17/08/27 15:57:05.66 zRWCekrT.net
>>116の続き
多項式としての0には零写像としての0が対応し多項式
としての1には恒等写像としての1が対応するから準同
型であって全単射だから同型である
環の同型Ｃ_n[x]≅LD(C^n(Ω), C(Ω))を与える準同型写
像p(x)→p(d/dx)の核はC^n(Ω)であるから環の準同型定
理より
Ｃ_n[x]/C^n(Ω)≅C(Ω)
が言える
∀y_0:初期値, ∃y∈C^n(Ω), p(d/dx)y＝0
⇒ ∃x∈Ｃ, p(x)＝0
これは
∀x∈Ｃ, p(x)≠0
⇒ ∃y_0:初期値, ∀y∈C^n(Ω), p(d/dx)y≠0
と同値である
もし ∃y_0:初期値, ∀y∈C^n(Ω), p(d/dx)y＝0 であれば
Ｃ_n[x]≅LD(C^n(Ω), C(Ω))
かつ
Ｃ_n[x]/C^n(Ω)≅C(Ω)
より
∀x∈Ｃ, p(x)＝0 でなければならない
ゆえに ∃x∈Ｃ, p(x)＝0
証明終了