17/09/11 12:27:46.09 DwdMHImO.net
>>941
このやり方に不満があるなら、より小さい次数の最小多項式 f(X) があったとして、
f( tan(1°) ) を計算して、有理数体Q上線型独�
960:ｧなベキ根についての線型代数の問題に帰着させればいい。
961:１３２人目の素数さん
17/09/11 15:50:26.40 JgHCy0pJ.net
和算の問題です。
大円1個、中円1個、小円2個あります。
大円に1点で中円が接し、小円は、中円と大円にそれぞれ接して
います。
いま大円の面積より、中円と小円の面積を引いた残りが
120で、中円と小円の径の差が5の時、大円、中円、小円の
半径はいくつでしょう。
962:１３２人目の素数さん
17/09/11 20:01:58.78 afSTrbh7.net
>>936
30より小さいんだから48はもちろん不正解
>>938
体論使えばもっとすぐに言えます
大ヒントとしてまず
Q(tan1°,i)=Q(e^(πi/90))を示します
963:１３２人目の素数さん
17/09/11 20:03:00.50 afSTrbh7.net
あとはQ(tan1°)のQからの拡大次数を求めればいいだけ
964:１３２人目の素数さん
17/09/11 20:37:52.72 tiqmnpO+.net
「30」と「48」が出てるんだから、tan1°の最小多項式の次数を d とすれば、
d は 30 と 48 を割り切るので、d＝1,2,3,6 に絞られる。
このあとどうするかは知らんが、
泥臭く確かめていくだけでも何とかなるんじゃないの。
965:１３２人目の素数さん
17/09/11 20:42:03.50 tiqmnpO+.net
いや、多項式が多項式で割り切れても、
次数が次数で割り切れることにはならんか
>>946は撤回。すまん
966:１３２人目の素数さん
17/09/11 21:59:48.93 UigVogsj.net
>>942
>f( tan(1°) ) を計算して
0
967:１３２人目の素数さん
17/09/12 02:36:16.24 UWqvzo4B.net
>>948
すぐ分かる書き間違いは指摘しなくていい。
f( tan(1°) )＝0 は当たり前。
968:１３２人目の素数さん
17/09/12 04:38:33.30 YsdDbYfo.net
>>938
「tan(1ﾟ）は3次方程式 t^3 -3ct^2 -3t +c =0（c=0.05240778…）の根だよ。」
「cって何？」
「c は3次方程式 c^3 -3dc^2 -3c +d =0（d=0.15838444…）の根だよ。」
「dって何？」
「d は2次方程式 d^2 +（2/e)d -1 =0（e=0.3249197…）の根だよ。」
「eって自然対数の底？」
「いや、4次方程式 e^4 -2e^2+（1/5）=0 の根（√{1-√(4/5)}）だよ。」
「てぇことは、tは72次方程式の根ぢゃね？」
969:１３２人目の素数さん
17/09/12 07:26:55.13 3wN9Amg+.net
>>949
では証明を
970:１３２人目の素数さん
17/09/12 08:09:52.83 UWqvzo4B.net
>>951
tan(1°)は代数的無理数である。よって、>>942に注意すると、或る自然数 n≧2 が存在して、
f(X) は tan(1°) についてのn次の有理係数の最小多項式となる。
定義から、f(X) は tan(1°) を根に持つから、f( tan(1°) )＝0。
971:１３２人目の素数さん
17/09/12 08:19:30.36 UWqvzo4B.net
>>944-945
まあ、皆様で最小多項式の次数については考えて下さい。
興味があったのは、(tan(1°))^20 が代数的無理数であることを示す方法の方でしたから。
972:１３２人目の素数さん
17/09/12 08:43:46.27 3wN9Amg+.net
>>952
最小であることの証明
973:１３２人目の素数さん
17/09/12 08:53:14.83 UWqvzo4B.net
>>954
まだ最小次数は見つけていないし、昨日行った私のやり方では
泥臭い式が沢山出て来た。昨日の方法はここに書く気がない。
最小性の証明は皆様でやって頂きたい。
974:１３２人目の素数さん
17/09/12 09:54:47.56 UWqvzo4B.net
>>954
>>955の最小次数は次数な。
まあ、昨日のやり方を整理して少しは簡潔にするというかきれいにすることは出来るが、
それでも汚い式が沢山出て来ることは避けられない。
975:１３２人目の素数さん
17/09/12 09:57:47.46 UWqvzo4B.net
一応、有理係数の最小多項式 f(X) の次数のことな。
976:１３２人目の素数さん
17/09/12 14:34:59.66 +ocRKCRob
URLﾘﾝｸ(www.fastpic.jp)
URLﾘﾝｸ(www.fastpic.jp)
977:１３２人目の素数さん
17/09/12 15:55:29.56 YsdDbYfo.net
>>952-957
H大の人でつか？
R学部はプラセボ薬で儲けた人の研究所を引き継いだプラセボ学部ですよ。
978:１３２人目の素数さん
17/09/12 16:05:04.18 YsdDbYfo.net
>>959
プラセボというのは、理解できないけれども、何らかの効果はあり得るってことです。
全知全能の人なんていませんからね。
979:１３２人目の素数さん
17/09/12 17:15:36.98 UWqvzo4B.net
>>959-960
>>959の方を国語で書きましょう。
H大？ R学部？ 何だそれ。
980:１３２人目の素数さん
17/09/13 06:01:40.42 KCTM05Fh.net
>>155
亀レスだがこれ簡単な仕方がある
A_0が入ってる立方体を更に細かくして、一辺a/2の小立方体（とよぶ）8つとみなす。
すると、1つの小立方体には2つの頂点に原子が位置している。
だから、各小立方体のうち半分づつがD_0になる。
(1/8)a^3×(1/2)×8=a^3/2
まあカルマの解法を多少精密に説明し直しただけだが、これで数学的には十分だろう。
小立方体内でD_0とD_0じゃないとこの境界面は正六角形になることは知っておくとよいが、それはこの際使ってないや。
981:１３２人目の素数さん
17/09/13 06:11:59.92 KCTM05Fh.net
簡単な理解の仕方、というべきか（勿論、数学的正確さも保っての）
982:１３２人目の素数さん
17/09/13 07:24:47.26 KCTM05Fh.net
問題
θ_n=2π/n
ζ_n=cosθ_n+√(-1)sinθ_n
p:奇素数
tanθ_p と √-1 と有理数を有限回加減乗除して ζ_(4p) をつくれ
983:１３２人目の素数さん
17/09/13 11:06:34.36 yzVhvrGO.net
>>155
有名だからわざわざ書くまでもない気が
するが、一応書いておきます。
どの原子に着目しても、
その原子から見た他の原子の配置は同じ。
立方体の中心にある原子たちを結べば
新たな立方格子が得られ、
元の立方体の頂点の原子たちは、
新たな立方体の中心に位置するからである。
換言すれば、この無限に広がる格子は、
ある原子を他の原子に重なるような
平行移動に関する対称性を持つ。
したがって、着目した原子が最も近い原子で
あるような空間内の点の集合である領域は、
どの原子に関しても合同である。
1 つの立方体には、各頂点に計 8 個、
中心に 1 個の原子が属する。
各頂点の原子は、同時に 8 つの立方体に
属するから、1 つの立方体への寄与は
原子の数で計 (1/8)*8 = 1 個分。
中心の原子はその立方体にのみ属するから、
寄与は原子 1 個分。
よって、ある立方体（体積 a^3）には
原子 2 個が属していると考えられるから、
原子 1 個あたりの寄与は (a^3)/2。
これが求める体積である。
984:１３２人目の素数さん
17/09/13 11:26:55.28 yzVhvrGO.net
立体の形を考えるのも楽しいと思う。
すぐ上にあるけど、正六角形8枚と
正方形6枚からできる準多面体。
985:１３２人目の素数さん
17/09/13 11:28:44.32 yzVhvrGO.net
>>966
図示してみると、
これで体積が (a^2)/2 なのか！
と、少し驚くかも。
（もっと大きいように見える）
986:１３２人目の素数さん
17/09/13 11:36:29.24 COj91p3j.net
>>965
なるほど
987:１３２人目の素数さん
17/09/15 04:32:42.05 kh+vJCky.net
>>964
作らなきゃしょうがねぇな...
pは奇数だから、pp-1 は 8の倍数。
pp -1 = 8m,
一方
p ≡ ±1 （mod 4）ゆえ
pp ≡ ±p mod（4 p)
よって
±p -1 ≡ 8m （mod 4p)
ζ_(4p）=（ζ_4）^(±1)･｛ζ_(4p)}^(-8m）=｛√(-1)}^(±1)･｛ζ_(4p)^(-8)}^m,
また、
｛ζ_(4p)}^(-8）=（ζ_p)^(-2）=｛1 - √(-1）tan(θ_p)}/{1 + √(-1）tan(θ_p)},
かな。
*
988:定義より ｛ζ_(4p)}^p = ζ_4 = √(-1)，｛ζ_(4p)}^4 = ζ_p,
989:１３２人目の素数さん
17/09/15 16:27:01.57 zJaCTJCL.net
>>931を少し改題
【問題】
とある島にn台の同じ飛行機がある。これら全部の飛行機が目標となる別の島に行くことを考える。
飛行機は燃料を満タンにすると1単位距離を飛べる。このとき飛行機は一定速度で飛び、燃料は一定割合で消費する。
また、両方の島には燃料やパイロットが十分そろっており、燃料給油は即座に行うことができる。
この燃料給油は地上給油だけでなく、飛行機から飛行機への空中給油も可能である。
目標となる島までの最大距離D_nを求めよ。また、lim[n→∞]D_nを求めよ。
990:１３２人目の素数さん
17/09/15 17:06:40.58 LiOs3mOD.net
日本語がおかしい
991:１３２人目の素数さん
17/09/16 02:25:36.87 SrzKiM05.net
>>931 >>970
飛行機がn機あるとき
飛行機 p_1 ～ p_n が一斉に飛び立ち、その後 1/(n+1）距離単位進む毎に、１機が残り全機に 1/(n+1）ずつ空中給油したのち引き返す。
給油された直後は満タンになる。
最後に残ったp_n は（n-1)/(n+1）距離単位で満タンになった後、１距離単位を飛んで、 D_n = 2n/(n+1）距離単位に到達する。
これでp_nは渡ることができました。
残りの n-1 機も首尾よく渡れるでしょうか？（つづく）
992:１３２人目の素数さん
17/09/16 02:53:30.40 dpWpE9hD.net
>>969
正解！ うまいね！
こちらが最初に考えた解法は長すぎた。
[step 1]
2k≡1 (mod p) なる正整数kを用いると
tan(kθ_p)=tan(2kπ/p)=tan(π/p)=tan(θ_2p)
tanのk倍角公式は加法定理を繰り返すことで得られ、有理式。
即ちある有理式F(x)があって
tan(θ_2p)=tan(kθ_p)=F(tan(θ_p))
cosθ_p=2cos^2(θ_2p)-1
=2/{1+tan^2(θ_2p)}-1
=2/{1+F(tan(θ_p))^2}-1
[step 2]
ζ_p=(cosθ_p)(1+√(-1)tanθ_p)
[step 3]
整数a,bがあり 4a+pb=1 だから
ζ_(4p)=(ζ_4)^b(ζ_p)^a=(√-1)^b(ζ_p)^a
993:１３２人目の素数さん
17/09/16 03:06:34.40 SrzKiM05.net
>>931 >>970
k機目
こちら側に（n+1-k）機、向こう側に k-1 機ある。
こちらの（n+1-k）機は一斉に離陸し、
1/(n+1）、2/(n+1）、…、（n-k)/(n+1）距離単位で 1/(n+1）ずつの空中給油を受け、 （←お見送り）
次に１距離単位を飛び、
（2n+1-k)/(n+1）、･･･、（2n-1)/(n+1）距離単位で 1/(n+1）ずつの空中給油を受け、 （←お出迎え）
D_n = 2n/(n+1）距離単位に到達する。
994:１３２人目の素数さん
17/09/16 03:37:50.57 SrzKiM05.net
>>974
2機目以後はチョト怖いですな。
お見送りの方はともかく、お出迎えのタイミングが少しでも遅れると即ガス欠ですからな。
「疾風」とか「桜花」（Baka bomb）なんかで逝くんですかね。
995:１３２人目の素数さん
17/09/16 18:56:31.60 qW9gqsGC.net
cos(n°)が√と有理数の四則演算で表すことのできる自然数nを全て求めよ
996:１３２人目の素数さん
17/09/16 19:37:11.16 TT0KDfsj.net
二乗根のみ？
997:１３２人目の素数さん
17/09/16 22:11:40.58 dpWpE9hD.net
二乗根のみだとすれば
0＜n＜360 として
正 360/gcd(360,n) 角形の作図可能性に言い換えられるんじゃない？
998:１３２人目の素数さん
17/09/16 22:42:35.69 dpWpE9hD.net
gcd(360,n)=2^a 3^b 5^c なら
360/gcd(360,n)=2^(3-a) 3^(2-b) 5^(1-c) だから
作図可能 ⇔ (2-b≦1 and 1-c≦1) ⇔ 1≦b
つまり
nが3の倍数ならOK
nが3の倍数でなければNG
かな
999:１３２人目の素数さん
17/09/16 22:43:06.92 +ReladGy.net
四則演算を有理数にしか行ってはならないとすると著しくハードルが高いなw
1000:１３２人目の素数さん
17/09/17 01:49:08.82 k/sLYgaV.net
>>978
同値？なんで？
1001:１３２人目の素数さん
17/09/17 04:28:02.24 jHNAUDtd.net
あかさたなはまやらわ
あかさたなはまやらわ
1002:１３２人目の素数さん
17/09/17 05:23:20.46 8YPByAqq.net
>>974
k機目は
1/(n+1）ぢゃなくて 1/(n+2-k）になる希ガス。
1003:１３２人目の素数さん
17/09/17 13:31
1004::14.62 ID:CVP8DIfe.net
1005:１３２人目の素数さん
17/09/17 13:33:36.65 k/sLYgaV.net
>>984
>⇔(1,0),(cost,sint)を頂点にもち単位円に内接する正k角形(k≧1)でkが最小のもの(あれば)の頂点が全て作図可能
ここは同値？
1006:１３２人目の素数さん
17/09/17 17:58:13.10 zcDc08fE.net
自力ではまだ解決できてないけど一応投稿しておくことにする
次の条件を全て満たす実数αは存在するか：
･αは無理数
･αを3進展開しても4進展開しても、各桁には0または1しか現れない
1007:１３２人目の素数さん
17/09/17 19:00:02.49 yQpGxA+8.net
数論の問題は簡単に作れる割に面白いものは滅多に見つからない
1008:１３２人目の素数さん
17/09/17 23:09:11.03 CVP8DIfe.net
>>985
(cost,sint)が作図可能なら
整数mに対する(cosmt,sinmt)は作図できる
t(弧度法):2π が有理数比
(⇔ t(度数法):360 が有理数比)なら
{(cosmt,sinmt)|m∈Z}は有限個の点しかもたず、かつ円周上に等間隔に並ぶ。これが正多角形の頂点。
具体的にはt/2πを既約分数で表したらその分母が点の数。
無理数比なら
{(cosmt,sinmt)|m∈Z}は無限個の点をもち、正多角形を考えられない
1009:216
17/09/21 10:06:50.45 KRTMaobw.net
>>216の(4)
aa/(2abb-bbb+1)が自然数となるような自然数の組
【解答】
aa/(2abb-bbb+1)が自然数nになるとする。
(I) b=1のとき
(与式の分母)=2aで偶数だから、(与式の分子)=aaも偶数。よってaは偶数。
自然数kを用いてa=2kとおける。
(II) b≧2のとき
aa-(2bbn)a+((bbb-1)n)=0
aについて解くと
a=bbn±√(bbbbnn-bbbn+n)
明らかにbbbbnn-bbbn+n>0で√の中身は正だから、2解は共に実数である。
また、(2解の和)=2bbn>0、(2解の積)=(bbb-1)n>0だから、2解は共に正である。
2解は共に正であり、2解の和は自然数だから、
2解の一方が自然数のとき、もう一方も自然数である。 …★
さて、(与式)>0、(与式の分子)>0より、(与式の分母)=bb(2a-b)+1>0
∴2a-b≧0
(i) 2a-b=0のとき
a=b/2, n=aa
aは自然数だからbは偶数。自然数lを用いてb=2lとおけばa=l
★より、n=aa=llについてaはlの他に自然数解があるはずである。
a=bbn±√(bbbbnn-bbbn+n)=4llllll±√(16llllllll-8lllll+ll)=4llllll±(4llll-l)=l,8llll-l
(ii) 2a-b≧1のとき
(与式の分子)≧(与式の分母)よりaa≧bb(2a-b)+1
∴aa≧bb+1>bb
a,bは正だからa>b
しかし、(2解の積)=(bbb-1)n、bbn+√(bbbbnn-bbbn+n)>bbnより
bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)<((bbb-1)n)/bbn<bであり、
bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)<b<aはa=bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)と矛盾。
以上より、(a,b)=(2k,1),(l,2l),(8llll-l,2l)
これらは全て与条件を満たす。 ■
1010:216
17/09/21 10:07:35.69 KRTMaobw.net
【解説】
無数に解があるじゃないか（憤怒）
出典：IMO2003-2
1011:216
17/09/21 10:59:27.12 9N6Yacjj.net
>>216の(5)
ab-c, bc-a, ca-bが全て2の冪となるような自然数の組
【解答】
[補]
非負整数n
1012:について n=0のとき、2^0=1≡1 mod 4 n=1のとき、2^1=2≡2 mod 4 n≧2のとき、2^n=(2^2)*(2^(n-2))≡0 mod 4 ① a,b,cのうち少なくとも2つが等しいとき a=bとして一般性を失わない。aa-cとac-aが2の冪になるときを考える。 ac-a=a(c-1)よりa,c-1は共に2の冪である。非負整数α,γを用いてa=2^α, c=2^γ+1とおく。 aa-c=2^(2α)-2^γ-1が2の冪になるとき、[補]より4^α-2^γ-1≡-2^γ-1≡0,1,2 mod 4 ∴γ=0,1 γ=0のときaa-c=4^α-2≡2 mod 4 これが2の冪になるのは[補]より4^α-2=2⇔α=1、このときa=b=2^1=2, c=2^0+1=2 γ=1のときaa-c=4^α-3≡1 mod 4 これが2の冪になるのは[補]より4^α-3=1⇔α=1、このときa=b=2^1=2, c=2^1+1=3
1013:216
17/09/21 11:01:02.06 9N6Yacjj.net
② a,b,cが相異なるとき
a=1のとき、b-cとc-bは和が0だから両方が自然数になることはない。よってa≧2
同様にb≧2,c≧2
2≦a<b<cとして一般性を失わない。
相異なる非負整数δ,ε,ζを用いて
bc-a=2^δ, ca-b=2^ε, ab-c=2^ζ
とおく。
bc-a>ca-b>ab-cよりδ>ε>ζ
(I) a=2のとき
(i) ζ=0のとき
ab-c=2^ζよりc=2b-1
ca-b=2^εより3b-2=2^ε、b≧3よりε≧3
ε=3のときb=10/3で不適。
ε=4のときb=6, c=2*6-1=11
ε≧5のとき、bc-a=2^δより
9*2^δ=9*(bc-a)=9*(2bb-b-2)=18bb-9b-18=(3b-2)(6b+1)-16=(2^ε)(2*2^ε+5)-16
で右辺は2^5=32で割りきれないから左辺はδ≦4。これはδ>ε>ζより不適。
(ii) ζ≧1のとき
ab-c=2^ζよりcは偶数、ca-b=2^εよりbは偶数。よって、bc-a=2^δの左辺は4を法として2と合同だから、[補]より右辺は2^1、δ=1。これはδ>ε>ζより不適。
1014:216
17/09/21 11:02:26.34 9N6Yacjj.net
(II) a≧3のとき
2^ε=ac-b>ac-c=c(a-1)≧2cより2^(ε-1)≧c
∴2^(ε-1)>b>a
(i) c≡0,2,3 mod 4のとき
c-1は4で割りきれない。
2^δ+2^ε=(bc-a)+(ca-b)=(b+a)(c-1)
ε<δより左辺は2^εで割りきれる。右辺の(c-1)は2で高々1回しか割りきれない。よって、右辺の(b+a)は2^(ε-1)で割りきれる。
b+a<2b<2*2^(ε-1)よりa+b=2^(ε-1)
ac-b=2^ε=2(a+b)よりa+3b=ac-a
4b>a+3b=a(c-1)≧abより4b≧ab
これとa≧3よりa=3
3+3b=3c-3⇔c=b+2
bc-a=2^δよりbb+2b-3=2^δ⇔(b+3)(b-1)=2^δ
(b+3)と(b-1)は共に2の冪である。非負整数Β,β（Β>β）を用いてb+3=2^Β, b-1=2^βとおくと、辺々引いて4=(2^β)(2^(Β-β)-1)
これを満たすのはβ=2,Β=3,b=5
よってc=5+2=7、これはc≡3 mod 4を満たす。
(ii) c≡1 mod 4のとき
c+1は4で割りきれない。
2^δ-2^ε=(bc-a)-(ca-b)=(b-a)(c+1)
ε<δより左辺は2^εで割りきれる。右辺の(c+1)は2で高々1回しか割りきれない。よって、右辺の(b-a)は2^(ε-1)で割りきれる。
しかしb-a<b<2^(ε-1)より、これを満たす(b-a)はない。
1015:216
17/09/21 11:03:53.49 9N6Yacjj.net
以上より、(a,b,c)は
(2,2,2)、(2,2,3)の並べかえ3組、(2,6,11)の並べかえ6組、(3,5,7)の並べかえ6組の計16組。
これらは全て与条件を満たす。 ■
【解説】
不等式による絞りこみ、因数分解と約数、合同式、場合分け、など整数問題の基本テクニックを総動員すれば解ける。
最後の解答を元の式に当てはめて上手くいくことを確認するのが気持ちいい。
出典：IMO2015-2
1016:１３２人目の素数さん
17/09/22 12:18:25.78 dxvc1idi.net
>>931 >>970
k機目が向こうに渡るとき
出発側に（n-k）機の補助機？があり、到着側に（k-1）機の補助機？がある。
そのお蔭で航続距離が
出発側で（n-k)/(n-k+2）単位、
到着側で（k-1)/(k+1）単位
だけ伸びる。 >>972
よって、最大（n-k)/(n-k+2）+ 1 +（k-1)/(k+1）まで飛行可能
これは k⇔n+1-k について対称的で、kに対して上に凸。
D_n = min｛ 〃 ｜1≦k≦n ｝= 2n/(n+1),
1017:１３２人目の素数さん
17/09/23 05:34:49.52 NoROM9hj.net
>>995
（n-k)/(n+2-k）+ 1 +（k-1)/(k+2）- 2n/(n+1）
=（n-k)(k-1)(n+3)/{(n+1)(n+2-k)(k+1)｝
> 0
∴ D_n = 2n/(n+1).
1018:１３２人目の素数さん
17/09/29 00:11:24.28 Zt0C2yXV.net
m,nを自然数とする。
ユークリッド空間上の関数f:R^n→R^mは、任意の凸集合を凸集合に移す。
この時、fは連続か。
1019:１３２人目の素数さん
17/09/29 13:43:15.26 JazCjdF4.net
>>997 連続とは限らない。
n=1の時、商群R/QからR^mへの全単射φを１つとれば、
f(x)=φ(π(x)) (ただしπ:R→R/Qは自然な射影)
が反例になる。
nが1より大きい時は、例えばn=3なら
f(x,y,z)=φ(π(x))
等と定めればよい
1020:１３２人目の素数さん
17/09/29 22:40:30.39 oIFvV/UE.net
>>998
fが条件を満たす？
1021:１３２人目の素数さん
17/09/30 12:34:04.20 56ihevWH.net
>>999
n=1の時、Rの凸集合といったら(広義の)区間しかない。つまり
C=(a,b),(a,b],[a,b),[a,b] (a≦b.ただし端点を含まない場合は∞や-∞になってもよい)
のどれかになる。
もしCが一点か空集合ならf(C)も一点か空になる。
もしCが一点でも空でもなければ、ある開集合を含むため、CはR/Qのどの同値類とも交わりを持つ。したがってf(C)=R^m.
よって、fは凸集合を凸集合に移す。
fが連続でないことの説明は省略。
nが1より大きい時、R^nの凸集合をx軸に射影したものはx軸上の凸集合になるから、
x軸への射影とn=1の場合のfを合成すれば求める関数が得られる。
1022:１３２人目の素数さん
17/09/30 13:02:16.50 x4DjcavF.net
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