20/02/25 12:25:22.61 vq/DQVzL.net
(>>821の続き)
ところで、0＜π/2＜b+2＝π-e+2＜π＜a-2＝e+π-2＜3π/2＜2π。
ここに、π/2-e+2＞0、e-2＜28/10-2＝4/5＜π/2。
f：R^2∋(a,b) → a+bi∈C は加法+について同型写像で、
e^{(b+2)i}＝e^{(π-e+2)i}＝-e^{(-e+2)i}、e^{(a-2)i}＝e^{(e+π-2)i}＝-e^{(e-2)i}。
複素平面C上で2点 e^{(b+2)i}＝-e^{(-e+2)i}、e^{(a-2)i}＝-e^{(e-2)i} は実軸について対称だから、
平面C上で2点 e^{(b+2)πi}＝-e^{(-e+2)πi}＝-e^{(-e)πi}、e^{(a-2)πi}＝-e^{(e-2)πi}＝-e^{eπi} は実軸について対称である。
加法群 R^2 と加法群Cは加法+について同型だから、平面 R^2 上の2点 B(cos(aπ),sin(aπ))、C(cos(bπ),sin(bπ)) は
x軸で線対称で、cos(aπ)＝cos(bπ)、sin(aπ)＝-sin(bπ) が成り立つ。
実関数 cos(x) は [(2k+1)π,2kπ] kは任意の整数 で単調増加、cos(x) は [2kπ,(2k+1)π] kは任意の整数 で単調減少である。
また、実関数 sin(x) は [(2k-1)π/2,(2k+1)π/2] kは任意の偶数 で単調増加、sin(x) は [(2k-1)π/2,(2k+1)π/2] kは任意の奇数 で単調減少である。
中心が点 O(0,0) の単位円周C上において、点 A(1,0) を点 (1,0) から反時計回りに回転させた
2つの角 (a-2)π＝(e+π-2)π、(b+2)π＝(π-e+2)π について、2π＜(b+2)π＜5π/2、7π/2＜(a-2)π＜4π なので、
4π-(a-2)π＝(b+2)π)-2π が成り立つ。故に、π＞0 から 6-a＝b を得る。
6-aは代数的数で、bは超越数だから、6-a≠b に反し矛盾。故に、背理法により、e+π は超越数。