17/04/30 10:12:33.08 Evc2vRuG.net
926 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/04/30(日) 09:17:35.37 ID:kTs1iiSN
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↑は線形空間 V と V^* についてです。
「consider what happens if v_1 is replaced by 2*v_1」と書かれていますが、これは
以下のことが言いたいということでＯＫですか？
V を R 上の n 次元ベクトル空間
{v_1, v_2, …, v_n} を V の基底
{w_1, w_2, …, w_n} を w_1 = 2*v_1, w_i = v_i(i≠1) であるような V の基底
とする。
φ_v を v_i ∈ V を (v^*)_i ∈ V^* へ写すような V から V^* への線形写像とする。
φ_w を w_i ∈ V を (w^*)_i ∈ V^* へ写すような V から V^* への線形写像とする。
x = x_1*v_1 + x_2*v_2 + … + x_n*v_n とすると、
x = (1/2)*x_1*w_1 + x_2*w_2 + … + x_n*w_n である。
φ_v(x) = φ_v(x_1*v_1 + x_2*v_2 + … + x_n*v_n) = x_1*(v^*)_1 + x_2*(v^*)_2 + … + x_n*(v^*)_n
φ_w(x) = φ_w((1/2)*x_1*w_1 + x_2*w_2 + … + x_n*w_n) = (1/2)*x_1*(w^*)_1 + x_2*(w^*)_2 + … + x_n*(w^*)_n
y = y_1*v_1 + y_2*v_2 + … + y_n*v_n とすると、
y = (1/2)*y_1*w_1 + y_2*w_2 + … + y_n*w_n である。
φ_v(x)(y)
=
(x_1*(v^*)_1 + x_2*(v^*)_2 + … + x_n*(v^*)_n)(y_1*v_1 + y_2*v_2 + … + y_n*v_n)
=
x_1*y_1 + x_2*y_2 + … + x_n*y_n
φ_w(x)(y)
=
((1/2)*x_1*(w^*)_1 + x_2*(w^*)_2 + … + x_n*(w^*)_n)((1/2)*y_1*w_1 + y_2*w_2 + … + y_n*w_n)
=
(1/4)*x_1*y_1 + x_2*y_2 + … + x_n*y_n
以上より、
x_1 ≠ 0, y_1 ≠ 0 とし、
x = x_1*v_1 + x_2*v_2 + … + x_n*v_n
y = y_1*v_1 + y_2*v_2 + … + y_n*v_n
とすると、
φ_v(x)(y) ≠ φ_w(x)(y)
∴φ_v(x) ≠ φ_w(x)
∴φ_v ≠ φ_w