17/10/23 16:02:15.60 KC07f69p.net
証明
O1 := { z│ | z | < 1 }、O2 := { z│ | z - 2 | < 1 } と置くと、
O1, O2 は開集合であり、S = O1 ∪ O2 なので
O1 ∩ O2 = φ を示せば 「Sは連結集合」ではないと言えます。
O1 ∩ O2 ≠ φ と仮定し、点 z0 ∈ O1 ∩ O2 を選びます。
2 = |2 - 0| = |(z0 - 0) - (z0 - 2)|
≦ |z0 - 0| + |z0 - 2| (三角不等式より)
< 1 + 1 (z0 ∈ O1 ∩ O2 より)
2 < 2 となり矛盾するので、O1 ∩ O2 = φ .