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469:１３２人目の素数さん
17/08/25 15:27:14.09 FNkoKdXq.net
441
せっかくなので(5)追加。
nが十分大きいとき、
r_n=2,4,6,8となる確率の比はどのくらいか？
470:１３２人目の素数さん
17/08/25 15:52:25.72 24yAEQLc.net
>>401の清書
(第二可算公理のくだりについて)
各自然数nに対して
K_n = { (x,y)∈T | 2nxも2nyも整数 } (⊂T)
と定め、
C_n = { c:T→X | cはK_nでは有理点の値をとり、K_n以外の各区間では直線的に変化する } (⊂Y')
とおく。
f∈Y'とε>0を任意にとると、fの一様連続性より
( d(t,t')<1/2N ならば d(f(t),f(t'))<ε )
を満たす自然数Nが存在する。
有理点全体の集合はX上で稠密であるから、任意のk∈K_Nについて d(c(k),f(k))<ε を満たすようなc∈C_Nが存在する。
ここで、t∈Tを任意にとると、T上でtを挟むような位置にある隣り合ったk,k'∈K_Nを選べば、
d(c(t),f(t))
≦d(c(t),c(k)) + d(c(k),f(k)) + d(f(k),f(t))
<d(c(k'),c(k)) + 2ε
≦d(c(k'),f(k')) + d(f(k'),f(k)) + d(f(k),c(k)) + 2ε
<5ε
となる。したがって、
C = ∪_[nは自然数] C_n
とおくと、CはY'の稠密な可算部分集合。
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482:１３２人目の素数さん
17/08/25 17:40:54.76 24yAEQLc.net
>>401
(Λ'が離散集合であることについて)
Λの元は全て領域 (0,1)^2⊂X に収まっていると仮定してよい。λ~∈Λを任意に固定する。
Jordan Schoenflies Theoremより、ある同相写像σ:(0,1)^2→(0,1)^2が存在して
σ(ψ_λ~([0,1]×{0})) = [1/4,3/4]×{1/2}
かつ
σ(ψ_λ~((1/2,0))) = (1/2,1/2)
を満たす。
σ･ψ_λ~ (σとψ_λ~の合成) をψ'とおく。
( 0≦e≦ε ならば ψ'((1/2,e)))∈[3/8,5/8]×[1/2-δ~,1/2+δ~] ) …(※)
を満たすような正の数δ~とεをとり、(ε,δ)が(※)を満たすような最小の正の数δをとる。
(つまり、0≦e_0≦εであってψ'((1/2,e_0))のy座標が1/2±δであるような実数e_0が存在する。
上の複号(±)がプラスの方であると仮定して一般性を失わないので、以降そのように仮定する)
f∈Y'が D'(f,ψ')<min(δ,1/8) を満たしていると仮定すると、
(i)f((1/2,0))のy座標が1/2以上の場合はf([0,1]×{0})が、
(ii)そうでない場合はf({1/2}×[0,1])が
それぞれψ'(T)と交わりを持つことがわかる。
したがって、ψ'=σ･ψ_λ~はσ･Λ'={σ･ψ_λ|λ∈Λ}における孤立点であるから、
ψ_λ~はΛ'の孤立点。ゆえにΛ'は離散集合。□
まだまだ細かい補足が必要な箇所はあるだろうけどもう疲れたので>>297の証明はこの辺で終わりにしときます 誤りの指摘や疑問点は受けるけど
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493:１３２人目の素数さん
17/08/25 21:03:31.53 07BQhbja.net
>>453
他にはないの？
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495:１３２人目の素数さん
17/08/26 01:23:14.61 a5WQhO5r.net
>>464 (5)
5が1回も出ない確率は（5/6)^n
5が1回は出る確率は１-（5/6)^n
r_n=5 となる確率は（1/2)^n -（1/3)^n
r_n=0 となる確率は 1 - (5/6)^n -（1/2)^n +（1/3)^n
偶数が1回も出ない確率は（1/2)^n
r_n=1,3,7,9 となる確率は（1/3)^n
偶数が1回は出る確率は１-（1/2)^n
r_n=2,4,6,8 となる確率は（5/6)^n -（1/3)^n
5が1回も出ないとき
2･3 ≡ 1 （mod 5)
より
p_n =（2^i)(3^j）≡ 2^(i-j) （mod 5)
これを 10 で割った余りは、
r_n = 6 i-j≡0 （mod 4)
r_n = 2 i-j≡1 （mod 4)
r_n = 4 i-j≡2 （mod 4)
r_n = 8 i-j≡3 （mod 4)
nが十分大きいとき、r_n=2,4,6,8 となる確率の比は
１：１：１：１
に近づく。
496:１３２人目の素数さん
17/08/26 01:47:06.70 8Eex8fjJ.net
この証明において、収束性は前提として認められている、ということでいいのですかね？
497:１３２人目の素数さん
17/08/26 02:07:17.33 8Eex8fjJ.net
収束性の証明はどうでしょう
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508:１３２人目の素数さん
17/08/26 12:54:57.55 8Eex8fjJ.net
>>491
収束性(i-jが周期4で振動すると言えばいいのかな)も証明になっている気がするのだが
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510:１３２人目の素数さん
17/08/26 17:04:25.41 a5WQhO5r.net
>>502
5面、5面
サイコロの出目によって、i-j （mod 5）は（初期値によらず）
1 → 0,
2 → +1,
3 → -1,
4 → +2,
6 → 0,
だけ変わるけど、nが十分大きいとき、等分配に近づくか？
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521:１３２人目の素数さん
17/08/26 17:25:35.67 8Eex8fjJ.net
>>504
まずi-jの値によって、周期4で等分配を仮定して、
それをもと�
522:ﾉ数学的帰納法でやると次の代も等分配
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524:１３２人目の素数さん
17/08/26 17:54:11.89 8Eex8fjJ.net
帰納法使うんだから或るn∈ℕが存在して1:1:1:1になってなきゃいけないよね？
極限とったら近づくって収束性を仮定してるし、近似に対して上の議論は使えないはず
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535:１３２人目の素数さん
17/08/26 19:47:41.18 8Eex8fjJ.net
n回目、
2、4、6、8にいる確率をそれぞれa_n、b_n、c_n、d_nとする。
このとき、a_n + b_n + c_n + d_n=1とする。
a_(n+1)=(2*a_n + b_n + c_n + d_n)/5
=1/5 + a_n
よって、n→∞でa_nは1/4に収束する。
b_n、c_n、d_nについても同様1/4に収束する。
これで説明になるかしら
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537:１３２人目の素数さん
17/08/27 01:32:32.60 REH5mTah.net
>>528
ダメっしょ
538:１３２人目の素数さん
17/08/27 02:03:02.96 +jqGXYY6.net
>>530
ええどうして？
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549:１３２人目の素数さん
17/08/27 15:22:09.47 +jqGXYY6.net
>>15の問題で>>96が正解となっているが
ハンターの戦略を仮定して「追いつくことができない」と結論づけるのには、「その戦略が最適手であること」を示さないと、別の戦略で追いつけるかもしれないのでは？
っていう問題の性質上、答えは追いつけるものだと思っているのだが、どうなのだろう
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560:１３２人目の素数さん
17/08/27 18:11:24.80 hu8Dlrep.net
>>542
>>96ではハンターの戦略を特別に仮定してるわけではない
(…ようには見えない書き方だったけど、>>126と>>129のやりとりを見てもらえたら仮定してる訳じゃないって事がわかると思う)
ハンターがどんな戦略をとろうとも、>>126で言われてる不運な状況が起こり続ければ、二点の距離は>>96の計算の通り増え続けるということ。
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562:１３２人目の素数さん
17/08/27 19:29:09.23 +jqGXYY6.net
ウサギが最善手を打てばハンター最善手を打っても追い付けないのであれば、追い付けないで正しいかな...
そういう方法をひとつでも見つけられるか？というのが問題の肝だと思う
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573:１３２人目の素数さん
17/08/27 20:46:12.93 yFV6g72J.net
まだよくわかってないけど、>>96のハンターは最善手をうってるの？
Pに向かってまっすぐ垂直に進み続ければそんなに離されないような気もするけど
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575:１３２人目の素数さん
17/08/27 22:08:10.86 KoRlg+Jm.net
ハンターの最善手だけを想定してるわけじゃないから関係ない。
追跡装置はある時点のハンターとうさぎを通る直線上をハンターから遠ざかる方向に進み
うさぎは少しだけ追跡装置の直線の右側へ進んでいくか少しだけ追跡装置の直線の左側へ進んでいく。
ハンターが直線の右側へ進むと左側へ進んだうさぎと遠ざかり
直線の左側へ進むと右側へ進んだうさぎと遠ざかって両方に近づくことはできない。
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586:１３２人目の素数さん
17/08/28 02:52:12.08 AhUD1mtk.net
自分で作った問題が難しすぎて解けない...
相異なる3つの立方数が等差数列をなすことはあるか
587:１３２人目の素数さん
17/08/28 03:12:15.13 AhUD1mtk.net
>>579
0や負の数は立方数とはみなさないことにします、つまり-1,0,1というのは不適です
588:１３２人目の素数さん
17/08/28 04:59:34.41 5fSCJlWV.net
1,1,1
8,8,8
…
589:１３２人目の素数さん
17/08/28 05:44:46.78 5fSCJlWV.net
整数a,b,cについてa^3,b^3,c^3がこの順で等差数列になるとき
a^3+c^3=2b^3
になるが
gcd(a,b,c)=1かつabc≠0,±1で解は存在しない
つまり自然数解はa=b=c=kのみ
整数範囲で x^n+y^n=2z^n (n≧3) に非自明解がないことの証明
URLﾘﾝｸ(www.math.mcgill.ca)
（n=3は先行研究があるようだが）
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17/08/28 06:10:31.41 p9719kiw.net
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600:１３２人目の素数さん
17/08/28 12:55:03.28 AhUD1mtk.net
>>582
ありがとうございます
やっぱりむずかしすぎたみたいですね
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602:１３２人目の素数さん
17/08/28 15:51:46.74 4VsD2YTN.net
>>579
a^3 + c^3 = 2b^3
とする。
a，cとも偶数 または a，cとも偶数。
a = m-h，c = m+h
とおける。
m(mm + 3hh）= b^3
m<b ゆえ
3mhh = 3b(b-m)m +（b-m)^3
m と b-m は公約数dをもつ。
さて、どうするか…
603:１３２人目の素数さん
17/08/28 16:45:45.40 xZuc4FA/.net
1.立方体の体積をV,表面積をSとする。一辺の長さがx(x≧0)である立方体について、V+1/Sの最小値と、その時のxの値を求めよ。
2.一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。Aを中心としてB,D,Eを通る球面をK,Gを中心としてC,F,Hを通る球面をK'とするとき,KとK'で囲まれる部分の体積Vを求めよ。
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614:１３２人目の素数さん
17/08/28 17:29:33.26 Mvm0p/2D.net
>>596
1、V = x^3, S = 6x^2 より
V + 1/S = x^3 + 1/(6x^2)
xについて微分して
d/dx(V+1/S) = 3x^2 - 1/(3x^3)
(上式) = 0 を解くと
x = 1/3^(2/5)
符号の変化を見ると、このとき極小値をとることがわかる
よって最小値はx=1/3^(2/5)のとき5/6(3^(1/5))
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616:１３２人目の素数さん
17/08/28 19:07:08.83 0qW+wpPH.net
n回6面サイコロを振った時、それぞれの出目の積をkとする。kがm (2≦m)の倍数になる確率を求めよ。ただしmは整数とする
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628:１３２人目の素数さん
17/08/28 21:38:23.91 skWlGNP0.net
>>596
1. 相加相乗平均を利用した解法
V + 1/S
= x^3 + 1/(6x^2)
= (x^3)/2 + (x^3)/2 + 1/(18x^2) + 1/(18x^2) + 1/(18x^2)
≥ 5 * ( ((x^3)/2)^2 * (1/(18x^2))^3 )^(1/5)
= 5 * (1/(2^2 * 18^3))^(1/5)
= 5/6 * 1/(3^(1/5))
等号は (x^3)/2 = 1/(18x^2) のとき
すなわち x = 1/(3^(2/5)) のとき成立
2. 半径 r の球体 x^2 + y^2 + z^2 ≤ r^2 のうち
x ≥ a（但し -r < a < r）の部分を球帽といい、
その体積は (π/3)*(2r + a)(r - a)^2
| xy 平面上の領域 0 ≤ y ≤ √(r^2 - x^2) の
| x 軸周りの回転体として
| ∫[a, r] π(r^2 - x^2) dx で求められる
K, K' はいずれも半径 1 で、
中心間距離は √3 だから、
求める体積は r = 1, a = (√3)/2 の球帽を
2つ貼り合わせたものである。
求める体積は
2*(π/3)*(2 + (√3)/2)(1 - (√3)/2)^2
= (16 - 9√3)π/12
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639:１３２人目の素数さん
17/08/28 22:07:42.63 4VsD2YTN.net
>>609
・m≠(2^p)(3^q)(5^r) のとき（7以上の奇素数を含むとき）、確率 0
・m =（2^p)(3^q)(5^r）と表わせる場合
各kに対して（p,q,r）がただ１つ決まる。(UFD)
k が 2^p の倍数となる確率は
｛(3+2x+xx)/6}^n の（p～2n次の係数の和）= 1 -（p次未満の係数の和)
k が 3^q の倍数となる確率は
｛(2+x)/3}^n の（q～n次の係数の和）= 1 -（q次未満の係数の和)
kが5^rの倍数となる確率は
｛(5+x)/6}^n の（r～n次の係数の和）= 1 -（r次未満のお係数の和)
だが、これらは互いに独立とは言えないので悩ましい。
640:１３２人目の素数さん
17/08/28 22:23:52.17 YFm3aleG.net
>>582
この論文は n≧7 が素数のときの話をしていて、
n＝3 のときは先行論文によって省略しているように見える。
つまり、n＝3 がどのくらい難しいのかは、
この論文からは判断できない感じがする
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642:１３２人目の素数さん
17/08/28 22:49:33.78 PyLeA47q.net
n=3 のときの話は分からない問題スレのレスにあったリンク先のpdfに出てる
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653:１３２人目の素数さん
17/08/29 07:26:02.84 xnTl6wHS.net
一応できたっぽいけど、計算ミスが怖い。
定理：x^3＋y^3＝2z^3 を満たす x,y,z∈Z は (x－y)(x＋y)＝0 を満たす。
特に、異なる3つの正の立法数が等差数列を成すことは無い。
証明：x＝z＋a, y＝z＋b, a,b∈Z と表せば、(z＋a)^3＋(z＋b)^3＝2z^3となるので、
3(a＋b)z^2＋3(a^2＋b^2)z＋(a^3＋b^3)＝0 となる・・・(1) このとき
(6(a＋b)z＋3(a^2＋b^2))^2 ＝ 3(－a^4－4a^3b＋6a^2b^2－4ab^3－b^4) ＝ 3(－(a＋b)^4＋12(ab)^2)
となるので、c＝(6(a＋b)z＋3(a^2＋b^2)) と置けば、cは整数であり、かつ
c^2 ＝ 3(－(a＋b)^4＋12(ab)^2)
となる。よって、c＝3dと表せて、
3d^2 ＝ －(a＋b)^4＋12(ab)^2
となる。よって、3｜(a＋b) が成り立ち、しかも
d^2 ＝ －27((a＋b)/3)^4＋4(ab)^2
となる。すなわち、
a,b,d∈Z, 3｜(a＋b), d^2＋27((a＋b)/3)^4＝4(ab)^2
となる。このとき、以下に示す補題により a＋b＝0 となる。
すると、a^3＋b^3＝(a＋b)(a^2－ab＋b^2)＝0 となるので、(1)から
3(a^2＋b^2)z＝0 となり、よって
654:a^2＋b^2＝0 または z＝0 となる。 いずれの場合も、(x－y)(x＋y)＝0 となることが分かる。 よって、題意が成り立つ。(あとは、以下に示す補題を証明すればよい) (続く)
655:１３２人目の素数さん
17/08/29 07:28:56.21 xnTl6wHS.net
(続き)
補題：x,y,z∈Z は 3｜(x＋y) を満たし、かつ z^2＋27((x＋y)/3)^4＝4(xy)^2 を
満たすとする。このとき、x＋y＝0 である。
証明：(x,y,z)が題意を満たすなら、(－x,－y,z)も題意を満たし、(x,y,－z)も題意を満たす。よって、
x＋y＞0, z≧0, 3｜(x＋y), z^2＋27((x＋y)/3)^4＝4(xy)^2
を満たす x,y,z∈Z が存在しないことを示せば十分である。
背理法で示す。そのようなx,y,zがあったとする。
z≧0 が最小であるものを1つ取って再び x,y,z と置いておく。
もし z＝0 ならば、27((x＋y)/3)^4＝4(xy)^2 となるので、簡単な考察により
x＋y＝0 となって x＋y＞0 に矛盾する。よって、z≧1 ということになる。
もし 3｜z ならば、簡単な考察により、z の最小性に矛盾するような
別の解 (a,b,c) が取れることが分かる。よって、z は 3 の倍数ではない。
もし gcd(x, z)≠1 ならば、p｜x かつ p｜z となるような素数 p が取れる。
もし p＝3 ならば、3｜z となって矛盾するので、p≠3 である。このとき、
簡単な考察により、z の最小性に矛盾するような別の解 (a,b,c) が取れることが分かる。
よって、gcd(x, z)＝1 である。同様にして、gcd(y, z)＝1 である。
(続く)
656:１３２人目の素数さん
17/08/29 07:32:37.40 xnTl6wHS.net
(続き)
さて、27((x＋y)/3)^4 ＝ (2xy－z)(2xy＋z) であるから、場合分けする。
(x＋y)/3 が奇数のとき：簡単な考察により、gcd(2xy－z, 2xy＋z)＝1 となることが分かる。
よって、27｜(2xy－z) であるか、もしくは 27｜(2xy＋z) であるかのいずれかである。
27｜(2xy－z) のときは、((x＋y)/3)^4 ＝ ((2xy－z)/27) * (2xy＋z) となり、
右辺の2項は互いに素であるから、(2xy－z)/27＝s^4, (2xy＋z)＝t^4, s,t≧0 と表せる。
x＋y＞0 に注意して、(x＋y)/3＝st である。特に、s,t≧1 である。また、4xy＝27s^4＋t^4, x＋y＝3st となる。
27｜(2xy＋z) のときは、((x＋y)/3)^4 ＝ ((2xy＋z)/27) * (2xy－z) となり、
右辺の2項は互いに素であるから、(2xy＋z)/27＝s^4, (2xy－z)＝t^4, s,t≧0 と表せる。
x＋y＞0 に注意して、(x＋y)/3＝st である。特に、s,t≧1 である。また、4xy＝27s^4＋t^4, x＋y＝3st となる。
よって、いずれの場合も 4xy＝27s^4＋t^4, x＋y＝3st, s,t≧1 という形になる。
(x＋y)^2－4xy＝9s^2t^2－(27s^4＋t^4), (x＋y)^2－4xy＝(x－y)^2≧0
より、9s^2t^2－(27s^4＋t^4)≧0 となるので、27s^4＋t^4－9s^2t^2≦0 となる。
これを4倍して、4*27s^4＋4t^4－36s^2t^2≦0 となる。すなわち、
(9s^2－2t^2)^2＋27s^2≦0 となる。特に、s＝0 となる。しかし、s≧1だったから矛盾する。
(続く)
657:１３２人目の素数さん
17/08/29 07:35:26.77 xnTl6wHS.net
(続き)
よって、(x＋y)/3 は偶数になるしかない。27((x＋y)/3)^4 ＝ (2xy－z)(2xy＋z) だったから、
2xy－z と 2xy＋z のうち、少なくとも片方は偶数である。どちらの場合でも、z は偶数となるので、
z＝2c と表せて、
27 * 4 * ((x＋y)/6)^4 ＝ (xy－c)(xy＋c)
となる。よって、xy－c と xy＋c の少なくとも片方は偶数である。どちらの場合でも、
もう片方も自動的に偶数となるので、
27((x＋y)/6)^4 ＝ ((xy－c)/2) * ((xy＋c)/2)
となり、右辺の2項はともに整数である。簡単な考察により、gcd((xy－c)/2, (xy＋c)/2)＝1 となることが分かる。
よって、27｜(xy－c)/2 であるか、もしくは 27｜(xy＋c)/2 であるかのいずれかである。
27｜(xy－c)/2 のときは、((x＋y)/6)^4 ＝ ((xy－c)/54) * ((xy＋c)/2) となり、
右辺の2項は互いに素であるから、(xy－c)/54＝s^4, (xy＋c)/2＝t^4, s,t≧0 と表せる。
x＋y＞0 に注意して、(x＋y)/6＝st である。特に、s,t≧1 である。また、xy＝27s^4＋t^4, x＋y＝6st となる。
27｜(xy＋c)/2 のときは、((x＋y)/6)^4 ＝ ((xy＋c)/54) * ((xy－c)/2) となり、
右辺の2項は互いに素であるから、(xy＋c)/54＝s^4, (xy－c)/2＝t^4, s,t≧0 と表せる。
x＋y＞0 に注意して、(x＋y)/6＝st である。特に、s,t≧1 である。また、xy＝27s^4＋t^4, x＋y＝6st となる。
よって、いずれの場合も xy＝27s^4＋t^4, x＋y＝6st, s,t≧1 という形になる。
((x＋y)/2)^2－xy＝9s^2t^2－(27s^4＋t^4), ((x＋y)/2)^2－xy＝((x－y)/2)^2≧0
より、9s^2t^2－(27s^4＋t^4)≧0 となるので、27s^4＋t^4－9s^2t^2≦0 となる。
よって、さっきと同じ計算で s＝0 となるが、s≧1だったから矛盾する。
以上より、上記の補題が成り立つ。
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668:１３２人目の素数さん
17/08/29 22:43:40.32 nsGTgtdB.net
空間内に直方体Xと直方体Yがあり、Yに属する点は全てXにも属している。
またXの互いに垂直な3辺の長さをa,b,cとし、Yについてはl,m,nとする。
(1)
rは正数として立体Kについて新たな立体K_rを次のように定める。
K_r={p Ⅰ あるk∈Kが存在して、2点k,pの距離がr以下}
立体X_rの体積を求めよ。
(2)
次を示せ。
a+b+c≧l+m+n
一見自明かに思えるが直方体の位置関係は斜めでもよいし、(2)だけだと証明しにくい。
しかし新たな概念を持ち出すことで証明できるという不思議な問題
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671:１３２人目の素数さん
17/08/29 23:23:48.42 zgJ4+pZp.net
>>659
(2) では極限とるの？
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682:１３２人目の素数さん
17/08/29 23:58:18.39 bpRbK8qA.net
点Pは次のルールで12角形を移動する。
(i)1～6の目が等確率で出るサイコロを振る。
1、2の場合はその場に留まる。
3、4の場合は点Pの現在いる番号の分だけ時計回りに進む。
5、6の場合は点Pの現在いる番号の2倍の数だけ時計回りに進む。
(例えば点Pが3にいて、4の目が出た場合は3だけ時計回りに進む。)
(ii)点Pははじめ1にいる。
[問題]
サイコロをn回振った。
(1)n→∞で点Pはどの番号の点にいる？
(2)点Pが3にいる確率は？
(3)点Pが4にいる確率は？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
683:１３２人目の素数さん
17/08/30 00:04:31.19 vMdLb/bK.net
>>672
もうちょっと面白くできそうなアイデアあれば教えてください
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17/08/30 03:44:50.21 xZ8twSlP.net
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17/08/30 03:45:45.82 xZ8twSlP.net
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694:１３２人目の素数さん
17/08/30 05:27:33.17 fuWh8DFv.net
同心円である2円を外周とするリング状の形がある。
◎←コレ
長さを1箇所だけ測ってこのリングの面積を求めるにはどうすればいいか？
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17/08/30 05:38:02.18 xZ8twSlP.net
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696:１３２人目の素数さん
17/08/30 05:47:00.99 4Q4sm7+y.net
>>684
楽勝。
大きい円の弦で、小さい円に接するものの長さを測ればよい。
中学生に出題したら喜びそうな問題だな。
697:￥
17/08/30 06:21:33.25 xZ8twSlP.net
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17/08/30 06:22:04.22 xZ8twSlP.net
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17/08/30 06:22:21.99 xZ8twSlP.net
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707:１３２人目の素数さん
17/08/30 07:03:44.37 ByLuAEx8.net
>>661
それが一番記述量少ないかな
708:￥
17/08/30 07:12:09.21 xZ8twSlP.net
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709:１３２人目の素数さん
17/08/30 09:10:29.91 rPeCY3BJ.net
>>697
r が小さいときは K_r の主要項は
K の体積そのものだったのが、
r が大きくなるにつれ頂点由来の体積が
主要項となっていくわけだが、
頂点由来の体積は同等だから、
次の項、すなわち辺由来の体積が
効いてくるというわけですね。
なかなか面白いです。
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17/08/30 09:47:52.97 xZ8twSlP.net
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17/08/30 09:48:11.87 xZ8twSlP.net
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17/08/30 09:49:29.94 xZ8twSlP.net
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17/08/30 09:49:46.90 xZ8twSlP.net
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17/08/30 09:50:03.23 xZ8twSlP.net
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720:１３２人目の素数さん
17/08/30 10:33:20.90 ZNhlB+7p.net
>>686
なるほど
721:￥
17/08/30 10:45:41.80 xZ8twSlP.net
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722:１３２人目の素数さん
17/08/30 11:41:25.04 qCocPFOq.net
>>699
おもしろいな
723:￥
17/08/30 12:03:33.73 xZ8twSlP.net
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724:１３２人目の素数さん
17/08/30 13:21:40.09 BK+APDDw.net
>>659 >>661 >>697 >>699
(1)
凸体Kをｒだけ膨らませたもの K_r の体積をｒの多項式で表わす
Steinerの公式ですね。
V(r）= V(0) + S(0)･r + M(0)r^2 +（4π/3)r^3
直方体では
V(0）= abc,
S(0）= 2(ab+bc+ca),
M(0）= π(a+b+c)
(2)
0 ≦｛V(X_r）- V(Y_r)}/rr → π(a+b+c-l-m-n) （r→∞）
参考書
￣￣￣
1．木原太郎「分子と宇宙」岩波新書(黄版）104�
725:@(1979) 第7章 分子の中に凸体のコアを置く 2．木原太郎「分子間力」岩波全書（1976)
726:１３２人目の素数さん
17/08/30 14:10:01.79 ByLuAEx8.net
やっぱりそこまで難しくはないか
まあそれがいいんだけどね
X_r⊇Y_rの証明もそこそこ大事なポイントではあったんだけど簡単だしいらないね
727:１３２人目の素数さん
17/08/30 15:18:35.90 sQgFBPXt.net
>>659
これの2次元版を考えると、次の問題が同じやり方で証明できた。
問題：
A⊂R^2 は凸多角形とする(外周と内部は含むものとする)。
B⊂R^2 は凸多角形とする(外周と内部は含むものとする)。
A,B の外周の長さをそれぞれ l(A), l(B) とする。
もし A⊂B ならば、l(A)≦l(B) が成り立つことを示せ。
この問題自体は幾何的にやっても普通に解けるんだが、
>>659 のやり方だと考えることが少なくてお手軽な感じがするｗ
728:１３２人目の素数さん
17/08/30 20:03:42.90 i2T0fEiN.net
荒らし（◆2VB8wsVUoo）の正体は元筑波大学准教授で数学者の増田哲也。
増田哲也は2007年に痴漢で逮捕され、精神を病んで2ch数学板を荒らすようになった。
自ら増田哲也とカミングアウトしている。父は植物学者の増田芳雄。
荒らしが酷く、数学板で専用スレが10スレ以上立てられた。
↓確認できる最初のスレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
■徳島で痴漢の准教授を解雇 筑波大 （2007年8月5日 毎日新聞）
徳島県警阿南署などは５日未明、東京都足立区千住寿町、筑波大学准教授、増田哲也容疑者（５０）を
県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で逮捕した。
調べでは、増田容疑者は、４日午後４時２０分ごろから約５０分にわたり、ＪＲ牟岐線の列車内で、県内の
専門学校生の女性（２１）の胸や太ももなどを触った疑い。調べに対し、「夏休み期間に、講演活動を兼ね
て旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」と話しているという。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
もともとは「狢」や「猫」、「狸」などと名乗っていた。トリップも変わっている。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
増田哲也→猫◆→狢◆→狸◆
☆数学コテ紹介☆
・猫
本名、増○哲也。筑波大准教授の頃、徳島で痴漢をやらかし職を失う。
それを期に数学界から身を引いた(←アフォー)。
逮捕されてからは精神を病み、2ch荒らしが生きがいとなった。また父の芳雄に虐待されたと思い込んでいる。
もともとは大数学者アラン・コンヌに直々教えを乞うていたほどのやり手（らしい）。
数々のお涙頂戴昔話には定評あり。本人曰く「しつこさ」のみが自身の売りなのだそう。
馬鹿を煽って2ch潰しをしているのだそう。規制されてもプロバイダーを変えて復活する。
最近、院生disが激しい。日本語、英語、フランス語をしゃべる。だが、猫語はしゃべらない。
率直に言って、客観的に人生を無駄に過ごしている希
729:ガスる。 2ch潰しどころか数学板さえ潰すことの出来ないでいる希ガスる。 作戦倒れしている希ガスる。 でも本人はなんとも思ってないんだろうな。哀れ。哀れ。哀れ。
730:１３２人目の素数さん
17/08/31 13:20:19.12 Grk7OUTw.net
2^α+3^α=7^αを満たす実数αは無理数であることを証明せよ
731:１３２人目の素数さん
17/08/31 16:20:11.44 lN6IG7Wg.net
フェルマーの最終定理を使っていいなら…
732:１３２人目の素数さん
17/08/31 19:07:44.49 VNnTuIzv.net
>>719
使ったところでどうにもならんと思うけどどうぞ使って
733:$
17/09/01 09:32:19.67 pFwPB2Aw.net
>>718
反例
2^2+3^1=7^1
734:１３２人目の素数さん
17/09/01 09:45:23.38 hOuEPHyT.net
>>721
735:￥
17/09/01 14:27:33.84 7A4+w7Rv.net
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736:１３２人目の素数さん
17/09/01 15:47:09.90 RJADBIXW.net
>>721
あのさぁ…
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17/09/01 17:29:36.34 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 18:20:16.67 7A4+w7Rv.net
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739:１３２人目の素数さん
17/09/01 22:17:03.29 y0RDvvfx.net
ヒントあく
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17/09/01 22:26:12.49 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:26:31.99 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:26:50.11 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:27:08.82 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:27:27.84 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:27:45.45 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:28:03.41 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:28:22.76 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:28:41.98 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 22:28:59.96 7A4+w7Rv.net
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750:１３２人目の素数さん
17/09/01 22:31:19.76 Vn9CxV/f.net
>>727
αが有理数と仮定すると
αが整数と絞り込めて、余りを考えて矛盾が言える
751:１３２人目の素数さん
17/09/01 22:41:17.93 y0RDvvfx.net
α＞0は自明でさらに3.5^α-0.5^α=1だからα＜1となって0＜α＜1は分かるな
あとはα整数を示すのか
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17/09/01 22:59:45.28 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:00:02.18 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:00:18.91 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:00:36.11 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:00:53.08 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:01:11.23 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:01:30.33 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:01:54.60 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:02:11.90 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:02:32.66 7A4+w7Rv.net
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762:１３２人目の素数さん
17/09/01 23:56:53.42 X+zBfw26.net
出題者だけど整数を示す方針はよく分からん
想定してた解法は拡大体の理論を使う
763:１３２人目の素数さん
17/09/02 00:10:26.27 uC5hC4E/.net
へい！高校数学ちゃうんかい！
764:１３２人目の素数さん
17/09/02 00:11:43.33 EaRJl5xV.net
>>738
>αが有理数と仮定すると
>αが整数と絞り込めて
どうして？
765:１３２人目の素数さん
17/09/02 00:12:08.08 PwtoVOt8.net
>>751
複素の因数分解使えば高校生でも出来んことはない
766:１３２人目の素数さん
17/09/02 00:59:21.87 3JI2dd7J.net
>>752
α=p/q （p，q は互いに素）として
両辺 q 乗からの2項定理でいいんじゃね
767:￥
17/09/02 02:15:58.40 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:16:16.28 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:16:31.28 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:16:49.61 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:17:04.50 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:17:22.35 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:17:41.32 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:18:01.86 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:18:20.72 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:18:39.64 z17/uuYO.net
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777:１３２人目の素数さん
17/09/02 02:30:55.07 kgWZgt7O.net
>>754
二項定理使うまでは合ってます
その後の厳密な議論で体論を使う必要があると思うんだけど
778:￥
17/09/02 03:21:42.37 z17/uuYO.net
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17/09/02 03:21:59.19 z17/uuYO.net
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788:１３２人目の素数さん
17/09/02 11:27:33.18 Po7d73tU.net
体論 ＝ Field Theory ＝ 場の理論
類体論にもフィールズ賞を
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17/09/02 11:33:59.24 z17/uuYO.net
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17/09/02 11:34:17.70 z17/uuYO.net
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17/09/02 11:36:07.86 z17/uuYO.net
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17/09/02 11:36:24.45 z17/uuYO.net
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17/09/02 11:36:42.45 z17/uuYO.net
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17/09/02 11:36:59.02 z17/uuYO.net
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799:１３２人目の素数さん
17/09/02 20:44:20.65 bRO6cAi2.net
x=(2/n)・(cosx)^n-(1/2)sin(2x)
かつ
0＜x＜π/2
なるxをnについて定めるとき
nxのn→∞における極限を求めよ。
単
800:にわからないだけですが教えて下さい n=1000で試した結果1らしいです
801:１３２人目の素数さん
17/09/02 23:10:56.54 M3m7eKH6.net
>>787
x ~ 0 のとき、1次近似で
(2/n)(cos(x))^n - (1/2)sin(2x)
~ 2/n - x
よって x ~ 2/n - x より nx ~ 1
802:１３２人目の素数さん
17/09/02 23:12:39.17 M3m7eKH6.net
フォント修正
>>787
x ～ 0 のとき、1次近似で
(2/n)(cos(x))^n - (1/2)sin(2x)
～ (2/n)・1 - (1/2)・2x
= 2/n - x
よって x ～ 2/n - x より nx ～ 1
803:１３２人目の素数さん
17/09/02 23:28:55.65 bRO6cAi2.net
厳密にお願いします
804:１３２人目の素数さん
17/09/03 00:19:52.98 lS4umc9s.net
>>790
それはお前の仕事
805:１３２人目の素数さん
17/09/03 06:44:37.11 gi3KPdYZ.net
ガイジきた
806:１３２人目の素数さん
17/09/04 20:49:09.80 sRxrMf0e.net
p,q,rは正整数とする。f(x),g(x),h(x)は複素数係数の多項式で、少なくとも1つは
定数関数では無いとする。また、f(x)とg(x)は共通の根を持たないとする。
また、f(x)^p＋g(x)^q＝h(x)^r が成り立つとする。
このとき、1＜(1/p)＋(1/q)＋(1/r) が成り立つことを示せ。
807:１３２人目の素数さん
17/09/05 01:44:47.96 q778+o9X.net
東大作問スレって今はないんですね。
808:１３２人目の素数さん
17/09/05 01:49:32.41 RNbHjn56.net
>>794
その代替となりそうなスレならある↓
みんなで高校生に問題を出すスレ [無断転載禁止](c)2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
809:216
17/09/06 02:08:56.27 IZlBJmBS.net
>>216の(2)
a^(bb)=b^a
を満たす自然数の組
【解答】
a,bの最大公約数をdとしてa=du, b=dv（u,vは互いに素）とおくと、与式は
(du)^(ddvv)=(dv)^(du)
両辺を1/d乗すると
(du)^(dvv)=(dv)^(u) …★
両辺の指数の大小関係で場合分けをする。
(i) dvv=uのとき
du=dvよりu=v
u,vは互いに素だからu=v=1
∴d=1, a=1*1=1, b=1*1=1
(ii) dvv>uのとき
★の両辺をd^uで割ると
d^(dvv-u)*u^(dvv)=v^u
すなわちv^uはu^(dvv)を約数に持つが、u,vは互いに素だからu=1
∴d^(dvv-1)=v
d=1のときv=1でdvv>uと矛盾
d≧2のときd^(dvv-1)≧2^(2vv-1)≧2^(2v-1)>v …♯
でd^(dvv-1)=vと矛盾
(iii) dvv<uのとき
★の両辺をd^(dvv)で割ると
u^(dvv)=d^(u-dvv)*v^u
すなわちu^(dvv)はv^uを約数に持つが、u,vは互いに素だからv=1
よって
u^d=d^(u-d) …☆
u>dだからd<(u-d)
☆より、uの任意の素因数pはdの素因数でもある。u,dを素因数分解したときのpの個数をそれぞれy,zとすると(p^y)^d=(p^z)^(u-d)
よってy*d=z*(u-d)、d<(u-d)だからy>z
y>zは任意の素因数pについて成り立つから、dはuの約数である。
u=kd（kは自然数）とおくと、☆より(kd)^d=d^(kd-d)
両辺を1/d乗してdで割ると
k=d^(k-2)
d=1のとき、k=1, u=1*1=1でu>dと矛盾するから、d≧2
k=1のときd=1でd≧2と矛盾
k=2のとき2=d^0=1で矛盾
k=3のときd=3, u=3*3=9, a=3*9=27, b=3*1=3
k=4のときd=2, u=4*2=8, a=2*8=16, b=2*1=2
k≧5のときd^(k-2)≧2^(k-2)>kで矛盾 …♭
以上より、(a,b)=(1,1),(27,3),(16,2)
これらは全て与式を満たす。 ■
810:216
17/09/06 02:11:52.74 IZlBJmBS.net
♯・♭の一番右の不等号は帰納法で簡単に示せる。
出典：IMO1997-5
有名な類題でa^b=b^aを満たす自然数の組を求める問題がある（答えはメール欄に記載）。
811:￥
17/09/06 05:33:09.66 nJ0wcqLn.net
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17/09/06 05:33:31.03 nJ0wcqLn.net
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813:￥
17/09/06 05:33:52.11 nJ0wcqLn.net
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17/09/06 05:34:10.55 nJ0wcqLn.net
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17/09/06 05:34:28.96 nJ0wcqLn.net
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17/09/06 05:34:47.19 nJ0wcqLn.net
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17/09/06 05:35:23.93 nJ0wcqLn.net
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822:１３２人目の素数さん
17/09/06 07:45:12.64 MJe8ew9i.net
タネがバレバレかなっていう気もするけど問題。
2017個の箱 B1 ～ B2017 がある。
箱 Bk の中には k 枚のコインが入っている(1≦k≦2017)。
次の2種類の操作を考える。
(1) 1≦k≦2016 の空でない Bk を選び、コインを1枚取り去って B(k+1) にコインを
α枚入れる。ただし、αの値は 0, 1, 2 の中から好きなものを選べる。
(2) 1≦k≦2016 の「空でもよい」 Bk を選ぶ。Bk, B(k+1) のコインの枚数を順番に a ，b とするとき、
Bk, B(k+1) のコインの枚数を [ (a＋b)/2 ] ，a に差し替える。ただし、[ ] はガウス記号とする。
操作 (1), (2) を有限回行って、B2 ～ B2017 が空で、かつ、B1 にちょうど 4 枚のコインが入っている状態にできるか。
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833:フロベニウス数
17/09/07 01:40:03.00 J3m5+o6m.net
では10円硬貨と11円硬貨の2種類のみが発行されている。
この2種類の硬貨をどう組み合わせても支払えない金額のうち、最大のものはいくらか？
証明は不要。
834:フロベニウス数
17/09/07 01:40:37.75 IyycAyAP.net
ある国では～
のミス
835:１３２人目の素数さん
17/09/07 02:24:01.94 vqX7J2tG.net
>>808
ある時点でのB_kに入っているコインの枚数をx(k)とする。
各時点での状態値Sを以下のように定める。
S=Σ[k=1～2017](x(k)/2^(k-1))
するとこの状態値Sは、操作(1)、操作(2)のいずれにおいても増加することはない。
操作(1)ではα=2のときは変化せずα=0,1のときは減少。
操作(2)ではa+bが偶数のときは変化せず、奇数のときは減少。
初期状態では S = S_0 = Σ[k=1～2017](k/2^(k-1))=4-2019/2^2016
目指すゴールの状態では S = 4
S_0 < 4 より、与えられた初期状態から目指すゴールに到達することは不可能。
836:１３２人目の素数さん
17/09/07 02:27:53.65 vqX7J2tG.net
>>819
89
837:１３２人目の素数さん
17/09/07 02:49:34.98 vqX7J2tG.net
>>808
>>821
なお、初期状態で、B_2016までは番号と同じ枚数入っており、B_2017には4036枚入っていれば
最後にB_1に4枚入っている状態にすることができる。
一般に、n個の箱の場合、
初期状態が
k=1～n-1において x(k)=k
x(n)=2n+2
であれば
最後にB_1に4枚入っている状態にできる。
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848:フロベニウス数
17/09/07 07:26:26.71 33xc8sua.net
>>822
🙆
849:１３２人目の素数さん
17/09/07 07:28:41.42 yJyxch+Q.net
>>821, 823
正解です。こちらが想定していた解法そのものです。
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860:１３２人目の素数さん
17/09/07 10:28:43.37 vqX7J2tG.net
>>808 の問題で
1≦k≦2017において箱B_kにはk枚のコインが入っている初期状態に対して、
ある１つの箱を選んでコインを１枚だけ追加すると、
操作(1)，(2)を有限回行って、B_1に４枚のコインが入っている状態にできる。
そのときに選ぶ箱をB_mとするとき、mの最大値を求めよ。
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871:１３２人目の素数さん
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883:１３２人目の素数さん
17/09/08 08:59:08.35 T2f/teQa.net
方々に出ているので今さら解答は作らないが
(1) y=x^(1/x) (x>0)のグラフを描け。
(2) a^b=b^aを満たす自然数の組(a,b)を求めよ。
(1) y=x/(logx) (x>0)のグラフを描け。
(2) 99^100と100^99の大小を比較せよ。
884:１３２人目の素数さん
17/09/08 09:02:27.08 iwl1FmH8.net
今更な問題で出題するのも憚れる。
885:１３２人目の素数さん
17/09/08 09:03:15.74 N4FpDCh2.net
パンル～まるヴェ～
886:１３２人目の素数さん
17/09/08 09:04:02.72 N4FpDCh2.net
あ、誤爆だった。
887:１３２人目の素数さん
17/09/08 09:05:59.75 T2f/teQa.net
追加
(1) y=x+1/x (x>0)のグラフを描け。
(2) 正数p,qについてp/q+q/pの最小値を求めよ。
888:１３２人目の素数さん
17/09/08 09:19:59.85 T2f/teQa.net
>>868の2つの(1)が逆でも
y=x/(logx) は1<x<eで減少、e<xで増加
a<bとするとaの候補は2, このときb=4
確かに2^4=4^2
は示せるし
y=x^(1/x)のグラフから
99^(1/99)>100^(1/100)
⇔99^100>100^99
は示せるね
889:１３２人目の素数さん
17/09/08 09:54:52.47 mOYWCJV+.net
>>872
(1)
dy/dx = 1-1/x^2
dy/dx=0とすると x=±1、x>0よりx=-1は不適である
x=1ときy=2で、dy/dxの符号の変化よりこのとき極小値をとる
lim[x->+0] y = ∞ より、直線x=0は漸近線である
lim[x->∞](y-x)=0より、直線y=xは漸近線である
(グラフはこれで描けるので省略)
(2)
p>0, q>0より相加相乗平均の関係から
p/q + q/p ≧ 2√(p/q × q/p) = 2
等号成立はp=qのとき
したがって p=qのとき, 最小値2
890:１３２人目の素数さん
17/09/08 10:18:27.56 p1NQ0XTB.net
誘導がね
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901:１３２人目の素数さん
17/09/08 11:56:43.67 judDWqHk.net
(1)tan1°は超越数か？
そうでなければ最低何次の有理数係数の多項式の解になるか
(2)(tan1°)^20は無理数であることを証明せよ
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912:1３２人目の素数さん
17/09/08 13:02:50.76 yJsxuIEN.net
a,b,cをa=b+cである正の整数とするとき
Σ[n=0～∞]{1/(an+b)^2+1/(an+c)^2}={π/(asin(πb/a))}^2
が成り立つことを示せ
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923:１３２人目の素数さん
17/09/08 18:20:24.88 Xvh/PpT+.net
>>868
{(n-1)/n}^n = e^{-1 -1/(2n）-1/(3nn）-1/(4n^3）+ …｝ < 1/e,
(n-1)^n / n^(n-1) =（n/e）e^{-1/(2n）-1/(3nn）+ …｝ < n/e,
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926:１３２人目の素数さん
17/09/08 18:25:51.27 Xvh/PpT+.net
>>868
(n-1)^n / n^(n-1）<（n - 1/2)/e を示せ。
ぢゃね？
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937:１３２人目の素数さん
17/09/09 12:24:23.47
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939:１３２人目の素数さん
17/09/09 13:49:24.63 rohOwJh1.net
>>922
気のせい
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17/09/09 14:04:27.74 RUcvU26A.net
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941:１３２人目の素数さん
17/09/09 14:33:13.11 SoNY1DX2.net
【問題】
ある正の整数Nは,10％増にすると,その各桁の数字の和が9.99％減になる.
そのような最小のNの桁数を求めよ.
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17/09/09 14:56:27.41 RUcvU26A.net
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943:１３２人目の素数さん
17/09/09 22:57:40.99 FXdYbqUA.net
>>925
明記されてないが、10％増されたものも整数であるとして考える。
Nの各桁の数字の和をKとすると、
1.1Nも0.9001Kも整数なので、N=10n，K=10000k（n,kは自然数）とおける。
mod 9において、10n≡10000k，11n≡9001kより、n≡k≡0が言えるので、
kは9の倍数で，k=9x（xは自然数）とおける。そのとき，
1.1N=10n+nであり，10n，nの各桁の数字の和はいずれも90000x，
1.1Nの各桁の数字の和は9001k=81009xなので，
10進法の筆算で10nとnの和を求める際に繰り上がりが発生する回数をcとすると
81009x = 90000x+90000x-9c
となり、c=10999x
ここで、xは自然数なので、c≧10999
cは高々nの桁数なので、nの桁数の最小値は10999
よって、Nの桁数の最小値は11000
なお、そのような最小のNは、11000桁の数であり、
左端から1998桁は909090…を繰り返し、その後9001桁は全て9で、
右端（一の位）が0となる数であり
N = (10^11001 + 10^9002)/11 - 10
1.1Nは11001桁の数であり、
左端は1，その後0が1999個，9が8999個続き，下2桁は89
944:１３２人目の素数さん
17/09/09 23:19:13.91 SoNY1DX2.net
>>927
正解です。
たしかに10%増の数が整数であることを明記していませんでした。すみません。
945:１３２人目の素数さん
17/09/10 03:10:14.33 GGGugCiK.net
>>897
オイラーの無限乗積表示
sin(x）= x Π[n=1，∞］｛1 -（x/nπ)^2},
を使う。 0< θ < π のとき
sin(x+θ）= sinθ Π[n=0，∞］{1 + x/(nπ+θ)}{1 - x/(nπ+π-θ)},
f(x）= log｜sin(x+θ)｜= log｜x｜+ 納n=0,∞］｛log|1 + x/(nπ+θ)｜+ log|1 -x/(nπ+π-θ)｜}
とおく。
f "(0）を計算すると、
- 1/(sinθ)^2 = -納n=0，∞］｛1/(nπ+θ)^2 + 1/(nπ+π-θ)^2},
これに θ=πb/a を入れる。
946:１３２人目の素数さん
17/09/10 03:26:48.96 GGGugCiK.net
>>929 訂正
f（x）= log｜sin(x+θ)｜= log｜sinθ｜+ Σ［n=0，∞］｛log｜1 + x/(nπ+θ)｜+ log｜1 - x/(nπ+π-θ)｜}
とおく。
947:１３２人目の素数さん
17/09/10 13:52:38.07 q2lf6Btc.net
【問題】
とある島に5台の同じ飛行機がある.これら全部の飛行機が目標となる別の島に行くことを考える.
飛行機は燃料を満タンにすると,1単位距離を飛べる.このとき,飛行機は一定速度で飛び,燃料は一定割合で消費する.
両方の島に燃料やパイロットが十分そろっているとき,目標地点までの最大距離を求めよ.
ただし,燃料給油は即座に行うことができ,地上給油だけでなく飛行機から飛行機への空中給油も可能である.
【例】
飛行機が2台あったら,2台とも4/3単位距離だけ離れた島まで行ける.
飛行機p_1とp_2が飛び立ち,1/3進んだところでp_2からp_1へ1/3だけ空中給油する.p_2は引き返す.
p_1は満タンになって1単位距離を飛び,目標の島に着く.p_2は地上で満タンに給油し再び出発する.
p_1は�
948:ﾚ標の島で満タンにして1/3引き返す.そこでp_1がp_2に1/3だけ給油する. そして両者そろって目標の島に到着する.
949:１３２人目の素数さん
17/09/10 14:49:04.63 GGGugCiK.net
>>886 (1)
「tan(1ﾟ）は5次方程式 t^5 -5at^4 -10t^3 +10at^2 +5t -a = 0（a=0.087488663525924…）の根だよ。」
「aって何？」
「a は3方程式 a^3 -3ba^2 -3a +b = 0（b=0.2679492…）の根だよ。」
「bって何？」
「b は2次方程式 bb-4b+1 = 0 の根（2-√3）だよ。」
「てぇことは、tは30次方程式の根か？」
950:１３２人目の素数さん
17/09/10 17:32:06.00 zLS0WX3O.net
ある直角三角形は辺の長さが全て整数で、外接円と内接円の半径が素数であるという。
この三角形を解け。
951:１３２人目の素数さん
17/09/10 19:06:14.10 kwKQnjaH.net
>>933
a^2+b^2=c^2を満たす互いに素なピタゴラス数(a,b,c)は、
a,bのどちらかが偶数で他は奇数なので、bを偶数とすると
違いに素な２つの自然数m,n（ただし、どちらかは偶数で、m>n）を用いて
(a,b,c)=(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)と表される。
直角三角形の外接円の半径は斜辺の長さの半分であり、それが整数となるためには
斜辺が偶数でなくてはならないので、求める直角三角形の３辺を
(2k(m^2-n^2), 4kmn, 2k(m^2+n^2))とおくことができる。（kは自然数）
このとき、内接円の半径は
r=2k(m^2-n^2)*4kmn/(2k(m^2-n^2)+4kmn+2k(m^2+n^2))=2kn(m-n)となり、
これが素数なので、k=n=m-n=1 ∴(m,n,k)=(2,1,1)
よって３辺は(6,8,10)，R=5，r=2
952:１３２人目の素数さん
17/09/11 03:26:42.52 E6E7YLOn.net
>>932
不正解
もっと次数は少なく出来ます
953:１３２人目の素数さん
17/09/11 09:39:25.72 rDwKsRjX.net
>>935
x=cosθとして
cos(nθ)を表すxの多項式をT_n(x)とする（n次のチェビシェフの多項式）と、
(2*T_60(x)-1)/(2*T_12(x)-1)で表される48次の多項式は
cos n°（nは180未満の自然数で、2,3,5を素因数として持たない）を根として持つ。
また、(2*T_60(x)-1)/(2*T_12(x)-1)はX=x^2とするとXの24次の多項式となるので
それをf(X)とすると、Xは(cos1°)^2を根として持つ。
tan1°=αとおくと
(cos1°)^2=1/(α^2+1)となるので、
f(1/(α^2+1))*(α^2+1)^24で表される48次の多項式はtan1°を根として持つ。
954:１３２人目の素数さん
17/09/11 09:42:20.05 rDwKsRjX.net
誤：Xは(cos1°)^2を根として持つ。
正：f(X)は(cos1°)^2を根として持つ。
955:１３２人目の素数さん
17/09/11 11:50:59.67 DwdMHImO.net
>>923
tan(1°) の有理数係数の最小多項式については、tanx の3倍角の公式を具体的に求めてから、
頂角36°、底角72°、底辺の長さが1の二等辺三角形を考えて tan(18°) の値を求めれば、
汚い方法だけど tan(9°)、tan(3°)、tan(1°)、 の具体的値をその順に求められる。
X=tan(1°) の具体的値が求まれば、Xの有理数係数の最小多項式も具体的に求まる。
後は、その次数を確認すればいい。また、tan(1°)、(tan(1°))^20 が代数的無理数であることも分かる。
まあ、問題文を見たときつまらない問題だと思ったが、考えたら面白い部分はあった。
956:１３２人目の素数さん
17/09/11 12:08:03.62 UigVogsj.net
>>938
ホントに最小であることの証明は？
957:１３２人目の素数さん
17/09/11 12:13:10.05 DwdMHImO.net
>>939
具体的値として求められた tan(1°) がベキ根を含む汚い式になるから、
X＝tan(1°) とおいてそのベキ根を消して行けばいいだけ。
958:１３２人目の素数さん
17/09/11 12:16:32.12 UigVogsj.net
それで証明になるの？
959:１３２人目の素数さん
17/09/11 12:27:46.09 DwdMHImO.net
>>941
このやり方に不満があるなら、より小さい次数の最小多項式 f(X) があったとして、
f( tan(1°) ) を計算して、有理数体Q上線型独�
960:ｧなベキ根についての線型代数の問題に帰着させればいい。
961:１３２人目の素数さん
17/09/11 15:50:26.40 JgHCy0pJ.net
和算の問題です。
大円1個、中円1個、小円2個あります。
大円に1点で中円が接し、小円は、中円と大円にそれぞれ接して
います。
いま大円の面積より、中円と小円の面積を引いた残りが
120で、中円と小円の径の差が5の時、大円、中円、小円の
半径はいくつでしょう。
962:１３２人目の素数さん
17/09/11 20:01:58.78 afSTrbh7.net
>>936
30より小さいんだから48はもちろん不正解
>>938
体論使えばもっとすぐに言えます
大ヒントとしてまず
Q(tan1°,i)=Q(e^(πi/90))を示します
963:１３２人目の素数さん
17/09/11 20:03:00.50 afSTrbh7.net
あとはQ(tan1°)のQからの拡大次数を求めればいいだけ
964:１３２人目の素数さん
17/09/11 20:37:52.72 tiqmnpO+.net
「30」と「48」が出てるんだから、tan1°の最小多項式の次数を d とすれば、
d は 30 と 48 を割り切るので、d＝1,2,3,6 に絞られる。
このあとどうするかは知らんが、
泥臭く確かめていくだけでも何とかなるんじゃないの。
965:１３２人目の素数さん
17/09/11 20:42:03.50 tiqmnpO+.net
いや、多項式が多項式で割り切れても、
次数が次数で割り切れることにはならんか
>>946は撤回。すまん
966:１３２人目の素数さん
17/09/11 21:59:48.93 UigVogsj.net
>>942
>f( tan(1°) ) を計算して
0
967:１３２人目の素数さん
17/09/12 02:36:16.24 UWqvzo4B.net
>>948
すぐ分かる書き間違いは指摘しなくていい。
f( tan(1°) )＝0 は当たり前。
968:１３２人目の素数さん
17/09/12 04:38:33.30 YsdDbYfo.net
>>938
「tan(1ﾟ）は3次方程式 t^3 -3ct^2 -3t +c =0（c=0.05240778…）の根だよ。」
「cって何？」
「c は3次方程式 c^3 -3dc^2 -3c +d =0（d=0.15838444…）の根だよ。」
「dって何？」
「d は2次方程式 d^2 +（2/e)d -1 =0（e=0.3249197…）の根だよ。」
「eって自然対数の底？」
「いや、4次方程式 e^4 -2e^2+（1/5）=0 の根（√{1-√(4/5)}）だよ。」
「てぇことは、tは72次方程式の根ぢゃね？」
969:１３２人目の素数さん
17/09/12 07:26:55.13 3wN9Amg+.net
>>949
では証明を
970:１３２人目の素数さん
17/09/12 08:09:52.83 UWqvzo4B.net
>>951
tan(1°)は代数的無理数である。よって、>>942に注意すると、或る自然数 n≧2 が存在して、
f(X) は tan(1°) についてのn次の有理係数の最小多項式となる。
定義から、f(X) は tan(1°) を根に持つから、f( tan(1°) )＝0。
971:１３２人目の素数さん
17/09/12 08:19:30.36 UWqvzo4B.net
>>944-945
まあ、皆様で最小多項式の次数については考えて下さい。
興味があったのは、(tan(1°))^20 が代数的無理数であることを示す方法の方でしたから。
972:１３２人目の素数さん
17/09/12 08:43:46.27 3wN9Amg+.net
>>952
最小であることの証明
973:１３２人目の素数さん
17/09/12 08:53:14.83 UWqvzo4B.net
>>954
まだ最小次数は見つけていないし、昨日行った私のやり方では
泥臭い式が沢山出て来た。昨日の方法はここに書く気がない。
最小性の証明は皆様でやって頂きたい。
974:１３２人目の素数さん
17/09/12 09:54:47.56 UWqvzo4B.net
>>954
>>955の最小次数は次数な。
まあ、昨日のやり方を整理して少しは簡潔にするというかきれいにすることは出来るが、
それでも汚い式が沢山出て来ることは避けられない。
975:１３２人目の素数さん
17/09/12 09:57:47.46 UWqvzo4B.net
一応、有理係数の最小多項式 f(X) の次数のことな。
976:１３２人目の素数さん
17/09/12 14:34:59.66 +ocRKCRob
URLﾘﾝｸ(www.fastpic.jp)
URLﾘﾝｸ(www.fastpic.jp)
977:１３２人目の素数さん
17/09/12 15:55:29.56 YsdDbYfo.net
>>952-957
H大の人でつか？
R学部はプラセボ薬で儲けた人の研究所を引き継いだプラセボ学部ですよ。
978:１３２人目の素数さん
17/09/12 16:05:04.18 YsdDbYfo.net
>>959
プラセボというのは、理解できないけれども、何らかの効果はあり得るってことです。
全知全能の人なんていませんからね。
979:１３２人目の素数さん
17/09/12 17:15:36.98 UWqvzo4B.net
>>959-960
>>959の方を国語で書きましょう。
H大？ R学部？ 何だそれ。
980:１３２人目の素数さん
17/09/13 06:01:40.42 KCTM05Fh.net
>>155
亀レスだがこれ簡単な仕方がある
A_0が入ってる立方体を更に細かくして、一辺a/2の小立方体（とよぶ）8つとみなす。
すると、1つの小立方体には2つの頂点に原子が位置している。
だから、各小立方体のうち半分づつがD_0になる。
(1/8)a^3×(1/2)×8=a^3/2
まあカルマの解法を多少精密に説明し直しただけだが、これで数学的には十分だろう。
小立方体内でD_0とD_0じゃないとこの境界面は正六角形になることは知っておくとよいが、それはこの際使ってないや。
981:１３２人目の素数さん
17/09/13 06:11:59.92 KCTM05Fh.net
簡単な理解の仕方、というべきか（勿論、数学的正確さも保っての）
982:１３２人目の素数さん
17/09/13 07:24:47.26 KCTM05Fh.net
問題
θ_n=2π/n
ζ_n=cosθ_n+√(-1)sinθ_n
p:奇素数
tanθ_p と √-1 と有理数を有限回加減乗除して ζ_(4p) をつくれ
983:１３２人目の素数さん
17/09/13 11:06:34.36 yzVhvrGO.net
>>155
有名だからわざわざ書くまでもない気が
するが、一応書いておきます。
どの原子に着目しても、
その原子から見た他の原子の配置は同じ。
立方体の中心にある原子たちを結べば
新たな立方格子が得られ、
元の立方体の頂点の原子たちは、
新たな立方体の中心に位置するからである。
換言すれば、この無限に広がる格子は、
ある原子を他の原子に重なるような
平行移動に関する対称性を持つ。
したがって、着目した原子が最も近い原子で
あるような空間内の点の集合である領域は、
どの原子に関しても合同である。
1 つの立方体には、各頂点に計 8 個、
中心に 1 個の原子が属する。
各頂点の原子は、同時に 8 つの立方体に
属するから、1 つの立方体への寄与は
原子の数で計 (1/8)*8 = 1 個分。
中心の原子はその立方体にのみ属するから、
寄与は原子 1 個分。
よって、ある立方体（体積 a^3）には
原子 2 個が属していると考えられるから、
原子 1 個あたりの寄与は (a^3)/2。
これが求める体積である。
984:１３２人目の素数さん
17/09/13 11:26:55.28 yzVhvrGO.net
立体の形を考えるのも楽しいと思う。
すぐ上にあるけど、正六角形8枚と
正方形6枚からできる準多面体。
985:１３２人目の素数さん
17/09/13 11:28:44.32 yzVhvrGO.net
>>966
図示してみると、
これで体積が (a^2)/2 なのか！
と、少し驚くかも。
（もっと大きいように見える）
986:１３２人目の素数さん
17/09/13 11:36:29.24 COj91p3j.net
>>965
なるほど
987:１３２人目の素数さん
17/09/15 04:32:42.05 kh+vJCky.net
>>964
作らなきゃしょうがねぇな...
pは奇数だから、pp-1 は 8の倍数。
pp -1 = 8m,
一方
p ≡ ±1 （mod 4）ゆえ
pp ≡ ±p mod（4 p)
よって
±p -1 ≡ 8m （mod 4p)
ζ_(4p）=（ζ_4）^(±1)･｛ζ_(4p)}^(-8m）=｛√(-1)}^(±1)･｛ζ_(4p)^(-8)}^m,
また、
｛ζ_(4p)}^(-8）=（ζ_p)^(-2）=｛1 - √(-1）tan(θ_p)}/{1 + √(-1）tan(θ_p)},
かな。
*
988:定義より ｛ζ_(4p)}^p = ζ_4 = √(-1)，｛ζ_(4p)}^4 = ζ_p,
989:１３２人目の素数さん
17/09/15 16:27:01.57 zJaCTJCL.net
>>931を少し改題
【問題】
とある島にn台の同じ飛行機がある。これら全部の飛行機が目標となる別の島に行くことを考える。
飛行機は燃料を満タンにすると1単位距離を飛べる。このとき飛行機は一定速度で飛び、燃料は一定割合で消費する。
また、両方の島には燃料やパイロットが十分そろっており、燃料給油は即座に行うことができる。
この燃料給油は地上給油だけでなく、飛行機から飛行機への空中給油も可能である。
目標となる島までの最大距離D_nを求めよ。また、lim[n→∞]D_nを求めよ。
990:１３２人目の素数さん
17/09/15 17:06:40.58 LiOs3mOD.net
日本語がおかしい
991:１３２人目の素数さん
17/09/16 02:25:36.87 SrzKiM05.net
>>931 >>970
飛行機がn機あるとき
飛行機 p_1 ～ p_n が一斉に飛び立ち、その後 1/(n+1）距離単位進む毎に、１機が残り全機に 1/(n+1）ずつ空中給油したのち引き返す。
給油された直後は満タンになる。
最後に残ったp_n は（n-1)/(n+1）距離単位で満タンになった後、１距離単位を飛んで、 D_n = 2n/(n+1）距離単位に到達する。
これでp_nは渡ることができました。
残りの n-1 機も首尾よく渡れるでしょうか？（つづく）
992:１３２人目の素数さん
17/09/16 02:53:30.40 dpWpE9hD.net
>>969
正解！ うまいね！
こちらが最初に考えた解法は長すぎた。
[step 1]
2k≡1 (mod p) なる正整数kを用いると
tan(kθ_p)=tan(2kπ/p)=tan(π/p)=tan(θ_2p)
tanのk倍角公式は加法定理を繰り返すことで得られ、有理式。
即ちある有理式F(x)があって
tan(θ_2p)=tan(kθ_p)=F(tan(θ_p))
cosθ_p=2cos^2(θ_2p)-1
=2/{1+tan^2(θ_2p)}-1
=2/{1+F(tan(θ_p))^2}-1
[step 2]
ζ_p=(cosθ_p)(1+√(-1)tanθ_p)
[step 3]
整数a,bがあり 4a+pb=1 だから
ζ_(4p)=(ζ_4)^b(ζ_p)^a=(√-1)^b(ζ_p)^a
993:１３２人目の素数さん
17/09/16 03:06:34.40 SrzKiM05.net
>>931 >>970
k機目
こちら側に（n+1-k）機、向こう側に k-1 機ある。
こちらの（n+1-k）機は一斉に離陸し、
1/(n+1）、2/(n+1）、…、（n-k)/(n+1）距離単位で 1/(n+1）ずつの空中給油を受け、 （←お見送り）
次に１距離単位を飛び、
（2n+1-k)/(n+1）、･･･、（2n-1)/(n+1）距離単位で 1/(n+1）ずつの空中給油を受け、 （←お出迎え）
D_n = 2n/(n+1）距離単位に到達する。
994:１３２人目の素数さん
17/09/16 03:37:50.57 SrzKiM05.net
>>974
2機目以後はチョト怖いですな。
お見送りの方はともかく、お出迎えのタイミングが少しでも遅れると即ガス欠ですからな。
「疾風」とか「桜花」（Baka bomb）なんかで逝くんですかね。
995:１３２人目の素数さん
17/09/16 18:56:31.60 qW9gqsGC.net
cos(n°)が√と有理数の四則演算で表すことのできる自然数nを全て求めよ
996:１３２人目の素数さん
17/09/16 19:37:11.16 TT0KDfsj.net
二乗根のみ？
997:１３２人目の素数さん
17/09/16 22:11:40.58 dpWpE9hD.net
二乗根のみだとすれば
0＜n＜360 として
正 360/gcd(360,n) 角形の作図可能性に言い換えられるんじゃない？
998:１３２人目の素数さん
17/09/16 22:42:35.69 dpWpE9hD.net
gcd(360,n)=2^a 3^b 5^c なら
360/gcd(360,n)=2^(3-a) 3^(2-b) 5^(1-c) だから
作図可能 ⇔ (2-b≦1 and 1-c≦1) ⇔ 1≦b
つまり
nが3の倍数ならOK
nが3の倍数でなければNG
かな
999:１３２人目の素数さん
17/09/16 22:43:06.92 +ReladGy.net
四則演算を有理数にしか行ってはならないとすると著しくハードルが高いなw
1000:１３２人目の素数さん
17/09/17 01:49:08.82 k/sLYgaV.net
>>978
同値？なんで？
1001:１３２人目の素数さん
17/09/17 04:28:02.24 jHNAUDtd.net
あかさたなはまやらわ
あかさたなはまやらわ
1002:１３２人目の素数さん
17/09/17 05:23:20.46 8YPByAqq.net
>>974
k機目は
1/(n+1）ぢゃなくて 1/(n+2-k）になる希ガス。
1003:１３２人目の素数さん
17/09/17 13:31
1004::14.62 ID:CVP8DIfe.net
1005:１３２人目の素数さん
17/09/17 13:33:36.65 k/sLYgaV.net
>>984
>⇔(1,0),(cost,sint)を頂点にもち単位円に内接する正k角形(k≧1)でkが最小のもの(あれば)の頂点が全て作図可能
ここは同値？
1006:１３２人目の素数さん
17/09/17 17:58:13.10 zcDc08fE.net
自力ではまだ解決できてないけど一応投稿しておくことにする
次の条件を全て満たす実数αは存在するか：
･αは無理数
･αを3進展開しても4進展開しても、各桁には0または1しか現れない
1007:１３２人目の素数さん
17/09/17 19:00:02.49 yQpGxA+8.net
数論の問題は簡単に作れる割に面白いものは滅多に見つからない
1008:１３２人目の素数さん
17/09/17 23:09:11.03 CVP8DIfe.net
>>985
(cost,sint)が作図可能なら
整数mに対する(cosmt,sinmt)は作図できる
t(弧度法):2π が有理数比
(⇔ t(度数法):360 が有理数比)なら
{(cosmt,sinmt)|m∈Z}は有限個の点しかもたず、かつ円周上に等間隔に並ぶ。これが正多角形の頂点。
具体的にはt/2πを既約分数で表したらその分母が点の数。
無理数比なら
{(cosmt,sinmt)|m∈Z}は無限個の点をもち、正多角形を考えられない
1009:216
17/09/21 10:06:50.45 KRTMaobw.net
>>216の(4)
aa/(2abb-bbb+1)が自然数となるような自然数の組
【解答】
aa/(2abb-bbb+1)が自然数nになるとする。
(I) b=1のとき
(与式の分母)=2aで偶数だから、(与式の分子)=aaも偶数。よってaは偶数。
自然数kを用いてa=2kとおける。
(II) b≧2のとき
aa-(2bbn)a+((bbb-1)n)=0
aについて解くと
a=bbn±√(bbbbnn-bbbn+n)
明らかにbbbbnn-bbbn+n>0で√の中身は正だから、2解は共に実数である。
また、(2解の和)=2bbn>0、(2解の積)=(bbb-1)n>0だから、2解は共に正である。
2解は共に正であり、2解の和は自然数だから、
2解の一方が自然数のとき、もう一方も自然数である。 …★
さて、(与式)>0、(与式の分子)>0より、(与式の分母)=bb(2a-b)+1>0
∴2a-b≧0
(i) 2a-b=0のとき
a=b/2, n=aa
aは自然数だからbは偶数。自然数lを用いてb=2lとおけばa=l
★より、n=aa=llについてaはlの他に自然数解があるはずである。
a=bbn±√(bbbbnn-bbbn+n)=4llllll±√(16llllllll-8lllll+ll)=4llllll±(4llll-l)=l,8llll-l
(ii) 2a-b≧1のとき
(与式の分子)≧(与式の分母)よりaa≧bb(2a-b)+1
∴aa≧bb+1>bb
a,bは正だからa>b
しかし、(2解の積)=(bbb-1)n、bbn+√(bbbbnn-bbbn+n)>bbnより
bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)<((bbb-1)n)/bbn<bであり、
bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)<b<aはa=bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)と矛盾。
以上より、(a,b)=(2k,1),(l,2l),(8llll-l,2l)
これらは全て与条件を満たす。 ■
1010:216
17/09/21 10:07:35.69 KRTMaobw.net
【解説】
無数に解があるじゃないか（憤怒）
出典：IMO2003-2
1011:216
17/09/21 10:59:27.12 9N6Yacjj.net
>>216の(5)
ab-c, bc-a, ca-bが全て2の冪となるような自然数の組
【解答】
[補]
非負整数n
1012:について n=0のとき、2^0=1≡1 mod 4 n=1のとき、2^1=2≡2 mod 4 n≧2のとき、2^n=(2^2)*(2^(n-2))≡0 mod 4 ① a,b,cのうち少なくとも2つが等しいとき a=bとして一般性を失わない。aa-cとac-aが2の冪になるときを考える。 ac-a=a(c-1)よりa,c-1は共に2の冪である。非負整数α,γを用いてa=2^α, c=2^γ+1とおく。 aa-c=2^(2α)-2^γ-1が2の冪になるとき、[補]より4^α-2^γ-1≡-2^γ-1≡0,1,2 mod 4 ∴γ=0,1 γ=0のときaa-c=4^α-2≡2 mod 4 これが2の冪になるのは[補]より4^α-2=2⇔α=1、このときa=b=2^1=2, c=2^0+1=2 γ=1のときaa-c=4^α-3≡1 mod 4 これが2の冪になるのは[補]より4^α-3=1⇔α=1、このときa=b=2^1=2, c=2^1+1=3
1013:216
17/09/21 11:01:02.06 9N6Yacjj.net
② a,b,cが相異なるとき
a=1のとき、b-cとc-bは和が0だから両方が自然数になることはない。よってa≧2
同様にb≧2,c≧2
2≦a<b<cとして一般性を失わない。
相異なる非負整数δ,ε,ζを用いて
bc-a=2^δ, ca-b=2^ε, ab-c=2^ζ
とおく。
bc-a>ca-b>ab-cよりδ>ε>ζ
(I) a=2のとき
(i) ζ=0のとき
ab-c=2^ζよりc=2b-1
ca-b=2^εより3b-2=2^ε、b≧3よりε≧3
ε=3のときb=10/3で不適。
ε=4のときb=6, c=2*6-1=11
ε≧5のとき、bc-a=2^δより
9*2^δ=9*(bc-a)=9*(2bb-b-2)=18bb-9b-18=(3b-2)(6b+1)-16=(2^ε)(2*2^ε+5)-16
で右辺は2^5=32で割りきれないから左辺はδ≦4。これはδ>ε>ζより不適。
(ii) ζ≧1のとき
ab-c=2^ζよりcは偶数、ca-b=2^εよりbは偶数。よって、bc-a=2^δの左辺は4を法として2と合同だから、[補]より右辺は2^1、δ=1。これはδ>ε>ζより不適。
1014:216
17/09/21 11:02:26.34 9N6Yacjj.net
(II) a≧3のとき
2^ε=ac-b>ac-c=c(a-1)≧2cより2^(ε-1)≧c
∴2^(ε-1)>b>a
(i) c≡0,2,3 mod 4のとき
c-1は4で割りきれない。
2^δ+2^ε=(bc-a)+(ca-b)=(b+a)(c-1)
ε<δより左辺は2^εで割りきれる。右辺の(c-1)は2で高々1回しか割りきれない。よって、右辺の(b+a)は2^(ε-1)で割りきれる。
b+a<2b<2*2^(ε-1)よりa+b=2^(ε-1)
ac-b=2^ε=2(a+b)よりa+3b=ac-a
4b>a+3b=a(c-1)≧abより4b≧ab
これとa≧3よりa=3
3+3b=3c-3⇔c=b+2
bc-a=2^δよりbb+2b-3=2^δ⇔(b+3)(b-1)=2^δ
(b+3)と(b-1)は共に2の冪である。非負整数Β,β（Β>β）を用いてb+3=2^Β, b-1=2^βとおくと、辺々引いて4=(2^β)(2^(Β-β)-1)
これを満たすのはβ=2,Β=3,b=5
よってc=5+2=7、これはc≡3 mod 4を満たす。
(ii) c≡1 mod 4のとき
c+1は4で割りきれない。
2^δ-2^ε=(bc-a)-(ca-b)=(b-a)(c+1)
ε<δより左辺は2^εで割りきれる。右辺の(c+1)は2で高々1回しか割りきれない。よって、右辺の(b-a)は2^(ε-1)で割りきれる。
しかしb-a<b<2^(ε-1)より、これを満たす(b-a)はない。
1015:216
17/09/21 11:03:53.49 9N6Yacjj.net
以上より、(a,b,c)は
(2,2,2)、(2,2,3)の並べかえ3組、(2,6,11)の並べかえ6組、(3,5,7)の並べかえ6組の計16組。
これらは全て与条件を満たす。 ■
【解説】
不等式による絞りこみ、因数分解と約数、合同式、場合分け、など整数問題の基本テクニックを総動員すれば解ける。
最後の解答を元の式に当てはめて上手くいくことを確認するのが気持ちいい。
出典：IMO2015-2
1016:１３２人目の素数さん
17/09/22 12:18:25.78 dxvc1idi.net
>>931 >>970
k機目が向こうに渡るとき
出発側に（n-k）機の補助機？があり、到着側に（k-1）機の補助機？がある。
そのお蔭で航続距離が
出発側で（n-k)/(n-k+2）単位、
到着側で（k-1)/(k+1）単位
だけ伸びる。 >>972
よって、最大（n-k)/(n-k+2）+ 1 +（k-1)/(k+1）まで飛行可能
これは k⇔n+1-k について対称的で、kに対して上に凸。
D_n = min｛ 〃 ｜1≦k≦n ｝= 2n/(n+1),
1017:１３２人目の素数さん
17/09/23 05:34:49.52 NoROM9hj.net
>>995
（n-k)/(n+2-k）+ 1 +（k-1)/(k+2）- 2n/(n+1）
=（n-k)(k-1)(n+3)/{(n+1)(n+2-k)(k+1)｝
> 0
∴ D_n = 2n/(n+1).
1018:１３２人目の素数さん
17/09/29 00:11:24.28 Zt0C2yXV.net
m,nを自然数とする。
ユークリッド空間上の関数f:R^n→R^mは、任意の凸集合を凸集合に移す。
この時、fは連続か。
1019:１３２人目の素数さん
17/09/29 13:43:15.26 JazCjdF4.net
>>997 連続とは限らない。
n=1の時、商群R/QからR^mへの全単射φを１つとれば、
f(x)=φ(π(x)) (ただしπ:R→R/Qは自然な射影)
が反例になる。
nが1より大きい時は、例えばn=3なら
f(x,y,z)=φ(π(x))
等と定めればよい
1020:１３２人目の素数さん
17/09/29 22:40:30.39 oIFvV/UE.net
>>998
fが条件を満たす？
1021:１３２人目の素数さん
17/09/30 12:34:04.20 56ihevWH.net
>>999
n=1の時、Rの凸集合といったら(広義の)区間しかない。つまり
C=(a,b),(a,b],[a,b),[a,b] (a≦b.ただし端点を含まない場合は∞や-∞になってもよい)
のどれかになる。
もしCが一点か空集合ならf(C)も一点か空になる。
もしCが一点でも空でもなければ、ある開集合を含むため、CはR/Qのどの同値類とも交わりを持つ。したがってf(C)=R^m.
よって、fは凸集合を凸集合に移す。
fが連続でないことの説明は省略。
nが1より大きい時、R^nの凸集合をx軸に射影したものはx軸上の凸集合になるから、
x軸への射影とn=1の場合のfを合成すれば求める関数が得られる。
1022:１３２人目の素数さん
17/09/30 13:02:16.50 x4DjcavF.net
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