17/09/19 11:18:46.88 WW1DZ+9Q.net
ルベーグ積分の構成に不可欠な「Ｒの開集合は(互いに連結していない複数の)開区間(の和集合)である」ことを以下に証明する。
【証明】
実軸(数直線)Ｒ＝Ｒ^1に含まれる自由に与えた空でな
い開集合Sに対して, 開集合の定義により, 任意の点x_
0∈Sとx_0を含みSの中に有る開区間〈a_0 , b_0〉が
存在する.〈a_0 , b_0〉に入っていない点x_1∈Sが有
れば(〈a_0 , b_0〉を充分小さくして有るようにもで
きる)Sの点x_1を含みSの中に有る開区間〈a_1 , b_1
〉が存在する.〈a_0 , b_0〉と〈a_1 , b_1〉が交わる(
ようにできる)なら〈a_0, b_1〉を作り,〈a_2 , b_2〉
と書くことにする. x_1が無ければ〈a_0 , b_0〉はSで
あるか, x_1が有ってもどれもSでないなら〈a_1 , b_1
〉と〈a_0 , b_0〉は互いに交わらないSの部分集合で
あるから, 両者の和集合 O_1 がSの部分集合であり, S
に等しく成り得る. Sに等しくないなら,〈a_0 , b_0〉
と〈a_1 , b_1〉 , 或いは〈a_2 , b_2〉に入っていない
点x_2∈Sが存在してx_2を含みSの中に有る開区間〈a
_3 , b_3〉が存在する.〈a_2 , b_2〉と〈a_3 , b_3〉が
交わるなら〈a_2 , b_3〉を作り〈a_4 , b_4〉と書く
ことにする. x_2が無いなら O_1 が既にSに等しく, x_
2が有ってもどれもSと等しくないなら O_1 と〈a_3 ,
b_3〉は互いに交わらず, O_1 と〈a_3 , b_3〉の和集
合 O_2 または O_1 と〈a_4 , b_4〉の和集合 O_3 がS
の部分集合であり, Sに等しく成り得る.