17/09/19 11:22:50.04 WW1DZ+9Q.net
>>371
任意の回数kに対してO(k)に入っていない内点x_k∈S
が有るならx_kを含む(k＋1)個目の開区間〈a_(k＋1) ,
b_(k＋1)〉を作ることができる. 0回目から(k＋1)回目
までに現れた(k＋2)個の開区間の和集合 O_(k＋1) ＝
∪_(i＝0, … , k＋1)〈a_i , b_i〉がSに等しくないなら,
〈a_(k＋1) , b_(k＋1)〉に入っていない内点x_(k＋1)∈
Sが有ってx_(k＋1)を含みSの中に有る開区間〈a_(k＋
2) , b_(k＋2)〉が存在する.〈a_(k＋2) , b_(k＋2)〉と
〈a_(k＋1) , b_(k＋1)〉は交わるか交わらないか片方
に定まる. 交わらないなら O_(k＋2) を作り, 交わるな
ら O_(k＋3) を作る. どちらもSでないなら(k＋2)回目
に同じ操作をする.
任意の自然数 j に対して追加の(k＋j)回の同じ操作が許
される. 結局
S ＝ ∪_(ℓ＝0, 1, 2, 3, … )〈a_ℓ , b_ℓ〉
以外に起こりえない. もちろん任意の回数ℓに対して
各々の開区間〈a_ℓ , b_ℓ〉は互いに交わらない. も
し有限回(n回)の操作でSに等しくなれば(O(n)＝Sとな
れば)m＞nに対して〈a_m , b_m〉は空集合とすれば
よい. すなわち実数全体の集合Ｒの開(部分)集合は互い
に交わらない開区間の(可算個の)和集合である.
（証明終了）