17/12/14 06:53:36.16 oVKNFyGV.net
過去スレ （そのままクリックで過去ログが読める。また、ネット検索でも過去ログ結構読めます）
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む
47 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
46 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
45 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
44 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
43 ｽﾚﾘﾝｸ(math板) （だれかが立ててスレ。私は行きません。このスレに不満な人は、そちらへ）
42 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
41 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
40 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
（40以降現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む)
（39以前 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む)
39 ｽﾚﾘﾝｸ(math板) （別名 数学セミナー時枝記事の墓）
38 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
37 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
36 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
35 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
(35以降 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
34以前 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む)
34 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
33 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
32 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
31 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
30 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
29 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
28 (High level people が自分達で勝手に立てた時枝問題を論じるスレ) ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
27 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
26 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
以下次へ
3:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 06:56:48.49 oVKNFyGV.net
>>2つづき
25 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
24 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
23 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
22 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
21 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
25 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
20 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
19 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
18 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
17 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
16 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
15 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
14 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
13 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
12 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
11 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
10 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
9 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
8 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
7 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
6 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
5 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
4 ｽﾚﾘﾝｸ(math板) スレタイに4が抜けてますが(4)です
3 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
2 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
4:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 06:57:08.89 oVKNFyGV.net
以下、暫くテンプレ貼りを続けます。
5:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 06:57:31.98 oVKNFyGV.net
大学新入生もいると思うが、間違っても２ＣＨで数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
以下過去スレより再掲
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:7番)
7 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、￥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな
再生は無理だろう
そもそも、２ＣＨは、数学に向かない
アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない
複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない）
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを
6:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 06:58:19.76 oVKNFyGV.net
個人的には、下記は、”知恵袋の人>>> 2ｃｈの人”と思うよ（＾＾
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:494番)
494 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/17(月) ID:mNM7pqkU
前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが（＾＾；
URLﾘﾝｸ(note.chiebukuro.yahoo.co.jp)
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法 学部～修士
ライター：amane_ruriさん（最終更新日時:2012/8/6）
ナイス！：5閲覧数：11594
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。
大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。（多分皆がそうでしょう。）そして、結果が問われてきます。
ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。（足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ）
2.2ｃｈの内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞ 2ｃｈや知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ｃｈの人は見られない（し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。）。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り)
7:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 06:59:18.54 oVKNFyGV.net
過去スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:338番)
338 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/09(日) 23:46:26.46 ID:Rh9CzQs6
スレ主は、皆
8:さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします 大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます が、それも基本、信用しないように 数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし ”証明”とかいうらしいですね、数学では その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか 有名な話で、有限単純群の分類 ”出来た！”と宣言した大先生が居て、みんな信用していたら、何年も後になって、”実は証明に大穴が空いていた”とか おいおい、競馬じゃないんだよ（＾＾； https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4 単純群 1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。 これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。
9:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 07:00:32.14 oVKNFyGV.net
>>7 補足
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:352番)
352 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/29(土)
みんな、何に価値をおいているか、それぞれだろうが・・
個人的には、数学板で一番価値を置いているのは、確かな情報 つまり 根拠の明確な情報 つまり コピペ
わけのわからん名無しさん（素数さん）のカキコを真に受けるとか、価値をおく人は少ないだろう
きちんと、大学教員レベルの証明があればともかく、匿名板でそれはない（名無しカキコは基本価値なし）
10:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 07:01:04.43 oVKNFyGV.net
>>8 補足
＜数学ディベート＞について
過去スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:50番)
50 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/06
どこの馬の骨ともしれん連中との、数学ディベートもどきより
URLとコピペやPDFの方によほど価値を見いだすスレ主です（＾＾；
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:189-190番)
189 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09
いやはや、（文系） High level people たち（ ID:jEMrGWmk さん含め）の、数学ディベートもどきは面白いですね（＾＾；
”手強い？”とは・・、まさに、ディベートですね
私ら、理系の出典（URL)とコピペベース、ロジック（論証）＆証明重視のスタンスと、ディベートもどきスタイル（２ＣＨスタイル？）とは、明白に違いますね
私ら、（文系） High level people たちとの議論は、時間とスペースの無駄。レベルが高すぎてついていけませんね。典拠もなしによく議論しますね。よく分かりましたよ（＾＾；
190 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09
私ら、理系は、一応従来の議論は調べて、その上でしか議論はしません
そうしないと、大概二番煎じですし、車輪の再発明ですから
典拠もなしによく議論しますね～。よく分かりましたよ（＾＾；
私とは、議論がかみ合わないわけだ・・
”他サイトからのコピペでスレを埋め尽くす行為” なんて非難されましたけどね～（＾＾；
ディベートに勝ちたいからそういう発言なんですね～。典拠もなしで、出した典拠も読まない議論か・・。よく分かりましたよ（＾＾；
11:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 07:01:30.96 oVKNFyGV.net
過去スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:638番)
638 名前：現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/07/11(火) 08:40:28.58 ID:+FRiTcES
>>630
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>>まあ、おっちゃんが、上記を理解したら、時枝は終わりにしよう
>マジメに時枝問題のことでスレ主に付き合う気はなく、
>もはやそういうことをする価値もない。
>スレ主自身の主張や考え方が大きく間違っていることを私のせいにするべきではない。
いやいや、おっちゃんよりレベルの低い人と議論するつもりはないんだよ～（＾＾
がまあ、おっちゃんのいう「価値もない」にも一理ある
ということで、皆さん悪いが、時枝は、一時棚上げだ。時々やろう
下記のパロディーで言えば、「数学雑談&ガロア理論 ～おっちゃんとボクと、時々、（時枝 ＆ ￥さん）～」かな（＾＾
まあ、話題を散らしながら、ゆっくりやりましょう（＾＾
おっちゃん！ いま気になっていることを、好きに書いてくれ！（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
東京タワー ～オカンとボクと、時々、オトン～ - Wikipedia
(抜粋)
『東京タワー ～オカンとボクと、時々、オトン～』（とうきょうタワー オカンとボクと、ときどき、オトン）は、リリー・フランキーの実体験を基にした長編小説である。
2006年と2007年にテレビドラマ化（単発ドラマと連続ドラマ）、2007年に映画化、舞台化されている。
2005年6月29日、扶桑社より発売された[1]。装丁もリリー本人。初版は3万部だった。2006年1月には100万部を突破。2006年10月31日には200万部（扶桑社発表）を越すベストセラーとなった。
久世光彦が「泣いてしまった…。これは、ひらかなで書かれた聖書である」と評価した。
(引用終り)
12:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 07:02:10.53 oVKNFyGV.net
「現代数学のもとになった物理工学」の解題：
言わずもがなですが、数学の発展の大きな原動力は、物理です。数学の発展の大きな原動力は、工学です。
別に説明するほどのこともないですが。
古代の幾何学の背景に、実際の土地測量や巨大建築からの要請が原動力にあったことは間違いないでしょう。
ニュートン以来の解析や数論も同様。
で、物理学の背景に、工学に直結する日常のいろいろな事象がある。戦争というのも、大きな要因ではあります。仏エコールポリテクニークなども、ナポレオン戦争遂行のための工学校です。
（URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) エコール・ポリテクニーク 1804年にナポレオン・ボナパルトによって軍学校とされる）
工学が物理の進展を促した面は多々あります。有名なプランクの熱と光の放射の理論を研究した背景に、当時の工学的課題であった、高温物体を光学測定により正確な温度を知るため（今の光温度計）であったと言われています。
つまり、工学的課題「高温物体を光学測定により正確な温度を知るための光温度計」→物理的課題「高温物体の光放射理論構築」→プランクの量子仮説→量子力学の誕生→作用素環→非可換幾何（現代数学）ということなのです。
コンヌ先生もおっしゃっているそうですが、物理や工学の課題は、いままでもそうですが、現代数学のエネルギー源なのです。
京大数学科がだめになったのは、「20世紀の古い数学に閉じこもってしまった」というようなことがあるのではないでしょうか？ 新しい数学へのチャレンジが無い？
（参考 過去スレ39 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:476番) (抜粋)「自己顕示欲だけが目的で人生を送り、ほんで他人の邪魔ばっかししてるから筑波とか京大みたいになってアカン様になんのや。」 ）
13:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 07:04:25.85 oVKNFyGV.net
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）まとめについては
スレ47 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:11番)-67
ほぼほぼ、時枝は、「ぷふ」さんのおかげで完全終了です！ ＼（＾＾）／
テンプレ以上です。
14:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 07:13:46.17 oVKNFyGV.net
sage
15:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 07:14:08.33 oVKNFyGV.net
（前スレから）
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:605番)
(抜粋)
”―――――――――――――――――――――
R－B_f ＝ (リプシッツ不連続な点全体の集合) が可算無限集合であり、
しかもこれが R の中で稠密であるとすると、「そういう関数は数学的に存在しえない！」
という理解の仕方でいいのか？
―――――――――――――――――――――
ということになるが、その理解の仕方で問題ない。”
(引用終り)
となってね
これの成否や如何に？
いや～、楽しい話です（＾＾
リプシッツ連続の勉強になるわ～
いままで、不勉強でしたからね～
どなたか詳しい人、おしえてね～
（＾＾
16:１３２人目の素数さん
17/12/14 07:27:04.16 K9FkvGpd.net
>>12
＞ほぼほぼ、時枝は、「ぷふ」さんのおかげで完全終了です！ ＼（＾＾）／
一言も見解を語れないぷのおかげで完全終了とは？ 頭大丈夫か？
17:１３２人目の素数さん
17/12/14 07:34:02.81 K9FkvGpd.net
＞リプシッツ連続の勉強になるわ～
＞いままで、不勉強でしたからね～
お前の不勉強はレベルが違うわｗ
εδすら理解してないのに何がリプシッツ連続だバカｗ
18:１３２人目の素数さん
17/12/14 07:44:36.05 kVvHFKBq.net
L^1においてu∈L^1に対し
Cu(x)
＝∫_[－1/3, 1/3]cos(xy)u(y)dy
で作用素Cを定めるとL^1からL^1への縮小写像になりルベーグの収束定理と縮小写像の原理により不動点の存在が言える
という例を考えたが意味はない
19:１３２人目の素数さん
17/12/14 07:47:50.72 kVvHFKBq.net
ルベーグ積分によってノルムとノルムから定まる距離
による距離空間を定めてルベーグの収束定理と縮小写
像の原理を使えば見た目では分からない不動点の存在
が示せるというだけ
20:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 08:22:03.97 oVKNFyGV.net
>>15-16
ぶ
最下位の腰巾着、必死だな（＾＾
あんたには、”成りすまし疑惑”を言い立てるしか、救いがないんだろ。がんばれよ（＾＾
21:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 08:25:58.91 oVKNFyGV.net
>>14 関連
えーと
スレ46 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:422番)
422 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/20(月) 16:45:28.40 ID:sVbA75bK [2/4]
>>421のリンク先の証明は個人的には すんなり頭に入ってこないので、
微分可能な点の方から攻める方針でやってみたら、次の定理が得られた。
定理：f：R → R に対して、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ } と置く。
もし R－B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で
リプシッツ連続である。
この定理を使うと、f：R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」
となるものは存在しないことが即座に分かる。一応やってみると、そのような関数 f が存在したとすると、
R－Q ＝ 無理数全体 ＝ (fの微分可能点全体) ⊂ B_f
となるので、
R－B_f ⊂ Q ＝ ∪[p∈Q] { p } …(1)
となる。(1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上で
リプシッツ連続になる。特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。
仮定から、fは点xで不連続であるが、しかしx∈(a,b)より、fは点xで連続であり、矛盾する。
(引用終り)
22:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 08:34:39.70 oVKNFyGV.net
>>20 つづき
それで
命題A
f：R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」
となるものは存在しない
↓
命題B
f：R → R であって、「xがリプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し、xがそれ以外でリプシッツ連続な」
となるものは存在しない
つまり、命題A→命題Bの言い換え
・有理数→加算で稠密に存在する点
・不連続→リプシッツ”不”連続
・微分可能→リプシッツ連続
ここまで、命題Aを一般化した命題Bを証明したことになる
>>20の定理が成立するならば・・
いや～、面白ね（＾＾
23:１３２人目の素数さん
17/12/14 16:36:52.84 KNZvf5DQ.net
数学で分からない事があったら、ここに書いてね‼
24:１３２人目の素数さん
17/12/14 18:22:52.76 JQcHE8p2.net
おっちゃんです。
もっと簡単に ε-δ で示せそうですな。
[第１段]：区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) が存在するとする。
Iの有理数aを任意に取る。実関数 f(x) は x＝a で不連続だから、或るεが存在して、εに対して正の実数 δ(ε) が定まって、
|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|≧ε を満たすようなIの点bが存在する。
S_1＝{ c∈I | cは無理数で、|c－a|＜δ(ε) }、S_2＝{ c∈I | cは無理数で、|c－b|＜δ(ε) } とおく。
すると、区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、
max(|c－a|, |c－b|)＜δ(ε) なるIの無理数cが存在し、(S_1)∩(S_2)≠Φ。
有理数の稠密性から、0＜d＜ε なる有理数dが存在して、0＜d/2＜ε/2。A＝d/2 とおく。
25:１３２人目の素数さん
17/12/14 18:25:40.80 JQcHE8p2.net
[第２段]：i＝1,2 を任意に取る。iに対して点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
実関数 f(x) はIの無理数cで連続だから、Aに対して或る正の実数 δ'(A) が定まって、
M＝δ'(A) とおくと、|c－x|＜M のとき |f(c)－f(x)|＜A となる。
|c－x_{i,1}|＜M なるIの点 x_{i,1} を適当に取り、
|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A を満たす正の実数 ε_{i,1} を任意に取る。
2以上の正整数nを任意に取る。同様に、|c－x_{i,n}|＜M なるIの点 x_{i,n} を適当に取り、
|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,1} を満たす正の実数 ε_{i,n} を任意に取る。
同様に、|c－x_{i,n+1}|＜M なるIの点 x_{i,n+1} を適当に取り、
|f(c)－f(x_{i,n+1})|＜ε_{i,n+1}＜ε_{i,n} を満たす正の実数 ε_{i,n+1} を任意に取る。
2以上の正整数nは任意であるから、nについて帰納的に考えると、任意の2以上の正整数nに対して
次の条件をすべて同時に満たすようなIの実数 x_{i,n}, x_{i,(n+1)} と正の実数 ε_{i,n}, ε_{i,(n±1)} が存在する：
ⅰ)：|c－x_{i,n}|＜M、|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,(n-1)}、
ⅱ)：|c－x_{i,(n+1)}|＜M、|f(c)－f(x_{i,(n+1)})|＜ε_{i,(n+1)}＜ε_{i,n}。
ここに、|c－x_{i,1}|＜M、|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A。
このとき構成された正の実数列 { ε_{i,n} } は単調減少である。{ ε_{i,n} } は下に有界で、
任意の正整数nに対して ε_{i,n}, x_{i,n} は |f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n} を満たすから、
iに対して或る非負実数 μ_i が存在して { ε_{i,n} } は μ_i に収束し、
任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}。
iに対して (S_1)∩(S_2) の点 c が任意に取れて、i＝1,2 は任意だったから、各 i＝1,2 に対して、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、
すべての正整数nについて条件 |c－x_{i,n}|＜M を満たすようなIの点列 { x_{i,n} } が任意に取れて、
更にiに対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c_i)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A＝d/2 となる。
26:１３２人目の素数さん
17/12/14 18:32:53.52 JQcHE8p2.net
[第３段]：無理数 c_1∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。A＝d/2 となって |f(a)－f(b)|≧ε＞d＝2A となることに着目し、三角不等式に注意すると、
任意に、すべての正整数nについて条件 |c_1－x_{1,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_1 に対して x_{1, m'_1}＝a であり、
すべての n≠m'_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるようなIの点列 { x_{1,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{1,n} }、及び或る非負実数 μ_1 がそれぞれ定まって、{ ε_{1,n} } は μ_1 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_1≦|f(c_1)－f(x_{1,n})|＜ε_{1,n}＜A となる。
同様に、無理数 c_2∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c_2－x_{2,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m'_2 に対して x_{2, m'_2}＝b であり、すべての n≠m'_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、正の単調減少列 { ε_{2,n} }、及び或る非負実数 μ_2 がそれぞれ定まって、
{ ε_{2,n} } は μ_2 に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_2≦|f(c_2)－f(x_{2,n})|＜ε_{2,n}＜A となる。
[第４段]：従って、c_1＝c_2 として、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{1,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_1 に対して x_{1, m_1}＝a であり、すべての n≠m_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるような
Iの点列 { x_{1,n} } が取れる。更に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{2,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_2 に対して x_{2, m_2}＝b であり、すべての n≠m_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、各 i＝1,2 に対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A となる。
27:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 18:34:04.65 oVKNFyGV.net
>>23-24
おっちゃん、どうも、スレ主です。
いつも、レスありがとう（＾＾
注文つけて悪いが
証明しようとしている命題も書いてほしい。よろしくね（＾＾
28:１３２人目の素数さん
17/12/14 18:35:41.37 JQcHE8p2.net
[第５段]：＝1,n＝m_1 とすると、x_{1,m_1}＝a から |c－a|＜M であって、|f(c)－f(a)|＜A＝d/2。
同様に、i＝2,n＝m_2 とすると、x_{2,m_2}＝b から |c－b|＜M であって、|f(c)－f(b)|＜A＝d/2。
従って、三角不等式から、|a－b|≦|a－c|＋|c－b|＜M＋M＝2M、|f(a)－f(b)|≦|f(a)－f(c)|＋|f(c)－f(b)|＜d/2＋d/2＝d。
d/2 に対して定まる正の実数 δ(d/2) を δ(d/2)＝2M とおけば、|a－b|＜δ(d/2) であって |f(a)－f(b)|＜d＜ε、
故に、εに対して定まる正の実数 δ(ε) を δ(ε)＝δ(d/2) とおけば、|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|＜ε。
しかし、これは |f(a)－f(b)|≧ε なることに反し矛盾する。
背理法が適用出来るから、区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) は存在しない。
29:１３２人目の素数さん
17/12/14 18:39:03.61 JQcHE8p2.net
>>27は>>25の続き。
>>26
そもそも、区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) が存在しない。
30:１３２人目の素数さん
17/12/14 18:50:33.84 HLQUoU0Q.net
前スレ>>631
>>621 ID: p08hLjSN
> >>594
> >URLﾘﾝｸ(www.axfc.net)
> >なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いたつもりである。
>
> 確かに有理数で不連続無理数で微分可能な関数は存在しないですね
> どうでもいいですが定理の証明の最後で(a,b)をさらに2/M幅ぐらいに制限しておけば
> そのあとの分割って要らないのでは？（L=1）
>>630 ID: p08hLjSN
> >>629
> 違うよ
31:１３２人目の素数さん
17/12/14 20:05:32.15 K9FkvGpd.net
>>19
＞あんたには、”成りすまし疑惑”を言い立てるしか、救いがないんだろ。がんばれよ（＾＾
相変わらず錯乱してるな
俺は
・ぷは一言も見解を述べていない
・お前の不勉強はレベルが違う
と言ってるのに、まるでトンチンカンなレス（成りすまし疑惑）を付けて、これが錯乱でなくて何あらん
32:１３２人目の素数さん
17/12/14 20:07:19.98 K9FkvGpd.net
しかも成りすましは事実
何をしれっと疑惑にしようとしてるのか？ｗ この恥知らずがｗ
33:１３２人目の素数さん
17/12/14 20:12:18.44 K9FkvGpd.net
ID一致を指摘されて慌てて ぷ と言い出した恥知らずｗ
34:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 22:13:40.84 oVKNFyGV.net
”Lipschitz functions”関連で、下記、Hunter先生のテキストがヒットしたので貼る
URLﾘﾝｸ(www.math.ucdavis.edu)
Appendix: Functions of one variable Lecture Notes on PDEs
URLﾘﾝｸ(www.math.ucdavis.edu)
Functions of one variable Lecture Notes on PDEs Full set of notes
URLﾘﾝｸ(www.math.ucdavis.edu)
John K. Hunter
Department of Mathematics
University of California
Professor of Mathematics
付録
URLﾘﾝｸ(www.math.ucdavis.edu)
Introduction to Analysis
These lecture notes are an introduction to undergraduate real analysis. They cover the real numbers and one-variable calculus.
URLﾘﾝｸ(www.math.ucdavis.edu)
35:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 22:22:58.22 oVKNFyGV.net
>>28
>そもそも、区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) が存在しない。
おっちゃん、「トマエ関数」って知っているかい？
（下記より）”定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．”
URLﾘﾝｸ(corollary2525.hatenablog.com)
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24
(抜粋)
トマエ関数の性質
トマエ関数にとても惹かれる理由は何といっても次の性質です。
定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．
有理数で不連続なのはポツンと浮いているので明らかだと思います。しかし、無理数で連続なのは意外だったのではと思います。私が大学1年生のとき、微分積分の教科書の演習問題の中でこの関数にはじめて出会いました。話を聞いてみると無理数で連続であることを知って今までの連続のイメージとは違う所に心を奪われました。
(引用終り)
36:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 22:44:02.12 oVKNFyGV.net
>>29
どうも。スレ主です。
ご指摘レスありがとう
ところで、どういう意味かな？
「ぷふ」さんの「確かに有理数で不連続無理数で微分可能な関数は存在しないですね」というのは
>>21に書いてある命題Aのことでしょ
でそれは、前スレ284-285 に有るとおり、上記>>20の証明の前（2006以前）に、プロ数学者が命題Aは得ているよ
（再度引用しておく）
URLﾘﾝｸ(mathforum.org)
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
(引用終り)
37:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/14 22:50:41.31 oVKNFyGV.net
>>35 つづき
で、問題は、>>20の2017/11/20(月) 16:45:28.40 ID:sVbA75bKさんは、
命題Aの別証明を得ようとして
>>20の
”定理：f：R → R に対して、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ } と置く。
もし R－B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で
リプシッツ連続である。”
を考えたが、この定理はすごく強力でね
この定理を、仮に”開区間上リプシッツ連続定理”と名付けると
>>21に書いたように
”開区間上リプシッツ連続定理”→系：命題B→系：命題A
ということで、元の命題Aより遙かに強い命題Bをその系として証明できるのだった
つまり、”確かに有理数で不連続無理数で微分可能な関数は存在しないですね”というコメントと、”証明が正しい”というコメントとは、異なると理解しているけど？
「ぷふ」さん、如何ですか？
で、繰返すが、命題Bは、まだプロ数学者は論文として発表していないようで、私の探している範囲で見つかっていない
いま、リプシッツ連続の勉強を兼ねて、命題Bの成否について、テキストや論文がないか、探しているところです（＾＾
（参考）>>21より
命題B
f：R → R であって、「xがリプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し、xがそれ以外でリプシッツ連続」
となるものは存在しない
(引用終り)
以上
38:１３２人目の素数さん
17/12/14 23:17:23.28 K9FkvGpd.net
ぷ みたいなアホに聞いてどうするｗ
39:１３２人目の素数さん
17/12/15 02:21:12.29 a+gt56B0.net
スレ主の馬鹿っぷりがハッキリ分かる1週間だな
40:１３２人目の素数さん
17/12/15 05:26:05.59 VSTtLiB5.net
高校生です
3+i2 と 4-i3 の相関を求めたいです
内積は実部と虚部それぞれで考えるのですか？
41:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 07:30:23.93 dUFtnfpO.net
>>36 関連
いま、>>34で紹介した「トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示」を読み返していたが
この話自身もすごく面白いが、関連リンクがあって、それを辿ると、下記
Baire(ベール)関数 ”定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。”が
上記”開区間上リプシッツ連続定理”と似てるな～と
証明で、(Baireのcategory定理の一種)を使うところも似てるな～と
似てるけど、微妙に違う
ここらが、”開区間上リプシッツ連続定理”の反例にならないかな～（＾＾
といま、考えているところです
（下記は、単純にコピペでアスキー表示にしたので、原文の方が圧倒的に見やすいよ）
URLﾘﾝｸ(integers.hatenablog.com)
二回目のディリクレ関数 INTEGERS 2016-05-20
(抜粋)
Baire(ベール)関数
Baire関数 関数f:R→RがBaire-1級関数であるとは、各n∈N毎に連続関数fn:R→Rが存在して、任意のx∈に対して
f(x)=limn→∞fn(x)
が成り立つときにいう（つまりfnがfに各点収束する）。一般に非負整数kに対してBaire-k級関数が次のように帰納的に定義される: Baire-0級関数を連続関数として定義し、Baire-(k?1)級関数までが定義されたとき、Baire-(k?1)級関数達の各点収束関数としてBaire-k級関数を定義する。これらの関数を総称してBaire関数とよぶ。
目標は次の定理を証明することです：
定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。
つづく
42:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 07:31:12.55 dUFtnfpO.net
>>40 つづき
定義 関数 f:R→Rを一つとる。集合A⊂Rに対してω(A)を
ω(A):=sup{|f(x)?f(y)|?x,y∈A}∈R?0∪{∞}
と定義する（関数fを明記する場合はω(A,f)という記号を用いる）。また、x∈Rに対し、ω(x)を
ω(x):=limε→+0ω(Bε(x))
と定める。ここで、Bε(x):=(x?ε,x+ε)。
補題 関数 f:R→Rが点x∈Rで連続であるための必要十分条件はω(x)=0となることである。
証明. 定義の書き換えに過ぎない。 Q.E.D.
命題 (Baireのcategory定理の一種) 数直線上の閉区間が加算個の閉集合の和集合として表されているならば、それらの閉集合のうち少なくとも一つはある閉区間を含む。
これは有名なBaireのcategory定理(の帰結)なので、ここ�
43:ﾅは証明を省略します。 定理の証明. fに各点収束するような連続関数列{fn}をとって固定する(fはBaire-1級関数なのでこのような関数列は必ずとれる)。まず、次の主張を示す： 以下略 (引用終り)
44:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 07:33:53.86 dUFtnfpO.net
>>39
高校生かい
その話なら、こちらの方（下記）が良いよ
もっと良いのは、学校の先生に聞くことだな
５CH数学板は、高校生の勉強には向かないよ（＾＾
分からない問題はここに書いてね438
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
45:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 07:36:29.56 dUFtnfpO.net
>>41 補足
ああ、これ文字化けしているな～
まあ、原文を見て下さい
46:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 07:45:09.93 dUFtnfpO.net
>>40 補足
そうそう、大事な引用を抜かしていたね（＾＾
”系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。”（下記）
逆に言えば、不連続点は、稠密でも可だと
これが、リプシッツ’不’連続だとどうなるかだけど・・
URLﾘﾝｸ(integers.hatenablog.com)
二回目のディリクレ関数 INTEGERS 2016-05-20
(抜粋)
Baire(ベール)関数
系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。
まとめ
Baire-0級関数は連続関数なので、Baire関数はある種の連続関数を一般化した概念であり、一般に級が大きくなればなるほど連続関数から遠ざかることが分かります。
そして、定理の言っていることは、「Baire-1級関数はもはや連続関数ではないかもしれないが、連続の心は残っている」ということを示しています。一方、ディリクレ関数は全く連続ではなく、連続の心が喪失されています。
こうして、ディリクレ関数は一つの極限では表示できないという不可能定理が証明できてしまうという寸法でした。
(引用終り)
47:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 07:49:05.15 dUFtnfpO.net
>>44 追加引用
よって、もっちょさんの記事によってディリクレ関数はBaire-2級関数であることが示されていますが、
至る所不連続であることと上記系は両立しないのでBaire-1級関数ではない、
すなわちディリクレ関数は一重極限表示をもたないことが証明されました。
以上
48:１３２人目の素数さん
17/12/15 07:54:11.28 m0g2WMEL.net
………これ↓のことか？
ｽﾚﾘﾝｸ(poverty板)
49:１３２人目の素数さん
17/12/15 08:20:41.08 esELFcoa.net
いつものようにコピペで理解した気になり興に入ってるスレ主
コピペと勉強は違うぞと何度言えば
50:１３２人目の素数さん
17/12/15 08:33:50.86 esELFcoa.net
スレ主はεδを理解していないだけでなくそれが致命的であることも理解していない
教科書を一度もまともに勉強したことはバレバレだ
51:１３２人目の素数さん
17/12/15 12:44:46.31 8RLwNZRE.net
おっちゃんです。
>>23-25、>>27は取り消し。
最初は ε-δ だけで示せると思ったが、落とし穴があった。
Iを開区間とする。連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意の正の実数εに対し、
任意のIの有理点aと任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数aとなるような、
連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a,y) が完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
証明) [第１段]：開区間Iで定義され、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) が
存在するとする。Iの有理点aを任意に取る。実関数 f(x) は点aで不連続だから、或る正の実数εに対して
正の実数 δ(ε) が定まって、|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|≧ε を満たすようなIの有理点bが存在する。
S_1＝{ c∈I | cは無理数で、|c－a|＜δ(ε) }、S_2＝{ c∈I | cは無理数で、|c－b|＜δ(ε) } とおく。すると、
区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、max(|c－a|, |c－b|)＜δ(ε) なるIの無理点cが存在し、
(S_1)∩(S_2)≠Φ。有理数の稠密性から、0＜d＜ε なる有理数dが存在して、0＜d/2＜ε/2。A＝d/2 とおく。
52:１３２人目の素数さん
17/12/15 12:48:30.81 8RLwNZRE.net
(>>49の続き)
[第２段]：i＝1,2 を任意に取る。iに対して点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。実関数 f(x) はIの無理点cで連続だから、
Aに対して或る正の実数 δ'(A) が定まって、M＝δ'(A) とおくと、|c－x|＜M のとき |f(c)－f(x)|＜A となる。
|c－x_{i,1}|＜M なるIの点 x_{i,1} を適当に取り、|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A を満たす正の実数 ε_{i,1} を任意に取る。
2以上の正整数nを任意に取る。同様に、|c－x_{i,n}|＜M なるIの点 x_{i,n} を適当に取り、|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,1}
を満たす正の実数 ε_{i,n} を任意に取る。同様に、|c－x_{i,n+1}|＜M なるIの点 x_{i,n+1} を適当に取り、
|f(c)－f(x_{i,n+1})|＜ε_{i,n+1}＜ε_{i,n} を満たす正の実数 ε_{i,n+1} を任意に取る。
2以上の正整数nは任意であるから、nについて帰納的に考えると、任意の2以上の正整数nに対して
次の条件をすべて同時に満たすようなIの実数 x_{i,n}, x_{i,(n+1)} と正の実数 ε_{i,n}, ε_{i,(n±1)} が存在する：
ⅰ)：|c－x_{i,n}|＜M、|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,(n-1)}、
ⅱ)：|c－x_{i,(n+1)}|＜M、|f(c)－f(x_{i,(n+1)})|＜ε_{i,(n+1)}＜ε_{i,n}。
ここに、|c－x_{i,1}|＜M、|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A。このとき構成された正の実数列 { ε_{i,n} } は単調減少である。
{ ε_{i,n} } は下に有界で、任意の正整数nに対して ε_{i,n}, x_{i,n} は |f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n} を満たすから、
iに対して或る非負実数 μ_i が存在して { ε_{i,n} } は μ_i に収束し、任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}。
iに対して (S_1)∩(S_2) の点cが任意に取れて、i＝1,2 は任意だったから、各 i＝1,2 に対して、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、
すべての正整数nについて条件 |c－x_{i,n}|＜M を満たすようなIの点列 { x_{i,n} } が任意に取れて、
更にiに対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、
任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c_i)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A＝d/2 となる。
53:１３２人目の素数さん
17/12/15 12:49:09.81 S7p1wcDw.net
>>40-41 >>44 補足
(抜粋)
・「トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示」
・定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。
・”系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。”（下記）
・ここらが、”開区間上リプシッツ連続定理”の反例にならないかな～（＾＾
(引用終わり)
（補足）
・まあ、要するに、トマエ関数（有理点たる不連続点が稠密に分散するが無理数点では連続）を、連続関数の１回の極限（Baire-1級関数）として、�
54:ﾀ現できる！ ・ならば、”変形”トマエ関数（リプシッツ不連続点が稠密に分散するが他の数点ではリプシッツ連続）を、連続関数の１回の極限（Baire-1級関数）として、実現できないのか？ こういう問題設定なのだが・・ どなたか、ご存知ないですかね？ もし、出来て、いままでに論文になっていなければ、 Baire-1級関数の研究として面白んじゃないかな？（＾＾
55:１３２人目の素数さん
17/12/15 12:51:42.24 S7p1wcDw.net
>>49-50
おっちゃん、どうも、スレ主です。
いつも、ご苦労さまです。
証明投稿の途中で、じゃまかな？（＾＾
そうそう、最初に証明すべき命題をきちんと書いてくれると助かるよ（＾＾
56:１３２人目の素数さん
17/12/15 12:53:30.18 8RLwNZRE.net
(>>50の続き)
[第３段]：正の実数εと実数 f(a) とに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、x-座標が有理点aとなる
連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) を完全集合とする。無理数 c_1∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R^2 から誘導された位相について、連結距離空間 R^2 の点 (a,f(a)) の R^2 の
ε-近傍 U_ε(a,f(a)) 上にx-座標が有理数なる R^2 の点は稠密に存在し、(a,f(a)) は孤立点ではない。
従って、A＝d/2 となって |f(a)－f(b)|≧ε＞d＝2A となることに着目し、三角不等式に注意すると、
任意に、すべての正整数nについて条件 |c_1－x_{1,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_1 に対して x_{1, m'_1}＝a であり、
すべての n≠m'_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるようなIの点列 { x_{1,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{1,n} }、及び或る非負実数 μ_1 がそれぞれ定まって、{ ε_{1,n} } は μ_1 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_1≦|f(c_1)－f(x_{1,n})|＜ε_{1,n}＜A となる。
同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、x-座標が有理点bとなる
連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) を完全集合とする。無理数 c_2∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R^2 から誘導された位相について、連結距離空間 R^2 の点 (b,f(b)) の R^2 の
ε-近傍 U_ε(b,f(b)) 上にx-座標が有理数なる R^2 の点は稠密に存在し、(b,f(b)) は孤立点ではない。
従って同様に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c_2－x_{2,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_2 に対して x_{2, m'_2}＝b であり、
すべての n≠m'_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるようなIの点列 { x_{2,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{2,n} }、及び或る非負実数 μ_2 がそれぞれ定まって、{ ε_{2,n} } は μ_2 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_2≦|f(c_2)－f(x_{2,n})|＜ε_{2,n}＜A となる。
57:１３２人目の素数さん
17/12/15 12:55:23.66 S7p1wcDw.net
>>51 補足
リプシッツ不連続点は、可算無限が元だが、まずは非可算でも面白そうだよ（＾＾
58:１３２人目の素数さん
17/12/15 12:56:00.96 8RLwNZRE.net
(>>53の続き)
[第４段]：故に c_1＝c_2 として点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{1,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_1 に対して x_{1, m_1}＝a であり、すべての n≠m_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるような
Iの点列 { x_{1,n} } が取れる。このとき更に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{2,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_2 に対して x_{2, m_2}＝b であり、すべての n≠m_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、各 i＝1,2 に対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A となる。
[第５段]：i＝1,n＝m_1 とすると、x_{1,m_1}＝a から |c－a|＜M であって、|f(c)－f(a)|＜A＝d/2。
同様に、i＝2,n＝m_2 とすると、x_{2,m_2}＝b から |c－b|＜M であって、|f(c)－f(b)|＜A＝d/2。
従って、三角不等式から、|a－b|≦|a－c|＋|c－b|＜M＋M＝2M、|f(a)－f(b)|≦|f(a)－f(c)|＋|f(c)－f(b)|＜d/2＋d/2＝d。
d/2 に対して定まる正の実数 δ(d/2) を δ(d/2)＝2M とおけば、|a－b|＜δ(d/2) であって |f(a)－f(b)|＜d＜ε、
故に、εに対して定まる正の実数 δ(ε) を δ(ε)＝δ(d/2) とおけば、|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|＜ε。
しかし、これは |f(a)－f(b)|≧ε であったことに反し矛盾する。背理法が適用出来るから、任意の正の実数εに対して、
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意のIの有理点a'と任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数a'となるような、
連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a',y) を完全集合とすると、区間Iで定義された
すべてのIの有理点で不連続、すべてのIの無理点で連続な実関数 f(x) は存在しないことになる。
59:１３２人目の素数さん
17/12/15 12:58:18.30 8RLwNZRE.net
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第６段]：Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
正の実数εを任意に取る。I上の無理点aを任意に取る。点aで微分可能な f(x) はaで連続だから、有理数の稠密性から、
通常の位相について、任意のI上のaを含む開区間上に有理数は稠密に存在し、aは孤立点ではない。
従って、或るIの有理点bが存在して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) に点 (b,f(b)) は存在し、(b,f(b)) は孤立点ではない。
0＜ε'＜ε なる実数ε'を任意に取る。ε'に対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε'-近傍 U_ε'(b,f(b)) 上において、x-座標のy、及びy-座標のy'が任意の実数
なるような連結距離空間 R^2 の点 (y,y') は稠密に存在し、(y,y') は孤立点ではない。開区間IはRの連結部分空間だから、
連結な距離空間 R^2 のε'-近傍 U_ε'(b,f(b)) 上において、yが任意のIの有理数、y'が任意の実数なるような
連結距離空間 R^2 の点 (y,y') は稠密に存在し、(y,y') は孤立点ではない。
0＜ε'＜ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、正の実数εを走らせつつ、ε'を条件 0＜ε'＜ε の下で走らせれば、
或る正の実数εに対して、或るIの有理数yと或る実数y'が両方共に存在して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (y,y') の R^2 のε-近傍 U_ε(y,y') は完全集合となる。従って、yが属しかつIに含まれるような
開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
60:１３２人目の素数さん
17/12/15 13:00:53.36 8RLwNZRE.net
あっ、>>56は>>55の続きで、新たな命題の証明。
61:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 15:35:16.05 S7p1wcDw.net
スマン
新スレだから、トリップとコテハンが抜けた（＾＾
62:１３２人目の素数さん
17/12/15 16:37:37.27 8RLwNZRE.net
>>49の訂正：
示す命題の仮定
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意の正の実数εに対し、
>任意のIの有理点aと任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数aとなるような、
>連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a,y) が完全集合とする。
は
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
に変更。
>>53の訂正：>>53のはじめの文
>…連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) を完全集合とする。
と途中の文
>同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、…連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) を完全集合とする。
は、それぞれ
>…連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) 「の閉包」を完全集合とする。
>同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、…連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) 「の閉包」を完全集合とする。
に訂正。「の閉包」を加える。
63:１３２人目の素数さん
17/12/15 16:40:48.25 8RLwNZRE.net
>>55の第５段の
>背理法が適用出来るから、任意の正の実数εに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
>任意のIの有理点a'と任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数a'となるような、
>連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a',y) を完全集合とすると、
の部分は
>背理法が適用出来るから、任意の正の実数εに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
>高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とすると、
に変更。
64:１３２人目の素数さん
17/12/15 16:45:18.79 8RLwNZRE.net
>>56の訂正：
或る正の実数εに対して、或るIの有理数yと或る実数y'が両方共に存在して、…
→ 或る正の実数εについて、或るIの有理数yに対して実数 f(y) が定まって、…
つまり、
>0＜ε'＜ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、
以降の「y'」は全部(或るyに対して定まる)「f(y)」に変更。
>0＜ε'＜ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、正の実数εを走らせつつ、ε'を条件 0＜ε'＜ε の下で走らせれば、
>或る正の実数εについて、或るIの有理数y�
65:ﾆ或る実数 f(y) が定まって、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、 >連結距離空間 R^2 上の点 (y,f(y)) の R^2 のε-近傍 U_ε(y,f(y)) は完全集合となる。従って、… の部分の「ε-近傍 U_ε(y,f(y)) は完全集合となる。」は「ε-近傍 U_ε(y,f(y)) の閉包は完全集合となる。」に訂正。 あと、下から4行目の「従って、…」とその直前の文「…「U_ε(y,f(y)) の閉包」は完全集合となる。」との間に、次の一文を挿入。 >同様にして考えると、或る正の実数ε'に対して、或るyとは異なるIの有理数y'に対して実数 f(y') が定まって、連結な距離空間 R^2 から >誘導される位相について、連結距離空間 R^2 上の点 (y',f(y')) の R^2 のε'-近傍 U_ε'(y',f(y')) の閉包は完全集合となる。 >従って、δ＝min(ε,ε') とおけば、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、連結距離空間 R^2 上の2点 (y,f(y))、(y',f(y')) の >各 R^2 のδ-近傍 U_δ(y,f(y))、U_δ(y',f(y')) の各閉包は両方共に完全集合となる。
66:１３２人目の素数さん
17/12/15 17:27:27.28 8RLwNZRE.net
じゃ、昨日余り寝ていないんで、おっちゃん寝る。
67:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 19:39:45.79 dUFtnfpO.net
>>62
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね～（＾＾
68:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 19:55:48.11 dUFtnfpO.net
>>52
まず
＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
Iを開区間とする。
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
＜おわり＞
申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
１）普通の開区間Iと何が違う？
２）”普通の１変数関数 （x,y）∈R^2 ｙ＝f(x) で、通常のユークリッド距離空間（√（x^2+y^2））”と何が違う？
３）”トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24”
URLﾘﾝｸ(corollary2525.hatenablog.com)
これ読んだか？
読んだ上で、なお、「任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない」だと？
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね～（＾＾
69:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 20:07:44.47 dUFtnfpO.net
>>56
(抜粋)
（命題）
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第６段]
（中略）
開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(引用終り)
ああ、ここで、上記 >>64 ＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
「Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。」を使っているのか？
だが、＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞には、反例として、>>64のトマエ関数が挙げられると思うよ
おれの>>34を全然読んでない～（＾＾
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね～（＾＾
このスレには、必須の人やね～（＾＾
70:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 21:22:34.52 dUFtnfpO.net
>>36 補足
話は飛びますが、みなさん、”どっきりカメラ”（下記）をご存知でしょう（＾＾
で、「こんな簡単な証明がなぜ分らないのだ！！ こら～！」と言われ、「はい、分りました」と言った後で
大学院DRコースの人とかが来て、「それ成り立たないよ」とかね。
あるいは、「この前の院の関数論講義で、成り立たないと言っていた」とか。そんな、「ドッキリ」が出てこないとも限らない
自分が、「確かにこの定理は成立するだろう」というかなりの確信が持てるまで、うっかり証明論争に巻き込まれないようにしたいねと
自分が、この証明を読んで、証明の成否を判断できるほど、私のレベルは高くない
で、いまのところ、一人だけ「正しいと思います」と言ったが
しかし、それ以外に賛否を明らかにした人は、まだいない
なので、しばらく、リプシッツ連続の勉強を兼ねて、
反例探しを、続けますよ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
元祖どっきりカメラ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ドッキリ
ドッキリとはバラエティ番組の表現手法のひとつ。番組進行を知らない、または虚偽の進行だけ知らされている出演者をだましたりイタズラを仕掛けたりして、出演者の反応を楽しむという手法。
語源は「ドッキリする」という心臓の鼓動が高まるほど驚く様子を表す言葉である（後述の元祖どっきりカメラの影響）。最後にネタばらしを行うが、ネタばらしは仕掛け人と呼ばれる進行役が番組名や
71:「ドッキリ」と書かれたプラカードを持って登場する方式が多い。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%86%E3%82%8F%E3%81%A3!%E3%83%80%E3%83%9E%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%9F%E5%A4%A7%E8%B3%9E うわっ!ダマされた大賞
72:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 21:45:11.26 dUFtnfpO.net
>>40 補足
反例の一つの可能性は、連続関数の１回の極限としてのBaire-1級関数で、
可算無限個のリプシッツ”不”連続点（＝内点を持たない）が、稠密に分散している関数
そういう関数が、反例として構成できる可能性がないか？
私には、どうすれば良いか
さっぱり浮かびませんがね～（＾＾
73:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 21:47:57.17 dUFtnfpO.net
>>67 訂正
可算無限個のリプシッツ”不”連続点（＝内点を持たない）が、稠密に分散している関数
↓
可算無限個のリプシッツ”不”連続点（＝内点を持たない）が、稠密に分散していて、それらリプシッツ”不”連続点以外ではリプシッツ連続な関数
74:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 23:21:02.39 dUFtnfpO.net
>>66 補足
いや、当然、あの定理を考えた人は、真剣に定理が成り立つと思っているのでしょう
が、証明が公開されたあとの、他の人の反応がね・・・
静か過ぎる（＾＾
ひょっとすると、皆さん正しい答えを知っていて、私が間違うのを待っている可能性もあるかなと（＾＾
なので、自分で定理の正否について、
ある程度の確信が持てない限り、「証明論争には、うっかり乗れません」ということです（＾＾
75:１３２人目の素数さん
17/12/15 23:34:23.34 esELFcoa.net
バカは黙ってな
76:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/15 23:59:51.61 dUFtnfpO.net
>>35 関連
”Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)”
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベール空間
定義
ベール空間の詳しい定義は、主にその時々に支配的だった需要と観点に起因して、時代とともに少しずつ変化してきた。まずは、よくある現代的定義を述べ、そのあとベールが与えたオリジナルの定義により近い歴史的定義を挙げる。
現代的定義
位相空間がベール空間であるとは、内部が空であるような閉集合からなる任意の可算族の合併は必ず内部が空になるときに言う。
この定義は以下のように同値な条件で言い換えることもできる。
・可算個の稠密開集合の交わりは必ず稠密になる。
・可算個の疎閉集合の合併の内部は必ず空になる。
・X の可算個の閉集合の合併が内点を持つ限り常に、それら閉集合の中に内点を持つものがある。
つづく
77:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 00:00:21.07 /2xvBEHK.net
>>71 つづき
歴史的定義
詳細は「第一類集合」を参照
ベールのオリジナルの定義では、範疇の概念が以下のように定義された。
位相空間 X の部分集合が、
X において疎あるいは至る所疎 (nowhere dense) であるとは、その閉包の内部が空であることを言う。
X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。
X において第二類 (second category) または痩せていない (nonmeagre) とは、それが X において第一類でないことを言う。
これらの言葉でベール空間の定義を述べると次のようになる：「位相空間 X がベール空間となるのは、任意の空でない開集合が X において第二類であるときである」。この定義は先述の現代的定義と同値である。
X の部分集合 A が残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X ? A が痩せていることを言う。位相空間 X がベール空間であるための必要十分条件は、X の任意の残留的部分空間が稠密になることである。
例
・実数の全体 R に通常の位相を考えたものはベール空間であり、したがって自分自身において第二類である。有理数の全体 Q は R において第一類であり、無理数の全体 P は R において第二類である。
・カントル集合 C はベール空間であり、したがって自分自身において第二類だが、C は単位閉区間 [0,?1] に通常の位相を入れたものにおいて第一類である。
・有理数の全体 Q に R からくる通常の位相を入れた空間はベール空間でない。これは Q が可算個ある各点 q に対応する一元集合 {q}（これは内点を持たない閉集合になっている）の合併として書けることによる。
(引用終り)
以上
78:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 00:00:49.29 /2xvBEHK.net
>>70
笑える
最下位くん、必死だな（＾＾
79:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 00:01:34.40 /2xvBEHK.net
>>70
こしぎんちゃく（＾＾
80:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 00:06:12.38 /2xvBEHK.net
>>72 関連
URLﾘﾝｸ(ejje.weblio.jp)
研究社 新英和中辞典での「meagre」の意味
meager
表記meager(米国英語), meagre(英国英語)
1貧弱な，乏しい，不十分な; 豊かでない.
81:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 07:44:16.55 /2xvBEHK.net
>>5 関連
>大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを
”A Pointwise Lipschitz Selection Theorem Article Miek Messerschmidt”
”Acknowledgement. The author would like to thank the MathOverflow community”だと
MathOverflow communityね
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net) Full-text (PDF)
A Pointwise Lipschitz Selection Theorem Article Miek Messerschmidt Institution University of Pretoria Department of Mathematics and Applied
Abstract
We prove that any correspondence (multi-function) mapping a metric space into a Banach space that satisfies a certain pointwise Lipschitz condition, always has a continuous selection that is pointwise Lipschitz on a dense set of its domain.
We apply our selection theorem to demonstrate a slight improvement to a well-known version of the classical Bartle-Graves Theorem: Any continuous linear surjection between infinite dimensional Banach spaces has a positively homogeneous continuous right inverse that is pointwise Lipschitz on a dense meager set of its domain.
An example devised by Aharoni and Lindenstrauss shows that our pointwise Lipschitz selection theorem is in some sense optimal: It is impossible to improve our pointwise Lipschitz selection theorem to one that yields a selection that is pointwise Lipschitz on the whole of its domain in general.
A Pointwise Lipschitz Selection Theorem (PDF Download Available). Available from: URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net) [accessed Dec 16 2017].
つづく
82:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 07:45:03.22 /2xvBEHK.net
>>76 つづき
Acknowledgement. The author would like to thank the MathOverflow community
(Nate Eldredge in particular, for pointing out the example in Remark 3.5 to the
author), and the anonymous referees of the paper for their constructive comments
and suggestions.
(引用終り)
追記：
これ、本当は最初arXivでヒットしたが、別キーワード検索で、上記researchgateがヒットしたので、このURLを採用した
以上
83:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 08:11:03.48 /2xvBEHK.net
>>71
戻る
（引用開始）
スレ47 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
594 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/12(火) 17:31:09.14 ID:14lo33mI [4/9]
以下の pdf に証明を書いた。
URLﾘﾝｸ(www.axfc.net)
なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いた
84:つもりである。 なお、「疎な閉集合」は「内点を持たない閉集合」と同じことであるから、 pdf の中では「疎な閉集合」という概念を導入せず、必要な個所では その都度 「内点を持たない閉集合」 という言葉に置き換えた。 (引用終り) つづく
85:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 08:11:35.92 /2xvBEHK.net
>>78 つづき
上記PDFより
(抜粋) （なお、この板では正確に記述できないので、原文PDFをご参照ください）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
証明
略
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
つづく
86:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 08:12:02.07 /2xvBEHK.net
>>79 つづき
で、定理1.7 より、>>21の
命題B
f：R → R であって、「xがリプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し、xがそれ以外でリプシッツ連続」
となるものは存在しない
∵定理1.7より、”f は(a, b) 上でリプシッツ連続である”と、”リプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し”とが、両立しないから
で、問題は、
１．命題Bが、いままで誰も発表していない定理なのか？（プロ数学界で）
２．”いままで誰も発表していない定理”だとすると、正しいとすると素晴らしいことだが、一方、命題Bが本当に成立しているのか？ ということが問題になる
いろいろ、”リプシッツ連続”について調べているのは、そういうわけです（＾＾
つづく
87:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 08:12:52.54 /2xvBEHK.net
>>80 つづき
>>71の
”Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)”
が
命題Bに近いか、ほぼ同じ意味なのか？
以上
88:１３２人目の素数さん
17/12/16 09:22:55.31 6lAUkPpQ.net
と、バカが独り言を重ねております
89:１３２人目の素数さん
17/12/16 10:55:38.86 Ysy8e8oN.net
［定理］
開集合Ωに含まれる任意のコンパクト集合で値が一致
するふたつ関数はΩ全体で一致する
［証明］
Ωに含まれる任意のコンパクト集合Kに対してΩ＼Kで
値が一致しないとしてもKの取り方は任意だからKよ
り大きいΩに含まれるコンパクト集合K'が存在してK'
で値が一致することになるが(Ω＼K)∩K'では値が一致
せずかつ値が一致するからΩ＼Kで値が一致しないこ
とはなくΩ全体で値が一致する［証明終了］
［解説］
要は任意に与えられたΩに含まれるコンパクト集合K
に属さないΩの点xで値が一致しないとしてもKの取り
方は任意だからxを含むようにKを取り直せばKにおい
て値が一致するからΩの点で値が一致しない点は存在
しないということ
90:１３２人目の素数さん
17/12/16 10:56:13.39 w5clnf6m.net
時枝記事を理解できないわけだよ
証明を全然読めないんだから
91:１３２人目の素数さん
17/12/16 10:58:03.27 w5clnf6m.net
>.>83
> ［証明］
> Ωに含まれる任意のコンパクト集合Kに対してΩ＼Kで
> 値が一致しないとしてもKの取り方は任意だからKよ
> り大きいΩに含まれるコンパクト集合K'が存在してK'
> で値が一致することになるが(Ω＼K)∩K'では値が一致
> せずかつ値が一致するからΩ＼Kで値が一致しないこ
> とはなくΩ全体で値が一致する［証明終了］
読点を使わずにこんなに長い日本文を書いてはいけない
92:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 11:43:49.45 /2xvBEHK.net
>>84-85
笑える
言っている尻からこれか？
おい、>>83の証明を読んでやれ！（＾＾
そうすりゃ、おれが素人証明を読まない気持ちが、分るだろう（＾＾
93:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 11:52:45.95 /2xvBEHK.net
おれが、素人証明を読む条件としては
１．その命題が、成立すると確信がある場合
２．その命題が、成立する場合でも、成書あるいはPDFなど出版物に証明がある場合は、そちらを主にして読む
３．まず読まないのが、この数学板に書き散らされた素人証明だよ
>>78のPDFは、まだ読めるが
条件１の「成立すると確信がある場合」に該当しないから、真剣に読むつもりなしだ
いま、条件２を探している
94:１３２人目の素数さん
17/12/16 12:02:21.68 6lAUkPpQ.net
と、素人以下のバカが申しております
95:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 12:21:33.78 /2xvBEHK.net
>>87 補足
正直、>>78のPDFは、ざっと読んだが
どこにギャップがあるか、分らなかったし、ギャップを見つける自信がなかった
なので、反例から攻めることにした
PDFの定理1.7（>>79）の証明を読むより、いろいろ自分で調べた文献を読む方が、面白いしね（＾＾
96:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 12:24:23.40 /2xvBEHK.net
>>87-88
時枝はさ、明らかに不成立だからね
証明なぞ、読む価値なしだよ
97:１３２人目の素数さん
17/12/16 12:30:23.81 6lAUkPpQ.net
＞１．その命題が、成立すると確信がある場合
＞２．その命題が、成立する場合でも、成書あるいはPDFなど出版物に証明がある場合は、そちらを主にして読む
と広言するからには教科書はバッチリかと思いきや、εδすら理解していないスレ主だったとさ
98:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 12:37:30.30 /2xvBEHK.net
他のスレでも上がっているが、一応アップする
（いまのところ、朝日のみ）
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
望月氏のＡＢＣ予想「証明」、独創的すぎて数学者も苦闘 朝日
嘉幡久敬、阿部彰芳2017年12月16日08時58分
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
数学の超難問・ＡＢＣ予想を「証明」 望月京大教授 朝日
石倉徹也2017年12月16日03時01分
99:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 12:46:47.44 /2xvBEHK.net
>>81
>>91
その”εδ”な、「スレ主、おまえ”εδ”分ってない。おれ、分っているぞ」と、言った方々
ピエロ、High level people、おっちゃん、”おまえ”（＾＾
みな、証明間違ったろ～（＾＾
>>78のPDFを書いた”ID:14lo33mI”さんとは、未決着だがね（＾＾
>>78のPDFについては、おいおい書いて行く
100:１３２人目の素数さん
17/12/16 12:57:40.78 wsqRW9GA.net
502 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/08/15(火) 19:14:09.11 ID:MgvDl1uC
【悲報】スレ主がεN論法を全く理解していないことが判明
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:473番)
＞∀n∈N,∃m∈N,n≦m
＞∃m∈N,∀n∈N,n≦m
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:497番)
＞命題１は、不成立。理由は、Nに上限はないから
＞命題２は、成立。理由は、第一条件であるｍ∈Nを取って、その範囲で、”第二条件（小前提）∀n∈N, 結論 n≦m”が成り立つようにできる
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:569番)
逆ですよー ：－）
命題1 は成立するのです。どんな n についても、それぞれの n がそれ以上の自然数を持っていますから。
命題2 は成立しません。すべての自然数nに対して絶対的に n <= m となる特定の自然数mは存在しません。
101:１３２人目の素数さん
17/12/16 13:23:35.24 wsqRW9GA.net
スレ主は「基本的なε－δ論法」を理解していないので証明を読むのは無理なのであった。
649 １３２人目の素数さん sage 2017/12/13(水) 21:47:45.73 ID:Emn1o5My
>>644
まずは補題1.5から始める。
補題1.5は、実質的には 0.5ページ 程度の分量しかない。その内容も、
limsup の定義に沿って基本的なε－δ論法を展開するだけである。
この程度の内容が読めないわけがないし、この程度の内容に徒労もクソもない。
102:１３２人目の素数さん
17/12/16 13:27:21.76 9/yG/0pd.net
>>64
おっちゃんです。
>＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
>Iを開区間とする。
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
>このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
>＜おわり＞
>
>申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
その命題の意味？ 開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、
かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しないことを示すための準備。
この場合は完全集合は閉区間と同じ扱いになる。その完全集合つまり閉区間についての
元の仮定が偽で、結論も偽の命題なんだから、対偶を取れば正しい命題になって数学的には正しい命題になる。
今気付いたが、ε-δ だけで示せるだろう。ただ、もっと長くなるとは思う。
>１）普通の開区間Iと何が違う？
この場合も含めて普通は、連結な距離空間 R^2 に定められた距離関数はユークリッド平面 R^2 に
定義された任意の2点に定義された通常の距離の取り方をするが、距離関数の取り方次第では
他の距離関数が定義されたユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うことも出来る。
このときは空間 R^2 を通常のユークリッド平面 R^2 とは異なる扱いをすることになる。
そして、ユークリッド平面 R^2 からその高々有限個の点からなる
離散距離空間を構成することも出来て、通常の距離とは異なる扱いをすることも出来る。
>２）”普通の１変数関数 （x,y）∈R^2 ｙ＝f(x) で、通常のユークリッド距離空間（√（x^2+y^2））”と何が違う？
この場合は普通のユークリッド距離関数と同じと考えて問題はない。
普通はユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うとき、その距離関数は任意の2点間に定義されたような通常の距離関数の取り方をする。
103:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:27:28.54 /2xvBEHK.net
>>79 補足
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
これで、
１．”内点を持たない閉集合”とは、平たく言えば、「ただ１点」ってことだ
２．”被覆できる”とは、平たく言えば、「和集合」ってことだ
３．で、”高々可算”というけれど、有限なら、「 f は(a, b) 上でリプシッツ連続」はトリビアだ
４．もし、”可算無限”でも、どこかに偏在すれば、当然偏在箇所以外では、「 f は(a, b) 上でリプシッツ連続」もトリビアだ
５．だから、この定理1.7のキモは、「”可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは（数学的に）ありえない」ということ
（∵「リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散」ならば、”(a, b) 上でリプシッツ連続”と矛盾するから）
つづく
104:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:28:10.27 /2xvBEHK.net
>>97 つづき
６．で、”可算無限”は本質だな
例えば、>>81 THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.
" In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)"
ここで、”on a co-meager set”は、dense（稠密）。（∵ 最初の仮定 ”each dense in the reals”だから）
co-meagerは、非可算濃度（∵ >>72より 「残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X ＼ A が痩せていることを言う。」
「X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。」）
（なお>>35 "** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)" も補足しておく。）
７．つまり、かの定理1.7は、ちょうど「”可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは（数学的に）ありえない」という主張に等価
（「”非可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは（数学的に）可能」であるにも拘わらず）
で、私スレ主が、疑問に思うのは、「本当に、それ成り立つのか？」ということ
それを、いま調べているのだ
以上
105:１３２人目の素数さん
17/12/16 13:33:03.68 6lAUkPpQ.net
>>93
＞その”εδ”な、「スレ主、おまえ”εδ”分ってない。おれ、分っているぞ」と、言った方々
＞ピエロ、High level people、おっちゃん、”おまえ”（＾＾
＞みな、証明間違ったろ～（＾＾
相変わらず錯乱してるｗ 証明？ 間違った？ ちゃんと薬飲めよ？
106:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:33:29.35 /2xvBEHK.net
>>93-95
つー、>>97-98（＾＾
107:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:36:02.55 /2xvBEHK.net
>>99
では、質問二つ
１．時枝の成立を信じているかい？（＾＾
２．>>78のPDFの証明読んだか？ 正しいと思うかい？（＾＾
108:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:39:59.94 /2xvBEHK.net
>>96
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>>34 URLﾘﾝｸ(corollary2525.hatenablog.com)
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24
(抜粋)
定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．
(引用終り)
を熟読願いたし（＾＾
>元の仮定が偽で、結論も偽の命題なんだから、対偶を取れば正しい命題になって数学的には正しい命題になる。
意味分らん（＾＾
109:１３２人目の素数さん
17/12/16 13:48:58.96 9/yG/0pd.net
>>102
対偶を取って命題を把握しろってことだよ。
前提をp、結論をqとしたら、命題 p⇒q とその対偶の命題 ￢q ⇒ ￢p とは同値な命題になるだろ。
これは高校で習ったろ。
110:１３２人目の素数さん
17/12/16 13:49:20.41 6lAUkPpQ.net
>>93
しかも日本語が全く読めていない
俺は
-----------------------------------
＞１．その命題が、成立すると確信がある場合
＞２．その命題が、成立する場合でも、成書あるいはPDFなど出版物に証明がある場合は、そちらを主にして読む
と広言するからには教科書はバッチリかと思いきや、εδすら理解していないスレ主だったとさ
-----------------------------------
と言ったにもかかわらず、何�
111:ﾌか教科書すら理解していないことには全く触れず 他人の中傷を始める始末。（スレ主がεδを理解していないことは事実なので中傷 ではない。一方俺が証明を間違えたというのは事実ではないので中傷である。） スレ主に数学は20年早い、国語と道徳からやり直すべき。
112:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:58:01.32 /2xvBEHK.net
>>104
最下位のこしぎんちゃくが、なにを焦っている（＾＾
日本語が全く読めていない
質問二つ
１．時枝の成立を信じているかい？（＾＾
２．>>78のPDFの証明読んだか？ 正しいと思うかい？（＾＾
（>>101より再録）
113:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 13:59:11.20 /2xvBEHK.net
>>103
おっちゃん、どうも、スレ主です。
対偶は、いいわ。些末だから
>>34 URLﾘﾝｸ(corollary2525.hatenablog.com)
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24
(抜粋)
定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．
(引用終り)
を熟読願いたし（＾＾
114:１３２人目の素数さん
17/12/16 14:07:43.30 6lAUkPpQ.net
＞１．時枝の成立を信じているかい？（＾＾
信じる信じないではない、正しいか正しくないかだ。
時枝記事は正しい。
スレ主は学力が無いから理解できないだけのこと。
＞２．>>78のPDFの証明読んだか？ 正しいと思うかい？（＾＾
読んでない。
115:１３２人目の素数さん
17/12/16 14:09:01.41 6lAUkPpQ.net
＞なにを焦っている（＾＾
焦って数学なぞに手を出してるのはスレ主
お前が今すべきは国語と道徳の学習だ
116:１３２人目の素数さん
17/12/16 14:10:11.89 6lAUkPpQ.net
それと薬も欠かさず飲むこと
117:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:36:58.33 /2xvBEHK.net
>>98 関連
（>>35より、いままでと、重複もあるが、”co-meager”関連引用）
URLﾘﾝｸ(mathforum.org)
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker than any power of f gives behavior that one would expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that eventually majorizes every power function.
Define f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these functions fail to be differentiable is large in the sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points.
In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
つづく
118:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:37:26.86 /2xvBEHK.net
>>110 つづき
[13] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at irrationals and discontinuous at rationals", abstract of talk given 2 November 1963 at the annual fall meeting of the Minnesota Section of the MAA, American Mathematical Monthly 71 #3 (March 1964), 349.
The complete text of the abstract follows, with minor editing changes to accommodate ASCII format.
Earlier results of Porter, Fort, and others suggest additional questions about the functions in the title. Differentiability and Lipschitz conditions are considered. Special attention ispaid to the ruler function (f) and its powers.
Sample results:
THEOREM:
If 0 < r < 2, f^r is nowhere Lipschitzian; f^2 is nowhere differentiable, but is Lipschitzian on a dense subset of the reals.
THEOREM:
If r > 0, f^r is continuous but not Lipschitzian at every Liouville number;
if r > 2, f^r is differentiable at every algebraic irrational.
THEOREM:
If g is continuous at the irrationals and not continuous at the rationals, then there exists a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
つづく
119:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:37:52.20 /2xvBEHK.net
>>111 つづき
[15] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at the irrationals and discontinuous at the rationals", American Mathematical Monthly 72 #4 (April 1965), 370-373. [MR 31 #3550; Zbl 131.29201]
NOTE: Sengupta/Lahiri had essentially obtained this result in 1957 (the points of discontinuity have to form an F_sigma set, however).
See my remark in [13] above.
This result is also proved in Gerald Arthur Heuer, "A property of functions discontinuous on a dense set", American Mathematical Monthly 73 #4 (April 1966), 378-379 [MR 34 #2791].
Heuer proves that for each 0 < s <= 1 and for each f:R --> R such that {x: f is continuous at x} is dense in R and {x: f is not continuous at x} is dense in R, the set of points where f does not satisfy a pointwise Holder condition of order s is the complement of a first category set (i.e. a co-meager set).
By choosing s < 1, we obtain a stronger version of Sengupta/Lahiri's result.
By intersecting theco-meager sets for s = 1/2, 1/3, 1/4, ..., we get a co-meager set G such that, for each x in G, f doesnot satisfy a pointwise Holder condition at x forany positive Holder exponent.
(Heuer does not explicitly state this last result.)
A metric space version of Heuer's result for an arbitrary given pointwise modulus of continuity condition is essentially given in: Edward Maurice Beesley, Anthony Perry Morse, and Donald Chesley Pfaff, "Lipschitzian points", American Mathematical Monthly 79 #6 (June/July 1972), 603-608 [MR 46 #304; Zbl 239.26004].
See also the last theorem in Norton [17] below.
つづく
120:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:38:16.03 /2xvBEHK.net
>>112 つづき
[17] Alec Norton [Kercheval], "Continued fractions and differentiability of functions", American Mathematical Monthly 95 #7 (Aug./Sept. 1988), 639-643. [MR 89j:26009; Zbl 654.26006]
On p. 643, Norton proves the following result.
THEOREM:
Let f:R --> R be discontinuous on a set of points that is dense in R.
Then there exists a co-meager (i.e. residual) set B such that for all x in B and for all s > 0, f fails to satisfy a pointwise Holder condition of order (exponent) s at x.
NOTE: See also the comments I make in Heuer [15] and Nymann [16] above.
(引用終り)
以上
121:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:38:38.85 /2xvBEHK.net
>>107
ご苦労さん
正直で良いわ
122:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:39:16.74 /2xvBEHK.net
>>108
確かに、あんた、道徳はOKかも（>>114）
うそつきサイコパスのピエロとは、違うね（＾＾
123:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 14:43:18.58 /2xvBEHK.net
>>110
>(Each co-meager set has c points in every interval.)
"c points"の意味が分らん（＾＾
”critical”か”cotinuous”かな？
124:１３２人目の素数さん
17/12/16 14:44:36.41 6lAUkPpQ.net
＞正直で良いわ
つまり学力不足で時枝記事を理解できないと認めるわけだな？
125:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 15:04:54.86 /2xvBEHK.net
>>116
>"c points"の意味が分らん（＾＾
違うかも知れないが、検索ヒットと他にめぼしいヒットがないので下記を貼る
（下記だと、cは連続濃度の意味だね）
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
(抜粋)
Is a random subset of the real numbers non-measurable? Is the set of measurable sets measurable?
edited Nov 29 '12 at 22:06
19 answered Jul 16 '12
The answer to your second question (assuming the axiom of choice, to dodge Asaf's comment) is that 2^R/Σ has dimension 2^c, where c=2^?0 is the cardinality of the continuum.
The main ingredient of the proof is a partition of [0,1] into c subsets, each of which intersects every uncountable closed subset of [0,1].
To get such a partition,
first note that there are only c closed subsets of [0,1], so you can list them in a sequence of length (the initial ordinal of cardinality) c in such a way that each closed set is listed c times.
Second, recall that every uncountable closed subset of [0,1] has cardinality c.
Finally, do a transfinite inductive construction of c sets in c steps as follows:
At any step, if the closed set at that position in your list is C and if this is its α-th occurrence in the list,
then put an element of C into the α-th of the sets under construction, being careful to use an element of C that hasn't already been put into another of the sets under construction.
You can be this careful, because fewer than c points have been put into any of your sets in the fewer than c preceding stages, while C has c points to choose from. At the end, if some points in [0,1] remain unassigned to any of the sets under construction, put them into some of these sets arbitrarily, to get a partition of [0,1].
つづく
126:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 15:05:17.21 /2xvBEHK.net
>>118 つづき
Once you have this partition, notice that every piece has outer measure 1, because otherwise it would be disjoint from some closed set that has positive measure and is therefore uncountable. This implies that, among the 2c2c sets that you can form as unions of your partition's pieces, only φ and [0,1] can be measurable.
In particular, no finite, nonempty, symmetric difference of these pieces is measurable.
That is, they represent linearly independent elements of 2^R/Σ.
(引用終り)
127:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 15:09:33.82 /2xvBEHK.net
>>117
いやいや、正直は、PDF読んでないの方
時枝の誤読は、君だけじゃない。最下位レベルでは無理ないよ
128:１３２人目の素数さん
17/12/16 15:16:14.27 6lAUkPpQ.net
>>120
誤読とは？
129:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 15:32:29.99 /2xvBEHK.net
>>111
フルペーパーまではゲットできず（＾＾
まあ、Abstractだけでも
URLﾘﾝｸ(www.calmathsoc.org)
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society
Article Details
Article ID B.1957.49.31
Title A Note on Derivatives of a Function
Author H.M. Sengupta & B.K. Lahiri
Issue Vol. 49, No. 4, - 1957
Article No. 31, Pages 189-191
Abstract
Recently Prof. Fort Jr. (1951) has proved a striking theorem regarding the differentiability of a function which is discontinuous over an everywhere dense set and continuous over an everywhere dense set.
He has proved that if the set of points where the function is discontinuous be everywhere dense and if there be an everywhere dense set of points where f(x) is continuous, then the set of points (if it exists) where the function is differentiable is a set of the first category.
He proves this by showing that the set of points where f(x) is continuous but not differentiable is a residual set.
In this note it is a proposed to show that in case there is an everywhere dense set of points when f(x) is discontinuous and an everywhere dense set of points where f(x) is continuous, then there always exists a residual set at each point of which at least one of the four derivatives D^+f, D_+f, D^-f is infinite.
In this connection, we refer to an article by W.H. Young (1903) [see Hobson, 1927] where it is proved that for any function f(x) defined in a
Latex Reference [BiBTeX format]
@ARTICLE { [citing tag of your choice],
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? ?VOLUME = {49},
? ?NUMBER = {4},
? ?PAGES = {189-191} }
以上
130:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 15:33:03.62 /2xvBEHK.net
>>121
「ぷふ」さんが教えてくれるよ（＾＾
131:１３２人目の素数さん
17/12/16 15:54:07.85 6lAUkPpQ.net
>>123
一言も見解を述べれなかったアホに何ができるって？
132:１３２人目の素数さん
17/12/16 16:04:32.84 9/yG/0pd.net
>>106
トーメ関数でも何でもいいけど、それとよく似た性質を持つような、
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x)
の存在性によって
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個の開区間Iの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε] 「のみに限り完全集合となるようなことはあり得ない」。
となって、元の仮定が否定がされるから、
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、2個以上の正の実数εに対し、
>3個の開区間Iの相異なる有理点 a,b,c に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε]、[c＋ε, c＋ε] は完全集合となる。
というごく当たり前のことが従う。
133:１３２人目の素数さん
17/12/16 16:14:51.15 9/yG/0pd.net
>>106
>>125の訂正：
下から6行目： [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε] → [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε]
下から2行目： [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε]、[c＋ε, c＋ε] → [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε]、[c－ε, c＋ε]
134:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
17/12/16 16:21:46.09 /2xvBEHK.net
>>97-98
＜いままで読み込んだ調査文献からの暫定結論＞
１．>>110 "Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals."
↓
”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
(Each co-meager set has c points in every interval.)”
なので、”continuous and discontinuous”＆”each dense”は、本質で、これを、”リプシッツ連続とリプシッツ"不"連続”＆”each dense”に緩めることはできない
２．その理由は、”continuous and discontinuous”＆”each dense”の絡みで、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set."
が出るのであって、リプシッツ"不"連続に緩めたら、”a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition”は言えないだろうということ
（１と同じことの言い換えみたいだが・・、うまく書けないね（＾＾ ）
３．あと、まだ分らないのが、無理数と有理数に限定した、ruler-like functionsや下記の変形トマエ関数などで、関数の減衰で、無理数での微分可能点が増減するメカニズム
４．あと、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }と置く:
もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
で、R上R－Bfが稠密になる関数が、反例として本当に構成できるかどうか？（可能と思うが・・）
（R－Bfは、リプシッツ"不"連続であって、通常の不連続とは違うという理解なのだが、それで良いかどうかも、そこがいまいち分らんが・・（＾＾ ）
まあ、もう少し調べるか（＾＾
つづく