20/01/05 14:46:22.95 yN2zLhl8.net
8+2 ：１３２人目の素数さん [] ：2020/01/05(日) 10:51:57.62 ID:7Zzd7ZNe (1/2)
新井仁之著『これからの微分積分』を読んでいます。
悪質な誤りを見つけました。log(1 + x) のべき級数展開のところです。
log(1 + x) = Σ_{n = 0}^{N} [(-1)^n / (n + 1)] * x^(n + 1) + ∫_{0}^{x} (-t)^(N + 1) / (1 + t) dt
↓の正しくない不等式が書いてあります。悪質だと書いたのは、 「≦ …」の部分の最終的な不等式の評価は正しいからです。
-1 < x < 0 のとき、
|∫_{0}^{x} (-t)^(N + 1) / (1 + t) dt| ≦ ∫_{0}^{|x|} |t|^(N + 1) / |1 + t| dt ≦ …
正しくは以下↓のように評価すべきです。
|∫_{0}^{x} (-t)^(N + 1) / (1 + t) dt| = ∫_{x}^{0} (-t)^(N + 1) / (1 + t) dt
≦ ∫_{x}^{0} (-t)^(N + 1) / (1 + x) dt = [1 / (N + 2)] * (-x)^(N + 2) / (1+x)
↓例えば、 N = 1, x = -0.5 のときに正しくありません。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
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