17/12/03 17:09:08.28 rPUpBQUT.net
>>286 つづき
Im 70. Bande der Mathematische Annalen, S. 561, 1911, finden
wir ein einfaches von Herrn Franz Lukacs gegebenes Beispiel
einer Funktion, die in einer uberall dichten Menge unstetig
und doch in einer anderen uberall dichten Menge differenzierbar
ist. Nach der Lukacs-schen Methode, gebe ich im folgenden
ein sehr einfaches Beispiel einer Funktion, die in einer
uberall dichten Menge stetig uud nichtdifferenzierbar ist.
Mein Beispiel wird als ein Resultat des Satzes von Liouville
deduziert, wie Herr Lukacs's Beispiel.
Wer definieren die Funktion f(x) wie folgt: Fur jedes
irrationale x sei f(x) = 0; wenn x rational und auf den
kleinsten positiven Nenner gebracht = p/q ist, so sei
f(x) = f(p/q) = 1/q.
Dann ist wie leicht ersichtlich, die so definierte
Funktion fur jeden rationalen Wert von x and also
in einer uberall dichten Menge unstetig, und doch
fur jeden irrationalen Wert von x stetig. Die
Funktion f(x) ist fur jeden nicht-algebraischen,
i.e. transzendentalen Wert von x, der ein Element
der von Liouville angegebenen Menge ist, und also
in einer uberall dichten Menge, (1) nicht-differenzierbar.
(1) Vgl. A. Schonflies: Die Entwickelung der Lehre von
Punktmannigfaltigkeiten, Jahresbaricht der Deutschen
Mathematiker-Vereinigung. 8ter Band, S. 103, 1900.
つづく