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>>137 共役変換
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綿村 哲 (わたむら さとし) 東北大学 大学院 理学研究科 量子基礎物理学講座
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対称性と物理 他 （場の量子論 解析力学） 講義資料
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＜群の構造＞
(抜粋)
2.2 剰余類と共役類
2.2.2 共役元と共役類 conjugacy class
共役変換
共役変換は群同型写像を与える．
共役類 群 G のすべての元による a の共役変換によって得られる集合，つまり共役な元
の集合を a を含む共役類と呼ぶ．
共役類の性質
1. 単位元は，必ず単独で類である．
2. 可換群は，それぞれの元が単独で共役類になる．
3. 群の元を，それぞれの類に分解することができる．これを類別と呼ぶ．
4. 類別は共役という同値関係6
∃g : a = gbg?1 ならば a ? b (2.23)
を入れ分類したことに相当する．このようにして，群の構造を大雑把に理解するこ
とができる．
5. 共役類に類別してできた類の集合を G/ ? と書く．
2.4.4 対称群の共役類
対称群の共役の性質と共役類
1. 巡回の長さは共役変換で変わらない．
2. 対称群の共役類は巡回で分解したときの長さの組み合わせで指定される．つまり Sn
の共役類は n の分割 (partition) で決まる．
ただし，n の分割とは，正整数 λi の組 [λ1, ・ ・ ・ , λk] で 琶 λi = n となるもの．
3. 分割の中の数字は上記のように conjugation で変換できるので，同じ分割の置換は同
じ共役類に属することが分かる．またこのことから，置換群 Sn の共役類の数 p(n)
は，n の分割数に等しい．