.14 uVIGteN6.net
>>170
悪いが、そういう話は、もともとプロ数学者相手にすべきだろ？
なんで、新定理だと思うなら、プロに相談しないの？
184:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/17 10:04:44.80 uVIGteN6.net
回りを見渡して見ろよ
おれ以外にろくなコメントついてないだろ？
５ＣＨなんて、所詮そういうところだよ
185:１３２人目の素数さん
17/12/17 10:05:21.38 YpPuPyFW.net
＞おれみたいな、アホバカが「正しい」と言ったところで、それなんの保証にもならない (>>166)
＞まあ、証明読む前に、定理の成立不成立をもっと考えてみるよ (>>171)
俺が望んでいるのは「正しいという保証」ではない。俺が望んでいるのは、
「お前が証明を直接的に読んで理解すること(もしくは、明確な間違いを指摘すること)」
である。つまり、「スレ主が2ページの証明と直接的に向き合う」
という行為そのものを望んでいるのである。
・ 反例モドキの探索は俺が望んでいる行為ではない。正しいという保証が欲しいから、
という理由ではなく、2ページの証明をスレ主が直接読むことを望んでいるから。
・ 賛成側に回るも結局証明は読まない、という行為は俺が望んでいる行為ではない。
なぜなら、2ページの証明をスレ主が直接読むことを望んでいるから。
・ 何度も言っているが、そもそもの話として、たった2ページの証明から逃げ回るという
行為そのものが理解不能。今までずっと言うのを控えてたけど、お前はこの程度の証明を読むのにも
「有名な数学者からの太鼓判」と「大いなる勇気・決断」が必要になるくらいに低レベルなクソザコなのかと。
そんなクソザコが、他人の書き込んだ数学的発言について何かを言う権利があると思ってるのか？
・ というか、そんなに やる気のない奴がどうして数学に触ってるんだ？ド素人のゴッコ遊びか？
いい加減にしてくれよ低能め。
186:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/17 10:08:12.45 uVIGteN6.net
まあ、証明読む前に、その新定理の正否をもっと考えてみるよ。その方が、面白いからね
187:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/17 10:09:01.28 uVIGteN6.net
成立しないと思う定理の証明は読まないよ
188:１３２人目の素数さん
17/12/17 10:11:26.47 YpPuPyFW.net
>>172
＞悪いが、そういう話は、もともとプロ数学者相手にすべきだろ？
＞なんで、新定理だと思うなら、プロに相談しないの？
また話が逆戻りしてる。
「俺が新定理を発見したと言っていて、その真偽をこのスレで問おうとしている」
という構図に持ち込もうとしても無駄。そういうことではないと何度も言っている。
俺は、自分の書いた定理が「新定理」だなんて一言も言ってない。
「既に発見済みだろう」とさえ言っている。お前もそのことは記憶にあるはずだ。
では何でこんな状況になってるのかというと、お前がイチャモンをつけてきたからだ。
イチャモンをつけてきた以上は、証明が投下されたらその証明を読むのが筋である。
お前はそれをしていない。ずっと逃げ回っている。全てはお前の言動に責任がある。
189:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/17 10:11:58.86 uVIGteN6.net
まあ、そりゃー、プロ数学界の多数が「成立」と保証している定理の証明は別だ。だから、「読め読め」というなら、プロ数学者のお墨付きをどうぞ
190:１３２人目の素数さん
17/12/17 10:15:31.06 YpPuPyFW.net
>>176
＞成立しないと思う定理の証明は読まないよ
詭弁である。ついさっき一瞬だけ賛成側に回ったときも
＞証明の成否？ それは、おれよりもっと賢い人がコメントしてくれるだろう
＞おれみたいな、アホバカが「正しい」と言ったところで、それなんの保証にもならない
この有様だったからだ。お前の言動からして、
仮に有名な数学者からのお墨付きがあったら、今度は
「ほぼ正しいことが明確になったので、わたくしスレ主が証明を読む必要は無くなった」
とでも言うのであろう。そもそも、「2ページの証明」という超手軽な分量の時点で、
その証明「を読まない」という理屈は全く通用しない。