18/12/17 20:12:55.21 zsFrN7jo.net
懐かしい。当時は tanスレや nCrスレや、おいらには解けないスレとかあったよなぁ…。
パソコンを何度も買い替えて、今となっては過去ログが見れないが。
1041:１３２人目の素数さん
18/12/18 03:40:20.65 e1oKVpnI.net
>>979
(1) a+b, b+c, c+a のうち負は高々１個。
a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8.
１つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。
このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、
0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64.
(証明終)
1042:１３２人目の素数さん
18/12/18 07:27:44.02 TqVGX/9j.net
〔補題〕
正の実数a,b,cに対して
[1] (b/a) + (c/b) + (a/c) - {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc} ≧ 3/2,
[2] a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /2(ab+bc+ca) ≧ 3/2,
(略証)
[1]
(左辺) - (右辺)
= ab/(c(b+c)) + bc/(a(c+a)) + ca/(b(a+b))
= (ab+bc+ca)^2 /{abc[(b+c) + (c+a) + (a+b)]}
≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc}, (←コーシー)
JMO-2004、[初代スレ.058]
[2] もコーシーで出る。
なお、1/a = A, 1/b = B, 1/c = C とおくと
(ab+bc+ca)^2 /{(a+b+c)abc} = (A+B+C)^2 /(AB+BC+CA),
(a+b+c)^2 /(ab+bc+ca) = (AB+BC+CA)^2 /{(A+B+C)ABC},
(類) Nesbitt-Igarashi >>627 >>835
1043:１３２人目の素数さん
18/12/18 18:31:13.09 e1oKVpnI.net
>>980
偶奇で異なることを見抜いたのは、何かコツがあるの？
1044:１３２人目の素数さん
18/12/18 19:23:44.68 TqVGX/9j.net
>>985
辺々たして…
[3] (b/a) + (c/b) + (a/c) ≧ tt/2su + ss/2t ≧ √(st/u) ≧ 3,
ここに s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc.
st-9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ＋ c(a-b)^2 ≧ 0,
1045:１３２人目の素数さん
18/12/18 19:41:13.00 TqVGX/9j.net
>>986
{-1,……,-1,2n-1} のとき (-1)^n･(2^n)(n-1)^2
{-1,…,-1,n-1,n-1} のとき - (-1)^n･2^{n-2} (n-2)^2 (n-1)
かとオモタ。
1046:１３２人目の素数さん
18/12/18 21:15:32.22 e1oKVpnI.net
>>979
よく見たら、条件式のa,b,c>-1のところが、書き間違ってるな。
正しくは a,b,c≧-1など。
1047:１３２人目の素数さん
18/12/18 21:42:52.76 e1oKVpnI.net
>>979
(1)
a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.
A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.
う～む、非同次は難しい。
s=6だから、無理やり同時にすると、0≦2st-3u≦120.
これではダメか…。
1048:１３２人目の素数さん
18/12/18 23:13:50.02 TqVGX/9j.net
>>990 (1)
s, t, u で表わせば
(与式) = (a+b)(b+c)(c+a)
= (A+B - s/3)(B+C - s/3)(C+A - s/3)
= (2s/3 - C)(2s/3 - A)(2s/3 - B)
= -4(s/3)^3 + (2/3)st -u,
(与式) = - 4(s/3)^3 + (1/9){5st+(st-9u)} ≧ -4(s/3)^3,
(与式) = (s/3)^3 - (2/27)s(ss-3t) - (1/9)(s^3 -4st+9u) ≦ (s/3)^3,
1049:１３２人目の素数さん
18/12/19 04:07:16.90 K5b8go44.net
>>990の続きだけど、これで合ってるかな？
> (1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
>
> a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
> 『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.
>
> A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.
s=6を使って、同次化して、0 ≦ 9(2st-3u) ≦ 5s^3.
これを証明する。
右側 ： 5s^3 - 9(2st-3u) = 5(s^3-4st+9u) + 2(st-9u) ≧0.
左側 ： 9(2st-3u) = 15st + 3(st-9u) ≧0.
1050:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:03:45.97 5zoTD2o3.net
>>992
正解です！
なお、
st - 9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ＋ c(a-b)^2 ≧ 0,
s^3 - 4st + 9u = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
≧ 0,
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp)シューアの不等式
1051:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:36:06.17 K5b8go44.net
>>979
(2)を>>984のように場合分けして解こうとしているんだけど、うまくいかん。
1052:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:44:01.18 5zoTD2o3.net
>>984 >>986 >>989 >>990 >>992 >>994
続きは次スレで…
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|::::: (● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
[初代スレ.998]
1053:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:44:55.05 5zoTD2o3.net
ﾊｧﾊｧ ∩
( ⌒)＿ ∩_ _ ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿ ／/,. ノ≧ ＼ .i .,,E）__
／ nCr ＼| / /＼ .／ |/ / cos ＼
_n .|::::＼ .／ |/ /(● (● | ノ＼ .／ |
（ l |::●) ●) .| /:::... .ワ ....ノ／(● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
＼ ＼ヽ:::::.∀ .ノ ／ヽ:::::... .▽....ノ n
ヽ__￣ ノ ヽ | ￣ ＼ （ E）
/ / ＼ ヽ ﾌ / ヽ ヽ_／／
[第5章.991]
1054:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:45:32.33 5zoTD2o3.net
＿＿＿
.／ ≧ ＼ 神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
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ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
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＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
[第5章.996]
1055:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:46:20.72 5zoTD2o3.net
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` ,|i;iiiiiii;;;;;;::: :| ` ` ` ` ` ` `
,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :| ＿＿＿ 秋の夜長に不等式 ` ` `,
` |iiiiiii;;;;;;((,,,):::|／ ≧ ＼ ヾ从//"
` |iiiiiiii;;;;ii;;;;;;;;::|::::: (● (● | ` ﾞ ` ヾ'./"
|iiiiii;iii;;;;i;;:: ::::|ヽ::::......ワ...ノ ○ .||. ,
` |iii;
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1057:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:47:12.97 5zoTD2o3.net
＿| ::|＿
￣| ::|／| ┌─┐
| ::| | .┌─┐| ∧＿∧ いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿| |┌─┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
|文| | | ∧＿∧（ ）⊂ ）
|￣| | | （ ）⊂ ） （＿Ο Ο :::
| ::| | | ⊂ ） （＿Ο Ο わかってる、生き延びた奴が
| ::|／ .|_ （＿Ο Ο ::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
| ::| :::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!
[前スレ.999]
1058:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:48:05.42 5zoTD2o3.net
┏━━┓
┃ Q.E.D. ┃
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( ﾟ∀ﾟ) ノ
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