17/09/13 11:20:42.17 i1anpb+k.net
【不等式の和書】
[1] 不等式（数学クラシックス11），Hardy, Littlewood, Polya，丸善出版，2003年
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
[2] 不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
[4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
[5] 不等式入門（数学ライブラリー教養篇４），渡部隆一，森北出版，2005年
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
[6] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
[7] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
[8] 不等式 ～ 21世紀の代数的不等式論 ～，安藤哲哉，数学書房，2012年
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)、（正誤表+補遺）URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
[9] 美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として，佐藤淳郎（訳），朝倉書店，2013年
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
[10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
【不等式のpdf】
[1] Vasile Cîrtoaje、Mathematical Inequalities. URLﾘﾝｸ(ac.upg-ploiesti.ro)
[2] 柳田五夫、初等的な不等式ⅠⅡⅢなど. URLﾘﾝｸ(izumi-math.jp)
【おもな埋蔵地】
[1] JIPAM URLﾘﾝｸ(www.emis.de)
[2] MIA URLﾘﾝｸ(mia.ele-math.com)
[3] AoPS URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
[4] Maths problems URLﾘﾝｸ(webee.technion.ac.il)
[5] IMO URLﾘﾝｸ(www.imo-official.org)
[6] American Mathematical Monthly Problems URLﾘﾝｸ(www.mat.uniroma2.it)
※ その他の参考文献などは、まとめWikiを参照 URLﾘﾝｸ(wiki.livedoor.jp)
3:不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)
17/09/13 11:21:03.13 i1anpb+k.net
諸君 私は不等式が好きだ
諸君 私は不等式が大好きだ
改造が好きだ 改良が好きだ 拡張が好きだ
AM-GMで Cauchyで Holderで Jensenで Schurで
Chebyshevで rearrangementで Bernoulliで
Muirheadで Karamataで Maclaurinで ぬるぽビッチで
この地上に現れるありとあらゆる不等式が大好きだ
大小順をそろえた歩兵の横隊を 並べ替え不等式で蹂躙するのが好きだ
恐慌状態の新兵が分母にAM-GMを誤用して 不等号の向きを何度も何度も間違えている様など感動すら覚える
糸口の見つからない不等式に滅茶苦茶に悩まされるのが好きだ
必死に悩んだ不等式が成立しない例を挙げられていく様はとても悲しいものだ
君達は一体何を望んでいる？ 更なる不等式を望むか？
『不等式！ 不等式！ 不等式！』
よろしい ならば証明だ！
rv―v―､ r-v-v
r､ ﾉ も（ ﾉ ま ( ,ｨx
(＼＼(＾} ) !! 厳. っ ( ） だ ( /)///7
{＾ヽ＾ヽ { ） し. と ( ） だ ( / 'ヽ /
＼ ｀Y ﾉ}_ ﾊ く ﾉ 乂 ノ {. 〈 /
〉,r彡ﾊ _＞ ＜ / ま ( 人＿ノ〉
V ∨ !! 改 も （) !! だ（ / 7 /
'v V 良 っ （). だ(/ /
'v V .を と 人＿,ノ〈 /
V V rfﾃ弐ミk / }'
'v ',仔r＝r弌ﾘ' /
'v '({ ヾ二ﾌ,j' /
} j个ー‐个ﾄ, /
}> ／ /＞ｭ<ﾄ､＼ノ{
＿j／ / | / :| | ＼＼
_,＞､__, イ＞＼／ _｣/＼￣{_
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4:１３２人目の素数さん
17/09/13 20:06:57.03 i1anpb+k.net
[第８章 469]
> for reals
> [1] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
> [2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a)
>
> for nonnegarives
> [3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2
> [4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2
> [5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3)
>
> AOPS
> [1], [2] : c6h588096p3481394
> [3] : c6h4830p15309
> [4], [5] : c6h581954p3438879
>
> 他にもいろいろ
5:１３２人目の素数さん
17/09/13 20:07:13.99 i1anpb+k.net
[第８章 977、991]
> [疑問]-----------------------------------------------
> a, b, c >0 に対して、
> M(a,b,c) ≧ (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ m(a,b,c)
> -----------------------------------------------------
>
> AM-GMで m(a,b,c) = 27(abc)^2 を得るけど、もっとキツく締め上げたいのでござる。
>
> L = a^2b + b^2c + c^2a
> R = ab^2 + bc^2 + ca^2
>
> (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
> = L^2 + LR + R^2
> = (s^2)(t^2) - (s^3)u - t^3
>
>
> とりあえず少し進展したのでパピコ。 Caushyの拡張より、
>
> (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
> ＝ (ab+b^2+a^2)(b^2+bc+c^2)(a^2+c^2+ca)
> ≧ (ab+bc+ca)^3
> ＝ t^3
>
> AM-GMで 27(abc)^2 = 27u^2 としたよりもマシになった。
>
> m(a,b,c) = (ab+bc+ca)^3 ≧ 27(abc)^2
>
> が、以下のように分割すると、非負値の和ばかりで、ずいぶんとゆるゆるなうんちでござる。
>
> (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) - t^3
> ＝ (s^2)(t^2) - (s^3)u - 2(t^3)
> ＝ (t^2-3su)F_0 + 2suF_0 + (u^2)F_{-2} + u(st-9u)
> ≧ 0
6:１３２人目の素数さん
17/09/13 23:45:33.05 i1anpb+k.net
>>5
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2.
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ (ab+bc+ca)^3 ≧ 3abc(a+b+c)(ab+bc+ca) ≧ 27(abc)^2.
7:１３２人目の素数さん
17/09/13 23:57:53.62 i1anpb+k.net
>>5
[第２章 136-138]
> 非負実数 a, b, c に対して
> (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
> ≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3
12年前に自分が作っていた模様…
8:１３２人目の素数さん
17/09/14 02:17:46.00 PaGBsMiT.net
ウインナーコーヒーにウインナーが入ってないのと同じ
すべては騙し
9:１３２人目の素数さん
17/09/14 07:18:42.24 mi/0+iqR.net
>>4
[1］コーシーで
（1+aa+1)(1+1+bb）≧（1+a+b)^2，etc.
[2］AM-GMで
（aa+3)(bb+3）=（aa+1+1+1）（1+bb+1+1）≧（a+b+1+1)^2 ≧ 4(a+b)(1+1),
[第8章.994］
>>6 下
p = aab+bbc+cca，q = abb+bcc+caa とおくと
アイゼンシュタイン整数で
（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa）= pp+pq+qq
=（3/4)(p+q)^2 + (1/4)(p-q)^2,
≧ 3pq +（1/4)⊿^2,
⊿ =（a-b)(b-c)(c-a）= q-p,
次は（1+1+1)(aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa）の３つでコーシー
10:１３２人目の素数さん
17/09/14 09:50:04.36 Ew79uiN/.net
>>5
M(a,b,c) について、
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
≦ ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
≦ (a^2+2b^2+c^2+ab+bc)(b^2+2c^2+a^2+bc+ca)(c^2+2a^2+b^2+ca+ab)/8
≦ (1/27)*(2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca)^3
きれいな式で押さえたいんだが… ('A`)
11:１３２人目の素数さん
17/09/14 09:54:59.15 Ew79uiN/.net
>>6-7
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2.
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ (ab+bc+ca)^3 ≧ 3abc(a+b+c)(ab+bc+ca) ≧ 27(abc)^2.
[疑問]
右辺の 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) は、
(27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 や (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)
より大きそうなんだけど、うまく証明できない。
s, t, u に置き換えて差を計算してみたけど、次数が高くて…
12:１３２人目の素数さん
17/09/14 10:36:49.22 Ew79uiN/.net
>>5
m(a,b,c)について、
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ 3(√3)*(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)
ゆるゆるな希ガス…。
13:１３２人目の素数さん
17/09/14 18:07:49.55 mi/0+iqR.net
>>10
（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa）
= pp+pq+qq
≦（p+q)^2
=｛ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}^2
≦（9/2)(aa+bb)(bb+cc)(cc+aa),
ゆるゆる～
（aa+ab+bb）≦（3/2)(aa+bb),
を巡回的に掛けて
（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa）≦（27/8)(aa+bb)(bb+cc)(cc+aa),
>>11
・a=b のときは
3pq ≧（27/64)(st-u)^2 ≧（1/3)sstt,
・(a,b,c）=（0,1,8）のときは
p=8，q=64，s=9，t=8，u=0,
（27/64)(st-u)^2 >（1/3)sstt ≧ 3pq,
大小は定まらず。
14:１３２人目の素数さん
17/09/14 23:04:50.69 Ew79uiN/.net
ゆるゆると言えば、2009 BMO。
URLﾘﾝｸ(www.bmoc.maths.org)
a, b, c>0 に対して、4(a+b+c)^3 > a^2b + b^2c + c^2a.
こんなの見たら改良せざるをえない ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
a, b, c>0 に対して、4(a+b+c)^3 ≧ a^2b + b^2c + c^2a + abc.
15:１３２人目の素数さん
17/09/15 01:04:08.15 sd0p5uuD.net
>>4 (1) について、a, b, c≧0 として、次の２式
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 9(ab+bc+ca)
を合体させたくなるが、右辺の２式の大小は？
(1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) - 9(ab+bc+ca)
= s^2 + 2s + 1 + st - 8t - u
次数がバラバラなので困る… ('A`)
16:１３２人目の素数さん
17/09/15 01:55:39.88 kh+vJCky.net
>>14
それが元々のカナダMO-1995 でござるよ。（但し右辺を27倍）
イギリスMO-2009 はそれを緩めたのでござるな。
0≦a≦b,c としてよい。
4(a+b+c)^3－27(aab+bbc+cca+abc)
= 9a(aa+bb+cc-ab-bc-ca）+（4b+c-5a)(a+b-2c)^2≧0
等号成立は（a,b,c）=（0,2,1）とその巡回。
文献［8］ 安藤「不等式」例題2.2.12(7） p.56
17:１３２人目の素数さん
17/09/15 08:58:22.73 sd0p5uuD.net
>>16
なるほど。その因数分解は自力では作れそうにない。
18:１３２人目の素数さん
17/09/15 15:15:34.62 sd0p5uuD.net
>>15
(1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) - 9(ab+bc+ca)
= s^2 + 2s + 1 + st - 8t - u
= (s+1)^2 + (st-9u) + 8(u-t)
= (s-1)^2 + (st-9u) + 4(2u-2t+s)
s, t, u ではうまくいかない。
19:１３２人目の素数さん
17/09/15 17:23:22.02 sd0p5uuD.net
a, b, c の基本対称式 s, t, u に関する不等式で定数を含むものは、いくつくらい挙げられますか？
20:１３２人目の素数さん
17/09/15 18:35:21.72 kh+vJCky.net
>>17
と思い込んでたが、実はカナダMOの方も緩かったでござる...orz
［第8章.950］
［第8章.754（１）］に追加
a,b,c >0 のとき
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（1/27){(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ (ab+bc+ca)^3,
(略証）
27(中辺 - 右辺）=（3st+⊿)^2 - 27t^3
= 9(ss-3t)tt + 6st⊿ + ⊿⊿
≧ (9-4√3)(ss-3t)tt
≧ 0,
〔補題〕
a,b,c ≧0，⊿=（a-b)(b-c)(c-a）のとき
｜⊿｜≦（2/√3)(ss-3t)t/s,
等号は｛a,b,c｝ = ｛1,1,1｝ ｛0,√3 -1,√3 +1｝ など。
［第3章.727、737-739］
Casphy! - 高校数学 - 不等式１ - 339
21:１３２人目の素数さん
17/09/15 21:57:12.20 sd0p5uuD.net
>>20
補題の証明で、t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| の計算のところだけど、
> t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿|
> = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2
> ≧0
m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} じゃなくて、
m･{4x^3 + 3(2-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} じゃないのかな？
↑ココ
22:１３２人目の素数さん
17/09/15 22:35:56.91 sd0p5uuD.net
>>20
> = 9(ss-3t)tt + 6st⊿ + ⊿⊿
> ≧ (9-4√3)(ss-3t)tt
｜⊿｜≦（2/√3)(ss-3t)t/s をどう使えばいいのか教えてください。
23:１３２人目の素数さん
17/09/15 23:01:33.10 tFaz6efz.net
>>15
>>18
3u=a+b+c, 3v^2=ab+bc+ca, w^3=abc とおくと u >= v >= w
L-R = -w^3 + (9u - 24) v^2 + 9u^2 + 6u + 1 >= (8u - 15) v^2 + 6u + 1
・8u - 15 >= 0 のとき
明らか
・8u - 15 <= 0 のとき
>= (8u - 15) u^2 + 6u + 1
= (u -1)^2 (8u+1)
>= 0
ここまでやらなくとも L-R を u, v^2, w^3 で表したとき w^3 について線形関数になっているから元の不等式を c=b と c=0 の二つの場合について調べればよい
次数が揃ってなくてそのまま一変数には持ち込めないから逆に面倒かもしれないが
24:１３２人目の素数さん
17/09/15 23:30:57.87 kh+vJCky.net
>>21
［第3章.739］でござるな。
たかたじけない。その通りでござった...orz
この補題は x，y を固定して m の関数と見るのがミソでござる。
つまり、a、ｂ、cを同じ幅で一斉にずらすのでござる。
そのとき、⊿ と ss-3t = F_0 は mによらず一定で、
t = 3mm + 2m(2x+y) + x(x+y）は単調増加、
ss/tt = 3/t + F_0/tt は単調減少、t/s は単調増加。
∴ m=0 の場合だけ考えれば十分でござるよ。(*)
* ただし a=b=c（x=y=0）の場合は一定となるので除く。
>22
⊿⊿ の項は捨て、
s⊿ ≧ -s|⊿｜≧ -(2/√3)(ss-3t)t,
25:１３２人目の素数さん
17/09/16 03:02:21.71 wzvOStf3.net
>>23
UVW-method のありがたみが身に沁みました。
自力で (8u-15) v^2 + 6u + 1 まで変形できるか自信ないですが。
合体！
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) ≧ 9(ab+bc+ca)
>>24
言葉で説明されて初めて、その置き換えの意味に気づきました。
|⊿| ≦ (2/√3)(ss-3t)t/s ← [>>20]
|⊿| ≦ (ss - 3t)s/{√(9+6√3)} ← [第8章 261-262]
2√(3+2√3) > 3 なので、残念ながら右辺の大小は定まりませんな。
お二方とも有難うございます。 <(_ _)>
26:１３２人目の素数さん
17/09/16 07:10:08.65 wzvOStf3.net
⊿=(a-b)(b-c)(c-a) に関する評価式を、過去ログから抽出してみた。
⊿^2 ≦ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ← [>>6]
|⊿| ≦ (2/√3)(ss-3t)t/s ← [>>20]
|⊿| ≦ (ss - 3t)s/{√(9+6√3)} ← [第8章 261-262]
|⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t) ← [第３章 739]
|⊿| ≦ st-9u ← [第４章 624-626]
|⊿| ≦ {(a+b+c)^3 -27abc}/(6√3) ← [第５章 893]
⊿ ≦ F_1 = s^3 - 4st + 9u ← [第５章 283]
a^4 + b^4 + c^4 + s⊿ ≧ (1/27)s^4 ← [第５章 569]
[第５章 763]
納n=1,2] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n} ≧ (3/2)|⊿|
納n=1,4] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n} ≧ 3(1+a+b+c +a^2 +b^2 +c^2)|⊿|
27:１３２人目の素数さん
17/09/16 07:59:14.82 SrzKiM05.net
>>25
｜⊿｜≦（2/√3)(ss-3t)(t/s), >>20
と
｜⊿｜≦（2/√27)(ss-3t)^(3/2),
は
ss/3t =φ =（1+√5)/2 = 1.6180340
で交差する。そこで、これらから
｜⊿｜≦（2/√27)(ss-3t)^1.2763932（3t/s)^0.4472136 ≦（2/√27)(1/φ)s(ss-3t),
としてみる。ここに、
(2/√27)(1/φ）= 0.237881393
残念ながら 楠瀬の定数 1/√(9+6√3) = 0.227083346 より大きい。
指数は
3/2 - 1/(2√5）= 1.2763932
1/√5 = 0.4472136
28:１３２人目の素数さん
17/09/16 10:00:20.29 SrzKiM05.net
>>25
｜⊿｜≦（2/√3)(ss-3t)(t/s), >>20
｜⊿｜≦（2/√27)･0.58997984･s(ss-3t), （楠瀬）
｜⊿｜≦（2/√27)(ss-3t)^(3/2),
｜⊿｜≦（2/√27)(ss-3t)^(3/2),
の4つで相乗平均すると、
（ss-3t)(3t）≦（1/4)s^4 =（s/√2)^4 より
｜⊿｜≦ 0.876413973（2/√27）（ss-3t)^(5/4）（3t)^(1/4）≦ 0.876413973√(2/27）s(ss-3t),
ここに、
0.619718263（2/√27）= 0.23852967
これも 楠瀬の定数 1/√(9+6√3）= 0.227083346 より大きい。
3/√(12+8√3）= 0.58997984
｛3/√(12+8√3)}^(1/4）= 0.876413973
29:１３２人目の素数さん
17/09/16 18:14:24.29 wEi2rRS2.net
任意の非負実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つ
(1) (a^3+b^3+c^3-3abc) >= A |(a-b)(b-c)(c-a)|
(2) (a^3+b^3+c^3) >= A |(a-b)(b-c)(c-a)|
(3) (a+b+c)^3 >= B |(a-b)(b-c)(c-a)|
(4) (a+b+c)^3 - 27abc >= B |(a-b)(b-c)(c-a)|
, A=sqrt(9+6sqrt(3)), B=6sqrt(3). 両方とも A, B が最良
abc の項はあってもなくても係数は同じだからもっといい不等式が作れそうなきがする
30:１３２人目の素数さん
17/09/16 20:22:13.82 wzvOStf3.net
>>26
> ⊿ ≦ F_1 = s^3 - 4st + 9u ← [第５章 283]
この証明が分かりませぬ…。過去ログに載っていないような。
ずっと考えていたんですが、緩い評価しかできませんですた。 ('A`)
L = a^2b + b^2c + c^2a
R = ab^2 + bc^2 + ca^2
ssu/t ≦ L，R ≦ s(ss-2t)/3 （左側は差をとる。右側はCauchyで。）
⊿= (a-b)(b-c)(c-a)
= (a+2b)(b+2c)(c+2a) - 3st
= (2L + 4R) + 9u - 3st
≦ 6*s(ss-2t)/3 + 9u - 3st
= 2s^3 - 7st + 9u
= (s^3 - 4st + 9u) + s(s^2 - 3t)
= F_1 + sF_0
∴ ⊿ ≦ F_1 + sF_0
ぬるぬるでござった…。もっと厳しく！もっとキツく！！
31:１３２人目の素数さん
17/09/16 21:49:20.51 wEi2rRS2.net
>>30
a=1, b=2, c=0 で成り立たない
過去ログでは三角形の辺となっているから a=x+y… とおくと
L^2 - R^2 = 4(xy^2+yz^2+zx^2-3xyz)(x^2y+yz^2+zx^2-3xyz) >= 0
32:１３２人目の素数さん
17/09/16 21:56:59.31 wzvOStf3.net
>>31
条件を見落としていました。ありがとうございます。
33:１３２人目の素数さん
17/09/17 01:29:44.86 8YPByAqq.net
>>30
左側は差をとる。
Rt -ssu =（aabb･b + bbcc･c + ccaa･a）-（aabb･c + bbcc･a + ccaa･b）
=｛(4aab^3 + bbc^3 + 2cca^3)/7 - aabbc｝+ cyclic.
≧0,
Lt -ssu =（aabb･a + bbcc･b + ccaa･c）-（aabb･c + bbcc･a + ccaa･b）
=｛(4bba^3 + 2ccb^3 + aac^3)/7 - aabbc｝+ cyclic.
≧0,
右側も差をとる。
s(ss-2t）- 3R = a(a-c)^2 + b(b-a)^2 + c(c-b)^2 ≧ 0,
s(ss-2t）- 3L = a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0,
⊿ = R-L
= 2R -（L+R)
≦ 2s(ss-2t)/3 -（st-3u)
=（2s^3 -7st +9u）/3
=（F_1 + s F_0）/3,
>>31
反例は a=1，1/φ < b < φ，c=0 ですね。
（st-9u)^2 - ⊿⊿ =（R+L-6u)^2 -（R-L)^2 = 4(R-3u)(L-3u）≧0,
34:１３２人目の素数さん
17/09/17 01:46:43.71 8YPByAqq.net
>>25 >>28
｜⊿｜≦（2/√3)(ss-3t)(t/s), >>20
｜⊿｜≦（2/√27)(ss-3t)^(3/2),
｜⊿｜≦（2/√27)(ss-3t)^(3/2),
の3つで相乗平均すると、
（ss-3t)(3t）≦（1/4)s^4 =（s/√2)^4 より
｜⊿｜≦（2/√27）（ss-3t)^(4/3）（3t/s)^(1/3）≦（2/√27）（1/4)^(1/3）s(ss-3t),
ここに、
（2/√27）（1/4)^(1/3）= 0.2424719191
当然ながら、これも楠瀬の定数 1/√(9+6√3）= 0.227083346 より大きい。
35:１３２人目の素数さん
17/09/17 03:00:46.38 8YPByAqq.net
>>33 （修正）
1/φ<b<φ かつ b≠1
-----------------------------------
〔補題〕
x,y,z>0 のとき
x^3 + y^3 + z^3 + ｛√(27/2）- 3｝xyz ≧（1/√2）（xx+yy+zz）^(3/2),
36:１３２人目の素数さん
17/09/17 05:12:53.96 8YPByAqq.net
>>4
[4]
ab+bc+ca=t とおく。
（aa+2)(bb+2)(cc+2）-4(aa+bb+cc）-5(ab+bc+ca）-（abc-1)^2
= 2(aabb+bbcc+ccaa）+2abc -5(ab+bc+ca)t+ 7
=｛(4-√6)/3｝（aabb+bbcc+ccaa）
+｛(2+√6)/3｝（aabb+bbcc+ccaa + ab+bc+ca）+2abc
-｛(17+√6)/3｝（ab+bc+ca）+ 7
≧｛(4-√6)/9｝tt
+ 2{(2+√6)/3｝｛(ab)^(3/2）+（bc)^(3/2）+（ca)^(3/2)｝+ 2abc （←補題>>35)
-｛(17+√6)/3｝t + 7
≧｛(4-√6)/9｝tt +｛2(√2+√3)/3｝t^(3/2) -｛(17+√6)/3｝t +7
=｛［(4-√6)/9］t +（14/√27)√t +（7/3)｝（√t - √3)^2
≧ 0,
[3］も［4］から出る。
37:１３２人目の素数さん
17/09/17 05:43:48.86 DVCxyTo5.net
最近やった問題の類題を見つけたのでメモ。
(5)を参考にすれば、>>5の M(a,b,c) が作れる鴨…
【問題】-----------------------------------------------
(1)
a, b, c >0 に対して、
a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) ≦ 3*[a*{(a+b)/2}*{(a+b+c)/3}]^(1/3)
(2)
a, b >0 に対して、QM + HM ≧ AM + GM
(3)
a, b, c >0 に対して、9*AM ≧ 8*GM + M_3 （M_3は3乗平均とする）
(4)
a, b, c >0 に対して、3*A(a,b,c) ≧ H(a,b) + H(b,c) + H(c,a)
(5)
a, b, c ≧0 に対して、
4(a+b+c)^6 ≧ 243(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)
-----------------------------------------------------
参考(1) [第８章 972、2016 TOT]
a, b, c >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)*(a+b+c)
参考(2)(3) [第８章 755,727,782,794、出典不明]
a, b, c >0 に対して、2*QM + 3*GM ≦ 5*AM
a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}
出典：>>2 柳田pdf
(1) P.10 問17、初等的な不等式Ⅰ(問題)
(2) P.13 問7、初等的な不等式Ⅰ(問題)
(3) P.256 問103、初等的な不等式Ⅲ
(4) 佐藤[9] P.16 問1.56
(5) P.15 問6、初等的な不等式Ⅱ
38:１３２人目の素数さん
17/09/17 08:42:36.72 8YPByAqq.net
>>37
(2)
GG, AA, QQ は等差数列
Q + G ≦ √{2(QQ+GG)｝= 2A
H，G，A は等比数列
QQ-GG = 2(AA-GG）= 2A(A-H),
∴（Q-G)/(A-H）= 2A/(Q+G）≧ 1,
(4）演習問題1.55
39:１３２人目の素数さん
17/09/17 12:24:37.44 DVCxyTo5.net
>>37 (4)
> a, b, c >0 に対して、3*A(a,b,c) ≧ H(a,b) + H(b,c) + H(c,a)
不等式！ 改造せずにはいられないッ！
(a+b+c)/3 ≧ 3/{2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a)} ≧ {2ab/(a+b) + 2bc/(b+c) + 2ca/(c+a)}/3 ≧ 3abc/(ab+bc+ca)
ﾟ.ﾉヽ
､-' `;_' '
(,(~ヽ'~
i`'}
| i'
。/ !
/},-'' ,,ﾉ
_,,...,-‐-､/ i
<,,-＝=､ ,,-,/
{~''~>`v-''`ｰﾞ`'~
ﾚ_ﾉ
, 彡 三 ミ
ｷﾀ━━（ （ ((..ﾟ∀ﾟ)) ） )━━!!!!!!
ヾヽﾐ 三彡, ソ
／ ）ﾐ18彡ノ
／ （ﾐ 彡゛
＼(
)）
（
40:１３２人目の素数さん
17/09/17 16:37:46.84 DVCxyTo5.net
>>37 (1)の改造。
a, b, c, d >0 に対して、
a + (ab)^(1/2) ≦ 2*[a*{(a+b)/2}]^(1/2),
a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ 4*[a*{(a+b)/2}*{(a+b+c)/3*{(a+b+c+d)/4}]^(1/4)
５文字のときは、うまくいかなかった（証明できなかった）でござるが、本当にダメなんだらうか？
41:１３２人目の素数さん
17/09/17 16:55:01.63 tfwTgk//.net
>>40
Show that for all nonnegative a[1], …, a[n],
(a[1] + (a[1]a[2])^(1/2) + … + (a[1]…a[n])^(1/n)) / n <= (a[1] * (a[1] + a[2])/2 * … * (a[1] + … + a[n])/n)^(1/n).
【Kiran Kedlaya】
42:１３２人目の素数さん
17/09/17 20:09:20.92 DVCxyTo5.net
>>41
なんと！帰納法を使うのかなあ…
43:１３２人目の素数さん
17/09/17 22:47:41.62 DVCxyTo5.net
>>37 (5)の解答例で、aを最小数として、b=a+p、c=a+qとおいて代入して展開していますが、他の回答はないですかね？
44:１３２人目の素数さん
17/09/17 22:57:20.94 8YPByAqq.net
>>37 (1)
>>40
G1=a，G2=√(ab)，G3=(abc)^(1/3)，…とおく。
コーシーで
（a+a)(a+b）≧（G1+G2)^2,
（a+a+a)(a+G2+b)(a+b+c）≧（G1+G2+G3)^3,
（a+a+a+a)(a+a+b+b)(a+b+G3+c)(a+b+c+d）≧（G1+G2+G3+G4)^4,
>>39
チェビシェフで
｛c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)} {2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)｝≦ 6(a+b+c),
∴ 1／H(A(a,b)，A(b,c)，A(c,a)）≦ s/t,
｛(a+b)+(b+c)+(c+a)} {2ab/(a+b)+2bc/(b+c)+2ca/(c+a)｝≦ 6(ab+bc+ca),
∴ A(H(a,b)，H(b,c)，H(c,a)）≦ t/s,
よって
A(a,b,c)）= A(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ H(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ A(H(a,b),H(b,c),H(c,a))
≧ H(H(a,b),H(b,c),H(c,a)）= H(a,b,c),
45:１３２人目の素数さん
17/09/17 23:17:44.48 DVCxyTo5.net
>>44
さらに改造。
A(a,b,c)）= A(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ H(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ A(H(a,b),H(b,c),H(c,a))
≧ G(G(a,b),G(b,c),G(c,a)) = G(a,b,c） ← ココ
≧ H(H(a,b),H(b,c),H(c,a)） = H(a,b,c),
もう一つ、�
46:рﾌ計算に間違いがなければ… G(A(a,b),A(b,c),A(c,a)) ≧ A(G(a,b),G(b,c),G(c,a)) ≧ G(G(a,b),G(b,c),G(c,a)) = G(a,b,c） ≧ H(G(a,b),G(b,c),G(c,a)) ≧ G(H(a,b),H(b,c),H(c,a)） そして、この２つを合体させようと思いつつも、 >>37 (5)の m = min{a,b,c} を用いない解法を考えながら、 >>5 の M(a,b,c)に使えそうな次の問題の証明を考え中なのであった…。 [問題]-------------------------------- a, b, c >0 かつ a+b+c=2 に対して、 (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≦3 ------------------------------------- これは、次数を揃えるには、右辺に {(a+b+c)/2}^6 を掛ければよいのかな？
47:１３２人目の素数さん
17/09/18 03:34:39.74 D0klnohz.net
>>44
まとめて
A(a,b,c）≧ H(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧（ab+bc+ca)/(a+b+c)
≧ A(H(a,b),H(b,c),H(c,a))
≧ H(a,b,c),
>>45
（上）
（a,b,c）=（1,1,G^3）の場合を考えると…
G < （√13 -1)/6 ⇒ H(A,A,A） > A(H,H,H） > G
（√13 -1)/6 < G < （√13 +1)/2 ⇒ H(A,A,A） > G > A(H,H,H)
（√13 +1)/2 < G ⇒ G > H(A,A,A）> A(H,H,H)
（√13 -1)/6 = 0.434258546
（√13 +1)/2 = 2.802775638
（下）
等号成立は（a,b,c）=（1,1,0）とその巡回 ｛(1,1,1）では不成立｝
48:１３２人目の素数さん
17/09/18 06:59:00.88 jimNgAXP.net
>>46
ぐはっ…、申し訳ない。（焼き土下座略）
49:１３２人目の素数さん
17/09/18 08:57:46.12 D0klnohz.net
>>37 (3)
（M_3)^3 = (a^3+b^3+c^3)/3
= 9A^3 -8G^3 -（st-9u)
≦ 9A^3 - 8A^3,
（9A-8G)^3 - （M_3)^3
≧（9A-8G)^3 - （9A^3 -8G^3)
= 72(10A^3 -27AAG +24AGG -7G^3)
= 72(10A-7G)(A-G)^2
≧ 0,
∴ 9A-8G ≧ M_3,
ただし、s = a+b+c = 3A、 u = abc = G^3、
>>39
近畿地方は昨晩通過しますた（ミサイルぢゃなくて台風18号） 快晴でつ。
50:１３２人目の素数さん
17/09/18 12:02:58.60 jimNgAXP.net
>>41 について、載っている書名とか分かりませんか？ 証明方法が知りたいでござる。
>>48
問題>>37(3)は、面白いでござるな。
示すべき不等式が 9A-8G ≧ M_3で、9A^3 - 8G^3 ≧ (M_3)^3 も成立するという。
51:１３２人目の素数さん
17/09/18 13:20:10.34 S+ljv5Ld.net
>>43
a+b+c=3, a>=b>=c とすると c=3-a-b, a+b-3 <= 0, 2a+b-3 >= 0, a+2b-3 >= 0
示すべき不等式は 12 >= (a^2-ab+b^2)(c^2-ca+a^2)(b^2-bc+c^2)
R(a,b,c)=(a^2-ab+b^2)(a^2-ac+c^2)(b^2-bc+c^2)
= (a^2-ab+b^2) (a^2+(a+b-3)(2a+b-3)) (b^2+(a+b-3)(a+2b-3))
<= (a^2-ab+b^2) a^2 b^2
= R(a, b, 0)
よって c=0 のときに不等式を示せばよい
L(a, b, 0) - R(a, b, 0)
= 12((a+b)/3)^6 - (a^2-ab+b^2) a^2 b^2
= ((2a-b)^2 (a-2b)^2 (a^2+11ab+b^2))/243
>= 0
等号成立が (0, 1, 2) だから模範解答の BW が無難かと
52:１３２人目の素数さん
17/09/18 13:24:41.29 S+ljv5Ld.net
>>49
Kiran Kedlaya, Proof of a Mixed Arithmetic-Mean, Geometric-Mean Inequality, The American Mathematical Monthly, Vol.101, No.4., (Apr., 1994), pp.355-357
平均同士の mixture は結構研究されているみたい（この不等式自体20年も前の研究）
掘るとAM-GMバージョンとか色々と出てくる
53:１３２人目の素数さん
17/09/18 13:44:41.39 S+ljv5Ld.net
>>43
>>50
a+b+c=3 なんてする必要なかった
R(a,b,c) = 4(a+b+c)^6 >= 4(a+b)^6 >= R(a,b,0)
L(a,b,c)
=243 (a^2-ab+b^2) (b^2-(b-c)) (a^2-c(a-c))
<= 243 (a^2-ab+b^2) a^2 b^2
=L(a,b,0)
あとは c=0 のとき不等式を示せばよい
なんて遠回りをしていたんだ
54:１３２人目の素数さん
17/09/18 16:14:25.00 jimNgAXP.net
>>51
ありがとうございます。
これはAMMの記事ですかな？知りたい情報がすぐにネットで読めるとは、よい時代になりましたなあ。
>>52
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
これで計算が一気に簡単になります。
55:１３２人目の素数さん
17/09/18 17:16:27.77 jimNgAXP.net
>>45
下側を改造厨が改造中。
A(A(a,b),A(b,c),A(c,a)) = A(a,b,c）
≧ G(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ (st/9)^(1/3)
≧ (t/3)^(1/2)
≧ A(G(a,b),G(b,c),G(c,a))
≧ G(G(a,b),G(b,c),G(c,a)) = G(a,b,c）
≧ H(G(a,b),G(b,c),G(c,a))
≧ (3u/s)^(1/2)
≧ (9uu/st)^(1/3)
≧ G(H(a,b),H(b,c),H(c,a)）
≧ H(H(a,b),H(b,c),H(c,a)） = H(a,b,c）
大丈夫かな？
56:１３２人目の素数さん
17/09/18 19:16:51.97 D0klnohz.net
>>49 下
A(a,b,c）= A，G(a,b,c）= G，M_3(a,b,c）= M_3 と略記する。
A ≧ M_3(M_3，G，…，G）≧ A(M_3，G，…，G）=（M_3 + 8G)/9,
8個 8個
でござるな。
或いは、ｆ(x）= x^3 が下に凸であることから､A≦G≦M に対して
（A^3 - G^3)/(A-G）≦ 3AA ≦（M^3 - A^3)/(M-A),
これと 8(A^3-G^3）≧ M^3 - A^3 より
8(A-G）≧ M-A,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
>>46 最後
（2/3，2/3，2/3）では不成立
>>48 3行目あたり
≦ 9A^3 - 8G^3
57:１３２人目の素数さん
17/09/19 03:19:34.92 SAZ57hNz.net
>>54
H(A,A,A）≧ t/s ≧ A(H,H,H), >>46
と組み合わせれば
… ≧（st/9)^(1/3）≧ H(A,A,A）≧ t/s ≧ A(H,H,H）≧（9uu/st)^(1/3）≧ …
かな。
（現代語訳）
はじめの A，G，H で大勢は決するんよ。
あとの A，G，H は狭い範囲内のことなんで微調整やなぁ。
>>55 中ほど
…、G≦A≦M に対して
58:１３２人目の素数さん
17/09/19 04:49:32.31 WLVpxM+c.net
>>37(3)
いま検索中に見つけたんだけど、一体ヘルダーをどう使っているのだろうか？
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
59:１３２人目の素数さん
17/09/19 08:50:01.21 JePqYnoo.net
4(2X)+1Y<=(4^(3/2)+1^(3/2))^(2/3)((2X)^3+Y^3)^(1/3).
60:１３２人目の素数さん
17/09/19 10:39:16.47 FC0nfxCf.net
>>57
(1 + 8)(1/3 + 8/3)((a^3+b^3+c^3) + 24abc) >= (((a^3+b^3+c^3)/3)^(1/3) + 8(abc)^(1/3))^3
61:１３２人目の素数さん
17/09/19 12:07:24.52 SAZ57hNz.net
n≧3 とする。(*)
（a+b+c)^n ≧ a^n + b^n + c^n + 3(N-1)(abc)^(n/3),
A^n ≧（1/N){(M_n)^n + G^n + … + G^n｝,
N-1 個
N = 3^(n-1）とおいた。
コーシーあるいは f(x)=x^n の凸性から
A^n ≧（1/N){(M_n)^n + G^n + … + G^n｝≧｛(M_n + G + … + G)/N}^n
∴ A ≧（M_n + G + … + G)/N,
等号成立は M_n = G、a=b=c のとき。
* n=2のときも成り立つが緩い。
62:１３２人目の素数さん
17/09/19 15:01:45.36 WLVpxM+c.net
>>58-59
なるほど、さんくす。ようやく理解できた。
63:１３２人目の素数さん
17/09/19 16:47:58.83 WLVpxM+c.net
さっそく、>>37(3)の類題を作ってみた。
【類題】 （自作なので間違っていたらゴメソ）
a,b,c>0 の相加平均、相乗平均、２乗平均を A、G、Qとする。
(1) 3A ≧ 2G+Q
(2) 9A ≧ 2G+5Q
64:１３２人目の素数さん
17/09/19 17:19:21.61 WLVpxM+c.net
>>62
(2)は係数が気に入らない。
65:１３２人目の素数さん
17/09/19 23:33:13.01 5nXOTef3.net
>>62
AM >= pGM + qQM
(1) (0.6666666666666666, 0.3333333333333333)
(2) (0.2222222222222222, 0.5555555555555556)
最適値は ((45-7sqrt(7))^(1/3)/9, 5/9) = (0.3311784484968155, 0.5555555555555556)
(3) (1-sqrt(2)/3 sqrt(2)/3) = (0.5285954792089682, 0.4714045207910317)
(4) (5^(2/3)/6, 1/2) = (0.4873362897021443, 0.5)
66:１３２人目の素数さん
17/09/20 00:39:12.82 tjSj4nRi.net
a, b, c>0 とする。(a+b+c)^3 について。
[a] (a+b+c)^3 ≧ (27/8)*(a+b)(b+c)(c+a)
[b] (a+b+c)^3 ≧ 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
[c] (a+b+c)^3 ≧ (27/4)*(a^2b + b^2c + c^2a + abc)
[A] (a+b+c)^3 ≦ 9(a^3+b^3+c^3)
[B] (a+b+c)^3 ≦ (a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)
[C] (a+b+c)^3 ≦ (a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2)
[a] と [b] は合体できるでござる。
[d] (a+b+c)^3 ≧ (27/8)*(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
[疑問]
(1) [c]の右辺と、[a], [b]の右辺との大小は定まるか？
(2) [A], {B}, {C} の右辺の大小は定まるか？
参考---------------------
[b] [安藤、不等式 P.29]
[c] >>16 [1999 CMO]
[B] [第１章 352]
[C] [第１章 367]
67:１３２人目の素数さん
17/09/20 00:43:50.97 tjSj4nRi.net
>>65
[疑問](1)の訂正。
[a]の右辺と[c]の右辺の大小は一定でないことは、既に確認済み。
反例は、c=1 のときに、(a-1)(b-1)の正負で大小が変わる。
色々計算していたら、調べ終わったことをすっかり忘れていました。
68:１３２人目の素数さん
17/09/20 00:49:55.65 tjSj4nRi.net
>>66
重ね重ねすみません。
>>65の訂正は無かったことに。ホント申し訳ないです。
別の問題とゴチャゴチャになっていました。
比較して大小が定まらなかったのは、次式の右辺の大小でした。
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 3(a+b+c)^2
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
行き詰まったら別の問題へと、あれこれ弄っていたら、ゴチャゴチャになってしまいました。
ひとつ解決するごとに、ちゃんと清書しておくべきですね （切腹AA
69:略）
70:１３２人目の素数さん
17/09/20 02:48:42.32 LREZjNa8.net
>>62 >>64
(1）（p，q）=（2/3，1/3）
（p，q）=（3/5，2/5） >>37 参考［第８章.755、808］
は緩く、最良値は
(3）（p，q）=（1 -(√2)/3，（√2)/3）
でござるな。
（p，q） =（{1+√(1/3)}/3，{2-√(1/3)}/3）=（0.525783423，0.474216577）
等号成立は（a，b，c）=（1，1，1）と（1，1，(1+√3)/2）
は無理？
71:１３２人目の素数さん
17/09/20 03:09:27.79 tjSj4nRi.net
>>35
この補題の証明を教えてください <(_ _)>
72:１３２人目の素数さん
17/09/20 03:18:19.58 tjSj4nRi.net
[1] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) ≧ 9(ab+bc+ca)
[2] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 3(a+b+c)^2 ≧ 9(ab+bc+ca)
[3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (2a+2b+2c-abc)^2
（疑問）
[3]の右辺 (2a+2b+2c-abc)^2 と [1],[2]の右辺の３式の大小は定まりますか？
試しにc=0にすると、[3]の右辺の方が大きいようで、定まりそうな希ガス。
差を s,t,u で計算したが無理で、u,v,wで試したが使い慣れていないせいか行き詰まりました。
（参考）
[1] >>4,>>15,>>23
[2] 第８章456
[3] lhs - rhs = 2(ab+bc+ca-abc)^2 ≧0
[1],[2]の中辺の (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) と 3(a+b+c)^2 の大小は一定でないでござる。
c=1 のときに (a-1)(b-1)の正負で大小が変わるから。
73:１３２人目の素数さん
17/09/20 03:35:09.68 tjSj4nRi.net
>>68
その最良値は、どのようにして求めるのですか？
考え方を教えてください。
-------------------------------------------
>>62を、>>57-59の方法で証明するでござる。
AM-GMより
(a+b+c)^2 = 2(ab+bc+ca) + (a^2+b^2+c^2) ≧ 3(2G^2 + Q^2)
Cauchyより
3A = a+b+c = {(2+1)(2G^2 + Q^2)}^(1/2) ≧ 2G+Q
9A = 3(a+b+c) = {(2+25)(2G^2 + Q^2)}^(1/2) ≧ 2G+5Q
74:１３２人目の素数さん
17/09/20 06:27:39.72 LREZjNa8.net
>>65
［疑問1］
［b］/27 =（a+b-c)(b+c-a)(c+a-b）= abc - F1(a,b,c）≦ abc,
∴ ［a］≧［b］、［c］≧［b］
［a］=（27/8)(st-u）=（[c］+［c~])/2,
［c］=（27/4)(L+u), >>30
［c~]=（27/4)(R+u), >>30
［a］と［c］の大小は定まらず。
［疑問2］
（a^5 -aa +3）-（a^3 +2）=（a^3 -1)(aa-1）≧0,
より
［B］≧［A]，［C］
［A］と［C］の大小は定まらず。
75:１３２人目の素数さん
17/09/20 06:45:32.55 tjSj4nRi.net
>>19
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 ≧0 より、s^2 - 2s - 2t + 3 ≧0 とか…
76:１３２人目の素数さん
17/09/20 06:51:53.25 tjSj4nRi.net
>>72
ありがとうございます。
77:１３２人目の素数さん
17/09/20 08:07:59.55 tjSj4nRi.net
>>11
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2
この証明を教えてください。
以前まとめたはずが見当たらず、自力で取り組んで挫折しました…。
78:１３２人目の素数さん
17/09/20 08:20:14.90 LREZjNa8.net
>>65
をまとめて
（a^5 -aa+3)(b^5 -bb+3)(c^5 -cc+3)
≧｛(a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2)，9(a^3 +b^3 +c^3)｝
≧（a+b+c)^3
≧｛(27/8)(st-u)，（27/4)(L+u)，（27/4)(R+u)
≧ 27abc
≧ 27｛abc - F_1(a,b,c)｝
= 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b),
79:１３２人目の素数さん
17/09/20 08:27:01.63 tjSj4nRi.net
>>75
自己解決しました。見たことあるような無いような…。
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) - 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2 = ⊿^2
80:１３２人目の素数さん
17/09/20 08:42:38.53 LREZjNa8.net
>>77
>>5-9 のあたり
81:１３２人目の素数さん
17/09/20 08:45:19.06 tjSj4nRi.net
>>78
こんなところに…
82:１３２人目の素数さん
17/09/20 09:50:01.45 CEB00Ztu.net
(Q-G)/(A-G)<=9/(6-r3).
83:１３２人目の素数さん
17/09/20 12:31:22.95 ZYqrdhH5.net
>>68
成り立ちます
>>69
L-R = Aw^3 + B(u, v^2)
A = sqrt(27/2), B は u, v の関数
よって (a, 1, 0), (a, 1, 1) のときに不等式を示せばよい
あとは微分
>>70
いずれも定まらない
a, b を十分大きくとって c = 2(a+b)/(ab-2) とすると [3] の右辺は必ず 0 となる
一方他の辺はすべて非負値を取りうるから考えられるとしたら [3] の右辺が最小
一方 a を大きく b = c = 0 としたら明らかに [3] の右辺が最大
よって定まらない
>>71
一個目について
L-R = Aw^3 + B(u, v^2)
A = -p, B は u, v の関数
よって (a, 1, 0), (a, 1, 1) のときに不等式を示せばよい
このときの p, q の領域の端点が最適
ただ解析はさほど知識がないので端点を求められず適当な値を当てはめて妥協したのが >>64
84:１３２人目の素数さん
17/09/20 18:19:49.70 tjSj4nRi.net
ありがとうございます。
85:１３２人目の素数さん
17/09/20 23:59:51.69 602tS/G4.net
[5] Given real numbers a, b, c satisfying a + b + c = 3 and abc >= -4. Prove that
3(abc+4) >= 5(ab+bc+ca).
[8] Given three circles (O[1]R[1]), (O[2]R[2]), (O[3]R[3]) which are pairwise externally tangent to each other at A, B, C. Let r be the radius of the incircle of ABC. Prove that
r <= (R[1] + R[2] + R[3]) / (6sqrt(3)).
[9] Given positive numbers x, y, z satisfying
x^2 + y^2 - 2z^2 + 2xy + yz + zx <= 0.
Find the minimum value of the expression
P = (x^4 + y^4) / z^4 + (y^4 + z^4) / x^4 + (z^4 + x^4) / y^4.
[10] Find the maximum value of the expression
T = (a+b)/(c+d) * ((a+c)/(a+d) + (b+d)/(b+c))
where a, b, c, d belong to [1/2, 2/3].
【Mathematics and Youth Magazine Problems - Sep 2017, Issue 483】
原文のままだけど [8] は R[1] とかが円の半径なのかな？
86:１３２人目の素数さん
17/09/21 02:33:40.98 qsDFDKvR.net
>>70
［第8章.456］
Asia-Pacific MO-2004改
文献 [9] 佐藤(訳)、問題3.85改 p.140
[1］
（中辺）= 1 +2s +（ss+t）+（st-u）≧｛1 +√(t/3）+√(t/3)}^3 ≧ 9t,
[2］
（aa+2)(bb+2)(cc+2）- 3(a+b+c)^2
= 3(a+b+c)^2 +（abc-1)^2 + 2(ab-1)^2 + 2(bc-1)^2 + 2(ca-1)^2 +（2G+1)(G-1)^2
+｛aa +bb +cc + 3GG - 2(ab+bc+ca)},
｛aa + bb + cc +3GG -2(ab+bc+ca)｝≧ ss -4t +9u/s = F_1/s ≧ 0,
［第8章.388(3)、403、432］
あるいは f(x）= exp(2x）は下に凸だから Popoviciu を適用する。
文献［9］佐藤(訳)、演習問題1.90 p.41
[3］（aa+2)(bb+2)(cc+2）=（2s-u)^2 + 2(t-2)^2,
｛a+√(-2)}{b+√(-2)}{c+√(-2)｝= -(2s -u）+（t-2){√(-2),}
のノルムをとる。
87:１３２人目の素数さん
17/09/21 04:45:31.57 qsDFDKvR.net
>>83
［9］
（x+y+2z)(x+y-z）=（x+y)^2 +(x+y)z -2zz ≦ 0,
題意より x+y+2z > 0
∴ z ≧ x+y, （反三角不等式）
w =｛2z/(x+y)}^4 ≧ 16,
P(x,y,z）≧ P((x+y)/2，(x+y)/2，z）
= 2 + 2{(x+y)/2z}^4 + 2{2z/(x+y)}^4
= 2 + 2/w + 2w （← w>1 で単調増加）
≧ 2 + 1/8 + 32
= 34 + 1/8,
88:１３２人目の素数さん
17/09/21 07:20:31.67 V1vTJB/f.net
>>4 の (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) を弄っていて、妙なものができたんだけど…
(1), (2)はよくあるけど、(2)を見た後の(3)がなんとも気持ち悪いのでござる。
(1) (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (ab+2)(bc+2)(ca+2)
(2) (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (2√2)*(a+b)(b+c)(c+a)
(3) (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 8*√{(a+b)(b+c)(c+a)}
89:１３２人目の素数さん
17/09/21 07:24:43.09 V1vTJB/f.net
[問題]
a, b, c>0に対して a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 1 ≧ 2(ab+bc+ca)
出典：URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
タイトルが easy なのに、非同次は難しい。
あと、cosに置き換えるのは、おかしいと思う。
90:１３２人目の素数さん
17/09/21 08:45:0
91:7.32 ID:qsDFDKvR.net
92:１３２人目の素数さん
17/09/21 09:23:42.72 qsDFDKvR.net
>>88
(4)
（aa+1+1)(1+bb+1)(1+1+cc）
≧（a+b+1)(1+b+c)(a+1+c） （コーシー）
≧｛a^(2/3）+ b^(2/3）+ c^(2/3)}^3 （コーシー）
≧ ss +4t +6u^(2/3)
≧ 8t +（9u + F_1)/s,
93:１３２人目の素数さん
17/09/21 14:27:27.61 V1vTJB/f.net
>>4 [4]
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 4(a^2+b^2+c^2) + 5(ab+bc+ca) + (abc-1)^2
下のリンクでは、b=c の場合と c=0 の場合に分けて証明しているのですが、
その場合分けだけでいい理由が分かりません。なぜでしょうか？
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
94:１３２人目の素数さん
17/09/21 15:40:54.75 V1vTJB/f.net
>>36
難しすぎでござる…
95:１３２人目の素数さん
17/09/21 17:20:48.74 V1vTJB/f.net
>>76
> （a^5 -aa+3)(b^5 -bb+3)(c^5 -cc+3) ≧ 9(a^3 +b^3 +c^3)
この証明を教えてください。
96:１３２人目の素数さん
17/09/21 17:39:36.89 V1vTJB/f.net
>>76
> ≧（a+b+c)^3
> ≧｛(27/8)(st-u)，（27/4)(L+u)，（27/4)(R+u)
> ≧ 27abc
（a+b+c)^3 ≧ a^3 + b^3 + c^3 + 24abc ≧ 27abc もありますね。
(a^3 + b^3 + c^3 + 24abc) - (27/8)(st-u)
= F_1 - 19(st-9u)/8
大小は定まりそうになさそう？
97:１３２人目の素数さん
17/09/21 22:17:34.65 V1vTJB/f.net
>>11
a, b, c >0 に対して、
(1) 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ (ab+bc+ca)^3 ←>>11
(2) 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ abc(a+b+c)^3 ←出典は下に。
右辺の2式の大小は定まらないですよね？
一息つく間もないでござるな。
(ab+bc+ca)^3 - abc(a+b+c)^3 = u^2 F_{-2} - uF_1
出典
(2) Old and New Inequalities 問42
98:１３２人目の素数さん
17/09/21 23:59:22.71 LqEF6rzR.net
>>90
そこが肝
次の強力な定理が成り立つ（厳密には存在性が必要）
i) u, v^2 を固定すると w^3 は c=0 または c=b のときのみ最大・最小となりうる
ii) u, w^3 を固定すると v^2 は c=0 または c=b のときのみ最大・最小となりうる
iii) v^2, w^3 を固定すると u は c=0 または c=b のときのみ最大・最小となりうる
リンク先は違う置換の方法だけど、一般的な（係数と次数を調整した）置換 3u=a+b+c, 3v^2=ab+bc+ca, w^3=abc をすると不等式は
(2-12u)w^3+18v^4-15v^2+7 >= 0
となる。これは u, v^2 を固定すると w^3 についての一次関数。一次関数は区間の端点、つまり w^3 が最大・最小となるときに関数値が最小となる。定理 i) から右辺は c=0 または c=b のときに最小となりうるのでこのときだけ不等式を示せばよい
定理自体は uvw とは関係なく ABC Theorem として知られる。(洋書文献[3],p.155)
この定理を用いると五次以下の対称不等式は (a, b, 0), (a, b, b) のとき、さらに斉次のときは (a, 1, 0), (a, 1, 1) のときに不等式を示せばよいことがわかる
99:１３２人目の素数さん
17/09/22 00:01:35.33 wfEa8qDX.net
>>94
c=0 とすると正の値を取りうることは明らか
abc = 1 とすると L -R は簡単に因数分解できて符号は因数 ab+bc+ca-a-b-c で決まる
b = c -> 0 とすれば a -> inf でこれは負となる
実際 L-R = -(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab) となり符号は定まらない
100:１３２人目の素数さん
17/09/22 01:13:33.43 dxvc1idi.net
>>40-42
５文字のときもコーシーで >>44
(a+a+a+a+a)(a+a+G2+b+b)(a+G2+b+C'+c)(a+b+C'+D'+d)(a+b+c+d+e）≧（G1+G2+G3+G4+G5)^5,
ここに
G2 = √(ab）≦（a+b)/2,
G3 =（abc)^(1/3）≦（a+b+c)/3,
C ' = √(G3･c）≦（G3+c)/2 ≦（a+b+4c)/6，
D ' =（G3･ccd)^(1/4）≦（G3+2c+d)/4 ≦（a+b+7c+3d)/12,
今回�
101:ﾍ非対角要素まで補正した。もちろん、実対称ではござるが。
102:１３２人目の素数さん
17/09/22 02:12:22.64 dxvc1idi.net
>>94
(1） コーシーで （>>9 最後）
3LR - t^3
=（1+1+1)(aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa）-（ab+bc+ca)^3
= 3u(s^3 -4st +9u）+ 2(t^3 -4stu +9uu) +2u(st-9u)
= 3u F_1(a,b,c）+ 2 F_1(ab,bc,ca）+ 2u(st-9u),
(2)
3LR - us^3
= 2u(s^3 -4st +9u）+ 3(t^3 -4stu +9uu) +2u(st-9u)
= 2u F_1(a,b,c）+ 3 F_1(ab,bc,ca）+ 2u(st-9u),
F_1(ab,bc,ca）= uu F_{-2}(a,b,c)
大小は定まらず。
103:１３２人目の素数さん
17/09/22 06:37:35.19 dxvc1idi.net
>>94 続き
F_1(ab,bc,ca）- u F_1(a,b,c)
=（t^3 -4stu +9uu）- u(s^3 -4st +9u)
= t^3 - us^3
=（ab)^3 +（bc)^3 +（ca)^3 -abc(a^3 + b^3 + c^3)
= aab･abb + bbc･bcc + cca･caa - aab･caa - bbc･abb - cca･bcc
の符号は決まらず。
104:１３２人目の素数さん
17/09/22 14:32:29.99 qCni587U.net
>>95-96
詳しくありがとうございます。（未だ理解できていませんが）
洋書文献[3],p.155を調べてみます。
105:１３２人目の素数さん
17/09/22 14:40:37.63 qCni587U.net
追加。
右辺が >>4 >>70 >>86 >>88 >> 90 の右辺のいずれかと大小関係があるのかはチェックしきれていないが
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1/2)*(a+√2)(b+√2)(c+√2)(abc+2√2) ≧ 16abc√2
106:１３２人目の素数さん
17/09/22 14:51:31.66 5a1XuEA5.net
>>92
これかなり強い不等式な気がするけどどうなんだろう
成り立ちそうだけど証明できない
107:１３２人目の素数さん
17/09/22 15:52:23.29 qCni587U.net
>>98
> (2)
> 3LR - us^3
> = 2u(s^3 -4st +9u）+ 3(t^3 -4stu +9uu) +2u(st-9u)
> = 2u F_1(a,b,c）+ 3 F_1(ab,bc,ca）+ 2u(st-9u),
Schur の使い方に F_1(ab,bc,ca） を利用するとは！！
これは、次数が高くなったときに、(su, t, u^2) → (s,t,u) と置き換えているんですね。
108:１３２人目の素数さん
17/09/22 15:53:06.94 qCni587U.net
>>103
訂正
> > (2)
> > 3LR - us^3
> > = 2u(s^3 -4st +9u）+ 3(t^3 -4stu +9uu) +2u(st-9u)
> > = 2u F_1(a,b,c）+ 3 F_1(ab,bc,ca）+ 2u(st-9u),
>
> Schur の使い方に F_1(ab,bc,ca） を利用するとは！！
> これは、次数が高くなったときに、(su, t, u^2) → (s,t,u) と置き換えているんですね。
> これは、次数が高くなったときに、(su, t, u^2) → (s,t,u) と置き換えているんですね。
109:１３２人目の素数さん
17/09/22 15:53:54.27 qCni587U.net
すみません、誤送信です
(誤) (su, t, u^2) → (s,t,u)
(正) (su, t, u^2) → (t,s,u)
110:１３２人目の素数さん
17/09/22 16:04:30.09 dxvc1idi.net
>>76 >>92 >>102
（a^5-aa+3)(b^5-bb+3)(c^5-cc+3）≧（a+b+c)^3
USAMO-2004 A5
と比べたら、ずっと難しい希ガス。
111:１３２人目の素数さん
17/09/23 05:55:49.72 uwLyIFub.net
[問題] a, b, c, d ≧0 のとき、
(1) {(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}^3 ≧ 16(abcd)^2*(a+b+c+d)^4
(2) (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)
(3) (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)
似たようなやつを集めたでござる。
疑問
[1] (2)と(3)の右辺の大小はどうなんだろう。
[2] (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)の入った類題が他にあれば教えてください。
[3] a,b,c,d>0の面白いのがあれば、教えてください。
Old and New Inequalities 90など
112:１３２人目の素数さん
17/09/23 11:30:08.53 NoROM9hj.net
>>107
(2）
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a）-（a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab）=（ac-bd)^2 ≧ 0,
等号成立は ac=bd
s = a+b+c+d,
t = ab+ac+ad+bc+bd+cd,
u = abc+bcd+cda+dab,
v = abcd,
とおく。
Newtonの不等式
（t/6)/(s/4）≧（u/4)/(t/6）≧ v/(u/4),
から t を消して
u ≧（16vvs)^(1/3),
変数の１つが飛びぬけて大きいとき、（3）は負。
∴（2）≧（1)，(3)
（1）と（3）の大小は定まらず。
113:１３２人目の素数さん
17/09/23 15:28:49.51 NoROM9hj.net
>>40-42 >>97
５文字のときもコーシーで >>44
2文字混合のみで可能でござった...orz
（a+a+a+a+a)(a+m22+m23+m24+b)(a+m32+m33+m34+c)(a+m42+m43+m44+d)(a+b+c+d+e）≧（G1+G2+G3+G4+G5)^5,
ここに
m22 =（aaab)^(1/4）≦（3a+b)/4,
m23 = m32 =（aab)^(1/3）≦（2a+b)/3,
m24 = m42 =（abbb)^(1/4）≦（a+3b)/4,
m33 =（b^5･c)^(1/6）≦（5b+c)/6,
m34 = m43 = √(bc）≦（b+c)/2,
m44 =（bbbc)^(1/4）≦（3b+c)/4,
114:１３２人目の素数さん
17/09/23 15:30:29.43 NoROM9hj.net
>>40-42 >>97
６文字のときもコーシーで >>44
(a+a+a+a+a+a)(a+m22+a+G2+m25+b)(a+a+m33+b+m35+c)(a+G2+b+m44+m45+d)(a+m52+m53+m54+m55+e)(a+b+c+d+e+f）≧（G1+G2+G3+G4+G5+G6)^6,
ここに
G2 = √(ab）=（a+b)/2,
m22 =（a^3･b^7)^(1/10）≦（3a+7b)/10,
m25 = m52 =（abbbb)^(1/5）≦（a+4b)/5,
m33 =（bbbcc)^(1/5）≦（3b+2c)/5,
m35 = m53 =（bbccc)^(1/5）≦（2b+3c)/5,
m44 =（c^9･d)^(1/10）≦（9c+d)/10,
m45 = m54 =（cccdd)^(1/5）≦（3c+2d)/5,
m55 =（dddde)^(1/5）≦（4d+e)/5,
115:１３２人目の素数さん
17/09/24 00:17:36.33 +GWHsYBd.net
>>109-110
m_{i,1｝= m_{1,i｝= a_1,
… 略 …
m_{i,n-1｝= m_{n-1,i｝=（a_{i-1}）^{(i-1)/(n-1)｝（a_i)^{(n-i)/(n-1)}
m_{i,n｝= m_{n,i｝= a_i
だが、残りをどうするか...
116:１３２人目の素数さん
17/09/24 01:33:03.23 mlF1dqOj.net
>>108
(2)と(3)の右辺の大小は、どのようにして分かるのですか？
117:１３２人目の素数さん
17/09/24 11:48:50.52 +GWHsYBd.net
>>112
>>107 より
（1）=（16vv･s^4)^(1/3),
（2）= su = 16v + cd(a-b)^2 + … + ab(c-d)^2,
（3）=（a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c),
= 16v -（a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)
= 16v +（a+b+c+d){(c+d-a-b)(a-b)^2 + … +（a+b-c-d)(c-d)^2}/3
さて、どうするか…
118:１３２人目の素数さん
17/09/24 12:54:01.61 +GWHsYBd.net
>>76 >>92 >>102 >>106
x^5 -xx+3 ≧ 3(x^5 +4)/5,
でも使うのでござるか？
119:１３２人目の素数さん
17/09/24 15:20:49.88 mlF1dqOj.net
>>107
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≦ (1/16)*(a+b+c+d)^4
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) ≧ {16(abcd)^2*(a+b+c+d)^4}^(1/3)
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) ≧ 4(ab+bc+cd+da)(abc+bcd+cda+dab)/(abcd)
とりあえず、ここまで。
(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) ≧ (a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c) が証明できない。
120:１３２人目の素数さん
17/09/24 15:23:35.45 mlF1dqOj.net
>>115
{16(abcd)^2*(a+b+c+d)^4}^(1/3) と 4(ab+bc+cd+da)(abc+bcd+cda+dab)/(abcd) の大小は、次数が高くて挫折…
121:１３２人目の素数さん
17/09/24 15:24:44.42 mlF1dqOj.net
>>115
4つ目の式の訂正。
(誤) (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) ≧ 4(ab+bc+cd+da)(abc+bcd+cda+dab)/(abcd)
(正) (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≧ (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) ≧ 4(ab+bc+cd+da)(abc+bcd+cda+dab)/(a+b+c+d)
122:１３２人目の素数さん
17/09/24 19:00:55.77 mlF1dqOj.net
[1999 USAMO]
x, y, z>1 のとき、x^(xx+2yz)*y^(yy+2zx)*z^(zz+2xy) ≧ (xyz)^(xy+yz+zx)
これって、x, y, z >0 でいいのでは？
123:１３２人目の素数さん
17/09/24 19:03:09.38 N4qenZps.net
>>前スレ972-
第７章919-921
Carlemanの不等式
>>前スレ990
e
124:１３２人目の素数さん
17/09/24 19:54:57.16 mlF1dqOj.net
>>118
やっぱ要りますね。すまそ。
125:１３２人目の素数さん
17/09/24 21:18:47.14 wAMa4j2r.net
>>107
Vasile の不等式 (Algebraic Inequalities Old and New Methods, pp.271, 6.3 problem 4a)
Σx^3 + 3Σxyz >= Σxy(x+y)
より強い（Vasile は n 変数で成り立つ）
解答自体は d=1 として三変数に持ち込んでuvwで終わりだけど、よい証明が見つからない
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
スレッドあっても解答ないのが見つかるだけ
等号成立は (a,a,0,0), (a,a,a,0), (a,a,a,a) and sym perm…
疑問[2]
あんまないけど
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
126:１３２人目の素数さん
17/09/24 23:56:40.15 mlF1dqOj.net
>>121
ありがとうございます
127:１３２人目の素数さん
17/09/25 02:16:02.08 IHMzyGPJ.net
以下の同値変形で、赤い矢印の所、おかしくないですか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
Suppa_Inequalities from the word 1995-2005 P.67
128:１３２人目の素数さん
17/09/25 08:38:56.80 IHMzyGPJ.net
>>121の URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com) より。
a, b, c, d >0のとき、
(1) (8a+b)(8b+a)(8c+d)(8d+c) ≦ (6561/4)*(a^2+b^2)(c^2+d^2)
(2) (8a+b)(8b+c)(8c+d)(8d+a) ≦ (6561/32)*(ac+bd)(a+b+c+d)^2
(3) (5a+b)(5b+a)(5c+d)(5d+c) ≦ (81/2)*(ac+bd)(a+b+c+d)^2
(1)は 2(pa+qb)(qa+pb) ≦ (p+q)^2 (a^2+b^2) で。
(2)(3)は分かりませぬ…。
129:１３２人目の素数さん
17/09/25 19:25:26.05 IHMzyGPJ.net
実数a,b,c,d
130:に対して、(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2) > a+b+c+d この証明で、左辺を平方和に変形するときに、画像の赤い矢印の部分の符号はマイナスになりませんか？ https://i.imgur.com/YDlFNqJ.jpg
131:１３２人目の素数さん
17/09/26 09:40:42.11 EHLZfEpP.net
>>123
0<x,y,z≦1 で等比数列のとき、不成立？
>>125
（1+aa)(1+bb)(1+cc)(1+dd)
≧ 1 +（aa+bb+cc+dd)
=（a+b+c+d）+（1/2 -a)^2 +（1/2 -b)^2 +（1/2-c)^2 +（1/2-d)^2
≧ a+b+c+d,
132:１３２人目の素数さん
17/09/26 10:09:49.45 DASjoAs7.net
>>126
なんと！ そんなに簡単に証明できたんですね。ありがとうございます。
実にゆるゆるな不等式ですね。
133:１３２人目の素数さん
17/09/26 10:10:20.62 EHLZfEpP.net
>>125
〔類題〕
（1+aa）≧ 2a,
（3+aa)(3+bb）≧ 8(a+b),
（5+aa)(5+bb)(5+cc）≧ 72(a+b+c),
（7+aa)(7+bb)(7+cc)(7+dd）≧ 1024(a+b+c+d),
（9+aa)(9+bb)(9+cc)(9+dd)(9+ee）≧ 20000(a+b+c+d+e),
134:１３２人目の素数さん
17/09/26 10:24:08.94 DASjoAs7.net
>>128
つまり （1+aa)(1+bb)(1+cc)(1+dd) ≧ λ(a+b+c+d) は、λ = 1024/{343(√7)} が最良値でござるか？
135:１３２人目の素数さん
17/09/26 13:58:53.45 EHLZfEpP.net
>>37 >>119
>>37 参考(1）は Carleman でござるか。
等号成立の位置が異なるゆえ
(1）の右辺と Carleman の右辺の大小は定まらぬ…
136:１３２人目の素数さん
17/09/26 16:44:04.97 DASjoAs7.net
[問題]
a,b,c∈Rに対して、(a^3+b^3+c^3)^2 + 4(abc)^2 ≧ 2(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)
ゆるゆるの極みでは？ どう改造するか…
出典 ： crux 2839
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca) P.244
137:１３２人目の素数さん
17/09/27 00:54:28.91 CgrFdG5y.net
a,b,c∈Rに対して、
(1) (a^8-a^2+3)(b^8-b^2+3)(c^8-c^2+3) ≧ (a^2+b^2+c^2)^3
a, b, c≧0に対して,
(2) (a^5-a^3+3)(b^5-b^3+3)(c^5-c^3+3) ≧ 9(a^2+b^2+c^2)
(3) (2a^-2a+3)(2b^2-2b+3)(2c^2-2c+3) ≧ 9(a^2+b^2+c^2)
--------------------------------------------------
(1)
x^8-x^2+3 ≧ x^6+2 より、
(a^8-a^2+3)(b^8-b^2+3)(c^8-c^2+3)
≧ (a^6+2)(b^6+2)(c^6+2)
＝ (a^6+1+1)(1+b^6+1)(1+1+c^6)
≧ (a^2+b^2+c^2)^3
(2)
(x^5-x^3+3)^3 ≧ 9(x^6+2) より、
{(a^5-a^3+3)(b^5-b^3+3)(c^5-c^3+3)}^3
≧ (9^3)(a^6+2)(b^6+2)(c^6+2)
＝ (9^3)(a^6+1+1)(1+b^6+1)(1+1+c^6)
≧ (9^3)(a^2+b^2+c^2)^3
(3)
(2x^2-2x^2+3)^3 ≧ 9(x^6+2) が十分大きな x で成り立たないから、同じ方法は使えないでござる
138:１３２人目の素数さん
17/09/27 06:10:06.91 8Sv8e3rv.net
>>131
a^6 + b^6 + c^6 + 3(abc)^2 ≧ 2{(ab)^3 +(bc)^3 +(ca)^3},
AA + BB + CC + 3GG ≧ 2(AB+BC+CA), >>84
と同じだが...
139:１３２人目の素数さん
17/09/27 13:34:23.43 8Sv8e3rv.net
>>124 (2)(3)
k>0 とする。
（ka+b)(kb+c)(kc+d)(kd+a)/(k+1)^4 は k=1 で最大となり、両側で単調。
k=2 が成立てば k>2 も成立つはず...
（2a+b)(2b+a)(2c+d)(2d+c）≦（81/32)(ac+bd)(a+b+c+d)^2,
140:１３２人目の素数さん
17/09/27 13:36:02.71 8Sv8e3rv.net
>>134 訂正
（2a+b)(2b+c)(2c+d)(2d+a）≦（81/32）…
141:１３２人目の素数さん
17/09/27 16:39:57.10 8Sv8e3rv.net
>>134-135
k<5 では不成立でござった。。。死んでお詫びを…（AA略）
反例：
k=4 （a,b,c,d）=（１，1/64，1/2048，√(1/2)）
142:１３２人目の素数さん
17/09/27 22:04:26.24 8Sv8e3rv.net
>>134
kについて降べきの順(?)に並べると
（ka+b)(kb+c)(kc+d)(kd+a)/(k+1)^4 = abcd +｛(aabc+bbcd+ccda+ddab-4abcd)k^3 +（abbc+bccd+cdda+daab+aacc+bbdd-6abcd)k^2 +（abcc+bcdd+cdaa+dabb-4abcd)k}/(k+1)^4,
ここで、k/(k+1)^4，kk/(k+1)^4 は単調減少、k^3/(k+1)^3 も k≧3 で単調減少でござる。
∴ k が 1～2 の辺りで最大か。
143:１３２人目の素数さん
17/09/28 07:56:21.57 Zf2OsKu8.net
>>92
> a,b,c>0 に対して、（a^5 -aa+3)(b^5 -bb+3)(c^5 -cc+3) ≧ 9(a^3 +b^3 +c^3)
>>114の x^5 -x^2 +3 ≧ 3(x^5 +4)/5 より、
(a^5 -a^2 +3)(b^5 -b^2 +3)(b^5 -b^2 +3) ≧ (27/125)*(a^5+4)(b^5+4)(c^5+4)
したがって、以下が成り立てばよいのだが、分からない…
(a^5+4)(b^5+4)(c^5+4) ≧ (125/3)*(a^3 +b^3 +c^3) … ★
>>132 の方法を使うには、x^5 +4 ≧ (125/3)*(a^9 +2) が成り立てばいいが、成り立たず。
遡って、x^5 -x^2 +3 ≧ 9(x^9 +2) が成り立てばいいが、これも成り立たず。
お手上げでござる。
144:１３２人目の素数さん
17/09/29 18:52:53.17 ccDcp6Fb.net
>>92
(a^5-a^2+3)^3 >= 3(2a^9+3a^3+4)
とかから a^3 -> a と置き換えて不等式に当てはめると
(2a^3+3a+4)(2b^3+3b+4)(2c^3+3c+4) >= 27(a+b+c)^3
を示せばよい。
いま (a^5-a^2+3)^3 >= ra^9+(27-3r)+2r は r <= 8.98395 に対して成り立つ
特にもとの不等式に適用できそうなのは m = 9/2^(2/3) = 5.66964 <= r の範囲
r = 8, 7, 6, m に対して書き下してみると
・(8a^3+3a+16)(8b^3+3b+16)(8c^3+3c+16) >= 729(a+b+c)^3
・(7a^3+6a+14)(7b^3+6b+14)(7c^3+6c+14) >= 729(a+b+c)^3
・(2a^3+3a+4)(2b^3+3b+4)(2c^3+3c+4) >= 27(a+b+c)^3
・Π(a^3+ka+2) >= 4(a+b+c)^3 where k = 3(2^(2/3)-1)
このいずれかの不等式を示せばよい
r=6 のときはきれいで頑張れば示せそう
r=m の限界値も不等式自体は悪くないからうまく示せそう
（uvw で表すと唯一 u^3 の項が消える）
あとは任せたでござる
145:１３２人目の素数さん
17/09/30 17:59:19.43 QFGPsK6W.net
>>139
a^9 -3a^3 +2 = (a^3 +2)(a^3 -1)^2 ≧ 0 ゆえ
r a^9 +（27-3r）a^3 + 2r は r について単調増加
>>114 と比べると
・r < 6.59 のとき、a^5 -aa +3 ≧ 3(a^5 +4)/5 ≧｛r a^9 +（27-3r）a^3 + 2r}^(1/3),
・r > 6.59 のとき、大小定まらず。
146:１３２人目の素数さん
17/10/01 01:08:20.63 wkWWtqrc.net
>>132
> a,b,c∈Rに対して、
> (3) (2a^2-2a+3)(2b^2-2b+3)(2c^2-2c+3) ≧ 9(a^2+b^2+c^2)
> --------------------------------------------------
>
> (2x^2-2x^2+3)^3 ≧ 9(x^6+2) が十分大きな x で成り立たないから、同じ方法は使えないでござる
x=2a-1, y=2b-1, z=2c-1 とおくと、x, y, z ≧-1で、示すべき不等式は
(x^2+5)(y^2+5)(z^2+5) ≧ 18{(x+1)^2 + (y+1)^2 + (z+1)^2}
等号が x=y=z=1 で成立することに注意して、未定係数法で力ずくで平方和に分解。
lhs - rhs
= (u-s/3)^2 + (8/9)(s^2-3t) + (28/9)(t^2-3su) + 6(s-3)^2 + (17/9)(t-3)^2
≧0
┏━━┓
┃ Q.E.D. ┃
┗━┳━┛
( ﾟ∀ﾟ) ノ
この方法を >>92 に使おうと思ったが、よい置き換えが思いつかぬでござる。
147:１３２人目の素数さん
17/10/01 14:40:49.65 wkWWtqrc.net
[初等的な不等式Ⅱ P.65 問36]
a, b, c≧0に対して、{(a+b)(b+c)(c+a)}^2 ≧ 4(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)
模範解答は、aを最小として b=a+p、c=a+q を代入して差をとり、
aの6次式の係数がすべて0以上であることを確認していますが、
手計算じゃ大変だから、別解があれば教えてください。
s,t,uで計算してSchurを考えたけど （自分では）うまくいかず、
Lhs - Rhs = (st)^2 - 4(s^3)u + 22stu - 4t^3 - 31u^2
次に b を中央の数として (a+b)(b+c) - 2(b^2+ca) = (a-b)(b-c) ≧0 より
Lhs ≧ 2(a+b)(b+c)(c+a)^2(b^2+ca) だから、
(a+b)(b+c)(c+a)^2 ≧ 2(a^2+bc)(c^2+ab)
が成り立つことが示せれば…と計算して挫折
さらに(c+a)^2 = (c-a)^2 + 4ca より、 Lhs ≧ 8ca(a+b)(b+c)(b^2+ca) として、
2(a+b)(b+c) ≧ (a^2+bc)(c^2+ab)
が成り立つことが示せれば…と計算して挫折
>>52みたいな、いい方法ないかなあ…
148:１３２人目の素数さん
17/10/01 14:55:35.03 wkWWtqrc.net
>>142
(誤) 2(a+b)(b+c) ≧ (a^2+bc)(c^2+ab)
(正) 2ca(a+b)(b+c) ≧ (a^2+bc)(c^2+ab)
149:１３２人目の素数さん
17/10/01 15:12:37.49 wkWWtqrc.net
>>142の不等式を改造するでござる。
a, b, c≧0に対して、
(64/27)(a^2+ab
150:+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ {(a+b)(b+c)(c+a)}^2 ←[>>7] ≧ 4(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) ≧ 4abc(a+b)(b+c)(c+a) 参考 [>>11] (64/27)(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ [(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (64/81)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (64/27)(ab+bc+ca)^3 (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) と (16/81)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (16/27)(ab+bc+ca)^3 の大小も気になるでござる
151:１３２人目の素数さん
17/10/01 15:18:28.63 wkWWtqrc.net
>>142
> a, b, c≧0に対して、{(a+b)(b+c)(c+a)}^2 ≧ 4(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)
こんな不等式もあるでござるよ。
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
a, b, c≧0に対して、{(a+b)(b+c)(c+a)}^3 ≧ 64abc(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)
左辺に (a+b)(b+c)(c+a) が余分に掛かっているので、
AM-GMで (a+b)(b+c)(c+a) ≧8abc を試しに削ってみたら、
(a+b)(b+c)(c+a)}^2 ≧ 8(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)
無謀でござった…
152:１３２人目の素数さん
17/10/01 15:27:39.96 wkWWtqrc.net
>>141
一応、aの6次式を書いておく。
-------------------------------------------------------
対称性から a を最小数として、b = a+p、c = a+q (p, q ≧0)とおくと、
{(a+b)(b+c)(c+a)}^2 - 4(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)
= 32a^6 + 64(p+q)a^5
+ 40(p^2 + 3pq + q^2)a^4
+ 4(2p^3 + 17p^2q + 17pq^2 + 2q^3)a^3
+ 4pq(3p^2 + 8pq + 3q^2)a^2
+ 4p^2q^2(p+q)a + p^2q^2(p-q)^2
≧0
-------------------------------------------------------
153:１３２人目の素数さん
17/10/01 15:45:01.19 5dXe4Li1.net
>>141
a = A^(3/2)，b = B^(3/2)，c = C^(3/2）と置換えるでござるよ。
（A^5 -AA +3）-（2aa -2a +3)
=（A^5 -AA +3）-（2A^3 -2A√A +3)
= 2（3A^5 +4A√A -7A^3)/7 +（A^5 +6A√A -7AA)/7
≧ 0, （← AM-GM）
(A^5-AA+3)(B^5-BB+3)(C^5-CC+3)
≧（2aa-2a+3)(2bb-2b+3)(2cc-2c+3）≧ 9(aa+bb+cc） >>141
= 9(A^3 +B^3 +C^3),
Q.E.D.
154:１３２人目の素数さん
17/10/01 17:24:36.83 wkWWtqrc.net
>>147
なんと！ うまい方法があるものですね。かたじけのうござる。
155:１３２人目の素数さん
17/10/01 18:28:58.87 5dXe4Li1.net
>>141 から明らかだが…
s = a+b+c，t = ab+bc+ca，u = abc とおくと
（2aa-2a+3）（2bb-2b+3）（2cc-2c+3）- 9（aa+bb+cc）
= 2（s/3 -t +2u)^2
+（4/9）（ss-3t）
+（7/9）｛(2a-1)^2・(b-c)^2 +（2b-1)^2・(c-a)^2 +（2c-1)^2・(a-b)^2｝
+ 3（s-3)^2
+（34/9）（s-t)^2
≧ 0,
156:１３２人目の素数さん
17/10/01 19:43:50.52 5dXe4Li1.net
>>145
リンク先の解答：
｛(a+b)(a+c)}^2 =｛a(b+c）+（aa+bc)}^2 ≧ 4a(b+c)(aa+bc),
巡回的に掛ける。
（perfect_square，2012/Sep/19）
157:１３２人目の素数さん
17/10/01 23:40:32.50 wkWWtqrc.net
>>142
こんなのもあるみたい。
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
a, b, c≧0に対して、
(ab+bc+ca)(a^4+b^4+c^4) ≧ (9/8)(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) ≧ (ab+bc+ca){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}
158:１３２人目の素数さん
17/10/02 00:54:35.23 +8fPBhp3.net
>>146 は >>142 へのレス。
159:１３２人目の素数さん
17/10/02 01:25:53.50 4CFPUmbD.net
>>142
s，t，u で計算してSchurを考えれば
Lhs - Rhs -32uu =（st-u)^2 -4{(s^3)u -6stu +t^3 +16uu}
=［(s^3 -4st +9u)(t^3 -4stu +9uu)/uu + 3ss(tt-3su)/u + 3(tt/u)(ss-3t） + 9(st-9u)］uu/st
=［F_1･F_{-2｝+ 3ss F_{-1｝+ 3(tt/u)F_0 + 9(st-9u)］uu/st
≧ 0,
となり申す。ここに、
F_0 = ss-3t,
F_1 = s^3 -4st +9u,
F_{-1｝=（tt -3su)/u,
F_{-2｝=（t^3 -4stu +9uu)/uu,
160:１３２人目の素数さん
17/10/02 02:15:56.86 +8fPBhp3.net
>>153
おぉ！ Schurでやれたんですね。すんばらすぃ！
161:１３２人目の素数さん
17/10/02 02:36:12.34 +8fPBhp3.net
似たような式がたくさん出てきたので、まとめるナリ。
a, b, c≧0
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a)
△ = (a+b)(b+c)(c+a)
D = (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)
(1) (64/27)(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ △^2 ≧ {(8/9)(a+b+c)(ab+bc+ca)}
162:^2 ≧ {(4/3)(ab+bc+ca)}^3 (2) {(2/3)(a+b+c)}^3 ≧ △ ≧ 24abc(aa+bb+cc)/{(a+b+c)^2} (3) (1/512){(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)}^2 ≧ △ (4) △^2 ≧ 4D (5) △^3 ≧ 64abcD [1] (△/2)^2 ≧ D ≧ abc△ [2] {(△/4)^3}/(abc) ≧ D [3] (8/9)(ab+bc+ca)(a^4+b^4+c^4) ≧ D ≧ (8/9)(ab+bc+ca){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2} （参考）--------------------- (1) 第2章 136-138 (2) 第8章 687 (3) 第8章 469 (4) >>142 (5) >>145 [1] >>142 (証明>>153)、>>144上 [2] >>145 [3] >>151
163:１３２人目の素数さん
17/10/02 03:07:00.08 +8fPBhp3.net
>>151
右側をSchurで。左はできなかった。
9(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) - 8(ab+bc+ca){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}
= 9(s^3u - 6stu + t^3 + 8u^2) - 8t(t^2 - 2su)
= 9s^3u - 38stu + t^3 +72u^2
= tuF_{-1} + 8uF_1 + suF_0
= (u^2)F_{-2} + 7uF_1 + 2suF_0
≧0
164:１３２人目の素数さん
17/10/02 07:37:42.09 +8fPBhp3.net
>>155
[1], [3] の右辺について、D ≧ (8/9)(ab+bc+ca){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2} ≧ abc△
∵ Lhs-Rhs = (u^2)F_{-2} + 7tuF_{-1} ≧0
165:１３２人目の素数さん
17/10/02 08:05:49.34 +8fPBhp3.net
>>155
[1], [2] の左辺について、AM-GMより {(△/4)^3}/(abc) ≧ (△/2)^2 ≧ D
あとは (8/9)(ab+bc+ca)(a^4+b^4+c^4) と {(△/4)^3}/(abc) ≧ (△/2)^2 の大小ですな。
166:１３２人目の素数さん
17/10/02 08:10:02.16 +8fPBhp3.net
>>158
勘違いでした、すみません…
167:１３２人目の素数さん
17/10/02 09:26:50.65 +8fPBhp3.net
>>155
D ≦ {(△/4)^3}/(abc)
D ≦ (△/2)^2 ≦ (8/9)(ab+bc+ca)(a^4+b^4+c^4)
D ≧ (8/9)(ab+bc+ca){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2} ≧ abc△
上段と中段の右辺の大小は定まらない。
168:１３２人目の素数さん
17/10/02 12:05:28.97 +8fPBhp3.net
>>132、>>92
問題再掲
(1) a, b, c∈Rに対して、(a^8-a^2+3)(b^8-b^2+3)(c^8-c^2+3) ≧ (a^2+b^2+c^2)^3 [答>>132]
(2) a, b, c≧0 に対して、(a^5-a^3+3)(b^5-b^3+3)(c^5-c^3+3) ≧ 9(a^2+b^2+c^2) [答>>132]
(3) a, b, c≧0 に対して、(2a^-2a+3)(2b^2-2b+3)(2c^2-2c+3) ≧ 9(a^2+b^2+c^2) [答>>141]
(4) a, b, c≧0 に対して、(a^5-a^3+3)(b^5-b^3+3)(c^5-c^3+3) ≧ 9(a^2+b^2+c^2) [答>>147]
類題
(5) a, b, c≧0 に対して、(a^4-a+3)(b^4-b+3)(c^4-c+3) ≧ 9(a^3+b^3+c^3)
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
解法パターンも出尽くしたでござるかな？
169:１３２人目の素数さん
17/10/02 14:35:42.57 4CFPUmbD.net
>>161 の類題
リンク先の解答
(a^4 -a+3)^2 ≧ 3(a^6 +2),
(左辺)^2 ≧ 27(a^6 +2)(b^6 +2)(c^6 +2)
≧ 81(a^6 +b^6 +1)(1+1+c^6) (*)
≧ 81(a^3+b^3+c^3)^2 （コーシー）
*（a-1)(b-1）≧ 0 としても一般性を失わない。
（x-1)(y-1）=（a^6 -1)(b^6 -1）≧ 0,
(x+2)(y+2）= 3(x+y+1）+（x-1)(y-1）≧ 3(x+y+1),
〔系〕
n≧1 のとき
｛a^(3+n）-a^n +3}{b^(3+n) -b^n +3}{c^(3+n）-c^n +3｝≧ 9(a^3+b^3+c^3),
∵ ｛x^(3+n）- x^n｝ -｛x^4 -x｝= x(x^3 -1){x^(n-1) -1｝≧ 0,
170:１３２人目の素数さん
17/10/02 14:57:41.73 +8fPBhp3.net
忘れないうちにmemo。 何て発音するのか分からんけど。
【Turkevici's Inequality】
a, b, c, d ≧0
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + 2abcd ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (cd)^2 + (da)^2 + (ac)^2 + (bd)^2
171:１３２人目の素数さん
17/10/02 19:39:25.11 fUaxBEz1.net
>>92 >>138
>>161 の類題(5)
（a^4 -a+3)(b^4 -b+3)(c^4 -c+3）≧ 9(a^3 +b^3 +c^3),
を使うのが簡単でござったな。 >>162 〔系〕
>>153
△^2 ≧ 4D + 32(abc)^2,
>>155
[1］D ≧ abc･Δ
チェビシェフより
（aa+bc)(bb+ca）= a(a+c)･b(b+c）+（a+b)c･(a-b)^2 ≧ a(a+c)･b(b+c),
あるいは
（aa+bc)(bb+ca）= √(ab）c(a+b)^2 + ab{√(ab）-c}^2 +｛a^3 +b^3 -(aa+bb)√(ab)}c ≧ √(ab）c(a+b)^2,
を巡回的に掛ける。
>>163
リンク先の解答：
aa，bb ≧ cc ≧ dd としても一般性を失わない。
(左辺）-（右辺）=（aa-cc)^2 +（bb-cc)^2 +（aa-dd)^2 +（bb-dd)^2 - 2(ab-cd)^2
≧（aa-dd)^2 +（bb-dd)^2 - 2(ab-cd)^2
≧（1/2)(aa+bb - 2dd)^2 - 2(ab-cd)^2
≧ 2(ab-cd)^2 -2(ab-cd)^2
= 0,
（can_hang2007，2008/Nov/16）
172:１３２人目の素数さん
17/10/02 22:37:01.98 +8fPBhp3.net
>>164
> （a^4 -a+3)(b^4 -b+3)(c^4 -c+3）≧ 9(a^3 +b^3 +c^3),
> を使うのが簡単でござったな。 >>162 〔系〕
たしかに！ 言われるまで気づかなかったナリ。
173:１３２人目の素数さん
17/10/03 01:29:34.82 K9DRTZfC.net
>>162
（a^4 -a +3)^2 ≧ 3（a^6 +2),
（a^4 -a^3 +1)^3 ≧（a^9 +2)/3,
>>163-164
リ、リンクが無ゑ…
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
_5_lines_for_Turkevicis_inequality
174:１３２人目の素数さん
17/10/03 02:04:55.44 K9DRTZfC.net
>>166
略証（念のため）
（a^4 -a +3)^2 - 3（a^6 +2）=（a-1)^4（aa+a+1）（aa+3a+3）≧ 0,
（a^4 -a^3 +1)^3 - （a^9 +2)/3 =（a-1)^4（aa+a+1）（a^6 +（2/3）a^3 + 2aa + a + 1/3）≧ 0,
175:１３２人目の素数さん
17/10/03 04:09:48.40 zw7D2ND3.net
左辺が2次式のときに、こんなのがあるナリ。
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
x, y, z∈R、4b≧aに対して、
(x^2+ax+b)(y^2+ay+b)(z^2+az+b) ≧ {(4b-a^2)/3}^(3/2)*(x-y)(y-z)(z-x)
176:１３２人目の素数さん
17/10/03 05:03:25.92 zw7D2ND3.net
>>168
関連したもの
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
a, b, c∈R、t≧0に対して、
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ {(16√6)/9}*(a-b)(b-c)(c-a)
(a^2+t^2)(b^2+t^2)(c^2+t^2) ≧ {8t^3/(3√3)}*(a-b)(b-c)(c-a)
177:１３２人目の素数さん
17/10/03 07:43:51.44 zw7D2ND3.net
>>4
> for reals
> [1] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
> for nonnegarives
> [3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2
> [4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2
> [5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3)
>>70
> [1] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) ≧ 9(ab+bc+ca)
> [2] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 3(a+b+c)^2 ≧ 9(ab+bc+ca)
> [3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (2a+2b+2c-abc)^2
>>86
> (1) (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (ab+2)(bc+2)(ca+2)
> (2) (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (2√2)*(a+b)(b+c)(c+a)
> (3) (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 8*√{(a+b)(b+c)(c+a)}
>>101
> (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1/2)*(a+√2)(b+√2)(c+√2)(abc+2√2) ≧ 16abc√2
>>169
> a, b, c∈R、t≧0に対して、
> (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ {(16√6)/9}*(a-b)(b-c)(c-a)
> (a^2+t^2)(b^2+t^2)(c^2+t^2) ≧ {8t^3/(3√3)}*(a-b)(b-c)(c-a)
------------------------------------------------------
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)がらみ
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
a, b, c >0 かつ k≦4 に対して、
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ k(a^2+b^2+c^2) + (9-k)(ab+bc+ca)
リンク先の証明がよく分かりませぬ…
178:１３２人目の素数さん
17/10/03 09:02:24.33 zw7D2ND3.net
>>163-164
【A generalization of Turkevici’s inequality】
Prove that for any x1, x2, . . . , xn > 0 with product 1,
Σ[i<j] (x_i - x_j)^2 ≧ Σ[i=1 to n] x_i^2 - n
（リンク先URKが長くて書込み拒否された）
>>166
> リ、リンクが無ゑ…
エスパーかよｗ
179:１３２人目の素数さん
17/10/03 09:29:49.83 zw7D2ND3.net
>>164
> リンク先の解答：
> aa，bb ≧ cc ≧ dd としても一般性を失わない。
> 2{(左辺）-（右辺）}
> =（aa-cc)^2 +（bb-cc)^2 +（aa-dd)^2 +（bb-dd)^2 - 2(ab-cd)^2
> ≧（aa-dd)^2 +（bb-dd)^2 - 2(ab-cd)^2 …(1)
> ≧（1/2)(aa+bb - 2dd)^2 - 2(ab-cd)^2 …(2)
> ≧ 2(ab-cd)^2 -2(ab-cd)^2 …(3)
> = 0,
(1) は （aa-cc)^2 +（bb-cc)^2を捨てて、
(2) は （aa-dd)^2 +（bb-dd)^2 - （1/2)(aa+bb-2dd)^2 = (1/2)(aa-bb)^2 ≧0
(3) は aa+bb ≧2ab、-dd ≧-cd
c≧dしか使っていないようなハロゲンガス…
180:１３２人目の素数さん
17/10/03 09:33:53.73 zw7D2ND3.net
>>172
ごめん、書いた後で気づいた。（焼き土下座AA略）
カッコの中 aa+bb-2dd が負になって、２乗したら大きくならないために必要なんですね。
181:１３２人目の素数さん
17/10/03 12:20:07.14 zw7D2ND3.net
[Old and New Inequalities, Q,74]
a, b, c >0 に対して、a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 3 ≧ (1+a)(1+b)(1+c)
182:１３２人目の素数さん
17/10/03 14:09:57.63 v6f7ZU4g.net
>>147
まずその不等式を使おうと思わないでござる
>>162
(a^4 -a+3)^2 ≧ 3(a^6 +2)
何乗かすれば必ずヘルダーが使えそうな形に持っていけるのだろうか
たまたまできただけなのか
183:１３２人目の素数さん
17/10/03 14:20:56.35 K9DRTZfC.net
>>169
(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧（8/3)^(3/2）(a-b)(b-c)(c-a）=（8/3)^(3/2）⊿
a = √(8/3)(A + 1/2）とおくと
aa+2 =（8/3)(AA+A+1)，
184:（a-b）= √(8/3)(A-B)，etc. ゆえ、次式と等価（arqady，2017/July/27） （AA+A+1)(BB+B+1)(CC+C+1）≧（A-B)(B-C)(C-A）= ⊿, (略証) Lhs - Rhs =（1/3){(AA+A+1)xx +（BB+B+1)yy +（CC+C+1)zz｝+（1/6){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2｝≧0, ここに x = BC+B+1，y = CA+C+1，z = AB+A+1, とおいた。（szl6208，2017/July/28）
185:１３２人目の素数さん
17/10/03 18:13:23.62 K9DRTZfC.net
>>170 下
（A-1)(B-1）≧1 としても一般性を失わない。（WithOut Loss of Generality)
ABC ≧（A+B-1)C を使うナリ。
k=4 で成り立てば 0≦k≦4 でも成り立つ。
(2+aa)(2+bb)(2+cc) - 4(aa+bb+cc) -5(ab+bc+ca)
= 8 -5(ab+bc+ca) +2(aabb+bbcc+ccaa) + (abc)^2 （← ab,bc,caの式）
= 8 -5(A+B+C) + 2(AA+BB+CC) + ABC
≧ 8 -5(A+B) + 2(AA+BB) - (6-A-B)C + 2CC （→ Cで平方完成）
=｛7(A+B-2)^2 + 8(A-B)^2 + (6-A-B-4C)^2}/8
≧ 0,
ここに A=bc，B=ca，C=ab とおいた。（red3，2011/Apr/10）
186:１３２人目の素数さん
17/10/03 18:38:16.19 K9DRTZfC.net
>>174
Q.74
これも同様に
abc ≧ (a+b-1)c により2次式に sage て平方完成でござるな。
(aa + bb + cc + 2abc + 3) - (1+a)(1+b)(1+c)
≧aa + bb + cc -ab -a -b -2c +2
={(a+b-2)^2 + (a-b)^2 + 4(c-1)^2}/4
≧ 0,
>>177 訂正
（A-1)(B-1）≧0 でござった。（AA略）
187:１３２人目の素数さん
17/10/03 19:05:30.70 zw7D2ND3.net
>>177
> （A-1)(B-1）≧1 としても一般性を失わない。（WithOut Loss of Generality)
ありがたや！
A,B,Cのうちの少なくとも２つは１以上か１以下、鳩の巣原理でござるか？
>>178
発音の難しい不等式（Turkevici） ＋ AM-GMでござる。
188:１３２人目の素数さん
17/10/03 19:41:43.70 K9DRTZfC.net
>>171
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
_generalization_of_Turkevici_inequality
と同じでござるか。（manlio，2004/Apr/24）
f " > 0 のとき
（n-2)Σ[k=1,n］f(a_k）+ n f((a_1+…+a_n)/n）≧ 2Σ[1≦i<j≦n］f((a_i+a_j)/2),
を使うらしいが…（Imht，2016/Nov/11）
>>178 訂正
= {(a+b-2)^2 + ３(a-b)^2 + 4(c-1)^2}/4
≧ 0,
189:１３２人目の素数さん
17/10/04 13:47:45.14 qBSU59BI.net
>>174
Turkevici's Inequality (>>163) の a,b,c,d を √a, √b, √c, 1 に置き換えて、
T ：= a^2 + b^2 + c^2 + 1 + 2√(abc) - (ab+bc+ca + a+b+c) ≧ 0
a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 3 - (1+a)(1+b)(1+c)
= T + {1-√(abc)}^2
≧0
190:１３２人目の素数さん
17/10/04 18:18:46.95 lC7ztqKn.net
>>175
x=1 のまわりでティラー展開すると、
｛x^(n+1/2+r）- x^(n+1/2-r）+ 2r}^n -（1/3)(2r)^n･{x^(3n）+ 2}
= (n/24)(2r)^n･{(2n-3)^2 + 4rr -10}(x-1)^3
+｛n(n-1)/12}(2r)^n･(7nn-11n+4rr-1)(x-1)^4
+ O((x-1)^5)
∴（2n-3)^2 + 4rr -10 = 0,
n=2 のとき r=3/2，（a^4 -a +3)^2 ≧ 3(a^6 +2),
n=3 のとき r=1/2，（a^4 -a^3 +1)^3 ≧（1/3)(a^9 +2),
なお、4乗の係数は
7nn-11n+4rr-1 =（3n+1)n +｛(2n-3)^2 + 4rr -10｝=（3n+1)n > 0.
191:１３２人目の素数さん
17/10/05 01:05:50.43 bWqoEeDi.net
>>182 は
〔補題〕
1 < n <（3+√10)/2，2r =√{10 -（2n-3)^2｝のとき
｛x^(n+1/2+r）- x^(n+1/2-r）+ 2r}^n ≧（1/3)(2r)^n･{x^(3n）+ 2},
の略証でござる。
192:１３２人目の素数さん
17/10/05 03:28:31.90 bWqoEeDi.net
>>164 >>172
ab+cd = p，cc+dd = q とおくと、
Lhs - Rhs
= pp + qq -4ccdd +（aa-bb)^2 -（aa+bb)q
= pp + qq -2pq +2cd(q-2cd）+（aa-bb)^2 -（a-b)^2･q
=（p-q)^2 + 2cd(c-d)^2 +（a-b)^2･｛(a+b)^2 -q｝≧ 0,
（In-seok Seoの解，KMO winter program)
（a+b)^2 ≧ q =
193:cc+dd しか使ってねゑ…
194:１３２人目の素数さん
17/10/05 04:08:19.96 bWqoEeDi.net
>>163
Turkeviciの改良版でござる。
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + 2abcd
≧ ab(aa+bb)/2 + ac(aa+cc)/2 +ad(aa+dd)/2 +bc(bb+cc)/2 +bd(bb+dd)/2 +cd(cc+dd)/2
≧ aabb + aacc + aadd + bbcc + bbdd + ccdd,
Lhs - Rhs =｛2 F_2(a,b,c）+ d F_1(a,b,c)}/6 + cyclic ≧ 0,
（darij grinberg，2006/Feb/04）
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
_stronger_than_Turkevici's_inequality
195:１３２人目の素数さん
17/10/06 01:06:47.71 Ftw4WKLG.net
>>171 >>180
nについての帰納法による。
a_n = x を最小の要素としてもよい。
s' =（a_1,…,a_{n-1｝の AM）
t' =（a_1,…,a_{n-1｝の GM）
とおくと
s' ≧ t' ≧ x,
Lhs - Rhs = f(a_1,…,a_{n-1},x)
= f(t',･･･,t'，x）+ f(a_1,…,a_{n-1}）+ Σ[k=1,n-1]（a_k -x)^2 -（n-1)(t'-x)^2
≧ f(t',･･,t'，x）+ f(a_1,…,a_{n-1}）+（n-1)(s'-x)^2 -（n-1)(t'-x)^2
= f(t',･･,t'，x）+ f(a_1,…,a_{n-1}）+（n-1)(s'+t'-2x)(s'-t')
≧ f(t',･･,t'，x） （←帰納法の仮定、s'≧t'≧x）
=（n-1){(n-1)t't' + xx｝+ n･{x･t'^(n-1)}^(2/n）-｛(n-1)t' + x}^2
=（n-2)xx + n･[x･t'^(n-1)]^(2/n）- 2(n-1)t'x
≧ 0, （← AM-GM)
（harazi，2004/Apr/29）
>>183
略証とまでは言えねゑ…
196:１３２人目の素数さん
17/10/09 16:35:49.31 NEWgEIva.net
［2005 Uzbekistan National Olympiad］
a,b,cを三角形の3辺,a+b+c=2のとき、
1+abc＜ab+bc+ca≦28/27+abc
を示せ
197:１３２人目の素数さん
17/10/09 18:48:59.21 AAcQM4kG.net
>>186
n=3 のときは
Lhs - Rhs = 2(aa+bb+cc) +3GG -(a+b+c)^2
= aa+bb+cc -2ab -2bc -2ca +3GG
≧ A^3 + B^3 + C^3 -AB(A+B）-BC(B+C）-CA(C+A）+3ABC
= F_1(A,B,C)
≧ 0,
ここに、A=a^(2/3)，B=b^(2/3)，C=c^(2/3）とおいた。
>>187
8(Mhs - Lhs）
= 4(a+b+c)(ab+bc+ca) -（a+b+c)^3 + 8abc
=（a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
＞ 0,
abc ≦｛(a+b+c)/3}^3 = 8/27, （← AM-GM)
Mhs = ab+bc+ca ≦｛(a+b+c)^3 + 9abc}/{4(a+b+c)｝= 1 +（9/8)abc ≦ Rhs,
198:１３２人目の素数さん
17/10/10 00:15:49.75 h4u4sSCs.net
>>180
n=4 の場合の略証
x1 ≧ x2 ≧ x3 ≧ x4 としてよい。
m =（x1+x2+x3+x4)/4 とおく。
・ x1+x4 ≧ x2+x3 のとき
（x1，m，m）majorizes（(x1+x2)/2，(x1+x3)/2，(x1+x4)/2)
（x2，x3，x4）majorizes（(x2+x3)/2，(x2+x4)/2，(x3+x4)/2)
∴Karamata により
f(x1）+ f(m）+ f(m）≧ f((x1+x2)/2）+ f((x1+x3)/2）+ f((x1+x4)/2),
f(x2）+ f(x3）+ f(x4）≧ f((x2+x3)/2）+ f((x2+x4)/2）+ f((x3+x4)/2),
辺々たす。
・ x1+x4 ≦ x2+x3 のとき
（x1，x2，x3）majorizes（(x1+x2)/2，(x1+x3)/2，(x2+x3)/2)
（m，m，x4）majorizes（(x1+x4)/2，(x2+x4)/2，(x3+x4)/2)
∴Karamata により
f(x1）+ f(x2）+ f(x3）≧ f((x1+x2)/2）+ f((x1+x3)/2）+ f((x2+x3)/2),
f(m）+ f(m）+ f(x4）≧ f((x1+x4)/2）+ f((x2+x4)/2）+ f((x3+x4)/2),
辺々たす。
文献[3］大関，p.125-126
文献[8］安藤「不等式」，p.10-11
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
〔一般化された Turkevici不等式〕
(n-1){(a_1)^2 + … +（a_k)^2｝+ nGG ≧（a_1 + … + a_n)^2,
ここに G =（a_1･a_2 … a_n)^(1/n),
n=2 等号
n=3 >>188
n=4 >>164 下， >>184-185
n≧5 nについての帰納法 >>186
199:１３２人目の素数さん
17/10/10 02:08:31.45 7jpvSrE2.net
[エレ解 1991-11]
任意の x>0 に対して、a^x + a^(1/x) ≦ a^(x + 1/x) が成り立つための正の数 a の条件を求めよ。
200:１３２人目の素数さん
17/10/10 02:18:14.50 7jpvSrE2.net
[エレ解 2013-10]
自然数 n≧2、C[n, k] は二項係数とする。
(1) Σ[k=1 to n] (-1)^(k+1) C[n, k] {1/(n^2)}^k < 1/n
(2) Σ[k=1 to n] C[n, k] {1/(n^2-1)}^k > 1/n
(
201:3) Σ[k=1 to 2n] C[2n, k] {1/(n^2-1)}^k > 2/(n-1)
202:１３２人目の素数さん
17/10/10 08:01:04.60 h4u4sSCs.net
>>190
F(x）= Rhs - Lhs = a^(x+1/x）- a^x - a^(1/x)
とおく。
0<a≦1 ならば
F(x）=（1 - a^x){1 - a^(1/x）｝- 1 < 0,
題意より a>1 に限られる。
F '(x）= log(a）｛(1 -1/xx）a^(x+1/x）-a^(x）+（1/xx)a^(1/x)}
= log(a）a^(x+1/x）｛1 -1/xx -a^(-1/x）+（1/xx)a^(-x)}
= log(a）a^(x+1/x）｛g(1/x）- g(x)}/x,
y = a^(-x）は下に凸ゆえ、g(x）=｛1 - a^(-x)}/x はxについて単調減少。
∴ F '(x）および g(1/x）- g(x）は、x-1 と同符号。
∴ F(x）は x=1 に極小値 F(1）= a(a-2）をもつ。
以下、F(1）だけ見れば十分。
題意を満足する aの下限は 2
往年の数学者「ビブンのことはビブンせよ。」
最近の数学者「ビブン・セキブン・いいキブン」
203:１３２人目の素数さん
17/10/10 11:09:03.78 7jpvSrE2.net
a,b,c,d>0に対して、
(a+b)^3 (b+c)^3 (c+d)^3 (d+a)^3 ≧ 16(abcd)^2 (a+b+c+d)^4
出題元は a,b,c>0 となっているが…
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
不等式は代数幾何？ 僕は大好き。
204:１３２人目の素数さん
17/10/10 19:13:50.79 h4u4sSCs.net
>>192
補足
xx{h(x)/x} ' = x h '(x）- h(x）= ∫[0,x] t h"(t）dt - h(0),
>>193
Problem 116（Crux Mathematicorum)
リンク先の解答：
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a）= su +（ac-bd)^2 ≧ su,
ここで基本対称式を
s = a+b+c+d,
u = abc+bcd+cda+dab,
v = abcd,
とおいた。
これらの間にはMcLaurinの不等式
2t/3s ≧ 3u/2t ≧ 4v/u（=HM),
が成立つ。tを消すと
u/s ≧（4v/u)^2,
∴（su)^3 ≧16 v^2 s^4.
（Pain rinnegan，2009/Oct/11）
205:１３２人目の素数さん
17/10/11 23:37:21.40 PBLxDg/9.net
>>193
>>107 (1）でござったか。
ac+bd = p，ad+bc = q，ab+cd = r とおく。
(a+b)(c+d）= p+q,
(b+c)(d+a）= p+r,
su-4v = pq+qr+rp,
よって
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)
=（p+q)(p+r)
= pp +（suｰ4v)
= su +（pp-4v)
= su +（ac-bd)^2
≧ su, >>108 と同じだ...
206:ル．ヌー
17/10/12 00:23:05.21 Hbkmuqaq.net
a∈Cに対して、f(z)=e^(１/(z－a)),z∈C\{a}において、aに収束する点列ａn∈Ｃ\{a}で lim n→∞ f(ａn)=+∞ となるものを見出せ。
の解答をお願い致します。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:ae2afb6cd11f3e92f5cd12f037b4c3ac)
207:１３２人目の素数さん
17/10/12 13:47:20.72 IVBPcmrA.net
>>196
a_n = a + (1/n)
とかでいいんじゃね？
【考え方】
Cの上では exp はふにょふにょしてる事に注意しよう．
exp がシュッとでかくなるのは引数が実のときだけ．
だから 1/(a_n -a) が n:large に対してでかい実数になるように
すればいい．1/ｘは右から近づくと＋∞，左から近づくと-∞
なんで a_n - a が実数になるようにしつつ a に右から近づけばいい．
208:197
17/10/12 17:30:14.91 IVBPcmrA.net
（失礼
209:しました．質問スレと間違えて返事してしまいました）
210:ル．ヌー
17/10/12 19:20:14.61 Hbkmuqaq.net
f(z)=z/sinz,z∈Cにおいて,
(1) z=0はf(z)の除去可能特異点であることを示せ。
(2) f(z)の極をすべて求めよ、また、極での留数を求めよ。
(3) z=0まで定義域を拡大したf(z)のz=0におけるマクローリン展開の2次の項までを求め よ。
(1).(2).(3)の解答をお願い致します。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:ae2afb6cd11f3e92f5cd12f037b4c3ac)
211:１３２人目の素数さん
17/10/12 19:36:02.98 Hbkmuqaq.net
f(z)=z/sinh z,z∈Cにおいて
(1) f(z)はC上正則であることを示せ。
(2) z=0はf(z)の除去可能特異点であることを示せ。
(3) z=0まで定義域を拡大したf(z)のz=0におけるマクローリン展開の2次の項までを求めよ。
(1).(2).(3)の解答をお願い致します。
212:１３２人目の素数さん
17/10/12 19:44:24.75 Cwow0r6+.net
>>199
ここは質問スレじゃないぞ。
213:１３２人目の素数さん
17/10/12 19:46:08.43 Cwow0r6+.net
第９章で初めての荒らしかな。
214:１３２人目の素数さん
17/10/12 23:48:07.31 saIb7jMi.net
>>191
(1）１-（1 - 1/nn)^n < 1/n,
(2）｛1 + 1/(nn-1)}^n > n/(nn-1）> 1/n,
(3）｛1 + 1/(nn-1)}^(2n）-1 =｛nn/(nn-1)}^(2n）-1
=｛1/(1-xx)}^(2/x）-1 >（1+x)/(1-x）-1 = 2x/(1-x）= 2/(n-1),
*) 2log(1-xx）+ x･log{(1+x)/(1-x)}
=（2+x)log(1+x）+（2-x)log(1-x)
= -∬[0,x］｛2t/(1-tt)}^2 dt < 0,
より （1-xx)^(2/x）<（1-x)/(1+x),