17/12/17 12:47:07.30 gZN3g0TO.net
問題
任意のε > 0に対して，あるRの開集合Aが存在し，AはRで稠密かつ|A|<εを満たす．これを証明せよ．
ただし，Rは実数全体の集合に絶対値によって距離が導入された位相空間とし，|A|は集合Aのルベーグ測度を表すものとする．
この問題なんですが，
全単射f: N → Qを1つとって，
I_k = (f(k) - ε/2^(k+1), f(k) + ε/2^(k+1)),
A = ∪[k ≧ 1] I_k
とおけば，Q⊆A⊆Rで，QはRで稠密だからAも稠密．
Aは開区間の和集合なので開集合．
しかも
|A|
= |∪[k≧1] I_k|
≦ Σ[k ≧ 1] |I_k| ←ここ
= Σ[k ≧ 1] ε/2^k
= (ε/2)/(1 - 1/2)
= ε
である． 完了
としたんですが，上の「←ここ」の不等式を「ちゃんと証明して下さい」と言われました．
「ちゃんと証明」するにはどうしたらいいか教えて下さい．
N, Q, Rは自然数（0は除く）全体，有理数全体，実数全体です．