【専門書】数学の本第72巻【啓蒙書】

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1010:１３２人目の素数さん
 17/10/15 20:26:17.52 soBUb3VX.net
どうしたら、こんなに誤りを犯すことができるのか不思議でなりません。 
上野さんは、自分が書いたものを少しでも読み返すということは全くしないことは確かなことだと思います。

1011:１３２人目の素数さん
 17/10/15 20:42:21.13 8Oi/BhzZ.net
後藤爺さん二号は元祖五等爺さんに訂正

1012:１３２人目の素数さん
 17/10/16 02:29:41.74 BnuvLASj.net
間違ってないじゃん。

1013:１３２人目の素数さん
 17/10/16 15:58:37.72 7m2gmq8h.net
松坂和夫著『解析入門2』を読んでいます。 
以下の定理3は、実数値関数についての定理として証明されています。この証明を読むと、複素関数についてもそのまま 
通用するのではないかと思うのですが、この定理3の38ページ後ろのページに、「定理3の記述はやや実変数に“局限” 
された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」と書いてあります。 
以下の証明のどの部分が「多少の補正を要」するのでしょうか？ 
なお、証明中の定理1とは一様収束に関するコーシーの条件です。 
定理3 
I を1つの区間とし、 x_0 を I の1つの点（ I の端点でもよい）、 I から x_0 をとり除いた集合を E とする。 
(f_n) を E で定義された関数列とし、 (f_n) は E において関数 f に一様収束するとする。また、 n = 1, 2, … 
について、有限の極限 lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n が存在するとする。そのとき、数列 (A_n) は収束し、その極限を 
A とすれば、 lim_{x → x_0} f(x) = A である。 
証明 
f_n は E で一様収束するから、定理1により、与えられた ε > 0 に対し、ある N が存在して、 m ≧ N, n ≧ N ならば、 
すべての x ∈ E に対して |f_m(x) - f_n(x)| < ε が成り立つ。ここで x → x_0 とすれば、 f_m(x) → A_m, f_n(x) → A_n 
であるから、 |A_m - A_n| ≦ ε。ゆえに数列 (A_n) はコーシー列である。したがって (A_n) は収束する。その極限を A とする。 
f_n は f に E で一様収束し、また A_n → A であるから、自然数 n を十分大きく選んで、すべての x ∈ E に対し 
|f(x) - f_n(x)| < ε/3 が成り立ち、かつ |A_n - A| < ε/3 が成り立つようにすることができる。さらにこの n に対し、 
lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n であるから、 δ > 0 を、 |x - x_0| < δ, x ∈ E ならば、 |f_n(x) - A_n| < ε/3 が 
成り立つように選ぶことができる。そうすれば、 |x - x_0| < δ, x ∈ E のとき 
|f(x) - A| ≦ |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - A_n| + |A_n - A| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε。 
これは lim_{x → x_0} f(x) = A であることを意味する。

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