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453:１３２人目の素数さん
17/06/22 00:35:25.20 7Rt+NRL+.net
ω(↑^ω)ω=N_0 なんだって。そうなの？
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
454:１３２人目の素数さん
17/06/22 02:59:50.52 nydReERO.net
ω(↑^ω)ωの濃度はアレフ0、つまり可算だと言っているだけで、特に不思議はないような。
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17/06/22 04:48:47.09 TA0WspoK.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
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17/06/22 07:46:09.49 TA0WspoK.net
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466:１３２人目の素数さん
17/07/01 00:21:04.58 7Mq6iIVS.net
天文学的確率でエントロピーが自然に減少することがなかったっけ？
グラハム数分の１よりは大きいんだろうけど
467:１３２人目の素数さん
17/07/05 01:34:31.77 6QmaXpqZ.net
>>454の現象
＜宇宙の取りりうる全パターンの順列
＜グラハム数
468:１３２人目の素数さん
17/07/05 21:01:18.55 wGzquPmi.net
ビジービーバー関数BB(n)は、任意の自然数nについてその値が定まると言っていいのだろうか?
例えば連続体仮説でよく知られるように、"可算無限濃度より大きく、連続体濃度より小さい濃度の個数"
の値はZFCのモデルのとり方によって変わり、連続体仮説が真となるモデルなら0、そうでないなら0以外となる。
BB(n)の値も、自然数のモデルのとり方によって変わってしまうことはないか。
"自然数論(ペアノ算術)における妥当な論理式を枚挙し、矛盾を導出したら停止するチューリング機械M"
を構成すると、 これが停止する <=> 自然数論は矛盾 となるから、
自然数論が無矛盾ならこの機械は停止しないはずである。
一方で、自然数論が無矛盾なら自己の無矛盾性は証明できないから、Mが停止しないことを証明できない。
一階述語論理の完全性より、恒真ならば証明可能なので、停止することも停止しないことも証明不能なら
停止するモデルと停止しないモデルの2つがありえる、ということになる。
(一階述語論理の完全性と呼ばれるものは、ゲーデルの第一不完全性定理で言うところの完全性(任意の論理式に
ついて、その肯定か否定のどちらかが証明可能)とは全く意味が異なることに注意)
そもそもチューリング機械Aが停止するとは、"Aがnステップ目で停止状態"を意味する論理式H_A(n)に対し、
∃n (H_A(n))が真であることだと言える。
∃n (H_M(n))が成り立つモデルと成り立たないモデルがあるとはどういうことか。
単純に、∃n (H_M(n))が成り立つ自然数論のモデルはより多くの自然数を含んでいる、ということである。
(集合論で言うところの、巨大基数公理が成り立つモデルのほうが、そうでないモデルよりたくさんの
集合を含んでいることに似ている)
469:１３２人目の素数さん
17/07/05 21:06:35.56 wGzquPmi.net
では、自然数論の公理PAに、∃n (H_M(n))を加えたことによって追加される自然数とは何か。
自然数論が無矛盾なら、Mは1ステップ目で停止しないだろう。同様に、2,3,4,...ステップ目でも停止しない。
追加される自然数はMが停止するまでにかかるステップ数だから、これをcとすると、
0<c, 1<c, 2<c, 3<c, 4<c,...が成り立つことになる。つまり、PAだけから存在を証明できるいかなる自然数
よりもcのほうが大きい、という奇妙な性質があることが分かる。このcが超準的自然数と呼ばれるもので、
これを含むモデルは超準モデルと呼ばれる。
冒頭の話に戻ると、状態数m以下でMを構成できるなら、Mが停止するモデルを選択すれば、
BB(m)の値は超準的自然数になってしまい、意味をなさなくなってしまう。
ならばBB(n)の定義に補足を加え、
"状態数n以下で(いかなる自然数のモデルでも)停止する機械のうち最も多く1を出力するもの"
とすればこのような問題は起きないと思うかもしれない。
実はそれでもBB(n)の値は超準的自然数になってしまうのだが、それはまた後日の話とする。
470:１３２人目の素数さん
17/07/05 22:30:24.81 Wo7Ji0uk.net
ヲヨ数のイメージがいまいち掴みづらいのですが、
たとえば円周率は第一階述語論理の言語で表記するとどうなるのですか？
471:１３２人目の素数さん
17/07/06 00:03:48.67 VqI6Xr1R.net
>>456
自然数論単体は矛盾するか矛盾しないかのどちらかであり、1階述語論理の完全性と健全性
により矛盾すればモデルは存在せず、無矛盾であれば存在する
無矛盾であれば、たとえばPA+TとPA+SでBB(x)が取る値が異なることが考えられるのではないか、
ということになるが、どちらの理論も自然数論を含む以上自然数型を部分集合としてもっており、
自然数型をもっていれば異なるモデルに属していても大きさを比べることができ、それなら同じ文字数制限で
出力される最大の数でどちらが大きいかを比べることができ、BB(x)の値が一意に定まる。
自然数型の
472:すべてを持っている必要もない でいいだろうか
473:１３２人目の素数さん
17/07/06 00:12:35.95 VqI6Xr1R.net
BB(x)はモデルによる制限がない、というのを付け加えるのを忘れていた
474:１３２人目の素数さん
17/07/06 00:15:50.11 VqI6Xr1R.net
超準的自然数を出力する(とあるモデルで解釈される)プログラムは有限の値を出力しない
=停止しないものと見なされると言うことで
475:１３２人目の素数さん
17/07/06 00:21:19.45 VqI6Xr1R.net
“加算無限濃度より大きく連続体濃度より小さい濃度の個数”というだけでは
答えが自明にならないため、自明になるまでいろいろ理論を付け加えなければ
ある数を命名したことにはならない、というのがラヨ関数のルールのひとつ
476:１３２人目の素数さん
17/07/06 22:00:17.89 s9ExDxZU.net
つまりチューリングマシンも1階述語論理も自然言語や人間の持つあいまいさから完全には解放されていないというわけだ
477:１３２人目の素数さん
17/07/07 09:33:49.33 4cWe5aPz.net
>>458
lim[n→inf]Σ[n=0~N]4(-1^n)/2n+1
478:１３２人目の素数さん
17/07/07 09:57:48.39 IvvOQVCj.net
>>463
解放されていなんじゃなくて、関わっていない。曖昧な領域は対象外。
479:１３２人目の素数さん
17/07/07 14:39:34.01 5pa7VV1Y.net
より曖昧な部分をなんとか扱えるようにしていくことで、より強力なFOOTやFOFTなんかができるわけだし。
>>459
自然数型をもってるというより自然数型と同型な部分構造を持っている、といった方が正確かな
480:１３２人目の素数さん
17/07/07 14:48:25.77 5pa7VV1Y.net
「1階述語論理で円周率を表現する」といわれるとまず実数を定義するところから
始めるべきだろうか
1階述語論理じゃ実数「のように見えるもの」までしか作れない。
まぁ普通は見えるだけで十分かもしれない
481:１３２人目の素数さん
17/07/07 14:54:14.49 5pa7VV1Y.net
一般的に簡単な具体例を挙げれば分かりやすく説明できるのに、その簡単な具体例がなかなか挙げられない
のがこのあたりの難しいところ。
1+1=2をノート一冊まるまるつかって証明するような世界だもの
482:１３２人目の素数さん
17/07/08 20:44:57.11 fLvsPSGe.net
反響があるとは意外。
>>459 多分勘違いをしていると思う。
まず、集合論でも連続体仮説が成り立つモデルと成り立たないモデルがとれることからも分かるように、
一般に、ある一つの無矛盾な公理系に対して、それが成り立つモデルはたくさん存在する。
そして、PA + ∃n (H_M(n))のモデルは、当然PAも成り立つから、同時にPAのモデルでもある。
(PA + ∃n (H_M(n))は矛盾していない。PAが無矛盾なら、PAから ￢∃n (H_M(n))が導出されてしまう心配は無いのだから)
PAのモデルに属していれば自然数であるから、∃n (H_M(n))の証拠となる超準的自然数さえも、自然数であることに
変わりなく、0,1,2のようなPAだけから存在を証明できる自然数(仮に普通の自然数と呼ぼう)と比較可能で、
どんな普通の自然数よりも大きい。
だから、異なるモデルでも大きさを比較できるのはその通りだが、超準的自然数を含んでいるモデルのほうが圧倒的に有利である。
超準的自然数を出してしまえば、超準的自然数を含まないモデルに属する自然数に必ず勝てるのだから。
そして機械Mの状態数がm以下であれば、BB(m)には超準的自然数が採用されるだろう。
機械Mを構成するのに必要な状態数はせいぜい普通の自然数で足りるだろう。
483:１３２人目の素数さん
17/07/08 20:52:06.98 fLvsPSGe.net
>>461で言うところの、超準的自然数を出力するプログラムは停止しないものと見なす、というのは、
それこそまさしく>>457で言った補足入りBB(n)の定義と同じではないか。
いかなる自然数のモデルでも停止する機械、と言っているのだから、停止するまでにかかるステップ数を表す自然数が、
モデルによってあったりなかったりする可能性は無くなる。
>>462については後にしよう。
>>457で後日にすると約束した、補足入りBB(n)の定義においてさえも(普通の自然数に対して)超準的自然数を返すという話が
そっくりラヨ関数にも適用できるため、その話をしてからのほうが良さそうだ。
あと、こちらはBB(n)の値の一意性を問題にしてるわけではない。問題にしてるのは、ある程度大きな数nについてのBB(n)、
例えばBB(100)とかBB(10000)とかBB(10^20)とかについて、その返り値がPAのモデルのとりかたによらず存在してるのか、
言い換えると普通の自然数でありえるのか、という存在性についてである。
484:１３２人目の素数さん
17/07/08 21:01:01.84 fLvsPSGe.net
>>457の続き
証明の前に、用語の確認をしておく。
公理がω矛盾であるとは、ある論理式Q(n)について、∃n ∈ (自然数)(Q(n))が証明可能であるのに、
Q(0),Q(1),Q(2),...のうちのいずれも証明不能であることである。
公理がω無矛盾であるとは、任意の論理式Q(n)について、∃n ∈ (自然数)(Q(n))が証明可能ならば、
Q(0),Q(1),Q(2),...のうちのどれかが証明可能であることである。
ある公理がω無矛盾ならば、その公理は無矛盾でもある。
したがって自己の無矛盾性を証明できない公理は、自己のω無矛盾性も証明できない。
BB(n)の定義は
"状態数n以下で、自然数論PAのモデルのとりかたによらず、停止するまでにかかるステップ数である
自然数が存在するようなチューリング機械のうち、最も多くの1を出力するものが出力する1の個数"
このままだと扱いにくいので、次に定義するS(n)によって代用する。
"万能チューリング機械に、桁数n以下の二進数でコードを与えエミュレートさせ、PAのモデルのとりかた
によらず停止するまでのステップ数である自然数が存在するコードのうち、最後に停止するものの総ステップ数+1"
S(n)がBB(n)の性質を反映しているということは明らかだろう。
証明することは、
"(PAがω無矛盾 ∧ ある自然数Nについて∃n (n = S(N))がPAのモデルによらず真 ) => 矛盾"
したがって "自然数論PAがω矛盾 ∨ ∃n (n = S(N))がモデルによっては偽 )"
なお、NはPAだけから存在を証明できる自然数とする。
485:１３２人目の素数さん
17/07/08 21:11:33.04 fLvsPSGe.net
ここから内容
PAがω無矛盾 ∧ ある自然数Nについて∃n (n = S(N))がPAのモデルによらず真
と仮定する。
∃n (n = S(N))がPAのモデルによらず真であるから、
一階述語論理の完全性(恒真 => 証明可能)より、∃n (n = S(N))はPAから証明可能
※PAがω無矛盾なので、0 = S(N), 1 = S(N), 2 = S(N),...のうちのいずれかがPAから証明可能
これからすることは、 n = S(N)という式を具体的な論理式に変換し、
それができたら 0 = S(N), 1 = S(N),...の証明の試みを(順番に子プロセスを生成しながら)
並列的に行うチューリング機械が作れ、かつそのような機械が※より停止することが保障されることから、
S(N)を実際に計算できてしまうということを示し、一般的にS(n)は計算不能であることとの
矛盾を示すことである。
486:１３２人目の素数さん
17/07/08 21:19:18.74 fLvsPSGe.net
以下のように動作するチューリング機械Mを考える。
(1)自然数nが与えられると、桁数n以下の二進数を枚挙する。(0,1,10,11,...,111...111)
(2)それぞれの二進数について、それを万能チューリング機械にコードとして与えたものを、
一階述語論理の論理式に変換する。
(この感覚は、Cook-Levinの定理(充足可能性問題はNP完全問題である)を証明するために
(非決定性)チューリング機械をそっくり命題論理の論理式に置き換えたことの無い
人には理解しがたいかもしれない。)
ここで、ある二進数を渡されたとき万能チューリング機械がどんなPAのモデルのもとでも
停止するようなステップ数があるということを確認する必要がある。
一階述語論理の完全性より、その二進数を渡された万能チューリング機械がモデルに
よらず停止するなら、そのことをPAから証明可能である。
PAから証明可能なら、その二進数を渡された万能チューリング機械が停止状態になる
ようなステップ数aが存在する、という論理式の証明を(PAの妥当な論理式を枚挙することで)
試みるチューリング機械が停止する。
ゆえに、次に行うべきことは、
(3)(1)で枚挙した各二進数について、それを入力された万能チューリング機械が停止する
という意味の論理式を(2)で作った論理式を利用して作る
(4)(3)で作ったそれぞれの論理式について、その証明を試みるチューリング機械のコードを生成する
(5)(4)で作った各コードについても、それが停止するという意味の論理式を同様に作る
(6)(1)で枚挙した各二進数について、
"(5)で作った論理式(が真) => その二進数を万能チューリング機械与えたときに停止するまでに
かかるステップ数((2)で作った論理式を利用して作れる論理式) < x"
という論理式を作る。
487:１３２人目の素数さん
17/07/08 21:28:04.55 fLvsPSGe.net
(7)(6)で作った論理式を、すべて∧でつなげた論理式をP(x)として、
yを自由変数とする論理式"P(y)∧∀x(P(x) => y ≦ x)" を作る。
ここで作られている論理式が、まさしく
"任意の、コード長n以下の、いかなるPAのモデルでも停止するコードが停止するまでに
かかるステップ数よりも大きい最小の数はyである"という意味になっていることに注意しよう。
今まで漠然とy = S(n)と書いてきた式を、しっかり一階述語論理の論理式に直したものだといってもよい。
(8)k = 0とする。
(9)
488:(7)で作った論理式を、y = S(n)と表すとして、k = S(n)の証明を試みる子プロセスを生成する (親プロセスと子プロセスは並列に実行されるものとし、 子プロセスは親プロセスの動作による影響を受けないものとする) (10)どの子プロセスも停止していないなら、kを1増やして(9)に戻る (11)どれか1つでも子プロセスが停止したなら、その停止した子プロセスが証明した論理式から、 S(n)の値を得られるため、その値を返す。 (12)終了 Mが停止しない可能性があるとしたら、それは(9),(10)のループ処理で、無限ループすることであるが、 それは※よりありえない。よってMは任意のnについて停止する。
489:１３２人目の素数さん
17/07/08 21:34:19.65 PteOL0NN.net
皆さんは筑駒中学の入試問題を小学生の知識だけで解けますか？
純粋な質問ですが、気分を害したらすみません、
490:１３２人目の素数さん
17/07/08 21:37:20.76 fLvsPSGe.net
ここで、チューリング機械Mを万能チューリング機械でエミュレートできるようにコード化したもの
を<M>とし、機械Mに自然数nを与えた場合のコードを、nを二進数にしたものを<n>として、
<M><n>と表記する。<M>のコード長をmとすると、mは普通の自然数であり、<n>のコード長はlog_2(n)
である。
よって <M><n> のコード長は m + log_2(n)であり、もしNが十分大きな普通の自然数ならば、
m + log_2(N) < N が成り立つ。
しかし、 <M><N> をエミュレートするとS(N)を返すので、コード長N以下なのにS(N)の値を返すという
点で、S(n)の定義と矛盾 (ベリーのパラドックスに似る)
したがって、背理法より、自然数論PAがω矛盾であるか、またはある程度大きな普通の自然数Nについて
S(N)の返り値は普通の自然数ではない。
よってある程度大きな普通の自然数Nについて、
"自然数論PAがω無矛盾ならば、BB(N)の値は普通の自然数(PAだけから存在を保障できる自然数)ではない"
証明終わり
491:１３２人目の素数さん
17/07/08 21:44:23.58 fLvsPSGe.net
前述の証明によって、PAがω無矛盾ならBB(n)はある程度大きな(それが10000なのか10^10なのかは分からないが)
nについて普通の自然数の値をとることができない、と分かった。
もしPAがω矛盾であるとするなら、BB(n)がPAだけから存在を保障できる自然数になっていても
おかしくないが、その場合はPAのモデルがすべて奇妙な性質の自然数を含んでいるということになる。
さて、>>462についてだが、前述の論法を応用すればラヨ関数についても同様のことが言える。
ラヨ関数において、論理式によって命名されたと言えるためには、その論理式をみたす自然数が
集合論のモデルのとり方によらず存在していなければならない。
一階述語論理の完全性から、モデルのとり方によらず存在しているなら、そのことを集合論から
証明可能である。
記号数n以下の論理式を枚挙して前述のチューリング機械Mと似たようなことをする機械を構成すれば、
もし集合論がω無矛盾なら前述のものと同様にラヨ関数Rayo(n)を計算する計算機になる。
しかし、このようなチューリング機械も、一階述語論理の論理式に変換できるから、
そこからラヨ関数の定義との矛盾を導ける。
二階述語論理以降なら完全性が成り立たないからこの論法が使えないのは確かだが、
二階述語論理以降は一階述語論理を包含していて、ラヨ関数より増加が速いはずだから
結局二階以上バージョンのラヨ関数を作っても普通の自然数を返すようにはならない、と言える。
492:１３２人目の素数さん
17/07/08 21:52:55.78 fLvsPSGe.net
提案されている急増加計算不能関数は、まずビジービーバー関数が常に普通に自然数を返してくれること
が前提となっているように思える。しかし、これは暗黙のうちに前提としていいほど確かなものでもないだろう。
ビジービーバー関数の定義を初めて知った時、みんなはその"あらゆる計算可能関数よりも大きい"
という性質に、その理屈には納得しても気持ち悪さを感じなかっただろうか。
結局のところ、ビジービーバーが大きかったのは、入力が大きいとき、もし返り値が存在するような
PAのモデルを選んでいれば、それが必然的に超準的自然数になるのであって、
いかなる普通の自然数よりも大きいという反則的な性質のものを返していたからだ、ということになる。
常識のように受け入れられているものについて疑問を投げかけてみるのも、大事なことではないだろうか。
493:１３２人目の素数さん
17/07/08 22:15:22.19 +ACRaVi/.net
超準的自然数は超準的なモデルに属するのであって、ふつうのモデルには属さないんじゃ
494:１３２人目の素数さん
17/07/08 22:27:42.96 +ACRaVi/.net
我々とは隔絶した存在である超準星人が考えるビジービーバー関数
495:、とかなら いかなる普通の自然数より大きいという下りはわからんでもない、いや、冗談でなく真面目に
496:１３２人目の素数さん
17/07/08 22:39:59.91 +ACRaVi/.net
計算可能な関数の集合は可算集合だし、定義可能な範囲であらゆる計算可能な関数より強い関数が
あってもおかしくない、というかあるべきと思うのだわ。
あらゆる定義可能な関数より強い定義可能な～ってのがあったら気持ち悪い
497:１３２人目の素数さん
17/07/08 22:45:17.37 +ACRaVi/.net
ビジービーバー関数を超準的な世界で考えるのであれば、停止するかどうかも有限時間の
範囲だけでなく超準的な時間も含めた範囲で考えるべきじゃなかろうか
498:１３２人目の素数さん
17/07/08 22:48:02.03 +ACRaVi/.net
他にも超準的な世界で考えるとなるといろいろと自明でないことがあって、
普通のビジービーバー関数より強いというのも自明でないかな
499:１３２人目の素数さん
17/07/09 00:06:14.29 XBkUs4NO.net
ビジービーバー関数の全域性は証明できないわけだから、
PAで存在を証明しようとしてできなかった、というのは当然では
500:１３２人目の素数さん
17/07/09 00:09:14.03 XBkUs4NO.net
証明できないけど、あると信じて話を進めるかどうか、というだけの話
501:１３２人目の素数さん
17/07/09 01:09:38.12 Ti1B6RCh.net
巨大な数って何に役立ってるのでしょうか？素数は暗号って聞いた
502:１３２人目の素数さん
17/07/09 01:23:55.51 ac91LQvZ.net
>>486
ある程度以上の巨大さになってくると、数学の研究にちょっと役立つくらいで応用性は無いよ
503:１３２人目の素数さん
17/07/09 01:26:11.34 Ti1B6RCh.net
>>487
ありがとう
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514:１３２人目の素数さん
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ビジービーバー関数の全域性は１階述語論理で記述できる以上恒真であれば証明できる
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17/07/09 19:55:37.79 baxN1ASP.net
△△△馬鹿板をスルのは不埒な行為であり、脳が悪くなります。そやしセンでもヨロシ。△△△
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516:１３２人目の素数さん
17/07/09 22:40:46.61 z7uBIIRa.net
>>454が連続して起こることで宇宙が熱的死を起こしても急に不死鳥のごとく復活する可能性が
考えられるという説を昔なにかの本で読んだ。
517:１３２人目の素数さん
17/07/10 00:50:24.14 bFLO7M83.net
ビジービーバー関数の全域性を証明するためには「ビジービーバー関数が全域関数である」と
同値の公理を入れない限り無理では
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17/07/10 04:40:50.72 oiAeKqds.net
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528:１３２人目の素数さん
17/07/10 22:26:47.36 ojujtxmC.net
>>502
お前の前提としてる公理系って何よって話。
529:sage
17/07/10 22:36:47.62 bFLO7M83.net
>>513
それを問われるのは>>499では
「証明できる」と言ってるんだから
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17/07/10 22:40:25.47 oiAeKqds.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が崩壊します。なので早く止めましょう。★★★
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531:１３２人目の素数さん
17/07/10 22:47:12.11 ojujtxmC.net
>>514
特に断りがなければZFCとするのが通常じゃね？
ZFCならビジービーバーの全域性は証明できたはず。
ZFCでないというなら>>514が立場をはっきりさせないと。
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17/07/10 23:14:42.52 oiAeKqds.net
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が崩壊します。なので早く止めましょう。★★★
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17/07/10 23:37:00.38 oiAeKqds.net
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17/07/10 23:39:04.45 oiAeKqds.net
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17/07/10 23:39:21.94 oiAeKqds.net
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17/07/10 23:40:25.60 oiAeKqds.net
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543:sage
17/07/11 15:30:31.98 c3IIUzAc.net
>>516
ビジービーバー関数 BB(n) は（最大でも） n=7910 でZFCの限界を超えるので
ZFCで全域性の証明は無理
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
544:￥
17/07/11 15:53:31.72 9S2RRwNx.net
★★★数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、日頃から真面目に学問に精進すべき。★★★
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545:１３２人目の素数さん
17/07/11 16:29:44.60 6TgW8Joh.net
sage入れるところ
546:間違えてない？ 再帰関数すべてを支配できる公理をもってないと証明はできないだろう。しかし1階述語論理の 完全性から、理論と言うか、1階述語論理、より限定してFOSTによって記述された定義からその まま証明できるはずなんだ。 逆にメタな視点からみてビジービーバー関数の全域性が成り立たないってどういうことだろう n状態のチューリングマシンは全部で有限個存在し、停止するか停止しないかのどちらかで あって、停止しないものは除く。停止するチューリングマシンも有限だけ存在するのであれば 出力する値の最大値が存在する。
547:１３２人目の素数さん
17/07/11 16:34:22.77 6TgW8Joh.net
全域性が成り立つようwell definedに定義されていれば、全域性を証明するのに必要な理論は
定義の中に含まれているということです
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17/07/11 17:09:08.32 9S2RRwNx.net
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17/07/11 17:45:55.48 9S2RRwNx.net
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558:１３２人目の素数さん
17/07/11 20:23:10.79 66zoldq0.net
>>528
怖くてリンク踏めないがn=7910という数値は何に由来するんだろ？
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17/07/11 20:32:30.51 9S2RRwNx.net
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■
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560:１３２人目の素数さん
17/07/11 20:49:03.30 ul6pxDZE.net
>>542
なんかコーネル大学図書館ってサイト
普通の大学機関だと思う
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17/07/11 21:01:35.29 9S2RRwNx.net
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■
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562:１３２人目の素数さん
17/07/11 21:03:26.32 66zoldq0.net
これって7910状態のビジービーバーの値を特定できないって話ではないのか？
ビジービーバーの存在とは別の話なんじゃないのか？
うーん。
563:１３２人目の素数さん
17/07/11 21:11:05.20 66zoldq0.net
チャイティンのΩも何ビット以上特定しようとすると公理を追加する必要がある
みたいな話はどこかで聞いたことがあるが、それと似たようなもんかなぁ。
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17/07/11 21:14:44.75 9S2RRwNx.net
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■
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565:１３２人目の素数さん
17/07/11 21:20:05.35 ul6pxDZE.net
>>546
>>528の説明であってるんじゃない?
ビジービーバー関数BB(n)のZFCで扱える領域を越えるnの値が大きくても7910
nはテープの長さで、2状態のチューリングマシンだって
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17/07/11 21:26:38.02 9S2RRwNx.net
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■
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17/07/11 21:53:27.53 9S2RRwNx.net
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577:１３２人目の素数さん
17/07/11 22:07:40.92 66zoldq0.net
>>549
7910はテープの長さじゃなくて状態数、2は状態じゃなくてテープアルファベットの種類だろ？
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17/07/11 22:14:12.36 9S2RRwNx.net
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■
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579:１３２人目の素数さん
17/07/11 22:38:55.56 C4KzmSm6.net
>>456
"可算無限濃度より大きく、連続体濃度より小さい濃度の個数"をチューリングマシンを用いて求める事は可能なのか？
可能なら（計算量はともかく）一意に決まるだろうし、不可能ならそれはただの「外部変数」なのでは？
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17/07/12 04:09:05.66 /SI9Htnb.net
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590:１３２人目の素数さん
17/07/12 06:50:39.75 Nyg81BB7.net
>>542
arXivが怖いって……
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17/07/12 07:47:00.80 /SI9Htnb.net
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■
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602:１３２人目の素数さん
17/07/12 23:45:35.45 HzNF5bud.net
結局、普通に公理とか証明とかやっている時点で計算可能関数の範囲から出ない。
計算不可能関数を与える神託なりチューリングジャンプを持ってこないといけない。
603:￥
17/07/13 03:45:48.61 WLr1owHn.net
★★★馬鹿板を長くヤルと脳が悪くなって軽蔑される。そやし早く止めるべき。★★★
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17/07/13 06:26:37.13 WLr1owHn.net
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17/07/13 08:46:33.51 WLr1owHn.net
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17/07/13 18:35:36.94 WLr1owHn.net
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614:9-671
17/07/24 21:11:22.91 d2B7IizV.net
「この変数がいくつの括弧の内側にあるか」という定数を変数一つ一つの横に付けるようにすると多重リストアッカーマンのｎ重リストを対角化できる
ひっくり返して「この変数がいくつの括弧の外側にあるか」とすれば拡張し易くもなる
更に「この変数がいくつの括弧の外側にあるか、という定数が無茶苦茶大きい変数」を作り出す変数が出来れば拡張が出来る
配列表記と同じように「０になった変数を１以上にするときに変数に関数を写像」するようにすれば ……多次元配列ＢＥＡＦ、かな？
という感じの内容の関数を作ったのだが
615:１３２人目の素数さん
17/07/24 21:28:00.49 HE9QoU39.net
9-671ってなに？
9スレ目の671ってこと？
616:9-671
17/07/24 21:28:09.04 d2B7IizV.net
具体的にはこんな感じ
[a,b,c,d,x,y]は非負整数
Ａ＝左式内の「a+1」を「a」にしたもの
一:＝<{0[x≧弐≧y]:}*X>
壱:＝<{X[x≧弐≧y]:}*X>
x＞y のとき
[x≧弐≧y]＝<{[x]X<{[x-1≧弐≧y]}*X>}*X>
[x≧ニ≧y]＝<{<{[x-1≧弐≧y]}*X>[x]0}*X>[x-1≧ニ≧y]
x＝y のとき
[x≧弐≧y]＝<{[x]X}*X>
[x≧ニ≧y]＝<{[x]0}*X>
ア式
(a+1:一:)＝a+2
(0:壱:)＝2
(a+1:b+1:壱:)＝(Ａ:b:壱:)
イ式
(a+1:一:b+1:壱:)＝(a+1:一:Ａ[Ａ]Ａ[Ａ]0:b:壱:)
(a+1:一:b+1[c≧弐≧d+1][d+1]e[d+1]0:壱:)＝(a+1:一:b+1[c≧弐≧d+1][d+1]Ａ[d+1]Ａ[d]Ａ[d]0:壱:)
Ｂ式
(a+1:一:b+1[c]d+1[c≧ニ≧0][0]0:壱)＝(a+1:一:b[c]d+1[c≧ニ≧0][0]0:b+1[c]d[c≧ニ≧0][0]0:壱)
(a+1:一:b+1[c≧ニ≧d+1][d+1]e+1[d]f+1[d≧弐≧0][d+e+1≧弐≧0]:壱)＝(a+1:一:b+1[c≧ニ≧d+1][d+1]e[d]f+1[d≧弐≧0][d+1]e+1[d]f[d≧弐≧0][d+e+1≧弐≧0]:壱)
(a+1:一:0[b≧弐≧0]:c+1[d≧ニ≧0][0]0:壱:)＝(a+1:一:Ａ[b≧弐≧0]:c[d≧ニ≧0][0]0:壱:)
(a+1:一:b+1[c≧ニ≧d+1][d+1]0[d≧弐≧0][d+1]e+1[d≧ニ≧0][c≧弐≧0]:壱:)＝(a+1:一:b+1[c≧ニ≧d+1][d+1]Ａ[d≧弐≧0][d+1]e[d≧ニ≧0][c≧弐≧0]:壱:)
ア式はちょっと弄ってるけどアッカーマン
イ式は(a:b:c:d:……)の形で始めるレギオンぽいの
ロ式ハ式を合わせると多重リストアッカーマンを改造したＢＥＡＦぽいの
かなぁ
617:9-671
17/07/25 00:03:32.66 TAlljqGc.net
修正
イ式
(a+1:0:一:b+1:壱:)＝(a+1:0:一:Ａ[Ａ]Ａ[Ａ]0:b:壱:)
(a+1:0:一:b+1[c≧弐≧d+1][d+1]e[d+1]0:壱:)＝(a+1:0:一:b+1[c≧弐≧d+1][d+1]Ａ[d+1]Ａ[d]Ａ[d]0:壱:)
Ｂ式
(a+1:0:一:b+1[c]d+1[c≧ニ≧0][0]0:壱)＝(a+1:0:一:b[c]d+1[c≧ニ≧0][0]0:b+1[c]d[c≧ニ≧0][0]0:壱)
(a+1:0:一:b+1[c≧ニ≧d+1][d+1]e+1[d]f+1[d≧弐≧0][d+e+1≧弐≧0]:壱)＝(a+1:0:一:b+1[c≧ニ≧d+1][d+1]e[d]f+1[d≧弐≧0][d+1]e+1[d]f[d≧弐≧0][d+e+1≧弐≧0]:壱)
(a+1:0:一:0[b≧弐≧0]:c+1[d≧ニ≧0][0]0:壱:)＝(a+1:0:一:Ａ[b≧弐≧0]:c[d≧ニ≧0][0]0:壱:)
(a+1:0:一:b+1[c≧ニ≧d+1][d+1]0[d≧弐≧0][d+1]e+1[d≧ニ≧0][c≧弐≧0]:壱:)＝(a+1:0:一:b+1[c≧ニ≧d+1][d+1]Ａ[d≧弐≧0][d+1]e[d≧ニ≧0][c≧弐≧0]:壱:)
618:9-671
17/07/25 05:01:51.21 TAlljqGc.net
再修正
Ｂ式
(a+1:0:一:b+1[c]d+1[c≧ニ≧0][0]0:壱)＝(a+1:0:一:b[c]d+1[c≧ニ≧0][0]0:b+1[c]d[c≧ニ≧0][0]0:壱)
(a+1:0:一:b+1[c≧ニ≧d+1][d+1]e+1[d]f+1[d≧弐≧0][d+e+1≧弐≧0]:壱)＝(a+1:0:一:b+1[c≧ニ≧d+1][d+1]e[d]f+1[d≧弐≧0][d+1]e+1[d]f[d≧弐≧0][d+e+1≧弐≧0]:壱)
(a+1:一:0[b≧弐≧0]:c+1[d≧ニ≧0][0]0:壱:)＝(a+1:0:一:Ａ[b≧弐≧0]:c[d≧ニ≧0][0]0:壱:)
(a+1:0:一:b+1[c≧ニ≧d+1][d+1]0[d≧弐≧0][d+1]e+1[d≧ニ≧0][c≧弐≧0]:壱:)＝(a+1:0:一:b+1[c≧ニ≧d+1][d+1]Ａ[d≧弐≧0][d+1]e[d≧ニ≧0][c≧弐≧0]:壱:)
619:１３２人目の素数さん
17/08/10 22:31:59.55 kY2+Vy/0.net
祝「寿司 虚空編」単行本発売
620:１３２人目の素数さん
17/08/10 22:59:36.27 JXGuJJq+.net
このスレの住民が本気でIncremental Gameを作ったらどんなゲームになるんだろう
あ、Incremental Gameっていうのは昔あったクリッカーみたいな数字が増えていくゲームのことね
インフレが激しいゲームでもせいぜい10の何万乗とかになるだけで、テトレーションレベルにも達しないんだよね
621:１３２人目の素数さん
17/08/10 23:15:46.08 XfSD3ixS.net
巨大数にインクリメント（足し算）しても意味が無いから、
マキシマム・ゲームになる。
× a += b;
○ a = MAX(a, b);
622:１３２人目の素数さん
17/08/10 23:52:53.43 2PB2EG/T.net
購入する施設?の陳腐化が早すぎる
足し算の施設を毎秒ｘ個増やす施設を毎秒増やす施設を・・・でハイパー演算子レベルか
623:１３２人目の素数さん
17/08/11 00:51:12.46 xY8mbPIV.net
指数超えると表記が一般的でなくなるからなぁ。
624:１３２人目の素数さん
17/08/11 11:04:19.38 Q6PcSy9F.net
一つの変数で扱える限界は
整数型なら符号無し長長
625:整数型で1.84e+19（18446744073709551615） 倍精度実浮動小数点型なら1.79e+308まで。ただし下位の精度はない
626:１３２人目の素数さん
17/08/11 11:47:45.79 jtsqn+Om.net
何の意味も無いぞそれ
627:１３２人目の素数さん
17/08/11 21:43:38.56 xY8mbPIV.net
フィッシュ氏の巨大数論ってPDFはただなの？
偉い太っ腹やな？。
628:１３２人目の素数さん
17/08/13 13:31:20.93 D8vuBxuL.net
ただものじゃないよ。
629:１３２人目の素数さん
17/08/22 17:31:26.62 pXIJB2YG.net
例の巨大数レポートに新しい発見はあったのかな
630:１３２人目の素数さん
17/08/22 17:57:07.95 Cl9UwAyp.net
例のって
631:１３２人目の素数さん
17/08/27 16:58:16.47 Pocp3UiL.net
木原先生のやつか
632:１３２人目の素数さん
17/09/05 21:51:48.14 uoBUJ1ay.net
>>614
詳しく
633:１３２人目の素数さん
17/09/14 22:00:35.50 PuCk36Aa.net
欲張りクリーク列
y=x[2]となるとき、(y,x[2m])=(x[2],[2m])はGの辺ではないということになる。
これはその列がGのクリークになることと矛盾する。
よって列はそれ以上長くはならない。
単純グラフの方の関数は比例関数レベルの強さにしかならないんじゃないか。
634:１３２人目の素数さん
17/09/14 22:28:51.82 FltbsT74.net
久しぶりに来ました
このスレで一番大きなのはどれですか？
候補でも
635:5
17/09/15 21:43:58.44 +9D1teOf.net
一番大きいわけではないと思うけど、
>>5は俺的に会心の出来なので暇なら感想聞かせておくれ。
636:たろう
17/09/15 23:10:04.24 pJ8WQv+f.net
10年以上前にこのスレにいた「たろう」です。
ざっと「フィッシュ」氏のPDFをみました。
（以前はひらがなだったような気が）
計算可能な分野では、「タラノフスキーのC表記」が最大なままで、
特に進展はないのでしょうか。
どなたかが収束列をまとめてくれていた気がします。
計算不可能な関数の分野では、
「ラヨ数」「ビッグフット」「サスクワッチ」など初めてみる物があって、
ずいぶんと進歩したようですね。
これから解読します。
私も昔4ページほどで「ゲーデル数」「自然数から再帰的順序数への全射」などを定義し、巨大数をつくりましたが、
もう全く太刀打ち出来ない感じですかね。
637:１３２人目の素数さん
17/09/15 23:35:25.67 pJ8WQv+f.net
計算可能な分野は、「どれだけ大きな再帰的順序数を作れるか」ということになるので、
ヒドラでいえば、「タラノフスキーのC表記」の収束列を利用して作ったヒドラが今のところ最強でしょう。
フィッシュ氏のPDFでプログラムによる表記の分野が載ってましたね。
私も以前C++でそういうことをやったりしました。
141文字でF[ε_0]、146文字でF[φ_ω,(0)]、180文字でF[Bachmann-Howard ordinal]相当を作りました。
これは「タラノフスキーのC表記」を利用しました。
「ローダー数」がどのくらいの大きさかはわかりませんが、どちらが大きいかは非常に興味があります。
時間があったら調べてみようと思います。
638:たろう
17/09/15 23:49:36.71 pJ8WQv+f.net
>>5 はどのくらいの大きさでしょうか？
コードを読むのが大変なので解説していただけると。
>>1 の「たろう氏の
639:まとめ」の ●H[多変数C0で生成する順序数](n) に F[ψ(Ω^ω)] 相当のヒドラが定義されています。 逆に、こちらの感想を聞かせて頂けると。
640:１３２人目の素数さん
17/09/16 00:03:48.56 INm5bccW.net
>>9 によると >>5 はΓ_0 ですか。
１時間半で大きさを評価した >>9 は何者？
私はrubyが読めないんで...
「タラノフスキーのC表記」も更新され続けてるようですね。
なんかいろいろと増えたり変わったりしてるみたい。
641:5
17/09/16 00:16:14.15 HfXtiVGW.net
>>622
その後>>217で下方修正されてます。
たろう氏まとめのC0関数は私が順序数やlimの定義などをちゃんと理解してないので
なんとなくデカそうだという雰囲気は伝わってくるのですがデカさの実感がわかないです。
すいません。
642:たろう
17/09/16 00:27:39.51 INm5bccW.net
>>5の解説お願い
643:１３２人目の素数さん
17/09/16 00:37:35.09 Sqh3FnPy.net
Cを超えそうな候補にバシク行列とか、強配列表記とか、欲張りクリーク列の一番強いやつとか、
いくつかある。
Cの定義自体はたぶん更新されてなくて、以前の解析が間違っていたことにTaranovsky自身が
2014年あたりに気づいて、実はもっと強いのかもしれないというのがいまの状況
644:5
17/09/16 00:55:34.42 HfXtiVGW.net
>>5はそもそもノーマルなヒドラゲームをベースにヒドラの高さも増えるようにしたら
面白いんじゃないかという発想で出来ています。
>>5の説明の通り、ノードにはランクがありランクが０でないノードが切り離されたとき、
高さの高いヒドラが追加されます。
ヒドラノードはコピーされますからランクの高いノードもルール通りコピーされます。
ランクの高いノードによって高さの高いノードが生まれ、
高さの高いノードによってランクの高いノードが大量にコピーされ…
という風に相乗効果ででかくなります。
645:たろう
17/09/16 00:59:44.56 INm5bccW.net
>>625
thx
646:たろう
17/09/16 01:00:41.71 INm5bccW.net
>>626
いくつか具体例をお願い
647:5
17/09/16 01:27:43.56 HfXtiVGW.net
すいません。具体例を書きこもうとしたのですがNGワード？とやらに引っかかって投稿できませんでした。
実際に>>5のスクリプトはリンク先で実行できるので実行してみてください。
一行目のa=1と80行目のx=generate(1,3)のところの数値をいじると設定を変えられます。
aはノードがコピーされる回数と高いランクが消されたときの追加されるツリーの高さを表していて、
generateの第一引数が初期ノードのツリーの高さ、第二引数が初期ノードのランクとなります。
ランク0のノードが()で表され、ランク1のノードが[]で表され、ランク2のノードが<>で表され、ランク3のノードが{}で表されます。
648:たろう
17/09/16 08:21:54.00 INm5bccW.net
>>5
F[ε_ω] じゃないかな？
いまいち効率が良くない
649:5
17/09/16 09:08:22.13 /FczQ0N0.net
5には続きがあって5を超ヒドラ第一段階と呼びます
そしてランクを整数ではなく超ヒドラ第一段階に拡張したものを超ヒドラ第二段階と呼びます
同様に第三段階、第四段階と定義していき第n段階で真超ヒドラとなります
650:たろう
17/09/16 10:52:51.16 INm5bccW.net
>>631
それでζ_0
651:5
17/09/16 11:12:00.99 84A8BPc6.net
ありがとうございます
順序数はε0くらいまでしかちゃんと理解してないのであれですが
そんな私の作った関数にしては巨大になったんじゃないかと思っています
652:たろう
17/09/16 11:15:18.12 INm5bccW.net
[いいね]
653:5
17/09/16 18:59:33.86 HfXtiVGW.net
[いいね]ありがとうございます。
いつか順序数もちゃんと理解したいと思ってますが、説明読んでもいまいちピンときません。
ε0以下の順序数は通常のヒドラゲームの木と対応が�
654:ﾂくのでなんとなくわかるのですが。
655:ふぃっしゅっしゅ
17/09/17 16:38:54.90 YQHOzRfG.net
>>634 たろうさん、お久しぶりです。あの巨大数ミーテイングから10年たちますね。
あのミーティングを主催した小林銅蟲さんの「寿司 虚空編」が出版されて重版となり、
あの頃に書き始めた「巨大数論」は書籍版も出しました。
URLﾘﾝｸ(gyafun.jp)
PDF は相変わらず無料で読めます。あのミーティングでポチさんに教えてもらった
ブーフホルツのヒドラも、当時はよくわかりませんでしたがこの本で紹介しました。
7章の後半には、まだ十分に大きさの比較ができていないものもありますので、
読んでいただいて、なにか気がついたことがあれば教えてください。
656:5
17/09/17 16:47:54.59 o9vMHNNs.net
おお～ふぃっしゅさん！
本物の書き込みをみれるとは感激！
657:蟲
17/09/17 17:12:12.09 64puS29H.net
おお、たろう氏御無沙汰です。
URLﾘﾝｸ(o.8ch.net)
658:１３２人目の素数さん
17/09/17 17:19:23.60 PsEbMuiA.net
すごい瞬間を見た気がする
659:１３２人目の素数さん
17/09/17 18:00:53.67 KFD2A32c.net
感涙！( ノД`)
660:１３２人目の素数さん
17/09/17 19:47:42.21 JihQyEk2.net
みんな立ち去ってしまったと思ってたけど
ROMってただけで巨大数を愛する気持ちは変わってなかったんだな
661:たろう
17/09/19 18:08:39.12 bdC/no0s.net
>>636
ふぃっしゅさん、お久しぶりです。
>>638
もやしっ子さん、お久しぶりです。
お二人とも、出版おめでとうございます。
あの時から10年ですか。
浦島太郎状態のたろうでした。
662:ふぃっしゅっしゅ
17/09/19 19:51:56.31 ROunY/X+.net
浦島太郎の方でしたか。
「帰ってきたウルトラマン」かと思っていました。
663:１３２人目の素数さん
17/09/21 00:14:35.66 KHKUb11J.net
再帰おめ
664:１３２人目の素数さん
17/09/21 22:28:22.76 FVznd+8w.net
だいぶ怪しいからここに投下
KP+There exist Recursively Mahlo ordinals=CoC(文脈にΠ_0-文のみ)？
KP+There exist Recursively Weaky Compact ordinals=KP+Π_3-Reflection
Degrees of Reflection=KP+Π_n-Reflection=ZFC\P?=pDAN?
Z_2=DAN?
ZFC
ZFC+There exist Mahlo cardinals=CoC(文脈にΠ_n-文を含む)？
Taranovsky's C ?
Cはもっと弱いかもしれない。
665:１３２人目の素数さん
17/09/22 13:34:15.92 6GNuLYmQ.net
ω：最初の極限順序数
X：0個以上の0以上の整数または順序数
a,b,n：0以上の整数または順序数
x#y：y個のx
{0}=ω
{a+1}=ω^{a}
{0#(n+1),0}={ω#(n+1)}
{0#(n+1),a+1}={{0#(n+1),a}#(n+1)}
{X,b+1,0#(n+1)}={X,b,ω#(n+1)}
{X,b+1,0#n,a+1}={X,b,{X,b+1,0#n,a}#(n+1)}
[0]={ω#ω}
[a+1]={[a]#[a]}
[0#(n+1),0]=[{ω#ω}#(n+1)]
[0#(n+1),a+1]=[[0#(n+1),a]#(n+1)]
[X,b+1,0#(n+1)]=[X,b,{ω#ω}#(n+1)]
[X,b+1,0#n,a+1]=[X,b,[X,b+1,0#n,a]#(n+1)]
666:１３２人目の素数さん
17/09/22 20:37:58.72 E8KdQB/s.net
CoC(文脈にΠ_0-文のみ)って自分で書いておきながら何言ってるのか分からない。
hypcos氏はCはZ_2と同等かより弱いとみているようだ
667:１３２人目の素数さん
17/09/23 20:30:48.15 FHlZ4b6t.net
おお、古参メンバーさんたち何年ぶりかの生存レスですか
かく言う自分も１２、３年ぐらいも前から巨大数スレの住人になってて、
今までぼちぼちROM続けてます
668:１３２人目の素数さん
17/09/23 22:19:57.73 Gwfuh7AV.net
このスレって伝統ある由緒正しき良スレだよね
669:１３２人目の素数さん
17/09/24 15:21:07.16 IHNNPGaH.net
日本のグーゴリズムの発祥の地
670:１３２人目の素数さん
17/09/24 17:33:40.91 P5XmunHk.net
発祥の地カッコいい！
671:１３２人目の素数さん
17/09/25 12:59:48.31 T4xXiU2A.net
ω={全ての自然数より大きな最初の極限順序数}
ε_0=ω^ω^ω^…{ω個}…^ω^ω
A=ε_0^ε_0^ε_0^…{ω個}…^ε_0^ε_0
B=ω^ω^ω^…{ε_0個}…^ω^ω
AとBはどちらが大きいの？
672:１３２人目の素数さん
17/09/25 18:12:41.65 vFJI1N8S.net
A
673:１３２人目の素数さん
17/09/25 18:38:55.75 OI2Nqxvd.net
Bのほうはそもそもwell definedなんだろうか
674:１３２人目の素数さん
17/09/25 18:44:23.81 gd+ac85Y.net
もう顔文字にしか見えない
675:１３２人目の素数さん
17/09/25 19:50:54.81 SC6bYjtg.net
B=ε_0
ω^ε_0=ε_0なので、ω個から増えない
676:１３２人目の素数さん
17/09/25 21:07:34.11 OI2Nqxvd.net
ω^ω・・・ω^ε_0=ε_0
有限の高さの指数タワーならわかるけど超限の高さの場合は自明でないと思う
677:１３２人目の素数さん
17/09/25 21:16:47.57 gcvKacsI.net
つかε_1の定義ってどんなのだったっけ
678:１３２人目の素数さん
17/09/25 23:18:32.77 SC6bYjtg.net
>>647
ε_0以外の自然な拡張がある？
679:１３２人目の素数さん
17/09/25 23:19:53.01 SC6bYjtg.net
>>657
680:１３２人目の素数さん
17/09/26 00:16:28.46 Iv8UPhJl.net
>>658
α=ω^α を満たす2番目の極限順序数
681:１３２人目の素数さん
17/09/27 19:46:32.87 NKplYMYD.net
強配列表記の雑な説明
テトーレーション配列まではだいたいBEAFといっしょ、テトーレーション配列という言い方はしてないけど
ドット . または{1^.}（わかりづらいけどドットをすこし上に上げる）をテトーレーション空間の区切りとして使う。
さらに二次元方向のテトレーション空間の区切りは{2^.}、3次元で{3^.}、以下{1{2^.}2^.}とやっていって
ε_1まで。
つぎに{1^.}を{1´2}と表し、´2がテトレーション空間の区切りを意味するものとする。
すると´3でペンテーション空間の区切りを表すようになったり{1{1'1'2^'}2}となったりあれやこれやで
θ(ε_{Ω+1})まで
さらに{1''2}とか{1'''2}とかいう区切りを導入していってθ(Ω_ω)まで
682:１３２人目の素数さん
17/09/27 19:49:03.73 NKplYMYD.net
{1´2}がテトレーション空間の1次元方向の区切り、{2´2}で2次元、{3´2}で3次元
{1,2´2}でω次元方向への区切り
683:１３２人目の素数さん
17/09/27 23:39:08.42 hufUJqB1.net
強配列とバシクはBEAFとは一線を画すと思ってる
それの本質は何か
それを語ってくれるのはほんとにうれしい
684:１３２人目の素数さん
17/09/27 23:42:18.91 hufUJqB1.net
強配列とバシクまでいくと本人の考えを辿るのが難しい
発想をどうにか共有できたらなと思う
哲学というか
685:１３２人目の素数さん
17/09/28 00:26:03.03 tUymsa3N.net
俺にはBEAFも難しいわ
アッカーマンは辛うじてわかる
686:１３２人目の素数さん
17/09/28 12:53:48.08 t7QKSVzF.net
ビジービーバーより小さいのしか語られないのはなんでたぜ
687:１３２人目の素数さん
17/09/28 16:17:41.45 BSWYWrgV.net
やっぱ具体的に計算する方法が無いのが痛いんじゃない
688:１３２人目の素数さん
17/09/28 18:25:07.90 arHKK2ce.net
具体的に計算する方法なんでどれも無いけど
689:１３２人目の素数さん
17/09/28 20:11:37.47 BSWYWrgV.net
メモリさえあれば
690:１３２人目の素数さん
17/09/28 21:45:59.46 Rb/XHUBQ.net
バシク行列は展開することである素体を繰り返すことになるけれど、この素体がどんどん複雑になる
性質を加えればさらに強化できるのでは、
というアイディアが浮かんだけど、すでに行を増やす操作が間接的にそういう役割を果たしているんだろう
691:１３２人目の素数さん
17/09/28 21:47:39.37 Rb/XHUBQ.net
>>662ペンテーション空間というものはもっと複雑かもしれん、φ(2,0)になるみたいな
692:１３２人目の素数さん
17/09/28 21:50:35.32 arHKK2ce.net
でもビジービーバーより小さい数しか作れないんでしょ？
693:１３２人目の素数さん
17/09/28 22:06:32.37 tUymsa3N.net
ビジービーバーはある意味反則だからなｗ
694:１３２人目の素数さん
17/09/28 22:10:55.91 arHKK2ce.net
どういう意味で反則？
695:１３２人目の素数さん
17/09/28 22:30:01.85 tUymsa3N.net
またまたとぼけちゃってｗ
696:１３２人目の素数さん
17/09/28 22:34:10.65 Rb/XHUBQ.net
計算可能レベルは科学で不可能レベルは魔法
697:１３２人目の素数さん
17/09/29 00:47:27.06 UCkV4e7a.net
>>677
屁理屈の方が近くないか?
698:１３２人目の素数さん
17/09/29 00:53:52.34 ePOxm/dc.net
計算可能関数はビジービーバー関数より弱いから競わせないでしょ。勝負はついているもの。
699:１３２人目の素数さん
17/09/29 05:15:03.85 L1WaDal2.net
「大きな実数を探索するスレッドです。」
700:１３２人目の素数さん
17/09/29 05:18:43.88 L1WaDal2.net
アルゴリズムがわかる方法で定義する
という条件はない
701:１３２人目の素数さん
17/09/29 08:12:33.20 ePOxm/dc.net
大きな実数を探索って、スレの指向は総じてが正しいか。
話題はこれに限らず自由に出せて、計算可能関数が今ホットだからと言いたかったが…
702:１３２人目の素数さん
17/09/29 14:44:56.93 cy8+ITe8.net
じゃあ条件を勝手に付け加えて、
大きな素数とか大きな友愛数とかを語りはじめても良いのかな
703:１３２人目の素数さん
17/09/29 14:54:11.19 2ck/6IKY.net
>>680
計算不可能関数も定義上は"ある一つの実数"を定義するものだもんな
やっぱり不思議な概念だわ
Wikipediaにあるビジービーバーの計算結果? ってどういう意味なんだろ
やっぱりわからなくなってきた
704:１３２人目の素数さん
17/09/29 17:18:46.22 qk1emgs/.net
Σ:ビジービーバー関数
n:自然数
f(1)=Σ(2)
f(n+1)=Σ(f(n))
S=f(100)
705:１３２人目の素数さん
17/09/29 18:12:28.84 xLakY1b5.net
計算不可能でも、ある数を返すんだろうなって事は何となく分かる
ただ、この計算可能性の概念が数の強さからきているのかそれとも関数の性質からきているのかがイマイチようわからん
ある計算不可能関数によって返されると予想される数の強さがある計算可能関数で返される数より弱い、なんてこともあるのかな
706:１３２人目の素数さん
17/09/29 18:25:19.87 L1WaDal2.net
f(n) := Σ(n) の1の位
は値は小さいけど
恐らく計算可能ではない
707:１３２人目の素数さん
17/09/29 19:49:29.25 rQs5alVZ.net
1/Σ(n)なら値が小さく計算不能が保証される
708:１３２人目の素数さん
17/09/29 20:25:02.53 YUC1Ysyh.net
>>683構わないだろうがたいがい既存の理論で間に合いそう
709:１３２人目の素数さん
17/09/29 20:57:36.05 MQHnGUR1.net
Σをビジービーバー関数としfを計算可能な無限に発散する単調増加関数とすると
f(Σ(x))はやはり全ての計算可能な関数より増加率が高いといえるか？
710:１３２人目の素数さん
17/09/29 21:12:00.86 xLakY1b5.net
>>687
>>688
ありがとう
計算不能関数を越える計算可能関数が見つかるといいな
見つからないことが証明されてしまわないことを祈ってる
711:１３２人目の素数さん
17/09/29 21:30:02.81 L1WaDal2.net
>>690
そりゃそうだ
>>691
Σ(n)を超える計算可能な関数が無いことの証明は簡単
712:１３２人目の素数さん
17/09/29 22:13:50.35 SCYK9kXF.net
ふぃっしゅ数バージョン4の神託機械の配備のされかたがよく分かんないんだけどどういうこと？関数って言ってるけど関数も何もテープとオートマトンしかないよね
バージョン7も関数fが出てきてよく分からない。fの定義はどこかにラヨ数で許されてる記号を使って記述するの？
どっちもビジービーバー関数とラヨ関数を書ける部品がほしい、っていう気持ちはなんとなく分かるんだけど
713:１３２人目の素数さん
17/09/30 00:20:12.60 JAWIVyZ1.net
F4もF7も定義は書いてない
おそらくふぃっしゅ氏の能力では厳密に定義出来ないと思われる
つまり、
714:ふぃっしゅ数は定まっていない
715:１３２人目の素数さん
17/09/30 00:31:36.53 Nve9j0IJ.net
>>691
> 計算不能関数を越える計算可能関数が見つかるといいな
停止性問題が分かってないな……
716:１３２人目の素数さん
17/09/30 06:12:11.79 JAWIVyZ1.net
>>687 や >>688 を超えるのは簡単だが
717:１３２人目の素数さん
17/09/30 07:07:56.02 zGJjclRQ.net
今巨大数界隈で主に何が分かってないのか分からない
なんかこう頭打ち感があるような
718:１３２人目の素数さん
17/09/30 10:49:52.88 CgqGDFAK.net
F4はチューリングマシンに、現在のヘッダの位置から右に並んだn個の1を読み取り
読み終わった0の位置からさらにみぎがわにBB(n)個の1を入力(すでに1になっている場合は
上書き)して適当な次の状態に移行するという一連の動作をこなすオラクルな
状態を追加する、とかすることで簡単にwell definedにできる。
F7は式の中でラヨ関数を扱えるようにするとか、そのまんまですでにwell definedになってるんじゃないか?
719:１３２人目の素数さん
17/09/30 10:57:26.20 CgqGDFAK.net
F7は神託式で拡張する方針をとってるけど、ラヨ階層を定義したならもう式の中で
ラヨ階層を扱えることにしたほうがよかったな。
FOOTでいうV_{Ord*2}を対角化した強さになるか?
720:１３２人目の素数さん
17/09/30 12:26:24.41 GIYQIn+U.net
>>698
その「fはBB(n)です」「fはラヨ関数です」という身もふたもない定義がされてたら分かるんだけど、「f」って抽象的に書かれてるとそのfの選び方がよく分からない。
なんでもありにしちゃうとF4のfにラヨ関数のオラクル入れたらF7と同じくらい強くなるしリトルビッゲドン入れたらF7抜くよね
721:１３２人目の素数さん
17/09/30 16:02:44.38 cpB/z41K.net
ラヨ関数も細部は定義されてないように見えるけど
原文だと書いてあったりする？
722:１３２人目の素数さん
17/09/30 17:52:37.01 GIYQIn+U.net
ラヨ関数は1番しっかり定義されてる部類じゃない？
どのページにも再帰的な式で定義が書いてあるぞ。
723:１３２人目の素数さん
17/10/01 02:15:33.23 GGUjJ2Iz.net
>>700
F4分かりました。再帰的定義の最初にf=x+1ってありましたね。でs(1)の定義に出力はそれを使ったビジービーバー関数とあるのでビジービーバー関数になります。ラヨ関数とかは出てきません。
724:１３２人目の素数さん
17/10/01 02:43:49.53 GGUjJ2Iz.net
F7も同じでした
725:１３２人目の素数さん
17/10/02 01:32:09.55 EzANjwvp.net
定義されてないっていう人は、何を見て定義されてないって言ってるんだろうね
726:１３２人目の素数さん
17/10/02 01:45:33.74 EzANjwvp.net
>>700
関数fから関数gへの写像s'(1)の定義が書かれているわけだから、fとして
なんでも選ぶことができる。
>>703
s'(1)は関数ではなくて関数から関数への写像なので、「s'(1)がビジービーバー」は
正しくない。s'(1)f がビジービーバー関数となる。
そして、s'(1)^2 f は２次のビジービーバー関数、といったような計算はwikiにも
巨大数論にも書いてあるので、よく読めばわかるはず。
727:１３２人目の素数さん
17/10/03 02:04:17.00 UNZhh4qM.net
矢印表記やハイパー演算の自然な拡張といえば
チェーン表記、強配列表記(LAN)、BEAF/BAN(線形配列)あたりが思い浮かぶが
他にも何か良さそうなのあるかな？
自分でも考えてみたがやはりそう簡単に思いつくものではなかった
というかまず上の3つがよく出来過ぎてるわ…
728:１３２人目の素数さん
17/10/03 12:17:42.81 eQwFikhe.net
Σ(n) := ビジービーバー関数
a,b,n := 0以上の整数
X := 0個以上の0以上の整数
a;b := b個のa
f()=Σ(10^10^100)
f(0)=Σ(f())
f(a+1)=Σ(f(a))
f(0;n+1,0)=f(f();n+1)
f(0;n+1,a+1)=f(f(0;n+1,a);n+1)
f(X,b+1,0;n,0)=f(X,b,f();n+1)
f(X,b+1,0;n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0;n,a);n+1)
s=f(f();f())
sはビジービーバー関数にグーゴルコンプレックスをぶち込んだ値を基に
再帰的に多変数化させて肥大化させてみた
これはデカイだろう
729:１３２人目の素数さん
17/10/03 17:56:04.30 a11DUPm+.net
2^2^2^2^2
730:１３２人目の素数さん
17/10/03 18:21:45.26 EqCF241A.net
増加加速度が急速増加する関数って無いかな
731:１３２人目の素数さん
17/10/03 20:24:22.87 LluX3mPK.net
>>708
ゴミ
>>710
2^2^2^2^n
732:１３２人目の素数さん
17/10/03 21:56:10.26 pPlmHKZc.net
ゴミ言うのはひどいが、再帰定義不可能なのが計算不可能レベルの強さであって、
計算不可能な関数を再帰で組み立てていくのはあんまり意味がない
733:１３２人目の素数さん
17/10/05 19:33:21.08 zhpD7xtN.net
あそこまでやっても巨大数的なスケールではほぼ変わってないも同然なのか…
734:１３２人目の素数さん
17/10/05 21:46:40.19 PiUCMjSu.net
f(x)<g(x)ならf(g(x))<g(f(x))といえるか？
735:１３２人目の素数さん
17/10/06 06:50:03.71 mbMXrSZ+.net
f(x)=x
g(x)=x+1
736:１３２人目の素数さん
17/10/06 10:06:05.01 eSIkekkH.net
ビジービーバー関数は、x>yの時、Σ(x)>Σ(y)は成り立たないの？
737:１３２人目の素数さん
17/10/06 12:56:08.52 2xQOSbxH.net
成り立つ
738:１３２人目の素数さん
17/10/06 20:35:51.38 macbBL2G.net
f(x)<g(x)ならf(g(x))<=g(f(x))といえるか。
ならどう？
739:１３２人目の素数さん
17/10/06 21:45:34.73 J7HxPx92.net
あまり実用的でないけど、ウルトラパワーで関数の強さを比較することもできるだろう。
740:１３２人目の素数さん
17/10/06 22:30:56.25 mbMXrSZ+.net
f(x)=x^2
g(x)=3^x
f(g(1))>g(f(1))
741:１３２人目の素数さん
17/10/07 11:15:37.53 zLpJzFrU.net
うーん。
g(x)がf(x)を支配するならg(f(x))はf(g(x))を支配するか？
だったら成り立つかなぁ？
742:１３２人目の素数さん
17/10/07 14:38:11.50 NR1kh3uk.net
a<b で f(x)=ax, g(x)=bx とか f(x)=x^a, g(x)=x^b だと f(g(x)) = g(f(x)) ですが、
f(x)=a^x, g(x)=b^x だとxがある値より大きいときに f(g(x)) > g(f(x)) ですね
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
743:１３２人目の素数さん
17/10/07 17:24:00.06 vQ3yCu47.net
なんと
フィッシュさんが既に解決してた問題でしたか
744:１３２人目の素数さん
17/10/08 00:20:33.83 yRV6eQzC.net
支配する
って何？
745:１３２人目の素数さん
17/10/08 11:12:42.95 flHbHaYE.net
巨大数論p.70参照
あるnがあって、x>nであればf(x)>g(x)が成り立つ時、fはgを支配する(dominate)と言う。
746:１３２人目の素数さん
17/10/09 06:36:22.89 SCADf+p2.net
一般的な数学用語？
ふぃっしゅっしゅ氏用語？
747:１３２人目の素数さん
17/10/09 17:06:16.99 amnMNnD5.net
gwiki用語な気がする
748:１３２人目の素数さん
17/10/09 17:10:21.14 amnMNnD5.net
URLﾘﾝｸ(googology.wikia.com)
Friedmanが使ってるって
749:１３２人目の素数さん
17/10/09 23:14:45.44 xIbfjnSO.net
対角化と支配する
URLﾘﾝｸ(ja.googology.wikia.com)
『数学基礎論講義』から引用されているので、一般的な用語かと
750:１３２人目の素数さん
17/10/10 22:36:41.68 cnO8m/bw.net
φ(1,0)=ε_0 φ(1,1)=ε_0*ω
φ(1,φ(φ(1,0)))=ε_0*ε_0 φ(1,φ(φ(1,0)+φ(φ(1,0))))=ε_0^ε_0
φ(1,φ(φ(1,0)*2))=ε_1 φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)+φ(φ(1,0)*2))))=ε_1^ε_1
φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)+φ(φ(1,0)*2)*2)))=ε_2
φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)+φ(φ(1,0)*2)*3)))=ε_3
φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)*2)))=ψ(Ω)
φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)*2)*2))=ψ(Ω+1)
φ(1,φ(φ(1,0)*3))))=ψ(ε_{Ω+1})
751:１３２人目の素数さん
17/10/10 22:55:57.69 cnO8m/bw.net
φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)+φ(φ(1,0)*2)*3)))=ε_3 から間違ってるかも
752:１３２人目の素数さん
17/10/12 12:55:32.20 X4P9R6j+.net
1行目から違う
753:１３２人目の素数さん
17/10/12 18:40:33.17 5vp6WJBF.net
ε_nの収束列ってこういう意味であってる？
ε_0 1,ω,ω^ω,ω^ω^ω
ε_0+ω
754: ε_0,ε_0+1,ε_0+2,ε_0+3,⋯ ε_0×2 ε_0,ε_0+ω,ε_0+ω^ω,ε_0+ω^ω^ω,⋯ ε_0×ω 0,ε_0×1,ε_0×2,ε_0×3,⋯ ε_0^2 ε_0,ε_0×ω,ε_0×ω^ω,ε_0×ω^ω^ω,⋯ ε_0^ω 1,ε_0,ε_0^2,ε_0^3,⋯ ε_0^^2 ε_0,ε_0^ω,ε_0^ω^ω,ε_0^ω^ω^ω,⋯ ε_0^^ω 1,ε_0,ε_0^ε_0,ε_0^ε_0^ε_0,⋯ ε_0^^^2 ε_0,ε_0^^ω,ε_0^^ω^^ω,ε_0^^ω^^ω^^ω,⋯ ε_0^^^ω 1,ε_0,ε_0^^ε_0,ε_0^^ε_0^^ε_0,⋯ ε_1=ε_0^^ω ε_2=ε_1^^ω=ε_0^^^ω ε_3=ε_2^^ω=ε_1^^^ω=ε_0^^^^ω
755:１３２人目の素数さん
17/10/12 18:52:17.49 5vp6WJBF.net
もしあっていたらε_nはωだけで表現出来るね
ε_0=ω^^ω
ε_1=ω^^^ω
ε_2=ω^^^^ω
ε_3=ω^^^^^ω
756:１３２人目の素数さん
17/10/12 20:57:18.03 4RZPt9jj.net
つか、俺は根本的なところが分かってないんだが、順序数ってつまるところ集合なんでしょ？
収束列ってホントに厳密に集合を定義してるといえるの？
757:１３２人目の素数さん
17/10/12 21:55:00.21 u4QGJhO3.net
ε_(n+1)=ε_n^^ω
758:１３２人目の素数さん
17/10/12 22:04:11.17 u4QGJhO3.net
順序数は収束列で定義されない。多分
759:１３２人目の素数さん
17/10/12 23:05:11.46 bZx2iUPb.net
収束列による順序数定義の説明は、感覚的に理解するための便宜的なもので、
順序数の厳密な定義を知るにはみっちりと集合論をやらないと、では
760:１３２人目の素数さん
17/10/13 00:29:57.98 p/hVHH+b.net
収束列で順序数を定義することはできるが順序数で収束列を定義することはできない、では
761:１３２人目の素数さん
17/10/13 00:33:30.24 p/hVHH+b.net
>>732
どういう定義で違うって言ってるんだろう？ 煽りでなく、単純に気になる
762:１３２人目の素数さん
17/10/13 10:23:59.15 QY5Udl9h.net
>>736
なるほど、こうなるのか
ε_0^^1=(ω^^ω)
ε_0^^2=(ω^^ω)^(ω^^ω)
ε_0^^3=(ω^^ω)^(ω^^ω)^(ω^^ω)
ε_1^^1=((ω^^ω)^^ω)
ε_1^^2=((ω^^ω)^^ω)^((ω^^ω)^^ω)
ε_1^^3=((ω^^ω)^^ω)^((ω^^ω)^^ω)^((ω^^ω)^^ω)
ε_2^^1=(((ω^^ω)^^ω)^^ω)
ε_2^^2=(((ω^^ω)^^ω)^^ω)^(((ω^^ω)^^ω)^^ω)
ε_2^^3=(((ω^^ω)^^ω)^^ω)^(((ω^^ω)^^ω)^^ω)^(((ω^^ω)^^ω)^^ω)
763:１３２人目の素数さん
17/10/13 19:56:28.24 9E8RYb2D.net
>>740
どういう定義で正しいと思ってるんだろう？
φ(1,1) = ε_1 >> ε_0*ω
764:１３２人目の素数さん
17/10/13 20:07:04.12 9E8RYb2D.net
ε_0*ω=φ(0,φ(1,0)+φ(0,0))
765:１３２人目の素数さん
17/10/13 20:22:41.00 p/hVHH+b.net
>>742
あれは普通のφ関数をReflection並みの強さが得られるように改造したものなんです。
766:１３２人目の素数さん
17/10/13 20:24:54.80 9E8RYb2D.net
「あれ」とは？
767:１３２人目の素数さん
17/10/13 20:44:43.78 p/hVHH+b.net
φ関数のことです。たぶんバシク氏がすでに通った道。
解析結果は>>730であってたかな
768:１３２人目の素数さん
17/10/13 20:53:15.87 p/hVHH+b.net
たしかにTaranovsky的に妥当な式で考えるかどうかで結果が異なる
769:１３２人目の素数さん
17/10/13 21:39:15.20 vTeJXgrT.net
Veblen関数とは関係ない、全然別の関数ってことね
770:１３２人目の素数さん
17/10/13 21:39:46.74 vTeJXgrT.net
定義はどこ？
771:１３２人目の素数さん
17/10/13 22:22:44.15 PG8ymHVO.net
>>734
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
772:１３２人目の素数さん
17/10/13 22:32:19.19 PG8ymHVO.net
テトレーションが左結合ならそれでよかったんだが、↑^nは右結合でした
じゃあ左結合な↑^nを↓^nとかオレオレ定義してやればいいじゃないの、と思って、うわーっやったらζ_0でまた右結合になって頓挫している風景が↓です
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
773:１３２人目の素数さん
17/10/14 21:10:41.35 4/RgTHH6.net
妥当な式の判定を間違えていて、>>743が正しいです。すみません。
以下、
φ(1,φ(φ(1,0)))=ε_{ε_0}
φ(1,φ(φ(1,0)*2))=ε_{ε_1}
φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)+φ(φ(1,0)*2))))=ε_{{ε_1}^2}
φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)+φ(φ(1,0)*2)*2)))=ε_{ε_2}
φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)+φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0))*2))))=ψ(Ω)
φ(1,φ(φ(1,0)*3))=ψ(ε_{Ω+1})
φ(1,φ(φ(φ(1,0)+1)))=φ(1,φ(φ(1,0)*ω))=ψ(Ω_ω)
φ(1,φ(φ(φ(1,0)*2)))φ=φ(1,φ(φ(1,0)^2))=ψ(ψ_I(0))
考え方はDegrees of Reflectionと同じです。定義をどうにかしないと
774:１３２人目の素数さん
17/10/16 00:32:44.12 5FRJzUo1.net
ビジービーバー関数の存在が証明出来ないってどういうことですか？
どのチューリングマシンも有限ステップで止まるか止まらないかの2種類しかなく、
有限ステップで止まるチューリングマシン有限個の中から最大値を選ぶのも普通に出来ると思うのですが
775:１３２人目の素数さん
17/10/16 16:11:59.79 xkIMTS0D.net
>>753
有限ステップで停止するチューリングマシンは無限個あるよ。
776:１３２人目の素数さん
17/10/16 18:36:08.62 2EMlqsai.net
それぞれの状態の数に対しては有限個しか存在しないんじゃないの?
777:１３２人目の素数さん
17/10/17 00:48:53.97 YpbTUmH5.net
有限個の整数の中に最大値が存在する
当たり前ですね
778:１３２人目の素数さん
17/10/17 00:54:24.96 YpbTUmH5.net
ラドーさんがず～っと昔にビジービーバー関数の存在を証明してます
779:１３２人目の素数さん
17/10/17 14:56:00.38 Mi8GMuVy.net
>>155あたりへの亀レスになるけど、実際100億年以上の時間をかけて、まったくランダムに粒子が
飛び交っている状態から、人類の脳のような割と高度な証明をそれなりに意図して出力できる
形式体系が出来上がっていると言えるんだな
780:１３２人目の素数さん
17/10/17 15:02:34.09 JEaU8ons.net
1スレッド目みたいな内容がはじまった
781:１３２人目の素数さん
17/10/17 15:20:38.62 Mi8GMuVy.net
ビジービーバー関数がどうこう言ってたあれって、超準的数と有限の普通の自然数をごっちゃに
してるのがそもそもの間違いなんじゃ
782:１３２人目の素数さん
17/10/17 15:51:02.76 Mi8GMuVy.net
>提案されている急増加計算不能関数は、まずビジービーバー関数が常に普通に自然数を返してくれること
が前提となっているように思える。
前提と言うか、そういう定義だよな
783:１３２人目の素数さん
17/10/17 18:15:10.35 YpbTUmH5.net
よく分かってない人がよく分からない理屈で否定してるだけかな？
Σ^9 (9) も、厳密に定義されたあるひとつの実数です
普通の帰納的定義では絶対に到達出来ない大きさの
784:１３２人目の素数さん
17/10/17 18:16:51.63 YpbTUmH5.net
定義自体は非常に簡単です
これでいて非常に大きな数が作れる
この手法を使わない手はないですね
785:１３２人目の素数さん
17/10/17 19:03:05.91 eNK1kEqq.net
Σ^1000 (1000)
786:１３２人目の素数さん
17/10/17 19:47:06.64 xxa7wWu3.net
>>757
> ラドーさんがず～っと昔にビジービーバー関数の存在を証明してます
ビジービーバー関数が数学の関数の意味でwell-definedな定義を持つのは古典論理では明らかだけど
構成的数学（排中律あるいは二重否定の除去を認めない直観主義論理に基づき公理としては無制限の通常の選択公理は認めない）の
立場からすると、ビジービーバー関数の存在って証明できるのかな？
787:１３２人目の素数さん
17/10/17 20:07:44.26 Mi8GMuVy.net
排中律を認めなかったら定理が存在しなくなるんじゃなかった?
FOSTで超準モデルの存在を否定できない線も考えてみたけど、2階算術で
自然数論の超準モデルを否定できるからラヨ関数の強さが揺らぐ問題でもなかった。
788:１３２人目の素数さん
17/10/17 20:15:04.65 Mi8GMuVy.net
定理が存在しなくなるは言い過ぎだった
789:１３２人目の素数さん
17/10/19 18:51:11.13 4IW8Cq8p.net
昔フラクタル言ってたのがいたけど、多重再帰関数とかある意味フラクタルだよな
790:１３２人目の素数さん
17/10/19 19:39:47.01 ixR/QlBv.net
書き下すと形がフラクタルになる演算方法があれば、有限スケールでどこまでも大きな数を作れそうだな
791:１３２人目の素数さん
17/10/20 19:10:46.18 ju257STM.net
ラムダ計算でもヒドラでもフラクタルでも、○○を使って巨大数を表記するor定義する
というのは表現の問題であって、新しい表現を使えば新しい強さを得られるかは別問題、
逆にすでに定義されている巨大数やシステムをラムダ計算なりヒドラなりフラクタルなりで
表現してもよし
792:１３２人目の素数さん
17/10/20 23:53:13.59 EmMpxaAS.net
ビジービーバー関数は1～4まではわかってるけど
ヲヨ関数の特殊値って求められているのかな
793:１３２人目の素数さん
17/10/21 00:34:51.53 rgzBUJBt.net
大きい数よりシンプルでスマートなシステムの方が興味ある
794:１３２人目の素数さん
17/10/21 00:35:53.77 Qa47M3jJ.net
順序数ってどこまででも大きいのはあるけど、
全部の順序数を表現�
795:ﾅきるような構文があると仮定すると ゲーデルの不完全性定理に抵触するとかそんな感じなんですか？
796:１３２人目の素数さん
17/10/21 18:50:46.04 TK+/wR66.net
可算種有限文字数で記述できる順序数の数は可算種類
ざっくり言って、計算可能な関数しか定義できない言語のモデルでは、ω^CKと第一非可算順序数の
区別がつかない。
1階述語論理のモデルではすべての順序数が(外から見て)Ωの中に収まることも考えられる。
797:名無しさん＠そうだ選挙に行こう！ Go to vote!
17/10/22 19:11:02.28 7Jp6nmVt.net
血で胎蔵界曼荼羅を描くしかないな
798:１３２人目の素数さん
17/10/23 13:18:40.36 hBXw/xHg.net
順序数の大きさを競うスレじゃないから
巨体な実数を作るのに利用出来る順序数しか意味がない
799:￥
17/10/23 19:30:58.76 Dl6USvMt.net
￥
800:￥
17/10/23 19:31:14.41 Dl6USvMt.net
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17/10/23 19:31:29.67 Dl6USvMt.net
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17/10/23 19:31:45.55 Dl6USvMt.net
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17/10/23 19:32:02.24 Dl6USvMt.net
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17/10/23 19:32:17.47 Dl6USvMt.net
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17/10/23 19:33:07.07 Dl6USvMt.net
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17/10/23 19:33:31.29 Dl6USvMt.net
￥
809:１３２人目の素数さん
17/10/27 19:06:39.09 aWe/bH/J.net
a,c,n := 0以上の整数
X := 0個以上の0以上の整数
Y := 1個以上の0以上の整数
a#b := a個のb
N := 十分に大きな自然数
g(x) := 1変数の増加関数
f(…) は、g(N)に対してω^ωの強化
f(…)(…) は、g(N)に対してω^(ω×2)の強化
f(0)=N
f(a+1)=g(f(a))
f(0#(n+1),0)=f(N#(n+1))
f(0#(n+1),a+1)=f(f(0,a)#(n+1))
f(X,b+1,0#(n+1))=f(X,b,N#(n+1))
f(X,b+1,0#n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0#n,a)#(n+1))
f(0)(0)=f(N#N)
f(0)(a+1)=f(f(0)(a)#f(0)(a))
f(0#(n+1),0)(0)=f(N#(n+1))(N#N)
f(0#(n+1),0)(a+1)=f(f(0#(n+1),0)(a)#(n+1))(f(0#(n+1),0)(a)#f(0#(n+1),0)(a))
f(X,b+1,0#n)(0)=f(X,b,N#n)(N#N)
f(X,b+1,0#n)(a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0#n)(a)#n)(f(X,b+1,0#n)(a)#f(X,b+1,0#n)(a))
f(Y)(0#(n+1),0)=f(Y)(N#(n+1))
f(Y)(0#(n+1),a+1)=f(Y)(f(Y)(0,a)#(n+1))
f(Y)(X,b+1,0#(n+1))=f(Y)(X,b,N#(n+1))
f(Y)(X,b+1,0#n,a+1)=f(Y)(X,b,f(Y)(X,b+1,0#n,a)#(n+1))
810:１３２人目の素数さん
17/10/27 21:09:25.38 Ngw6t4Op.net
繰り返しの単位を強化するより繰り返しの単位を変化させる方法を強化したほうが
強くなるというのはなんとなくわかる>バシク行列系
でもそろそろ、ある単位を変化させながら繰り返す操作よりも上に来る概念が欲しい
811:１３２人目の素数さん
17/10/27 21:13:55.50 Ngw6t4Op.net
バシク行列ある意味チューリング完全よりは弱いプログラミング言語ということになる。
チューリング完全よりは弱いがバシク行列系よりは強い言語を所望する。
812:１３２人目の素数さん
17/10/27 21:30:14.02 Vtdb3dew.net
>>788
「繰り返しの単位を変化させる方法を強化させる方法」を強化する
813:１３２人目の素数さん
17/10/27 22:34:06.62 Ngw6t4Op.net
>>790
そういう単純な話でなくて・・・というかそうやって重ねるのはもはや意味がないレベルかと
814:１３２人目の素数さん
17/10/28 13:33:31.73 9yf/k3h3.net
そうやって重ねるのがもはや意味がない関数
っていうのを数学的に表現すればいい
815:１３２人目の素数さん
17/10/28 13:37:03.20 rg0XeHWO.net
合成不可能な関数ってこと？
816:１３２人目の素数さん
17/10/28 15:48:12.38 63ywKFBX.net
なんでそうなる
817:１３２人目の素数さん
17/10/28 17:57:24.54 jV4GOXlJ.net
小さすぎて話にならん
てことだ
818:１３２人目の素数さん
17/10/28 17:58:56.97 68jY77bk.net
意味がないというよりは、システムを強くするにはいろんなやり方があるけれど、
そういうのは＋１程度の意味しかないということだな。
たしかにシステムを強くしようとすると必然的にそうなるけど、そういうのは基本中の基本
であってもはや本質ではないって感じ
819:１３２人目の素数さん
17/10/28 18:18:29.51 68jY77bk.net
今までは原始再帰とか、ペアノ算術とか、型理論とか、ZFC＋巨大基数公理とか、それぞれの
意味から具体的に巨大数を出力する何かしらの形を作ることができたけど、バシク行列は
もはや意味論的に人類未踏の領域に入ってるかもしれない。
・・・というのはまだ先走り過ぎかもしれない
820:１３２人目の素数さん
17/10/29 00:06:58.20 e3s3JQ2F.net
>>789
なんでチューリング完全より弱い方が良い？
巨大な実数を検索するスレだぞ
821:１３２人目の素数さん
17/10/29 00:27:17.33 B0VqL8l9.net
チューリング完全より弱くないと計算できないだろ？
822:１３２人目の素数さん
17/10/29 08:12:54.01 riBqRPJ6.net
チューリング完全より弱いと計算できるのか？
823:１３２人目の素数さん
17/10/29 09:41:37.38 e3s3JQ2F.net
9^9^9^9
も計算するのは無理
824:１３２人目の素数さん
17/10/29 17:52:38.72 e3s3JQ2F.net
いわゆる計算可能性で言えば
>>764も計算可能
ただ単に計算可能でない関数が表現に出てくるだけ
825:１３２人目の素数さん
17/10/29 17:54:54.72 e3s3JQ2F.net
全ての整数は計算可能
826:１３２人目の素数さん
17/10/31 00:24:55.22 KpfS8ZOh.net
俺がアルファ碁ZEROに互先で勝てる確率の逆数
827:１３２人目の素数さん
17/10/31 01:46:04.28 +X0Zt/5u.net
無勝負に持ち込まれなければやり方次第で二局やって誰でも一勝はできるよ。
828:１３２人目の素数さん
17/10/31 10:37:08.42 YRWHm3a0.net
>>804
そんなゴミみたいな数
1スレッド目じゃないんだから
829:１３２人目の素数さん
17/10/31 15:40:12.80 l0JYpGnd.net
“[“ と “]” だけでどこまで大きな数が表現できるか
[]=1
[][]=2
[][][]=3
[[]]=ω
[[]][]=ω+1
[[]][][]=ω+2
[][[]]=ω×2
[][[]][]=ω×2+1
[][[]][][]=ω×2+2
[][][[]]=ω×3
[][][[]][]=ω×3+1
[][][[]][][]=ω×3+2
[[]][[]]=ω^2
[[]][[]][]=ω^2+1
[[]][[]][][]=ω^2+2
[[]][][[]]=ω^2+ω
[[]][][[]][]=ω^2+ω+1
[[]][][[]][][]=ω^2+ω+2
[[]][][][[]]=ω^2+ω×2
[[]][][][[]][]=ω^2+ω×2+1
[[]][][][[]][][]=ω^2+ω×2+2
[][[]][[]]=ω^2×2
[][[]][[]][]=ω^2×2+1
[][[]][[]][][]=ω^2×2+2
[][[]][][[]]=ω^2×2+ω
[][[]][][[]][]=ω^2×2+ω+1
[][[]][][[]][][]=ω^2×2+ω+2
[][[]][][][[]]=ω^2×2+ω×2
[][[]][][][[]][]=ω^2×2+ω×2+1
[][[]][][][[]][][]=ω^2×2+ω×2+2
[][][[]][[]]=ω^2×3
[][][[]][[]][]=ω^2×3+1
[][][[]][[]][][]=ω^2×3+2
[][][[]][][[]]=ω^2×3+ω
[][][[]][][[]][]=ω^2×3+ω+1
[][][[]][][[]][][]=ω^2×3+ω+2
[][][[]][][][[]]=ω^2×3+ω×2
[][][[]][][][[]][]=ω^2×3+ω×2+1
[][][[]][][][[]][][]=ω^2×3+ω×2+2
[[]][[]][[]]=ω^3
[[]][[]][[]][[]]=ω^4
[[][]]=ω^ω
830:１３２人目の素数さん
17/10/31 15:42:24.36 l0JYpGnd.net
[[][]][]=ω^ω+1
[[][]][][]=ω^ω+2
[[][]][[]]=ω^ω+ω
[[][]][[]][[]]=ω^ω+ω^2
[[][]][[]][[]][[]]=ω^ω+ω^3
[][[][]]=ω^ω×2
[][][[][]]=ω^ω×3
[[]][[][]]=ω^(ω+1)
[[]][[]][[][]]=ω^(ω+2)
[[][]][[][]]=ω^(ω×2)
[[][]][[][]][[][]]=ω^(ω×3)
[[][][]]=ω^ω^2
[[][][]][[][][]]=ω^(ω^2×2)
[[][][][]]=ω^ω^3
[[][][][][]]=ω^ω^4
[[[]]]=ω^ω^ω
[[[]]][[[]]]=ω^(ω^ω×2)
[[[]][]]=ω^ω^(ω+1)
[[[]][]][[[]][]]=ω^(ω^(ω+1)×2)
[[[]][][]]=ω^ω^(ω+2)
[[][[]]]=ω^ω^(ω×2)
[[][][[]]]=ω^ω^(ω×3)
[[[]][[]]]=ω^ω^ω^2
[[[]][[]][[]]]=ω^ω^ω^3
[[[][]]]=ω^ω^ω^ω
[[[][]]][[[][]]]=ω^(ω^ω^ω×2)
[[[][]][]]=ω^ω^(ω^ω+1)
[[[][]][]][[[][]][]]=ω^(ω^(ω^ω+1)×2)
[[[][]][][]]=ω^ω^(ω^ω+2)
[[[][]][[]]]=ω^ω^(ω^ω+ω)
[[[][]][[]]][[[][]][[]]]=ω^(ω^(ω^ω+ω)×2)
[[[][]][[]][]]=ω^ω^(ω^ω+ω+1)
[[[][]][[]][]][[[][]][[]][]]=ω^(ω^(ω^ω+ω+1)×2)
[[[][]][[]][][]]=ω^ω^(ω^ω+ω+2)
[[[][]][][[]]]=ω^ω^(ω^ω+ω×2)
[[[][]][][[]]][[[][]][][[]]]=ω^(ω^(ω^ω+ω×2)×2)
[[[][]][][[]][]]=ω^ω^(ω^ω+ω×2+1)
[[[][]][][][[]]]=ω^ω^(ω^ω+ω×3)
[[[][]][[]][[]]]=ω^ω^(ω^ω+ω^2)
[[][[][]]]=ω^ω^(ω^ω×2)
[[[]][[][]]]=ω^ω^ω^(ω+1)
[[[]][[]][[][]]]=ω^ω^ω^(ω×2)
[[[][]][[][]]]=ω^ω^ω^ω^2
[[[][]][[][]][[][]]]=ω^ω^ω^ω^3
[[[][][]]]=ω^ω^ω^ω^ω
831:１３２人目の素数さん
17/10/31 15:43:31.45 l0JYpGnd.net
[[[][][]]][[[][][]]]=ω^(ω^ω^ω^ω×2)
[[[][][]][]]=ω^ω^(ω^ω^ω+1)
[[[][][]][][]]=ω^ω^(ω^ω^ω+2)
[[[][][]][[]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω)
[[[][][]][][[]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω×2)
[[[][][]][[]][[]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^2)
[[[][][]][[]][[]][[]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^3)
[[[][][]][[][]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^ω)
[[[][][]][[][]]][[[][][]][[][]]]=ω^(ω^(ω^ω^ω+ω^ω)×2)
[[[][][]][[][]][]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^ω+1)
[[[][][]][[][]][[]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^ω+ω)
[[[][][]][[][]][[]][]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^ω+ω+1)
[[[][][]][[][]][][[]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^ω+ω×2)
[[[][][]][[][]][[]][[]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^ω+ω^2)
[[[][][]][][[][]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^ω×2)
[[[][][]][[]][[][]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^(ω+1))
[[[][][]][[]][[]][[][]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^(ω+2))
[[[][][]][[][]][[][]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^(ω×2))
[[[][][]][[][]][[][]][[][]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^(ω×3))
[[][[][][]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^ω^2)
[[][][[][][]]]=ω^ω^(ω^ω^ω+ω^ω^3)
[[[]][[][][]]]=ω^ω^(ω^ω^ω×2)
[[[]][[]][[][][]]]=ω^ω^(ω^ω^ω×3)
[[[][][]][[][][]]]=ω^ω^ω^ω^ω^2
[[[][][][]]]=ω^ω^ω^ω^ω^ω
[[[][][][][]]]=ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω
[[[[]]]]=ε_0
832:１３２人目の素数さん
17/10/31 15:50:20.84 l0JYpGnd.net
[[[[]]]]（4重ネスト）がε_0なので、まだまだ余裕で大きくなると思うけど疲れたのでここまで
833:１３２人目の素数さん
17/10/31 17:01:09.90 g59stfOw.net
結論を言えばどこまでも大きな可算順序数を表現できる
834:１３２人目の素数さん
17/10/31 18:07:08.06 l0JYpGnd.net
おお、加算順序数全部いただきました
835:１３２人目の素数さん
17/10/31 18:26:37.08 Xgeihuq1.net
通常のヒドラより強いてことだよね
どこで強くなってるんだろう
836:１３２人目の素数さん
17/10/31 18:42:52.06 AY0ax6l+.net
>>811
可算順序数に限らず、定義可能な順序数全てを表現出来る
その定義した順序数を [ などと表記することにすればいい
じゃあ指定した順序数未満を全て表現可能な[ ]2文字からなる表記法があるか？
その具体例を示せ
という問題だと急に難しくなる
837:１３２人目の素数さん
17/10/31 18:43:16.04 qIgaJXYV.net
ω^3+ωは
[[]][[]][][[]]で、
ω^3+ω^2+ωは
[[]][][[]][][[]]
って感じで合ってる？
すごいなこれ
838:１３２人目の素数さん
17/10/31 18:43:56.02 AY0ax6l+.net
>>807 ここは大きな実数を探索するスレッドですよ
840:１３２人目の素数さん
17/10/31 18:48:28.24 AY0ax6l+.net
ε_0みたいな極小順序数、いまさらどうでもよくね？
841:１３２人目の素数さん
17/10/31 18:56:21.08 AY0ax6l+.net
そんなことやってたら一生>>764を越えられない
842:１３２人目の素数さん
17/10/31 20:15:02.41 KpfS8ZOh.net
>>807-809を素直に解釈すれば[[[[...[]...]]]]は何になるの？
843:１３２人目の素数さん
17/10/31 20:44:26.05 g59stfOw.net
ええと、有限数可算種文字での話をしているとして、
どこまでも大きな可算順序数までを表現する方法は存在するけど、第一非可算順序数までの
すべての可算順序数を表現することはできない、ということね。
844:１３２人目の素数さん
17/10/31 20:51:13.14 g59stfOw.net
>>764は計算可能部門では実質超えられない数だろう。
それにでかさがすべてというもんでもない。
845:１３２人目の素数さん
17/10/31 21:19:08.09 KpfS8ZOh.net
Σ^1000 (1000)を計算可能な言語で表そうとしたらΣ^999(1000)文字位ひつようかな？
846:１３２人目の素数さん
17/11/01 11:51:54.76 MqkW6ky3.net
>>821
いや、でかさが全てだ
ここはそういうスレ
847:１３２人目の素数さん
17/11/01 14:21:19.75 PtoNvTuT.net
Λ(0)=Σ^[1000](1000)
Λ(n+1)=Σ^[Λ(n)](Λ(n))
Λ(1000)
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17/11/01 14:58:24.12 cSPyhj3J.net
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17/11/01 14:58:41.48 cSPyhj3J.net
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17/11/01 14:59:16.55 cSPyhj3J.net
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17/11/01 14:59:33.65 cSPyhj3J.net
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17/11/01 14:59:50.85 cSPyhj3J.net
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17/11/01 15:00:07.87 cSPyhj3J.net
￥
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17/11/01 15:00:33.02 cSPyhj3J.net
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17/11/01 15:00:52.61 cSPyhj3J.net
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17/11/01 15:01:13.24 cSPyhj3J.net
￥
858:１３２人目の素数さん
17/11/01 20:31:21.40 Ly69Hs1+.net
>>824
>>711-712
859:１３２人目の素数さん
17/11/02 00:00:24.88 CvoS4R8E.net
巨大数に探索の余地はあるの？
860:１３２人目の素数さん
17/11/02 06:02:20.13 yLMQAo0S.net
ある
861:１３２人目の素数さん
17/11/02 13:30:34.69 pon8y/HL.net
>>820
ω_2^CK までを表現する具体例をよろしく！
862:１３２人目の素数さん
17/11/02 13:31:46.49 9kFs16qU.net
でかさが全てと言ってしまうと探索の幅はえらく狭められてしまうさ
863:１３２人目の素数さん
17/11/02 17:53:10.02 pErzezzm.net
そうか？
そんなに完成されてないぞ
まだまだ先がある
864:１３２人目の素数さん
17/11/02 18:32:54.31 9kFs16qU.net
そりゃどこまで行ったってそう言えるよ。
「でかい」という結果ばかりにこだわればその内に秘める本質や流れを探究できるというものではない。
>>838
無限時間チューリングマシンなりSKIΩコンビネータなりFOSTなり、好きなのをどうぞ
865:１３２人目の素数さん
17/11/02 19:57:38.58 yLMQAo0S.net
>>841
無限時間チューリングマシンだと
0, ω, Γ_0, ω_1^CK, ω_1^CK + Γ_0 + ω
はそれぞれどういう表記になりますか？
866:１３２人目の素数さん
17/11/02 23:40:51.15 xnHFDrJ5.net
最近Γ_0に興味が湧いてきた。
Γ_0相当の巨大関数ってどんなのがある？
867:１３２人目の素数さん
17/11/03 06:59:52.29 9u6cASUB.net
Veblen + Hardy
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878:１３２人目の素数さん
17/11/03 08:47:23.40 0aHN5DyI.net
>>841
本質を知らないとデカい数は作れない
>>824が良い例
879:１３２人目の素数さん
17/11/03 08:49:50.37 0aHN5DyI.net
>>708 もひどいが、これは明らかに釣りだろう
コンプレックス
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890:１３２人目の素数さん
17/11/03 12:42:10.96 Tf+Zt+og.net
>>855でかい数を作れば本質をなんでも知れるというものではない
891:１３２人目の素数さん
17/11/03 13:16:46.50 0aHN5DyI.net
本当に数学板の住人？
>>867は>>855の否定になってないわけだが
892:１３２人目の素数さん
17/11/03 14:21:38.14 Tf+Zt+og.net
否定しているわけではなくて、それがすべてではないと言いたかっただけです
893:１３２人目の素数さん
17/11/03 16:02:49.67 9u6cASUB.net
>>842お願いします
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904:１３２人目の素数さん
17/11/03 21:13:41.02 Tf+Zt+og.net
でかさが全てという主張の中で、計算可能関数と不可能関数はそれぞれ別に考えるのか、
計算可能関数はこのスレで扱うに値しないと考えるのか、気になる。
>>842はプログラミング言語やSKIΩコンビネータでやるならともかく、直接チューリングマシンで
やるのは不可能でないにしても難しいし分かりづらい。
概要を言えば、とりあえず後者関数を0として、そこから急増加関数でもなんでもいいから
関数と順序数を対応させていくことになる。
海外勢によってω^ω辺りまではチューリングマシンによる表現がみつかっているか?
905:１３２人目の素数さん
17/11/03 21:17:57.28 Tf+Zt+og.net
プログラミング言語による表現を直接機械が扱う表現に翻訳すればいい話ではある
906:１３２人目の素数さん
17/11/03 21:29:26.04 9u6cASUB.net
>>807
>>811
>>814
>>820
>>838
という流れがわからずに
>>841を書いちゃったってことですか？
907:１３２人目の素数さん
17/11/03 22:02:58.00 Tf+Zt+og.net
ω_2^CK までを表現する具体例の存在を疑っての>>838だと思ったんだ。
こちらの深読みしすぎでした。すまん
908:１３２人目の素数さん
17/11/04 07:03:04.32 kXMHfEXm.net
チューリングマシンじゃなくてもいいから
具体例をよろしく！
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919:１３２人目の素数さん
17/11/04 22:24:19.93 44UJ0pv/.net
>>824なんかは、Σじゃなくて後者関数ならわーすごーいってなるけどビジービーバー関数
使ってるから種のわりにしょぼいってなるんだ
920:１３２人目の素数さん
17/11/04 22:53:26.89 McUO2LD1.net
「でかさが全てだ」という主張に対する皮肉だと思うよ
921:１３２人目の素数さん
17/11/05 00:37:39.46 QK0W2yPI.net
計算不能関数全てを対角化すると言い出しそうな勢いだな。なさそうだけど
922:１３２人目の素数さん
17/11/05 01:08:42.31 QK0W2yPI.net
枠組みごとに大きな実数を探索でいいでしょ。
そう決まっていればラヨ関数の増加率未満の話題にラヨ関数出すような馬鹿も出ない。
今のところこのスレだけで事足りると思う。
923:１３２人目の素数さん
17/11/05 07:17:06.55 u0o2Zj7F.net
素数部門
2^74207281-1
924:１３２人目の素数さん
17/11/05 08:06:17.06 u0o2Zj7F.net
巨大数入門者部門
巨大数初級部門
巨大数中級部門
一般部門
925:１３２人目の素数さん
17/11/05 10:04:20.26 wUy07XrY.net
このスレの住人の総力で大きな数を定義しよう
という方向はないのかな？
926:１３２人目の素数さん
17/11/05 12:07:40.25 eKb/JzCC.net
強い=でかいというものでもない。
高階述語論理を扱えるCoCを対角化したloader.cよりもFOSTで記述可能なビジービーバー関数
の方が強い。しかし基となる言語はFOSTより高階述語論理の方が強い。
実装の仕方、計算可能などの満たさなければならない条件も関係してくる、かと
927:１３２人目の素数さん
17/11/05 13:11:08.47 h/p59Ajs.net
>>902
サスカッチが意味不明なので、一旦なかったと考えて、リトルビッゲドンを超える巨大数を考えてどうぞ
928:￥
17/11/06 08:52:31.34 StBgmS4d.net
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938:１３２人目の素数さん
17/11/06 10:43:24.39 tAib8b8+.net
ε_0以降を表現しようと思ったがε_0^ε_0で挫折
>>819は遠い
[[[[]]]][]=ε_0+1
[[
939:[[]]]][][]=ε_0+2 [[[[]]]][[]]=ε_0+ω [[[[]]]][[]][[]]=ε_0+ω^2 [[[[]]]][[][]]=ε_0+ω^ω [[[[]]]][[][]][[][]]=ε_0+ω^(ω×2) [[[[]]]][[][][]]=ε_0+ω^ω^2 [[[[]]]][[][][][]]=ε_0+ω^ω^3 [[[[]]]][[[]]]=ε_0+ω^ω^ω [[[[]]]][[[][]]]=ε_0+ω^ω^ω^ω [[[[]]]][[[][][]]]=ε_0+ω^ω^ω^ω^ω [][[[[]]]]=ε_0×2 [][][[[[]]]]=ε_0×3 [[]][[[[]]]]=ε_0×ω [[]][[]][[[[]]]]=ε_0×ω^2 [[][]][[[[]]]]=ε_0×ω^ω [[][][]][[[[]]]]=ε_0×ω^ω^2 [[][][][]][[[[]]]]=ε_0×ω^ω^3 [[[]]][[[[]]]]=ε_0×ω^ω^ω [[[][]]][[[[]]]]=ε_0×ω^ω^ω^ω [[[][][]]][[[[]]]]=ε_0×ω^ω^ω^ω^ω [[[[]]]][[[[]]]]=ε_0^2 [[[[]]][]]=ε_0^ω [[[[]]][]][[[[]]][]]=ε_0^(ω×2) [[[[]]][][]]=ε_0^ω^2 [[[[]]][[]]]=ε_0^ω^ω [[[[]]][[]]][[[[]]][[]]]=ε_0^(ω^ω×2) [[[[]]][[]][]]=ε_0^ω^(ω+1) [[[[]]][[]][][]]=ε_0^ω^(ω+2) [[[[]]][][[]]]=ε_0^ω^(ω×2) [[[[]]][][][[]]]=ε_0^ω^(ω×3) [[[[]]][[]][[]]]=ε_0^ω^ω^2 [[[[]]][[]][[]][[]]]=ε_0^ω^ω^3 [[[[]]][[][]]]=ε_0^ω^ω^ω [[[[]]][[][]]][[[[]]][[][]]]=ε_0^(ω^ω^ω×2) [[[[]]][[][]][]]=ε_0^ω^(ω^ω+1) [[[[]]][[][]][][]]=ε_0^ω^(ω^ω+2) [[[[]]][[][]][[]]]=ε_0^ω^(ω^ω+ω) [[[[]]][[][]][[]][[]]]=ε_0^ω^(ω^ω+ω^2) [[[[]]][][[][]]]=ε_0^ω^(ω^ω×2) [[[[]]][][][[][]]]=ε_0^ω^(ω^ω×3) [[[[]]][[]][[][]]]=ε_0^ω^ω^(ω+1) [[[[]]][[]][[]][[][]]]=ε_0^ω^ω^(ω+2) [[[[]]][[][]][[][]]]=ε_0^ω^ω^(ω×2) [[[[]]][[][][]]]=ε_0^ω^ω^ω^2 [[[[]]][[][][]][[][][]]]=ε_0^ω^ω^ω^3 [[[[]]][[][][][]]]=ε_0^ω^ω^ω^ω
940:１３２人目の素数さん
17/11/06 10:44:21.52 tAib8b8+.net
[[[[]]][[][][][]]][[[[]]][[][][][]]]=ε_0^(ω^ω^ω^ω×2)
[[[[]]][[][][][]][]]=ε_0^ω^(ω^ω^ω+1)
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[[][[[]]]]=ε_0^ε_0
941:１３２人目の素数さん
17/11/06 17:37:49.40 5naJkBtE.net
チラシの裏でやれ
942:１３２人目の素数さん
17/11/06 18:51:20.36 8xlVP1DK.net
「ZFC+巨大基数」の公理系上で
適当な言語n文字で定義可能な最大の実数
とかっていう感じで定義出来ない？
943:１３２人目の素数さん
17/11/06 20:42:22.60 pZnpiBwz.net
存在するの？
944:１３２人目の素数さん
17/11/06 20:44:50.79 ZgOfRoOb.net
ビジービーバーとおんなじ理屈で存在しそうな気もするけど
逆に存在しないとしたらどういう理由でなんだろ。
945:１３２人目の素数さん
17/11/06 22:26:45.84 zGTWUWxV.net
すでにフリードマンかだれかがそういうのやってなかった?
946:１３２人目の素数さん
17/11/06 22:34:11.57 LmwBOQ0H.net
フリードマンの超越整数
つ URLﾘﾝｸ(ja.googology.wikia.com)超越整数
947:１３２人目の素数さん
17/11/06 22:37:25.42 LmwBOQ0H.net
ただ微妙に計算可能関数なので計算不可能関数のビジービーバーよりは弱い
計算不可能関数化はできるけど全ての公理系を対角化してるラヨ数が発見された後だと今更感ある
948:１３２人目の素数さん
17/11/06 23:11:18.84 ZgOfRoOb.net
計算可能ってフリードマンの超越整数のこと？
それともZFCのn文字でってやつのこと？
949:１３２人目の素数さん
17/11/07 01:44:42.62 f3nVFimB.net
>>924
>>923の主語は超越整数のつもりだった
950:１３２人目の素数さん
17/11/07 04:12:01.04 T1VNo6yR.net
ビジービーバーより弱いんじゃ話にならん
951:１３２人目の素数さん
17/11/07 04:13:26.77 T1VNo6yR.net
全ての公理系を対角化？
そんなことは不可能だろ
952:１３２人目の素数さん
17/11/07 11:32:08.11 PW4eGwOH.net
>>926それ言うたらloader.cも話にならん
>>927有限公理化可能であればFOSTの対角化でいける。そうでなくてもFOOTなんかの
対角化でいけると思う
その全域性をその言語で有限文字数で記述できなければいける・・・?