17/08/09 21:36:52.22 xTbQyxnk.net
>>78
>sinの極限の公式
こっちにかな
93:１３２人目の素数さん
17/08/09 21:43:22.37 0E+xJOy9.net
>>92
なるほど
こちらの三角関数を微分方程式で定義化するものは結局どう面積公式につなげていくのですか？
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
94:１３２人目の素数さん
17/08/09 21:55:38.52 xTbQyxnk.net
>>93
積分で定義するからそのまま面積じゃないの？
95:１３２人目の素数さん
17/08/09 22:37:21.85 0E+xJOy9.net
>>94
珍しいものを含めて定義方が列挙されたものを載せてあるだけなので上手くいくかすらわからないです。
私が知ってる本では冪級数と逆三角関数の積分しか載ってないので。
96:１３２人目の素数さん
17/08/10 00:32:51.58 NRnXaxF+.net
>>15
不可能。
うさぎと追跡装置が以下の戦略で動けばよい。
A_nとB_nの距離をd_nとおく。
A_1は適当に選び、P_1は原点とする。(これにより例えばd_1が少なくとも1.9以上になり得る)
n(≧1)ラウンド終了時点でうさぎが我に返ったら、
点A_nからの距離がちょうど m=[2d_n]+1 の点であって、B_nからA_n方向に引いた半直線との距離が1であるような2点のうちどちらか片方を選び、
(n+m)ラウンド目が終わるまでの間ひたすら我を忘れてその点に向かい続ける。(つまりA_(n+m)がその点になる)
そしてその間追跡装置は、うさぎがどちらの点を選んだか特定できないような点を知らせ続ける。
この戦略ならば、もしハンターが2点のうち遠い方(正確には近くない方)を選んだ場合
d_(n+m) > d_n + 1/(2m+1)
となるから、この不運が続けば
d_(n+m(m+1)) > d_n + 1/2
となり得る。
これより、最悪の場合帰納的に
d_1 > 1.5,
d_(1+4･5) = d_21 > 2,
d_(21+5･6) = d_51 > 2.5,
d_(51+6･7) = d_93 > 3,…
となり得るから、 d_(10^9) > 100 が示せる。
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107:１３２人目の素数さん
17/08/10 02:44:24.49 zDRV0bFD.net
考えてたことをまとめているうちに、正解っぽい>>96があがってました。
せっかくなので以下お目汚しをば。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
>>15
>>63を書いた者です。
追跡装置はうさぎの居場所により制約されるので、追跡装置とうさぎが共謀したとしても、
追跡装置からの情報のみをもとに行動するハンターにとって結果的にワーストケースと
なるような挙動を意図的に実現することは本来は不可能なのだが、
今回の問題では、意図的であろうがなかろうが結果的にハンターにとって
ワーストケースとなる場合のみを考えればいいので、
うさぎの存在を仮想的なものとして、追跡装置はS_nを空集合にしないように移動する
というルールの、追跡装置vsハンターのゲームとみなしても、結論に影響しない。
この場合、１対１の完全情報ゲームとなるので、議論はシンプルになる。
で、前回は「そんなに離されないと思う」と書いたのだが、このルールで
追跡装置側の視点に立って考えると、ハンターからの距離を離し続ける戦略は確かに存在するので
逆の結論の方が見込みがある気がしてきた。
（続く）
108:１３２人目の素数さん
17/08/10 02:47:05.97 zDRV0bFD.net
>>107の続き
【追跡装置側の戦略】
何ラウンドかからなるシーケンスを「フェイズ」と呼び、各フェイズの前後で必ず
ハンターからの距離が開くようにする。
>>63のS_n（追跡装置の移動から推測してうさぎが存在する可能性のある範囲）とは別に、
意思決定をシンプルにするために、S_nの部分集合であることが保証されているT_nというものを
考える。T_nは、漸化式的な挙動はS_nと同様だが、各フェイズ終了時に１点のみに絞られる。
追跡装置は、このT_nが空集合にならない範囲で移動する。T_0=S_0とする。
各フェイズ内での移動の仕方はフェイズの最初に全て決定するものとし、
その間のハンターの行動には影響されない。フェイズの最後において、
T_nはハンターから最も遠い１点のみに絞られるものとする。
（続く）
109:１３２人目の素数さん
17/08/10 02:47:45.21 zDRV0bFD.net
>>108の続き
フェイズ０：A_0から距離1の任意の点をP_1とする。このときT_1は、A_0を中心とした
半径1の円周上の点のうちP_1を中心とした半径1の円の周または内側にある点の集合となる。
B_1もA_0を中心とした半径1の円周上の点となるので、T_1はこのB_1から最も遠い１点に絞り込む。
その点のB_1からの距離をd_0とすると、d_0≧1となるのは図を描けば明らか。
フェイズp（p≧1）：前のフェイズの最後のラウンドを第nラウンドとする。
T_nに含まれる1点をCとすると、B_nとCとの距離はd_{p-1}である。ここで、d_{p-1}+1以上の
最小の自然数をkとし、フェイズpは、第n+1ラウンドから第n+kラウンドまでとする。
B_nとCを結ぶ線分のC側の延長上にCからの距離1,2,…,kの点をとり、
順にP_{n+1}，P_{n+2}，…，P_{n+k}とする。
この結果、Cを中心とした半径kの円周上の点のうちP_{n+k}を中心とした半径1の円に
含まれるものは全てT_{n+k}の要素となる。一方、B_{n+k}はB_nから距離k以内の点なので
T_{n+k}をこのB_{n+k}から最も遠い１点に絞り込み、その点のB_{n+k}からの距離をd_pとすると、
d_p≧√(d_{p-1}^2+1-(d_{p-1}/k))となる。
（等号は、B_{n+k}が線分CP_{n+k}上のP_{n+k}からの距離がd_{p-1}となる点となる場合に成立）
このとき、明らかにd_p＞d_{p-1}である。
これで、d_pが必ず単調に増加する戦略はできたが、実際にどれぐらいのペースで増えるかという
評価はこれから。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
以上です…
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115:１３２人目の素数さん
17/08/10 02:51:31.31 zDRV0bFD.net
>>109 で、kを「d_{p-1}+1以上の最小の自然数」としたのですが、
これを k=[2*d_{p-1}] としたら、>>96に近い状況となると思われます。
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126:１３２人目の素数さん
17/08/10 04:07:59.81 zDRV0bFD.net
>>96
＞ この戦略ならば、もしハンターが2点のうち遠い方(正確には近くない方)を選んだ場合
のところは、
「2点のうち、うさぎが選んでいたのはハンターから遠い方(正確には近くない方)だった場合」
という解釈でよろしいでしょうか。
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★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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128:１３２人目の素数さん
17/08/10 07:57:31.69 sGlRMEfv.net
三角関数、指数関数の再定義
とかには数学の拡張という美を感じる
129:１３２人目の素数さん
17/08/10 08:34:44.99 h0xUf6C7.net
>>126
そうそれ、その通りです
適切な言葉選びって中々難しい
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141:１３２人目の素数さん
17/08/10 12:50:19.94 y02i0Wrv.net
>>96
ちょこっと訂正
「この不運が続けば
d_(n+m(m+1)) > d_n + 1/2
となり得る。」
の数式の部分について、正しくは
[2d_(n+m(m+1))] > [2d_n]
でした。
というのは、仮にn+mkラウンド目(1≦k≦m)が終わって我に返った時点で
m'=[2d_(n+mk)]+1
の値がmから増えた場合、必ずしも
d_(n+m(k+1)) > d_(n+mk) + 1/(2m+1)
と言えない可能性があるから。
代わりに、m'の値が増えた時点で、そこからn+m(m+1)ラウンドが終るまで一時的にハンターと逆方向に進み続ける戦略に変えれば、
m'がその後減ることはないので、訂正後の数式がきちんと成り立つことがわかる。
最後の評価式も、正確には
d_1 > 1.5,
d_21 ≧ 2,
d_51 ≧ 2.5,
d_93 ≧ 3,…
です
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143:１３２人目の素数さん
17/08/10 15:39:41.79 5h49lxh9.net
>>141
すごい...
限りなく遠くまで逃げれるんですね
144:１３２人目の素数さん
17/08/10 15:47:07.33 5h49lxh9.net
半径1の面積の証明に関して調べて見たんですが
多角形近似で証明するものがあって、これは複素解析で出てくる議論と同じやり方でいいのですか？
あと、極座標使って2S=∫r^2 dθ 使うのは循環論法になっちゃうのでしょうか？
URLﾘﾝｸ(www.chart.co.jp)
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155:１３２人目の素数さん
17/08/11 11:14:22.22 NisLwmyy.net
最近暗殺教室というアニメを見ていてカルマ君カッコいいとか、ピッチ先生可愛いとかなってる訳なのですがその中で数学の問題が出ていたので置いておきますね(｀･∀･´)ﾉ
一応感覚的な理解はしてるつもりですが、数学的に厳密にやると私の空間把握能力が追いつかない( ﾉД`)ｼｸｼｸ
(かなり有名な問題かも？)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
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17/08/11 11:31:57.54 ToUPXODc.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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157:１３２人目の素数さん
17/08/11 23:27:31.96 VAqorbPb.net
ウィグナー・ザイツ胞
固体物理
158:１３２人目の素数さん
17/08/11 23:56:03.26 MVtx4bzB.net
数学的に厳密にもなにも、何をどう考えてもa^3/2
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160:１３２人目の素数さん
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対称性を論じるのに点群使うぞ
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171:１３２人目の素数さん
17/08/12 19:24:32.55 hHFbXQeQ.net
半径r1の球があり、図のように断面が半径r2になるように切断した。
このとき図の立体の体積を求めなさい。
ただしr2＞r1でhは高さである。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
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173:１３２人目の素数さん
17/08/12 20:46:35.57 rvCA1oPA.net
>>171
半径Rの球があり、図のように断面が円になるように切ったら高さhだった。
とします。
V(h）= π∫[-R，h-R］（RR-zz）dz
= π［ RRz - zzz/3 ］(z=-R,h-R)
=πhh(R-h/3)
なお、断面の半径は√(RR-hh)
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175:１３２人目の素数さん
17/08/12 20:49:09.05 gtmm/l76.net
>>173
zを定義してください
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180:12(土) 20:53:06.57 ID:Ay3s6hqd.net
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187:１３２人目の素数さん
17/08/12 21:20:45.13 C57RE8Lo.net
球の中心を原点にして切断面と垂直な軸でしょ
188:１３２人目の素数さん
17/08/12 21:38:56.00 C57RE8Lo.net
そもそも171の図のr_1とr_2逆じゃん
ところで半球はカバリエリの原理より 円柱 - 円錐 の形に変形できるから、それを利用しても求まる
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199:１３２人目の素数さん
17/08/14 19:16:16.84 kWfKv2+h.net
S＼{S}∈S を満たす集合Sは存在するか。
ヒント：正則性公理から T∈T を満たす集合Tは存在しないことがわかる。
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17/08/14 19:29:24.42 gAJfNsT/.net
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201:１３２人目の素数さん
17/08/14 19:42:25.42 mpfPQlZp.net
>>198
S∉Sが必ず成り立つので、
S＼{S}=S
ここで、S＼{S}∈Sを満たすならば
S∈Sとなり矛盾。
ちなみに、「正則性公理から T∈T を満たす集合Tは存在しないことがわかる」ってのは、
T∈TとするとTの部分集合に{T}というものが存在することになり、
それは正則性公理に反する、とかでいいのか？
202:１３２人目の素数さん
17/08/14 21:09:42.62 ibEe52Je.net
>>200
正解
実は正則性公理知らなかったからwikipediaに載ってた内容を信じることにすると、
任意の集合Tについて『{T}の元であって{T}と交わらないものが存在する』から T∩{T}=φ と導けて、あとは簡単。
もし正しい内容と違ってたらすまん
203:１３２人目の素数さん
17/08/14 21:17:27.93 ibEe52Je.net
類題
P＼Q∈P が成り立っている時、Qを用いてPを表せ
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214:１３２人目の素数さん
17/08/14 22:20:39.53 mpfPQlZp.net
>>198 は、S∉Sを既知とするならば、
S＼{S}=Sだということを言っているだけで
何が面白い問題なのかさっぱりわからん。
>>202 は、そもそも何をやらせたいのかさっぱりわからん。
215:１３２人目の素数さん
17/08/14 22:55:42.95 GU8hcbs6.net
a1,a2,⋯,an
を相異なる正の整数とし，M
を n－1
個の正の整数からなる集合とする。また，M
は s=a1+a2+⋯+an
を含まない。数直線の 0
の地点にいるバッタが数直線の正の向きに n
回ジャンプする。 n
回のジャンプの距離は a1,a2,⋯,an
の並び替えである。このとき並び替えをうまく選べばバッタが M
の要素に対応する n－1
点に一度も着地しないようにできることを証明せよ
216:１３２人目の素数さん
17/08/14 23:20:23.60 Stkr6Zur.net
>>213
>>198の最初に思いついた解答が S＼{S}=S の場合とそうでない場合に場合分けして解いてそこそこ面白かったんだが
問題を投稿した直後に条件から直でS∈Sを導けるって気づいた…残念な問題だったわ
>>202は結局『 P＼{Q}∈P ならば P=Q∪{Q} 』を示す問題だったんだけどこれもわりと簡単だからもういいや
217:１３２人目の素数さん
17/08/15 00:53:23.93 RHq8gFFw.net
どうせお盆暇でしょ
帰ってきた数論1行問題
解答は1週間後から1日1問ずつ発表
条件を満たす自然数a,b,cをそれぞれ求めよ。
(1) 1+2^a+2^(2a+1)=b^2
(2) a^(bb)=b^a
(3) (a^2+a+b)/(ab^2+b+7)が自然数
(4) a^2/(2ab^2-b^3+1)が自然数
(5) ab-c, bc-a, ca-bが全て2の冪
218:１３２人目の素数さん
17/08/15 01:34:25.56 kMDNN6OV.net
>>215
>>202はP＼Q∈PではなくP＼{Q}∈Pだったと訂正すればそれで済んだ話のような
それなら意味はわかる
219:１３２人目の素数さん
17/08/15 02:00:49.86 1cM/8KVL.net
>>217
>>>202はP＼Q∈PではなくP＼{Q}∈Pだったと訂正すれば
訂正しないでいいでしょ？
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230:１３２人目の素数さん
17/08/15 02:33:47.52 kMDNN6OV.net
>>218
解説希望
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232:１３２人目の素数さん
17/08/16 05:44:58.49 WGpPbBrt.net
>>216
(1）（a,b）=（4,23）
(2）（a,b）=（16,2）（27,3）
(3）（a,b,c）=（11,1,7) （17,2,4) （27,3,3）
(4）（a,b,c）=（2a',1,a'） （a,2a,aa） （7,2,1）
(5） ？
233:１３２人目の素数さん
17/08/16 10:18:57.48 V05/WOMG.net
ユークリッド平面上に三点(0,0),(1,0),(-1,0)が与えられた時、
定規のみを用いて点(a,0) (aは任意の有理数)を作図することは可能か。
234:１３２人目の素数さん
17/08/16 11:06:59.31 1l7g7CtL.net
>>232
1が作図可能なので任意の正の整数mが作図可能
よって1/mが作図可能だから
任意のnに対してn/mが作図可能
235:１３２人目の素数さん
17/08/16 11:07:33.38 1l7g7CtL.net
あ、定規のみか
236:１３２人目の素数さん
17/08/16 12:08:16.96 ekIPOfXs.net
cos(有理数度)=0,±1,±1/2,無理数 となる事を示せ
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247:１３２人目の素数さん
17/08/16 13:41:38.26 WGpPbBrt.net
>>235
有理数θにある自然数nを掛けて360の倍数になったとする。
nは偶数としてよい。
2cos(nθ）=（2cosθ)^n - n(2cosθ)^(n-2) + … 干(nn/4)(2cosθ)^2 ±2 = 2 T_n(cosθ),
という、2cosθ の整数係数のn次多項式で表わせる。
いま 2cosθ = q/r（qは整数、rは自然数、互いに素）とすると
(q/r)^n - n (q/r)^(n-2) + … 干(nn/4)(q/r)^2 ±2 = 2,
nが4の倍数のとき
q^(n-2) - n q^(n-4) r^2 + … -(nn/4)r^(n-2) = 0 または q=0
q≠0 のとき、q^(n-2）はrの倍数。
q,rは互いに素だから、r=1
｜q｜≦ 2r = 2,
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258:１３２人目の素数さん
17/08/17 09:50:51.42 C/QBOIEA.net
>>232
x軸以外に、(0,0）を通る直線をひき、その単位ベクトルをｅとする。
L，m，n を互いに異なる0でない整数とし、
3点Ｌ(Lｅ）、Ｍ(mｅ）、Ｎ(nｅ）をとる。
(1,0) ～ Ｎを通る直線と、
(-1,0）～ Ｍ を通る直線の交点をＰとすると
p =｛(2mn）ｅ +（n-m）１}/(m+n),
(略証)
Ｐは線分（1,0）～Ｎ を 2m：(n-m）に分ける。
Ｐは線分（-1,0）～Ｍ を 2n：(m-n）に分ける。
直線ＰＬとx軸の交点を（a,0）とすると、
この点は線分ＰＬを (-L)：2mn/(m+n) に分ける。
a = L(n-m)/{L(m+n)-2mn},
さて…
259:１３２人目の素数さん
17/08/17 14:00:26.48 Pd6+pWLR.net
m,nは正の整数でありm(m+1)/2<nを満たしている。ある国にはn個の都市と2つの航空会社XとYがある。各航空会社は都市から別の都市へ直行便をいくつか開設しており、以下のことがわかっている。
・どの都市Cについても都市Cから同じ会社の直行便だけを乗り継いで都市Cに戻ってくることはできない
・どの相異なる2都市についても、いずれか片方からもう片方へ、同じ会社の直行便だけを乗り継いで移動することができる
ただし、都市Cから都市Dへの直行便があったとき、都市Dから都市Cへの直行便があるとは限らない。このとき、ある都市を出発して次の条件を満たすようにm本の直行便を乗り継ぐことができることを示せ。
条件:Yの便の次にXの便に乗ることはない
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17/08/17 14:23:37.09 fMnxz+o0.net
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270:１３２人目の素数さん
17/08/17 19:25:36.45 C/QBOIEA.net
>>232
x軸以外に、(0,0）を通る直線をひき、その単位ベクトルをｅとする。
L，m，n を互いに異なる0でない整数とし、
3点Ｌ(Lｅ）、Ｍ(mｅ）、Ｎ(nｅ）をとる。
(m,0) ～ Ｎを通る直線と、
(n,0）～ Ｍ を通る直線の交点をＰとすると
p =｛mn/(m+n)}(ｅ+１),
(略証)
Ｐは線分（m,0）～Ｎ を m：n に分ける。
Ｐは線分（n,0）～Ｍ を n：m に分ける。
直線ＰＬとx軸の交点を（a,0）とすると、
この点は線分ＰＬを (-L)：mn/(m+n) に分ける。
a = Lmn/{L(m+n)-mn},
さて…
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281:１３２人目の素数さん
17/08/18 11:18:47.42 90S02hzN.net
>>232
（類題）
平面上に長方形ABCDが与えられた時、
定規のみを用いて各辺の中点を作図できるか？
ただし、2点を通る直線（ABCDの内部に限る）を曳くことは許される。
282:１３２人目の素数さん
17/08/18 11:53:01.21 DTIhslpU.net
「定規を用いる」って「2点を通る直線を作図できる」ってことじゃないの？
283:１３２人目の素数さん
17/08/18 16:54:17.74 U7I6f7Ap.net
>>281 そう。ただ、
URLﾘﾝｸ(linjalogkompass.web.fc2.com)
こことかを見てもらえばわかる通り、定規のみを用いた作図問題では
『ある範囲から適当に選んだ点をとる』
ことを許している場合が多いから、>>232もその操作はOKとする。
下の解答の(★)みたいな感じ。
>>280 ACとBDの交点をEとおく。
線分AE上にある点(端点を除く)を１つとり、それをPとおく。 …(★)
ABとDPの交点をQ、ADとBPの交点をRとおくと、
△ABCについてチェバの定理を適用することによりQR//BDがわかる。
QRとAEの交点をS、DSとABの交点をT、ETとQSの交点をUとおくと、
QU:US = BE:ED = 1:1 より、UはQSの中点。
AUとBEの交点をFとおくと、BF:FE = QU:US = 1:1 より、FはBEの中点。
同様にしてAEの中点Gも作図できる。
FGとADの交点をH、FGとBCの交点をI、HCとIDの交点をJとおき、
�
284:ﾅ後にEJを直線で結べば、これは線分ABとCDを二等分する。
285:１３２人目の素数さん
17/08/18 23:36:50.77 90S02hzN.net
>>281-282
そのとおりでございます。
△ABDの内部の点Pにチェバの定理を適用するんですね。
286:１３２人目の素数さん
17/08/19 04:42:50.39 .net
複素係数の一般の多項式が1度でも因数分解できるかどうかを判定するアルゴリズムって存在する？
(一般の多項式の解を加減乗除や開根で求めるアルゴリズムは存在しないけど、因数分解であって因数定理じゃないからね。そこは注意)
287:１３２人目の素数さん
17/08/19 20:41:31.82 8zxCu5Hq.net
頭の体操にどうぞ(｡-ω-)…
(1)
zero
+ ten
+ forty
+ forty
-----------
ninety
(2)
338^2をninetyで割った余りを求めよ。
(3)
ninetyは素数か？
素数でない場合素因数分解せよ。
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299:１３２人目の素数さん
17/08/19 20:58:04.11 62IZ3GRe.net
前々スレの>>803が意外と難しくて解けずにいるんだが誰か解けた人おる？
･平面上にTの文字を互いに交わらないように非可算個描くことは可能か
300:１３２人目の素数さん
17/08/19 21:03:10.47 Q+nr/ATk.net
>>297
Tの大きさは一定？ 回転してもいいの？
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17/08/19 21:24:21.78 LB3Hl+jp.net
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302:１３２人目の素数さん
17/08/19 21:34:46.08 62IZ3GRe.net
>>298
大きさとか関係なく、とりあえずTと同相だったらYとかλとかでも良いんじゃないかね
303:１３２人目の素数さん
17/08/19 22:49:51.56 eIo54gJI.net
12321
227*449
304:１３２人目の素数さん
17/08/19 23:41:06.14 8zxCu5Hq.net
>>297
非加算個のTが描けたと仮定してTの交差点と有理点を対応させれば可算無限集合に単射が出来て矛盾が導けるから描けなさそう
305:１３２人目の素数さん
17/08/19 23:41:26.53 8zxCu5Hq.net
>>301
あ、正解です
306:１３２人目の素数さん
17/08/20 00:29:17.13 JLMgw50d.net
>>302
あ...些事かもだけど、Tの交差点が必ず有理数点とは限らないし選択公理(を認めるなら)から各Tから元は取れるけどそれが必ず有理数点という保証もないのかな？だからも少し選択公理の使い方工夫しないとダメな気がするな...
307:１３２人目の素数さん
17/08/20 00:42:18.84 hF56T82P.net
>>304
極端な例で言えば、
T={(x, √2)|1≦x≦2}∪{(√2, y)|1≦y≦√2}
上の任意の点は有理点ではない
308:１３２人目の素数さん
17/08/20 02:02:25.58 xe9ko7E/.net
>>297
X=｛x_λ｝_λ∈Λを、T型の図形x_λの集まりとして、平面上に各x_λが交わらずに散らばっているとする
T型の図形の
"長さ"を横棒と縦棒の短い方の長さ
"頂点"を横棒と縦棒の交差する点
と定義する
いま、Λが非加算であるとする
ここで、平面を格子点を頂点とする面積1の正方形で分割すると、正方形の数は可算なので
仮定よりどれか一つの正方形には非加算個のx_λの頂点が属する
これらx_λの全体をX_0と表す
このとき、A_n=｛x_λ∈X_0│ x_λの長さは1/n以上｝
とおくと、∪A_n=X_0、X_0は非加算であることから、あるnに対してA_nは無限集合
即ちある面積1の正方形の中に、頂点が属しかつ長さ1/n以上のものが無限個交わらずに存在する
ここからは簡単な議論で無限個入らないことがわかって矛盾導けるので省略
309:１３２人目の素数さん
17/08/20 02:20:34.76 xe9ko7E/.net
>>306
結論書いてなかったね、非可算個かくのは不可能です
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320:１３２人目の素数さん
17/08/20 03:35:10.08 57L/+4BY.net
>>306
清書するとこんな感じですかね。
X_n＝{ T字の"長さ"が1/n以上であるT字全体 }と置くと、
∪[n∈N] X_n はT字全体だから非可算無限集合。
よって、あるnに対してX_nは非可算無限集合。
このnに対して、Y＝{ X_nに属する各T字の"頂点"の集合 } と置くと、Yもまた非可算無限集合。
半径1/(100n)の可算無限個の開円盤B_iであって、R^2＝∪[i∈N]B_i と被覆できているものを取る。
Y ⊂ R^2＝∪[i∈N]B_i だから、Y ⊂ ∪[i∈N](B_i∩Y) となる。
簡単な考察により、B_i∩Y は高々2点集合となるので、
Yは可算無限集合となって矛盾する。
321:１３２人目の素数さん
17/08/20 04:00:29.52 57L/+4BY.net
余談だけど、「 T 字」の条件を緩めて、
・ T と同相な Y とか↑みたいな図形でもよい(ただし、どれも一般の連続曲線で構成されているとしてよい)
とすると、>>306 のやり方でも証明に失敗する気がするのだが、どうなんだろう。
ちなみに、
・ T と同相な Y とか↑みたいな図形でもよい(ただし、どれも3つの線分で構成されていなければならない)
とすると、>>306 のやり方で証明できる。
(T字の頂点から出る3本の線分が作る「角度」を考慮してT字の"長さ"を定義し直せばよい)。
322:１３２人目の素数さん
17/08/20 04:16:14.99 57L/+4BY.net
前々スレを見直してきたけど、前々スレの >>797 のやり方でも、
・ T と同相な Y とか↑みたいな図形でもよい(ただし、どれも一般の連続曲線で構成されているとしてよい)
の場合は証明に失敗する(これは明確に失敗する)。ちなみに、
・ T と同相な Y とか↑みたいな図形でもよい(ただし、どれも3つの線分で構成されていなければならない)
とすると、>>797 のやり方でも証明できそうな気がする。
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333:１３２人目の素数さん
17/08/20 08:40:11.59 CA5pAFRj.net
前々スレの>>797で出てきた距離空間(Y,D)について、A∈Yを中心とした半径rの開球を U(A,r)と表記する。
非可算で非交和なT字(と同相な図形)の集合をΛとおき、
各λ∈Λに対して
ε_λ = sup{ε≧0 | U(λ,ε)∩Λ は高々可算 }
と定めると、距離空間(Y,D)の第二可算性、すなわち強リンデレフ性より、
∪(U(λ,ε_λ)∩Λ)
λ∈Λ
ε_λ>0
は、高々可算な部分被覆
∪(U(λ,ε_λ)∩Λ)
λ∈Λ'
を持つ。
Λ''=Λ＼Λ'
とおけば、任意のλ∈Λ''とε>0について
U(λ,ε)∩Λ''
は非可算となることがわかる。
334:１３２人目の素数さん
17/08/20 12:49:07.23 JLMgw50d.net
>>331
位相は軽く知識は入れたがまだ使いこなせるレベルではないのだが...
Λ'と相異なる集合を持ってきて非可算だから矛盾とはならない気がしている
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336:１３２人目の素数さん
17/08/20 13:34:52.13 xe9ko7E/.net
>>318
ありがとう、そっちの方が、わかりがいいね
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347:１３２人目の素数さん
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>>332
うん。まだ矛盾までは行ってない。
ただ、もしある非可算なΛが存在するとしたら、その部分集合Λ''で
任意のλ∈Λ''がΛ''の非可算個の点の集積点になっているようなものが存在する、ということ。いくらでも近い点が欲しい時に使えるかもと思って示した
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349:１３２人目の素数さん
17/08/20 21:22:40.84 JLMgw50d.net
まあ無事解決されたようだね...
2つの自然数n,mがある。
350: n,mを素数pで割った余りをn_p,m_pとして、 全ての素数pに対しn_p≦m_pとなる時、n=mとなる事を証明せよ。
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17/08/20 23:23:56.50 PI3mCvs6.net
>>319
思うんだけど、Tと同相な図形まで一般化すると、反例がでてくるのかも
まだあんまり確かめてないからわからんけど、角度とかないぐらい二本の直線の間を狭めればなんかできそうな
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363:１３２人目の素数さん
17/08/20 23:47:37.52 UScuK3/3.net
同相なら「の形でもいいから、左上の点を対角線上に配置するようにすれば非可算個いけるはず
364:306
17/08/21 00:12:01.62 QeouXuhX.net
さっきちょっと考えたのは例えば、
p>1に対して
（-1,1）上のx^pのグラフと、
（0,1上の）x^p+e^｛-1/x｝のグラフを合わせたもの
掛けたりlogにしたりの調整は必要かもしれないが、これならpを動かして非可算個かけるんじゃないかと思ってる
まとまったらまた
365:306
17/08/21 00:12:48.39 QeouXuhX.net
>>360
棒はTとは同型にならないんじゃないか？
366:306
17/08/21 00:12:59.33 QeouXuhX.net
同型じゃないや同相
367:306
17/08/21 00:32:23.39 QeouXuhX.net
実数には無限小はないから、二本の線分の角度をどんなに小さくとって重ねていこうとしても、稠密性から有理数と対応ついちゃってだめだけど
実数パラメータpに対応するx^pに対してならlogxみたいなある意味無限小に対応するものがあるので、議論を正当化できる、みたいな
実際線分に限定する時点で自由度はある意味でℵ_2からℵ_1におちてるので、曲線を自由に取れる場合にはℵ_2のままなので非可算個書けるというのは自然な帰結かもしれない
368:１３２人目の素数さん
17/08/21 00:53:24.66 cODrTQNN.net
>>362
いや棒じゃなくて「ね
Lでもいいけど
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379:１３２人目の素数さん
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>>365
なんだこいつ
棒と「 と L は同相だろ
んで棒と T は同相ではない
(よって 「 と T は同相ではなく、L と T は同相ではない)
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>>361
>>364
やっぱりこの方法じゃ駄目でした…
よく考えてみたら連続関数は自由度ℵ_1 ですしね
ちょっと難しい問題なのでまた答えがわかるまでおいて置きます
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392:１３２人目の素数さん
17/08/21 12:48:33.20 EUiKP99w.net
>>297の解決の糸口になるかも知れないから一応書いておく。
結論から言うと、『存在しない』が答だと思う。
(証明)
X=[0,1]^2 とおく。X上の文字Tを
T={(x,y)∈X | y=0 または x=1/2 }
とおき、Xの閉集合でTと同相なもの全体からなる集合をYとおく。
Y上の距離Dを
D(A,B) = inf_[同相写像ψ:A→B] max_[a∈A] d(a,ψ(a))
により定める。 …(★0)
この時、距離空間(Y,D)は第二可算
393:公理を満たす。 …(★1) Yの部分集合Λについて、Λのどの異なる2つの元も共通部分を持たないならば、Λの各元は孤立点である。 …(★2) (★1)と(★2)より、Λは可算集合でなければならない。□ ★0が実際に距離を定めることは確認したから、あとは★1と★2が示せたら証明が完成する。 ★1はおそらく、有理点を頂点に持つ有限な折れ線をうまく使えば、可算で稠密な部分集合を構成できると思う。 ★2は、どんなλ∈Λについても、ε>0を十分小さくとれば ( D(λ,y)<ε ならば λ∩y≠φ ) が成り立つ、という方法が吉かと
394:１３２人目の素数さん
17/08/21 12:50:04.43 EUiKP99w.net
『存在しない』じゃない、『不可能』ね
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405:１３２人目の素数さん
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>>389を直接やるより多少簡単な方法があった
TからXへの連続写像全体の集合をY'とおき、Y'上の距離D'を
D'(f,g) = max_[t∈T] d(f(t),g(t))
により定めると、距離空間(Y',D')は第二可算公理を満たす。
>>389と同様にΛをとり、各λ∈Λに対して同相写像ψ_λを１つ定め、
Λ' = { ψ_λ∈Y' | λ∈Λ }
とおくと、Λ'⊂Y'は離散集合である。
ゆえに、Λ'は可算集合でなければならない □
特に★1にあたる部分が大幅に簡単になったお陰でようやく示すことができたから後で清書する予定。
あとは★2にあたる部分だけ
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>>216の(1)
1+2^a+2^(2a+1)=b^2
を満たす自然数の組
【解答】
(与式)
⇔2^a*(1+2^(a+1))=(b+1)(b-1) …★
b+1,b-1の偶奇は一致する。
左辺は偶数だから、b+1,b-1はともに偶数である。このとき、どちらか一方は4の倍数である。
よって左辺は8の倍数でありa≧3。
(i) b+1が偶数かつ4で割りきれない、b-1が4で割りきれるとき
b-1は2^(a-1)で割りきれて2^aで割りきれないから、b-1=2^(a-1)*m（mは奇数）とおける。
これを★に代入すると
2^a*(1+2^(a+1))=2^(2a-2)*m^2+2^a*m
⇔1+2^(a+1)=2^(a-2)*m^2+m
⇔1-m=2^(a-2)*(m^2-8)
m=1で左辺が0、右辺が負
m≧3で左辺が負、右辺が正
だから、これを満たす奇数mはない。
(ii) b+1が4で割りきれる、b-1が偶数かつ4で割りきれないとき
同様にb+1=2^(a-1)*mとおいて★に代入して整理すると
1+m=2^(a-2)*(m^2-8) …☆
∴1+m≧2*(m^2-8)
2m^2-m-17≦0を満たす奇数mはm=1,3
m=1で☆の左辺は2、右辺は7の倍数で不適
m=3で☆よりa=4、よってb=2^3*4-1=23
(a,b)=(4,23)は与式を満たす。
以上より、(a,b)=(4,23) ■
417:216
17/08/23 02:44:58.98 /2bRMp5Z.net
b+1,b-1の素因数に含まれる2の数で分類している。
元の問題では全ての整数の組を求めさせていた。
明らかにa≧0とb≠0
a=0でb=±2
(a,b)が答えのとき(a,-b)も答えだから、a>0でb>0として以下同じ。
(a,b)=(0,2),(0,-2),(4,23),(4,-23) ■
出典：IMO2006-4
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428:１３２人目の素数さん
17/08/23 19:24:57.49 UkFhzZzs.net
相加・相乗平均の大小関係(a>0,b>0の時
(a+b)/2>=√(a×b))
を図を使
429:って証明せよ
430:１３２人目の素数さん
17/08/23 20:08:20.52 2WLZ1Wh5.net
431:１３２人目の素数さん
17/08/23 20:21:30.48 hpry1v4G.net
√a,√bの長さをもつ長方形の面積S=√(ab)
その対角線の長さは√(a+b)で三角形2つの面積を足し合わせれば
S≦1/2*(√(a+b)/2)*√(a+b)*2=(a+b)/2
(上の不等号は0＜x＜πのとき0＜sinx≦1による)
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442:１３２人目の素数さん
17/08/24 06:59:31.96 X6+LM4eC.net
3^m+4^n=5^kを満たす非負整数の組(m,n,k)をすべて求めよ。
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446:１３２人目の素数さん
17/08/24 17:11:32.47 iOKrimyq.net
あんまり面白くなかったですね
1～6までの目が等確率で出るサイコロをn回振り、出た目の総積をp_nとする。
p_nを10で割った余りをr_nとする。
(1)r_1=1となる確率はいくらか？
(2)r_2=2となる確率はいくらか？
(3)r_3=3となる確率はいくらか？
(4)n→∞のとき、r_nはいくらになる可能性が最も高いか？
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457:１３２人目の素数さん
17/08/25 01:23:16.86 oetrvUQn.net
>>441
(1) 1/6
(2) (1,2) (2,1) (2,6) (3,4) (4,3) (6,2) の6とおりで、1/6
(3) (1,1,3) (1,3,1) (3,1,1) の3とおりで、1/72
(4)
偶数も5も（１回も）出ない確率は（1/3)^n
偶数は出ないが5は出る確率は（1/2)^n - (1/3)^n
偶数は出るが5は出ない確率は（5/6)^n - (1/2)^n
偶数も５も出る確率 １-（5/6)^n
偶数も5も、1回は出る確率 → 1,
r_n=0
458:１３２人目の素数さん
17/08/25 01:28:46.38 oetrvUQn.net
>>437
3^0 + 4^1 = 5^1,
3^2 + 4^2 = 5^2,
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469:１３２人目の素数さん
17/08/25 15:27:14.09 FNkoKdXq.net
441
せっかくなので(5)追加。
nが十分大きいとき、
r_n=2,4,6,8となる確率の比はどのくらいか？
470:１３２人目の素数さん
17/08/25 15:52:25.72 24yAEQLc.net
>>401の清書
(第二可算公理のくだりについて)
各自然数nに対して
K_n = { (x,y)∈T | 2nxも2nyも整数 } (⊂T)
と定め、
C_n = { c:T→X | cはK_nでは有理点の値をとり、K_n以外の各区間では直線的に変化する } (⊂Y')
とおく。
f∈Y'とε>0を任意にとると、fの一様連続性より
( d(t,t')<1/2N ならば d(f(t),f(t'))<ε )
を満たす自然数Nが存在する。
有理点全体の集合はX上で稠密であるから、任意のk∈K_Nについて d(c(k),f(k))<ε を満たすようなc∈C_Nが存在する。
ここで、t∈Tを任意にとると、T上でtを挟むような位置にある隣り合ったk,k'∈K_Nを選べば、
d(c(t),f(t))
≦d(c(t),c(k)) + d(c(k),f(k)) + d(f(k),f(t))
<d(c(k'),c(k)) + 2ε
≦d(c(k'),f(k')) + d(f(k'),f(k)) + d(f(k),c(k)) + 2ε
<5ε
となる。したがって、
C = ∪_[nは自然数] C_n
とおくと、CはY'の稠密な可算部分集合。
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482:１３２人目の素数さん
17/08/25 17:40:54.76 24yAEQLc.net
>>401
(Λ'が離散集合であることについて)
Λの元は全て領域 (0,1)^2⊂X に収まっていると仮定してよい。λ~∈Λを任意に固定する。
Jordan Schoenflies Theoremより、ある同相写像σ:(0,1)^2→(0,1)^2が存在して
σ(ψ_λ~([0,1]×{0})) = [1/4,3/4]×{1/2}
かつ
σ(ψ_λ~((1/2,0))) = (1/2,1/2)
を満たす。
σ･ψ_λ~ (σとψ_λ~の合成) をψ'とおく。
( 0≦e≦ε ならば ψ'((1/2,e)))∈[3/8,5/8]×[1/2-δ~,1/2+δ~] ) …(※)
を満たすような正の数δ~とεをとり、(ε,δ)が(※)を満たすような最小の正の数δをとる。
(つまり、0≦e_0≦εであってψ'((1/2,e_0))のy座標が1/2±δであるような実数e_0が存在する。
上の複号(±)がプラスの方であると仮定して一般性を失わないので、以降そのように仮定する)
f∈Y'が D'(f,ψ')<min(δ,1/8) を満たしていると仮定すると、
(i)f((1/2,0))のy座標が1/2以上の場合はf([0,1]×{0})が、
(ii)そうでない場合はf({1/2}×[0,1])が
それぞれψ'(T)と交わりを持つことがわかる。
したがって、ψ'=σ･ψ_λ~はσ･Λ'={σ･ψ_λ|λ∈Λ}における孤立点であるから、
ψ_λ~はΛ'の孤立点。ゆえにΛ'は離散集合。□
まだまだ細かい補足が必要な箇所はあるだろうけどもう疲れたので>>297の証明はこの辺で終わりにしときます 誤りの指摘や疑問点は受けるけど
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493:１３２人目の素数さん
17/08/25 21:03:31.53 07BQhbja.net
>>453
他にはないの？
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495:１３２人目の素数さん
17/08/26 01:23:14.61 a5WQhO5r.net
>>464 (5)
5が1回も出ない確率は（5/6)^n
5が1回は出る確率は１-（5/6)^n
r_n=5 となる確率は（1/2)^n -（1/3)^n
r_n=0 となる確率は 1 - (5/6)^n -（1/2)^n +（1/3)^n
偶数が1回も出ない確率は（1/2)^n
r_n=1,3,7,9 となる確率は（1/3)^n
偶数が1回は出る確率は１-（1/2)^n
r_n=2,4,6,8 となる確率は（5/6)^n -（1/3)^n
5が1回も出ないとき
2･3 ≡ 1 （mod 5)
より
p_n =（2^i)(3^j）≡ 2^(i-j) （mod 5)
これを 10 で割った余りは、
r_n = 6 i-j≡0 （mod 4)
r_n = 2 i-j≡1 （mod 4)
r_n = 4 i-j≡2 （mod 4)
r_n = 8 i-j≡3 （mod 4)
nが十分大きいとき、r_n=2,4,6,8 となる確率の比は
１：１：１：１
に近づく。
496:１３２人目の素数さん
17/08/26 01:47:06.70 8Eex8fjJ.net
この証明において、収束性は前提として認められている、ということでいいのですかね？
497:１３２人目の素数さん
17/08/26 02:07:17.33 8Eex8fjJ.net
収束性の証明はどうでしょう
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508:１３２人目の素数さん
17/08/26 12:54:57.55 8Eex8fjJ.net
>>491
収束性(i-jが周期4で振動すると言えばいいのかな)も証明になっている気がするのだが
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510:１３２人目の素数さん
17/08/26 17:04:25.41 a5WQhO5r.net
>>502
5面、5面
サイコロの出目によって、i-j （mod 5）は（初期値によらず）
1 → 0,
2 → +1,
3 → -1,
4 → +2,
6 → 0,
だけ変わるけど、nが十分大きいとき、等分配に近づくか？
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521:１３２人目の素数さん
17/08/26 17:25:35.67 8Eex8fjJ.net
>>504
まずi-jの値によって、周期4で等分配を仮定して、
それをもと�
522:ﾉ数学的帰納法でやると次の代も等分配
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524:１３２人目の素数さん
17/08/26 17:54:11.89 8Eex8fjJ.net
帰納法使うんだから或るn∈ℕが存在して1:1:1:1になってなきゃいけないよね？
極限とったら近づくって収束性を仮定してるし、近似に対して上の議論は使えないはず
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535:１３２人目の素数さん
17/08/26 19:47:41.18 8Eex8fjJ.net
n回目、
2、4、6、8にいる確率をそれぞれa_n、b_n、c_n、d_nとする。
このとき、a_n + b_n + c_n + d_n=1とする。
a_(n+1)=(2*a_n + b_n + c_n + d_n)/5
=1/5 + a_n
よって、n→∞でa_nは1/4に収束する。
b_n、c_n、d_nについても同様1/4に収束する。
これで説明になるかしら
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537:１３２人目の素数さん
17/08/27 01:32:32.60 REH5mTah.net
>>528
ダメっしょ
538:１３２人目の素数さん
17/08/27 02:03:02.96 +jqGXYY6.net
>>530
ええどうして？
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549:１３２人目の素数さん
17/08/27 15:22:09.47 +jqGXYY6.net
>>15の問題で>>96が正解となっているが
ハンターの戦略を仮定して「追いつくことができない」と結論づけるのには、「その戦略が最適手であること」を示さないと、別の戦略で追いつけるかもしれないのでは？
っていう問題の性質上、答えは追いつけるものだと思っているのだが、どうなのだろう
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560:１３２人目の素数さん
17/08/27 18:11:24.80 hu8Dlrep.net
>>542
>>96ではハンターの戦略を特別に仮定してるわけではない
(…ようには見えない書き方だったけど、>>126と>>129のやりとりを見てもらえたら仮定してる訳じゃないって事がわかると思う)
ハンターがどんな戦略をとろうとも、>>126で言われてる不運な状況が起こり続ければ、二点の距離は>>96の計算の通り増え続けるということ。
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562:１３２人目の素数さん
17/08/27 19:29:09.23 +jqGXYY6.net
ウサギが最善手を打てばハンター最善手を打っても追い付けないのであれば、追い付けないで正しいかな...
そういう方法をひとつでも見つけられるか？というのが問題の肝だと思う
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573:１３２人目の素数さん
17/08/27 20:46:12.93 yFV6g72J.net
まだよくわかってないけど、>>96のハンターは最善手をうってるの？
Pに向かってまっすぐ垂直に進み続ければそんなに離されないような気もするけど
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575:１３２人目の素数さん
17/08/27 22:08:10.86 KoRlg+Jm.net
ハンターの最善手だけを想定してるわけじゃないから関係ない。
追跡装置はある時点のハンターとうさぎを通る直線上をハンターから遠ざかる方向に進み
うさぎは少しだけ追跡装置の直線の右側へ進んでいくか少しだけ追跡装置の直線の左側へ進んでいく。
ハンターが直線の右側へ進むと左側へ進んだうさぎと遠ざかり
直線の左側へ進むと右側へ進んだうさぎと遠ざかって両方に近づくことはできない。
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586:１３２人目の素数さん
17/08/28 02:52:12.08 AhUD1mtk.net
自分で作った問題が難しすぎて解けない...
相異なる3つの立方数が等差数列をなすことはあるか
587:１３２人目の素数さん
17/08/28 03:12:15.13 AhUD1mtk.net
>>579
0や負の数は立方数とはみなさないことにします、つまり-1,0,1というのは不適です
588:１３２人目の素数さん
17/08/28 04:59:34.41 5fSCJlWV.net
1,1,1
8,8,8
…
589:１３２人目の素数さん
17/08/28 05:44:46.78 5fSCJlWV.net
整数a,b,cについてa^3,b^3,c^3がこの順で等差数列になるとき
a^3+c^3=2b^3
になるが
gcd(a,b,c)=1かつabc≠0,±1で解は存在しない
つまり自然数解はa=b=c=kのみ
整数範囲で x^n+y^n=2z^n (n≧3) に非自明解がないことの証明
URLﾘﾝｸ(www.math.mcgill.ca)
（n=3は先行研究があるようだが）
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17/08/28 06:10:31.41 p9719kiw.net
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17/08/28 06:10:52.35 p9719kiw.net
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17/08/28 06:11:08.12 p9719kiw.net
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600:１３２人目の素数さん
17/08/28 12:55:03.28 AhUD1mtk.net
>>582
ありがとうございます
やっぱりむずかしすぎたみたいですね
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602:１３２人目の素数さん
17/08/28 15:51:46.74 4VsD2YTN.net
>>579
a^3 + c^3 = 2b^3
とする。
a，cとも偶数 または a，cとも偶数。
a = m-h，c = m+h
とおける。
m(mm + 3hh）= b^3
m<b ゆえ
3mhh = 3b(b-m)m +（b-m)^3
m と b-m は公約数dをもつ。
さて、どうするか…
603:１３２人目の素数さん
17/08/28 16:45:45.40 xZuc4FA/.net
1.立方体の体積をV,表面積をSとする。一辺の長さがx(x≧0)である立方体について、V+1/Sの最小値と、その時のxの値を求めよ。
2.一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。Aを中心としてB,D,Eを通る球面をK,Gを中心としてC,F,Hを通る球面をK'とするとき,KとK'で囲まれる部分の体積Vを求めよ。
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614:１３２人目の素数さん
17/08/28 17:29:33.26 Mvm0p/2D.net
>>596
1、V = x^3, S = 6x^2 より
V + 1/S = x^3 + 1/(6x^2)
xについて微分して
d/dx(V+1/S) = 3x^2 - 1/(3x^3)
(上式) = 0 を解くと
x = 1/3^(2/5)
符号の変化を見ると、このとき極小値をとることがわかる
よって最小値はx=1/3^(2/5)のとき5/6(3^(1/5))
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616:１３２人目の素数さん
17/08/28 19:07:08.83 0qW+wpPH.net
n回6面サイコロを振った時、それぞれの出目の積をkとする。kがm (2≦m)の倍数になる確率を求めよ。ただしmは整数とする
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628:１３２人目の素数さん
17/08/28 21:38:23.91 skWlGNP0.net
>>596
1. 相加相乗平均を利用した解法
V + 1/S
= x^3 + 1/(6x^2)
= (x^3)/2 + (x^3)/2 + 1/(18x^2) + 1/(18x^2) + 1/(18x^2)
≥ 5 * ( ((x^3)/2)^2 * (1/(18x^2))^3 )^(1/5)
= 5 * (1/(2^2 * 18^3))^(1/5)
= 5/6 * 1/(3^(1/5))
等号は (x^3)/2 = 1/(18x^2) のとき
すなわち x = 1/(3^(2/5)) のとき成立
2. 半径 r の球体 x^2 + y^2 + z^2 ≤ r^2 のうち
x ≥ a（但し -r < a < r）の部分を球帽といい、
その体積は (π/3)*(2r + a)(r - a)^2
| xy 平面上の領域 0 ≤ y ≤ √(r^2 - x^2) の
| x 軸周りの回転体として
| ∫[a, r] π(r^2 - x^2) dx で求められる
K, K' はいずれも半径 1 で、
中心間距離は √3 だから、
求める体積は r = 1, a = (√3)/2 の球帽を
2つ貼り合わせたものである。
求める体積は
2*(π/3)*(2 + (√3)/2)(1 - (√3)/2)^2
= (16 - 9√3)π/12
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639:１３２人目の素数さん
17/08/28 22:07:42.63 4VsD2YTN.net
>>609
・m≠(2^p)(3^q)(5^r) のとき（7以上の奇素数を含むとき）、確率 0
・m =（2^p)(3^q)(5^r）と表わせる場合
各kに対して（p,q,r）がただ１つ決まる。(UFD)
k が 2^p の倍数となる確率は
｛(3+2x+xx)/6}^n の（p～2n次の係数の和）= 1 -（p次未満の係数の和)
k が 3^q の倍数となる確率は
｛(2+x)/3}^n の（q～n次の係数の和）= 1 -（q次未満の係数の和)
kが5^rの倍数となる確率は
｛(5+x)/6}^n の（r～n次の係数の和）= 1 -（r次未満のお係数の和)
だが、これらは互いに独立とは言えないので悩ましい。
640:１３２人目の素数さん
17/08/28 22:23:52.17 YFm3aleG.net
>>582
この論文は n≧7 が素数のときの話をしていて、
n＝3 のときは先行論文によって省略しているように見える。
つまり、n＝3 がどのくらい難しいのかは、
この論文からは判断できない感じがする
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642:１３２人目の素数さん
17/08/28 22:49:33.78 PyLeA47q.net
n=3 のときの話は分からない問題スレのレスにあったリンク先のpdfに出てる
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653:１３２人目の素数さん
17/08/29 07:26:02.84 xnTl6wHS.net
一応できたっぽいけど、計算ミスが怖い。
定理：x^3＋y^3＝2z^3 を満たす x,y,z∈Z は (x－y)(x＋y)＝0 を満たす。
特に、異なる3つの正の立法数が等差数列を成すことは無い。
証明：x＝z＋a, y＝z＋b, a,b∈Z と表せば、(z＋a)^3＋(z＋b)^3＝2z^3となるので、
3(a＋b)z^2＋3(a^2＋b^2)z＋(a^3＋b^3)＝0 となる・・・(1) このとき
(6(a＋b)z＋3(a^2＋b^2))^2 ＝ 3(－a^4－4a^3b＋6a^2b^2－4ab^3－b^4) ＝ 3(－(a＋b)^4＋12(ab)^2)
となるので、c＝(6(a＋b)z＋3(a^2＋b^2)) と置けば、cは整数であり、かつ
c^2 ＝ 3(－(a＋b)^4＋12(ab)^2)
となる。よって、c＝3dと表せて、
3d^2 ＝ －(a＋b)^4＋12(ab)^2
となる。よって、3｜(a＋b) が成り立ち、しかも
d^2 ＝ －27((a＋b)/3)^4＋4(ab)^2
となる。すなわち、
a,b,d∈Z, 3｜(a＋b), d^2＋27((a＋b)/3)^4＝4(ab)^2
となる。このとき、以下に示す補題により a＋b＝0 となる。
すると、a^3＋b^3＝(a＋b)(a^2－ab＋b^2)＝0 となるので、(1)から
3(a^2＋b^2)z＝0 となり、よって
654:a^2＋b^2＝0 または z＝0 となる。 いずれの場合も、(x－y)(x＋y)＝0 となることが分かる。 よって、題意が成り立つ。(あとは、以下に示す補題を証明すればよい) (続く)
655:１３２人目の素数さん
17/08/29 07:28:56.21 xnTl6wHS.net
(続き)
補題：x,y,z∈Z は 3｜(x＋y) を満たし、かつ z^2＋27((x＋y)/3)^4＝4(xy)^2 を
満たすとする。このとき、x＋y＝0 である。
証明：(x,y,z)が題意を満たすなら、(－x,－y,z)も題意を満たし、(x,y,－z)も題意を満たす。よって、
x＋y＞0, z≧0, 3｜(x＋y), z^2＋27((x＋y)/3)^4＝4(xy)^2
を満たす x,y,z∈Z が存在しないことを示せば十分である。
背理法で示す。そのようなx,y,zがあったとする。
z≧0 が最小であるものを1つ取って再び x,y,z と置いておく。
もし z＝0 ならば、27((x＋y)/3)^4＝4(xy)^2 となるので、簡単な考察により
x＋y＝0 となって x＋y＞0 に矛盾する。よって、z≧1 ということになる。
もし 3｜z ならば、簡単な考察により、z の最小性に矛盾するような
別の解 (a,b,c) が取れることが分かる。よって、z は 3 の倍数ではない。
もし gcd(x, z)≠1 ならば、p｜x かつ p｜z となるような素数 p が取れる。
もし p＝3 ならば、3｜z となって矛盾するので、p≠3 である。このとき、
簡単な考察により、z の最小性に矛盾するような別の解 (a,b,c) が取れることが分かる。
よって、gcd(x, z)＝1 である。同様にして、gcd(y, z)＝1 である。
(続く)
656:１３２人目の素数さん
17/08/29 07:32:37.40 xnTl6wHS.net
(続き)
さて、27((x＋y)/3)^4 ＝ (2xy－z)(2xy＋z) であるから、場合分けする。
(x＋y)/3 が奇数のとき：簡単な考察により、gcd(2xy－z, 2xy＋z)＝1 となることが分かる。
よって、27｜(2xy－z) であるか、もしくは 27｜(2xy＋z) であるかのいずれかである。
27｜(2xy－z) のときは、((x＋y)/3)^4 ＝ ((2xy－z)/27) * (2xy＋z) となり、
右辺の2項は互いに素であるから、(2xy－z)/27＝s^4, (2xy＋z)＝t^4, s,t≧0 と表せる。
x＋y＞0 に注意して、(x＋y)/3＝st である。特に、s,t≧1 である。また、4xy＝27s^4＋t^4, x＋y＝3st となる。
27｜(2xy＋z) のときは、((x＋y)/3)^4 ＝ ((2xy＋z)/27) * (2xy－z) となり、
右辺の2項は互いに素であるから、(2xy＋z)/27＝s^4, (2xy－z)＝t^4, s,t≧0 と表せる。
x＋y＞0 に注意して、(x＋y)/3＝st である。特に、s,t≧1 である。また、4xy＝27s^4＋t^4, x＋y＝3st となる。
よって、いずれの場合も 4xy＝27s^4＋t^4, x＋y＝3st, s,t≧1 という形になる。
(x＋y)^2－4xy＝9s^2t^2－(27s^4＋t^4), (x＋y)^2－4xy＝(x－y)^2≧0
より、9s^2t^2－(27s^4＋t^4)≧0 となるので、27s^4＋t^4－9s^2t^2≦0 となる。
これを4倍して、4*27s^4＋4t^4－36s^2t^2≦0 となる。すなわち、
(9s^2－2t^2)^2＋27s^2≦0 となる。特に、s＝0 となる。しかし、s≧1だったから矛盾する。
(続く)
657:１３２人目の素数さん
17/08/29 07:35:26.77 xnTl6wHS.net
(続き)
よって、(x＋y)/3 は偶数になるしかない。27((x＋y)/3)^4 ＝ (2xy－z)(2xy＋z) だったから、
2xy－z と 2xy＋z のうち、少なくとも片方は偶数である。どちらの場合でも、z は偶数となるので、
z＝2c と表せて、
27 * 4 * ((x＋y)/6)^4 ＝ (xy－c)(xy＋c)
となる。よって、xy－c と xy＋c の少なくとも片方は偶数である。どちらの場合でも、
もう片方も自動的に偶数となるので、
27((x＋y)/6)^4 ＝ ((xy－c)/2) * ((xy＋c)/2)
となり、右辺の2項はともに整数である。簡単な考察により、gcd((xy－c)/2, (xy＋c)/2)＝1 となることが分かる。
よって、27｜(xy－c)/2 であるか、もしくは 27｜(xy＋c)/2 であるかのいずれかである。
27｜(xy－c)/2 のときは、((x＋y)/6)^4 ＝ ((xy－c)/54) * ((xy＋c)/2) となり、
右辺の2項は互いに素であるから、(xy－c)/54＝s^4, (xy＋c)/2＝t^4, s,t≧0 と表せる。
x＋y＞0 に注意して、(x＋y)/6＝st である。特に、s,t≧1 である。また、xy＝27s^4＋t^4, x＋y＝6st となる。
27｜(xy＋c)/2 のときは、((x＋y)/6)^4 ＝ ((xy＋c)/54) * ((xy－c)/2) となり、
右辺の2項は互いに素であるから、(xy＋c)/54＝s^4, (xy－c)/2＝t^4, s,t≧0 と表せる。
x＋y＞0 に注意して、(x＋y)/6＝st である。特に、s,t≧1 である。また、xy＝27s^4＋t^4, x＋y＝6st となる。
よって、いずれの場合も xy＝27s^4＋t^4, x＋y＝6st, s,t≧1 という形になる。
((x＋y)/2)^2－xy＝9s^2t^2－(27s^4＋t^4), ((x＋y)/2)^2－xy＝((x－y)/2)^2≧0
より、9s^2t^2－(27s^4＋t^4)≧0 となるので、27s^4＋t^4－9s^2t^2≦0 となる。
よって、さっきと同じ計算で s＝0 となるが、s≧1だったから矛盾する。
以上より、上記の補題が成り立つ。
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668:１３２人目の素数さん
17/08/29 22:43:40.32 nsGTgtdB.net
空間内に直方体Xと直方体Yがあり、Yに属する点は全てXにも属している。
またXの互いに垂直な3辺の長さをa,b,cとし、Yについてはl,m,nとする。
(1)
rは正数として立体Kについて新たな立体K_rを次のように定める。
K_r={p Ⅰ あるk∈Kが存在して、2点k,pの距離がr以下}
立体X_rの体積を求めよ。
(2)
次を示せ。
a+b+c≧l+m+n
一見自明かに思えるが直方体の位置関係は斜めでもよいし、(2)だけだと証明しにくい。
しかし新たな概念を持ち出すことで証明できるという不思議な問題
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671:１３２人目の素数さん
17/08/29 23:23:48.42 zgJ4+pZp.net
>>659
(2) では極限とるの？
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682:１３２人目の素数さん
17/08/29 23:58:18.39 bpRbK8qA.net
点Pは次のルールで12角形を移動する。
(i)1～6の目が等確率で出るサイコロを振る。
1、2の場合はその場に留まる。
3、4の場合は点Pの現在いる番号の分だけ時計回りに進む。
5、6の場合は点Pの現在いる番号の2倍の数だけ時計回りに進む。
(例えば点Pが3にいて、4の目が出た場合は3だけ時計回りに進む。)
(ii)点Pははじめ1にいる。
[問題]
サイコロをn回振った。
(1)n→∞で点Pはどの番号の点にいる？
(2)点Pが3にいる確率は？
(3)点Pが4にいる確率は？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
683:１３２人目の素数さん
17/08/30 00:04:31.19 vMdLb/bK.net
>>672
もうちょっと面白くできそうなアイデアあれば教えてください
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17/08/30 03:44:50.21 xZ8twSlP.net
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17/08/30 03:47:36.38 xZ8twSlP.net
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694:１３２人目の素数さん
17/08/30 05:27:33.17 fuWh8DFv.net
同心円である2円を外周とするリング状の形がある。
◎←コレ
長さを1箇所だけ測ってこのリングの面積を求めるにはどうすればいいか？
695:￥
17/08/30 05:38:02.18 xZ8twSlP.net
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696:１３２人目の素数さん
17/08/30 05:47:00.99 4Q4sm7+y.net
>>684
楽勝。
大きい円の弦で、小さい円に接するものの長さを測ればよい。
中学生に出題したら喜びそうな問題だな。
697:￥
17/08/30 06:21:33.25 xZ8twSlP.net
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17/08/30 06:22:04.22 xZ8twSlP.net
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17/08/30 06:22:21.99 xZ8twSlP.net
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17/08/30 06:22:39.83 xZ8twSlP.net
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17/08/30 06:22:56.98 xZ8twSlP.net
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17/08/30 06:23:13.53 xZ8twSlP.net
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17/08/30 06:24:08.15 xZ8twSlP.net
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707:１３２人目の素数さん
17/08/30 07:03:44.37 ByLuAEx8.net
>>661
それが一番記述量少ないかな
708:￥
17/08/30 07:12:09.21 xZ8twSlP.net
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709:１３２人目の素数さん
17/08/30 09:10:29.91 rPeCY3BJ.net
>>697
r が小さいときは K_r の主要項は
K の体積そのものだったのが、
r が大きくなるにつれ頂点由来の体積が
主要項となっていくわけだが、
頂点由来の体積は同等だから、
次の項、すなわち辺由来の体積が
効いてくるというわけですね。
なかなか面白いです。
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17/08/30 09:47:52.97 xZ8twSlP.net
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17/08/30 09:48:11.87 xZ8twSlP.net
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17/08/30 09:48:28.20 xZ8twSlP.net
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17/08/30 09:48:43.80 xZ8twSlP.net
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17/08/30 09:48:59.11 xZ8twSlP.net
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17/08/30 09:49:14.22 xZ8twSlP.net
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17/08/30 09:49:29.94 xZ8twSlP.net
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17/08/30 09:49:46.90 xZ8twSlP.net
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17/08/30 09:50:03.23 xZ8twSlP.net
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17/08/30 09:50:19.21 xZ8twSlP.net
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720:１３２人目の素数さん
17/08/30 10:33:20.90 ZNhlB+7p.net
>>686
なるほど
721:￥
17/08/30 10:45:41.80 xZ8twSlP.net
￥
722:１３２人目の素数さん
17/08/30 11:41:25.04 qCocPFOq.net
>>699
おもしろいな
723:￥
17/08/30 12:03:33.73 xZ8twSlP.net
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724:１３２人目の素数さん
17/08/30 13:21:40.09 BK+APDDw.net
>>659 >>661 >>697 >>699
(1)
凸体Kをｒだけ膨らませたもの K_r の体積をｒの多項式で表わす
Steinerの公式ですね。
V(r）= V(0) + S(0)･r + M(0)r^2 +（4π/3)r^3
直方体では
V(0）= abc,
S(0）= 2(ab+bc+ca),
M(0）= π(a+b+c)
(2)
0 ≦｛V(X_r）- V(Y_r)}/rr → π(a+b+c-l-m-n) （r→∞）
参考書
￣￣￣
1．木原太郎「分子と宇宙」岩波新書(黄版）104�
725:@(1979) 第7章 分子の中に凸体のコアを置く 2．木原太郎「分子間力」岩波全書（1976)
726:１３２人目の素数さん
17/08/30 14:10:01.79 ByLuAEx8.net
やっぱりそこまで難しくはないか
まあそれがいいんだけどね
X_r⊇Y_rの証明もそこそこ大事なポイントではあったんだけど簡単だしいらないね
727:１３２人目の素数さん
17/08/30 15:18:35.90 sQgFBPXt.net
>>659
これの2次元版を考えると、次の問題が同じやり方で証明できた。
問題：
A⊂R^2 は凸多角形とする(外周と内部は含むものとする)。
B⊂R^2 は凸多角形とする(外周と内部は含むものとする)。
A,B の外周の長さをそれぞれ l(A), l(B) とする。
もし A⊂B ならば、l(A)≦l(B) が成り立つことを示せ。
この問題自体は幾何的にやっても普通に解けるんだが、
>>659 のやり方だと考えることが少なくてお手軽な感じがするｗ
728:１３２人目の素数さん
17/08/30 20:03:42.90 i2T0fEiN.net
荒らし（◆2VB8wsVUoo）の正体は元筑波大学准教授で数学者の増田哲也。
増田哲也は2007年に痴漢で逮捕され、精神を病んで2ch数学板を荒らすようになった。
自ら増田哲也とカミングアウトしている。父は植物学者の増田芳雄。
荒らしが酷く、数学板で専用スレが10スレ以上立てられた。
↓確認できる最初のスレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
■徳島で痴漢の准教授を解雇 筑波大 （2007年8月5日 毎日新聞）
徳島県警阿南署などは５日未明、東京都足立区千住寿町、筑波大学准教授、増田哲也容疑者（５０）を
県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で逮捕した。
調べでは、増田容疑者は、４日午後４時２０分ごろから約５０分にわたり、ＪＲ牟岐線の列車内で、県内の
専門学校生の女性（２１）の胸や太ももなどを触った疑い。調べに対し、「夏休み期間に、講演活動を兼ね
て旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」と話しているという。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
もともとは「狢」や「猫」、「狸」などと名乗っていた。トリップも変わっている。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
増田哲也→猫◆→狢◆→狸◆
☆数学コテ紹介☆
・猫
本名、増○哲也。筑波大准教授の頃、徳島で痴漢をやらかし職を失う。
それを期に数学界から身を引いた(←アフォー)。
逮捕されてからは精神を病み、2ch荒らしが生きがいとなった。また父の芳雄に虐待されたと思い込んでいる。
もともとは大数学者アラン・コンヌに直々教えを乞うていたほどのやり手（らしい）。
数々のお涙頂戴昔話には定評あり。本人曰く「しつこさ」のみが自身の売りなのだそう。
馬鹿を煽って2ch潰しをしているのだそう。規制されてもプロバイダーを変えて復活する。
最近、院生disが激しい。日本語、英語、フランス語をしゃべる。だが、猫語はしゃべらない。
率直に言って、客観的に人生を無駄に過ごしている希
729:ガスる。 2ch潰しどころか数学板さえ潰すことの出来ないでいる希ガスる。 作戦倒れしている希ガスる。 でも本人はなんとも思ってないんだろうな。哀れ。哀れ。哀れ。
730:１３２人目の素数さん
17/08/31 13:20:19.12 Grk7OUTw.net
2^α+3^α=7^αを満たす実数αは無理数であることを証明せよ
731:１３２人目の素数さん
17/08/31 16:20:11.44 lN6IG7Wg.net
フェルマーの最終定理を使っていいなら…
732:１３２人目の素数さん
17/08/31 19:07:44.49 VNnTuIzv.net
>>719
使ったところでどうにもならんと思うけどどうぞ使って
733:$
17/09/01 09:32:19.67 pFwPB2Aw.net
>>718
反例
2^2+3^1=7^1
734:１３２人目の素数さん
17/09/01 09:45:23.38 hOuEPHyT.net
>>721
735:￥
17/09/01 14:27:33.84 7A4+w7Rv.net
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736:１３２人目の素数さん
17/09/01 15:47:09.90 RJADBIXW.net
>>721
あのさぁ…
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17/09/01 17:29:36.34 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 18:20:16.67 7A4+w7Rv.net
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739:１３２人目の素数さん
17/09/01 22:17:03.29 y0RDvvfx.net
ヒントあく
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17/09/01 22:26:12.49 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:26:31.99 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:26:50.11 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:27:08.82 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:27:27.84 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:27:45.45 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:28:03.41 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:28:22.76 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:28:41.98 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:28:59.96 7A4+w7Rv.net
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750:１３２人目の素数さん
17/09/01 22:31:19.76 Vn9CxV/f.net
>>727
αが有理数と仮定すると
αが整数と絞り込めて、余りを考えて矛盾が言える
751:１３２人目の素数さん
17/09/01 22:41:17.93 y0RDvvfx.net
α＞0は自明でさらに3.5^α-0.5^α=1だからα＜1となって0＜α＜1は分かるな
あとはα整数を示すのか
752:￥
17/09/01 22:59:45.28 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:00:02.18 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:00:18.91 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:00:36.11 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:00:53.08 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:01:11.23 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:01:30.33 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:01:54.60 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:02:11.90 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:02:32.66 7A4+w7Rv.net
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762:１３２人目の素数さん
17/09/01 23:56:53.42 X+zBfw26.net
出題者だけど整数を示す方針はよく分からん
想定してた解法は拡大体の理論を使う
763:１３２人目の素数さん
17/09/02 00:10:26.27 uC5hC4E/.net
へい！高校数学ちゃうんかい！
764:１３２人目の素数さん
17/09/02 00:11:43.33 EaRJl5xV.net
>>738
>αが有理数と仮定すると
>αが整数と絞り込めて
どうして？
765:１３２人目の素数さん
17/09/02 00:12:08.08 PwtoVOt8.net
>>751
複素の因数分解使えば高校生でも出来んことはない
766:１３２人目の素数さん
17/09/02 00:59:21.87 3JI2dd7J.net
>>752
α=p/q （p，q は互いに素）として
両辺 q 乗からの2項定理でいいんじゃね
767:￥
17/09/02 02:15:58.40 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:16:16.28 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:16:31.28 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:16:49.61 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:17:04.50 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:17:22.35 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:17:41.32 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:18:39.64 z17/uuYO.net
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777:１３２人目の素数さん
17/09/02 02:30:55.07 kgWZgt7O.net
>>754
二項定理使うまでは合ってます
その後の厳密な議論で体論を使う必要があると思うんだけど
778:￥
17/09/02 03:21:42.37 z17/uuYO.net
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17/09/02 03:21:59.19 z17/uuYO.net
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788:１３２人目の素数さん
17/09/02 11:27:33.18 Po7d73tU.net
体論 ＝ Field Theory ＝ 場の理論
類体論にもフィールズ賞を
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17/09/02 11:33:59.24 z17/uuYO.net
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17/09/02 11:34:17.70 z17/uuYO.net
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799:１３２人目の素数さん
17/09/02 20:44:20.65 bRO6cAi2.net
x=(2/n)・(cosx)^n-(1/2)sin(2x)
かつ
0＜x＜π/2
なるxをnについて定めるとき
nxのn→∞における極限を求めよ。
単
800:にわからないだけですが教えて下さい n=1000で試した結果1らしいです
801:１３２人目の素数さん
17/09/02 23:10:56.54 M3m7eKH6.net
>>787
x ~ 0 のとき、1次近似で
(2/n)(cos(x))^n - (1/2)sin(2x)
~ 2/n - x
よって x ~ 2/n - x より nx ~ 1
802:１３２人目の素数さん
17/09/02 23:12:39.17 M3m7eKH6.net
フォント修正
>>787
x ～ 0 のとき、1次近似で
(2/n)(cos(x))^n - (1/2)sin(2x)
～ (2/n)・1 - (1/2)・2x
= 2/n - x
よって x ～ 2/n - x より nx ～ 1
803:１３２人目の素数さん
17/09/02 23:28:55.65 bRO6cAi2.net
厳密にお願いします
804:１３２人目の素数さん
17/09/03 00:19:52.98 lS4umc9s.net
>>790
それはお前の仕事
805:１３２人目の素数さん
17/09/03 06:44:37.11 gi3KPdYZ.net
ガイジきた
806:１３２人目の素数さん
17/09/04 20:49:09.80 sRxrMf0e.net
p,q,rは正整数とする。f(x),g(x),h(x)は複素数係数の多項式で、少なくとも1つは
定数関数では無いとする。また、f(x)とg(x)は共通の根を持たないとする。
また、f(x)^p＋g(x)^q＝h(x)^r が成り立つとする。
このとき、1＜(1/p)＋(1/q)＋(1/r) が成り立つことを示せ。
807:１３２人目の素数さん
17/09/05 01:44:47.96 q778+o9X.net
東大作問スレって今はないんですね。
808:１３２人目の素数さん
17/09/05 01:49:32.41 RNbHjn56.net
>>794
その代替となりそうなスレならある↓
みんなで高校生に問題を出すスレ [無断転載禁止](c)2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
809:216
17/09/06 02:08:56.27 IZlBJmBS.net
>>216の(2)
a^(bb)=b^a
を満たす自然数の組
【解答】
a,bの最大公約数をdとしてa=du, b=dv（u,vは互いに素）とおくと、与式は
(du)^(ddvv)=(dv)^(du)
両辺を1/d乗すると
(du)^(dvv)=(dv)^(u) …★
両辺の指数の大小関係で場合分けをする。
(i) dvv=uのとき
du=dvよりu=v
u,vは互いに素だからu=v=1
∴d=1, a=1*1=1, b=1*1=1
(ii) dvv>uのとき
★の両辺をd^uで割ると
d^(dvv-u)*u^(dvv)=v^u
すなわちv^uはu^(dvv)を約数に持つが、u,vは互いに素だからu=1
∴d^(dvv-1)=v
d=1のときv=1でdvv>uと矛盾
d≧2のときd^(dvv-1)≧2^(2vv-1)≧2^(2v-1)>v …♯
でd^(dvv-1)=vと矛盾
(iii) dvv<uのとき
★の両辺をd^(dvv)で割ると
u^(dvv)=d^(u-dvv)*v^u
すなわちu^(dvv)はv^uを約数に持つが、u,vは互いに素だからv=1
よって
u^d=d^(u-d) …☆
u>dだからd<(u-d)
☆より、uの任意の素因数pはdの素因数でもある。u,dを素因数分解したときのpの個数をそれぞれy,zとすると(p^y)^d=(p^z)^(u-d)
よってy*d=z*(u-d)、d<(u-d)だからy>z
y>zは任意の素因数pについて成り立つから、dはuの約数である。
u=kd（kは自然数）とおくと、☆より(kd)^d=d^(kd-d)
両辺を1/d乗してdで割ると
k=d^(k-2)
d=1のとき、k=1, u=1*1=1でu>dと矛盾するから、d≧2
k=1のときd=1でd≧2と矛盾
k=2のとき2=d^0=1で矛盾
k=3のときd=3, u=3*3=9, a=3*9=27, b=3*1=3
k=4のときd=2, u=4*2=8, a=2*8=16, b=2*1=2
k≧5のときd^(k-2)≧2^(k-2)>kで矛盾 …♭
以上より、(a,b)=(1,1),(27,3),(16,2)
これらは全て与式を満たす。 ■
810:216
17/09/06 02:11:52.74 IZlBJmBS.net
♯・♭の一番右の不等号は帰納法で簡単に示せる。
出典：IMO1997-5
有名な類題でa^b=b^aを満たす自然数の組を求める問題がある（答えはメール欄に記載）。
811:￥
17/09/06 05:33:09.66 nJ0wcqLn.net
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812:￥
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822:１３２人目の素数さん
17/09/06 07:45:12.64 MJe8ew9i.net
タネがバレバレかなっていう気もするけど問題。
2017個の箱 B1 ～ B2017 がある。
箱 Bk の中には k 枚のコインが入っている(1≦k≦2017)。
次の2種類の操作を考える。
(1) 1≦k≦2016 の空でない Bk を選び、コインを1枚取り去って B(k+1) にコインを
α枚入れる。ただし、αの値は 0, 1, 2 の中から好きなものを選べる。
(2) 1≦k≦2016 の「空でもよい」 Bk を選ぶ。Bk, B(k+1) のコインの枚数を順番に a ，b とするとき、
Bk, B(k+1) のコインの枚数を [ (a＋b)/2 ] ，a に差し替える。ただし、[ ] はガウス記号とする。
操作 (1), (2) を有限回行って、B2 ～ B2017 が空で、かつ、B1 にちょうど 4 枚のコインが入っている状態にできるか。
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833:フロベニウス数
17/09/07 01:40:03.00 J3m5+o6m.net
では10円硬貨と11円硬貨の2種類のみが発行されている。
この2種類の硬貨をどう組み合わせても支払えない金額のうち、最大のものはいくらか？
証明は不要。
834:フロベニウス数
17/09/07 01:40:37.75 IyycAyAP.net
ある国では～
のミス
835:１３２人目の素数さん
17/09/07 02:24:01.94 vqX7J2tG.net
>>808
ある時点でのB_kに入っているコインの枚数をx(k)とする。
各時点での状態値Sを以下のように定める。
S=Σ[k=1～2017](x(k)/2^(k-1))
するとこの状態値Sは、操作(1)、操作(2)のいずれにおいても増加することはない。
操作(1)ではα=2のときは変化せずα=0,1のときは減少。
操作(2)ではa+bが偶数のときは変化せず、奇数のときは減少。
初期状態では S = S_0 = Σ[k=1～2017](k/2^(k-1))=4-2019/2^2016
目指すゴールの状態では S = 4
S_0 < 4 より、与えられた初期状態から目指すゴールに到達することは不可能。
836:１３２人目の素数さん
17/09/07 02:27:53.65 vqX7J2tG.net
>>819
89
837:１３２人目の素数さん
17/09/07 02:49:34.98 vqX7J2tG.net
>>808
>>821
なお、初期状態で、B_2016までは番号と同じ枚数入っており、B_2017には4036枚入っていれば
最後にB_1に4枚入っている状態にすることができる。
一般に、n個の箱の場合、
初期状態が
k=1～n-1において x(k)=k
x(n)=2n+2
であれば
最後にB_1に4枚入っている状態にできる。
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