17/11/15 11:55:26.79 xIKSd5aB.net
《トマエ関数のx=0での微分係数》
Tomae's f(x) とは、簡易に解説すると、
x=p/q ──★ で
y=1/q ──☆ という関数ぢゃ
★、☆より、
y=1/p になる。──○
ここで
p={1,2,3,4,5,6,…,∞}である。──◎
pの元に∞があるのは変だと思うチミ
Oh No But、∞を含めると善い感じぢゃ
∵
p<∞なら★は有理数ぢゃが、
p=∞なら★は無理数なのぢゃ。で
○に代入で、y = 1/∞ ∴y=0 イー感じ
さて、本題、x=0+でのdy/dxぢゃが、
★☆およびロピタルの定理より、
dy/dx = y/x = 1/p となり、◎より、
dy/dx = {1, 1/2, 1/3, 1/4,…,0} となる。
微分係数が、一意には定まらないだけで
0から1の間で離散的に分布している。
さて、☆のかわりに、
y=1/q^2 だとどうなるか?
dy/dx=2(1/p^2)x
∴
p=∞(無理数)、p<∞(有理数)でも
x=0で、dy/dx=0
となる。