17/08/13 16:43:33.64 /or+kDcE.net
>>541 (1)
(a+b)/(ab+a+b) = (a+b)c/{1+(a+b)c｝= z/(1+z),
通分して
（1+x)(1+y)z +（1+x)y(1+z）+ x(1+y)(1+z）- 2(1+x)(1+y)(1+z)
= -2 -（x+y+z） +xyz,
= -2 -2(ab+bc+ca）+ abc(a+b)(b+c)(c+a)
=｛1 - (abc)^2｝+（ab+bc+ca-3）+（ab+bc+ca)｛abc(a+b+c) -3｝
≧ 0,
597:１３２人目の素数さん
17/08/14 03:30:28.48 DhVyRLdl.net
>>449 >>455
(2)
（1+ab)/(1+a）= (1+c)/{c(1+a)}，etc.
AM-GM する。
>>455 とほとんど同じだ....
(3)
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
≧ 1/(1+a+ab）+ 1/(1+b+bc）+ 1/(1+c+ca）
= x/(x+y+z）+ y/(y+z+x）+ z/(z+x+y)
= 1,
bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2,
通分して
bc(1+b)(1+c）+ ca(1+c)(1+a）+ ab(1+a)(1+b）-（3/2)(1+a)(1+b)(1+c)
= t +（st-3u）+（tt-2su）-（3/2)(1+s+t+u)
=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2 + 2(st-9u)/3 +（tt-3su)
=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2
≧0, （← s≧3、t≧3、u=1）
598:１３２人目の素数さん
17/08/14 14:19:59.12 2wTFMFcz.net
>>543-544
> 9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ 9abc/(a+b+c)≧ (4√3)S ≧ 36r.
書き直すと
(√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)} ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r.
>>544より、√|3abc/(a+b+c)} ≧ √|(AB+BC+CA)/3}.
ところで、(ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) ≧ 0 より、√|3abc/(a+b+c)} ≧ HM.
そこで気になるのは、2√(S/√3)、HM、√|(AB+BC+CA)/3} の大小だけど、定まるかな？
／⌒ヽ
／⌒ ・ ＞
E￣Ｕ) ε | きりがないでござる
E￣∩) ・ ＞
゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛
599:１３２人目の素数さん
17/08/14 16:40:29.61 2wTFMFcz.net
数学文化という雑誌に不等式の特集があるというタレ込みがあったので買ってきた。未だ目を通していない。
600:１３２人目の素数さん
17/08/14 21:52:11.78 DhVyRLdl.net
>>449
(3)下
チェビシェフで
(左辺）= 1/{a(1+a)｝+ 1/{b(1+b)｝+ 1/{c(1+c)｝
≧ 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝
よって、次の問題に帰着する。
〔問題3.93〕
1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
バルカンMO-2006
文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
左辺に 1+abc を掛ける。
(1+abc)/{a(1+b)｝= (1+a)/{a(1+b)｝-1 + b(1+c)/(1+b)，etc.
巡回的に AM-GM すると
（1+abc)(左辺）≧ 3(1/G -1 +G)
= 3(1-G+GG)/G
= 3(1+GGG)/{G(1+G)}．
∴ (左辺）≧ 3/{G(1+G)},
ここに G=(abc)^(1/3)
601:１３２人目の素数さん
17/08/15 00:00:45.18 CDzXTDus.net
>>584
（AB+BC+CA)/3 ≧ √{(A+B+C)ABC/3} =（4/√3)S, >>554
（HM)^2 ≧（4/√3)S
にて御座候。
HM と √{(AB+BC+CA)/3｝の大小は不定と思われ...
き、きりがねぇ。。。
602:１３２人目の素数さん
17/08/15 11:55:24.24 MRdTx6vq.net
>>587
> （HM)^2 ≧（4/√3)S
これがうまく証明できませぬ
603:…
604:１３２人目の素数さん
17/08/15 11:56:07.50 MRdTx6vq.net
>>584-585より、
(√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、
{√2(ab+bc+ca)}/3 > (a+b+c)/(3√2) > (a^2+b^2+c^2)/3
合体させて、
{√2(ab+bc+ca)}/3 > (a+b+c)/(3√2) > (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
さて、(√3)R はどこに入るのだろう？
('A`) 出口が見えないでござる
ﾉ ﾉ)_
605:１３２人目の素数さん
17/08/15 12:37:59.27 MRdTx6vq.net
>>589
> >>584-585より、
> (√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
>
> ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、
GMの左側から合体させたら、
√{(ab+bc+ca)/3} ＞ (a+b+c)/(2√3) ＞ √|(a^2+b^2+c^2)/6} ≧ GM/(√2)
√{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
この2つは合体は無理そうかな。上側はGMより小さくなってるようだし…
606:１３２人目の素数さん
17/08/15 13:03:49.64 CDzXTDus.net
>>589
{√2(ab+bc+ca)/3｝>（a+b+c)/√6 > √{(aa+bb+cc)/3｝≧ AM
>>590
正△でも等号不成立なので、無理そうでござる。
607:１３２人目の素数さん
17/08/16 07:17:47.30 QnvYtidY.net
>>588
（HM)^2 ≧（4/√3)S
⇔ (3√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (3√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2
この証明は難しいのでは？
a, b, c で表しても、sin で表してもややこしい。
レムスで削り落としても、まだ複雑な形でござる…
Lehmu's inequality ： abc ≧ (s-a)(s-b)(s-c)
, / ,
, / / , / ,
/ '＾ﾒ-' ─/- ､ / ,
∠ｒ _,゛_ / , ヽ/__/ ﾓｳ ﾀﾞﾒﾎﾟ…
''ヽ'_･.ノ｀ ' ｒ/、 ﾍ /‐’
./ " j 厂ﾞj | ﾚ_｀> j__ /
' .:‘::'ニ‘.:‐'´─ﾞ.:´一’
608:１３２人目の素数さん
17/08/16 08:03:22.63 QnvYtidY.net
>>592
左辺の係数間違ごうとる
（HM)^2 ≧（4/√3)S
⇔ (9√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (9√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2
609:１３２人目の素数さん
17/08/16 13:54:15.29 QnvYtidY.net
>>592
（HM)^2 ≧（4/√3)S ⇔ (x+y+z)/3 ≧ (xyz)^(1/3)
ラビで一発だった。
610:１３２人目の素数さん
17/08/16 14:18:02.07 QnvYtidY.net
>>594
いや別の不等式の話でした。
ごめん、あれこれ弄っていて混乱していました。
611:１３２人目の素数さん
17/08/18 01:02:25.04 90S02hzN.net
>>588-595
HM^2 と (4/√3)S の大小
1辺だけが短い楔状△の場合は不成立のようでござる。
手間取らせて、すまぬ。
612:１３２人目の素数さん
17/08/18 11:06:43.92 WHydeLcz.net
>>596
さんくす。(a,b,c)=(1/3,1,1)で、HMの方が小さくなりますね。
[疑問] HM ≧ （2/√3)r は成り立つか？
b=c=1、0<a<2でWolfram先生にグラフを書かせたら、０以上っぽいので、基本対称式で表すと、
(HM^2 - 12r)/3 の分子
= 3su^2+s^3t^2-4st^3+8t^2u
= (s^2-3t)st^2 - (t^2-3su)u
= 正 - 正
で、この方法では失敗でござった。
613:１３２人目の素数さん
17/08/18 12:33:10.09 WHydeLcz.net
>>597
ちがった。最後は
(s^3t^2-4st^3+9t^2u) - (t^2-3su)u
614:１３２人目の素数さん
17/08/18 17:50:32.42 WHydeLcz.net
>>449、>>583、>>586
> a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2
>>586
> 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
>
> バルカンMO-2006、文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
似たような不等式を見つけた。
[IMO 1995 第2問] URLﾘﾝｸ(www.cs.cornell.edu)
1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2.
615:１３２人目の素数さん
17/08/18 18:07:26.70 WHydeLcz.net
>>449、>>455、>>583
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、3 > 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) > 1
上限を厳しく評価するには、どういう考え方でやればいいんでせうか？
616:１３２人目の素数さん
17/08/18 22:17:20.07 /k+bKW+I.net
>>600
f(x)=1/(1+e^x)
x+y+z=0 なる実数 x, y, z に対して f(x)+f(y)+f(z) の上限を調べればよい
f は x<=0 で狭義凸だから LCF から y=x, z=-2x のときの上限を調べれよばよい
sup 2f(x)+f(-2x) = 2
よって上限は 2
617:１３２人目の素数さん
17/08/19 03:06:30.81 HQ7H9Ohy.net
>>599
x=1/a、ｙ=1/b、z=1/c とおくと、xyz=1
S = xx/(y+z）+ yy/(z+x）+ zz/(x+y)
≧ (x+y+z)^2 /{(y+z)+(z+x)+(x+y)｝ (←コーシー)
=（x+y+z)/2
≧3/2,
文献[9] 佐藤(訳）例1.4.9
>>600
a,b,… のうち最小のものをmとおきます。（m≦1)
1より大きい2要素 p,q があったときは
(p, q）→（m, pq/m）と置き換えてみます。
このとき相乗平均は変わらず、
（m + pq/m）-（p+q）= (p-m)(q-m)/m ≧ 0 ゆえ左辺は
1/(1+m）+ 1/(1+pq/m）- 1/(1+p）- 1/(1+q）
= (2+m+pq/m)/{(1+m)(1+pq/m)｝-（2+p+q)/{(1+p)(1+q)｝
=（2+m+pq/m)/{1+(m+pq/m)+pq｝-（2+p+q)/{1+(p+q)+pq｝
= -(pq-1)/{1+(m+pq/m)+pq｝+（pq-1)/{1+(p+q)+pq｝
≧0
増大します。
618:１３２人目の素数さん
17/08/19 03:14:58.76 Q+nr/ATk.net
LCF、RCF、LCRCF、SIP、EV、AC(UMV)、GI、GC、SMV…。さっぱり
619:１３２人目の素数さん
17/08/19 04:32:39.26 Q+nr/ATk.net
>>4 に追加。
Vasile Cirtoaje
URLﾘﾝｸ(ac.upg-ploiesti.ro)
柳田五夫、初等的な不等式Ⅲほか
URLﾘﾝｸ(izumi-math.jp)
620:１３２人目の素数さん
17/08/19 04:33:53.44 Q+nr/ATk.net
>>601-602
ありがとうございまする。
621:１３２人目の素数さん
17/08/19 05:22:53.63 Q+nr/ATk.net
Arithmetic Compensation Theorem (AC-Theorem)
Equal Variable Theorem (EV-Theorem)
Half Convex Function Theorem (HCF-Theorem)
Left Concave Function Theorem (LCF-Theorem)
Right Convex Function theorem (RCF-Theorem)
Left Convex-Right Concave Function Theorem (LCRCF-Theorem)
Single Inflection Point Theorem (SIP-Theorem)
Strong Mixing Variables Theorem (SMV-Theorem)
GC-Theorem （文献[8] 安藤 P.197）は何の略？
622:１３２人目の素数さん
17/08/19 10:17:54.83 F2dH2OvX.net
>>606
AC が arithmetic なんだから GC はgeometric でしょ...
623:１３２人目の素数さん
17/08/19 13:16:25.17 HQ7H9Ohy.net
>>597 >>598
s^3 -4st +9u = a(a-b)(a-c）+ b(b-c)(b-a）+ c(c-a)(c-b),
tt-3su = bc(a-b)(a-c）+ ca(b-c)(b-a）+ ab(c-a)(c-b),
より
(s^3 -4st +9u)tt - (tt-3su)u = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b),
ここに
P=a(tt-bbcc)，Q=b(tt-ccaa)，R=c(tt-aabb),
P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）は同順序なので Schurの拡張で成立..
624:１３２人目の素数さん
17/08/19 14:37:54.57 Q+nr/ATk.net
>>608
Schurの拡張について詳しく教えてください。
f : R→(0,∞) が単調増加 or 単調減少のとき、a, b, c∈R に対して、
f(a)(a-b)(a-c) + f(b)(b-c)(b-a) + f(c)(c-a)(c-b) ≧0
というのは知っているけど、この場合は f(x) が f(a,b,c)の3変数関数で、
同順序ならokってのが、ピンと来ない…
625:１３２人目の素数さん
17/08/19 15:39:17.29 Q+nr/ATk.net
>>600-602
> a,b,c>0, abc=1のとき、1 < 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) < 2
>>583の真似をして上限を出してみたなり。 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
= 1 + (1-ab)/(1+a+b+ab) + 1/(1+c)
< 1 + 1/(1+ab) + 1/(1+c)
= 1 + c/(1+c) + 1/(1+c)
= 2
626:１３２人目の素数さん
17/08/19 16:13:06.10 Qk9aUlzH.net
>>610
>>583
その解き方で本当に上限下限って言えるの？
627:１３２人目の素数さん
17/08/19 16:34:50.44 Q+nr/ATk.net
つまり、不等式を証明するだけなら、そのやり方でよいが、上限、下限であることを言うには、
a, b → +0 や a.,b → ∞ を調べて、限界値であることを確認しろってことかな？
628:１３２人目の素数さん
17/08/19 17:26:48.38 Qk9aUlzH.net
うん
でもその解き方でもa,b->0考えれば最適であることは言えるかもね
629:１３２人目の素数さん
17/08/19 17:44:45.38 Q+nr/ATk.net
>>449
(3)下を、Jensen + AMGM で。
f(x) = 1/(a+a^2) は下に凸だから、
左辺
＝ f(a) + f(b) + f(c)
≧ 3*f( (a+b+c)/3 )
≧ 3*f( (abc)^(1/3) )
＝ 3*f(1)
＝ 3/2
630:１３２人目の素数さん
17/08/19 18:43:45.36 Qk9aUlzH.net
>>614
f は単調増加じゃないから f( (a+b+c)/3 ) >= 3*f( (abc)^(1/3) ) は成り立たない
むしろ逆の不等号が成り立つ
631:１３２人目の素数さん
17/08/19 20:10:08.88 Q+nr/ATk.net
たしかに…。うっかりしていました。
632:１３２人目の素数さん
17/08/19 20:33:36.53 C7tE2SmP.net
不等式を極めるとなんかいいことがある？
633:￥
17/08/19 20:35:11.56 LB3Hl+jp.net
￥
634:￥
17/08/19 20:35:29.68 LB3Hl+jp.net
￥
635:￥
17/08/19 20:35:47.84 LB3Hl+jp.net
￥
636:￥
17/08/19 20:36:05.26 LB3Hl+jp.net
￥
637:￥
17/08/19 20:36:22.91 LB3Hl+jp.net
￥
638:￥
17/08/19 20:36:41.03 LB3Hl+jp.net
￥
639:￥
17/08/19 20:36:58.29 LB3Hl+jp.net
￥
640:￥
17/08/19 20:37:14.92 LB3Hl+jp.net
￥
641:￥
17/08/19 20:37:35.02 LB3Hl+jp.net
￥
642:￥
17/08/19 20:38:02.15 LB3Hl+jp.net
￥
643:１３２人目の素数さん
17/08/19 22:28:51.70 HQ7H9Ohy.net
>>597 >>598
a,b,c が△の辺長の場合は Ravi変換で簡単でござるよ。 >>594
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C, a+b+c=A+B+C.
HM = 3abc/(ab+bc+ca)
=（3/2)(A+B)(B+C)(C+A)/{(A+B+C)^2 +（AB+BC+CA)｝
≧（4/3)(A+B+C)(AB+BC+CA)/{(4/3)(A+B+C)^2}
=（AB+BC+CA)/(A+B+C)
≧（4√3)S/(a+b+c)
=（2√3)r,
したがって a,b,c>0 で成立するかがミソのようでござる… >>608
644:￥
17/08/20 03:18:58.50 vRIJh8/a.net
￥
645:￥
17/08/20 03:19:14.32 vRIJh8/a.net
￥
646:￥
17/08/20 03:19:29.20 vRIJh8/a.net
￥
647:￥
17/08/20 03:20:01.74 vRIJh8/a.net
￥
648:￥
17/08/20 03:20:18.61 vRIJh8/a.net
￥
649:￥
17/08/20 03:20:35.65 vRIJh8/a.net
￥
650:￥
17/08/20 03:20:50.79 vRIJh8/a.net
￥
651:￥
17/08/20 03:21:13.19 vRIJh8/a.net
￥
652:￥
17/08/20 03:21:29.13 vRIJh8/a.net
￥
653:￥
17/08/20 03:21:44.12 vRIJh8/a.net
￥
654:１３２人目の素数さん
17/08/20 11:39:21.71 XEX21MRP.net
>>628
かたじけない。その証明が難しいので、もう少し時間を。
655:１３２人目の素数さん
17/08/20 11:40:27.25 XEX21MRP.net
疑問でござる。
(1)
a, b, c >0 の相乗平均を G とおくとき、a/(b+G) + b/(c+G) + c/(a+G) ≧ 3/2 は成り立つか？
(2)
上式で、右辺の定数をGを含む式に変えられないか？ たとえば、3/(1+G) みたいな感じで。
(3)
a, b, c >0、s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc に対して、s^3u - t^3 ≧0 は成り立つか？
656:１３２人目の素数さん
17/08/20 12:03:13.01 XEX21MRP.net
>>640
(3)は(a,b,c) = (1,1,2), (2,2,1) で正負になった。すまぬすまぬ…。
657:￥
17/08/20 14:02:17.03 vRIJh8/a.net
￥
658:￥
17/08/20 14:02:34.90 vRIJh8/a.net
￥
659:￥
17/08/20 14:02:51.19 vRIJh8/a.net
￥
660:￥
17/08/20 14:03:09.02 vRIJh8/a.net
￥
661:￥
17/08/20 14:03:26.90 vRIJh8/a.net
￥
662:￥
17/08/20 14:03:44.11 vRIJh8/a.net
￥
663:￥
17/08/20 14:03:59.91 vRIJh8/a.net
￥
664:￥
17/08/20 14:04:19.34 vRIJh8/a.net
￥
665:￥
17/08/20 14:04:36.64 vRIJh8/a.net
￥
666:￥
17/08/20 14:04:54.14 vRIJh8/a.net
￥
667:１３２人目の素数さん
17/08/20 18:47:22.79 XEX21MRP.net
>>628
ようやく理解。ところでRavi変換は (b+c-a)/2 = x、… なのでは？
基本対称式を使って、力任せに証明してみた。
a, b, c の基本対称式を s, t, u とおくと、
HM^2 - (2√3*r)^2 = 3{3s(st-u)^2 - 4u(s^2+t)^2}/{s(s^2+t)^2}
分子 = u(s^2t+3su-4t^2) + s^2(st^2-4s^2u+3tu) + 2s^2t(st-9u) ≧0
週末が
668:始まったと思ったら、もう終わっていたでござる… ('A`)
669:１３２人目の素数さん
17/08/20 18:48:49.02 XEX21MRP.net
>>652
正確には、分子じゃなくて、分子の中括弧の中身。
670:１３２人目の素数さん
17/08/20 18:56:12.70 XEX21MRP.net
>>652
何度もすまぬ。
Ravi変換 (b+c-a)/2 = x、…をしてから、x, y, z の基本対称式 s, t, u を使ったのでござった。
671:￥
17/08/20 22:07:16.76 vRIJh8/a.net
￥
672:￥
17/08/20 22:07:34.08 vRIJh8/a.net
￥
673:￥
17/08/20 22:07:52.31 vRIJh8/a.net
￥
674:￥
17/08/20 22:08:09.73 vRIJh8/a.net
￥
675:￥
17/08/20 22:08:27.26 vRIJh8/a.net
￥
676:￥
17/08/20 22:08:43.22 vRIJh8/a.net
￥
677:￥
17/08/20 22:09:00.84 vRIJh8/a.net
￥
678:￥
17/08/20 22:09:20.13 vRIJh8/a.net
￥
679:￥
17/08/20 22:09:38.63 vRIJh8/a.net
￥
680:￥
17/08/20 22:09:56.51 vRIJh8/a.net
￥
681:１３２人目の素数さん
17/08/20 22:50:23.44 mA3fdDEU.net
>>609
〔Schur 不等式の拡張〕
P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）が同順または逆順ならば
P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b）≧ 0.
(略証)
bはa，cの中間にあるとしてよい。
(a-b)(b-c）≧ 0
題意より、P,Q,R≧0 かつ QはP，Rの中間にあるから、
P-Q+R ≧0
これらより、
P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b）
= P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2
≧ 0, （終）
いろいろな拡張があり、まとめて Vornicu－Schur 不等式と云うらしい。
詳しくは、ニコニコ大百科の「シューアの不等式」の項を参照
>>640
(1) >>449(1）と同じでつ。
(2）同次式ゆえ、定数でつ。
>>654
それなら、>>652 は >>628 と同じでつね。
682:￥
17/08/20 23:01:59.99 vRIJh8/a.net
￥
683:１３２人目の素数さん
17/08/20 23:03:56.11 mA3fdDEU.net
>>617
専門バカになるでござる。
（ただし、専門を持たぬ只のバカよりは、すこーしマシである。）
684:１３２人目の素数さん
17/08/21 09:09:30.43 QiJqP8rB.net
>>628
a,b,c が△の辺長でない場合も簡単でござるよ。
A+B=2c≧0，B+C=2a≧0，C+A=2b≧0,
∴ A,B,Cのうち負となるのは１つだけ。
∴ HM^2 ≧ 0 ≧ 3ABC/(A+B+C),
685:１３２人目の素数さん
17/08/21 17:53:20.03 8ztbkIZ8.net
a, b, c >0 かつ abc≧1 のとき、
(1) [2004 ウクライナ、 文献 [9] 佐藤(訳)P.139]
a^3 + b^3 + c^3 ≧ ab+bc+ca
(2) [2006.3 エレ解、一松信]
a^2b + b^2c + c^2a ≧ ab+bc+ca
(3) [疑問]
上の左辺 a^3 + b^3 + c^3 と a^2b + b^2c + c^2a の大小は定まるのか？
巡回不等式に有効な手段って何？ 真ん中の数を固定して場合分けくらいかな？
686:１３２人目の素数さん
17/08/21 22:19:47.87 QiJqP8rB.net
>>669
(abc)^(1/3) = G とおき、AM-GM する。
(1)
a^3+a^3+b^3 -3aab = (2a+b)(a-b)^2 ≧ 0
ゆえ、(2)に帰着する。
(2) aab+aab+bbc ≧ 3aG,
巡回的にたす。
(3) Muirheadの不等式
687:１３２人目の素数さん
17/08/21 22:26:23.89 QiJqP8rB.net
>>669
>>670 の訂正
(2) aab + aab + bbc ≧ 3abG
でござった。
(3) 非対称のときは微妙な場合もあるが、この場合は成立つでござる。
688:１３２人目の素数さん
17/08/21 22:55:53.49 qV/a4a+5.net
>>670
(3)muilheadで出来ると？
689:１３２人目の素数さん
17/08/22 00:50:18.83 fGEhoquB.net
>>2 安藤 [8] に著者のHPのリンクを追加 （まとめwikiは更新済み）
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp) （著者のページに正誤表+補遺）
Muirhead's inequality は難しくて、>>1のまとめwikiを見たけど挫折。
その後、>>2 安藤 [8] PP.11-14を読んで、なんとか証明は辿れたけど、
簡単な例を作るなどで練習していないから、全く使いこなせない。 ← 今ココ
今が勉強するときなのかもしれないなあ。
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_l_l /￣￣￣
690:/＿ ＼/ /
691:１３２人目の素数さん
17/08/22 00:57:31.85 fGEhoquB.net
古いmemoを見つけたので、紛失する前に書き込んでおく。
証明は簡単だけど、見た目がよかったので。
〔出典不明〕
A(a,b) = (a+b)/2、G(a,b) = √(ab)、A(a,b,c) = (a+b+c)/3 などと書くことにする。
正の数 a, b, c, d に対して、
A(a,b,c,d) ≧ G(A(a,b,c),A(b,c,d),A(c,d,a),A(d,a,b)) ≧ G(A(a,b).A(a,c).A(a,d).A(b,c).A(b,d).A(c,d).) ≧ G(a,b,c,d)
692:１３２人目の素数さん
17/08/22 13:46:51.51 yCSUoaY7.net
>>674
[第6章.151-159］の辺りにござる。
G(A(a,b,c), A(b,c,d), A(c,d,a), A(d,a,b))^4
= (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)/81
= (sst -su +v)/81,
G(A(a,b), A(a,c), A(a,d), A(b,c), A(b,d), A(c,d))^6
= (a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)/64
= (stu -ssv -uu)/64,
A(ab, ac, ad, bc, bd, cd)
= (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6
= t/6,
A(abc, bcd, cda, dab)
= (abc+bcd+cda+dab)/4
= u/4,
693:１３２人目の素数さん
17/08/22 15:23:36.14 fGEhoquB.net
>>669(3)
(a^2, b^2, c^2) と (a,b,c) は大小の順が同じだから、
『同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順除籍の和』 で、
a^3 + b^3 + c^3 ≧ a^2b + b^2c + c^2a
で問題ない蟹？
694:１３２人目の素数さん
17/08/22 18:38:27.52 fGEhoquB.net
(1) [1999 Russia]
a, b, c >0 に対して、1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 6/(a+b+c)
(2) [1999 Russia]
a, b, c >0、abc=1 に対して、1 + 3/(a+b+c) ≧ 6/(ab+bc+ca)
(3) [不明]
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(a+b+c) + 1/3 ≧ 3/(ab+bc+ca)
695:１３２人目の素数さん
17/08/22 18:49:45.42 fGEhoquB.net
(1) [出典不明]
a, b, c, d >0、abcd=1 とする。
1/(1+ab+bc+ca) + 1/(1+bc+cd+db) + 1/(1+cd+da+ac) + 1/(1+da+ab+bd) ≦ 1
[疑問]
1/(1+ab+bc+cd) + 1/(1+bc+cd+da) + 1/(1+cd+da+ab) + 1/(1+da+ab+bc) だと、どうなるのだろう？
696:１３２人目の素数さん
17/08/22 18:56:05.03 fGEhoquB.net
以下、a, b, c >0、abc=1 とする。いずれも出典不明
(1)
(a+b)(b+c)(c+a) + 7 ≧ 5(a+b+c)
(2)
(a+b+c)/3 ≧ {(a^2+b^2+c^2)/3}^(1/5)
(3)
(a-1)/b + (b-1)/c + (c-1)/a ≧ 0
(4)
(a-1)/(b+c) + (b-1)/(c+a) + (c-1)/(a+b) ≧ 0
(5)
(a/c)^2 + (b/a)^2 + (c/b)^2 ≧ 2(a-b)(b-c)(c-a) + 3
-----------------------------------
未整理のmemoの中で abc=1、abcd=1 のタイプは片付いたかも…。
r～～～～～～～～～
＿_ _ﾉ きりがないでござる・・・
／__ ｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～～～～～
|〈___ﾉf レ1(
,L| しL.し'ﾞ"
"｀ "′
697:１３２人目の素数さん
17/08/22 19:09:30.23 fGEhoquB.net
[おまけ]
友愛数みたいな関係でござるな。
(1)
a, b, c >0、a+b+c=3 のとき、a^2 + b^2 + c^2 + abc ≧ 4.
(2)
a, b, c >0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のとき、a+b+c ≦3.
698:１３２人目の素数さん
17/08/22 21:17:04.84 fGEhoquB.net
>>679
(5) やはり巡回式は全く手が出ない…
699:１３２人目の素数さん
17/08/23 17:00:04.08 edu8Brze.net
>>667
(1)
1 -6/s +3/t =（1 -3/s)^2 + 9/(3t）- 9/ss ≧ 0, （ss≧3t)
(2)
1 -6/t +3/(su）=（1 -3/t)^2 + 9/(3su）- 9/tt ≧ 0, (tt≧3su)
(3)
a=b<c のとき不成立（a=b≧c では成立）でござる。
700:１３２人目の素数さん
17/08/23 17:04:32.35 edu8Brze.net
>>680
(1）題意より
(左辺）= s(ss-2t)/3 + u
=｛4s^3 + 3(s^3 -4st+9u) + 2(ss-3t)}/27
≧（4/27)s^3
= 4,
セビリアMO-2008改
佐藤(訳)、[9] 問題3.118
(2)
題意より、0<a～c<2、
（3-a-b-c)(3+a-b-c+bc）=（4-aa-bb-cc-abc）+ 1 -（2-b)(2-c)(b+c-1)
≧ 1 -（2-b)(2-c)(b+c-1）≧0
∵ b+c-1>0 のとき、AM-GMで（2-b)(2-c)(b+c-1)≦1
イランMO-2002、A.16
>>682 (3)
不等号が逆でござった。
701:１３２人目の素数さん
17/08/23 22:42:04.81 6dHoZEIo.net
>>679
>>681
(3)
a=y/x, ... とおくだけ
(5)
x=b/a, ..., f(x, y, z)=LHS-RHSとおくと
f(x, y, z) - f(t, t, t) = 3/4 * (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) >= 0 where t = (x+y+z)/3
よって x = y = z = 1 のとき示せばよいがこれは明らか
702:１３２人目の素数さん
17/08/23 23:35:42.86 6dHoZEIo.net
>>678
両方とも逆数考えればいい
703:１３２人目の素数さん
17/08/24 00:19:32.68 9N+3FV4m.net
>>677
(1)
1 -6/s +3/t =（1 -3/s)^2 + 9/(3t）- 9/ss ≧ 0, （ss≧3t)
(2)
1 -6/t +3/(su）=（1 -3/t)^2 + 9/(3su）- 9/tt ≧ 0, (tt≧3su)
(3)
成り立ったでござる。死んでお詫びを…（AA略
704:１３２人目の素数さん
17/08/24 01:23:07.53 9N+3FV4m.net
>>679
(2)
ss =（aa+bb+cc）+ t + t,
s^6 ≧｛(aa+bb+cc) +t +t}^3
≧ 27(aa+bb+cc)tt
≧ 81(aa+bb+cc)su,
∴（s/3)^5 ≧｛(aa+bb+cc)/3}u,
〔補題196〕
(8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
を使う。（じゅー）
(4)
チェビシェフで，
箔ｯ順序積 ≧ 迫随㍼�積，
（左辺）≧（1/3)(a+b+c-3){1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)}≧0,
705:１３２人目の素数さん
17/08/24 03:22:45.56 rYRHhAcs.net
>>687
> 〔補題196〕
> (8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
左側はアッサリ、右側はサッパリ…。
8(a+b+c)^3 - 27(a+b)(b+c)(c+a) = 3(s^3-4st+9u) + 5s(s^2-3t) ≧ 0
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 - 24abc(aa+bb+cc) = s^3t - 25s^2u +48tu
--------------------------------------------------
ついでに、過去ログ漁っていて出てきたやつですが、すっきりした証明ができませぬ。
[第６章.908]
a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3＋b^3＋c^3),
{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2 - 27abc(a^3＋b^3＋c^3)
= s^2t^2 - 27s^3u + 81stu - 81u^2
次数が上がると、s, t, u の不等式のどれを組み合わせるか難しくなる。
706:１３２人目の素数さん
17/08/24 10:30:59.65 9N+3FV4m.net
>>688
〔補題196〕の略証
チョト難しいのでSchurの拡張で。
bはa、cの間にあるとする。
(左辺)-(右辺）= P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
= P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2,
P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0,
R =（a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0,
ここに、m = min{a,c｝、ac=m(a+c-m)
-----------------------------ｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰ--------------------
[第６章.908］の略証
S = aaa+bbb+ccc, T =（ab)^3+(bc)^3+(ca)^3,
p = aab+bbc+cca, q = abb+bcc+caa, u=abc とおく。
pq = T+uS+3uu ≧ 3u(3ST)^(1/3）≧ 3u√(3Su）より、
（左辺）=｛(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 =（S+p+q)^2 ≧ 9(Spq)^(2/3）≧ 27Su，
Casphy!-不等式2-177 じゅー
707:１３２人目の素数さん
17/08/25 00:31:48.00 oetrvUQn.net
>>677 (3)
st +6Gt -9GGs ≧ 0,
>>679 (1)
st +6u -5GGs ≧ 0,
の特効薬は無いでござるか？（G=(abc)^(1/3))
3次方程式
X^3 -sX^2 +tX -u=0
の判別式は
27⊿^2 = 27{(a-b)(b-c)(c-a)}^2
= 4(ss-3t)^3 - (2s^3 -9st +27u)^2
=（st-9u)^2 -4(t^3 +s^3･u +27uu -9stu)
=（st+9u)^2 -4(t^3 +s^3･u +27uu)
=（st+6GGs +6Gt +9u)^2 -4(t +Gs +3GG)^3,
3つの実根 a,b,c をもつときは
st+6GGs+6Gt+9u ≧ 2(t+sG+3GG)^(3/2),
と思われるが、さて…
708:１３２人目の素数さん
17/08/25 01:15:11.00 3FtU8w0T.net
>>679
>>690
f(a, b, c)=LHS-RHS, a>=c>=b とすると
f(a, b, c)- f(a, t, t) = 1/4 *(2a-b-c) >= 0 where t = (b+c)/2
f(a, b, c) - f(ab, c, 1) = (a-1)(1-b)(c^2+abc+ab+bc+ca+c-5) >=0
よって a = b = c = 1 のとき調べればよいが明らか
709:１３２人目の素数さん
17/08/25 01:21:08.15 3FtU8w0T.net
>>691
二個目の不等式成り立たないや
710:１３２人目の素数さん
17/08/25 04:26:49.66 Yhp4f37o.net
>>690
f(X) = X^3 -sX^2 +tX -u
f'(X) = 3X^2 - 2sX + t
AN-GMより f'(X)の判別式 D/4 = s^2-3t ≧0
f'(X)=0の解α,βは、α+β, αβ>0 より、α,β>0
また f(0)=-u<0
グラフを考えると、f(X)=0が正の解a, b, cをもつ条件は f(α)f(β)≦0
f(α)f(β) = -(s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2) ≦0
∴ s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2 ≧0
残念無念…
s, t, u に関する既知の不等式が出てきただけでござった。
s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2 = {(a-b)(b-c)(c-a)}^2
('A`) ,..;:～''"
ﾉ( ﾍﾍ ,,.､;;:～'''
711:１３２人目の素数さん
17/08/25 17:27:20.09 oetrvUQn.net
>>677 (3) が成立つとする。
2/s + 1/3 ≧ 3/t,
または
t ≧ 9s/(s+6),
一方、9ss -（s+6)(5s-6）= 4(s-3)^2 ≧ 0 より
9s/(s+6）≧（5s-6)/s,
したがって
t ≧（5s-6)/s,
または
st + 6 ≧ 5s >>679（1)
それぢゃ、>>677（3）はどうするか？
712:１３２人目の素数さん
17/08/25 19:30:02.99 Yhp4f37o.net
Schur's inequality を対称性を崩さずに証明するときの以下の変形は、どうやって思いつくんでしょうか？
F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)}
F_2 = {(x+y-z)2(x-y)^2 + (y+z-x)2(y-z)^2 + (z+x-y)2(z-x)^2 }/2
713:１３２人目の素数さん
17/08/25 22:34:00.62 oetrvUQn.net
>>695
>>665 にある文献か
Casphy! - highmath - 不等式2 - 175（じゅー）
をサンショウウオ
714:１３２人目の素数さん
17/08/26 01:33:14.23 MEky4IFO.net
[疑問１]
Schur's inequality を対称性を崩さずに証明できるのは、n=0,1,2,3 以外には知られていないのかな？
検索の仕方が下手なのか見当たらんでござる。
[疑問２]
>>677のように、同次でない不等式の証明で、お決まりのテクニックって何じゃらほい？
条件式を使って無理やり同時にして、基本対称式の不等式を利用するくらいしか思いつかないけど、
この問題では、条件式を使っても３乗根が現れて大変だし…
715:１３２人目の素数さん
17/08/26 02:00:02.17 a5WQhO5r.net
>>695 >>697 [1]
拙者にも分かりませぬ。
Ｆ_(n+3）=（x+y+z）Ｆ_(n+2）-（xy+yz+zx）Ｆ_(n+1）+ xyz Ｆ_n
では対称性は崩れませぬが、うまく証明できるのか疑問だし。
716:１３２人目の素数さん
17/08/26 02:32:02.40 MEky4IFO.net
>>698
> Ｆ_(n+3）=（x+y+z）Ｆ_(n+2）-（xy+yz+zx）Ｆ_(n+1）+ xyz Ｆ_n
ちょうど今、その等式を導いたとこでござる。
それから F_1 を対称性を保つように変形中に次式が出てきて、Wolfram先生に確認してもらった。
F_1
= (1/2){(x^2+y^2-z^2)(x-y)^2 + (y^2+z^2-x^2)(y-z)^2 + (z^2+x^2-y^2)(z-x)^2}
= (1/2){(x+y-z)^2(x-y)^2 + (y+z-x)^2(y-z)^2 + (z+x-y)^2(z-x)^2}
しかし、ここから （結果を知らずに） 次式に変形する方法が思いつかない。
F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)}
717:１３２人目の素数さん
17/08/26 15:31:34.41 a5WQhO5r.net
>>698
3Ｆ_2 = 2(x+y+z)Ｆ_1 +｛(x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx)}Ｆ_0,
を使うと
Ｆ_3 =（xx+yy+zz)Ｆ_1 - 2xyzＦ_0
となるが、その後が…
700げとー
718:１３２人目の素数さん
17/08/26 16:54:34.17 a5WQhO5r.net
>>700
P=p(z-y), Q=q(x-z), R=ｒ(y-x), p+q+r=0 のとき
P(x-y)(x-z）+ Q(y-z)(y-x）+ R(z-x)(z-y)
=（p+q+r)⊿
= 0,
ここに⊿=（x-y)(y-z)(z-x),
例 p=z-y，q=x-z，r=y-x のとき P=pp、Q=qq、R=rr.
719:１３２人目の素数さん
17/08/27 00:28:26.43 NetfQ0ow.net
>>677 (3) >>690 >>694
・t≧9 のときは明らか。
・3≦t≦9 のとき。
24tt -（9-t)(t^3 +9u）= t(t-3)^3 + 3(9-t)(t-3）≧ 0,
(9-t)/3t ≦ 8t/(t^3 +9u),
(左辺）-（右辺）=（2/s + 1/3）- 3/t
= 2/s - (9-t)/3t
≧ 2/s -8t/(s^3 +9u)
= 2
720:(s^3 -4st +9u)/{s(s^3 +9u)｝ = 2F_1(x,y,z)/{s(s^3 +9u)} ≧ 0,
721:１３２人目の素数さん
17/08/27 00:47:52.80 NetfQ0ow.net
>>677 (3) >>690 >>694
・t≧9 のときは明らか。
・3≦t≦9 のとき。
24tt -（9-t)(t^3 +9uu）= ｔ(t-3)^3 +3(9-t)(t-3）≧ 0,
(9-t)/3t ≦ 8t/(t^3 +9uu),
(左辺）-（右辺）=（2/s + 1/3）- 3/t
= 2/(su) - (9-t)/3t
≧ 2/(su) -8t/(t^3 +9uu)
= 2(t^3 -4stu +9uu)/{su(t^3 +9uu)｝
= 2uu･F_1(1/x,1/y,1/z)/{s(t^3 +9uu)}
≧ 0,
722:１３２人目の素数さん
17/08/27 01:08:20.58 NetfQ0ow.net
>>679 (1) >>690
・t≧5 のときは明らか。
・3≦t≦5 のとき、
24t -（5-t)(t^3 +9uu）=（t-3)^4 +7(t-3)^3 +9(t-3)^2 +6(t-3）≧0,
5-t ≦ 24t/(t^3 +9uu),
(左辺）-（右辺）= 6 -（5-t)s
≧ 6 -24st/(t^3 +9uu)
= 6(t^3 -24stu +9uu)/(t^3 +9uu)
= 6u^3･F_1(1/x,1/y,1/z)/(t^3 +9uu)
≧ 0,
723:１３２人目の素数さん
17/08/27 02:24:43.88 NetfQ0ow.net
>>702 は大間違いです。
724:１３２人目の素数さん
17/08/27 10:23:54.77 NetfQ0ow.net
>>703 >>704
t^3 -4stu +9uu = u^3･F_1(1/x,1/y,1/z）= uu･F_{-2}(x,y,z)
=｛(z^5)(xx-yy)^2 + (x^5)(yy-zz)^2 +(y^5)(zz-xx)^2}/{(x+y)(y+z)(z+x)}
≧0
を使いますた。
725:１３２人目の素数さん
17/08/27 16:11:26.92 NetfQ0ow.net
>>677
佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.86
u=1 のときは（s,t）を入れ換えても成り立つ。（duality)
726:１３２人目の素数さん
17/08/27 16:26:59.89 NetfQ0ow.net
>>388 (5) >>450
〔Hlawkaの不等式〕を拡張…
r≧1 のとき
K(r){|a|^r +｜b|^r +｜c|^r +｜a+b+c|^r｝≧｜a+b|^r +｜b+c|^r +｜c+a|^r,
ここに K(r）は
1≦r≦2 のとき、K(r）=（2^r)/{1+3^(r-1)},
2≦r のとき、K(r）= 2^(r-2),
kurims 講究録-1136-11 p.90-95 (2000) Theorem 2
>>449 (2)
佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.43、問題3.67
(1+ab)(1+a）= ab(1+c)/(1+a), など。
AM-GMする。
>>453
佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.61
x^3 +x^3 +y^3 ≧ 3xxy, (AM-GM）より
x^3 +y^3 +z^3 ≧ xxy + yyz + zzx,
(x,y,z）=（a,b,c）と（x,y,z）=（ab,bc,ca）をたす。
727:１３２人目の素数さん
17/08/27 20:32:51.97 u/VQjdir.net
>>689
> 〔補題196〕の略証
> (左辺)-(右辺）= P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
この形に変形するのって、ものすごく大変なんじゃないん？
728:１３２人目の素数さん
17/08/27 23:16:42.54 NetfQ0ow.net
>>709
その通り。
（a,b,c）=（1,1,1）以外に（1,1,2）（1,2,1）（2,1,1）でも等号が成立するから、チョト難しい。
他に使えそうな方法は無いか？
729:１３２人目の素数さん
17/08/28 00:00:38.32 4VsD2YTN.net
>>708
解答も訂正。
>>453
チェビシェフ（または AM-GM）で
a^3 +b^3 +c^3 ≧ aab + bbc + cca = (a/c + b/a + c/b)u,
(ab)^3 +(bc)^3 +(ca)^3 ≧ ab(bc)^2 + bc(ca)^2 + ca(ab)^2 = (b/a + c/b + a/c)uu,
辺々たす。
730:１３２人目の素数さん
17/08/28 01:54:30.17 4VsD2YTN.net
>>679 (5)
a/c=y, b/a=z, c/b=x とおくと xyz=1.
(a-b)(b-c)(c-a)/abc =（a/b +b/c +c/a）-（c/b +a/c +b/a）=（xy+yz+zx）-（x-y-z),
(左辺）-（右辺）=（xx+yy+zz）-2(xy+yz+zx）+2(x-y-z）-3
=（x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx）+2s -3
=｛F_1(x,y,z) -9xyz}/s +2s -3
= F_1(x,y,z）+（2s+3)(s-3)/s
≧0, （s=x+y+z≧3)
731:１３２人目の素数さん
17/08/28 03:43:27.12 Xt3/xWpv.net
(1) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2)
(2) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2
AOPS：URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
[疑問１]
(1)の証明について、
(a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = s^3 - 3(st-u) = s(s^2-3t) + 3u >0
∴ (a+b+c)^3 > 3(a+b)(b+c)(c+a) ---(A)
>>687 〔補題196〕 の右側
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(a^2+b^2+c^2) ---(B)
(A),(B)から、
(a+b+c)^3 *(a+b+c)^2 > 3(a+b)(b+c)(c+a)*(a+b+c)^2 ≧ 3*24abc(a^2+b^2+c^2)
等号が成り立たなくなるが、実際は例えば、a=b=c のときに等号が成り立つ。
このやり方は、何か間違っているのかな？
A≧B を証明するときに、途中に式を挟んで A≧
732:C、C≧B を証明することがあるけど、 A=C かつ C=B から出した等号成立条件が、A=Bの等号成立条件と一致しないことがあるのは仕方のないことなのかな？ （具体例がすぐには出てこないけど、絶対値の入った不等式の証明とかで、なったことがある） [疑問２] (2)の証明が分かりませぬ…。 (1)を次のように証明して、そのコメントに、「コーラを飲んだらゲップが出るくらい明らか（嘘訳）」 と書いてあるけど、ピンときませぬ…。 (a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2)
733:１３２人目の素数さん
17/08/28 06:21:36.55 Xt3/xWpv.net
>>689
Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 ですよね？
734:１３２人目の素数さん
17/08/28 06:30:48.05 Xt3/xWpv.net
>>688-689
> (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc)
>
> bはa、cの間にあるとする。
> (左辺)-(右辺）
> = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
> = P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2,
>
> P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
> P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0,
> R =（a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0,
> ここに、m = min{a,c｝、ac=m(a+c-m)
Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 として、P-Q+R を計算したら、
P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝ + 8(c+a){(c-a)^2 + ca}
となったけど、計算合っているか確認おねがいしますだ。
735:１３２人目の素数さん
17/08/28 06:52:45.91 Xt3/xWpv.net
>>715
ごめん。私の計算違いでした。
ﾍ）)∧
（ﾟ ∀ﾟ ）
ノ || ｙ / ヽ 切腹しまつ
━(m二フ⊂[__ノ､
（＿（＿＿ノ
736:１３２人目の素数さん
17/08/28 11:53:15.27 4VsD2YTN.net
>>712 の訂正
× (x-y-z)
○ (x+y+z)
>>713
[疑問1]
(1）は >>679 (2）ですね。
>>687 を参照。
あえて難しい〔補題196〕を使う必要は無かったですね。
[疑問2]
>>687 を参照。
(2）と（ab+bc+ca)^2 ≧ 3abc(a+b+c) から（1）を出します。
>>714
そうです。
737:１３２人目の素数さん
17/08/28 21:24:09.98 fpou6rxt.net
>>713
(1)
A >= 81B という不等式を示すのに A > 72B という不等式を示しても何も意味がない
より雑な不等式にしてるんだから等号が成立しなくなるのは必然
[疑問1]
A >=C, C >=B の両方の等号成立条件を合わせたものが A >= B の等号成立条件
(2)
因数分解が一番簡単
[疑問2]
uvw で右側の不等式は明らか
(おそらく AoPS での解き方はこれ)
738:１３２人目の素数さん
17/08/28 22:03:31.85 Xt3/xWpv.net
>>718
なんと！ 因数分解できるとは…
(a+b+c)^6 - 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2
= (a^2 + b^2 + c^2 + 8ab + 8bc + 8ca)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)^2
UVW-method って、これのことですか？
URLﾘﾝｸ(brilliant.org)
739:１３２人目の素数さん
17/08/28 22:42:48.32 sqcQ/xXt.net
>>719
それだよ
wikiがあったんだ
aopsにあるもとの記事読んでもいいと思うけど
740:１３２人目の素数さん
17/08/29 01:52:29.92 QmBHjFut.net
a, b, c >0 に対して、AM + 3*HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}.
741:１３２人目の素数さん
17/08/29 03:10:07.75 QmBHjFut.net
>>69 (1)、>>713 (1)
> a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 + ca^2)
> a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2 + b^2 + c^2)
改造手術の時間でござるよ。 右辺の大小は定まるのでせうか？
27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2) = 27abc * (ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a)
81abc(a^2+b^2+c^2) = 27abc * 3(a^2 + b^2 + c^2)
だから、(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) と 3(a^2 + b^2 + c^2) の大小が定まれば…。
(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) ≦ 3(a^2 + b^2 + c^2)
適当にやっても、うまく行かんでござる…
..::::::,､_,､::: ::::: ::: :
/ﾖﾐﾞヽ)-､. :: ::::
─（ﾉ─ヽ.ｿ┴─
742:１３２人目の素数さん
17/08/29 03:22:58.97 QmBHjFut.net
a, b, c >0 の基本対称式 s, t, u で、曲者を縛るでござる。 （曲者 = a/b + b/c + c/a）
(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2
a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 = s^3 - 2st - 3u(a/b + b/c + c/a) ≧ 0
∴ s(s^2-2t)/(3u) ≧ a/b + b/c + c/a ≧ s^2/t
これしか思いつきませぬ…。 他にないでござるかな？
743:１３２人目の素数さん
17/08/29 03:49:39.64 1
744:JAWO9sa.net
745:１３２人目の素数さん
17/08/29 04:41:59.71 QmBHjFut.net
>>721、>>724
出典を再発見。 （大量のブックマークの中から探すのに苦労したでござる）
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
斜め読みしたけど、何をやってるのかサッパリでござる ('A`)
>>724
分かりやすい！
でも、この方法では等号がつかないですね。
746:１３２人目の素数さん
17/08/29 05:25:02.43 QmBHjFut.net
>>721、>>724
ごめん、リンク先の問題をよく見たら、問題が間違っていました。
正しくは、 「a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}」 でした。
747:１３２人目の素数さん
17/08/29 05:44:11.14 QmBHjFut.net
>>721 再掲
a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}
>>724 の方法を真似てみたが、うまくいかなかった。
A + H
＝（A/2) +（A/2）+ H
≧ 3(AAH/4)^(1/3) …(1)
＝ 3{(ss/(3t))*(u/4)}^(1/3)
≧ 3{(u/4)}^(1/3) …(2)
= 3G/{4^(1/3)}
(1)の等号は A=2H、(2)の等号は a=b=c で異なるから、
A+H > 3G/{4^(1/3)}
問題の右辺と較べたら、5/16^(1/3)} > 3/{4^(1/3)} でした。
748:１３２人目の素数さん
17/08/29 09:12:22.39 QmBHjFut.net
【問題】
xyz座標平面において、次の不等式で表される立体の体積を求めよ。
|x＋y+z| + |-x+y+z| + |x-y+z| + |x+y-z| ≦ 4
検索中に、どこかで見たことのある問題を見つけた。
しばらく検索したものの、出典は分からず…。
コレクションに入っているかと探したが、そこにもなかった。
これが、どんな立体図形になるのかも分かりませぬ ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
749:１３２人目の素数さん
17/08/29 09:27:12.29 QmBHjFut.net
>>679 (1) について
問題再掲
a, b, c >0、abc=1 に対して、(a+b)(b+c)(c+a) + 7 ≧ 5(a+b+c).
解答
>>704、>>706
うますぎて、思いつきませぬ。
以下のような泥臭い方法で考えていたんだけど、行き詰まったでござる。
左辺 - 右辺 の最小値を考える。
abc=1 があるので、実質２文字の関数で、一方を任意に固定して、一変数関数で考えて出せないかと。
750:１３２人目の素数さん
17/08/29 10:12:25.32 PqzL+0/+.net
>>728
立方八面体
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
751:１３２人目の素数さん
17/08/29 11:45:47.48 1JAWO9sa.net
>>728
｜a+b｜+｜a-b｜= 2 Max{|a|，|b|｝を使うと、
(左辺）= Max{4|x|，4|y|，4|z|，2|x+y+z|，2|-x+y+z|，2|x-y+z|，2|x+y-z|}
｜x｜≦1
｜y｜≦1
｜z｜≦1
｜x+y+z｜≦2
｜-x+y+z｜≦2
｜x-y+z｜≦2
｜x+y-z｜≦2
の14面で囲まれた立方八面体でござる。
>>729
t^3 -4stu +9uu ≧ 0, >>706
s = a+b+c ≦ (t^3 +9uu)/4tu
u = abc = 1
を使って sとu を消し、t=ab+bc+ca だけの関数で考えて出したのが >>704
752:１３２人目の素数さん
17/08/29 14:01:31.73 1JAWO9sa.net
>>726 >>727
等号成立は（x､y､z）=λ(1,4,4） and cyclic shift
という所がミソ
753:１３２人目の素数さん
17/08/29 17:18:34.40 QmBHjFut.net
>>731
> t^3 -4stu +9uu ≧ 0, >>706
> s = a+b+c ≦ (t^3 +9uu)/4tu
> u = abc = 1
> を使って sとu を消し、t=ab+bc+ca だけの関数で考えて出したのが >>704
なるほど。 u=1 だから、s か t のどちらかを消せばよいと。
そこで s を消すために、sを含む s, t, u の不等式の中から、s≦f(t) となりそうなものとして F_1 を選んだ訳でござるな。
考え方が分かってスッキリ！
するってぇと何かい？ t^2 ≧ 3su を使ってもいいってことだね？
s ≦ (t^2)/(3u) = (t^2)/3 より、3≦t≦5 のとき、
(左辺）-（右辺）
＝ 6 - (5-t)s
≧ 6 - (5-t)*(t^2)/3
＝ (t-3)(t^2-2t-6)/3
-3 ≦ t^2-2t-6 ≦ 5 となって失敗したでござる。 F_1 じゃなきゃダメなのか…。
754:１３２人目の素数さん
17/08/29 17:34:23.21 QmBHjFut.net
>>733
-3 ≦ t^2-2t-6 ≦ 9 の間違いですた
755:１３２人目の素数さん
17/08/30 01:43:40.46 BK+APDDw.net
>>733
F_1 じゃなきゃダメですね…。
マクラーレン・ホンダ：F_1ベルギーGPの決勝レポート（8/28）
マクラーレンはF_1ベルギーGP決勝で、S．バンドーンが14位、Ｆ．アロンソはリタイアだった。
両ドライバーは見事なスタートを切り、Ｆ．アロンソは1周目には10番手から7番手に浮上。
しかし、その後エンジンの不調が発生したためリタイアし、入賞を逃しますた。残念
756:１３２人目の素数さん
17/08/30 02:37:18.32 4Q4sm7+y.net
怒涛の abc=1 シリーズの際に書いたつもりが、書いてなかったようなので。
【問題】
a, b, c >0、abc=1 に対して、
1/(1+a)^3 + 1/(1+b)^3 + 1/(1+c)^3 + 5/{(1+a)(1+b)(1+c)} ≧ 1
∧＿∧ 積一定？
( ･ω･)＝つ≡つ ボコボコにしてやんよ！
(っ ≡つ＝つ
/ ) ﾊﾞﾊﾞﾊﾞﾊﾞ
( /￣∪
757:１３２人目の素数さん
17/08/30 08:12:26.22 4Q4sm7+y.net
>>677
(3)をプチ改造。
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(ab+bc+ca) + 1/3 ≧ 3/(a+b+c).
758:１３２人目の素数さん
17/08/30 08:19:26.75 4Q4sm7+y.net
>>722
成り立たなかった…。(a,b,c) = (1,1,2), (1,1,1), (1,1,1/2)
759:１３２人目の素数さん
17/08/30 08:34:33.56 4Q4sm7+y.net
>>732
AM-GM や Schur で証明できた場合は、等号成立条件が a=b=c になってしまうから、
証明の中で、それ以外の特殊な不等式が必要になるってことですかね？
760:１３２人目の素数さん
17/08/30 11:56:04.84 BK+APDDw.net
>>737
(a,b,c) →（1/a,1/b,1/c）としたでござるな。
a+b+c → （ab+bc+ca)/abc,
ab+bc+ca → （a+b+c)/abc,
abc → 1/abc,
>>703 の（s,t）を入れ換えて
F_1(a,b,c）= s^3 -4st +9u ≧0,
t ≦（s^3 +9u)/4s,
これを使えば おk >>707
>>739
そうですね。
AM-GM や Schurは（1,4,4）で等しくないので使えません。
761:１３２人目の素数さん
17/08/30 17:00:49.35 4Q4sm7+y.net
>>736
難しいので、劣化改造してみた。こちらは力任せに証明できる。
a, b>0 かつ ab=1 のとき、1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 2/{(1+a)(1+b)} ≧1.
762:１３２人目の素数さん
17/08/30 17:18:01.56 4Q4sm7+y.net
ところで、AM + GM に関する不等式って何かあったっけ？ Jacobsthal は差だし、Sierpinskiは商か。
763:１３２人目の素数さん
17/08/30 17:24:20.42 4Q4sm7+y.net
>>741
この劣化版って、等式だった…
764:１３２人目の素数さん
17/08/31 00:00:50.60 iQe17wVf.net
>>679
(4)をプチ改造。Nesbittの間に割り込んだ形ですね。
a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≧ 3/2
765:１３２人目の素数さん
17/08/31 00:14:37.43 iQe17wVf.net
>>744
左は(4)を変形しただけ。
右は間違っているかもしれん。
Cauchyの後にAM-GMを使ったんだけど、AM-GMの不等号が逆で、証明になっていなかった。
766:１３２人目の素数さん
17/08/31 00:17:09.96 iQe17wVf.net
結局、こうですね。
a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) > 0
767:１３２人目の素数さん
17/08/31 02:42:09.91 iQe17wVf.net
これでOK？
λを正定数、a, b>0 かつ ab=1 のとき、
1 + λ/4 ≧ 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + (2+λ)/{(1+a)(1+b)} ≧1.
768:１３２人目の素数さん
17/08/31 02:45:27.34 iQe17wVf.net
λを正定数、a, b>0 かつ ab=1 のとき、
1 + λ/4 ≧ 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + (2+λ)/{(1+a)(1+b)} > 1.
こうですね。
769:１３２人目の素数さん
17/08/31 04:26:22.51 iQe17wVf.net
>>728
エレ解 1997.9 だった。
770:１３２人目の素数さん
17/08/31 07:12:05.62 iQe17wVf.net
a, b, c ≧0 かつ a+b+c=1 のとき、a*(a+b)^2*(b+c)^3*(c+a)^4 の最大値を求めよ。
771:１３２人目の素数さん
17/08/31 10:46:05.27 DG2IOYgq.net
>>750
GM-AM で
(与式）= 16･a･(a+b)^2･(b+c)^3･{(c+a)/2}^4
≦ 16｛[a + 2(a+b）+ 3(b+c）+ 4((c+a)/2)]/(1+2+3+4)}^10
= 16｛(a+b+c)/2}^10
= 1/64. （← a+b+c=1)
等号は（a,b,c）=（1/2,0,1/2)
772:１３２人目の素数さん
17/08/31 22:15:21.12 A7wnlx0o.net
>>744
a, b, c >0, abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (3/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a)))
773:１３２人目の素数さん
17/08/31 22:18:05.59 A7wnlx0o.net
>>752
間違えた
a, b, c >0, abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (1/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a)))
774:１３２人目の素数さん
17/09/01 00:01:46.44 3P2EPmWz.net
【問題A】a, b, c >0 とする。
(1)
(ab+bc+ca)^3 ≧ (a^2 + 2b^2)(b^2 + 2c^2)(c^2 + 2a^2)
(2)
(a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ (a+b+c)(ab+bc+ca)(a^3 + b^3 + c^3)
(3)
(a^2 + bc)(b^2 + ca)(c^2 + ab) ≧ abc(a+b)(b+c)(c+a)
(4)
3*{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2} ≧ (ab+bc+ca)(a^2 + b^2 + c^2)
(5)
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) ≧ (ab+bc+ca)^3
(6)
(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) + 8abc/(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 2
【問題B】
(7)
a, b, c, d >0 に対して、(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c) ≦ (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)
(8)
0 ≦ a, b, c ≦ 1 に対して、a^(bc) + b^(ca) + c^(ab) > 2
【参考】
(8)の類題 [第5章.698, 708]
a, b, c >0 に対して、a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) ≧ 1
＿＿＿ ====
＼ .／ ≧ ＼ ====
＼| ＼ .／ ::::|
| ●） ●） :::::| そんな不等式で俺様がクマ―！！
ヽ......ワ...:::::.ノ
｀つ ｀つ (´⌒(´
ゝ_つ_｀つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
(´⌒(´⌒;;
ｽﾞｻﾞｻﾞｻﾞ
775:１３２人目の素数さん
17/09/01 00:16:20.58 3P2EPmWz.net
【問題】
a, b, c >0 に対して、2*QM + 3*GM ≦ 5*AM。 ただし、QM = √{(a^2+b^2+c^2)/3}
776:１３２人目の素数さん
17/09/01 06:54:43.37 3P2EPmWz.net
>>388
条件 x>y が抜けとる。すみませぬ。
訂正
x>y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3.
777:１３２人目の素数さん
17/09/01 11:18:02.33 QpLZW4eS.net
>>754
(1)
aa=A，bb=B，cc=C とおいて考える。
(右辺）=（A+2B)(B+2C)(C+2A)
= 2(AAB+BBC+CCA）+ 4(ABB+BCC+CAA）+ 9ABC,
(左辺）=（ab+bc+ca)^3
= aabb(ab+3bc+3ca）+ bbcc(bc+3ca+3ab）+ ccaa(ca+3ab+3bc）+6(abc)^2
≦ AB(2A+2B+3C）+ BC(2B+2C+3A）+ CA(2C+2A+3B）+ 6ABC
= 2(AAB+BBC+CCA）+ 2(ABB+BCC+CAA）+15ABC,
(右辺）-（左辺）≧ 2(ABB+BCC+CAA-3ABC）≧ 0, （← AM-GM)
(4) a>>b,c では不成立？
(5）コーシーで
(ab+bb+aa)(bb+bc+cc)(aa+cc+ca）≧（ab+bc+ca)^3
(6)
9(st-u) - 8st = 9(a+b)(b+c)(c+a）- 8(a+b+c)(ab+bc+ca)
= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2
≧0,
(左辺）-2 = (ss-4t)/t + 8u/(st-u)
≧ 8s(ss-4t)/{9(st-u)} + 8u/(st-u)
= 8(s^3 -4st+9u)/{9(st-u)}
= 8F_1(a,b,c)/{9(st-u)}
≧0,
778:￥
17/09/01 14:09:25.39 7A4+w7Rv.net
￥
779:￥
17/09/01 14:09:44.29 7A4+w7Rv.net
￥
780:￥
17/09/01 14:10:00.19 7A4+w7Rv.net
￥
781:￥
17/09/01 14:10:16.39 7A4+w7Rv.net
￥
782:￥
17/09/01 14:10:32.17 7A4+w7Rv.net
￥
783:￥
17/09/01 14:10:49.15 7A4+w7Rv.net
￥
784:￥
17/09/01 14:11:05.68 7A4+w7Rv.net
￥
785:￥
17/09/01 14:11:25.32 7A4+w7Rv.net
￥
786:￥
17/09/01 14:11:42.28 7A4+w7Rv.net
￥
787:￥
17/09/01 14:12:00.06 7A4+w7Rv.net
￥
788:１３２人目の素数さん
17/09/01 14:40:29.27 QpLZW4eS.net
>>754
(2)
(左辺）-（右辺）=（aa+bb+cc)^3 -（a+b+c)(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)
= p'(b-c)^2 + q'(c-a)^2 + r'(a-b)^2
≧ 0,
ここに
p ' =｛4a^4+b^4+c^4 +（a^4+a^4+b^4+c^4-4aabc)}/4 ≧（4a^4+b^4+c^4)/4,
q ' =｛a^4+4b^4+c^4 +（a^4+b^4+b^4+c^4-4abbc)}/4 ≧（a^4+4b^4+c^4)/4,
r ' =｛a^4+b^4+4c^4 +（a^4+b^4+c^4+c^4-4abcc)}/4 ≧（a^4+b^4+4c^4)/4,
(3)
(左辺）-（右辺）=（aa+bc)(bb+ca)(cc+ab）- abc(a+b)(b+c)(c+a)
= abc{a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)｝+｛(ab)^3 +（bc)^3 +（ca)^3 -3(abc)^2}
= u(s^3 -4st+9u）+ t(tt-3su)
= u･F_1(a,b,c）+ t･uF_{-1}(a,b,c)
≧ 0,
789:１３２人目の素数さん
17/09/01 15:02:15.49
790: ID:QpLZW4eS.net
791:￥
17/09/01 17:01:31.17 7A4+w7Rv.net
￥
792:￥
17/09/01 17:01:46.66 7A4+w7Rv.net
￥
793:￥
17/09/01 17:02:00.08 7A4+w7Rv.net
￥
794:￥
17/09/01 17:02:36.90 7A4+w7Rv.net
￥
795:￥
17/09/01 17:02:57.36 7A4+w7Rv.net
￥
796:￥
17/09/01 17:03:15.79 7A4+w7Rv.net
￥
797:￥
17/09/01 17:03:35.39 7A4+w7Rv.net
￥
798:￥
17/09/01 17:03:54.70 7A4+w7Rv.net
￥
799:￥
17/09/01 17:04:39.40 7A4+w7Rv.net
￥
800:￥
17/09/01 17:05:00.23 7A4+w7Rv.net
￥
801:１３２人目の素数さん
17/09/01 22:12:42.77 3P2EPmWz.net
>>754 (4)は成立しませんでした、すみません。
802:￥
17/09/01 22:30:34.79 7A4+w7Rv.net
￥
803:１３２人目の素数さん
17/09/01 22:46:45.99 QpLZW4eS.net
>>726 >>727
>>732 >>739
AM-GMやSchurは使えそうにないので...
a ≦ b,c とすると、G =（abc)^(1/3)≧ a,
m = √(bc）とおき、
(a,b,c）→（a,m,m）としたとき、Gは不変で、
A(a,b,c）- A(a,m,m）=（b+c-2m)/3,
H(a,b,c）- H(a,m,m）=（b+c-2m)/3｛-H(a,b,c)H(a,m,m)/bc}
≧（b+c-2m)/3（-GG/bc)
=（b+c-2m)/3（-a/G)
∴ A(a,b,c）+ H(a,b,c）≧ A(a,m,m）+ H(a,m,m）
等号成立は b=c のとき。 ……(1)
大きい方の2つが等しい場合を考えればよいので、
ほぼ１変数の問題に帰着する。
A(a,m,m）+ H(a,m,m）
= 2(aa+7am+mm)/{3(2a+m)}
=｛5/16^(1/3)}G + f(x)･mm/{24(2a+m)}
≧｛5/16^(1/3)}G,
ここに、x =（4a/m)^(1/3）とおいた。
f(x）= x^6 - 15x^4 +28x^3 -30x +16
=（x-1)^2｛(xx-4)^2 + 2x(x-1)^2},
等号成立は x=1，4a=m=√(bc）のとき。 ……(2)
(1)(2)より、（a,b,c）=λ(1,4,4)
804:１３２人目の素数さん
17/09/01 22:57:26.08 3P2EPmWz.net
>>757
昔のmemoの中に、>>754(5)を改造したものがあった。
a, b, c >0 に対して、
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2)
≧ (27/64)*[(a+b)(b+c)(c+a)]^2
≧ (1/3)*[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2
≧ (ab+bc+ca)^3.
805:￥
17/09/01 23:07:51.02 7A4+w7Rv.net
￥
806:￥
17/09/01 23:08:08.91 7A4+w7Rv.net
￥
807:￥
17/09/01 23:08:25.82 7A4+w7Rv.net
￥
808:￥
17/09/01 23:08:42.26 7A4+w7Rv.net
￥
809:￥
17/09/01 23:08:58.29 7A4+w7Rv.net
￥
810:￥
17/09/01 23:09:14.08 7A4+w7Rv.net
￥
811:￥
17/09/01 23:09:33.14 7A4+w7Rv.net
￥
812:￥
17/09/01 23:09:50.17 7A4+w7Rv.net
￥
813:￥
17/09/01 23:10:06.18 7A4+w7Rv.net
￥
814:￥
17/09/01 23:10:23.49 7A4+w7Rv.net
￥
815:１３２人目の素数さん
17/09/01 23:50:29.90 QpLZW4eS.net
>>726-727
〔類題〕
AM + 0.90096 HM ≧ 1.90096 GM
等号成立は（a,b,c）=λ( 0.3962570…，1，1）のとき
［第7章.897-903］
816:１３２人目の素数さん
17/09/02 01:00:08.66 Po7d73tU.net
>>388 (5) >>450 >>708
〔Hlawkaの不等式〕の拡張
m≧2 のとき、
（m-2）Σ[k=1,m］｜x_k |^2 +｜Σ[k=1,m] x_k |^2 = Σ[1≦i<j≦m]｜x_i +x_j |^2.
（m-2）Σ[k=1,m］｜x_k｜+｜Σ[k=1,m] x_k｜≧ Σ[1≦i<j≦m］｜x_i +x_j｜.
（D.D.Adamovic）
[初代スレ.354-360,364]
文献[3] 大関、p.34
817:１３２人目の素数さん
17/09/02 01:24:47.34 88PUFUMG.net
HMって何の略？
Heron M???
818:１３２人目の素数さん
17/09/02 02:01:43.40 3JI2dd7J.net
調和平均だろ
819:￥
17/09/02 02:19:28.43 z17/uuYO.net
￥
820:￥
17/09/02 02:20:02.55 z17/uuYO.net
￥
821:￥
17/09/02 02:20:20.28 z17/uuYO.net
￥
822:￥
17/09/02 02:20:35.58 z17/uuYO.net
￥
823:￥
17/09/02 02:20:49.89 z17/uuYO.net
￥
824:￥
17/09/02 02:21:04.96 z17/uuYO.net
￥
825:￥
17/09/02 02:21:20.25 z17/uuYO.net
￥
826:￥
17/09/02 02:21:38.25 z17/uuYO.net
￥
827:￥
17/09/02 02:21:55.29 z17/uuYO.net
￥
828:￥
17/09/02 02:22:12.25 z17/uuYO.net
￥
829:１３２人目の素数さん
17/09/02 02:38:52.19 Po7d73tU.net
>>755
QQ =（ss-2t)/3 ≦｛ss - 2√(3su)}/3 = 3AA - 2G√(AG),
(5A-3G)^2 -（2Q）≧（5A-3G)^2 -12AA +8G√(AG)
= 13AA -30AG +8G√(AG) +9GG
=（√A -√G)^2｛13A +26√(AG）+9G}
≧ 0,
∴ 5A-3G ≧ 2Q,
830:￥
17/09/02 03:25:43.62 z17/uuYO.net
￥
831:￥
17/09/02 03:26:00.91 z17/uuYO.net
￥
832:￥
17/09/02 03:26:18.01 z17/uuYO.net
￥
833:￥
17/09/02 03:26:34.56 z17/uuYO.net
￥
834:￥
17/09/02 03:26:51.60 z17/uuYO.net
￥
835:￥
17/09/02 03:27:07.97 z17/uuYO.net
￥
836:￥
17/09/02 03:27:24.47 z17/uuYO.net
￥
837:￥
17/09/02 03:27:40.73 z17/uuYO.net
￥
838:￥
17/09/02 03:27:57.61 z17/uuYO.net
￥
839:￥
17/09/02 03:28:14.74 z17/uuYO.net
￥
840:１３２人目の素数さん
17/09/02 04:25:20.11 ziPENgdW.net
>>757 (6)
(左辺)-(右辺) の計算過程で、
9(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 8st …(1)
の使うタイミングが上手いですね。
私は 左辺の第１項に対して
841:使ってしまい、その後の変形で分子が 8F_1 - 2E_1 ここで E_1 = st-9u となって、ずっと悩んでいました。 (左辺の第１項-2)に対して使うことで、あっさり片付くとは！ いと難し… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
842:１３２人目の素数さん
17/09/02 04:28:13.99 LXq7kqvc.net
Arithmetic Mean
Geometric Mean
Harmonic Mean
>>775のQMは？
843:１３２人目の素数さん
17/09/02 04:28:37.79 LXq7kqvc.net
>>755のQMは何の略？
844:￥
17/09/02 04:31:02.63 z17/uuYO.net
￥
845:￥
17/09/02 04:31:21.98 z17/uuYO.net
￥
846:￥
17/09/02 04:31:41.58 z17/uuYO.net
￥
847:￥
17/09/02 04:32:00.70 z17/uuYO.net
￥
848:￥
17/09/02 04:32:18.24 z17/uuYO.net
￥
849:￥
17/09/02 04:32:36.88 z17/uuYO.net
￥
850:￥
17/09/02 04:32:56.48 z17/uuYO.net
￥
851:￥
17/09/02 04:33:16.82 z17/uuYO.net
￥
852:￥
17/09/02 04:33:37.63 z17/uuYO.net
￥
853:￥
17/09/02 04:33:57.42 z17/uuYO.net
￥
854:１３２人目の素数さん
17/09/02 05:50:25.95 ziPENgdW.net
ここまでの荒らし数470くらい。 50％を超えているとは思わなんだ。
￥って何なんだ？ 山崎パンかよ！
855:１３２人目の素数さん
17/09/02 07:24:51.83 ziPENgdW.net
>>757 (1)
左辺の変形は、同順序積の方が大きいことを利用して、瞬時に大きくしたのですかね？
856:１３２人目の素数さん
17/09/02 07:36:00.01 ziPENgdW.net
と思ったが、係数まで変わっているから、やっぱり分からないなあ。
857:１３２人目の素数さん
17/09/02 10:45:02.21 Po7d73tU.net
>>833 >>834
GM-AM で
ab ≦（A+B)/2，bc ≦（B+C)/2，ca ≦（C+A)/2，
を使ったでござる。
>>820 >>821
Q = RMS は Root Mean Square（二乗平均平方根）です。
>>808 の修正
(5A-3G)^2 -(2Q)^2 ≧（5A-3G)^2 -12AA -2G√(AG)
= 13AA -30AG +8G√(AG）+9GG
= 9(A-G)^2 + 4{AA + G√(AG）+ G√(AG）-3AG}
≧ 0,
858:１３２人目の素数さん
17/09/02 11:04:09.08 ziPENgdW.net
(・3・) QMは quadratic mean の頭文字ｱﾙｪ-
859:１３２人目の素数さん
17/09/02 11:10:47.11 ziPENgdW.net
>>835
> >>808 の修正
> (5A-3G)^2 -(2Q)^2 ≧（5A-3G)^2 -12AA -2G√(AG)
> = 13AA -30AG +8G√(AG）+9GG
> = 9(A-G)^2 + 4{AA + G√(AG）+ G√(AG）-3AG}
> ≧ 0,
修正前の方が分かりやすいような希ガス…。
860:１３２人目の素数さん
17/09/02 12:54:10.72 Po7d73tU.net
>>833 >>834
たしかに
（ab+bc+ca)^3 ≦（8/7)(AAB+BBC+CCA）+（8/7)(ABB+BCC+CAA）+（141/7)ABC,
等号は（a,b,c）=（1,1,1）と（3/4,1,1)
が最良でしょうが、出すのが面倒でござる。
ここでは、簡単に出せる >>757 を使ったでござる。（これで十分だし）
>>837
すまぬ。あちらを正せばこちらが…でござった。
861:１３２人目の素数さん
17/09/02 14:08:10.03 ziPENgdW.net
>>768
>>754 (2) を F_0 を残したまま展開してみたなり。
(左辺）-（右辺）
＝ (F_0 + t)^3 - st*(sF_0 + 3u)
＝ (F_0)^3 + 2t*(F_0)^2 + t*(uF_{-1})
≧ 0
862:１３２人目の素数さん
17/09/02 14:29:19.80 Po7d73tU.net
>>819
>>757(6）は（左辺第１項 -2）< 0 の場合は？でしたね。
通分してSchurの拡張を使います。
（左辺）- 2 =（ss-4t)/t + 8u/(st-u)
=｛(ss-4t)(st-u）+8ut}/{t(st-u)}
=｛P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)}/{t(st-u)},
ここで
P = aa(b+c）= at-u >0,
Q = bb(c+a）= bt-u >0,
R = cc(a+b）= ct-u >0,
（P,Q,R）は（x,y,z）と同順なので成立。
863:１３２人目の素数さん
17/09/02 14:54:30.29 ziPENgdW.net
>>840
たしかに！
864:１３２人目の素数さん
17/09/02 15:45:20.63 ziPENgdW.net
最近は Schur の独壇場だな。
865:１３２人目の素数さん
17/09/02 20:18:37.53 VhdcIBK0.net
>>754
(1)
Holder の不等式
(b^2+b^2+a^2)(b^2+c^2+c^2)(a^2+c^2+a^2)(a^2+b^2+c^2) >= (ab+bc+ca)^4
から明らか
(2)
LHS >= sqrt(3(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)) >= RHS
(3)
和積版並べ替え不等式から明らか
(a+x)(b+y)(c+z) >= (a+x’)(b+y’)(c+z’) >= (a+z)(b+y)(c+x)
for any positive a >= b >= c and x <= y <= z, {x’, y’, z’} = {x, y, z}
(5)
LHS >= 27/64 ((a+b)(b+c)(c+a)^2 >= RHS
866:１３２人目の素数さん
17/09/02 22:48:54.19 StTJDV1n.net
>>843
(1)
間違えた
LHS >= (a^2+a*b+b*c)*(b^2+b*c+c*a)*(c^2+c*a+a*b) >= RHS
867:１３２人目の素数さん
17/09/02 22:53:02.14 ziPENgdW.net
>>843
(2)は、何をやっているのか分かりませぬ…
868:１３２人目の素数さん
17/09/02 22:59:58.48 ziPENgdW.net
>>844
すみません、これもよく分からないです。
869:１３２人目の素数さん
17/09/02 23:05:47.78 Po7d73tU.net
>>843
(1）そのあと、どうするんでつか？
(3）なるほど！
(5）>>783
870:１３２人目の素数さん
17/09/03 00:38:23.64 ueZS3BC0.net
【問題】
a, b, c >0 に対して、(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ 27*{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}^2
///////
///////＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_
/////// ￣￣￣￣￣￣￣￣￣|￣￣
/////// ＿＿＿ (~) ﾁﾘﾝﾁﾘﾝ
/////// ／ ≧ ＼ ﾉ,,
/////// |::::: (● (● |
/////// ヽ::::... .ワ.....ノ 日本の夏
/////// （つ へへ つ 不等式の夏
871:１３２人目の素数さん
17/09/03 02:35:19.95 T+8hKHMc.net
>>845
>>846
>>847
(1) 834は間違え
Holderから LHS >= (a^2+ab+bc)*(b^2+bc+ca)*(c^2+ca+ab)
(a^2+ab+bc)*(b^2+bc+ca)*(c^2+ca+ab) - RHS
= abc(a^3+b^3+c^3-3abc) + (x^6+y^6+z^6-xyz(x^3+y^3+z^3))
>= 0
where x=(a^2b)^(1/3), …
(2)
正しくは
LHS >= sqrt(3(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2))(a^3+b^3+c^3) >= RHS
だった
右側はIndia2007（柳田先生の初等的な不等式I, 問題202）
左側は解析的にゴリゴリやればなんとか（上手い解法ありそうだけど）
いずれにしてもこの不等式を用いて解くというよりこれも成り立つというだけです
872:１３２人目の素数さん
17/09/03 12:20:38.50 UCZgMxaf.net
>>849
(1)
コーシーで
（aa+bb+bb)(aa+aa+cc）≧（aa+ab+bc)^2
これを巡回的に掛けたでござるな。
(2)
右側は
√(aa+ab+bb）≧（(√3)/2)(a+b),
(a+b)(b+c)(c+a）≧（8/9)(a+b+c)(ab+bc+ca),
で簡単ですが左側は
b=c=1 のとき
LHS - MHS =（aa+2)^3 - 3(aa+a+1)(a^3 +2)
=（a-1)^3･(a^3 -2),
1<a<2^(1/3）でゴリ霧中…
873:１３２人目の素数さん
17/09/03 17:11:10.69 eX/KAakW.net
>>850
(2) b=c=1としていいと結論付けるまでが長くない？
874:１３２人目の素数さん
17/09/03 18:47:59.50 Jd8W4i+s.net
どうでもいいけどMHSって、お前手3本あんの？
875:１３２人目の素数さん
17/09/04 01:47:36.61 nXYDOT8Z.net
>>852
千手観音（千手千眼観自在菩薩）は、千本の手がありその手の掌には目が付いています。
へっへっへ
876:１３２人目の素数さん
17/09/04 13:23:44.99 nXYDOT8Z.net
>>754
(8)
f(x）=（1/a)^x は下に凸だから、0<x<1 で
f(x）- f(0）≦｛f(1）- f(0)}x,
(1/a)^x - 1 ≦｛(1/a）- 1}x,
∴ a^x ≧ a/(a+x-ax）= 1 - (1-a)x/(a+x-ax） …… ベルヌーイの式
x=bc を入れると、
a+x-ax = a+bc-abc = t-2u +a(1-b)(1-c）≧ t-2u,
∴ a^bc ≧ 1 -（bc-u)/(t-2u),
巡回的にたすと
(左辺）≧ 2 + u/(t-2u),
等号は u=abc=0 のとき。
【参考】
(8）の類題
a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。
∴ 0< a,b,c <1 としてよい。
b+c,c+a,a+b の中に１より大きいものが無ければベルヌーイで一発なんだが…
877:１３２人目の素数さん
17/09/04 15:08:41.76 nXYDOT8Z.net
>>820 >>821 >>836
QM は Quantum Machanics（量子力学）です。
QED は Quantum Electro Dynamics（量子電磁力学）です。
878:１３２人目の素数さん
17/09/04 15:53:26.57 r8nwon/d.net
>>854
なぜかあぼーんされて見�
879:ｦないけど、何か悪さした？
880:１３２人目の素数さん
17/09/04 17:49:07.50 VCnnUpGA.net
>>848 反例 a=b=c=3^(-1/2)
クソが作ったクソ問を避けるために出典欲しくなるのもわかる
881:￥
17/09/04 18:00:39.86 xP4OelQr.net
￥
882:￥
17/09/04 18:00:56.88 xP4OelQr.net
￥
883:￥
17/09/04 18:01:13.34 xP4OelQr.net
￥
884:￥
17/09/04 18:01:30.29 xP4OelQr.net
￥
885:￥
17/09/04 18:01:45.79 xP4OelQr.net
￥
886:￥
17/09/04 18:02:01.09 xP4OelQr.net
￥
887:￥
17/09/04 18:02:18.87 xP4OelQr.net
￥
888:￥
17/09/04 18:02:35.01 xP4OelQr.net
￥
889:￥
17/09/04 18:02:50.43 xP4OelQr.net
￥
890:￥
17/09/04 18:03:05.90 xP4OelQr.net
￥
891:１３２人目の素数さん
17/09/04 18:13:26.80 T4IfN+s2.net
>>857
a=b=cのとき=が成り立つ。
892:￥
17/09/04 18:32:16.46 xP4OelQr.net
￥
893:１３２人目の素数さん
17/09/04 19:47:33.92 MgnBmrDH.net
>>848
LHS >= 27((ab^3+bc^3+ca^3)(a^3b+b^3c+c^3a)((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2))^(2/3) >= RHS
894:１３２人目の素数さん
17/09/04 22:31:06.87 r46JbgIy.net
>>870
左側はさらに厳密な
LHS >= 9((ab^3+bc^3+ca^3)^2 + (a^3b+b^3c+c^3a)^2 + ((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2))^2
を示した方が簡単なおもしろい不等式
895:￥
17/09/05 00:32:34.12 ZSz+2Alj.net
￥
896:￥
17/09/05 00:32:56.76 ZSz+2Alj.net
￥
897:￥
17/09/05 00:33:17.11 ZSz+2Alj.net
￥
898:￥
17/09/05 00:33:35.23 ZSz+2Alj.net
￥
899:￥
17/09/05 00:33:51.21 ZSz+2Alj.net
￥
900:￥
17/09/05 00:34:09.43 ZSz+2Alj.net
￥
901:￥
17/09/05 00:34:25.04 ZSz+2Alj.net
￥
902:￥
17/09/05 00:35:02.43 ZSz+2Alj.net
￥
903:￥
17/09/05 00:35:21.06 ZSz+2Alj.net
￥
904:￥
17/09/05 00:35:38.96 ZSz+2Alj.net
￥
905:１３２人目の素数さん
17/09/05 02:53:45.95 3z9XJ0W/.net
>>870 >>871
LHS =（a+b+c)^2（aa+bb+cc)^3 ≧ 27(ab^3+bc^3+ca^3)(a^3b+b^3c+c^3a)
は無理ですね。
〔参考〕
(aa+bb+cc)^2 ≧ 3(ab^3+bc^3+ca^3）または 3(a^3b+b^3c+c^3a)
[第5章.268, 284-290]
[第2章.389]
文献[8]、安藤、§2.3.2 p.61 中段、g_{p,q}(a,b,c）≧0,
906:１３２人目の素数さん
17/09/05 03:34:06.76 3z9XJ0W/.net
>>754 (2)
>>768
s = a+b+c,
t = ab+bc+ca,
S2 = aa+bb+cc,
S3 = a^3 +b^3 +c^3,
とおく。
S2 - t =｛(a-b)^2 +（b-c)^2 +（c-a)^2}/2 = F_0,
とおく。コーシーより
s･S3 - S2･S2 = ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≦ F_0･S2,
∵ ab ≦（aa+bb)/2 ≦ S2 /2，etc.
LHS - RHS =（S2)^3 - st･S3
=（S2-t)S2･S2 - t(s･S3-S2･S2)
≧ F_0･S2･S2 - t･F_0･S2
=（F_0)^2･S2
≧ 0,
907:￥
17/09/05 03:37:49.67 ZSz+2Alj.net
￥
908:￥
17/09/05 03:38:08.06 ZSz+2Alj.net
￥
909:￥
17/09/05 03:38:24.47 ZSz+2Alj.net
￥
910:￥
17/09/05 03:38:40.90 ZSz+2Alj.net
￥
911:￥
17/09/05 03:38:57.36 ZSz+2Alj.net
￥
912:￥
17/09/05 03:39:13.34 ZSz+2Alj.net
￥
913:￥
17/09/05 03:39:29.81 ZSz+2Alj.net
￥
914:￥
17/09/05 03:39:46.49 ZSz+2Alj.net
￥
915:￥
17/09/05 03:40:04.06 ZSz+2Alj.net
￥
916:￥
17/09/05 03:40:23.55 ZSz+2Alj.net
￥
917:１３２人目の素数さん
17/09/05 05:07:23.93 q778+o9X.net
>>883
> コーシーより
> ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≦ F_0･S2,
caushyをどう使ったんでせうか？
たしかに差をとれば (F_0)^2 + uF_{-1} ≧0 となりますが、caushyでパッと出す方法を知りたいです。
918:１３２人目の素数さん
17/09/05 05:20:01.95 q778+o9X.net
わかりました。おじゃましますた。
919:１３２人目の素数さん
17/09/05 11:21:44.67 3z9XJ0W/.net
>>894
〔補題〕（>>754 (2) のための）
a,b,c >0 とすると
(aa+bb+cc){2(aa+bb+cc）-（ab+bc+ca)｝≧（a+b+c)(a^3+b^3+c^3）≧（aa+bb+cc)^2,
(略証)
左側は
S2（S2+F_0）- s･S3 =｛(a-b)^2+cc}/2 (a-b)^2 + cyclic. ≧ 0,
右側がコーシーでしたね。
s･S3 -（S2)^2 = ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≧ 0，（終）
あとは >>883 のとおり。
920:１３２人目の素数さん
17/09/06 06:00:26.89 AYr/rfmQ.net
>>848 >>870 >>871
(aa+bb+cc)^(3/2）=｛(ss + 2F_0)/3}^(3/2)
≧ √(ss/3）（ss/3 + F_0） （← AM-GM)
= （4sss -9st)/(3√3)
≧（7st -36u)/(3√3） （← F_1=sss-4st+9u≧0)
≧（3√3)(st -5u)/4 （← st-9u≧0)
= （3√3）｛(ab^3+bc^3+ca^3）+（a^3b+b^3c+c^3a）+ 2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}/(4s)
≧（3√3）｛(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)}/s, （← AM-GM)
を示した方が簡単なおもしろい不等式…
921:１３２人目の素数さん
17/09/06 06:40:45.04 XFngCi/7.net
>>897
ゴクリ…。弄り甲斐のある不等式ですね。
２行目のAM-GMの使い方が分かりませぬ。
922:１３２人目の素数さん
17/09/06 06:47:49.58 XFngCi/7.net
すみません、わかりました。
923: それにしても、その形になるように変形しようという発想を知りたいですね。
924:１３２人目の素数さん
17/09/06 09:11:04.47 VtL80ANE.net
[問題]
nを2以上の自然数として
σ(n)をnの約数の総和、H_n:=農{k=1}^n 1/k とする
このとき
σ(n)＜H_n+exp(H_n)log(H_n)
が成り立つことを示せ
925:１３２人目の素数さん
17/09/06 09:27:53.49 XFngCi/7.net
a, b, c >0 に対して、
(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ 27 {(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}^2
(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ 27abc (a^2 + b^2 + c^2) (a^3 + b^3 + c^3)
(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ (a+b+c)^3 (ab+bc+ca) (a^3 + b^3 + c^3)
などが得られるが、残念ながら、右辺の上中下の３式の大小は定まらないでおじゃる。
926:￥
17/09/06 10:40:07.11 nJ0wcqLn.net
￥
927:￥
17/09/06 10:40:25.67 nJ0wcqLn.net
￥
928:￥
17/09/06 10:40:44.19 nJ0wcqLn.net
￥
929:￥
17/09/06 10:41:02.30 nJ0wcqLn.net
￥
930:￥
17/09/06 10:41:20.03 nJ0wcqLn.net
￥
931:￥
17/09/06 10:41:38.15 nJ0wcqLn.net
￥
932:￥
17/09/06 10:41:56.34 nJ0wcqLn.net
￥
933:￥
17/09/06 10:42:14.70 nJ0wcqLn.net
￥
934:￥
17/09/06 10:42:32.94 nJ0wcqLn.net
￥
935:￥
17/09/06 10:42:52.05 nJ0wcqLn.net
￥
936:１３２人目の素数さん
17/09/06 13:05:19.96 AYr/rfmQ.net
>>899
左辺の無理式
（ss/3 + …)^(3/2)
を有理式で評価するために使ったでござる。
（ab^3+bc^3+ca^3）、（a^3b+b^3c+c^3a）を経由せずに直接
(4sss-9st）- 27(tt-3su)/s =（(4ss+7t) F_1 + 21u F_0 + su F_{-1})/ss ≧ 0
も簡単でつが、面白いので入れますた。
F_n(a,b,c）=（a^n)(a-b)(a-c）+（b^n)(b-c)(b-a）+（c^n)(c-a)(c-b）≧0,
937:￥
17/09/06 13:22:19.07 nJ0wcqLn.net
￥
938:￥
17/09/06 13:22:37.04 nJ0wcqLn.net
￥
939:￥
17/09/06 13:22:54.18 nJ0wcqLn.net
￥
940:￥
17/09/06 13:23:10.89 nJ0wcqLn.net
￥
941:￥
17/09/06 13:23:27.78 nJ0wcqLn.net
￥
942:￥
17/09/06 13:23:45.22 nJ0wcqLn.net
￥
943:￥
17/09/06 13:24:02.39 nJ0wcqLn.net
￥
944:￥
17/09/06 13:24:21.79 nJ0wcqLn.net
￥
945:￥
17/09/06 13:24:39.16 nJ0wcqLn.net
￥
946:￥
17/09/06 13:24:54.95 nJ0wcqLn.net
￥
947:１３２人目の素数さん
17/09/07 02:11:20.92 Fuvmh2la.net
>>901
ならば 0.03826828245292 ≦ k ≦ 16/27 のとき
（下）≧（1-k)*(中）+ k*(上),
はいかがでござる？
948:１３２人目の素数さん
17/09/07 05:11:20.81 +sD3y4UN.net
>>923
なるほど、その発想はなかったでござるよ、ニンともカンとも。
0.03826828245292 ≦ k ≦ 16/27 をみたす k の中で、
（1-k)*(中）+ k*(上) がきれいな形に整理できるものがあれば、いい不等式が作れますな。
その k の範囲はどうやって求めたのですか。
kのままで差を取って計算したのですか？
949:１３２人目の素数さん
17/09/07 05:11:48.93 +sD3y4UN.net
>>754
> (8)の類題 [第5章.698, 708]
> a, b, c >0 に対して、a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) ≧ 1
[疑問]
a^(2a) * b^(2b) * c^(2c) ≧ a^(b+c) * b^(c+a) * c^(a+b) は余裕で成り立つけど、
a^(2a) + b^(2b) + c^(2c) ≧ a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) は成り立つでござるか？
下の式がうまく証明できませぬ…
..::::::,､_,､::: ::::: ::: :
/ﾖﾐﾞヽ)-､. :: ::::
─（ﾉ─ヽ.ｿ┴─
950:１３２人目の素数さん
17/09/07 05:26:00.67 +sD3y4UN.net
A,B,C,D>0 に対して、AB ≧ CD ⇒ A+B ≧ C+D は無条件では成り立たないから、
上の式を弄って、下の式を導くのは無理そう。
951:１３２人目の素数さん
17/09/07 06:49:03.06 +sD3y4UN.net
(2^a + 2^b)/2 ≧ √(2^a*2^b) = 2^{(a+b)/2} ≧ 2^{√(ab)}
巡回させて加えて、2^a + 2^b +2^c ≧ 2^{√(ab)} + 2^{√(bc)} + 2^{√(ca)}
( ﾟ∀ﾟ) OK？
952:１３２人目の素数さん
17/09/07 07:12:08.52 +sD3y4UN.net
a, b, c >0 に対して、
2^(a^2) + 2^(b^2) + 2^(c^2)
≧ 2^(ab) + 2^(bc) + 2^(ca)
≧ 2^{a√(bc)} + 2^{b√(ca)} + 2^{c√(ab)}
≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}
≧ …
（以下無限に続く）
( 'A`) 自作の不等式といふものは、見栄えも悪いし、作成方法もバレバレよのぅ。 もう少し綺麗にならんものかな。
953:１３２人目の素数さん
17/09/07 22:14:26.49 pS+6z7mN.net
>>901
(上)(中) <= (下)^2
954:１３２人目の素数さん
17/09/08 03:00:35.95 Xvh/PpT+.net
>>925
上は対数とってチェビシェフで。
下はどうでおじゃる？
〔補題〕
a,b>0 のとき a^a + b^b
955:≧ a^b + b^a, (略証) ・1≦a≦b のとき b^b ≧（b^a)a^(b-a), (左辺）-（右辺）≧ a^a +（b^a)a^(b-a）- a^b - b^a =（b^a - a^a)(a^b - a^a)/(a^a) ≧ 0, ・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、 （左辺）≦ 1 + ab ≦ a + b ≦（右辺), ・Max{1,a｝≦b のとき b^x ≧ a^x より （左辺）-（右辺）=∫[a,b]｛log(b) b^x - log(a) a^x｝dx ≧ 0, ・0<a,b≦1 のとき、 う～む。。。思ったよりめんどくせえ。 〔ベルヌーイの式〕 0<a,b≦1 のとき、 1-b+ab ≧ a^b ≧ a/(a+b-ab), 0<a≦1≦b のとき 1-b+ab ≦ a^b ≦ a/(a+b-ab),
956:１３２人目の素数さん
17/09/08 08:37:49.22 iwl1FmH8.net
Cauchyより、
{a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)} ≧ {a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b)}^2
そこで、
{a^(2a) + b^(2b) + c^(2c)}^2 ≧ {a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)} …(★)
が成り立てば解決と考えたけど、(★)が証明できない。
試しに b=c=1 を代入してみたらいけるので、成り立っているような感じだけど、ニンともカンとも…。
957:１３２人目の素数さん
17/09/08 08:44:00.05 iwl1FmH8.net
>>930
ベルヌーイの式はどうやって証明するのですか？
ベルヌーイの不等式
r≦0 or 1≦r のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx
0≦ｒ≦1 のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx
とは別物ですか？
958:１３２人目の素数さん
17/09/08 12:36:41.94 Xvh/PpT+.net
>>932
>>854 を参照。
a→1/a とすれば
a^b ≦ 1-b+ab
1<b のときは不等号が逆向き。
a=1+x、b=r
959:１３２人目の素数さん
17/09/08 12:59:14.60 Xvh/PpT+.net
>>931
>>930 より
a^(2a）+ b^(2b）≧ a^(2b）+ b^(2a),
巡回的にたして AM-GMする。
a^(2a）+ b^(2b）+ c^(2a）≧｛a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)}/2 +｛a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)}/2
≧ √{a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)} √{a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)} ……（★）
960:１３２人目の素数さん
17/09/08 14:38:39.14 iwl1FmH8.net
>>928
> ≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}
≧ 2^{√(abc√(ab))} + 2^{√(abc√(bc))} + 2^{√(abc√(ca))}
の間違いだな。
961:１３２人目の素数さん
17/09/08 14:38:44.92 Xvh/PpT+.net
>>930 >>934
〔補題〕
0<a≦b, 0<c≦d のとき
a^c + b^d ≧ a^d + b^c,
(略証)
m =（c+d)/2，h=（d-c)/2 > 0 とおく。
題意より、0 < a^m < b^m，0 < a^h < b^h,
よって
a^c - a^d - b^c + b^d
= a^(m-h）- a^(m+h）- b^(m-h）+ b^(m+h)
= a^m｛a^(-h）- a^h｝+ b^m｛b^h - b^(-h)}
≧ a^m（b^h - a^h）{1 +（ab)^(-h)}
≧ 0,
簡単だった...
962:１３２人目の素数さん
17/09/08 14:40:27.66 iwl1FmH8.net
>>934
むむむ…。すると >>930 の補題の 0<a,b≦1 のときが示されれば解決ですか。
963:１３２人目の素数さん
17/09/08 14:48:12.11 iwl1FmH8.net
>>936
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
964:１３２人目の素数さん
17/09/08 16:10:35.21 iwl1FmH8.net
検索したら…
面白スレ六問目 208 (出題のみ解答なし)
a, b >0 のとき、(a^b+b^a)/(a^a+b^b) のとりうる範囲を求めよ。
965:１３２人目の素数さん
17/09/08 16:24:51.04 iwl1FmH8.net
>>930
> >>925
> 上は対数とってチェビシェフで。
私は (a-b)(log a - log b) ≧0 を巡回させて加えて整理しますた。
チェビシェフって、具体的にどうやるんですか？ きっと前スレも同じ方法。
> 正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。
> 対数とってチェビシェフ
966:１３２人目の素数さん
17/09/08 18:03:30.03 iwl1FmH8.net
>>930
> 〔補題〕
> a,b>0 のとき a^a + b^b ≧ a^b + b^a,
この間からずっと探していて、先程手書きメモから発掘。そのメモによると、
a,b,c,d>0 かつ ab≧cd かつ b = min{a,b,c,d} のとき、a+b ≧ c+d ……(☆)
対称性から a≧b として、(a^a)(b^b) ≧ (a^b)(b^a) かつ a^a, a^b, b^a ≧ b^b で、(☆)を適用。
とだけ書きなぐってあった。例によって出典メモもなく、数学板の過去ログを検索してもヒットせず。
967:１３２人目の素数さん
17/09/08 22:02:47.27 iwl1FmH8.net
>>936と、第２章 466-467 より、
a, b >0 に対して、a^a + b^b ≧ a^b + b^a >1
968:第３章 109-111 より、 a, b, c >0 に対して、a^b + b^c + c^a >1 [疑問] 次式は成り立ちそうだけど、証明が分かりませぬ。 a^a + b^b + c^c ≧ a^b + b^c + c^a
969:１３２人目の素数さん
17/09/08 23:40:24.31 iwl1FmH8.net
>>940
もしかして、並べ替え不等式のことを言っているのかな？
同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順序積の和
チェビシェフは、
同順序積の和の平均 ≧ 平均の積 ≧ Σ 乱順序積の和の平均
970:１３２人目の素数さん
17/09/09 00:56:44.14 fG3xA4Le.net
>>936
簡単ぢゃなかった......orz
0<a,b≦1 のときは？だった。
凡例 0<a<1/3，b=2a，c=1, d=2，（c/a = d/b ≧3）
大風呂敷 広げすぎたけど、 c/a = d/b ≦ e に限れば成り立つかも。
懲りずに作るでござる。
〔補題〕
0<a,b，0≦k≦e のとき
a^(ka）+ b^(kb）≧ a^(kb）+ b^(ka),
>>941
a≧b ⇒ a^a，b^a ≧ b^b が成立たないところが…
971:１３２人目の素数さん
17/09/09 07:38:47.20 PPAy6pZb.net
>>930
左側 （a^b + b^a）≦ 1 + ab はどうやって出すんですか？
1 + ab = (1-b+ab) + b
と分けて、ベルヌーイを使うのかなと思ったら、
a^b ≧ 1-b+ab
b^a ≦ b
で不等号の向きが揃わない…
972:１３２人目の素数さん
17/09/09 09:14:36.51 PPAy6pZb.net
>>930
> ・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、
> （左辺）≦ 1 + ab ≦ a + b ≦（右辺),
ここですが、a^a ≧ a^b、b^a ≧ b^b だから、差をとれば終わりでは？
(a^a + b^b) - (a^b + b^a)
= (a^a - a^b) + (b^b - b^a)
≧0
973:１３２人目の素数さん
17/09/09 17:18:16.44 fG3xA4Le.net
>>946
その通りでつ。
>>783 に追加
a,b,c>0 に対して、
（aa+bb+cc)^3 ≧（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa）≧…
>>754 (1)(5）より
974:１３２人目の素数さん
17/09/09 17:20:25.53 +iIUOrjC.net
トーフトの不等式
975:１３２人目の素数さん
17/09/09 18:15:23.39 PPAy6pZb.net
>>947
すまぬ、不等号の向きが逆でござる。
>>757の証明では、修正済みですね。
>>754 (1) 【訂正】
a, b, c >0 に対して、(ab+bc+ca)^3 ≦ (a^2 + 2b^2)(b^2 + 2c^2)(c^2 + 2a^2)
976:１３２人目の素数さん
17/09/10 17:07:26.90 GGGugCiK.net
>>949
>>754 (1）
［第3章.727］より
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（1/27){(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧（ab+bc+ca)^3,
977:１３２人目の素数さん
17/09/11 02:33:18.51 Ls/z+whG.net
[第３章 843、845] より、
a≧b≧0，c≧d≧0のとき、
√（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
978:１３２人目の素数さん
17/09/11 07:41:49.10 Ls/z+whG.net
>>951 の類題
[第１章 68、71] より、
実数x,y,zに対して √(x^2+y^2-xy)+√(y^2+z^2-yz) ≧ √(z^2+x^2+zx)
979:１３２人目の素数さん
17/09/11 08:02:10.25 Ls/z+whG.net
>>951は、根号内が負にならないように x, y, z >0 (≧0) とすべきだよな。
980:389
17/09/11 09:18:52.80 Bpls46N5.net
>>389の不等式について
元の問題(>>515)の2は、その対偶に当たる
∃k, ∀(x,y)>0, (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u) ⇒ (Dが△ABCの内部および周上)
(>>389の←)
を示せばよい？
近大発表の解答を探したが、既刊の2冊には載っていなかった
『２１世紀無差別級数学バトル』
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
『白熱！無差別級数学バトル』
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
981:１３２人目の素数さん
17/09/11 10:40:19.10 Ls/z+whG.net
>>954
2009年の問題だから、数蝉2010年8月号P.60
近畿大学『数学コンテスト』／12年の歩みを振り返って／大野泰生＋佐久間一浩
982: https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/5364.html に解説があるやもしれぬ… ('A`)
983:１３２人目の素数さん
17/09/11 14:27:23.93 lLjA+cjN.net
>>952
3直線 OA、OB、OC を
∠AOB = ∠BOC = ∠AOC/2 = π/3,
となるようにとる。
OA上、座標xの点をX，
OB上、座標yの点をY，
OC上、座標zの点をZ とする。
このとき
XY = √(xx-xy+yy),
YZ = √(yy-yz+zz),
ZX = √(zz+zx+xx),
XY + YZ ≧ ZX,
等号成立条件は y(x+z)=xz．｛x=z=2y も含む.}
>>953 ？
984:１３２人目の素数さん
17/09/11 14:33:07.83 Ls/z+whG.net
>>956
問題文の x,y,z は実数だけど、実数でも成り立つのかな？
985:１３２人目の素数さん
17/09/11 16:04:03.38 CvOz8PAv.net
>>953
>>957
非負でなくてはならない条件はつかってないと思うけどどういうこと？
986:１３２人目の素数さん
17/09/11 16:19:08.50 Ls/z+whG.net
う～ん、私が理解できていないだけみたい。
>>956
> OA上、座標xの点をX，
この意味が分かりません。
987:１３２人目の素数さん
17/09/11 16:28:39.37 Ls/z+whG.net
>>42
> 〔問題216〕
> 実数a～dについて
> （aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ab+bc+cd)^2,
> （aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ad-bc)^2,
上側
4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ab + bc + cd)^2
＝ (ab - bc + cd + 2da)^2
≧ 0
下側は、Wolfram 先生に以下の２通りを処理させても、ずっと 『COMPUTING』 のまま結果を出さない。
factor 4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
expand 4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
つまり因数分解できないんだろうけど、長い式は展開してくれないのかな？
平方和になるのかな？
988:１３２人目の素数さん
17/09/11 16:38:45.88 Ls/z+whG.net
手計算で展開してから、Wolfram先生に因数分解してもらった。
4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
= 4(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2d^2 + d^2a^2 + a^2bd + ab^2c + acd^2 + bc^2d + abcd) - 3(a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)
= 4a^2b^2 + b^2c^2 + 4c^2d^2 + d^2a^2 + 4a^2bd + 4ab^2c + 4acd^2 + 4bc^2d + 10abcd
= (2ab+ad+bc+2cd)^2
≧0
989:１３２人目の素数さん
2017/09/
990:11(月) 17:20:43.44 ID:IDWqxmZH.net
991:１３２人目の素数さん
17/09/11 17:22:26.50 lLjA+cjN.net
>>956
直線OAをx軸とし、OAの向きを正とします。
もちろん、x軸，y軸，z軸は直交しません（斜交軸）
>>960-961
>>47-48 から
(aa+ac+cc)(bb+bd+dd）=（ad-bc)^2 +（ad-bc)(ab+bc+cd）+（ab+bc+cd)^2,
これと
xx+xy+yy ≧（3/4)xx，(3/4)yy
から出ますけど...
992:１３２人目の素数さん
17/09/11 17:52:18.68 lLjA+cjN.net
>>952
では図に頼らず代数的に...
LHS^2 - RHS^2 = 2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）+（2yy-t)
=｛4(xx-xy+yy)(yy-yz+zz）-（2yy-t)^2｝/｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ}
= 3DD /｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ}
≧ 0,
ここに、t = xy+yz+zx,
等号成立条件は D = xy+yz-zx = 0,
993:１３２人目の素数さん
17/09/11 18:32:41.88 Ls/z+whG.net
>>962-963
ありがとうございます！ 今から考えてみます。
>>963
じゃあ xx+xy+yy ≧3xy だから、次式も成り立ちますね。
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧ 3(ad-bc)(ab+bc+cd)
994:１３２人目の素数さん
17/09/11 21:29:10.93 Ls/z+whG.net
>>956
たとえば x>0, y<0 のときに、
XY = √(xx-xy+yy) じゃなく
XY = √(xx+xy+yy) になりませんか？