19/11/18 03:31:31.31 W9Q6monY.net
x ～ Ｎ（μx, σ^2) より
f(x) = {1/(√(2π)σ)} exp{- (x-μx)^2 /(2σ^2)},
y ～ Ｎ（μy, σ'^2) より
g(y) = {1/(√(2π)σ')} exp{- (y-μy)^2 /(2σ'^2)},
これらを畳み込むと
(f・g)(a) = ∫[-∞,∞] f(x)g(a-x) dx
= {1/(2πσσ')}∫[-∞,∞] exp{- (x-μx)^2 /(2σ^2) - (a-x-μy)^2 /(2σ'^2)} dx
指数部を平方完成する
= {1/(2πσσ')} exp{- (a-μx-μy)^2 /(2SS)}∫[-∞,∞] exp{- (S/σσ')^2 (x-x｡)^2 /2} dx
= {1/(2πσσ')} exp{- (a-μx-μy)^2 /(2SS)} ･√(2π)･(σσ'/S)
= {1/(√(2π)S)} exp{- (a-μx-μy)^2 /(2SS)},
ここで S^2 = σ^2 + σ'^2 とおいた。
∴ x+y ～ Ｎ（μx+μy, σ^2+σ'^2).