17/05/08 19:49:31.33 mdulbz+D.net
>>124
Σ[n=2→∞]{(-1)^n}/log(n) の収束は、
>>106 の言うライプニッツ判定法で収束。
ただし、単純収束である。
絶対収束がどうかと言えば、与式の絶対級数
Σ[n=2→∞]1/log(n) が発散するので、
Σ[n=2→∞]{(-1)^n}/log(n) は条件収束となる。
絶対級数の発散は、前の例と同じ
x>0 で log(1+x)<x から、
Σ[n=2→∞]1/log(n) = Σ[m=1→∞]1/log(m+1)
≧ Σ[m=1→∞]1/m = +∞ のため、発散。
Σ[m=1→∞]1/m は、大変有名な発散級数で、
ライプニッツ判定法が単純収束であることの
代表例としても有名だ。
Σ[m=1→∞]{(-1)^m}/m = log(2),
Σ[m=1→∞]1/m = +∞.
Σ[m=1→∞]1/m = +∞ を示すには、
x>m で 1/m > 1/x であることから
両辺を m≦x≦m+1 で積分して 1/m > log(m+1)-log(m).
これを m=1,2,3,→∞ で総和して
Σ[m=1→∞]1/m ≧ lim[m→∞]log(m+1) = +∞.
Σ[n=1→∞]1/n^s の収束条件が s>1 であることも
押さえておくといい。興味があれば、
「ディリクレ級数 ゼータ関数」を google.