17/07/19 05:59:21.30 3YGTFP1s.net
>>69 (1)
> 正の数 a,b,c に対して、
> (a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)
基本対称式 s,t,u に置き換えても、うまく証明できんでござる。
168:１３２人目の素数さん
17/07/19 06:06:03.79 3YGTFP1s.net
>>160 (9)(10)
sqrt(x)は上に凸だから、Jensenは使えんのよなあ。
169:１３２人目の素数さん
17/07/19 07:03:54.93 3YGTFP1s.net
[不等式 第7章]
> 241 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/09/18(木) 00:44:36.72
> 0<x<y<π/2の時
> (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
> を示せ
これも証明できていない…
170:１３２人目の素数さん
17/07/19 08:55:53.79 3YGTFP1s.net
ASU 1969.14 の巡回不等式を探そうとしたら消えていた。他も殆ど見れなくなっている… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
URLﾘﾝｸ(mks.mff.cuni.cz)
171:１３２人目の素数さん
17/07/19 08:58:35.51 OXFuyCoZ.net
>>69 (1)
>>163
0 ≦ a ≦ b, c としてよい。
この場合は基本対称式よりも b+c-2a = x の方がいいんぢゃね？
(左辺）=（a+b+c)^5 =（3a+x)^5
= 243a^5 + 405a^4x + 270aaaxx + 90aaxxx + 15ax^4 + x^5,
ab+bc+ca = 3aa + 2a(b+c-2a）+（b-a)(c-a）≦ 3aa + 2ax +（1/4)xx,
abb+bcc+caa = 3aaa+3aa(b+c-2a)+a(b+c-2a)^2+(b-a)(c-a)^2 ≦ 3aaa+3aax+axx+(4/27)xxx,
(右辺)=27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)≦243a^5+405a^4x+(1053/4)aaaxx+(345/4)aaxxx+(59/4)ax^4+x^5,
(左辺）-（右辺）≧ a(27aa+15ax+xx)xx/4 ≧ 0,
172:１３２人目の素数さん
17/07/19 09:58:00.35 OXFuyCoZ.net
>>69 (1)
>>163
3a = A, b+c-2a = x とおくと…
(左辺)/243 =｛(a+b+c)/3}^5 =（A+x)^5
= A^5 + 5A^4･x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,
ab+bc+ca ≦ {AA + 2Ax + (3/4)xx}/3,
abb+bcc+caa ≦｛AAA +3AAx +3Axx +(4/3)xxx}/9,
(右辺)/243 = (ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)/9
≦ A^5 + 5A^4･x +（9.75)AAAxx +（9.58333…)AAxxx +（4.91666…)Ax^4 + x^5,
(左辺）-（右辺）≧ A(3AA+5Ax+xx)xx/12 ≧ 0,
>>167 と同じだが…
173:１３２人目の素数さん
17/07/19 10:37:49.14 OXFuyCoZ.net
>>137
x(x+y) ≧ 4.283918322582003
（x=1.1960916895833343 y=2.3855052397246037)
3x^10 + 2x^9 - 28 = 0 の正根
174:１３２人目の素数さん
17/07/19 17:31:41.22 3YGTFP1s.net
>>167
さんくす。今夜読んでみます。
Shapiroの巡回不等式のn=6のときの証明を、>>2 [4] を見ながらや
175:ってみたけど、途中で詰まったでござる。 n=3のときは、f(x)=x/(s-x) に Jensenでok?
176:１３２人目の素数さん
17/07/19 19:52:03.56 OXFuyCoZ.net
>>170
>>2 [3] 「不等式への招待」(1987）p.28-30 を読むと
B_i = x_{i+1} + x_{i+2}
とおく。ただし x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2
コーシーより
Σ[i=1,n] x_i / B_i ≧ (Σ[i=1,n] x_i)^2 / ｛Σ[j=1,n] x_j B_j｝,
ゆえ
(Σ[i=1,n] x_i)^2 -(n/2)Σ[j=1,n] x_j B_j ≧ 0
を言えばよい。
n=3,5 の場合は
{1/(n-1)}Σ[1≦i<j≦n] (xi-xj)^2 ≧ 0,
n=4 のとき
(x1-x3)^2 + (x2-x4)^2 ≧ 0,
n=6 のとき
(1/2){(y1-y2)^2 + (y2-y3)^2 + (y3-y1)^2} ≧ 0,
ここに、y1=x1+x4、y2=x2+x5、y3=x3+x6
と思うけど…
177:１３２人目の素数さん
17/07/20 01:52:11.90 Oabzsbx8.net
>>170
n=3（Nesbitt）の方はそれで おk ですね。ほかにも
a/(b+c）=（1/2){(a+b)/(b+c) -1 +(c+a)/(a+b)}
を巡回的にたして相加-相乗平均する。
a/(b+c）=（a+b+c)/(b+c） - 1
を巡回的にたして相加-調和平均する。
など種々ありますね。
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
178:１３２人目の素数さん
17/07/20 02:37:10.34 Oabzsbx8.net
ピコーン太郎が歌う…
I have a function u(x) which satisfies｛p1(x) u '(x)｝' + q1(x)u(x) = 0.
I have a function v(x) which satisfies｛p2(x) v '(x)｝' + q2(x)v(x) = 0.
mmmmmmmmmmmmmm
Picone identity
{1/u(x)^2}{u(x)[p1(x)u '(x) - p2(x)u(x)v'(x)/v(x)]} ' = {q2(x)-q1(x)} + {p1(x)-p2(x)}{u '(x)/u(x)}^2 + p2(x){u '(x)/u(x) - v '(x)/v(x)}^2,
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17/07/20 07:08:31.62 R+taoMN8.net
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17/07/20 07:08:49.75 R+taoMN8.net
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189:１３２人目の素数さん
17/07/20 17:09:09.33 27eqirM3.net
>>167-168
難しいです…。 検索して別のを見つけたが、bを中央の項としたとき、
なぜ 4(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca) ≦ (a+c)^2*(a+b+c)^2 となるのか分かりませぬ。
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
さらに強い不等式が載っている。
a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)
>>171
n=6の式変形が神。
分かってて変形しないと出来そうにない。
190:￥
17/07/20 17:16:33.16 R+taoMN8.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥
191:１３２人目の素数さん
17/07/20 17:16:57.28 27eqirM3.net
>>62-63
小野ちゃんの不等式から、三角形絡みの不等式を検索して、フランダースの不等式に辿り着いた。
ところが過去スレを検索すると、既に初代スレに載っていたでござった…。全く記憶にござらぬ…。
[不等式 第1章]
> 668 名前：580[sage] 投稿日：04/11/22(月) 11:39:24
> 【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
> 0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8.
> -1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
>
> フランダースの不等式 とか言うらしい．．．
> URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
> ぬるぽ
,.-─-、
/ /_wゝ-∠l
ヾ___ノ,. - >
/|／（ヽY__ノﾐ
.{ rｲ ノ
パトラッシュ、疲れたろう。
僕も疲れたんだ…
何だかとても眠いんだ…パトラ…
192:￥
17/07/20 17:22:58.82 R+taoMN8.net
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■
￥
193:１３２人目の素数さん
17/07/20 17:34:38.29 27eqirM3.net
>>69 (1)
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
いろんな解法を使いこなせるようになりたいものでござる。演習不足。
ｳﾜｧｧ!!
(>'A`)>
( ヘヘ
194:￥
17/07/20 17:41:27.43 R+taoMN8.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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195:１３２人目の素数さん
17/07/20 17:47:02.49 27eqirM3.net
ageるとコピペ荒らしが来るから、sage進行で行きましょう。
まぁ Jane Style を使っているから、荒らし自体は あぼーんされて見えないけど、
無駄にレスが消費されて、すぐに次スレを立てないといけなくなるから。
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17/07/20 18:20:47.86 R+taoMN8.net
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207:１３２人目の素数さん
17/07/20 18:39:18.12 27eqirM3.net
>>188
Wlog、bを中央の項として、
c(a-b)(b-c)≧0 ⇔ b(a^2+ac+c^2) ≧ a^2b+b^2c+c^2a
(a+b+c)^5
＝ (1/8)*{2b + (a+c) + (a+c)}^3*(a+b+c)^2
≧ (27/4)*b(a+c)^2*(a+b+c)^2
＝ (27/4)*b*{(a^2+ac+c^2) + (ab+bc+ca)}^2
≧ 27b(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca)
≧ 27(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca)
┏━━┓
┃ Q.E.D. ┃
┗━┳━┛
( ﾟ∀ﾟ) ノ
208:１３２人目の素数さん
17/07/20 18:40:59.56 27eqirM3.net
>>184
> さらに強い不等式が載っている。
> a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)
難しすぎて ｽﾞｺｰ
∧∧
ヽ(･ω･)/
＼(.＼ ノ
､ﾊ,,､ ￣
￣
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17/07/20 19:07:22.98 R+taoMN8.net
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
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外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
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だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
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遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
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220:１３２人目の素数さん
17/07/21 03:35:42.35 aIensghT.net
>>184
(a+c)(a+b+c) = (aa+ac+cc) + (ab+bc+ca）だから
{(a+c)(a+b+c)}^2 ≧ 4(aa+ac+cc)(ab+bc+ca).
bが a,c の中間になくてもいいんぢゃね？
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231:１３２人目の素数さん
17/07/21 07:34:08.41 aIensghT.net
>>184 >>202
3a=A、b-a=y、c-a=z とおく。（x=y+z)
a+b+c = A+x,
ab+bc+ca =（AA +2Ax +3yz)/3,
abc = (AAA +3AAx +9Ayz)/27,
aab+bbc+cca = (AAA +3AAx +3Axx +9yyz)/9,
(a+b+c)^5 = (A+x)^5 = A^5 + 5A^4･x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,
27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa) = A^5 + 5A^4･x + AAA(9xx+3yz) + AA(6xxx+9xyz+9yyz) + A(9x+18y)xyz + 27yyyzz,
81(ab+bc+ca)abc = A^5 + 5A^4･x + AAA(6xx+12yz) + 27AAxyz + 27Ayyzz + 0,
A^i の係数の差（A^0 の項が 27yyyzz ≦ (2916/3125) x^5 であること等）を考慮して適当な重みを定める。
232:￥
17/07/21 09:11:09.38 9Y4dp9MH.net
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
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さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
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中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
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233:１３２人目の素数さん
17/07/21 12:10:20.32 hHnI1U1h.net
>>71 (4)
AM-GMを2回。ユルユルでござった。改造の余地ありまくリング。
>>225
>>201のようなカラクリはないのかな？
>>166
> 14. Prove that for any positive numbers a1, a2, ... , an we have:
> a1/(a2+a3) + a2/(a3+a4) + ... + an-1/(an+a1) + an/(a1+a2) > n/4
URLﾘﾝｸ(webee.technion.ac.il)
Shapiroよりユルユルだから、エレガントな証明方法があるんかなあ？
234:１３２人目の素数さん
17/07/21 12:59:17.15 aIensghT.net
>>227
>>225 のようにバラバラに砕いたのは、「エレガントなカラクリ」を知らぬが故でござる。（最終兵器）
ご存知なれば、伝授願いたいぐらい。
14.
[初代スレ.497-502] のことでござるか？
されば n/3 に改良する習わし也。
(補題)
a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1.
235:１３２人目の素数さん
17/07/21 13:32:43.01 aIensghT.net
>>227 （続き）
14. Shapiro
[初代スレ.497-502]
[第2章.284-285]
[第3章.172-173, 218-220]
[第4章.463-470]
n≦6の解法
[第2章.889-890]
[第8章.170-172]
236:１３２人目の素数さん
17/07/21 20:28:46.33 hHnI1U1h.net
作ってみたけど、
237:簡単な証明あるかな？ ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！ a,b,c>0 に対して、{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ 3(a+b+c)/2
238:１３２人目の素数さん
17/07/21 20:29:28.94 hHnI1U1h.net
>>229
さんくす。過去スレは宝箱ですなあ。
239:１３２人目の素数さん
17/07/22 15:48:14.89 G0nvuSlz.net
>>230
(解1)
a+b+c=s とおく。
f(X) = X/√(s-X）= s/√(s-X) - √(s-X）
は下に凸ゆえ Jensen で
f(a）+ f(b）+ f(c）≧ 3f(s/3）= √(3s/2),
(解2)
x=b+c, y=c+a, z=a+b とおく。
a/√(b+c）=（y+z-x)/(2√x）≧｛2√(yz) -x}/(2√x),
したがって、
a/√(b+c）+ b/√(c+a）+ c/√(a+b)
≧｛√(yz/x）+ √(zx/y）+ √(xy/z)}/2 …(*)
= (xy+yz+zx)/(2√xyz),
(左辺) ≧ (xy+yz+zx)^2 /(4xyz）≧ 3(x+y+z)/4 …(**)
= 3(a+b+c)/2,
*）｛√(yz）-x}/√x +｛√(zx）-y}/√y +｛√(xy）-z}/√z
=｛(xy+yz+zx）-x√(yz) -y√(zx）-z√(xy)}/√(xyz)
=｛x(√y-√z)^2 + y(√z-√x)^2 + z(√x-√y)^2}/(2√xyz)
≧0,
**）（xy+yz+zx)^2 - 3xyz(x+y+z）=｛xx(y-z)^2 + yy(z-x)^2 + zz(x-y)^2｝≧ 0,
240:１３２人目の素数さん
17/07/22 16:03:11.35 G0nvuSlz.net
さて、本題に戻って…
(a+b+c)^5 ≧（ab+bc+ca）｛27(K+1)(aab+bbc+cca) -81K･abc｝
とおいて、A^i の係数を求めます。 >>225
A^3 の係数から
K ≦ 1/3,
A^2 の係数から
K ≦ 0.182688493788
（等号成立は y/z = 1.52984518）
A^1 の係数から
K ≦ 0.07648328329
（等号成立は y/z = 1.5765615）
A^0 の係数から
27yyyzz = (2916/3125)(5y/3)^3 (5z/2)^2 ≦ (2916/3125)(y+z)^5 = (2916/3125）x^5,
K ≦（3125/2916）- 1 =（209/2916）= 0.0716735…
（等号成立は y/z = 3/2）
なんか上限がだんだん下がって来て窮屈ですが･･･
K =（209/2916）とすれば OKです。
------------------------------------------------
（訂正）
27（ab+bc+ca) (aab+bbc+cca）= A^5 + 5A^4･x + …
241:１３２人目の素数さん
17/07/23 09:39:32.76 p7xlQ3BC.net
>>232
さすがなり。 >>230の元になった問題は以下。
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
a,b,c>0、a+b+c+abc=4 に対して、
(ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(4-abc)^3
条件 a+b+c+abc=4 は、右辺を難しそうに見せるだけのノイズと見て削除して、
a,b,c>0 に対して、
(ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3
これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、他に易しい証明ないかな？
この右辺を弄って >>230 を得る。
242:１３２人目の素数さん
17/07/23 09:50:23.09 p7xlQ3BC.net
>>234
> a,b,c>0 に対して、
> (ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3
>
> これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、
について、蛇足。
{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}^(1/3)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^(2/3) ≧ a+b+c
243:１３２人目の素数さん
17/07/23 10:08:15.89 yTyAIG7a.net
>>225 >>233
参考のため残しておきまつ。
(a+b+c)^5 -（ab+bc+ca){27(1+K)(aab+bbc+cca）- 81K･abc｝における
A^3 の係数：
(1-3K)(yy-yz+zz),
A^2 の係数：
(4-6K)yyy -（6+9K)yyz + 3yzz +（4-6K),
A^1 の係数：
5y^4 -（7+27K)y^3･z -（6+9K)yyzz + (11-9K)yz^3 + 5z^4,
A^0 の係数：
(y+z)^5 - 27(1+K)yyyzz,
y≧0、z≧0 において上記がすべて非負となるような K≧0
を取れば十分でござる。
（x=y+z を使った）
244:１３２人目の素数さん
17/07/23 11:15:00.16 yTyAIG7a.net
>>234-235
コーシーで一発でしたか... 参ったでござる。
245:１３２人目の素数さん
17/07/23 19:25:31.71 yTyAIG7a.net
>>184 >>201 >>214 を改造...
a+b+c = s、ab+bc+ca = t とおく。
{(a+c)s}^2 - 4(aa+ac+cc)t = (aa+ac+cc - t)^2 = δ
ss - 3t =｛(a-c)^2･t + δ}/(a+c)^2 ≧ t|(a-c)/(a+c)|^2,
246:１３２人目の素数さん
17/07/24 10:30:53.82 mq+pfYuQ.net
>>232
> *）｛√(yz）-x}/√x +｛√(zx）-y}/√y +｛√(xy）-z}/√z
｛2√(yz）-x}/2√x +｛2√(zx）-y}/2√y +｛2√(xy）-z}/2√z を計算しないといけないのでは？
247:１３２人目の素数さん
17/07/24 13:11:01.41 mq+pfYuQ.net
0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2)
248:１３２人目の素数さん
17/07/24 14:26:58.56 mq+pfYuQ.net
>>240 をプチ改造。
> 0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2*sqrt{(sin x)*(cos x)} ≦ 2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2)
249:１３２人目の素数さん
17/07/24 15:01:01.78 qItz5GdJ.net
>>238
（大意）
ss/t の値は、a,b,c が似たり寄ったりのときは3よりチョト大きいだけだが、
a,b,c が極端に違うときは（2変数値の）4に近いよ。
>>239
略しすぎた…
{2√(yz) -x}/(2√x） = ｛√(yz)}/(2√x） + ｛√(yz) - x}/(2√x),
のように分けたのでござる。
後ろの項は 巡回和すれば ≧0 でござる。(*)
ついでながら（**）の方も 1/2 が抜けてますな。トホホ
250:１３２人目の素数さん
17/07/24 15:54:27.34 qItz5GdJ.net
>>240-241
t = 2sin(x)cos(x）とおくと、0≦t≦1
一方、f(t）= 2^t は下に凸で f(0)=1, f(1)=2, f(2)=4 を通る。
0≦t≦1 では
（t=1、t=2 の割線）より上で、（t=0、t=1 の割線）より下。
∴ 2t ≦ f(t) ≦ 1 + t ≦ 2,
4sin(x)cos(x）≦ 2^{2sin(x)cos(x)｝≦ 1 + 2sin(x)cos(x）≦ 2,
各辺≧0 ゆえ平方根をとる。
251:１３２人目の素数さん
17/07/24 16:08:03.65 mq+pfYuQ.net
>>243
実にエレガント！
元ネタは [数蝉NOTE (2005.08締切分)]
x, y≧0 かつ x^2 + y^2=1 のとき、2^(xy) ≦ x+y ≦ sqrt(2).
まず、0 ≦ (x-y)^2 = 1-2xy より、0 ≦ xy ≦ 1/2 だから、
右 ： (x+y)^2 = 1+2xy ≦ 2.
左 ： (x+y)^{1/(xy)} = (1+2xy)^{1/(2xy)} ≧ 1 + 2xy*{1/(2xy)} = 2.
ベルヌーイの不等式を用いて、鶏を割くに焉んぞ牛刀を用いん…。
252:１３２人目の素数さん
17/07/24 16:37:45.26 mq+pfYuQ.net
まぁ、いろんな証明方法が身につくから褒め言葉なんですがね → 牛刀。
253:１３２人目の素数さん
17/07/24 16:38:56.00 dN93W7ZJ.net
夏休みだから賑わってるのかな？
254:１３２人目の素数さん
17/07/24 16:49:08.07 mq+pfYuQ.net
>>246
君も混ざれ！
255:１３２人目の素数さん
17/07/24 19:10:05.77 DNnE4oh/.net
おめでとう
君は質問スレと面白スレの次くらいに人がいるスレを見つけた！！
256:１３２人目の素数さん
17/07/24 19:10:56.17 mq+pfYuQ.net
>>248
上げるなよ。コピペ荒らしの被害を受けるだろうが！ 迷惑な奴め！
257:１３２人目の素数さん
17/07/24 19:31:23.57 mq+pfYuQ.net
どうしてそういう嫌がらせをするのかな？ やる気なくすわ…。
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268:１３２人目の素数さん
17/07/27 23:44:58.10 1T4+Oazx.net
〔問題1.96改〕
x, y, z ≧ 0 のとき
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|,
ルーマニアMO-2007（改）
［9］ 佐藤、演習問題1.96（改） >>2
-------------------------------
（略
269:証） yはxとzの中間にあるとする。 （x-y)(y-z）≧0, xx+yy+zz-xy-yz-zx =（x-y)^2 +（x-y)(y-z）+（y-z)^2, x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min｛|x-y|，|y-z|｝, 辺々掛けて x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧（|x-y| + |y-z|)^3 = |x-z|^3 ≧4|(x-y)(y-z)(z-x)|,
270:１３２人目の素数さん
17/07/28 00:01:37.78 j+jikqys.net
〔楠瀬の不等式〕
x, y, z≧0 のとき
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧ k｜(x-y)(y-z)(z-x)｜,
但し k = √(9+6√3）= 4.403669475･････
数セミ創刊30周年記念『エレガントな問題をもとむ』【優秀賞】受賞問題２
出題： 1992年4月, p.79
解説： 1992年7月, p.59-60
[初代スレ.836-869]
271:１３２人目の素数さん
17/07/28 00:35:42.32 KBT/ECMI.net
なんで k の値が、上では 4 なのに、下では4より大きくなってるん？ 上では等号は成立しないの？
272:１３２人目の素数さん
17/07/28 11:59:01.11 j+jikqys.net
>>263
>>261 は少しユルいのですが、簡単・便利な式です。
x=y=z のときは等号が成立します。
>>262 のkの値は「限界」で、もうこれ以上改良できません。
273:１３２人目の素数さん
17/07/28 12:45:15.12 O9aq1xVP.net
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています
274:１３２人目の素数さん
17/07/28 12:45:54.57 KBT/ECMI.net
>>265
ageるなよ！
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17/07/28 12:52:31.99 tqhSG1tp.net
＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
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286:１３２人目の素数さん
17/07/28 15:28:25.10 KBT/ECMI.net
>>265
馬鹿がageるから、コピペに荒らされる・・・
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＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
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288:１３２人目の素数さん
17/07/28 15:36:12.30 KBT/ECMI.net
中身のある書き込みがあると 中身のないレスでageる奴が現れるような気がする。
289:１３２人目の素数さん
17/07/28 16:19:13.21 O9aq1xVP.net
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています
290:１３２人目の素数さん
17/07/28 16:19:42.45 O9aq1xVP.net
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています
291:１３２人目の素数さん
17/07/28 16:20:00.23 O9aq1xVP.net
今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています
292:１３２人目の素数さん
17/07/28 16:59:03.60 KBT/ECMI.net
上げるなボケ！
293:１３２人目の素数さん
17/07/28 16:59:48.17 KBT/ECMI.net
質問スレに逝けよ
294:１３２人目の素数さん
17/07/28 17:01:45.94 Zm1hbnDt.net
>>284
すまんこ
295:１３２人目の素数さん
17/07/28 17:01:56.27 Zm1hbnDt.net
>>285
許してクレメンス
296:１３２人目の素数さん
17/07/28 18:21:20.48 bsIbQPNs.net
>>262
以前>>261を改良して得たけど既にやられてたんだね
エレガントな解放が知りたい
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307:１３２人目の素数さん
17/07/28 23:18:23.72 KBT/ECMI.net
>>261
まずココが分かりません。
> x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min｛|x-y|，|y-z|｝
次にココ。辺々掛けたら |x-y|^3 + |y-z|^3 + C にならないかな？
> 辺々掛けて x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧（|x-y| + |y-z|)^3
最後にココ。AM-GMでもないし何だろう？
> |x-z|^3 ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|
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319:１３２人目の素数さん
17/07/29 10:40:59.10 0o5qwo4/.net
>>299
それでは｜x-y｜= a，｜y-z｜= b とおきましょう。
まず
0≦x≦y≦z のとき
x+y+z = 3x + 2(y-x）+（z-y）≧ 2(y-x）+（z-y) = 2a + b,
x≧y≧z≧0 のとき
x+y+z =（x-y）+ 2(y-z）+ 3z ≧（x-y）+ 2(y-z）= a + 2b,
次に、辺々掛けると
(2a+b)(aa+ab+bb）= a^3 +（a+b)^3 ≧（a+b)^3,
(a+2b)(aa+ab+bb）=（a+b)^3 + b^3 ≧（a+b)^3,
最後は、
(a+b)^2 = 4ab +（a-b)^2 ≧ 4ab,
320:１３２人目の素数さん
17/07/29 11:10:20.36 f+sckW2v.net
sage厨が湧いてくるぞ
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332:１３２人目の素数さん
17/07/29 13:11:06.47 7AgJghW0.net
>>312
荒らしが逆切れすんなよ
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＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
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334:１３２人目の素数さん
17/07/29 16:33:20.23 N79FPBpM.net
ageる奴ってほんま糞だな
ケツに「＞」をぶち込んで拡張してやりたい
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＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
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346:１３２人目の素数さん
17/07/31 03:54:33.34 XzE3duxv.net
[数蝉2014.07, p.51]
△ABCに対して、
|sin (A-B)/2|*(cos A/2)*(cos B/2) + |sin (B-C)/2|*(cos B/2)*(cos C/2) ≧ |sin (C-A)/2|*(cos C/2)*(cos A/2)
○ < ｼｮｳﾒｲ ｽﾙﾏﾃﾞ ｱｶﾞｯﾃ ｸﾙﾅ！
く|)へ
〉 ヾ○ｼ
￣￣７ ヘ/
/ ノ
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357:１３２人目の素数さん
17/07/31 23:55:08.45 XzE3duxv.net
任意の実数 x, y に対して、(1 + x^2 + y^2)/{1 + x^2 + (x-y)^2} の最大値を求めよ。
Σ○
く|）へ。
〉 〉
￣￣ ○ﾉ 道連れｯﾎｫｫ！
. / <ヽ
| /, |
／
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／
358:１３２人目の素数さん
17/08/01 11:40:49.38 MADJ3GR6.net
>>349
φ =（1+√5)/2 = 1.618034 とおくと、
φ(1+xx+yy）-（φ-1){1+xx+(x-y)^2｝= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,
上限は
（1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2｝＜ φ/(φ-1）= φ+1 = （3+√5)/2,
なお、蛇足だが
φ{1+xx+(x-y)^2｝-（φ-1)(1+xx+yy）= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,
下限は
（1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2｝＞（φ-1)/φ = 2-φ = (3-√5)/2,
359:１３２人目の素数さん
17/08/01 11:53:02.53 MADJ3GR6.net
>>350 訂正
次の同値な2式を入れ替えてください。
φ{1+xx+(x-y)^2｝-（φ-1)(1+xx+yy）= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,
φ(1+xx+yy）-（φ-1){1+xx+(x-y)^2｝= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,
ｽﾏｿ.
360:１３２人目の素数さん
17/08/01 14:40:16.98 XEmVHg+K.net
最大最小といえば、高校のときに解けなかった以下を思い出す。係数はうろ覚え。
任意の実数 x, y に対して、(x+2y+3)/(x^2 + 2y^2 + 3) のとりうる値の範囲を求めよ。
￣￣ ＼○ﾉ ﾃｦ ﾊﾅｾ！
. / <ヽ
| / |
／ (○ﾉ ｺﾄﾜﾙｯ！
| ( )
／ / |
361:１３２人目の素数さん
17/08/01 15:08:14.92 MADJ3GR6.net
>>352
(xx+2yy+3) - 2(√2 -1)(x+2y+3) = (x+1-√2)^2 + 2(y+1-√2)^2 ≧ 0,
(xx+2yy+3) + 2(√2 +1)(x+2y+3) = (x+1+√2)^2 + 2(y+1+√2)^2 ≧ 0,
両辺を xx+2yy+3 >0 で割って
-(√2 -1)/2 ≦ (x+2y+3)/(xx+2yy+3) ≦ (√2 +1)/2,
でござるか。
362:１３２人目の素数さん
17/08/01 15:25:30.61 XEmVHg+K.net
>>353
問題自体うろ覚えなので…。
363:１３２人目の素数さん
17/08/02 01:25:07.20 RQb3zemz.net
[元ネタ不明]
任意の実数 x, y, z に対して、次式の最小値を求めよ。
sqrt{x^2 + (y-1)^2} + sqrt{y^2 + (z-1)^2} + sqrt{z^2 + (x-1)^2}
ｳﾘｬｯ！
Oノ
. ノ＼＿・'ヽO．
└ ＿ノ ヽ
364: 〉 ヾ○ｼ ￣￣７ ヘ/ / ノ ／ | ／
365:１３２人目の素数さん
17/08/02 01:35:57.66 iuzeTNl6.net
>>353
3(xx+2yy) = (x+2y)^2 + 2(x-y)^2 ≧（x+2y)^2,
等号成立は x=y のとき。
x+2y+3 = s とおくと、
（分母）≧（ss-6s+18)/3,
-(√2 -1)/2 ≦ 3s/(ss-6s+18）≦（√2 +1)/2,
でも出ますが...
366:１３２人目の素数さん
17/08/02 01:47:54.48 iuzeTNl6.net
>>355
√{xx + (1-y)^2｝≧（|x｜+｜1-y|)/√2、etc.
等号成立は｜x|=|1-y|、|y|=|1-z|、|z|=|1-x|
△不等式 ｜x｜+｜1-x｜≧ 1、etc.
等号成立は 0≦x,y,z≦1
より、3/√2。（x=y=z=1/2のとき）
367:１３２人目の素数さん
17/08/02 04:05:52.99 RQb3zemz.net
0 ≦ x, y, z ≦1 のとき、(x+y+z)/3 + sqrt{x(1-x) + y(1-y) + z(1-z)} の最大値を求めよ。
Σ○
ノ(）へ。
〉 〉
￣￣ ＼○ﾉ 道連れｯﾎｫｫ！
/ ( )
| / |
／ (○ﾉ ﾋｬｯﾎｫｫｫｩ！
| ( )
／ / |
368:１３２人目の素数さん
17/08/02 04:16:32.01 RQb3zemz.net
巡回不等式のコレクションが少ないことに気づいた2017の夏。
正の数 a, b, c に対して、a^3/b^2 + b^3/c^2 + c^3/a^2 ≧ a+b+c を示せ。
￣￣ ＼○ﾉ ﾃｦ ﾊﾅｾ！
. / <ヽ
| / |
／ (○ﾉ ｺﾄﾜﾙｯ！
| ( )
／ / |
(○ﾉ ｻﾞｹﾝﾅﾖ！
( )
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369:１３２人目の素数さん
17/08/02 13:10:06.22 iuzeTNl6.net
>>358
相加平均（x+y+z)/3 = A とおくと、0≦A≦1.
x(1-x）+ y(1-y）+ z(1-z）
=（x+y+z）- (xx+yy+zz）
≦ 3(1-A）・A (←1変数）
≦｛[3(1-A）+ A]/2}^2
≦｛(3-2A)/2}^2
(左辺）≦ A +（3-2A)/2 = 3/2,
等号成立は 3(1-A)=A、A=3/4、x=y=z= 3/4 のとき
>>359
｛a^n，b^n，…，b^n｝の相加-相乗平均で
a^n +（n-1)b^n ≧ na･b^(n-1),
（a^n)/b^(n-1）≧ na - (n-1)b,
巡回的にたす。
370:１３２人目の素数さん
17/08/02 17:07:11.46 RQb3zemz.net
>>360
さりげなく一般化とは、やはり神！
正の数 a, b, c に対して、a^n/b^(n-1) + b^n/c^(n-1) + c^n/a^(n-1) ≧ a+b+c.
気になるのは、
(1) Σ[cyc] a^(n+1)/b^n と Σ[cyc] a^n/b^(n-1) の大小
(2) Σ[cyc] a^(n-1)/b^n と 1/a + 1/b + 1/c の大小
(1)も(2)も≧が成り立ちそうな気がするけど、証明できていませぬ。
371:１３２人目の素数さん
17/08/02 17:46:27.58 RQb3zemz.net
最大最小値問題を１変数にしたら、何通りくらいの解法があるのでせう？
任意の実数 x に対して、(5-2x)/(x^2 - 4x + 6) のとりうる値の範囲を求めよ。
ﾊﾟｷｯ
￣`;:'.￣ ＼○ﾉ
. / <ヽ
| / |
／ (○ﾉ
| ( )
／ / |
(○ﾉ
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372:１３２人目の素数さん
17/08/02 21:09:22.85 iuzeTNl6.net
>>338
sin(a-b)cos(a)cos(b）+ sin(b-c)cos(b)cos(c）+ sin(c-a)cos(c)cos(a) + sin(a-b)sin(b-c)sin(c-a)
| sin(a-b)，-cos(c)，cos(c)｜
= | cos(a)，sin(b-c)，-cos(a)｜
| -cos(b)，cos(b)，sin(c-a)｜
= 0,
を利用するか…？
373:１３２人目の素数さん
17/08/02 21:26:42.42 iuzeTNl6.net
>>362
（5-2x)/(xx-4x+6）= 1 -（x-1)^2/(xx-4x+6) ≦ 1,
（5-2x)/(xx-4x+6）= -1/2 +（x-4)^2/{2(xx-4x+6)} ≧ -1/2,
等号成立はそれぞれ、x=1、x=4.
374:１３２人目の素数さん
17/08/02 22:07:04.56 iuzeTNl6.net
>>361
(1）（a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だから明らか。
ついでに、｛a^n，…，a^n，b^n｝で相加-相乗平均すると、
n a^(n+1) + b^(n+1) ≧ (n+1)(a^n)b,
n a^(n+1)/(b^n) ≧（n+1)(a^n)/b^(n-1) - b,
循環的にたすと
n S_(n+1) ≧（n+1)S_n - S_1,
{S_(n+1）- S_1}/(n+1）≧（S_n - S_1)/n,
（S_n - S_1)/n も単調増加。
* (a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが。
(2) a = 1/A、b = 1/B、c = 1/C とおくと…
375:１３２人目の素数さん
17/08/03 02:08:30.11 HTpcwzgX.net
>>363
[数蝉2014.07, p.51,NOTE] の前のページで証明されていた不等式が以下。
実数 x, y, z >0 に対して、|(x-y)/(x+y)| + |(y-z)/(y+z)| ≧ |(x-z)/(x+z)| …(★)
これをRavi変換 （a=y+z、b=z+x、c=x+y）すると、次の不等式になる。
三角形の辺長a,b,cに対して、ab|a-b| + bc|b-c| ≧ ca|c-a|…(★★)
これを a, c に関する対称性から a≦c として、bの位置を３通りに分けて証明。
正弦定理と２倍角の定理で書き直すと、次のようになって不等式が得られるみたい。
ab|a-b| = 32R^3 (sin A/2)*(sin A/2)*(sin A/2)*(cos A/2)*(cos B/2)*|sin (A-B)/2|
この不等式をNOTEに投稿した人のコメントに、(★)の元ネタが考古学の本とある。
「新井宏、理系から見た考古学の論争点、大和書房、2007」
不等式のネタが他にもあるかもしれないと思い、図書館や書店を探したが無かった。←今ココ。
ところで、(★★)を弄って、何か不等式が作れないかなと弄ったことがある。たとえば次式とか。
ab|a-b| + bc|b-c| + ca|c-a| ≧ k(a+b+c)
2014の夏ってことは、もう3年前の話になるのか。今考えたら、両辺の次数が合わないから無理やん…。
3乗にするか？
376:１３２人目の素数さん
17/08/03 02:24:17.48 HTpcwzgX.net
>>365
> （a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均
ﾑﾑﾑ、ｽｺﾞｽｷﾞﾙ…。
> 循環的にたすと n S_(n+1) ≧（n+1)S_n - S_1,
これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。
これを差の形にして、nを 1,2,…,n-1として和を取り、右辺を部分分数分解して計算したら、
(S_n)/n ≧ s_1/n
となって、何も得られなかったでござる…。
377:１３２人目の素数さん
17/08/03 04:10:34.96 HTpcwzgX.net
>>367
すまん、「これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。」は勘違いですた。
378:１３２人目の素数さん
17/08/03 10:53:04.22 Dkz1wYp5.net
>>366
（x-y)/(x+y）+（y-z)/(y+z）+（z-x)/(z+x）+（x-y)(y-z)(z-x)/{(x+y)(y+z)(z+x)}
｜(x-y)(x+y)， -1， 1｜
= ｜ 1，(y-z)/(y+z)， -1｜
｜ -1， 1，(z-x)/(z+x)｜
= 0,
ab(a-b）+ bc(b-c）+ ca(c-a）+（a-b)(b-c)(c-a）=
｜a-b，c，-c ｜
= ｜-a，b-c，a ｜
｜ b，-b，c-a｜
= 0,
でござるか…？
379:１３２人目の素数さん
17/08/03 12:33:10.33 Tp76V4JM.net
(1) 任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3
(2) 実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で上から、下からいぜれも抑えられないことを示せ。
380:１３２人目の素数さん
17/08/03 15:54:13.04 HTpcwzgX.net
コレクションの中に、以下を発見。年度不明の学習院大ってmemoがあるが…。
三角形の３辺の長さ a, b, c に対して、a^2b(a-b) +b^2c(b-c) + c^2a(c-a) ≧0.
381:１３２人目の素数さん
17/08/03 19:23:58.55 Dkz1wYp5.net
>>371
a=y+z，b=z+x，c=x+y とおく。（Ravi変換）
(左辺) = 2{xy^3 +yz^3 +zx^3 -xyz(x+y+z)}
= 2xy(y-z)^2 + 2yz(z-x)^2 + 2zx(x-y)^2
≧ 0.
IMO-1983
佐藤［9］演習問題2.24
[第6章.793(71)，828，833]
382:１３２人目の素数さん
17/08/03 19:38:29.84 Dkz1wYp5.net
>>365 の続き
* (a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
それで（1）が明らかなワケではない。
相加-相乗平均
n(3n+1）a^(n+1)/(b^n）+（n+1）b^(n+1)/(c^n）+ n c^(n+1)/(a^n）≧（3nn+3n+1）a^n/b^(n^1),
を巡回的にたす。
383:１３２人目の素数さん
17/08/03 20:03:27.80 HTpcwzgX.net
>>373
> * (a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
> それで（1）が明らかなワケではない。
巡回的に加えて、(n-1)*S_(n+1) + S_1 ≧ n*S_n
この左辺に、証明済みの S_(n+1) ≧ S_1 を使って終わりじゃないの？
384:１３２人目の素数さん
17/08/04 10:49:48.11 1Od1zBAC.net
>>370
勘違いとかあったから訂正
(1) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3
(2) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| <= k (a+b+c)^3
(3) a+b+c >0 上の実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で下から抑えられないことを示せ。
385:１３２人目の素数さん
17/08/04 14:00:43.32 EUBWZejf.net
>>2
> [3] 不等式へ�
386:ﾌ招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年 数年ぶりに読み返してみた。傑作だな。神書だわ！
387:１３２人目の素数さん
17/08/04 19:07:55.26 ajzxje+k.net
>>359
そのまま相加-相乗平均で
(n+1)^2 a^(n+1)/(b^n）+（n+1)n b^(n+1)/(c^n）+ nn c^(n+1)/(a^n）≧（3nn+3n+1)a,
巡回的にたして
S_(n+1）≧ S_1,
>>374 >>376
そうですね。
388:１３２人目の素数さん
17/08/04 22:15:15.32 ajzxje+k.net
>>338
｜sin((A-B)/2)｜cos(A/2)cos(B/2）=｜sin(A-B）+ sin(A）- sin(B)｜/4
=｜sin(A-B)｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4
= sin｜A-B｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4，etc.
｜sin(x)｜+｜sin(y)｜≧｜sin(x)cos(y）+ cos(x)sin(y)｜=｜sin(x+y)|,
あとは△不等式で。
389:１３２人目の素数さん
17/08/05 09:03:16.60 Ulw6Zmyj.net
>>375
(1) k=8/27 なら余裕だけど、よく分からん。
390:１３２人目の素数さん
17/08/05 09:07:12.25 Ulw6Zmyj.net
>>378
三角不等式だけであっさり片付くとは、恐るべし…。
>>311
この第８章で >>261 の証明方法は衝撃的だった。
391:１３２人目の素数さん
17/08/05 09:23:14.77 Ulw6Zmyj.net
>>375
(1) a≧b≧cとする。
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)|
＝ |(a-b)(b-c)(c-a)|
≦ {(|a-b|+|b-c|+|c-a)|)/3}^3
＝ (8/27)*(a-c)^3
(a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0
392:１３２人目の素数さん
17/08/05 10:01:17.84 v2fSy4wb.net
>>381
最後三角不等式使ってるようだけど、正しくは |a-b|+|b-c| >= |a-c| です
不等号が逆
k=8/27のとき 例えば (a,b,c) = (1,-3,1) で成り立たない
393:１３２人目の素数さん
17/08/05 10:03:10.14 v2fSy4wb.net
ていいつつ自分でも間違えてた
(a,b,c)=(3,-3,1)
394:１３２人目の素数さん
17/08/05 10:06:55.20 Ulw6Zmyj.net
>>382
最後は三角不等式じゃなくて、等式でござるなり。 a≧b≧cの仮定を用いて、
|a-b|+|b-c|+|c-a| = (a-b) + (b-c) + (a-c) = 2(a-c)
395:１３２人目の素数さん
17/08/05 10:15:05.87 Ulw6Zmyj.net
>>381
a,b,cは実数ということを忘れていたので、以下は0より大きくならんでござるな。
> (a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0
396:１３２人目の素数さん
17/08/05 11:17:13.28 v2fSy4wb.net
>>384
そうか
かくいう自分も回答にミス発見してそもそも(a+b+c)^3で上からも下からも抑えられないことがわかってでござる
397:１３２人目の素数さん
17/08/05 14:47:07.90 ACnIlB8L.net
>>381
｜(a-b)(b-c)(c-a)｜≦（1/4)|a-c|^3 >>261
ですが、a+b+c=0 の場合もアリなので…
398:１３２人目の素数さん
17/08/05 19:20:38.72 Ulw6Zmyj.net
>>2 [10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年 より
(1) [10] P.28
a>b>c>0 に対して、(a-b)sqrt(x+c) + (b-c)sqrt(x+a) + (c-a)sqrt(x+b) < 0
a,b,cの大小関係いらないんじゃ？
(2) [2006 山形大(医)] [10] P.77
三角形の辺長 a,b,c に対して、(2+a^2)(2+b^2) > 2c^2
⇒ (2+a^2)(2+b^2) ≧ 2(a+b)^2 > 2c^2
a.b.c>0 に対して、(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2) ≧ 9(ab+bc+ca) だから、
これらを組合せたりして、なにか改造できないかな？
(3) [10] P.82
a,b,c>0に対して、(abc)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 2 ≧ 2(ab+bc+ca)
aの関数として微分して証明しているけど、他の証明ないかな。平方和とか…
(4) [10] P.115, 116
四面体ABCDに対して、
(i) ∠AOB + ∠BOC > ∠COA
(ii) ∠AOB + ∠BOC + ∠COA < 2π
[1992 東大(後)] >>2 [10] P.116
空間内の相異なる４点A,B,C,Dに対して、
(iii) ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB ≦ 2π
(iii)の条件を四面体ABCDに限定したら、等号がなくなるだけかな？
(5) [10] P.120
四面体ABCDに対して、vec(OA), vec(OB), vec(OC), vec(OD) を a,b,c,dと略すとき、
|a| + |b| + |c| + |a+b+c| > |a+b| + |b+c| + |c+a|
これは Hlawka's ineequality かな？
(6) [2012 大阪教育大]、[10] P.125
x,y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3
どうやって、こういう変な条件を出したのか分からないから、類題を作りにくい。
(7) [2013 北海道大]、[10] P.126
a,b,c,x,y>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + c ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b)
⇒ a,b,c,x,y,z>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + cz^(a+b+c) ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b)(z^c)
weighted-AM-GMだけど、入試問題で出されると答案書くのはシンドイな。
399:１３２人目の素数さん
17/08/05 22:22:51.97 BdLSvd9B.net
別にこのスレの参加者ではないが
面白い問題を見つけたので
平面上にA(p,q),B(r,s),C(t,u)とD(v,w)があるとき
(Dが△ABCの内部および周上)
⇔ ∃k, ∀(x,y)>0, (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u)
出典：近大数コン2009-A4
400:１３２人目の素数さん
17/08/05 22:24:18.12 BdLSvd9B.net
うっかり上げてしまった
ガハハ
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411:１３２人目の素数さん
17/08/06 09:42:51.79 toVHuNxr.net
>>388-389
指数祭りかな？
自作問題でおじゃるが、簡単すぎた。
定数 a>0 に対して b = a^a とおくとき、a^a、a^b、b^a、b^b の大小を比較せよ。
(^⌒⌒^)
| i i i i i| 不等式、作るよ！
| i i i i i|
(；`・ω・)っ-O･ﾟ･⌒)
/ つ━ゝ,.ﾟ__.,ノ))
_l从从从从l_
|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|
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☆☆☆馬鹿板は数学徒の脳を腐らせる悪い板であり、そやし廃止してナシにすべき。☆☆☆
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413:１３２人目の素数さん
17/08/06 12:55:32.43 pqWLs7wT.net
(1)
√(x+a) = A、√(x+b）= B、√(x+c）= C とおくと
(左辺）=（AA-BB)C +（BB-CC)A +（CC-AA)B =（A-B)(B-C)(C-A),
ﾔﾊﾟｰﾘ 要る…
(2)
(2+aa)(2+bb)(2+cc）≧（2√2)(a+b)(c+c)(c+a）≧｛(16√2)/9}(a+b+c)(ab+bc+ca),
等号は a=b=c=√2.
(3)
a = A^(3/2)、b = B^(3/2)、c = C^(3/2）とおく。
（左辺）=（ABC)^3 + A^3 + B^3 + C^3 +1 +1
≧ A^3 + B^3 + C^3 + 3ABC
＝ AB(A+B）+ BC(B+C）+ CA(C+A）+ F_1(A,B,C) ← Schur(n=1)
≧ 2{(AB)^(3/2）+（BC)^(3/2）+（CA)^(3/2)}
＝ 2(ab+bc+ca),
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424:１３２人目の素数さん
17/08/07 14:18:42.38 8+FZkWXB.net
[不等式スレ 第７章 984] 出典 「平成24年 第1回 東大入試プレ(文科)」
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
> （-1000/√3, 1000/√3）に一票
エレガントな解法か、エロイ解法あるかな？
425:１３２人目の素数さん
17/08/07 22:48:29.46 EtB15xZg.net
>>414
普通にやっただけだからつまらないと思うけど
EV-theorem から a=b=c のときに最大・最小となるのは明らか。これを念頭に変形する
d=-(a+b+c) を第 2 式に代入して (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=100
よって |(a+b)(b+c)(c+a)|<=(100/3)^(3/2)
|a^3+b^3+c^3+d^3|
=|3(a+b)(b+c)(c+a)|
<=1000/sqrt(3)
一方 d=a とすると c=-(2a+b), (a+b)^2+2a^2=50 (よって-5<=a<=5) から
与式 = -6*a*(b+a)^2 = -6a(50-2a^2)
これは [-1000/sqrt(3), 1000/sqrt(3)] の任意の値を取りうる
426:１３２人目の素数さん
17/08/08 06:26:42.69 0ekMhM3z.net
>>414-415
「東大入試プレ」で検索したが出てこない
↓
そもそも東大入試プレは何か検索すると、代ゼミの模試らしい
↓
「東大入試プレ 代ゼミ」で検索すると、かなり近づいてきた気がする
URLﾘﾝｸ(www.yozemi.ac.jp)
↓
左上のweb構成を見て、さらに検索し、目的の物を発見
URLﾘﾝｸ(www.yozemi.ac.jp)
その模範解答では、p+q=x、pq=y とおいて、x, y の関数として考えているらしい。
出典情報は大事だね。 まさか見つかるとは思っても見なかった。
427:１３２人目の素数さん
17/08/09 08:03:24.35 A2I5YGTu.net
いつもと違う出題形式。 いろんな解法を考えていて、おかしくなったでござる。
『実数 a, b>0 が ab ≧ a+b+1 をみたすとき、ab の最小値を求めよ。』
について、以下の解法(a)、(b)、(c)を考える。
(a)、(b)のどこがおかしいのか？
(a)
ab ≧ a+b+1 ≧ 3*(a*b*1)^(1/3)、等号はa=b=1 かつab=a+b+1
∴ (ab)^3 ≧ 27ab
ab>0で割って、(ab)^2 ≧ 27
ab>0だから、ab ≧ 3√3
等号成立条件をみたすa, bがないから、ab > 3√3
(b)
ab ≧ a+b+1 ≧ 2√(ab) + 1、等号はa=b かつab=a+b+1
∴ab-1 ≧ 2√(ab)
∴(ab-1)^2 ≧ 4ab
∴(ab)^2 - 6ab - 1 ≧ 0
ab>0だから、0 < ab ≦3-2√2 または 3+2√2 ≦ab
(c)
a+b ≧ 2√(ab) ≧ 2√(a+b+1)、等号はa=b かつ ab=a+b+1
∴ (a+b)^2 ≧4(a+b+1)
∴ (a+b)^2 - 4(a+b) - 4 ≧0
∴ a+b>0 だから、a+b ≧ 2+2√2
∴ ab ≧ a+b+1 ≧ 3+2√2
abの最小値は、3+2√2 (a=b=1+√2)
428:１３２人目の素数さん
17/08/09 09:43:16.84 DWUU74oj.net
>>417
(a)
間違ってない
ただ等号が成立しない雑な不等式を用いてるから最後の結論もいい加減になっただけ
ab>3sqrt3 を満たすとは言ってるけどそのすべての範囲を取りうるとは言っていない
(b)
条件 ab>=1 を加えればいい
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17/08/09 10:29:08.78 WvFggA1P.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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430:１３２人目の素数さん
17/08/09 13:30:53.39 A2I5YGTu.net
>>418
ありがとう。
脊髄反射でAM-GMを使って (a) のやり方でやって、アレレとなった。
結局、真面目に領域図示で片付けたんだが…。
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17/08/09 13:48:05.47 WvFggA1P.net
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441:１３２人目の素数さん
17/08/09 14:15:40.77 A2I5YGTu.net
荒れまくリング… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
442:１３２人目の素数さん
17/08/09 14:30:22.92 vWdGLnQX.net
>>388
（3）平方和で表わした。
(左辺）-（右辺) =｛(abc)^2 -3GG +2｝+｛3(a+b+c -3G)GG + F_1(a,b,c)}/(a+b+c),
ここで、G =（abc)^
443:(1/3) (abc)^2 -3GG +2 = G^6 -3GG +2 = (GG+2)(GG-1)^2, (a+b+c）-3G =（a'+b'+c'){(a'-b')^2+(b'-c')^2+(c'-a')^2}/2, a'=a^(1/3), b'=b^(1/3), c'=c^(1/3), F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)} (4) (i) OB方向をz軸とし、 OAの天頂角を ∠AOB=α OCの天頂角を ∠BOC=γ とする。 cosβ = cos(∠COA) =（OC・OA）= cosα cosγ + sinα sinγ cosφ （φは方位角の差、0<φ<π） ∴ cos(α+γ）< cosβ < cos(α-γ), ∴ α+γ > β > |α-γ|
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17/08/09 14:39:57.19 WvFggA1P.net
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17/08/09 14:40:12.01 WvFggA1P.net
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454:１３２人目の素数さん
17/08/09 14:51:36.23 vWdGLnQX.net
>>417
(d)
a,b>0 ゆえ
(√ab -1)^2 - 2 = ab -2√(ab） -1
= ab -（a+b+1） +（√a-√b)^2
≧ 0,
∴ √ab ≧ 1+√2,
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17/08/09 15:28:26.39 WvFggA1P.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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456:１３２人目の素数さん
17/08/09 15:58:47.69 QFWbMnD6.net
(3)
a,b,cは任意の実数でよい
L-R=(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)+(ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2
よって絶対値が 1 以下のものが奇数個あるときのみ示せば十分
それを c とすると
(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)+(ab-1)^2 >= -(a^2-1)(b^2-1)+(ab-1)^2 = (a-b)^2 >= 0
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17/08/09 15:59:21.88 WvFggA1P.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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458:１３２人目の素数さん
17/08/09 16:02:22.92 nXKHrols.net
>>388
>>432
の(3)ね
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17/08/09 16:53:02.33 WvFggA1P.net
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460:１３２人目の素数さん
17/08/09 17:01:42.00 A2I5YGTu.net
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(1) [memoには 2004 JMO とあるが、全然違っていた…]
c/(1+a) + b/(1+b) + a/(1+c) ≧ 3/2
(2) [memoには 1998 Ukraina とあるが、もう自信がない]
(1+ab)/(1+a) + (1+bc)/(1+b) + (1+ca)/(1+c) ≧ 3
(3) [疑問]
1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c) ≧？
bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧？
(4) [1998 IMO shortlist.A3]
a^3/{(1+b)(1+c)} + b^3/{(1+c)(1+a)} + c^3/{(1+a)(1+b)} ≧ 3/4
-----------------------------------------------------
TeXで編集する際に、問題順を入れ替えたりしているうちに、
問題番号と出典番号がずれて、もはや修正のしようがない。
確認したくても、リンク先が消えているし。
URLﾘﾝｸ(mks.mff.cuni.cz)
| |
| ∥ ﾉﾉﾉﾉ -＿_
|| ∥ (ﾟ∈ﾟ ) ─_＿___ ___
|∧ 从ﾉ (ミ_ (⌒＼ヽ _ __＿
（ (≡￣￣￣￣三＼⌒ノ ノ )
|(つWつ ￣￣＼ ⌒彡) ﾉ ＝＿
| ＼つ つ ＼,_＿_,ノノ
| | ) / ／ ≡＝
| | / ノ __________
| | /ノ ＿─ (´⌒(´
| | ﾐ/＝ (´⌒(´⌒;;
| ''''""'''"'''"""''"""'''''"'"''''""''"''''"""''"'''""''"''"'''"''（）
| ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
461:１３２人目の素数さん
17/08/09 17:34:49.15 vWdGLnQX.net
>>388
(5) Hlawka の不等式 にござりまする。
（左辺）*（左辺 - 右辺）= Sq + Trig,
Sq = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |a+b+c|^2 - |a+b|^2 - |b+c|^2 - |c+a|^2,
Trig = (|b|+|c|-|b+c|) (|a|-|b+c|+|a+b+c|)
+ (|c|+|a|-|c+a|) (|b|-|c+a|+|a+b+c|)
+ (|a|+|b|-|a+b|) (|c|-|a+b|+|a+b+c|).
式の変形とはいえ、うまいものと感心するばかり。
Trig ≧0 は△不等式から出るが、Sq = 0 を出すには内積計算などが要る。（← Euclid性)
文献[3] 大関「不等式への招待」 p.33-34 例題8. >>2
462:１３２人目の素数さん
17/08/09 17:42:17.12 A2I5YGTu.net
>>450
ありがとう！
463:１３２人目の素数さん
17/08/09 17:49:46.39 A2I5YGTu.net
>>449 に付け足し。
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(4) [出典不明、元問題は"３乗和≧２乗和"を一般化した]
自然数nに対して、a^n + b^n + c^n ≧ a^(n-1) + b^(n-1) + c^(n-1)
(5) [出典不明]
b/a + c/b + a/b ≧ a+b+c ≧ √a + √b + √c
b/a + c/b + a/b ≧ 1/a + 1/b + 1/c ≧ √a + √b + √c
(6) [2016 東北大]
a^2 + b^2 + c^2 ≧ 1/a + 1/b + 1/c
(7) [疑問]
a^n + b^n + c^n ≧ b/a + c/b + a/b をみたす最小の n∈N はあるかな？
(8) [参考までに、これも出典のmemoがなくて困るが…]
a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 ≧ b/a + c/b + a/b
--------------------------------------------------------------
同じ条件の不等式を整理していると、この問題と あの問題は繋がるのでは？
などと気になりはじめると、整理どころではなくなる。そうして未整理の不等式が貯まっていく。
(5)の2つの不等式の中辺の大小は定まらない。（過去スレでやったような希ガス…）
abc=1 に注意して、(a+b+c)-(ab+bc+ca) = (a-1)(b-1)(c-1)
a, b, cと1の大小で、正にも、０にも、負にもなる。
464:１３２人目の素数さん
17/08/09 17:50:44.87 A2I5YGTu.net
>>452
(8)の訂正。右辺は２倍ですた。
a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 ≧ 2(b/a + c/b + a/b)
465:￥
17/08/09 18:14:30.50 WvFggA1P.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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466:１３２人目の素数さん
17/08/09 18:51:30.33 sOQtPSi2.net
>>449
(1), (2) a=y/x … とおくだけ
(3)
Σ1/(1+a) = 1 + (a+b+c+1)/(ab+bc+ca+a+b+c+1) -> 1 (c=1/(ab), a->inf, b->inf)
Σbc/(1+a) = Σ1/(a+a^2) >= Σ(-3/4log(a)+1/2) = 3/4
(4) 相加相乗で終わり
467:１３２人目の素数さん
17/08/09 19:19:25.80 vWdGLnQX.net
>>388 (2)
(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2
Asia-Pacific MO-2004改
文献 [9] 佐藤(訳)、問題3.85改
（左辺）=（abc)^2 + 2(ab)^2 +2(bc)^2 +2(ca)^2 +4(aa+bb+cc) +8
=（abc)^2 +2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) +2
=｛(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca)｝+2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2
≧ 3(a+b+c)^2,
※ (abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0
は >>388 (3）または練習問題1.90(i）を使う。
>>449 (4)
文献 [9] 佐藤(訳)、演習問題 1.120
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17/08/09 20:56:51.47 WvFggA1P.net
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478:１３２人目の素数さん
17/08/09 22:45:59.22 A2I5YGTu.net
不等式が少しだけ載っているというタレコミがあったので、事情徴収（立ち読み）してきた。
容疑者 ： 佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』、PP.18-30
(1) PP.18-24
三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
(2) PP.25-30
R ≧ 2r （球殻不等式）
(1)に対して、８通りの証明を与えていた。
(2)は d^2 = R^2 - 2Rr （茶ップル-オイラーの定理）を証明して片付けていた。
ここで d は外心と内心の距離。
∧,,∧
(`･ω･´) ８通りの証明だと？ 詳しく聞こうか？
（ ）
￣￣Φ口U￣￣＼
_ _. ＼
＿（ ） ← 佐久間＼
￣┏┳┓）
479:１３２人目の素数さん
17/08/09 22:47:06.98 A2I5YGTu.net
>>467
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
（証明１）
ヘロンの公式を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2
（証明２）
面積公式と余弦定理を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2
（証明３）
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおいて、AM-GM とヘロンの公式
480:。 （証明４） a^2 + b^2 + c^2 ≧ ab+bc+ca の右辺に正弦定理を用いてから、凸不等式。 （証明５） a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} を証明。 （証明６） a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 を証明。 （証明７） 証明６の不等式を三角関数で証明。 （証明８） 座標平面上に、頂点を A(a/2,0)、B(-a/2,0)、C(s,t)、t>0 とおいて計算。 --------------------------------------------------------------------- [1] そもそもヘロンの公式は、面積公式と余弦定理から三角関数を消去して得られるものだから、 証明１と証明２は全く同じものである。証明６と証明７も一緒。つまり６通りの証明ですな。 [2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？ [3] 他に証明は無いのかな。証明３と実質同じだが、Ravi変換くらいしか思いつかない。 ヘロンの公式を行列式で表すと、S = (√D)/4。ここでDは以下の行列式。 |0 1 1 1 | |1 0 a^2 b^2| |1 a^2 0 c^2| |1 b^2 c^2 0 |
481:１３２人目の素数さん
17/08/09 22:48:59.09 DWUU74oj.net
>>388
>>456
相当な量の改良問題があった
for reals
[1] (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
[2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a)
for nonnegarives
[3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2
[4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2
[5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3)
AOPS
[1], [2] : c6h588096p3481394
[3] : c6h4830p15309
[4], [5] : c6h581954p3438879
他にもいろいろ
482:１３２人目の素数さん
17/08/09 22:51:59.96 A2I5YGTu.net
>>469
ｷﾀ─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ～(ﾟ∀ﾟ)─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ～─ !! 素晴らしい！
483:１３２人目の素数さん
17/08/10 00:03:36.94 ZcMNVdrv.net
[出典不明]
実数 a,b,c,x,y,z が ax-2by+cz=0 かつ ac > b^2 > 0 をみたすとき、y^2 ≧ xz を示せ。
こういう掴みどころのない問題は、改造や類題を作りにくいので困る。 ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
484:１３２人目の素数さん
17/08/10 01:44:43.71 DPXWgKrx.net
>>471
xz≦0 のときは明らか。
xz>0 のとき
4{bbyy -（ax)(cz)｝≧（2by)^2 -（ax+cz)^2 = -(ac-2by+cz)(ac+2by+cz）= 0,
∴ yy ≧（ac/bb）xz ≧ xz,
485:１３２人目の素数さん
17/08/10 02:37:02.72 DPXWgKrx.net
>>467
(2)
△の3辺を切る円はその内接円より大きい、を認めよう。
△の各辺の中点を通る円を考える。
この円は半径R/2であるが、△の3辺を切る。
R/2 ≧ r
（清水多門氏による）
文献[3]、p.7-8 例題4 >>2
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496:１３２人目の素数さん
17/08/10 02:47:00.98 ZcMNVdrv.net
>>414
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
追加問題 ： 同じ条件の下で、aのとりうる値の範囲を求めよ。
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＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／＿＿＿＼
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|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ 改造せずにはいられない！
ヽ::::... .ワ.....ノ （閃いたが、簡単過ぎる…）
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
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498:１３２人目の素数さん
17/08/10 02:58:19.02 DPXWgKrx.net
>>449 (4)
チェビシェフにより
（左辺）≧ a/{(1+b)(1+c)｝+ b/{(1+c)(1+a)｝+ c/{(1+a)(1+b)｝
=｛a(1+a）+ b(1+b）+ c(1+c)}/{(1+a)(1+b)(1+c)}
≧(s+t)/(1+s+t+u),
≧ 3/4,
∵題意より u=abc=1 ゆえ s+t≧3{u^(1/3)+u^(2/3)｝= 6,
499:１３２人目の素数さん
17/08/10 03:13:12.22 ZcMNVdrv.net
>>414
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
>
> 追加問題 ： 同じ条件の下で、aのとりうる値の範囲を求めよ。
さらに追加 ： 同じ条件の下で、ab+bc+cd+da のとりうる値の範囲を求めよ。
／⌒＼ っ ／＼
/'⌒'ヽ ＼ っ／＼ |
（●．●） ）／ |: |
>冊/ .／ |: /
/⌒ ミﾐ ＼ 〆
/ ／ |::|λ|
|√7ミ |::| ﾄ、
|:／ V＿ハ
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и .i Ｎ
λﾍ、| i .ＮV
Ｖ＼Ｗ
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＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／＿＿＿＼
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ なんか降りてきた！
ヽ::::... .ワ.....ノ 今夜は冴えてるぜ！
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
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510:１３２人目の素数さん
17/08/10 12:38:29.31 60raC5j+.net
>>452
(7) n>=3
a^2+b^2+c^2 と b/a+c/b+a/c の大小は定まらない
(8) Schur + AMGM
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512:１３２人目の素数さん
17/08/10 13:59:34.75 DPXWgKrx.net
>>484
a=-(b+c+d）を代入して
aa = (-b-c-d)^2 ≦ 3(bb+cc+dd）= 3(100-aa）,
aa ≦ 75,
|a| ≦ 5√3,
>>487
(a+c)(b+d）= -(a+c)^2 = -(b+d)^2 ≧ -(aa+cc) -(bb+dd) = -100,
-100 ≦ (a+c)(b+d）≦ 0,
等号成立は（a,b,c,d）=（5,-5,5,-5）（5,5,-5,-5）など。
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523:１３２人目の素数さん
17/08/10 20:36:16.33 ZcMNVdrv.net
>>467-468
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
>
> [2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？
Weitzenbock's inequality と言うらしい。ヴァイツェンベックと発音するのかな？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
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525:１３２人目の素数さん
17/08/10 21:41:35.40 ZcMNVdrv.net
Crux
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
いつの間にかパスワード制になって読めなくなったでござる。
パスワード無しで読める最後の記事は v37n8 (2011年)。
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
Problems
3690、3691、3694、3699
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17/08/10 21:57:11.66 JHmEReZW.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥
527:１３２人目の素数さん
17/08/10 21:57:26.65 ZcMNVdrv.net
>>389
これでござるな。
URLﾘﾝｸ(www.math.kindai.ac.jp)
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17/08/10 23:48:50.83 JHmEReZW.net
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17/08/10 23:49:09.40 JHmEReZW.net
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17/08/10 23:49:27.64 JHmEReZW.net
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17/08/10 23:49:45.64 JHmEReZW.net
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17/08/10 23:50:03.51 JHmEReZW.net
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17/08/10 23:50:22.17 JHmEReZW.net
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17/08/10 23:50:41.02 JHmEReZW.net
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17/08/10 23:51:13.83 JHmEReZW.net
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17/08/10 23:51:31.07 JHmEReZW.net
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538:１３２人目の素数さん
17/08/11 00:32:25.04 UlqqGaeP.net
ネタギレだな
興奮する問題が無い
539:１３２人目の素数さん
17/08/11 00:46:30.31 VAqorbPb.net
(俺の経験人数)＞Σ(このスレの住人の経験人数)
を示せ
540:￥
17/08/11 00:58:40.57 ToUPXODc.net
♪♪♪もう良い子は寝る時間です。そやし馬鹿板は止めて、また明日にしましょう。♪♪♪
ケケケ￥
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17/08/11 06:12:48.74 ToUPXODc.net
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17/08/11 06:13:04.97 ToUPXODc.net
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17/08/11 06:13:36.78 ToUPXODc.net
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551:１３２人目の素数さん
17/08/11 12:57:10.89 OXujv9yn.net
>>467 (1）を改造...
三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、(1/3)(a+b+c)^2 ≧ (4√3)S.
(証明３)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
(1/3)(a+b+c)^2
=（1/3)(A+B+C)^2
≧ √{3(A+B+C)ABC
552:} （← AM-GM) =（4√3)S, 三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、ab+bc+ca ≧ (4√3)S. (証明６) b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。 ab+bc+ca = aa+bb+cc -{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2 ≧ aa+bb+cc -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2 = AB+BC+CA ≧ √{3(A+B+C)ABC} =（4√3)S,
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17/08/11 12:59:40.46 ToUPXODc.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥
554:１３２人目の素数さん
17/08/11 16:26:36.35 XzY0B0Bq.net
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(1) [AYIN 2012.09]
(a+b)/(ab+a+b) + (b+c)/(bc+b+c) + (c+a)/(ca+c+a) ≧ 2
(2) [1997 Romania]
(a^3+b^3)/(ab+a^2+b^2) + (b^3+c^3)/(bc+b^2+c^2) + (c^3+a^3)/(ca+c^2+a^2) ≧ 2
(3) [1996 IMO shortlist.A1]
ab/(ab+a^5+b^5) + bc/(bc+b^5+c^5) + ca/(ca+c^5+a^5) ≦ 1
----------------------------------------------------
[1] (3)だけ向きが逆。もしかして (1)(2)(3) すべて最大値と最小値があるかな？
[2] 分母が ab+a^n+b^n のタイプで、他に類題ないかな？
／⌒＼ っ ／＼
/'⌒'ヽ ＼ っ／＼ |
（●．●） ）／ |: |
>冊/ .／ |: /
/⌒ ミﾐ ＼ 〆
/ ／ |::|λ| |
|√7ミ |::| ﾄ、 |
|:／ V＿ハ |
／| i | ∧|∧
и .i Ｎ / ヽ） きりがないでござる…
λﾍ、| i .ＮV | | |
Ｖ＼Ｗ （ 、 ∪
|｜ |
∪∪
555:１３２人目の素数さん
17/08/11 16:46:26.28 XzY0B0Bq.net
>>467、>>539
さらに改造。というか、コレクションに纏め済みでござった。
三角形の辺長 a, b, c、面積 S、外接円の半径 R、内接円の半径 r に対して、
9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ (4√3)S ≧ 36r.
⊿ ○ ∇ 、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､ ';冫 ☆
┏ ━ゝヽ''／ ≧ ＼━〆Ａ!ﾟ━┓。
╋┓"〓┃ ＜ ゝ＼',冫｡' |:::: ＼ .／ |゛△│´'´,.ゝ'┃. ●┃ ┃┃
┃┃_.━┛ヤ━━━|::::: (● (● |━━━━━ ━┛ ・ ・
∇ ┠─Σ- ヽ::::... .ワ.....ノ 冫 そ',´; ┨'ﾟ,。
.。冫▽ ＜ ⊂ ./⊃ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ （⌒ゞ ,l, ､'' │ て く
┠─ム┼ ゝ,,ﾉ ﾉゝ. ､,, .┼ ｧ Ζ┨ ミｏ''｀
。､ﾟ`。､ i／ レ' o。了 ､'' × 个ｏ
○ ┃ `､,~´＋√ ▽ ',!ヽ.◇ ｏ┃
┗〆━┷ Ｚ,.' /┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
ヾ ⊿ '、´ ∇
556:１３２人目の素数さん
17/08/11 17:08:13.18 XzY0B0Bq.net
>>467 >>539 >>542
さらに行けそうだぜ！ ヒャッハー！
URLﾘﾝｸ(forumgeom.fau.edu)
9abc/(a+b+c) ≧ (4√3)S が成り立つらしい （証明は未だ読んでいない）
AM-GMから直ちに >>542 とドッキングさせられるぜ！ ヒャッハー！
9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ 9abc/(a+b+c)≧ (4√3)S ≧ 36r.
＿ （）)二) )) 、,r:ﾆヽ いいぞ ベイべー！
@ニ＝＝＝)二二ニニ)('A` )) 不等式を収集し証明する奴は 不等式ヲタだ！！
^￣" ﾌ＼''|ﾉ=ﾉ-( ) 不等式を改造し拡張する奴は よく訓練された不等式ヲタだ！！
_/ ＼_ L L ホント不等式はﾊｧﾊｧするぜ！ ﾌｩﾊﾊﾊｰﾊｧｰ
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17/08/11 17:28:47.81 ToUPXODc.net
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567:１３２人目の素数さん
17/08/11 18:20:48.72 OXujv9yn.net
>>467 (1）>>539 を再改造…
>>541
(2)
(aa-ab+bb)/(aa+ab+bb）≧ 1/3，など。
(左辺）≧ 2(a+b+c)/3 ≧ 2(abc)^(2/3）= 2,
(3)
ab +a^5 +b^5 = aabbc +a^5 +b^5 ≧ aabb(a+b+c）= ab(a+b+c)/c,
IMO-1996 予選
文献[9］佐藤、演習問題1.15
>>543
abc =（A+B)(B+C)(C+A)/8 ≧（A+B+C)(AB+BC+CA)/9,
∴ ab+bc+ca ≧ 9abc/(a+b+c）≧ AB+BC+CA
>>539 により成立。
きりがないでござるよ…
568:１３２人目の素数さん
17/08/11 18:50:48.93 XzY0B0Bq.net
>>554
むむむ、再改造とは 恐るべし不等式ヲタ…
List of triangle inequalities
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
彳㍍” ,イ云” ,.ｯ | ｨ1 |ｌ | 、 ,. '´
ﾚ/ ﾁ㌢ ｒｆ少 ［> |||| || | 迅 /
ｒｆ ｆﾘｲ ｛孖 _レ-ー､|＿_ト-、 什 （ む
ｌト ｛iヌ ｛iヌ _/´,.´ ,. .., 、 ﾌ _ヽ、 ﾉ糸 _,） む
斗 弋ｚ 弋z,. 〃_｀ ／',ニ=ｭ> ｌｘﾆ∠ヽ|_ ｧｚｿ （ む
も、 ｀ﾏﾁｔｚ, ｛ G ﾚ‐、ゝー"´=ゝ一'‐, L `┐
ミﾏ辷 ` ＝ｚ.,,__ ! ,ｒ〉 ,二＿,.｛,＿,｝二,,,..､ .｝ ゝ
` ｔ述ｼｔｒ、 ｛`-”し',. '"´`ゝｖ, ｨ/´゛ヽﾚ' ｀つ
｀ー≧= ‐ .,,, ﾄ, || ゝ ひ ﾌ / てｿｊ |:| 〈 ⊂´￣￣
` 爻ミｚｚ,, | | . || , '´￣ |`￣''` i,| ,）ｒ'"
｀弋≧=ー' | || J ,._| .// ／"
,/､. || ､＿,,,.--､_, //
,.ｒ' !、 ￣ ゝ....,,,,＿＿＿_,,,/,1
,,.. ‐'ﾌ´ >`､「 ０ C.〕、
,. ＜ ``､､ ／' ,.ﾍ＞＝＝=====＝< ＼‐- .._
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580:１３２人目の素数さん
17/08/12 00:51:27.72 WPvdvXKS.net
なんかこのスレきもいな
ただのキモオタじゃん
581:１３２人目の素数さん
17/08/12 00:51:30.41 rvCA1oPA.net
>>389 >>515
△ABC における重心座標を考える。
↑D = L･↑A + m･↑B + n･↑C， L+m+n=1,
（v，w）=（(Lp+mr+nt)/(L+m+n)，(Lq+ms+nu)/(L+m+n))
（Dが△ABCの内部または周上） ⇔ 0 ≦ L,m,n
∴ AM-GM により
x^v･y^w ≦｛L(x^p)(y^q) + m(x^r)(y^s) + n(x^t)(y^u)}/(L+m+n)
≦ (x^p)(y^q) + (x^r)(y^s) + (x^t)(y^u),
（Dが△ABCの外部） ⇔ min{L,m,n｝<0
さて、どうする？
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592:１３２人目の素数さん
17/08/12 03:30:21.66 hiSFFC3j.net
不等式ではなくって、等式なんだけど、
>>467の本 ： 佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』
を立ち読みしてきたときに見つけた問題を。
Σ[n=1 to ∞] (15n^2 - 30πn^4 + 8π^2 n^6)*e^(-πn^2) = ？
あと、名前の付いた等式を一つ。（只
593:の式変形で出るので面白くはないが…） ヒルツェブルフの等式 ： x/ tanh x = 2x/(e^(2x)-1) + x
594:１３２人目の素数さん
17/08/12 11:28:19.55 rvCA1oPA.net
>>388 (4)
(i) >>432
(ii) OA=OB=OC とし、Oから平面ABCに垂線OHを下し、z軸とする。
A,B,C の天頂角をθとおくと、OH =｜OA|･cosθ，etc.
２平面 OAH と OBH のなす角（二面角）を ∠AHB = φとおく。
cos(∠AOB）=（OA・OB)/|OA||OB｜=（cosθ)^2 +（sinθ)^2 cosφ ≧ cosφ,
∴ ∠AOB ≦ φ = ∠AHB,
循環的にたす。
595:１３２人目の素数さん
17/08/12 12:31:19.72 rvCA1oPA.net
>>579
0
L(x) = 1/tanh(x) - 1/x をランジュヴァン関数というらしい。
|x| << 1 で L(x)≒x/3
596:１３２人目の素数さん
17/08/13 16:43:33.64 /or+kDcE.net
>>541 (1)
(a+b)/(ab+a+b) = (a+b)c/{1+(a+b)c｝= z/(1+z),
通分して
（1+x)(1+y)z +（1+x)y(1+z）+ x(1+y)(1+z）- 2(1+x)(1+y)(1+z)
= -2 -（x+y+z） +xyz,
= -2 -2(ab+bc+ca）+ abc(a+b)(b+c)(c+a)
=｛1 - (abc)^2｝+（ab+bc+ca-3）+（ab+bc+ca)｛abc(a+b+c) -3｝
≧ 0,
597:１３２人目の素数さん
17/08/14 03:30:28.48 DhVyRLdl.net
>>449 >>455
(2)
（1+ab)/(1+a）= (1+c)/{c(1+a)}，etc.
AM-GM する。
>>455 とほとんど同じだ....
(3)
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
≧ 1/(1+a+ab）+ 1/(1+b+bc）+ 1/(1+c+ca）
= x/(x+y+z）+ y/(y+z+x）+ z/(z+x+y)
= 1,
bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2,
通分して
bc(1+b)(1+c）+ ca(1+c)(1+a）+ ab(1+a)(1+b）-（3/2)(1+a)(1+b)(1+c)
= t +（st-3u）+（tt-2su）-（3/2)(1+s+t+u)
=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2 + 2(st-9u)/3 +（tt-3su)
=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2
≧0, （← s≧3、t≧3、u=1）
598:１３２人目の素数さん
17/08/14 14:19:59.12 2wTFMFcz.net
>>543-544
> 9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ 9abc/(a+b+c)≧ (4√3)S ≧ 36r.
書き直すと
(√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)} ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r.
>>544より、√|3abc/(a+b+c)} ≧ √|(AB+BC+CA)/3}.
ところで、(ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) ≧ 0 より、√|3abc/(a+b+c)} ≧ HM.
そこで気になるのは、2√(S/√3)、HM、√|(AB+BC+CA)/3} の大小だけど、定まるかな？
／⌒ヽ
／⌒ ・ ＞
E￣Ｕ) ε | きりがないでござる
E￣∩) ・ ＞
゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛
599:１３２人目の素数さん
17/08/14 16:40:29.61 2wTFMFcz.net
数学文化という雑誌に不等式の特集があるというタレ込みがあったので買ってきた。未だ目を通していない。
600:１３２人目の素数さん
17/08/14 21:52:11.78 DhVyRLdl.net
>>449
(3)下
チェビシェフで
(左辺）= 1/{a(1+a)｝+ 1/{b(1+b)｝+ 1/{c(1+c)｝
≧ 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝
よって、次の問題に帰着する。
〔問題3.93〕
1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
バルカンMO-2006
文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
左辺に 1+abc を掛ける。
(1+abc)/{a(1+b)｝= (1+a)/{a(1+b)｝-1 + b(1+c)/(1+b)，etc.
巡回的に AM-GM すると
（1+abc)(左辺）≧ 3(1/G -1 +G)
= 3(1-G+GG)/G
= 3(1+GGG)/{G(1+G)}．
∴ (左辺）≧ 3/{G(1+G)},
ここに G=(abc)^(1/3)
601:１３２人目の素数さん
17/08/15 00:00:45.18 CDzXTDus.net
>>584
（AB+BC+CA)/3 ≧ √{(A+B+C)ABC/3} =（4/√3)S, >>554
（HM)^2 ≧（4/√3)S
にて御座候。
HM と √{(AB+BC+CA)/3｝の大小は不定と思われ...
き、きりがねぇ。。。
602:１３２人目の素数さん
17/08/15 11:55:24.24 MRdTx6vq.net
>>587
> （HM)^2 ≧（4/√3)S
これがうまく証明できませぬ
603:…
604:１３２人目の素数さん
17/08/15 11:56:07.50 MRdTx6vq.net
>>584-585より、
(√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、
{√2(ab+bc+ca)}/3 > (a+b+c)/(3√2) > (a^2+b^2+c^2)/3
合体させて、
{√2(ab+bc+ca)}/3 > (a+b+c)/(3√2) > (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
さて、(√3)R はどこに入るのだろう？
('A`) 出口が見えないでござる
ﾉ ﾉ)_
605:１３２人目の素数さん
17/08/15 12:37:59.27 MRdTx6vq.net
>>589
> >>584-585より、
> (√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
>
> ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、
GMの左側から合体させたら、
√{(ab+bc+ca)/3} ＞ (a+b+c)/(2√3) ＞ √|(a^2+b^2+c^2)/6} ≧ GM/(√2)
√{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
この2つは合体は無理そうかな。上側はGMより小さくなってるようだし…
606:１３２人目の素数さん
17/08/15 13:03:49.64 CDzXTDus.net
>>589
{√2(ab+bc+ca)/3｝>（a+b+c)/√6 > √{(aa+bb+cc)/3｝≧ AM
>>590
正△でも等号不成立なので、無理そうでござる。
607:１３２人目の素数さん
17/08/16 07:17:47.30 QnvYtidY.net
>>588
（HM)^2 ≧（4/√3)S
⇔ (3√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (3√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2
この証明は難しいのでは？
a, b, c で表しても、sin で表してもややこしい。
レムスで削り落としても、まだ複雑な形でござる…
Lehmu's inequality ： abc ≧ (s-a)(s-b)(s-c)
, / ,
, / / , / ,
/ '＾ﾒ-' ─/- ､ / ,
∠ｒ _,゛_ / , ヽ/__/ ﾓｳ ﾀﾞﾒﾎﾟ…
''ヽ'_･.ノ｀ ' ｒ/、 ﾍ /‐’
./ " j 厂ﾞj | ﾚ_｀> j__ /
' .:‘::'ニ‘.:‐'´─ﾞ.:´一’
608:１３２人目の素数さん
17/08/16 08:03:22.63 QnvYtidY.net
>>592
左辺の係数間違ごうとる
（HM)^2 ≧（4/√3)S
⇔ (9√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (9√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2
609:１３２人目の素数さん
17/08/16 13:54:15.29 QnvYtidY.net
>>592
（HM)^2 ≧（4/√3)S ⇔ (x+y+z)/3 ≧ (xyz)^(1/3)
ラビで一発だった。
610:１３２人目の素数さん
17/08/16 14:18:02.07 QnvYtidY.net
>>594
いや別の不等式の話でした。
ごめん、あれこれ弄っていて混乱していました。
611:１３２人目の素数さん
17/08/18 01:02:25.04 90S02hzN.net
>>588-595
HM^2 と (4/√3)S の大小
1辺だけが短い楔状△の場合は不成立のようでござる。
手間取らせて、すまぬ。
612:１３２人目の素数さん
17/08/18 11:06:43.92 WHydeLcz.net
>>596
さんくす。(a,b,c)=(1/3,1,1)で、HMの方が小さくなりますね。
[疑問] HM ≧ （2/√3)r は成り立つか？
b=c=1、0<a<2でWolfram先生にグラフを書かせたら、０以上っぽいので、基本対称式で表すと、
(HM^2 - 12r)/3 の分子
= 3su^2+s^3t^2-4st^3+8t^2u
= (s^2-3t)st^2 - (t^2-3su)u
= 正 - 正
で、この方法では失敗でござった。
613:１３２人目の素数さん
17/08/18 12:33:10.09 WHydeLcz.net
>>597
ちがった。最後は
(s^3t^2-4st^3+9t^2u) - (t^2-3su)u
614:１３２人目の素数さん
17/08/18 17:50:32.42 WHydeLcz.net
>>449、>>583、>>586
> a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2
>>586
> 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
>
> バルカンMO-2006、文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
似たような不等式を見つけた。
[IMO 1995 第2問] URLﾘﾝｸ(www.cs.cornell.edu)
1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2.
615:１３２人目の素数さん
17/08/18 18:07:26.70 WHydeLcz.net
>>449、>>455、>>583
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、3 > 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) > 1
上限を厳しく評価するには、どういう考え方でやればいいんでせうか？
616:１３２人目の素数さん
17/08/18 22:17:20.07 /k+bKW+I.net
>>600
f(x)=1/(1+e^x)
x+y+z=0 なる実数 x, y, z に対して f(x)+f(y)+f(z) の上限を調べればよい
f は x<=0 で狭義凸だから LCF から y=x, z=-2x のときの上限を調べれよばよい
sup 2f(x)+f(-2x) = 2
よって上限は 2