17/09/04 01:47:36.61 nXYDOT8Z.net
>>852
千手観音（千手千眼観自在菩薩）は、千本の手がありその手の掌には目が付いています。
へっへっへ
876:１３２人目の素数さん
17/09/04 13:23:44.99 nXYDOT8Z.net
>>754
(8)
f(x）=（1/a)^x は下に凸だから、0<x<1 で
f(x）- f(0）≦｛f(1）- f(0)}x,
(1/a)^x - 1 ≦｛(1/a）- 1}x,
∴ a^x ≧ a/(a+x-ax）= 1 - (1-a)x/(a+x-ax） …… ベルヌーイの式
x=bc を入れると、
a+x-ax = a+bc-abc = t-2u +a(1-b)(1-c）≧ t-2u,
∴ a^bc ≧ 1 -（bc-u)/(t-2u),
巡回的にたすと
(左辺）≧ 2 + u/(t-2u),
等号は u=abc=0 のとき。
【参考】
(8）の類題
a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。
∴ 0< a,b,c <1 としてよい。
b+c,c+a,a+b の中に１より大きいものが無ければベルヌーイで一発なんだが…
877:１３２人目の素数さん
17/09/04 15:08:41.76 nXYDOT8Z.net
>>820 >>821 >>836
QM は Quantum Machanics（量子力学）です。
QED は Quantum Electro Dynamics（量子電磁力学）です。
878:１３２人目の素数さん
17/09/04 15:53:26.57 r8nwon/d.net
>>854
なぜかあぼーんされて見�
879:ｦないけど、何か悪さした？
880:１３２人目の素数さん
17/09/04 17:49:07.50 VCnnUpGA.net
>>848 反例 a=b=c=3^(-1/2)
クソが作ったクソ問を避けるために出典欲しくなるのもわかる
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891:１３２人目の素数さん
17/09/04 18:13:26.80 T4IfN+s2.net
>>857
a=b=cのとき=が成り立つ。
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893:１３２人目の素数さん
17/09/04 19:47:33.92 MgnBmrDH.net
>>848
LHS >= 27((ab^3+bc^3+ca^3)(a^3b+b^3c+c^3a)((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2))^(2/3) >= RHS
894:１３２人目の素数さん
17/09/04 22:31:06.87 r46JbgIy.net
>>870
左側はさらに厳密な
LHS >= 9((ab^3+bc^3+ca^3)^2 + (a^3b+b^3c+c^3a)^2 + ((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2))^2
を示した方が簡単なおもしろい不等式
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905:１３２人目の素数さん
17/09/05 02:53:45.95 3z9XJ0W/.net
>>870 >>871
LHS =（a+b+c)^2（aa+bb+cc)^3 ≧ 27(ab^3+bc^3+ca^3)(a^3b+b^3c+c^3a)
は無理ですね。
〔参考〕
(aa+bb+cc)^2 ≧ 3(ab^3+bc^3+ca^3）または 3(a^3b+b^3c+c^3a)
[第5章.268, 284-290]
[第2章.389]
文献[8]、安藤、§2.3.2 p.61 中段、g_{p,q}(a,b,c）≧0,
906:１３２人目の素数さん
17/09/05 03:34:06.76 3z9XJ0W/.net
>>754 (2)
>>768
s = a+b+c,
t = ab+bc+ca,
S2 = aa+bb+cc,
S3 = a^3 +b^3 +c^3,
とおく。
S2 - t =｛(a-b)^2 +（b-c)^2 +（c-a)^2}/2 = F_0,
とおく。コーシーより
s･S3 - S2･S2 = ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≦ F_0･S2,
∵ ab ≦（aa+bb)/2 ≦ S2 /2，etc.
LHS - RHS =（S2)^3 - st･S3
=（S2-t)S2･S2 - t(s･S3-S2･S2)
≧ F_0･S2･S2 - t･F_0･S2
=（F_0)^2･S2
≧ 0,
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917:１３２人目の素数さん
17/09/05 05:07:23.93 q778+o9X.net
>>883
> コーシーより
> ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≦ F_0･S2,
caushyをどう使ったんでせうか？
たしかに差をとれば (F_0)^2 + uF_{-1} ≧0 となりますが、caushyでパッと出す方法を知りたいです。
918:１３２人目の素数さん
17/09/05 05:20:01.95 q778+o9X.net
わかりました。おじゃましますた。
919:１３２人目の素数さん
17/09/05 11:21:44.67 3z9XJ0W/.net
>>894
〔補題〕（>>754 (2) のための）
a,b,c >0 とすると
(aa+bb+cc){2(aa+bb+cc）-（ab+bc+ca)｝≧（a+b+c)(a^3+b^3+c^3）≧（aa+bb+cc)^2,
(略証)
左側は
S2（S2+F_0）- s･S3 =｛(a-b)^2+cc}/2 (a-b)^2 + cyclic. ≧ 0,
右側がコーシーでしたね。
s･S3 -（S2)^2 = ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≧ 0，（終）
あとは >>883 のとおり。
920:１３２人目の素数さん
17/09/06 06:00:26.89 AYr/rfmQ.net
>>848 >>870 >>871
(aa+bb+cc)^(3/2）=｛(ss + 2F_0)/3}^(3/2)
≧ √(ss/3）（ss/3 + F_0） （← AM-GM)
= （4sss -9st)/(3√3)
≧（7st -36u)/(3√3） （← F_1=sss-4st+9u≧0)
≧（3√3)(st -5u)/4 （← st-9u≧0)
= （3√3）｛(ab^3+bc^3+ca^3）+（a^3b+b^3c+c^3a）+ 2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}/(4s)
≧（3√3）｛(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)}/s, （← AM-GM)
を示した方が簡単なおもしろい不等式…
921:１３２人目の素数さん
17/09/06 06:40:45.04 XFngCi/7.net
>>897
ゴクリ…。弄り甲斐のある不等式ですね。
２行目のAM-GMの使い方が分かりませぬ。
922:１３２人目の素数さん
17/09/06 06:47:49.58 XFngCi/7.net
すみません、わかりました。
923: それにしても、その形になるように変形しようという発想を知りたいですね。
924:１３２人目の素数さん
17/09/06 09:11:04.47 VtL80ANE.net
[問題]
nを2以上の自然数として
σ(n)をnの約数の総和、H_n:=農{k=1}^n 1/k とする
このとき
σ(n)＜H_n+exp(H_n)log(H_n)
が成り立つことを示せ
925:１３２人目の素数さん
17/09/06 09:27:53.49 XFngCi/7.net
a, b, c >0 に対して、
(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ 27 {(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}^2
(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ 27abc (a^2 + b^2 + c^2) (a^3 + b^3 + c^3)
(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ (a+b+c)^3 (ab+bc+ca) (a^3 + b^3 + c^3)
などが得られるが、残念ながら、右辺の上中下の３式の大小は定まらないでおじゃる。
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936:１３２人目の素数さん
17/09/06 13:05:19.96 AYr/rfmQ.net
>>899
左辺の無理式
（ss/3 + …)^(3/2)
を有理式で評価するために使ったでござる。
（ab^3+bc^3+ca^3）、（a^3b+b^3c+c^3a）を経由せずに直接
(4sss-9st）- 27(tt-3su)/s =（(4ss+7t) F_1 + 21u F_0 + su F_{-1})/ss ≧ 0
も簡単でつが、面白いので入れますた。
F_n(a,b,c）=（a^n)(a-b)(a-c）+（b^n)(b-c)(b-a）+（c^n)(c-a)(c-b）≧0,
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947:１３２人目の素数さん
17/09/07 02:11:20.92 Fuvmh2la.net
>>901
ならば 0.03826828245292 ≦ k ≦ 16/27 のとき
（下）≧（1-k)*(中）+ k*(上),
はいかがでござる？
948:１３２人目の素数さん
17/09/07 05:11:20.81 +sD3y4UN.net
>>923
なるほど、その発想はなかったでござるよ、ニンともカンとも。
0.03826828245292 ≦ k ≦ 16/27 をみたす k の中で、
（1-k)*(中）+ k*(上) がきれいな形に整理できるものがあれば、いい不等式が作れますな。
その k の範囲はどうやって求めたのですか。
kのままで差を取って計算したのですか？
949:１３２人目の素数さん
17/09/07 05:11:48.93 +sD3y4UN.net
>>754
> (8)の類題 [第5章.698, 708]
> a, b, c >0 に対して、a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) ≧ 1
[疑問]
a^(2a) * b^(2b) * c^(2c) ≧ a^(b+c) * b^(c+a) * c^(a+b) は余裕で成り立つけど、
a^(2a) + b^(2b) + c^(2c) ≧ a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) は成り立つでござるか？
下の式がうまく証明できませぬ…
..::::::,､_,､::: ::::: ::: :
/ﾖﾐﾞヽ)-､. :: ::::
─（ﾉ─ヽ.ｿ┴─
950:１３２人目の素数さん
17/09/07 05:26:00.67 +sD3y4UN.net
A,B,C,D>0 に対して、AB ≧ CD ⇒ A+B ≧ C+D は無条件では成り立たないから、
上の式を弄って、下の式を導くのは無理そう。
951:１３２人目の素数さん
17/09/07 06:49:03.06 +sD3y4UN.net
(2^a + 2^b)/2 ≧ √(2^a*2^b) = 2^{(a+b)/2} ≧ 2^{√(ab)}
巡回させて加えて、2^a + 2^b +2^c ≧ 2^{√(ab)} + 2^{√(bc)} + 2^{√(ca)}
( ﾟ∀ﾟ) OK？
952:１３２人目の素数さん
17/09/07 07:12:08.52 +sD3y4UN.net
a, b, c >0 に対して、
2^(a^2) + 2^(b^2) + 2^(c^2)
≧ 2^(ab) + 2^(bc) + 2^(ca)
≧ 2^{a√(bc)} + 2^{b√(ca)} + 2^{c√(ab)}
≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}
≧ …
（以下無限に続く）
( 'A`) 自作の不等式といふものは、見栄えも悪いし、作成方法もバレバレよのぅ。 もう少し綺麗にならんものかな。
953:１３２人目の素数さん
17/09/07 22:14:26.49 pS+6z7mN.net
>>901
(上)(中) <= (下)^2
954:１３２人目の素数さん
17/09/08 03:00:35.95 Xvh/PpT+.net
>>925
上は対数とってチェビシェフで。
下はどうでおじゃる？
〔補題〕
a,b>0 のとき a^a + b^b
955:≧ a^b + b^a, (略証) ・1≦a≦b のとき b^b ≧（b^a)a^(b-a), (左辺）-（右辺）≧ a^a +（b^a)a^(b-a）- a^b - b^a =（b^a - a^a)(a^b - a^a)/(a^a) ≧ 0, ・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、 （左辺）≦ 1 + ab ≦ a + b ≦（右辺), ・Max{1,a｝≦b のとき b^x ≧ a^x より （左辺）-（右辺）=∫[a,b]｛log(b) b^x - log(a) a^x｝dx ≧ 0, ・0<a,b≦1 のとき、 う～む。。。思ったよりめんどくせえ。 〔ベルヌーイの式〕 0<a,b≦1 のとき、 1-b+ab ≧ a^b ≧ a/(a+b-ab), 0<a≦1≦b のとき 1-b+ab ≦ a^b ≦ a/(a+b-ab),
956:１３２人目の素数さん
17/09/08 08:37:49.22 iwl1FmH8.net
Cauchyより、
{a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)} ≧ {a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b)}^2
そこで、
{a^(2a) + b^(2b) + c^(2c)}^2 ≧ {a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)} …(★)
が成り立てば解決と考えたけど、(★)が証明できない。
試しに b=c=1 を代入してみたらいけるので、成り立っているような感じだけど、ニンともカンとも…。
957:１３２人目の素数さん
17/09/08 08:44:00.05 iwl1FmH8.net
>>930
ベルヌーイの式はどうやって証明するのですか？
ベルヌーイの不等式
r≦0 or 1≦r のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx
0≦ｒ≦1 のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx
とは別物ですか？
958:１３２人目の素数さん
17/09/08 12:36:41.94 Xvh/PpT+.net
>>932
>>854 を参照。
a→1/a とすれば
a^b ≦ 1-b+ab
1<b のときは不等号が逆向き。
a=1+x、b=r
959:１３２人目の素数さん
17/09/08 12:59:14.60 Xvh/PpT+.net
>>931
>>930 より
a^(2a）+ b^(2b）≧ a^(2b）+ b^(2a),
巡回的にたして AM-GMする。
a^(2a）+ b^(2b）+ c^(2a）≧｛a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)}/2 +｛a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)}/2
≧ √{a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)} √{a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)} ……（★）
960:１３２人目の素数さん
17/09/08 14:38:39.14 iwl1FmH8.net
>>928
> ≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}
≧ 2^{√(abc√(ab))} + 2^{√(abc√(bc))} + 2^{√(abc√(ca))}
の間違いだな。
961:１３２人目の素数さん
17/09/08 14:38:44.92 Xvh/PpT+.net
>>930 >>934
〔補題〕
0<a≦b, 0<c≦d のとき
a^c + b^d ≧ a^d + b^c,
(略証)
m =（c+d)/2，h=（d-c)/2 > 0 とおく。
題意より、0 < a^m < b^m，0 < a^h < b^h,
よって
a^c - a^d - b^c + b^d
= a^(m-h）- a^(m+h）- b^(m-h）+ b^(m+h)
= a^m｛a^(-h）- a^h｝+ b^m｛b^h - b^(-h)}
≧ a^m（b^h - a^h）{1 +（ab)^(-h)}
≧ 0,
簡単だった...
962:１３２人目の素数さん
17/09/08 14:40:27.66 iwl1FmH8.net
>>934
むむむ…。すると >>930 の補題の 0<a,b≦1 のときが示されれば解決ですか。
963:１３２人目の素数さん
17/09/08 14:48:12.11 iwl1FmH8.net
>>936
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
964:１３２人目の素数さん
17/09/08 16:10:35.21 iwl1FmH8.net
検索したら…
面白スレ六問目 208 (出題のみ解答なし)
a, b >0 のとき、(a^b+b^a)/(a^a+b^b) のとりうる範囲を求めよ。
965:１３２人目の素数さん
17/09/08 16:24:51.04 iwl1FmH8.net
>>930
> >>925
> 上は対数とってチェビシェフで。
私は (a-b)(log a - log b) ≧0 を巡回させて加えて整理しますた。
チェビシェフって、具体的にどうやるんですか？ きっと前スレも同じ方法。
> 正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。
> 対数とってチェビシェフ
966:１３２人目の素数さん
17/09/08 18:03:30.03 iwl1FmH8.net
>>930
> 〔補題〕
> a,b>0 のとき a^a + b^b ≧ a^b + b^a,
この間からずっと探していて、先程手書きメモから発掘。そのメモによると、
a,b,c,d>0 かつ ab≧cd かつ b = min{a,b,c,d} のとき、a+b ≧ c+d ……(☆)
対称性から a≧b として、(a^a)(b^b) ≧ (a^b)(b^a) かつ a^a, a^b, b^a ≧ b^b で、(☆)を適用。
とだけ書きなぐってあった。例によって出典メモもなく、数学板の過去ログを検索してもヒットせず。
967:１３２人目の素数さん
17/09/08 22:02:47.27 iwl1FmH8.net
>>936と、第２章 466-467 より、
a, b >0 に対して、a^a + b^b ≧ a^b + b^a >1
968:第３章 109-111 より、 a, b, c >0 に対して、a^b + b^c + c^a >1 [疑問] 次式は成り立ちそうだけど、証明が分かりませぬ。 a^a + b^b + c^c ≧ a^b + b^c + c^a
969:１３２人目の素数さん
17/09/08 23:40:24.31 iwl1FmH8.net
>>940
もしかして、並べ替え不等式のことを言っているのかな？
同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順序積の和
チェビシェフは、
同順序積の和の平均 ≧ 平均の積 ≧ Σ 乱順序積の和の平均
970:１３２人目の素数さん
17/09/09 00:56:44.14 fG3xA4Le.net
>>936
簡単ぢゃなかった......orz
0<a,b≦1 のときは？だった。
凡例 0<a<1/3，b=2a，c=1, d=2，（c/a = d/b ≧3）
大風呂敷 広げすぎたけど、 c/a = d/b ≦ e に限れば成り立つかも。
懲りずに作るでござる。
〔補題〕
0<a,b，0≦k≦e のとき
a^(ka）+ b^(kb）≧ a^(kb）+ b^(ka),
>>941
a≧b ⇒ a^a，b^a ≧ b^b が成立たないところが…
971:１３２人目の素数さん
17/09/09 07:38:47.20 PPAy6pZb.net
>>930
左側 （a^b + b^a）≦ 1 + ab はどうやって出すんですか？
1 + ab = (1-b+ab) + b
と分けて、ベルヌーイを使うのかなと思ったら、
a^b ≧ 1-b+ab
b^a ≦ b
で不等号の向きが揃わない…
972:１３２人目の素数さん
17/09/09 09:14:36.51 PPAy6pZb.net
>>930
> ・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、
> （左辺）≦ 1 + ab ≦ a + b ≦（右辺),
ここですが、a^a ≧ a^b、b^a ≧ b^b だから、差をとれば終わりでは？
(a^a + b^b) - (a^b + b^a)
= (a^a - a^b) + (b^b - b^a)
≧0
973:１３２人目の素数さん
17/09/09 17:18:16.44 fG3xA4Le.net
>>946
その通りでつ。
>>783 に追加
a,b,c>0 に対して、
（aa+bb+cc)^3 ≧（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa）≧…
>>754 (1)(5）より
974:１３２人目の素数さん
17/09/09 17:20:25.53 +iIUOrjC.net
トーフトの不等式
975:１３２人目の素数さん
17/09/09 18:15:23.39 PPAy6pZb.net
>>947
すまぬ、不等号の向きが逆でござる。
>>757の証明では、修正済みですね。
>>754 (1) 【訂正】
a, b, c >0 に対して、(ab+bc+ca)^3 ≦ (a^2 + 2b^2)(b^2 + 2c^2)(c^2 + 2a^2)
976:１３２人目の素数さん
17/09/10 17:07:26.90 GGGugCiK.net
>>949
>>754 (1）
［第3章.727］より
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（1/27){(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧（ab+bc+ca)^3,
977:１３２人目の素数さん
17/09/11 02:33:18.51 Ls/z+whG.net
[第３章 843、845] より、
a≧b≧0，c≧d≧0のとき、
√（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
978:１３２人目の素数さん
17/09/11 07:41:49.10 Ls/z+whG.net
>>951 の類題
[第１章 68、71] より、
実数x,y,zに対して √(x^2+y^2-xy)+√(y^2+z^2-yz) ≧ √(z^2+x^2+zx)
979:１３２人目の素数さん
17/09/11 08:02:10.25 Ls/z+whG.net
>>951は、根号内が負にならないように x, y, z >0 (≧0) とすべきだよな。
980:389
17/09/11 09:18:52.80 Bpls46N5.net
>>389の不等式について
元の問題(>>515)の2は、その対偶に当たる
∃k, ∀(x,y)>0, (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u) ⇒ (Dが△ABCの内部および周上)
(>>389の←)
を示せばよい？
近大発表の解答を探したが、既刊の2冊には載っていなかった
『２１世紀無差別級数学バトル』
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
『白熱！無差別級数学バトル』
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
981:１３２人目の素数さん
17/09/11 10:40:19.10 Ls/z+whG.net
>>954
2009年の問題だから、数蝉2010年8月号P.60
近畿大学『数学コンテスト』／12年の歩みを振り返って／大野泰生＋佐久間一浩
982: https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/5364.html に解説があるやもしれぬ… ('A`)
983:１３２人目の素数さん
17/09/11 14:27:23.93 lLjA+cjN.net
>>952
3直線 OA、OB、OC を
∠AOB = ∠BOC = ∠AOC/2 = π/3,
となるようにとる。
OA上、座標xの点をX，
OB上、座標yの点をY，
OC上、座標zの点をZ とする。
このとき
XY = √(xx-xy+yy),
YZ = √(yy-yz+zz),
ZX = √(zz+zx+xx),
XY + YZ ≧ ZX,
等号成立条件は y(x+z)=xz．｛x=z=2y も含む.}
>>953 ？
984:１３２人目の素数さん
17/09/11 14:33:07.83 Ls/z+whG.net
>>956
問題文の x,y,z は実数だけど、実数でも成り立つのかな？
985:１３２人目の素数さん
17/09/11 16:04:03.38 CvOz8PAv.net
>>953
>>957
非負でなくてはならない条件はつかってないと思うけどどういうこと？
986:１３２人目の素数さん
17/09/11 16:19:08.50 Ls/z+whG.net
う～ん、私が理解できていないだけみたい。
>>956
> OA上、座標xの点をX，
この意味が分かりません。
987:１３２人目の素数さん
17/09/11 16:28:39.37 Ls/z+whG.net
>>42
> 〔問題216〕
> 実数a～dについて
> （aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ab+bc+cd)^2,
> （aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ad-bc)^2,
上側
4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ab + bc + cd)^2
＝ (ab - bc + cd + 2da)^2
≧ 0
下側は、Wolfram 先生に以下の２通りを処理させても、ずっと 『COMPUTING』 のまま結果を出さない。
factor 4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
expand 4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
つまり因数分解できないんだろうけど、長い式は展開してくれないのかな？
平方和になるのかな？
988:１３２人目の素数さん
17/09/11 16:38:45.88 Ls/z+whG.net
手計算で展開してから、Wolfram先生に因数分解してもらった。
4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
= 4(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2d^2 + d^2a^2 + a^2bd + ab^2c + acd^2 + bc^2d + abcd) - 3(a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)
= 4a^2b^2 + b^2c^2 + 4c^2d^2 + d^2a^2 + 4a^2bd + 4ab^2c + 4acd^2 + 4bc^2d + 10abcd
= (2ab+ad+bc+2cd)^2
≧0
989:１３２人目の素数さん
2017/09/
990:11(月) 17:20:43.44 ID:IDWqxmZH.net
991:１３２人目の素数さん
17/09/11 17:22:26.50 lLjA+cjN.net
>>956
直線OAをx軸とし、OAの向きを正とします。
もちろん、x軸，y軸，z軸は直交しません（斜交軸）
>>960-961
>>47-48 から
(aa+ac+cc)(bb+bd+dd）=（ad-bc)^2 +（ad-bc)(ab+bc+cd）+（ab+bc+cd)^2,
これと
xx+xy+yy ≧（3/4)xx，(3/4)yy
から出ますけど...
992:１３２人目の素数さん
17/09/11 17:52:18.68 lLjA+cjN.net
>>952
では図に頼らず代数的に...
LHS^2 - RHS^2 = 2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）+（2yy-t)
=｛4(xx-xy+yy)(yy-yz+zz）-（2yy-t)^2｝/｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ}
= 3DD /｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ}
≧ 0,
ここに、t = xy+yz+zx,
等号成立条件は D = xy+yz-zx = 0,
993:１３２人目の素数さん
17/09/11 18:32:41.88 Ls/z+whG.net
>>962-963
ありがとうございます！ 今から考えてみます。
>>963
じゃあ xx+xy+yy ≧3xy だから、次式も成り立ちますね。
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧ 3(ad-bc)(ab+bc+cd)
994:１３２人目の素数さん
17/09/11 21:29:10.93 Ls/z+whG.net
>>956
たとえば x>0, y<0 のときに、
XY = √(xx-xy+yy) じゃなく
XY = √(xx+xy+yy) になりませんか？
995:１３２人目の素数さん
17/09/11 21:30:28.09 Ls/z+whG.net
いやいやいや、>>966は忘れてくだされ。負のときは角度が変わるから、大丈夫なんだね。
996:１３２人目の素数さん
17/09/12 02:14:22.13 YsdDbYfo.net
>>389 >>954
⇒ は簡単なんでつが… >>568
三角形を回して考えるのかな。
p’，r’，t’< v’ ならば ｘ→∞
p’，r’，t’ > v’ ならば ｘ→0
q’，s’，u’< w’ ならば y→∞
q’，s’，u’ > w’ ならば y→0
として反例を探す。
997:１３２人目の素数さん
17/09/12 03:54:04.96 YsdDbYfo.net
>>947
AM-GM で
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
=｛(aabb+c^4)/2 +2ccaa}(a-b)^2 +｛(bbcc+a^4)/2 +2aabb}(b-c)^2 +｛(ccaa+b^4)/2 +2bbcc}(c-a)^2 + 2abc⊿
≧ 2ccaa(a-b)^2 + 2aabb(b-c)^2 + 2bbcc(c-a)^2 +2abc⊿
= 2abc{(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2 + ⊿}
≧ 0,
ここに、⊿ =（a-b)(b-c)(c-a),
〔補題〕
-1/2 < ⊿／｛(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2｝≦（7-3√3)/22 = 0.0819930717
左側は（a，b，c）=（a，1，1/a）で a→∞ のとき近づく。
さて、どうやって示すんでしょうね...
998:１３２人目の素数さん
17/09/12 09:02:09.48 bjO3mpkI.net
和積版並べ替え不等式で一発
999:１３２人目の素数さん
17/09/12 14:13:31.04 YsdDbYfo.net
>>969
AM-GMで
(aabb+c^4)/2（a-b)^2 +（bbcc+a^4)/2（b-c)^2 +（ccaa+b^4)/2（c-a)^2 + abc⊿
≧ abc{c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + ⊿}
= 2(abb+bcc+caa - 3abc)
≧ 0, ［第４章.626］
を使うと、
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
≧ abc{2(ca/b)(a-b)^2 + 2(ab/c)(b-c)^2 + 2(bc/a)(c-a)^2 + ⊿},
1000:１３２人目の素数さん
17/09/12 20:07:31.54 bmf0+g5o.net
【問題】 (出典 2016 TOT)
a, b, c >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)*(a+b+c)
TOTって何ぞや？
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●| 書店で立ち読み中に
ヽ::::......ワ...ノ 見かけた問題でござる
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
1001:１３２人目の素数さん
17/09/12 20:10:11.31 bmf0+g5o.net
【おまけ】 難易度：鼻くそ
a,b,c,d,e>0 に対して、a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≧ (a+b+c+d)e
1002:１３２人目の素数さん
17/09/12 23:02:36.39 bmf0+g5o.net
>>972 を改造しようとして、λの最小値を出そうとしたが、挫折したでござる。
a, b, c, d >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ λ*(a+b+c+d)
1003:１３２人目の素数さん
17/09/12 23:20:00.20 N0+9SYTs.net
>>972
Tournament of the town
a/12 + b/3 + 4c/3 >= (abc)^(1/2)
a/4 + b >= (ab)^(1/2)
>>973
L - R = (a-e/2)^2 + …
1004:１３２人目の素数さん
17/09/12 23:30:54.46 bmf0+g5o.net
>>972
２文字なら簡単に作れるのでおじゃるが…
a, b >0 に対して、a + (ab)^(1/2) ≦ {(1+√2)/2}*(a+b)
1005:１３２人目の素数さん
17/09/13 03:07:54.73 i1anpb+k.net
[疑問]-----------------------------------------------
a, b, c >0 に対して、
M(a,b,c) ≧ (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ m(a,b,c)
-----------------------------------------------------
AM-GMで m(a,b,c) = 27(abc)^2 を得るけど、もっとキツく締め上げたいのでござる。
L = a^2b + b^2c + c^2a
R = ab^2 + bc^2 + ca^2
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
= L^2 + LR + R^2
= (s^2)(t^2) - (s^3)u - t^3
" ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ ヽ /
,." ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ; ＼ ／
ゞヾ ; ;" ; ; ;; ;"i
1006:iiiii;;;;;::::: :)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/ ` ` ` ー ─ ' ` ゞヾゞ;＼＼iiiiii;;;;::::: :|;:/ヾ; ;ゞ "ゝゞ ; ;` ` ,|i;iiiiiii;;;;;;::: :| ` ` ` ` ` ` ` ,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :| ＿＿＿ 秋の夜長に不等式 ` ` `, ` |iiiiiii;;;;;;((,,,):::|／ ≧ ＼ ヾ从//" ` |iiiiiiii;;;;ii;;;;;;;;::|::::: (● (● | ` ﾞ ` ヾ'./" |iiiiii;iii;;;;i;;:: ::::|ヽ::::......ワ...ノ ○ .||. , ` |iii;;iiiii;::;:;;;;::::::| ( つ且 ~ ` ○○ | | , , .,.. ,..M|M|iMii;;ii:i;;i:i;:; ゝ つつ.,.. ,...... ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,.,.. ,..,,,,.,...,..,.,|￣￣|,.,..（ ）.. ,,,..,,.. ,.... ,,,.,...,.. .. ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,
1007:１３２人目の素数さん
17/09/13 06:13:10.00 HyiuMNX2.net
耳栓をしたら世界が変わってワロタ
1008:１３２人目の素数さん
17/09/13 07:02:09.13 jekxCsX+.net
>>974
a = a,
√ab ≦｛1/(2√p)｝（a+pb),
（abc)^(1/3）≦｛1/[3(pq)^(1/3)]｝（a+pb+qc),
（abcd)^(1/4）≦｛1/[4(pqr)^(1/4)]｝（a+pb+qc+rd),
ここに、
p = 3.37617521979458
q = 9.55342152751350
r = 32.2851876698453
辺々たすと
λ = 1.42084438540961
1009:１３２人目の素数さん
17/09/13 10:07:15.32 i1anpb+k.net
>>975
顔文字(ToT)の正体は Tournament of the town なのか…
幾つかの国でやっているようだから、出題年度だけでは見つけるのは大変でござるな。
wiki (Tournament of the town)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
AoPS
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
加奈陀
URLﾘﾝｸ(www.math.toronto.edu)
独逸
URLﾘﾝｸ(www.math.uni-hamburg.de)
仏蘭西
URLﾘﾝｸ(www.tournoidesvilles.fr)
以色列
URLﾘﾝｸ(www.taharut.org)
イスラエルは読めぬ…。右寄せになっているが右から左に書くのか？
1010:１３２人目の素数さん
17/09/13 10:15:37.91 i1anpb+k.net
>>979
３変数でよかったのか…。次のように６変数でやっていますた。
a = a
√ab = √{(pa)(b/p)} ≦ {(pa)+(b/p)}/2
（abc)^(1/3） = {（qa)(rb)(c/pq))}^(1/3） ≦ {（qa)+(rb)+(c/pq)}/3
（abcd)^(1/4） = {（sa)(tb)(uc)(d/stu)}^(1/4） ≦ {（sa)+(tb)+(uc)+(d/stu)}/4
1 + p/2 + q/3 + s/4 = 1/2p + 3/r + t/4 = 1/3pq + u/4 = 1/4stu
pa = b/p
qa = rb = c/pq
sa = tb = uc = d/stu
1011:１３２人目の素数さん
17/09/13 10:36:59.57 i1anpb+k.net
>>4
埋蔵地のリンクが切れているところが結構あるので修正中。
>>1の過去ログ・まとめサイト、>>2の和書以外は、まとめサイト参照でいいかもね。
1012:１３２人目の素数さん
17/09/13 10:49:00.52 i1anpb+k.net
>>165
[不等式 第7章 241]
> 0<x<y<π/2の時
> (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
> を示せ
これも未解決ですな
1013:１３２人目の素数さん
17/09/13 10:49:48.18 i1anpb+k.net
>>469
> >>388
> >>456
> 相当な量の改良問題があった
>
> for reals
> [1] (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
> [2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a)
>
> for nonnegarives
> [3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2
> [4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2
> [5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3)
>
> AOPS
> [1], [2] : c6h588096p3481394
> [3] : c6h4830p15309
> [4], [5] : c6h581954p3438879
>
> 他にもいろいろ
この辺に改造できそうなネタがたくさん埋もれていそう。
1014:１３２人目の素数さん
17/09/13 11:15:48.43 i1anpb+k.net
数研通信に SMV-Theorem についての解説があった。
数検通信
URLﾘﾝｸ(www.chart.co.jp)
89号、対称的な不等式の証明方法について、柳田五夫 ← コレ
他に不等式絡みの記事
80号、3次の同次対称式P(a,b,c)の不等式について、柳田五夫
76号、絶対値記号を含む不等式について、柳田五夫
75号、不等式の証明に役立つ不等式と接線の利用について、柳田五夫
66号、1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e (a,b,c,d,e∈N)の最大値について、柳田五夫
60号、接線を利用した台形の面積で，ある不等式を証明する、柳田五夫
08号、ある不等式の証明について、柳田五夫
89号、数学的帰納法とベルヌーイの不等式、大谷昌範
85号、モローの不等式の証明、藤岡優太
80号、n数の相加・相乗平均の関係の証明、西元教善
76号、ベクトルの三角不等式の活用、岡本雅史
66号、チェバ・メネラウスの定理から導く三角形の不等式、中村公一
60号、巡回不等式特集、大塚秀幸
50号、不等式をつくる、仁平政一
42号、いままで出会ったことのない「ある不等式」について、仁平政一
49号、相加・相乗平均の不等式を産み出す根源的不等式について 、西元教善
47号、不等式の証明の統一的方法、仁平政一
20号、チェビシェフの不等式について、遠藤一成、中島政彦
1015:１３２人目の素数さん
17/09/13 11:22:52.28 i1anpb+k.net
新スレを建てたでござる。
今後とも御指導お願いしますでござる。
不等式への招待 第９章
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1016:１３２人目の素数さん
17/09/13 12:57:54.60 i1anpb+k.net
>>979
ｐ, q, r の値は具体的にどう表されるのですか？ 解くのは大変そうですが…
1017:１３２人目の素数さん
17/09/13 14:14:15.00 HyiuMNX2.net
耳栓をしたら世界が変わってワロタ
1018:１３２人目の素数さん
17/09/13 16:12:00.85 i1anpb+k.net
>>979
1 + 1/(2√p) + 1/[3(pq)^(1/3)] + 1/[4(pqr)^(1/4)]
= p/(2√p) + p/[3(pq)^(1/3)] + p/[4(pqr)^(1/4)]
= q/[3(pq)^(1/3)] + q/[4(pqr)^(1/4)]
= r/[4(pqr)^(1/4)]
をみたす正の数 p, q, r を求めればいいんだけど、うまく出せない…
p = 3.37617521979458
q = 9.55342152751350
r = 32.2851876698453
この値はどうやったら出せるんですか？
1019:１３２人目の素数さん
17/09/13 17:42:14.45 jekxCsX+.net
>>981
>>974 の等号が a=pb=qc=rd で成立するならば、
このとき >>981 の3式も等号が成立するはず。
これを考慮すると、
a=A、pb=B、qc=C、rd=D とおくとき
√AB ≦（A+B)/2,
（ABC)^(1/3）≦（A+B+C)/3,
（ABCD)^(1/4）≦（A+B+C+D)/4,
の定数倍になっている。
>>987-989
それは拙者も知りとうござる。
ところで、
λ_1 = 1.0
λ_2 =（1+√2)/2 = 1.20710678118655 >>976
λ_3 = 4/3 = 1.33333333333333 >>972
λ_4 = 1.42084438540961 >>979
単調に増加する....
lim_{n→∞｝λ_n = ?
1020:１３２人目の素数さん
17/09/13 19:04:41.16 i1anpb+k.net
>>977
とりあえず少し進展したのでパピコ。 Caushyの拡張より、
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
＝ (ab+b^2+a^2)(b^2+bc+c^2)(a^2+c^2+ca)
≧ (ab+bc+ca)^3
＝ t^3
AM-GMで 27(abc)^2 = 27u^2 とした�
1021:謔閧焜}シになった。 m(a,b,c) = (ab+bc+ca)^3 ≧ 27(abc)^2 が、以下のように分割すると、非負値の和ばかりで、ずいぶんとゆるゆるなうんちでござる。 (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) - t^3 ＝ (s^2)(t^2) - (s^3)u - 2(t^3) ＝ (t^2-3su)F_0 + 2suF_0 + (u^2)F_{-2} + u(st-9u) ≧ 0 まだまだ厳しくできるはず！ ちなみに M(a,b,c) の方は、どこから手をつけてよいか見当がつかぬ…。 ／⌒ヽ ／⌒ ・ ＞ ぬ～ん… E￣Ｕ) ε | E￣∩) ・ ＞ ゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛
1022:１３２人目の素数さん
17/09/13 19:05:36.22 i1anpb+k.net
>>990
では、どうやって具体的な p, q, r の近似値を出したのでござるか？
1023:１３２人目の素数さん
17/09/13 19:11:18.22 i1anpb+k.net
どうでもいいが、新スレ3のAAの元ネタは、「よろしい ならば戦争だ」
ニコ動で演説は見たが、元のアニメを見たことがなくてピンとこない。
1024:１３２人目の素数さん
17/09/13 19:30:18.62 jekxCsX+.net
>>984
[1]
a=b=c=1 のとき？
[2]
(aa+3)(bb+3）=（ab-1)^2 +（3aa+2ab+3bb）+ 8
=（ab-1)^2 + (a-b)^2 + 2(a+b)^2 + 8
=（ab-1)^2 + (a-b)^2 + 2(a+b-2)^2 +8(a+b),
1025:１３２人目の素数さん
17/09/13 19:36:01.04 i1anpb+k.net
>>994
たしかに (1) は成り立ちませんね。
AoPSの掲示板が元ネタだから、仕方ないでござる。
1026:１３２人目の素数さん
17/09/13 19:56:41.83 S+/ABgCb.net
>>994
for positives
[1] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
だった
なんで全然違う問題を掲載したんだろう
>>995
それはどうだろう
少なくともやばい連中はそこにたくさんいる
1027:１３２人目の素数さん
17/09/13 20:02:17.52 i1anpb+k.net
>>996
> 少なくともやばい連中はそこにたくさんいる
やばい連中って、どんな連中？
1028:１３２人目の素数さん
17/09/13 23:06:15.42 i1anpb+k.net
"; ;ヾ; ;ヾ; ;ﾒヾ "ゞ ;ヾ ;ゞ ;" "ゞ ; ; ; ゞ ;" "ゞ";ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;ゞ ;" "ゞ /. ヽ
;" "ゞ ; ; ; ゞ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ; ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;" ";ゞ ; ;ヾ l l
" ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ ヽ /
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ゞヾ ; ;" ; ; ;; ;"iiiiii;;;;;::::: :)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/ ` ` ` ー ─ ' `
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1029:１３２人目の素数さん
17/09/13 23:06:54.49 i1anpb+k.net
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| ::| | .┌─┐| ∧＿∧ いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿| |┌─┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
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| ::| | | ⊂ ） （＿Ο Ο わかってる、生き延びた奴が
| ::|／ .|_ （＿Ο Ο ::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
| ::| :::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!
1030:１３２人目の素数さん
17/09/13 23:07:14.52 i1anpb+k.net
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