現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む44

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現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む44 - 暇つぶし2ch58:ID:xdoHcTHE http://www.geocities.jp/mickindex/russell/idx_russell.html バートランド・ラッセル Mick's Page ラッセルの著作「無限公理」(1904) 　初出は The Hibbert Journal, Vol.2。　論理主義を支える公理の一つ「無限公理」についてのラッセル自身による解説。この論文を書いた時点で、ラッセルは無限集合の存在は証明可能だと考えていました。従ってこの論文でのラッセルの認識は、「無限公理」ではなく「無限定理」です。 (英) http://www.geocities.jp/mickindex/russell/rsl_AI_en.html 原文 (和) http://www.geocities.jp/mickindex/russell/rsl_AI_jp.html 訳：ミック作成日：2004/09/01 最終更新日：2005/12/30 (抜粋) 　まず私たちは、数学的帰納法の原理2を証明する。帰納法の原理は、この分野においては、等々以外からはほとんど期待できないような役割を果たす。この原理が述べるのは、0が任意の性質を持ち、かつ、n がその性質を持っているときに n + 1 もそれを持っているなら、全ての有限数がその性質を持つ、ということである。この原理を使って、n が任意の有限数であるとき、0から n までの数の[個]数（両端を含む）は、n + 1 であることが証明される。すると結論として、n が実在するなら、n + 1 も実在することになる。そして0は実在するのだから、数学的帰納法の原理から、全ての有限数が実在することが帰結する。あるいは、m と n が0以外の有限数であるならば、m + n は m とも n とも異なることも証明できる。もし n が任意の有限数であるなら、n は　[ n までの]　有限数の[個]数ではない。なぜなら、0から n までの数の[個]数は n + 1 であり、n + 1 は n とは異なるからである。ゆえに、いかなる有限数も、その数までの[個]数ではない。従って、基数の定義3より有限数の[個]数である[有限]数が実在することは明らかであることから、この数 n は無限数である。こうして、論理学の抽象の原理だけから、無限数の実在が厳格に論証された[1]。つづく

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