不等式への招待第９章

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1040:１３２人目の素数さん
 18/12/17 20:12:55.21 zsFrN7jo.net
懐かしい。当時は tanスレや nCrスレや、おいらには解けないスレとかあったよなぁ…。 
パソコンを何度も買い替えて、今となっては過去ログが見れないが。

1041:１３２人目の素数さん
 18/12/18 03:40:20.65 e1oKVpnI.net
>>979 
(1) a+b, b+c, c+a のうち負は高々１個。 
a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、 
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8. 
１つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。 
このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、 
0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64. 
(証明終)

1042:１３２人目の素数さん
 18/12/18 07:27:44.02 TqVGX/9j.net
〔補題〕 
正の実数a,b,cに対して 
[1]　(b/a) + (c/b) + (a/c) - {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc} ≧ 3/2, 
[2]　a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /2(ab+bc+ca) ≧ 3/2, 
(略証) 
[1] 
(左辺) - (右辺) 
　= ab/(c(b+c)) + bc/(a(c+a)) + ca/(b(a+b)) 
　= (ab+bc+ca)^2 /{abc[(b+c) + (c+a) + (a+b)]} 
　≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc},　　　(←コーシー) 
　JMO-2004、[初代スレ.058] 
[2]　もコーシーで出る。 
なお、1/a = A, 1/b = B, 1/c = C とおくと 
　(ab+bc+ca)^2 /{(a+b+c)abc} = (A+B+C)^2 /(AB+BC+CA), 
　(a+b+c)^2 /(ab+bc+ca) = (AB+BC+CA)^2 /{(A+B+C)ABC}, 
(類) Nesbitt-Igarashi　　>>627　>>835

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