17/09/21 10:06:50.45 KRTMaobw.net
>>216の(4)
aa/(2abb-bbb+1)が自然数となるような自然数の組
【解答】
aa/(2abb-bbb+1)が自然数nになるとする。
(I) b=1のとき
(与式の分母)=2aで偶数だから、(与式の分子)=aaも偶数。よってaは偶数。
自然数kを用いてa=2kとおける。
(II) b≧2のとき
aa-(2bbn)a+((bbb-1)n)=0
aについて解くと
a=bbn±√(bbbbnn-bbbn+n)
明らかにbbbbnn-bbbn+n>0で√の中身は正だから、2解は共に実数である。
また、(2解の和)=2bbn>0、(2解の積)=(bbb-1)n>0だから、2解は共に正である。
2解は共に正であり、2解の和は自然数だから、
2解の一方が自然数のとき、もう一方も自然数である。 …★
さて、(与式)>0、(与式の分子)>0より、(与式の分母)=bb(2a-b)+1>0
∴2a-b≧0
(i) 2a-b=0のとき
a=b/2, n=aa
aは自然数だからbは偶数。自然数lを用いてb=2lとおけばa=l
★より、n=aa=llについてaはlの他に自然数解があるはずである。
a=bbn±√(bbbbnn-bbbn+n)=4llllll±√(16llllllll-8lllll+ll)=4llllll±(4llll-l)=l,8llll-l
(ii) 2a-b≧1のとき
(与式の分子)≧(与式の分母)よりaa≧bb(2a-b)+1
∴aa≧bb+1>bb
a,bは正だからa>b
しかし、(2解の積)=(bbb-1)n、bbn+√(bbbbnn-bbbn+n)>bbnより
bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)<((bbb-1)n)/bbn<bであり、
bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)<b<aはa=bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)と矛盾。
以上より、(a,b)=(2k,1),(l,2l),(8llll-l,2l)
これらは全て与条件を満たす。 ■
1010:216
17/09/21 10:07:35.69 KRTMaobw.net
【解説】
無数に解があるじゃないか（憤怒）
出典：IMO2003-2
1011:216
17/09/21 10:59:27.12 9N6Yacjj.net
>>216の(5)
ab-c, bc-a, ca-bが全て2の冪となるような自然数の組
【解答】
[補]
非負整数n
1012:について n=0のとき、2^0=1≡1 mod 4 n=1のとき、2^1=2≡2 mod 4 n≧2のとき、2^n=(2^2)*(2^(n-2))≡0 mod 4 ① a,b,cのうち少なくとも2つが等しいとき a=bとして一般性を失わない。aa-cとac-aが2の冪になるときを考える。 ac-a=a(c-1)よりa,c-1は共に2の冪である。非負整数α,γを用いてa=2^α, c=2^γ+1とおく。 aa-c=2^(2α)-2^γ-1が2の冪になるとき、[補]より4^α-2^γ-1≡-2^γ-1≡0,1,2 mod 4 ∴γ=0,1 γ=0のときaa-c=4^α-2≡2 mod 4 これが2の冪になるのは[補]より4^α-2=2⇔α=1、このときa=b=2^1=2, c=2^0+1=2 γ=1のときaa-c=4^α-3≡1 mod 4 これが2の冪になるのは[補]より4^α-3=1⇔α=1、このときa=b=2^1=2, c=2^1+1=3
1013:216
17/09/21 11:01:02.06 9N6Yacjj.net
② a,b,cが相異なるとき
a=1のとき、b-cとc-bは和が0だから両方が自然数になることはない。よってa≧2
同様にb≧2,c≧2
2≦a<b<cとして一般性を失わない。
相異なる非負整数δ,ε,ζを用いて
bc-a=2^δ, ca-b=2^ε, ab-c=2^ζ
とおく。
bc-a>ca-b>ab-cよりδ>ε>ζ
(I) a=2のとき
(i) ζ=0のとき
ab-c=2^ζよりc=2b-1
ca-b=2^εより3b-2=2^ε、b≧3よりε≧3
ε=3のときb=10/3で不適。
ε=4のときb=6, c=2*6-1=11
ε≧5のとき、bc-a=2^δより
9*2^δ=9*(bc-a)=9*(2bb-b-2)=18bb-9b-18=(3b-2)(6b+1)-16=(2^ε)(2*2^ε+5)-16
で右辺は2^5=32で割りきれないから左辺はδ≦4。これはδ>ε>ζより不適。
(ii) ζ≧1のとき
ab-c=2^ζよりcは偶数、ca-b=2^εよりbは偶数。よって、bc-a=2^δの左辺は4を法として2と合同だから、[補]より右辺は2^1、δ=1。これはδ>ε>ζより不適。
1014:216
17/09/21 11:02:26.34 9N6Yacjj.net
(II) a≧3のとき
2^ε=ac-b>ac-c=c(a-1)≧2cより2^(ε-1)≧c
∴2^(ε-1)>b>a
(i) c≡0,2,3 mod 4のとき
c-1は4で割りきれない。
2^δ+2^ε=(bc-a)+(ca-b)=(b+a)(c-1)
ε<δより左辺は2^εで割りきれる。右辺の(c-1)は2で高々1回しか割りきれない。よって、右辺の(b+a)は2^(ε-1)で割りきれる。
b+a<2b<2*2^(ε-1)よりa+b=2^(ε-1)
ac-b=2^ε=2(a+b)よりa+3b=ac-a
4b>a+3b=a(c-1)≧abより4b≧ab
これとa≧3よりa=3
3+3b=3c-3⇔c=b+2
bc-a=2^δよりbb+2b-3=2^δ⇔(b+3)(b-1)=2^δ
(b+3)と(b-1)は共に2の冪である。非負整数Β,β（Β>β）を用いてb+3=2^Β, b-1=2^βとおくと、辺々引いて4=(2^β)(2^(Β-β)-1)
これを満たすのはβ=2,Β=3,b=5
よってc=5+2=7、これはc≡3 mod 4を満たす。
(ii) c≡1 mod 4のとき
c+1は4で割りきれない。
2^δ-2^ε=(bc-a)-(ca-b)=(b-a)(c+1)
ε<δより左辺は2^εで割りきれる。右辺の(c+1)は2で高々1回しか割りきれない。よって、右辺の(b-a)は2^(ε-1)で割りきれる。
しかしb-a<b<2^(ε-1)より、これを満たす(b-a)はない。
1015:216
17/09/21 11:03:53.49 9N6Yacjj.net
以上より、(a,b,c)は
(2,2,2)、(2,2,3)の並べかえ3組、(2,6,11)の並べかえ6組、(3,5,7)の並べかえ6組の計16組。
これらは全て与条件を満たす。 ■
【解説】
不等式による絞りこみ、因数分解と約数、合同式、場合分け、など整数問題の基本テクニックを総動員すれば解ける。
最後の解答を元の式に当てはめて上手くいくことを確認するのが気持ちいい。
出典：IMO2015-2
1016:１３２人目の素数さん
17/09/22 12:18:25.78 dxvc1idi.net
>>931 >>970
k機目が向こうに渡るとき
出発側に（n-k）機の補助機？があり、到着側に（k-1）機の補助機？がある。
そのお蔭で航続距離が
出発側で（n-k)/(n-k+2）単位、
到着側で（k-1)/(k+1）単位
だけ伸びる。 >>972
よって、最大（n-k)/(n-k+2）+ 1 +（k-1)/(k+1）まで飛行可能
これは k⇔n+1-k について対称的で、kに対して上に凸。
D_n = min｛ 〃 ｜1≦k≦n ｝= 2n/(n+1),
1017:１３２人目の素数さん
17/09/23 05:34:49.52 NoROM9hj.net
>>995
（n-k)/(n+2-k）+ 1 +（k-1)/(k+2）- 2n/(n+1）
=（n-k)(k-1)(n+3)/{(n+1)(n+2-k)(k+1)｝
> 0
∴ D_n = 2n/(n+1).
1018:１３２人目の素数さん
17/09/29 00:11:24.28 Zt0C2yXV.net
m,nを自然数とする。
ユークリッド空間上の関数f:R^n→R^mは、任意の凸集合を凸集合に移す。
この時、fは連続か。
1019:１３２人目の素数さん
17/09/29 13:43:15.26 JazCjdF4.net
>>997 連続とは限らない。
n=1の時、商群R/QからR^mへの全単射φを１つとれば、
f(x)=φ(π(x)) (ただしπ:R→R/Qは自然な射影)
が反例になる。
nが1より大きい時は、例えばn=3なら
f(x,y,z)=φ(π(x))
等と定めればよい
1020:１３２人目の素数さん
17/09/29 22:40:30.39 oIFvV/UE.net
>>998
fが条件を満たす？
1021:１３２人目の素数さん
17/09/30 12:34:04.20 56ihevWH.net
>>999
n=1の時、Rの凸集合といったら(広義の)区間しかない。つまり
C=(a,b),(a,b],[a,b),[a,b] (a≦b.ただし端点を含まない場合は∞や-∞になってもよい)
のどれかになる。
もしCが一点か空集合ならf(C)も一点か空になる。
もしCが一点でも空でもなければ、ある開集合を含むため、CはR/Qのどの同値類とも交わりを持つ。したがってf(C)=R^m.
よって、fは凸集合を凸集合に移す。
fが連続でないことの説明は省略。
nが1より大きい時、R^nの凸集合をx軸に射影したものはx軸上の凸集合になるから、
x軸への射影とn=1の場合のfを合成すれば求める関数が得られる。
1022:１３２人目の素数さん
17/09/30 13:02:16.50 x4DjcavF.net
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