17/07/15 11:04:57.34 uQKi2Au+.net
>>175 補足
>実閉体の定義
まあ、下記でも
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
実閉体の生い立ち 名古屋大学多元数理科学研究科 塩田昌弘 数理解析研究所講究録 第1764 巻2011 年
(抜粋)
1. 序文
実閉体の概念はEArtin が1927 年にHilbert の第17 問題を解くために導入した
ものである。その後1980 年代から実閉体上で代数幾何を考えるという、実代数幾何
学が盛んに研究されるようになった。
Artin による第1 7 問題の証明は日本語では[2] に書かれていて、読むのに代数の基
本的知識をいくつか必要とするだけである。
実代数幾何学では、その証明を少し代えたものが、代表的な基本的なーつの証明方法になっている。ここではその証明
を紹介する。
その証明方法を日本語で、しかも実代数幾何学の言葉をできるだけ使わずに紹介するのは意味のあることだと思う。それで、
この論文を書くことにした。
一言でその証明方法を語れば、ある体でconstructive に記述された問題で、解けるか
どうか分からないとき、問題の形をそのままにして、体のみを変換することである。例
として$R$ を体として、問題∃ x∈ R, x^2=2 を考える．この問題はR=R~ では解けて、
R=Q では解けない。これでは困るが、体が実閉体ならうまくいく。もしR で解ける
かどうか分からない問題のとき、解けるようにR を大きな体R_に置き換える。次に説
明するArtin-Lang の定理によればR もR_も実閉体なら、もしR_で解ければR で必ず
解ける。これが説明したい証明方法である。
2. 定義と例とその基本的な性質