17/12/10 16:45:05.00 le9ArTbO.net
ついでなのでこれにもレスしておく。
＞１．（>>481 wikipediaより）「不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である」を認めるとする
＞２．”** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)”（>>285より）
＞ Hausdorff dimension zero → 個々の不連続点の閉集合は、R上長さを持たない、つまり、”内点を持たない”が言えると思う（未証明だが）
＞３．とすると、その定理の”R－B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できる”が言えるだろ？
一見すると言えそうに見えるが、実際には言えない。まず、スレ主が言おうとしていることを以下で丁寧に書いてみよう。
――――――――――――――――――――――――――――
f_w が微分可能な点全体の集合を B とする。このとき、「2」により、R－B のハウスドルフ次元はゼロである。
一方で、例の「定理」における B_{f_w} について、明らかに B ⊂ B_{f_w} であるから、R－B_{f_w} ⊂ R－B となり、
R－B_{f_w} のハウスドルフ次元もゼロとなる。
もし R－B が可算無限個の閉集合の和になっているならば、R－B＝∪_i K_i (各K_iは閉集合)とイコールで表せる。
特に、各 i に対して R－B ⊃ K_i という包含が成り立つので、K_i のハウスドルフ次元もゼロということになる。
よって、K_i は内点を持たないことになる。よって、K_i は疎な閉集合となる。R－B_{f_w} ⊂ R－B だったから、
R－B_{f_w} ⊂ ∪_i K_i となる。よって、R－B_{f_w} は疎な閉集合の可算和で被覆できるので、例の定理により、
f_w はある開区間の上でリプシッツ連続である。しかし、f_w の不連続点は R の中に稠密に存在しているので矛盾する。
よって、例の「定理」は間違っている。
――――――――――――――――――――――――――――
[続く]