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109:１３２人目の素数さん
17/02/24 13:30:54.27 3GAQLcwe.net
「サバンナで一番早い動物」の答を求めてるんじゃなくて、
答に至るまでの考え方や知能のはたらき方といった過程を
求めてるんだけど、過程に興味ないと言われてしまえばそれまでなのだわ。
110:１３２人目の素数さん
17/02/24 13:40:55.42 3GAQLcwe.net
計算不可能レベルでは一番の存在を示すことはできても
それが何であるかを知ることができなくなってきますし・・・
主に英語版の住民がやってることだが、計算不可能レベルにもそれなりに需要があるわけで、
みんな具体的な動物名が知りたくてやってるというのは極論かと。
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121:１３２人目の素数さん
17/02/24 19:56:16.94 B31hNMH7.net
函数を比べるためにはそれよりも強い函数が必要になるんじゃないの?
でそんな函数があればそれを利用したもっと強い函数が出てきて・・・
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132:１３２人目の素数さん
17/02/24 23:03:41.03 7rBpKSht.net
BIG FOOT、BIG FOFT、Little Biggedonにはさらに次の議論を示唆する余地があって良いよね。有意義だと思う。
でも計算可能関数もいいよね。それは何だ。っていうのが見えてきて。
133:１３２人目の素数さん
17/02/24 23:07:33.72 tCtsrEd9.net
Τ_1(0)=ψ_0(Ω^Ω)
Τ_1(0,0)=ψ_0(Ω^Ω)×2
Τ_1(Τ_0(Τ_1(0)))=ψ_0(Ω^Ω)^2
Τ_1(Τ_0(Τ_1(0)),1,Τ_0(Τ_1(0)))=ψ_0(Ω^Ω)^3
Τ_1(Τ_0(Τ_1(0)),ω)=ψ_0(Ω^Ω+1)
Τ_1(Τ_0(Τ_1(0)),Τ_0(Τ_1(0)))=ψ_0(Ω^Ω×2)
Τ_1(Τ_0(Τ_1(0))+1)=ψ_0(Ω^Ω×ω)
Τ_1(Τ_0(Τ_1(0),1))=ψ_0(Ω^(
134:Ω+1)) Τ_1(Τ_0(Τ_1(0),1,Τ_1(0)))=ψ_0(Ω^(Ω+ψ_0(Ω^Ω))) Τ_1(Τ_1(0))=ψ_0(Ω^(Ω×2)) Τ_1(Τ_1(0),0,Τ_1(0))=ψ_0(Ω^(Ω×3)) Τ_1(Τ_1(0),1)=ψ_0(Ω^(Ω×ω)) Τ_1(Τ_1(0),1,Τ_1(0))=ψ_0(Ω^Ω^2) Τ_1(Τ_1(0),2)=ψ_0(Ω^Ω^ω) Τ_1(Τ_1(0),ω)=ψ_0(ψ_1(0)) Τ_1(Τ_1(0),ω,ω)=ψ_0(ψ_1(1)) Τ_1(Τ_1(0),ω,Τ_1(0))=ψ_0(ψ_1(Ω)) Τ_1(Τ_1(0),ω+1)=ψ_0(ψ_1(Ω×ω)) Τ_1(Τ_1(0),ω+2)=ψ_0(ψ_1(Ω^ω)) Τ_1(Τ_1(0),ω×2)=ψ_0(ψ_1(ψ_1(0))) Τ_1(Τ_1(0),ω^2)=ψ_0(ψ_1(Ω_2)) Τ_1(Τ_1(0),ω^2,Τ_1(0))=ψ_0(ψ_1(Ω_2×Ω)) Τ_1(Τ_1(0),ω^3)=ψ_0(ψ_1(Ω_2^2)) Τ_1(Τ_1(0),Τ_1(0))=ψ_0(ψ_1(Ω_2^Ω_2)) Τ_1(Τ_1(0),Τ_1(0),ω)=ψ_0(ψ_1(Ω_2^Ω_2+1)) Τ_1(Τ_1(0),Τ_1(0),ω+1)=ψ_0(ψ_1(Ω_2^Ω_2×ω)) Τ_1(Τ_1(0),Τ_1(0),ω×2)=ψ_0(ψ_1(ψ_2(0))) Τ_1(Τ_1(0),Τ_1(0),Τ_1(0))=ψ_0(ψ_1(ψ_2(Ω_3^Ω_3))) ここまでが正しければΤ_1(Τ_1(0)+1)=ψ_0(Ω_ω)になるはず。 早く定義を完成させなければ。
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145:１３２人目の素数さん
17/02/26 20:59:54.77 5wzqwAj2.net
Ρ関数はこうしたほうが強い。
Ρ_0(Ρ_0(Ρ_0(Ρ_0(…))))=Ρ_0(Ω)
Ρ_1(Ρ_1(Ρ_1(Ρ_1(…))))=Ρ_1(Ρ_1(Ω_2))
Ρ_2(Ρ_2(Ρ_2(Ρ_2(…))))=Ρ_2(Ρ_2(Ρ_2(Ω_3)))
Ρ_3(Ρ_3(Ρ_3(Ρ_3(…))))=Ρ_3(Ρ_3(Ρ_3(Ρ_3(Ω_4))))
さらにこれをΤ関数に応用すれば…
146:１３２人目の素数さん
17/02/27 09:10:26.71 qgyxcGz5.net
>>133
Τ_1(Τ_1(0),Τ_1(0))
=ψ_0(ψ_1(Ω_2^Ω))
Τ_1(Τ_1(0),Τ_1(0),ω+1)
=ψ_0(ψ_1(Ω_2^Ω+ψ_1(Ω_2^Ω)×ω))
147:１３２人目の素数さん
17/02/28 00:36:27.23 3p+Co6pV.net
まったくの素人意見だが・・・
無限の広さがある碁盤と無限にある碁石を使って、画像認識みたいな
テクニックである程度自分で巨大数ではないかと思われるシステムを
作ることはできるだろう。
でもそれは統計的に「らしい」ものを作っただけでコンピュータが自分で
論理を組み立てたわけではないし、そういうわけで本当にまともなプログラム
になっている保証もない。
結構な確率で出来上がるところまでは行けるだろうが。
148:１３２人目の素数さん
17/02/28 00:59:07.05 3p+Co6pV.net
評価方法も考えなければならないことをうっかりしていた。
まぁあらかじめ教えておいたとしてもなお課題が残るということで。
>>121
関数自体は評価を表現する一つの手段であって、比べる手段そのものではない
ので・・・
たとえば任意の自然数nについて、n+1<n+2が成り立つというくらいのの証明は、
答えにたどり着くまでただひたすら妥当な証明を書きまくるという数の暴力作戦
でもわりと現実的な時間内に得られるでしょうし。
149:１３２人目の素数さん
17/02/28 01:07:08.69 68/WnKMx.net
割と現実的な時間内に得られるｗｗ
絶対無理だから。一生計算終わんないから。
150:１３２人目の素数さん
17/02/28 03:29:52.07 FdIiiodv.net
証明ができるＡＩはいつできるだろうか
量子コンピュータのあとかな
151:１３２人目の素数さん
17/02/28 03:40:17.89 Fa0mMD6F.net
>>149
証明と量子コンピュータは恐らく全く無関係ですよ
自明でない公理系での定理の証明は定理の言明（を表す論理式）のサイズに関してNP完全かNP困難
ところが量子コンピュータ（より正確な呼び名は量子デジタルコンピュータ）は
NP完全問題を高速に解けないというのが計算量理論の専門家の間でほぼ全員一致で予想され認識されていること
（量子コンピュータが通常のデジタルコンピュータとは違って迅速に解けることが判明した問題の一つである
素因数分解問題はNP問題ではあるがNP完全ではないと計算量理論やアルゴリズム論のコミュニティで予想されている）
152:１３２人目の素数さん
17/03/01 16:16:38.95 oiUclQMH.net
BBは、ビジービーバー関数
zは、0個以上の0以上の整数
xは、0個以上の0または1
a:bは、b個のa
a,b,n,mは、0以上の整数
f_0()=BB(10↑^(10)10)
f_0(0)=BB(f_0())
f_0(a+1)=BB(f_0(a))
f_0(0:(n+1),0)=f_0(f_0():(n+1))
f_0(0:(n+1),a+1)=f_0(f_0(0:(n+1),a+1):(n+1))
f_0(z,b+1,0:n,0)=f_0(z,b,f_0():(n+1))
f_0(z,b+1,0:n,a+1)=f_0(z,b,f_0(z,b+1,0:n,a):(n+1))
f_1()=f_0(f_0():f_0())
f_1(0:n+1)=f_0(f_1(0:n):f_1(0:n))
f_1(1:(m+1))=f_1(0:f_1(),(1,0:f_1()):m)
f_1(x,0,1:(m+1))=f_1(x,(1,0:f_1()):(m+1))
f_1(x,0,1:(m+1),0:(n+1))=f_1(x,(1,0:f_1(x,0,1:(m+1),0:n)):(m+1))
f_1(2)=f_1(0:f_1(),(1,0:f_1()):f_1())
153:１３２人目の素数さん
17/03/02 00:22:02.53 gN5D5o4z.net
>>148
妥当な証明を書きまくるというか、公理やすでに証明された論理式に推論規則を
適用しまくって目的のものにたどり着くまで待つって感じか。
∀x∃y(sx=y∧x<y)|-sa=b∧a<b
∀x∃y(sx=y∧x<y)|-sb=c∧b<c
sa=b∧a<b∧sb=c∧b<c|-∀x∃y∃z(sx=y∧x<y∧sy=z∧y<z)
例化や量化の手順は端折ってるがこんな具合。
後者関数の公理だけから出発して例化と量化を適用してるだけだし、
なんとかなるんじゃ、後者の後者のほうが大きいことを証明するだけなら。
154:１３２人目の素数さん
17/03/02 00:24:35.00 gN5D5o4z.net
ああ、a<cを導くのを忘れてた
155:１３２人目の素数さん
17/03/02 07:01:26.76 d1EcH1dn.net
>>152
順序数関数だけどヴェブレン関数とかフェファーマンのθ関数とか、あとは超越整数とか、ローダー数とか、ビジービーバー関数とかラヨ数とか、その辺がアプローチが近いと想うよ
156:１３２人目の素数さん
17/03/02 07:05:29.30 +IF0arXJ.net
愚直にやるとまともな計算結果が出る前に、物理メモリの限界が来るんだよね。
宇宙の全物質を計算機に変えても足りない。
157:１３２人目の素数さん
17/03/02 09:08:07.34 0J0GmAyS.net
形式化された証明のデータベースを貯めて貯めて、機械学習でcutを使えるようにさせるのは大前提だろうね。人間の証明を自動的に形式化させるにしてもやはり対応した形式化された証明のデータが必要だろうから、結局形式化された証明のデータベースは必要。
158:１３２人目の素数さん
17/03/02 18:55:41.98 hq90/mRc.net
BIG FOFTとビッゲドンではどっちが大きいのん？
159:１３２人目の素数さん
17/03/03 14:26:15.80 8G2/C0eL.net
>>145
計算しなおしたところ、確かにそうなりました。
Τ_1(Τ_1(0)+1)=ψ_0(ψ_1(Ω_2^(Ω×ω))) となり、
ψ_0(Ω_ω)=Τ_ω(0)になりそうです。
バシク行列って凄いんだなぁ…
160:１３２人目の素数さん
17/03/03 14:59:53.20 LAvtTudR.net
初歩的で申し訳ない
ωから有限回の加算・乗算・冪乗では到達できない
最小の超限順序数をε0と呼ぶらしいですが
矢印表記を使ってω↑↑↑・・・↑ωのように拡張してはダメなのですか？
161:１３２人目の素数さん
17/03/03 18:09:26.48 lLKhbyyd.net
一般に使われる関数がべき乗までだから単にそこで区切られているだけじゃない？
ヴェブレン関数とかはωが基準になってるよ
162:１３２人目の素数さん
17/03/04 13:20:08.01 VUJL0gdI.net
>>159
何が聞きたいことのかわからん。拡張したければすればいいのでは。
4行目の質問が1～3行目の文とどう絡むのか分からない
163:１３２人目の素数さん
17/03/04 13:20:57.61 VUJL0gdI.net
>>157
FOFT
164:１３２人目の素数さん
17/03/04 14:18:47.68 KkFLICct.net
ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω
おいなり祭り開催!!!
165:１３２人目の素数さん
17/03/04 15:01:03.43 057bG2rL.net
159ですが
URLﾘﾝｸ(ja.googology.wikia.com)
こちらのサイトの中央あたりに矢印表記での拡張方法が書いてありました
BEAFを使えば更に大きくできそうですね
スレ汚し失礼しました
166:１３２人目の素数さん
17/03/04 16:00:20.72 G92DEkZq.net
超限順序数の計算規則は
167:自然数とは違うから自然数の関数に突っ込んでもうまく計算できないことが多い。 BEAFがまさに同じことしてるけどものすごく複雑化してる。
168:１３２人目の素数さん
17/03/04 17:42:50.01 wl2ySOXE.net
あんまりよく分からないなりに、矢印やお稲荷さんが飛び交ってるの見てたんだけど
巨大数って言うのは、あくまでも有限の数の大きさ比べなのか?
Wikiとかで調べたらωとかE0?みたいな奴は無限の親戚みたいだけど、有限の数の式になんで無限が出てくるの?
169:１３２人目の素数さん
17/03/04 17:59:16.24 K5BuyVy7.net
関数の強さの比較に超限数を利用してるだけ。
170:１３２人目の素数さん
17/03/04 18:19:04.12 wl2ySOXE.net
それがよく分からない
実際に巨大数を出力する関数とその関数の評価をする関数があって、ωとかが出てくるのは評価する関数ってこと?
171:１３２人目の素数さん
17/03/04 21:39:53.74 epHxIdk7.net
増加率の単位のような感じ
その関数で到達できない数を表すときにωを使う
172:１３２人目の素数さん
17/03/04 21:45:51.89 epHxIdk7.net
到達できないではおかしいか
実際に計算してωにとどく数は無いな
173:１３２人目の素数さん
17/03/04 23:22:22.52 35jc89FI.net
ある関数fがgより大きいっていう場合、ある数cが存在して
∀x>=c f(x)>g(x)
みたいな議論することあるけど、巨大数論的にもこの方針を採用してるの？
それとももっと別の基準がある？
174:１３２人目の素数さん
17/03/04 23:43:22.16 VUJL0gdI.net
>>166
巨大数は有限の数の大きさ比べ。
>>168
急増化関数はよく「評価するための関数」だと言われるから混乱するけど
「評価するために使われやすい」って言うだけで、
グラハム関数と同じ普通の単なる「実際に巨大数を出力する関数」だよ。
順序数を変えると違う関数になるのでひとつの関数じゃなくて関数群、って言う方がいいけど。
ωやε0は使われ方によって違うけど、
1,2,3…<ωだとか、ω,ω^ω,ω^ω^ω,…<ε0 だとかの順序数同士の大きさに関する性質が
そのまま関数の強さに対応するので使われてるだけだよ。
f[ω](n)はf[1](n)よりもf[2](n)よりもf[3](n)よりも…有限のmで与えられる全てのf[m](n)よりも大きい
とか、自分より小さい関数が無限個あるので無限を表す順序数を使わないと名前が付けられなかったんだよ
175:１３２人目の素数さん
17/03/05 01:18:36.57 Udu/XNzy.net
>>171
関数を比べるときにはだいたいみんなその基準を使っているよ。「fはgを支配する」呼んでる
URLﾘﾝｸ(ja.googology.wikia.com)ユーザーブログ:Limitofempty/対角化と支配する
176:１３２人目の素数さん
17/03/05 10:19:21.88 c+G7R10J.net
>>172
解説ありがとう
その急増化関数っていうのは使う順序数で出力が変わるけど、やっぱり限界があるってことなの?
Aの巨大関数は急増化関数で大きさ比べできるけど、Bの関数はでかすぎて無理みたいな
177:１３２人目の素数さん
17/03/05 13:31:15.89 Udu/XNzy.net
急増加関数のtypo
178:１３２人目の素数さん
17/03/05 14:26:22.66 Udu/XNzy.net
>>174
急増加関数に限界は多分ないけど
順序数をひとつ決めちゃうと関数が確定するから
こんどは「大きな順序数」を探す必要が出て来て、
大きな順序数を作るための「順序数を出力する関数」としてヴェブレン関数が使われる。
さらに順序数をでかくすることに限界がきて
今度は大きな基数を使ってでかい順序数を作る順序数崩壊関数
(フェファーマンのθとかブーフホルツのφとかワイヤーマンのθとかの順序数が出てくる関数)
が使われたりさらに拡張されたりしてる
179:１３２人目の素数さん
17/03/05 17:34:00.38 c+G7R10J.net
丁寧な解説本当にありがたい
急増加関数でたぶんいろんな関数の真似事はできるけど、その部品は別途用意しないといけないということか
その部品の製造工程でもっと大きな数が出てくるから、結果的に急増加関数は関数の評価に使われてるって感じ?
180:１３２人目の素数さん
17/03/10 12:15:48.08 YutyQkVo.net
収束�
181:ｵ密に設定しないといけないから、急増加関数だけじゃwell-definedにはならないんだろう。 ωの収束列が0,1,2,･･･でなく2,4,6,･･･でもいいわけだし。
182:１３２人目の素数さん
17/03/10 21:24:56.01 UE501xL2.net
自然数→自然数：関数
順序数→関数：順序数階層、ハーディー階層、急増加関数
基数→順序数：ヴェブレン関数、順序数崩壊関数、フェファーマンのθ、ブーフホルツのΨ、マドールのΨ、ワイヤーマンのθ
183:１３２人目の素数さん
17/03/10 21:25:45.36 UE501xL2.net
でかい基数を考える会
184:１３２人目の素数さん
17/03/10 21:26:09.51 BT37NmYn.net
少し前からGwikiのブログが面白いことになってる。
185:１３２人目の素数さん
17/03/10 22:48:01.19 OdsEkhN4.net
円周率が乱数ならそれ使うのはだめなの?例えば｢0が9→→9個続く桁数」とか
186:１３２人目の素数さん
17/03/10 23:22:56.74 UE501xL2.net
いいんじゃない。
ランダムだと考えて、だいたい10^(9→→9)くらいの数だよね。
適度に大きい数だと想うよ
187:１３２人目の素数さん
17/03/10 23:23:32.35 M4WGxyUJ.net
ヴェブレン関数は順序数→順序数では
>>182
10^(9→→9)ぐらいにしかならなさそう
188:１３２人目の素数さん
17/03/11 03:34:13.91 P7kiItRF.net
0が9←←9←←9個続き1～6を一つも含まず双子素数に挟まれ前後六つ以内にカーマイケル数とブリエ数が存在する完全数 vs A(10, 10)
189:１３２人目の素数さん
17/03/11 12:01:57.42 qo0VQFPC.net
ちょっと考えてみた
PI(x)を｢円周率でxがx回繰り返された時の１番下の桁数｣とする。PI(7777777)をaとして、
PI＾a(a)
190:１３２人目の素数さん
17/03/11 21:50:53.80 y0WFSpRj.net
>>186
テトレーションレベルかな。
円周率を使ったことより関数の合成を数え上げしたことの方が効果が大きかったね
191:１３２人目の素数さん
17/03/11 23:42:35.78 O1KvBulH.net
円周率がまったく一様かどうかについてはまだ分かってないことが多いのかな。
実は1が7000個以上並ぶことはないとか、知らんけど。
192:１３２人目の素数さん
17/03/12 13:45:37.81 pdE7zbic.net
>>186 TA(x)をπとeとφとルート2とルート3で同時にxがx←←x回同時に出たときの一番下のケタ数とする。
TA＾(TA(9))(9←←9)
193:１３２人目の素数さん
17/03/12 15:11:52.51 ddIULzag.net
種の大きさに比べて本体の増加率がしょぼい
194:１３２人目の素数さん
17/03/12 16:47:58.03 pdE7zbic.net
186です。自分で定義した関数だけを使う自分ルールを作ると、才能が無いからあんまり大きくできないんだよな、、、
195:１３２人目の素数さん
17/03/12 18:58:19.62 58ZKhReN.net
円周率を使うこととか、なぜ自分がその方法に魅力を感じたのかを哲学して、さらにそっち方向に尖るように磨きをかけよう。
例えば、無理数っていうのは無限に存在する部分数列が無理やり一列に並んでいるから、
こっちが勝手に指定した数はものすごく巨大な桁数のところにすっ飛んでいくだろう、っていうアイデアだよね
(永遠に出てこない可能性がある弱点はあるけどアイデアは上記のはず)
√2の系列1,4,1,4,2,1,3,5,6,…(以降無限に続く)が初めて現れる桁数とかは？
そうか、googol桁の数列が全部出切る桁数、などと最大値演算を使ってしまうとか。
196:１３２人目の素数さん
17/03/12 19:33:48.12 ddIULzag.net
(7P7)P(7P7)... = ((7!)!)...
197:１３２人目の素数さん
17/03/12 19:34:28.28 ddIULzag.net
みたいな感じに出来たら夢が少しありそうなんだけどな・・・
198:１３２人目の素数さん
17/03/12 19:39:20.67 aGcqddOq.net
巨大数って対角化がほぼ唯一の道なの？
199:１３２人目の素数さん
17/03/12 19:54:23.20 ddIULzag.net
対角化が一番やりやすいから
可融差関数とか例外はあるけど
200:１３２人目の素数さん
17/03/12 20:17:49.67 ddIULzag.net
f(x)=min{n | SUM(n) > x}
SUM(n)=n番目までの素数の逆数の総和
f(1)=3 (1/2+1/3+1/5)
f(2)=59
e^e^xと同じぐらいの強さらしい
201:１３２人目の素数さん
17/03/12 23:47:44.99 58ZKhReN.net
前スレの199の人、言ってたことあってたっぽいのかな
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:199番)
URLﾘﾝｸ(drive.google.com)
>しかし、FOOT も一階の論理であることから、二階述語論理の表現能力を得るのは考えにくいことです。
>FOOT は高階述語論理よりも表現能力が高い論理体系ととらえられてはいますが、以上のように一階述語論理の上で展開される公理系の一つ、ととらえるのが自然なのではないでしょうか。
URLﾘﾝｸ(googology.wikia.com)
202:１３２人目の素数さん
17/03/13 00:27:03.39 /rT82jBV.net
ビジービーバー関数とラヨ関数が強さがだいたい同じというのはどうだろう。
ラヨ関数について整理
フォン･ノイマン宇宙という具体的なモデルではないが、漠然としたモデル
のようなものの中で数やら関数やらを作っていく。
0の存在を保証する公理がなければ0を定義できないとの意見があったが、
フォン・ノイマン宇宙の中の0というものとユニークに一致すれば0が命名
された、とするのがラヨ関数の定義。
203:１３２人目の素数さん
17/03/13 01:47:38.30 /rT82jBV.net
ラヨ関数が神託機械で計算できるかどうかという話か。それはさておき、
前スレ終わりのほうの議論と関係しているようだな。
存在を証明できなければ定義したとは言えないと考える。
よってｎ文字で記述可能な公理系から証明可能かどうかを考える。
でもそれならその公理系も定義の中に含めてしまって
n×2文字で記述可能な・・・って関数を定義してしまえばいいんじゃな
かろうか。
そう考えるとその定義（とされたことになっている）数がその公理系の下で
存在することを証明するための公理系を考える・・・となっていき切りが
ないな、証明が証明になっていることの証明をどんどん追っていくようなものだ。
無条件で正しいと信じるための信仰が必要だ。
204:１３２人目の素数さん
17/03/13 02:02:26.52 JZsk/jjg.net
この前 >>199 を Wowoju に聞いたらビジービーバー関数はチューリングマシンで記述できないし
ラヨの言語でビジービーバー関数が定義できるのでラヨ関数の方が強いって言ってた
この前 >>200 を Wowoju に聞いたらそれはふぃっしゅ数バージョン７ですでにやってるって言ってた
205:１３２人目の素数さん
17/03/13 02:08:50.74 /rT82jBV.net
前スレの双子素数の例えになぞらえて、
存在が否定されれば「最大の双子素数」という文は定義になっていない。
よって「最大の双子素数」というものを定義するためには「最大の双子素数」
の存在を証明しなければならない。（これは最初から定義されていないという
方向で考えても存在が証明されればに誤りになってしまう）
「最大の双子素数」を0に置き換えたものが前スレ200あたりからされている議論か。
ある存在をある公理系、もっとざっくり言ってある前提から証明されたところで
それは相対的な存在性が示されただけで、同じく否定されれば相対的な非存在性
が示されただけだ。なので極端な話最大の素数や最大の自然数がある条件の
もとで相対的に存在するといってもいい、ある言語によって否定されたとしても
より高度な言語で場合によっては存在することもあることが示されたとか言って
おけばいい。ただし具体的にどう存在するのかを示すことができなければただの
バカの戯言になってしまう。
直観的な理解を具体的に記述された言語で共有した気分になっているが、
206:実際にはひどく危ういものだし、永遠に危ういものだ。
207:１３２人目の素数さん
17/03/13 14:55:44.55 j2YDEg9b.net
P(0)=1
P(1)=ω
P(2)=ω→ω
P(3)=ω→ω→ω
P(4)=ω→ω→ω→ω
P(ω)=ω→ω→…ω個…→ω→ω
208:１３２人目の素数さん
17/03/13 16:43:52.32 daOwm19p.net
有限個の自然数a,b,c,…と以下の演算を用いて有限の長さの式で表せない最小の自然数をPz(a,b,c,…)とする。
・四則演算 ＋－×÷
・累乗 ＾
・根号 √
・階乗 ！
・総和 Σ（Σｎ＝ｎ×（ｎ＋１）÷２）
例：Pz(1,1)≧８(1を２つ使って１～７の自然数を作れる。）
Pz(4,9)≧14(4と9を使って１～１３の自然数を作れる。）
ｎ変数のPz関数の最大値をPmax(n)とする。
例：Pmax(1)=2(Pz(1)＝２)
Pmax(2)≧１４（Pz(4,9)≧14）
Pmax(n)が常に有限の値になるかはわからないが、
有限になる場合Pmax(a＋b＋1)>Pmax(a)×Pmax(b)が成り立つので
指数関数以上にはなる。テトレーションレベルに届くだろうか。
209:１３２人目の素数さん
17/03/15 11:11:05.56 PULLzbw7.net
T[0] : On
T[a+1] : (On, T[a]) -> T[a]
T[a] : (On, T[a[n]]) -> T[a[n+1]]
210:１３２人目の素数さん
17/03/15 15:16:57.69 v/bLwvd9.net
多変数アッカーマン関数の
Ak(a.b.c、、、、)
を、
A[0]k(a.b.c、、、、)
とかくことにする。そして、
A[n+1]k(a.b.c、、、、)は、普通の多変数アッカーマン関数のAk(□.a)を
A[n+1]k(□.a)＝A[n]k(a.a.～(a個)～.a.a)とする。
これはどんな感じでしょうか
211:１３２人目の素数さん
17/03/15 16:57:39.55 v/bLwvd9.net
>>206をそれらしく言うと、
X : 0個以上の0以上の整数
Y : 0個以上の0
a, b : 0以上の整数
A[n+1]k(a.b.c、、、、)
212:１３２人目の素数さん
17/03/15 17:12:11.90 v/bLwvd9.net
すみません途中でおわってしまいました。
A[a]k(X,b+1,0)＝A[a]k(X,b,1)
A[a]k(X,b+1,c+1)＝A[a]k(X,b,A[a]k(X,b+1,c))
A[a]k(X,b+1,0,Y,c)＝A[a]k(X,b,c,Y,c)
A[0]k(Y,a)＝a+1
A[a+1]k(Y,ｂ)＝A[a]k(b,b,～b個～,b,b)
213:１３２人目の素数さん
17/03/15 20:07:35.26 GAr/atO9.net
>>206
ω^(ω+1)程度かと。
214:１３２人目の素数さん
17/03/15 23:52:07.13 lpUv23bf.net
>>166
引数xがある数cを超えるとそれ以降はf(x)がg(x)より大きくなる、
∃c∀x(c<x→f(x)>g(x))
つまり「fがgを支配する」をf＞gと書くとすると
順序数α,βに対して、
α＞β → f_α＞f_β
が言えるような順序数から関数への関数を作れば、
無限（＝順序数）の大きさの序列がそのまま
有限の数の大きさの序列に直結するような関数ができるわけで
それが
215:１３２人目の素数さん
17/03/17 10:55:33.61 5/eh6q9E.net
[]=1
[][]=2
[][][]=3
[[]]=[][][]...[]=ω
[[]][]=ω+1
[[]][][]=ω+2
[][[]]=[[]][][][]...[]=ω×2
[][][[]]=[][[]][][][]...[]=ω×3
[[]][[]]=[][][]...[][[]]=ω^2
[[]][[]][[]]=ω^3
[[][]]=[[]][[]]...[[]]=ω^ω=ω^^2
[[][]][[][]]=ω^(ω×2)
[[][][]]=[[][]][[][]]...[[][]]=ω^ω^2
[[][][][]]=[[][][]][[][][]]...[[][][]]=ω^ω^3
[[[]]]=[[][][]...[]]=ω^ω^ω=ω^^3
[[[][]]]=ω^ω^ω^ω=ω^^4
[[[[]]]]=ω^ω^ω^ω^ω=ω^^5
[[[[][]]]]=ω^ω^ω^ω^ω^ω=ω^^6
{}=[[[...[[[]]]...]]]=ε_0=ω^^ω
216:１３２人目の素数さん
17/03/17 13:24:54.28 5/eh6q9E.net
{}[]=(ω^^ω)+1
[]{}={}[[[...[[]]...]]]=(ω^^ω)×2
{}{}=(ω^^ω)^2
{[]}=(ω^^ω)^ω
{[]}{[]}=(ω^^ω)^(ω×2)
{[][]}=(ω^^ω)^(ω^2)
{[][]}{[][]}=(ω^^ω)^(ω^2×2)
{[][][]}=(ω^^ω)^(ω^3)
{[[]]}={[][][]...[]}=(ω^^ω)^(ω^ω)
{[[]]}{[[]]}=(ω^^ω)^(ω^ω×2)
{[[]][]}=(ω^^ω)^(ω^(ω+1))
{[][[]]}=(ω^^ω)^(ω^(ω×2))
{[[]][[]]}=(ω^^ω)^(ω^ω^2)
{[[]][[]][[]]}=(ω^^ω)^(ω^ω^3)
{[[][]]}=(ω^^ω)^(ω^ω^ω)
{[[[]]]}=(ω^^ω)^(ω^ω^ω^ω)
{[[[][]]]}=(ω^^ω)^(ω^ω^ω^ω^ω)
{{}}={[[[...[[]]...]]]}=(ω^^ω)^(ω^^ω)=(ω^^ω)^^2
{{}{}}=(ω^^ω)^(ω^^ω)^(ω^^ω)=(ω^^ω)^^3
{{{}}}=(ω^^ω)^^4
{{{}{}}}=(ω^^ω)^^5
「」={{{...{{}}...}}}=(ω^^ω)^^ω
217:１３２人目の素数さん
17/03/17 15:35:16.92 btQrnPWJ.net
>>211,>>212
n種類の括弧でε_ω
218:１３２人目の素数さん
17/03/17 17:04:24.82 5/eh6q9E.net
>>213
ありがとん
219:１３２人目の素数さん
17/03/17 20:14:41.39 lK6bJCab.net
>>211,>>212って法則性がいまいちわからん。
>>213にはわかってるようだから元ネタがあるんだろうか。
220:１３２人目の素数さん
17/03/17 21:17:51.00 btQrnPWJ.net
>>215
所々小細工はしてあるけど本質的にはヒドラゲームとほぼ変わらない。
あとプログラム読めないからわからないけど>>5もほぼ同じかと。
221:１３２人目の素数さん
17/03/17 23:48:29.99 NRXnfxZg.net
>>9
過大評価だったわ。ζ_0ぐらい
222:１３２人目の素数さん
17/03/18 04:07:24.99 mf1UXpfB.net
なんかでかい数作るのとでかい順序数作るのが同じに感じる
223:１３２人目の素数さん
17/03/18 21:43:32.26 Qt6Bpisy.net
順序数の大きさで大きな関数が作れる方法があるから仕方がない
もっというと順序数のどういう部分が巨大数を生んでいるのかを考えると順序数以外に大きな関数が作れる方法がみつかるかも
224:１３２人目の素数さん
17/03/18 22:10:52.46 RdBNxYfe.net
順序数の呪縛からはどこまでいっても逃れられないと思う。
225:１３２人目の素数さん
17/03/18 22:44:33.41 RdBNxYfe.net
なぜなら大きいということはどういうことかその本質を順序数が表しているから。
グラハム数みたいに何かの条件を満たす数が偶然大きくなるというこはあるかもしれないが。
226:１３２人目の素数さん
17/03/19 00:00:50.66 87bGU3uh.net
さすがに「大きいということはどういうことか」までは言ってなくて、
「かくかくしかじかの既存の演算の有限回の繰り返しで追いつけない最小の数という定義」
という「大きさを求めるための一手法」を使っているだけであって、
その隙間にこそ答えがあるんじゃないかと思う。
227:１３２人目の素数さん
17/03/19 00:10:32.76 87bGU3uh.net
関数同士の「支配する」という法則を使って後で引数に数を入れる手法の範囲で考えている限りは順序数と対応が付きそう
228:１３２人目の素数さん
17/03/19 02:52:01.39 gltLhuLF.net
>「かくかくしかじかの既存の演算の有限回の繰り返しで追いつけない最小の数という定義」
>という「大きさを求めるための一手法」を使っているだけであって、
再帰順序数はそういう解釈でいいけどただ単に可算順序数と言う場合は
大きさの本質を表しているという解釈でいいと思う。
「順序数の束縛からは逃れられない」で納得がいかないのであれば、逆に
「大きいということはどういうことか」を分かりやすく見えるように
して説明するものが順序数ということでいいかも。
229:１３２人目の素数さん
17/03/19 10:54:15.63 OMz3tA5q.net
有限約束ゲームとかレイバーのテーブルとかもサブキュービックグラフ数みたいに
関連する何かを順序数に対応させられるのだろうか。
230:１３２人目の素数さん
17/03/19 11:53:01.87 kgUb9uAv.net
f＿コ1←←コ1(n)
231:１３２人目の素数さん
17/03/19 13:15:30.44 ymWmw8bt.net
順序数＝自然数の超次元リスト説
0=(0)
1=(1)
ω=(0,1)
ω+1=(1,1)
ω^2=(0,0,1)
ω^ω=((0)1)
232:１３２人目の素数さん
17/03/19 15:57:12.68 87bGU3uh.net
結局ヒドラもベクレミシェフの虫もFGHもグッドスタイン数も、
・順序数と同じ木構造を作れること
・超限順序数の部分を引数 n に比例して展開することで
「引数 n さえ増やせば自分より小さい順序数による関数を必ず超えられる」
という性質を付加すること
という部分をいろんな実装を使って実現してるだけだね
233:１３２人目の素数さん
17/03/19 21:11:27.85 ymWmw8bt.net
再帰的到達不能順序数（可算）なんたらとか出てきてもうめちゃくちゃだよって感じだけど、
これはω＿αをどうこうした奴のω＿α＾CK版なの？
あと
到達不能→マーロ→弱コンパクトって行ってるけどこれらの関係って綺麗に決まってるの？
1→2→3みたいな感じで
234:１３２人目の素数さん
17/03/19 22:22:22.52 87bGU3uh.net
どうやらバシク行列システムがローダー数よりでかいことを証明しようとしている模様
URLﾘﾝｸ(ja.googology.wikia.com)ユーザーブログ:KurohaKafka/型付きラムダ計算�
235:ﾌ強さ
236:１３２人目の素数さん
17/03/19 23:22:10.40 gltLhuLF.net
>>228
逆にだけでないことって何があるっけ
237:１３２人目の素数さん
17/03/20 00:01:14.24 SDKm71Ss.net
なかっ「た」んじゃない
238:１３２人目の素数さん
17/03/21 21:25:15.81 vyATElLM.net
バシクってまだ強さ確定してなかったんだっけ？
239:１３２人目の素数さん
17/03/21 21:35:15.01 VlVtckLB.net
CoCの対角化でψ(ε_{M+1})
強配列表記はC(C(C(Ω_3+1,0),0),0)よりは弱い？
フリードマンのあれはCを超えてZFC＋膨大基数くらいの強さ
バシクはすくなくともCを超えた強さ
loader.cは思ったより弱い？
240:１３２人目の素数さん
17/03/21 22:34:49.22 +q8tlP/x.net
しばらく前からバシク行列の解析結果が更新され続けてる。
古い結果よりだいぶ弱くなって見たことない順序数表記が出てきた。
今度はどこでCを超えるんだろう。
241:１３２人目の素数さん
17/03/22 05:21:37.98 6aMd+eeC.net
順序数版急増加関数的なやつは条件P_αを満たすβ番目の順序数みたいな感じで定義すればいいと思った
242:１３２人目の素数さん
17/03/22 21:11:08.21 LjGxWCuA.net
loader.c<フリードマンの有限ゲーム<強配列表記<Taranovsky's C
243:１３２人目の素数さん
17/03/23 13:08:25.19 5LuIMtwB.net
強配列表記はloader.cより弱いのか
244:１３２人目の素数さん
17/03/23 13:22:00.86 wLAS/IV1.net
順序数崩壊関数版φ関数
多変数φ関数よりちょっと強い
Ωは0,Ω,+,φ関数の有限の組み合わせで表せない最初の順序数、ただしこの組み合わせの一番外側のφ関数の第二引数はΩより小さい
C_0(α,β)={0,β}
C_n+1(α,β)={γ+δ,φ(η,γ),φ(α,ξ) | γ,δ,ξ∈C_n(α,β); η∈α; ξ∈β}
φ(α,β)=∪[n<ω] C_n(α,β)
φ(0,0)=1
φ(0,1)=ω
φ(1,0)=ε_0
φ(0,ε_0)=ε_0*ω
φ(0,ε_0*ω)=ε_0^ω
φ(Ω,0)=Γ_0
φ(Ω^ω,0)=θ(Ω^ω)
φ(φ(1,Ω),0)=θ(ε_(Ω+1))
φ(0,Ω)=Ωω
φ(0,Ωω)=Ω^ω
245:１３２人目の素数さん
17/03/23 20:19:06.32 5LuIMtwB.net
wikiaの欲張りクリーク列
出典の定義を見るに「(y,2m)はGの辺ではない」という部分は(y,x[2m])の間違い
じゃなかろうか。
そうだとするとm=k+1のときにy=x[2]となり、(y,x[2m])がGの辺ではないことが
xがクリークであるという条件に反するため矛盾。よって以上の関数は2k+1に
しかならないということになってしまう・・・
246:１３２人目の素数さん
17/03/25 00:23:13.62 BscZ1NNf.net
アッカーマン関数が頭から離れられないから小さいかもしれないけどアッカーマンでやってみる
Xは0個以上の0以上の整数
Yは0個以上の0
a,b,c,dは0以上の整数
AA(a,b:X,c+1,0)＝AA(a,b:X,c,1)
AA(a,b:X,c+1,d+1)＝AA(a,b:X,c,(AA(a,b:X,c+1,d)))
AA(a,b:X,c+1,0,Y,d)＝AA(a,b:X,c,d,Y,d)
AA(a+1,0:Y,b)＝AA(a,1:Y,b)
AA(0,a+1:Y,b)＝AA(0,a:b,b,b【b回】b,b)
AA(a+1,b+1:Y,c)＝AA(a,(AA(a+1,b:c,c,c【c回】c,c)):Y,c)
AA(0,0:Y,a)＝a+1
247:１３２人目の素数さん
17/03/25 00:56:08.12 AhWh8mZZ.net
バシクが使ってるψ関数ってどういう定義なの・・
ε_0がψ_0(0)じゃなくてψ_Ω(0)になってるけど
248:１３２人目の素数さん
17/03/25 07:33:36.36 olCWQBpD.net
関数を入れ子にしたらψについてる順序数が入る意味かと
249:１３２人目の素数さん
17/03/25 13:57:30.89 BscZ1NNf.net
>>241 の計算例
AA(2,2:2,2)＝AA(2,2:1,(AA(2,2:2,1)))＝AA(2,2:1,(AA(2,2:1,(AA(2,2:2,0)))))＝AA(2,2:1,(AA(2,2:1,(AA(2,2:1,1)))))
250:１３２人目の素数さん
17/03/25 15:13:16.95 uHGozZrz.net
>>241
ω^(ω×2)
251:１３２人目の素数さん
17/03/26 21:52:43.83 OaablvOK.net
「計算不可能関数」と「いかなる計算可能関数よりも強い関数」を区別する呼び方はないのか
252:１３２人目の素数さん
17/03/26 22:28:07.78 ssFLNSem.net
>>241に触発されて
AM(fx;0,m)=fm
AM(fx;n+1,0)=AM(gx;n,1)
AM(fx;n+1,m+1)=AM(gx;n,AM(gx;n+1,m)
ここでgx=AM(fx;n,x)
253:１３２人目の素数さん
17/03/26 23:42:55.63 RInzM6sk.net
「いかなる計算可能関数よりも強い関数」と「計算不可能関数」って同じやないの
254:１３２人目の素数さん
17/03/27 10:57:13.22 dUWPmGAZ.net
>>248
「空のテープから計算を始めて有限の時間で停止する２記号ｎ状態チューリングマシンの個数」
をf(n)とする。
２記号ｎ状態チューリングマシンの停止性問題は計算不可能なので
f(n)は「計算不可能関数」である。
しかし２記号ｎ状態チューリングマシンは１６^n個しかないため
f(n)＜１６^nが成り立ち、「いかなる計算可能関数よりも強い関数」ではない。
255:１３２人目の素数さん
17/03/27 16:26:48.18 fNMfL5IN.net
BB(n)が計算不可能で、いかなる計算可能よりも大きいから、BB(n)より強い物は計算可能よりも大きい
256:１３２人目の素数さん
17/03/27 19:27:47.27 6PYiNecc.net
雑魚みたいな計算不可能関数もあるってことやな。
257:１３２人目の素数さん
17/03/27 21:15:45.65 ovnlUySj.net
大きさそのものは大したことないかもしれないが雑魚な計算不能関数はない。
なぜならその計算不能関数をオラクルにすれば計算可能関数より大きい関数が定義できる可能性が開けるから。
どのような計算不能関数をオラクルにしても必ずビジービーバー相当の関数が定義できるかどうかは知らない。
258:１３２人目の素数さん
17/03/27 21:42:11.56 gh9dzs/q.net
結局増加速度はビジービーバーが最つよなの?
259:１３２人目の素数さん
17/03/27 22:16:31.37 fNMfL5IN.net
>>253
計算不可能ならもっと上もある。最つよは、「ふぃっしゅ関数バージョン7」だと思う
260:１３２人目の素数さん
17/03/27 23:52:28.48 gh9dzs/q.net
>>254
ありがとう
261:１３２人目の素数さん
17/03/28 00:06:52.46 +TZQiS76.net
BB＜n次BB＜F4＜ラヨ＜F7＜FOOT＜Little Bigeddon＜FOFT＜Big Bigeddon(未登場)
262:１３２人目の素数さん
17/03/28 00:46:37.54 kN25Vg5A.net
ぶっちゃけBBのデカさは想像がつかない。
もしかしたら人間にBBのデカさを想像することは原理的に不可能なのかもしれないｗ
263:１３２人目の素数さん
17/03/28 03:00:18.66 MlLTlWtn.net
ところで>>249のf(n)って本当に計算不可能か？
264:１３２人目の素数さん
17/03/28 03:06:12.06 MlLTlWtn.net
いや 16^n - f(n) 個のチューリングマシンが残るまで走らせれば停止性問題が解けることになるから、
計算不可能か。
失礼。
265:１３２人目の素数さん
17/03/28 08:05:25.82 +TZQiS76.net
あと1/BB(x)とかBB(x) mod 2とか、いくらでもあるな。
266:１３２人目の素数さん
17/03/28 10:11:00.18 tiw+UjOB.net
ビジービーバー繋がりで一つ数を作ってみた。
「BB(x+1)-BB(x) が BB(x+2)-BB(x+1) よりも大きい」が成立するような、n番目のBB(x)を k(n) としたときの、 k＾10(100)
ちなみに、k(1)は、BB(1)で、1になるけど、k(2)は、分からない
267:１３２人目の素数さん
17/03/28 11:15:43.58 Os6N0GDR.net
BB mod 2が計算不能かどうかはそんなに自明じゃない
268:１３２人目の素数さん
17/03/28 23:33:56.76 RK1OP7fY.net
wikiaのレイバーのテーブルの記事がおかしい気がするが、あれはZFC+階層内階層基数
の強さで今のところ大きさが見積もられている巨大数の中で最強ということに
なるんだろうか
269:１３２人目の素数さん
17/03/30 00:09:29.11 14YBTymd.net
突然だけどリトルビッゲドン超えられたってほんと?
270:１３２人目の素数さん
17/03/30 09:45:06.20 TC/5bKaV.net
元々ビッグビッゲドンあってこそのリトルビッゲドンじゃなかったの、知らんけど
計算不可能レベルでは存在を示すことはできても具体的にそれがどういう数かを知ることができない。
おそらく2階集合論を対角化して得られる関数や数にもなると、
存在はしてもその証明は不可能となってくる。
ビッゲドンやらは証明不可能レベルではない?
271:１３２人目の素数さん
17/03/30 12:08:15.06 NYo/opVk.net
寿司屋の卵焼きみたいなフワッとした概念
272:１３２人目の素数さん
17/03/30 12:55:04.90 TC/5bKaV.net
1階述語論理の性質から、1階の言語で記述されたそれぞれの数について存在するという証明
ができる無矛盾な体系が必ず存在する。もちろん数とされるもの自身が矛盾�
273:ｵている場合は論外。 1階のシステムが強力であればあるほど証明が難しくなるが、それだけ巨大な数を生み出せるようになる。 これは計算可能レベルで計算が難しいほど巨大な数を生み出せることに対応する。 計算の難しさ自体を対角化することでビジービーバー関数が得られ、これはいかなる 計算可能関数より強力であり計算不可能である。 計算を証明に置き換えたものがラヨ関数となり、いかなる証明可能関数より強力であり、 ラヨ関数の全域性は1階では証明できない。 こんなところか
274:１３２人目の素数さん
17/03/31 01:13:55.14 8hbdX+rf.net
URLﾘﾝｸ(googology.wikia.com)(Big_Bigeddon)
275:１３２人目の素数さん
17/04/04 18:30:16.40 OWwd40f0.net
A(0,a)=ω+a
A(b+1,0)=A(b,ω)
A(b+1,a+1)=A(b,A(b+1,a))
276:１３２人目の素数さん
17/04/05 00:45:13.85 Y+icnpYT.net
>>269
よくわからんがε0位行くのか？それ
277:１３２人目の素数さん
17/04/05 11:22:12.43 CIOea8z7.net
>>269じゃないけど少し計算してみよう
A(3.3)＝A(2.A(2.A(2.A(2.ω))))＝A(2.A(2.A(2.A(1.(2.ω-1)))))
ω-1って何 ωは第ニの0として、A(b+1.aω)＝A(b.(a+1)ω)としてみようかな
＝A(2.A(2.A(2.A(0.3ω))))＝13ω
無知だから間違ってると思う
278:１３２人目の素数さん
17/04/05 14:38:23.59 PgziSWMI.net
A(0,0)=ω
A(0,1)=ω+1
A(0,2)=ω+2
A(0,3)=ω+3
A(0,ω)=ω+ω=ω×2
A(1,0)=A(0,ω)=ω×2
A(1,1)=A(0,A(1,0))=A(0,ω×2)=ω+ω×2=ω×(2+1)
A(1,2)=A(0,A(1,1))=A(0,ω×3)=ω+ω×3=ω×(2+2)
A(1,3)=A(0,A(1,2))=A(0,ω×4)=ω+ω×4=ω×(2+3)
A(1,ω)=ω×(2+ω)=ω^2
A(2,0)=A(1,ω)=ω^2
A(2,1)=A(1,ω^2)=ω×ω^2=ω^(2+1)
A(2,2)=A(1,ω^3)=ω×ω^3=ω^(2+2)
A(2,3)=A(1,ω^4)=ω×ω^4=ω^(2+3)
A(2,ω)=ω^(2+ω)=ω^ω
A(3,0)=A(2,ω)=ω^ω
A(3,1)=A(2,A(3,0))=A(2,ω^ω)=ω^(2+ω^ω)=ω^ω^ω
A(3,2)=A(2,A(3,1))=A(2,ω^ω^ω)=ω^(2+ω^ω^ω)=ω^ω^ω^ω
A(3,3)=A(2,A(3,2))=A(2,ω^ω^ω)=ω^(2+ω^ω^ω^ω)=ω^ω^ω^ω^ω
A(3,ω)=ε_0
279:１３２人目の素数さん
17/04/05 17:12:23.76 CIOea8z7.net
>>272という事は
A(n,ω)＝ω→ω→(n-1) という事になるのか。
A(n,n)＝ω→(n+2)→(n-1) という事になりそう
280:１３２人目の素数さん
17/04/05 19:06:40.14 PgziSWMI.net
>>273
そうなりますね
多変数化
ω：最初の極限順序数
X：0個以上の（0以上の整数または順序数）
a,b,n：0以上の整数または順序数
x#y：y個のx
A(0#n,a)=ω+a
A(X,b+1,0#(n+1))=A(X,b,ω#(n+1))
A(X,b+1,0#n,a+1)=A(X,b,A(X,b+1,0#n,a)#(n+1))
281:１３２人目の素数さん
17/04/05 21:51:43.88 CIOea8z7.net
>>274
三行目がなんかわけわからんが計算してみる
A(1,1,1)＝A(1,0,A(1,1,0))＝A(1,0,A(1,0,ω))＝A(1,0,A(0,A(1,0,(ω-1)))) あれ、また間違えたかな。無理に計算して
A(1,0,A(0,A(0,･･････【ω回】･･････0,A(1,0,0)＝A(1,0,A(0,A(0,･･････【ω回】･･････0,A(0,ω,ω) うーん
282:１３２人目の素数さん
17/04/06 10:47:06.43 bFzZT6Ii.net
>>275
３行目の例
A(1,2,3,4)=A(1,2,3,0#0,4)=A(1,2,2,0#0,A(1,2,3,0#0,3)#1)=A(1,2,2,A(1,2,3,3))
A(1,2,0,4)=A(1,2,0#1,4)=A(1,1,A(1,2,0#1,3)#2)=A(1,1,A(1,2,0,3),A(1,2,0,3))
A(1,0,0,4)=A(1,0#2,4)=A(0,A(1,0#2,3)#3)=A(0,A(1,0,0,2),A(1,0,0,2),A(1,0,0,2))=A(A(1,0,0,2),A(1,0,0,2),A(1,0,0,2))
A(1,0,0)=A(0,ω,ω)=A(ω,ω)=ω→ω→ω=ω→(ω)→(ω)を0回再帰的に入れ子
A(1,0,1)=A(0,A(1,0,0),A(1,0,0))=A(A(1,0,0),A(1,0,0))=A(ω→ω→ω,ω→ω→ω)=ω→(ω→ω→ω)→(ω→ω→ω)=ω→(ω)→(ω)を1回再帰的に入れ子
A(1,0,2)=A(A(1,0,1),A(1,0,1))=ω→(ω→(ω→ω→ω)→(ω→ω→ω))→(ω→(ω→ω→ω)→(ω→ω→ω))=ω→(ω)→(ω)を2回再帰的に入れ子
A(1,0,3)=A(A(1,0,2),A(1,0,2))=ω→(ω)→(ω)を3回再帰的に入れ子
A(1,0,ω)=ω→(ω)→(ω)をω回再帰的に入れ子
A(1,1,0)=A(1,0,ω)=ω→(ω)→(ω)をω回再帰的に入れ子
A(1,1,1)=A(1,0,A(1,1,0))=A(1,0,A(1,0,ω))=(ω→(ω)→(ω)をω回再帰的に入れ子)を(ω→(ω)→(ω)をω回再帰的に入れ子)回再帰的に入れ子
283:１３２人目の素数さん
17/04/06 12:42:32.87 bFzZT6Ii.net
A(1,0,0)=ω→ω→ω
A(1,0,n+1)=ω→A(1,0,n)→A(1,0,n)
A(1,0,ω)=ω→A(1,0,ω)→A(1,0,ω) を満たす極限順序数をWとする
A(1,1,0)=A(1,0,ω)=W
A(1,1,1)=A(1,0,A(1,1,0))=A(1,0,A(1,0,ω))=A(1,0,W)=ω→W→W
284:１３２人目の素数さん
17/04/06 13:17:37.97 ZNmnN1vb.net
274を自分流に拡張
定義
ω：最初の極限順序数
X：0個以上の（0以上の整数または順序数）
a,b,n,m：0以上の整数または順序数
@:順序数
x#y：y個のx
A(n#A(n#A････【Aがω個】･･･A(n#n))))･･･))＝B(n)
B(0#(n+1),a)=B(a#(n+1))
B(X,b+1,0#(n+1))=B(X,b,ω#(n+1))
B(X,b+1,0#n,a+1)=B(X,b,B(X,b+1,0#n,a)#(n+1))
B(X,@#m)＝B(X,(@→→m)
計算例 ただしk
285:＝B(ω),J＝B(1,ω#2) B(1,ω#2)＝B(1,(ω→ω→ω))＝B(1,B(1,(ω→ω→ω-1)))＝【「B(1,」がω→ω→ω回】k＝、、、＝J
286:１３２人目の素数さん
17/04/06 21:38:37.56 Br2FIkFu.net
ハイパー演算子っぽいからBEAFみたいな拡張で良いんじゃない?
287:１３２人目の素数さん
17/04/07 17:18:28.29 tsPsUzqI.net
テトレーション空間というのはある空間に配置された値によって任意の座標が定まる新たな空間を定義する、
という操作について閉じている空間
レギオン空間とはその空間とそこに配置された情報に定義されたもろもろの計算ルールで
新たな空間を定義する、という操作について閉じている空間。そう考えるとあんまり自明ではない。
288:１３２人目の素数さん
17/04/07 18:58:18.78 wmUHfLZK.net
A(ω#ω)
これはどれくらいの大きさになるんかな？
289:１３２人目の素数さん
17/04/07 19:32:07.42 e4awsgJi.net
>>281
A(1#1)＝A(1)＝ω+1
A(2#2)＝A(2,2)＝ω＾4
A(3#3)＝A(3,3,3)＝分からない(法則推理だとω↑↑↑9になったけどもっとでかそう)
A(ω#ω)＝ 法則推理だと ω→(ω＾2)→(ω×2-1) だけどもっとでかそう
290:１３２人目の素数さん
17/04/07 23:26:26.79 e4awsgJi.net
>>278で思いついた
定義
ω：最初の極限順序数
X：0個以上の（0以上の整数または順序数）
a,b,n,m：0以上の整数または順序数
@:順序数
x#y：y個のx
A[m+1](n)＝A[m](n#A(n#A････【Aがω個】･･･A(n#n))))･･･))
A[0](n)＝ω+n
A[m](0#(n+1),a)=[m](a#(n+1))
A[m](X,b+1,0#(n+1))=[m](X,b,ω#(n+1))
A[m](X,b+1,0#n,a+1)=A[m](X,b,A[m](X,b+1,0#n,a)#(n+1))
A[m](X,@#n)＝A[m](X,(@→→n)
291:１３２人目の素数さん
17/04/08 14:26:12.37 4mNGVVYh.net
FGHで考えると
f[ω↑↑(ω+1)](x)=f[ω↑↑ω](x+1)
順序数部分の右辺をすべて展開しなければ左辺を展開できない。順序数部分を
すべて展開しなければxに関数を適用できない。
そういうわけで順序数のテトレーション以降の右結合って効率が悪い。
SGHではそこそこ効果が出る。
292:１３２人目の素数さん
17/04/08 14:36:10.19 4mNGVVYh.net
>>272
ω+ω*2=ω*2
じゃないっけ?
293:１３２人目の素数さん
17/04/08 15:53:57.11 G928D+4y.net
多重括弧がゲシュタルト崩壊してきたので演算子風に
ω（0）n = ω+1
ω（1）n = ω（0）…【n個のn】…（0）n = ω+ｎ
ω（2）n = ω（1）…【n個のω】…（1）ω = ω*ｎ
ω（1,0）n = ω（ω）…【n個のω】…（ω）ω
ω（1,1）n = ω（1,0）…【n個のω】…（1,0）ω
ω（2,0）n = ω（1,ω）n
ω（1,0,0）n = ω（ω,ω）…【n個のω】…（ω,ω）ω
ε_0ぽいものをつくって拡張
α_0 = ω（ω,…【ω個のω】…,ω）ω
α_0（0）n = ω（ω,…【ω（0）n個のω】…,ω）ω
α_0（X）Y = ω（ω,…【ω（X）Y個のω】…,ω）ω
α_1 = ω（ω,…【α_0個のω】…,ω）ω
294:１３２人目の素数さん
17/04/08 16:38:22.00 G928D+4y.net
間違えた
ω（2,0）n = ω（1,ω）…【n個のω】…（1,ω）ω
295:１３２人目の素数さん
17/04/08 16:46:00.25 /CLjIP34.net
つまりそれって
ω(a+1)n＝ω(a)n(a)n(a)･･･
ってことだと思うけど、それってどういう定義なんですか?
296:１３２人目の素数さん
17/04/08 16:49:41.60 /CLjIP34.net
あ、修正
ω(1)n＝ω(0)n(0)n(0)･･･
ってことだと思うけど、それってどういう定義なんですか?
297:１３２人目の素数さん
17/04/08 17:23:05.19 G928D+4y.net
ハイパー演算子の拡張として定義したから
a（0）nはｈyper（a,0,n）つまりsuc（a）
ω（1）5
= ω（0）5（0）5（0）5（0）5（0）5
= ω+1（0）5（0）5（0）5（0）5
= ω+2（0）5（0）5（0）5
= ω+3（0）5（0）5
= ω+4（0）5
= ω+5
298:１３２人目の素数さん
17/04/08 23:33:44.97 /CLjIP34.net
こんなのとか
X：0個以上の、0以上の整数または順序数
a,b,c,d：0以上の整数または順序数
a#b：b個のa
BM(a,0,X)＝ωa
BM(a,b,0#c)＝ωa→→ωb
BM(a,b+1,0#c,d+1,X)＝BM(a#(c+1),BM(a,b,0#c,d,X),d,X)
BM(3,3,3)＝BM(3,BM(3,2,2),2)＝BM(3,BM(3,BM(3,1,1),1))＝BM(3,BM(3,(3ω→→3ω＾2))
299:１３２人目の素数さん
17/04/09 18:26:35.52 qS3yHR8t.net
>>291って
BM(a,b+1,0#c,d+1,X)＝BM(a#(c+1),BM(a,b,0#c,d,X),d,X) じゃなくて
BM(a,b+1,0#c,d+1,X)＝BM(a#(c+1),BM(a,b,0#c,d+1,X),d,X) だとオモう
300:１３２人目の素数さん
17/04/10 17:12:17.07 N9IzlZp9.net
自分も参加してみる
→：コンウェイのチェーン表記
ω：最初の極限順序数
X：0個以上の、0以上の整数または順序数
a,b：0以上の整数または順序数
a#b：b個のa
301:C(0#n,0)=ω C(0#n,a+1)=C(a)→C(a)→...C(a)回繰り返し...→C(a)→C(a) C(X,b+1,0#[n+1])=C(X,b,C(ω)#[n+1]) C(X,b+1,0#n,a+1)=C(X,b,C(X,b+1,0#n,a)#[n+1])
302:１３２人目の素数さん
17/04/10 18:55:24.18 4WjdX+Ew.net
>>293 のC(ω)は
f(x)＝ω↓ω↓２とした時の
C(ω)≒f＾ω(ω) かな
303:１３２人目の素数さん
17/04/10 19:07:36.89 N9IzlZp9.net
>>294
想像したよりは大きなかったです
がっくり
304:１３２人目の素数さん
17/04/10 22:07:11.88 Stok2X9a.net
(Ω*2)[ω] = Ω+ω
305:１３２人目の素数さん
17/04/11 13:18:38.85 hR+Pks/5.net
バシク氏のψ関数はバシク行列を応用して強化されてるんだろうが、
バシク行列を使ってバシク行列を評価するという事態に陥ってるんじゃなかろうか
306:１３２人目の素数さん
17/04/11 19:12:59.60 HFGj+b9p.net
自分で作ってみた
X : 0個以上の0以上の整数
Y : 0個以上の0
a,b,n,m : 0以上の整数
a#b＝b個のa
ゑn〔〕＝ゑn〔0〕
ゑn〔X,a+1,0＝〕ゑn〔X,a#2〕
ゑn〔X,a+1,b+1〕＝ゑn〔X,a,ゑn〔X,a+1,b〕〕
ゑn〔X,a+1,0,Y,b〕＝ゑn〔X,a,b,Y,b〕
ゑn+1〔Y,a〕＝ゑn〔a#a〕
ゑ0〔Y,a〕＝2*a
ゑY:n〔X〕＝ゑn〔n#(X)〕
ゑX:n+1:0〔X〕＝ゑX:n:n
307:298
17/04/11 19:50:25.78 HFGj+b9p.net
ここからXの代わりにZも使う
ゑZ:n+1:0〔X〕＝ゑZ:n:n〔X〕
ゑZ:n+1:m+1〔X〕＝ゑZ:n:(ゑZ:n+1:m〔X〕)〔X〕
ゑZ:n+1:0:Y:m〔X〕＝ゑZ:n:m:Y:m〔X〕
f0〔a〕＝(ゑ＾a)a#a(〔a#a〕#a)
f(b+1)〔a〕＝(fb)＾a〔a〕
ここでf関数の〔〕の中も多変数にして
f＾9〔9#9〕 をゑゑ数とする
308:１３２人目の素数さん
17/04/12 17:46:38.55 uAHqcfU6.net
θ(α,β)
αをパラメータとしてβを強化する (β≥Ωのときも)
θ(0,b) = ω^b
θ(0,b+c) = b*c
θ(0,b*c) = b^c
残りは後で
309:１３２人目の素数さん
17/04/13 10:27:47.20 l9SdByqa.net
多変数のアッカーマン関数を再考
2変数アッカーマン関数
f(0,a)=a+1
f(b+1,0)=f(b,1)
f(b+1,a+1)=f(b,f(b+1,a))
3変数アッカーマン関数
f(0,0,a)=a+1
f(0,b+1,0)=f(0,b,1)
f(b+1,0,0)=f(b,1,1)
f(0,b+1,a+1)=f(0,b,f(0,b+1,a))
f(b+1,0,a+1)=f(b,f(b+1,0,a),f(b+1,0,a))
f(c+1,b+1,0)=f(c,f(c+1,b,1),f(c+1,b,1))
f(c+1,b+1,a+1)=f(c,f(c+1,b,f(c+1,b+1,a)),f(c+1,b,f(c+1,b+1,a)))
310:１３２人目の素数さん
17/04/13 10:29:04.82 l9SdByqa.net
4変数アッカーマン関数
f(0,0,0,a)=a+1
f(0,0,b+1,0)=f(0,0,b,1)
f(0,b+1,0,0)=f(0,b,1,1)
f(b+1,0,0,0)=f(b,1,1,1)
f(0,0,b+1,a+1)=f(0,0,b,f(0,0,b+1,a))
f(0,b+1,0,a+1)=f(0,b,f(0,b+1,0,a),f(0,b+1,0,a))
f(b+1,0,0,a+1)=f(b,f(b+1,0,0,a),f(b+1,0,0,a),f(b+1,0,0,a))
f(0,c+1,b+1,0)=f(0,c,f(0,c+1,b,1),f(0,c+1,b,1))
f(c+1,0,b+1,0)=f(c,f(c+1,0,b,1),f(c+1,0,b,1),f(c+1,0,b,1))
f(c+1,b+1,0,0)=f(c,f(c+1,b,1,1),f(c+1,b,1,1),f(c+1,b,1,1))
f(0,c+1,b+1,a+1)=f(0,c,f(0,c+1,b,f(0,c+1,b+1,a)),f(0,c+1,b,f(0,c+1,b+1,a)))
f(c+1,0,b+1,a+1)=f(c,f(c+1,0,b,f(c+1,0,b+1,a)),f(c+1,0,b,f(c+1,0,b+1,a)),f(c+1,0,b,f(c+1,0,b+1,a)))
f(c+1,b+1,0,a+1)=f(c,f(c+1,b,f(c+1,b+1,0,a),f(c+1,b+1,0,a)),f(c+1,b,f(c+1,b+1,0,a),f(c+1,b+1,0,a)),f(c+1,b,f(c+1,b+1,0,a),f(c+1,b+1,0,a)))
f(d+1,c+1,b+1,0)=f(d,f(d+1,c,f(d+1,c+1,b,1)),f(d+1,c,f(d+1,c+1,b,1)),f(d+1,c,f(d+1,c+1,b,1)))
f(d+1,c+1,b+1,a+1)=f(d,f(d+1,c,f(d+1,c+1,b,f(d+1,c+1,b+1,a))),f(d+1,c,f(d+1,c+1,b,f(d+1,c+1,b+1,a))),f(d+1,c,f(d+1,c+1,b,f(d+1,c+1,b+1,a))))
311:１３２人目の素数さん
17/04/13 13:28:25.34 l9SdByqa.net
再考した多変数アッカーマン関数の定義の省略方法を思いつかなかったので挫折
>>274を参考に多変数アッカーマン関数を定義
X : 0個以上の0以上の整数
a,b,n : 0以上の整数
a#b : b個のa
f(0#n,a)=a+1
f(X,b+1,0#(n+1))=f(X,b,1#(n+1))
f(X,b+1,0#n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0#n,a)#(n+1))
312:１３２人目の素数さん
17/04/13 16:14:18.64 5tqF0ona.net
f(0#n,a)=a+1 はもっと強くできると思います
f(0#n,a)＝f(a#n)
f(a)＝a+1 みたいな
313:１３２人目の素数さん
17/04/13 18:40:18.07 l9SdByqa.net
>>304
こんな感じにしてみた
X : 0個以上の0以上の整数
a,b,n : 0以上の整数
a#b : b個のa
f(a)=a+1
f(0#(n+1),a)=f(a#(n+1))
f(X,b+1,0#(n+1))=f(X,b,1#(n+1))
f(X,b+1,0#n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0#n,a)#(n+1))
314:１３２人目の素数さん
17/04/13 19:06:02.95 l9SdByqa.net
今思いついたけど
#の記号をa#b#cと並べたら
c×b個のaとできるね
そしてa#a#a#…n個…#aをa##nと表現して
a##nは、a↑n個のaと表現できて
a##a##a##…n個…##aをa###nと表現すれば
a###nは、a↑↑n個のaと表現できるね
315:１３２人目の素数さん
17/04/13 19:25:14.17 vYGqrry8.net
E表記か
316:１３２人目の素数さん
17/04/13 20:47:02.18 5tqF0ona.net
多変数アッカーマンの拡張やろうとしたら駄目だったので定義だけ書いておく
X : 0個以上の0以上の'(後述)で区切られた整数
a,b,n,m : 0以上の整数
a(#0)b : 「,」で区切られたaがb個
a(#(n+1))b : 「#n」で区切られたaがb個
' : 「,」もしくは「#n」
317:１３２人目の素数さん
17/04/15 13:03:38.80 V9p8xxkB.net
オンプ関数を次のように定義する
a(♪0)＝Ack(a,a,a(a回)a)
a(♪b+1)＝a((♪b)＾a)
そして
a(♪♪0)＝a(♪a)
a(♪♪b+1)＝a((♪♪b)＾a)
同様に、♪がいくつあっても
a(♪(c個)♪0)＝a(♪(c-1個)♪a)
a(♪(c個)♪b)＝a((♪(c個)♪(b-1))＾a)
そして、ここで縦に無限に広がるテープを考える。その表の一番前の所に1と書く。テープの二番目からは、前にある数をxとして、
x(♪(x個)♪x)
で、できた数を書く。実際に計算すると一番前は1で、1(♪1)＝2なので、二番目の数は2となる。三番目の数は、
2(♪♪2)＝2(♪♪1)(♪♪1)＝(省略、、)＝Ack(7,7,7,7,7,7,7)(♪1)(♪♪0)(♪♪1) という事になるので、もう巨大な数となる。
さらに巨大にするために、テープを表に拡張させる。ここで、:(横,縦) という表記を用いる事にする。
一番左の行は、前述テープと同じで、二行目からは、まず:(a,1)に1を書き、
:(a,b)＝:(a-1,:(a,a-1)♪) とする。
そうした時の、:(9(♪9),9(♪9))
318:１３２人目の素数さん
17/04/15 15:29:35.19 gfDBAhGk.net
>>309
a(♪0)はアッカーマンを繰り返しているからω+1
a(♪b+1)＝a((♪b)＾a)は^がべき乗ならあまり意味がない
おそらく十分大きなaに対して (a+1)(♪0) >> a(♪…(a個)…♪a)
後半のテープに書くやつは前の演算を繰り返す操作だから
数字が1増えてω+2
二次元テープのやつはどうなんだろ
内部のアッカーマンとの絡みがないので急激には増えない
アッカーマン的操作なのでωは追加されそう
なのでω2+2+αぐらいな気がする
ω3はいかない気がする
319:１３２人目の素数さん
17/04/15 15:31:03.31 bg2dH3Bs.net
なんかかわいい♪
320:１３２人目の素数さん
17/04/15 16:06:25.45 V9p8xxkB.net
べき乗というか、繰り返し
a(♪b+1)＝a((♪b)＾a)＝a(♪b)(♪ｂ)(♪ｂ)(♪ｂ)･･･a回･･･(♪b)
321:１３２人目の素数さん
17/04/15 16:24:05.76 hf5FtIR0.net
X : 0個以上の非負整数
a,b,c,d : 非負整数
m#n : m個のn
A(X,0,0)=1
A(0,b)=b+1
A(X,a+1,0)=A(X,a,1)
A(X,a+1,b+1)=A(X,a,A(X,a+1,b))
A(X,d+1,c#0,0,b)=A(X,d,(c+2)#b)
多次元空間の表を使った手順の計算がやり易そうな多変数アッカーマン関数
322:１３２人目の素数さん
17/04/15 19:12:27.25 PnOAmFoK.net
そういえば多重リストアッカーマンってまだ厳密に定義されてないんだっけ？
もしかしてε０はペアノ算術超えてるから数式では書き表せないとかいう落ちがあるんだろうか？
323:１３２人目の素数さん
17/04/16 00:08:15.17 z2+M0+1f.net
２重リストアッカーマンの解説読んでみたけど
基本的なアイディアはヒドラと同じなのかな？
じゃあヒドラをパクれば多重リストアッカーマンも厳密に定義できるかな？
324:１３２人目の素数さん
17/04/16 12:43:35.50 l4MmwnQd.net
Alist1(X) 関数は二重リストと同じ
Alist2(0,a)＝Alist1([a#a]#a) つまりaがa個入った[]がa個、さらにそれをリストにして、、、っていうのを考えてみた
325:１３２人目の素数さん
17/04/16 14:15:11.63 RGpzefWA.net
1段階でどのくらい強化されるのがちょうどいいんだろうね
326:１３２人目の素数さん
17/04/17 22:01:39.82 LzURx6DF.net
ωとかを使う、｢ものさし｣の急増加関数の自分版を定義してみた。
n,m:0以上の非負整数
$:ω以上の順序数
$[n]:$の収束列のn番目
Z:0個以上の0以上の非負整数または順序数
f(n)＝n+1
f(Z,0)＝f(Z)
f(Z,n,m+1)＝f＾f(Z,n)(Z,n,m)
f(n,Z,$)＝f(n,Z,$[f(n,Z)])
f($,Z)＝f($[10],Z)
f(n,Z,m+1)＝f＾(n,Z)(n,Z,m)
327:１３２人目の素数さん
17/04/18 19:20:22.15 8eP1rC6E.net
訂正
f(n)＝n+10
f(Z,0)＝f(Z)
f($,Z,n)＝f($[n],Z,n)
f(n,Z,$)＝f(n,Z,$[f(n,Z)])
f($,Z,$)＝f($[10],Z,$)
f(n,Z,m+1)＝f^f(n,Z,m)(n,Z,m)
f(ω,ω,ω)＝f(10,ω,ω)＝f(10,ω,f(10,ω))＝f(10,ω,f(10,f(10)))＝f(10,ω,f(10,20))....
328:１３２人目の素数さん
17/04/18 20:16:02.74 Jizo95yL.net
このスレも将来は巨大数探索スレッド{3,3,3,3}とか表記されるようになるのか
329:１３２人目の素数さん
17/04/18 21:32:42.55 8eP1rC6E.net
>>320
巨大数探索スレッド({3,3,3,3}/2+10＾72+4↑↑↑↑5)とかなったら暗記できなさそう
330:１３２人目の素数さん
17/04/18 22:28:11.30 8CiBqHLQ.net
{3,3,3,3}/2+10＾72+4↑↑↑↑5とか切の良い番号ならいいが
切が悪いと表記するのにどうやってもものすごい文字数が必要になる。
331:１３２人目の素数さん
17/04/19 08:03:15.55 kg6qdfJ9.net
そりゃあ4↑↑↑5個のユニークな数を表現しようとしたら4↑↑↑5パターンのユニークな表現を使わざるを得ないから仕方がない。むしろ一番圧縮率が良い表現方法がベタの2進数だし
332:１３２人目の素数さん
17/04/19 11:27:51.10 XkR9Wacf.net
3進法だろ
333:１３２人目の素数さん
17/04/19 13:00:01.14 kg6qdfJ9.net
3進法なの？
334:１３２人目の素数さん
17/04/19 13:38:16.45 XkR9Wacf.net
e進法でググれ
335:１３２人目の素数さん
17/04/19 13:44:59.43 D6pS0hbb.net
単純にm種n文字でm^nパターンの数を表現できるということになふぁないか
336:１３２人目の素数さん
17/04/19 14:43:29.49 BeeRNAeb.net
前回+1
337:１３２人目の素数さん
17/04/19 15:42:59.61 IdE9uBAK.net
ω：最初の極限順序数
a,b,n：0以上の整数または順序数
X：0個以上の0以上の整数または順序数
a#b：b個のa
a#b+1=a#(b+1)
A()=ω
A(0#n+1)=ω^A(0#n)
A(a+1)=A(0#A(a))
A(0#n+1,a+1)=A(A(0#n+1,a)#n+1)
A(X,b+1,0#n+1)=A(X,b,ω#n+1)
A(X,b+1,0#n,a+1)=A(X,b,A(X,b+1,0#n,a)#n+1)
A(0#ω)=ε_0になるように定義した
338:１３２人目の素数さん
17/04/19 15:45:18.72 IdE9uBAK.net
以下計算例
A()=ω
A(0)=ω^ω
A(1)=A(0#A(0))=A(0#ω^ω)
A(2)=A(0#A(1))=A(0#A(0#ω^ω))
A(0,0)=ω^ω^ω
A(0,1)=A(A(0,0))=A(ω^ω^ω)
A(0,2)=A(A(0,1))=A(A(ω^ω^ω))
A(1,0)=A(0,ω)
A(1,1)=A(0,A(1,0))=A(0,A(0,ω))
A(1,2)=A(0,A(1,1))=A(0,A(0,A(0,ω)))
A(2,0)=A(1,ω)
A(2,1)=A(1,A(2,0))=A(1,A(1,ω))
A(2,2)=A(1,A(2,1))=A(1,A(1,A(1,ω)))
A(0,0,0)=ω^ω^ω^ω
A(0,0,1)=A(A(0,0,0),A(0,0,0))=A(ω^ω^ω^ω,ω^ω^ω^ω)
A(0,0,2)=A(A(0,0,1),A(0,0,1))=A(A(ω^ω^ω^ω,ω^ω^ω^ω),A(ω^ω^ω^ω,ω^ω^ω^ω))
A(0,1,0)=A(0,0,ω)
A(0,1,1)=A(0,0,A(0,1,0))=A(0,0,A(0,0,ω))
A(0,1,2)=A(0,0,A(0,1,1))=A(0,0,A(0,0,A(0,0,ω)))
A(0,2,0)=A(0,1,ω)
A(0,2,1)=A(0,1,A(0,2,0))=A(0,1,A(0,1,ω))
A(0,2,2)=A(0,1,A(0,2,1))=A(0,1,A(0,1,A(0,1,ω)))
A(1,0,0)=A(0,ω,ω)
A(1,0,1)=A(0,A(1,0,0),A(1,0,0))=A(0,A(0,ω,ω),A(0,ω,ω))
A(1,0,2)=A(0,A(1,0,1),A(1,0,1))=A(0,A(0,A(0,ω,ω),A(0,ω,ω)),A(0,A(0,ω,ω),A(0,ω,ω)))
A(1,1,0)=A(1,0,ω)
A(1,1,1)=A(1,0,A(1,1,0))=A(1,0,A(1,0,ω))
A(1,1,2)=A(1,0,A(1,1,1))=A(1,0,A(1,0,A(1,0,ω)))
A(1,2,0)=A(1,1,ω)
339:１３２人目の素数さん
17/04/19 17:29:23.60 BeeRNAeb.net
>>330じゃないけど a##b＝a#a#a#･･･(b回)、K0＝ω→3→2、Kn＝A(0##K(n-1)) というのを定義したとき
A(0,ω)＝A(A(0,ω-1))＝A(A(A(0,ω-2))＝A＾ω(0,1)＝A＾ω(K0)＝A＾(ω-1)(K1)＝A＾(ω-2)(K2)＝Kω
となりそう。ちなみに K0<ε0<K1<<A(0,ω)
340:１３２人目の素数さん
17/04/19 18:47:06.34 IdE9uBAK.net
A(0#ω)=ε_0
A(0#ω+1)=ω^ε_0
A(0#ω+2)=ω^ω^ε_0
A(0#ω+ω)=A(0#ω×2)=ε_0^ε_0
A(0#ω×2+1)=ω^ε_0^ε_0
A(0#ω×2+2)=ω^ω^ε_0^ε_0
A(0#ω×2+ω)=A(0#ω×3)=ε_0^ε_0^ε_0
A(0#ω×4)=ε_0^ε_0^ε_0^ε_0
A(0#ω×ω)=A(0#ω^2)=ε_1
A(0#ω^2+1)=ω^ε_1
A(0#ω^2+2)=ω^ω^ε_1
A(0#ω^2+ω)=ε_0^ε_1
A(0#ω^2+ω×2)=ε_0^ε_0^ε_1
A(0#ω^2+ω×ω)=A(0#ω^2×2)=ε_1^ε_1
A(0#ω^2×3)=ε_1^ε_1^ε_1
A(0#ω^2×4)=ε_1^ε_1^ε_1^ε_1
A(0#ω^2×ω)=A(0#ω^3)=ε_2
A(0#ω^4)=ε_3
A(0#ω^5)=ε_4
A(0#ω^ω)=ε_ω
A(1)=A(0#ω^ω)=ε_ω
341:１３２人目の素数さん
17/04/20 17:35:31.68 BTaJJ7Kq.net
A(2)=A(0#A(1))=A(0#A(0#ω^ω))=A(0#ε_ω) ＞ A(0#ε_0^ω^2)=Γ_0
342:１３２人目の素数さん
17/04/20 18:44:43.58 BTaJJ7Kq.net
>>333
Γ_0じゃなくてη_0だった
343:１３２人目の素数さん
17/04/21 16:36:26.68 MNjQ1S2A.net
フィッシュの巨大数論を読んで、ご本人のなかではすでに解決してるかも
ラヨ関数は1階の集合論を対角化して得られる関数であり、1階の集合論は1階の述語論理で
記述される。
ラヨ命名する論理式によってある変数a_0はある自然数nに決定される。
1階の述語論理の完全性により、ラヨ命名する論理式の元でa_0=nが真であること
、nでない自然数mについてa_0=mが偽であることがそれぞれ証明可能である。
要するにラヨ命名する論理式が理論的な公理の役割を果たしている。
1階述語論理の完全性が重要でZFCとかフォン・ノイマン宇宙の対角化とかいうのは
あまり重要でないような
いっそのこと証明不可能レベルなんだとふっ
344:きれて、証明できないけれどある自然数を決定している 論理式が存在すると言ってしまうのもありだと思う。 ビッゲドンは真理述語が定義不能だからこそ形式的に真理述語を導入することで 強力な表現を可能としているし、さらに階層を高くしていくことでもうくぁｗせｄｒｆｔｇ なんだろう 階層を高くしていくことで
345:１３２人目の素数さん
17/04/21 22:37:02.94 QShoGSSg.net
Hardyっぽいの
a, n: 自然数
X: 0個以上の自然数
Y: 0個以上の0
Rule 0. 表記ルール
0-1: (X1(0)X2) = (X1,X2)
0-2: (X1(X2)(X2)X3) = (X1(X2)0(X2)X3)
0-3: (Y(X1)X2) = (X2)
Rule 1. 終了ルール: (Y)[n] = n
Rule 2. 破滅ルール
2-0: (X)+1[n] = (X)[n+1]
2-1: (X)[n] = (next_n(X))[n]
2-2: next_n(X,a+1) = (X,a)+1
2-3: next_n(X,a+1,0,Z) = (X,a,n,Z)
2-4: next_n(X1,a+1(X2)Z) = (X1,a(X2)1{"(next_n(X2))" * n})
(1(1))[3]
= (0(1)1(0)(0)(0))[3] = (1(0)0(0)0(0)0)[3] = (1,0,0,0)[3]
= (3,0,0)[3] = (2,3,0)[3] = (2,2,3)[3] = (2,2,0)[6] = (2,1,0)[12] = (2,0,0)[24] = (1,24,0)[24] = (1,0,0)[2^24*24] = (2^24*24,0)[2^24*24]
= 2^(2^24*24)*2^24*24 = 2^(2^24*24+24)*24 ≒ 10^121210694*6.895
(1,0)[n] = (0,n)[n] = (n)[n] = f_2(n)
(1,0,0)[n] = (n,0)[n] = f_3(n)
(1(1))[n] = (0(1)1,0,0,...)[n] = (1,0,0,...)[n] = f_ω(n)
(1,0(1))[n] = (n(1))[n] = f_ω+1(n)
(1(1)(1))[n] = f_ω2(n)
(1(2))[n] = f_ω^2(n)
(1(1,0))[n] = f_ω^ω(n)
(1(1,1))[n] = f_ω^(ω+1)(n)
(1(2,0))[n] = f_ω^(ω2)(n)
(1(1,0,0))[n] = f_ω^ω^2(n)
(1(1(1)))[n] = f_ω^ω^ω(n)
(1(1(1(1))))[n] = f_ω^ω^ω^ω(n)
たぶん。
リスト部分だけ取り出すと順序数のリスト表記として使える
346:１３２人目の素数さん
17/04/27 21:26:38.98 0ZiyfVIM.net
>>335
ZFCやらがあまり重要でないことはないが、最低限自然数に関する公理を事前に準備しておけば
それだけで十分ということか。強力な公理を準備しておけばそれだけ命名する文字数も短くてすむようになるが、
Rayo(n+a)程度の効果にしかならないし、可能性を狭めかねない。
ところでフォン・ノイマン宇宙の対角化というのはラヨ自信の言葉なんだろうか?
347:１３２人目の素数さん
17/04/27 21:49:40.88 4oVhJRg3.net
順序数崩壊関数をある程度理解してこねこねできるようになったのでこんな関数を作った
θ(0) = 1
θ(1) = ω
θ(ω) = ω^ω
θ(Ω) = ε_0
θ(ε_(Ω+1)) = ψ_0(ψ_1(0))
θ(1,0) = Ω
θ(1,1) = Ω*ω
θ(1,Ω) = Ω*ω^Ω = Ω*Ω = Ω^2
θ(1,Ω^2) = Ω*ω^Ω^2 = Ω*(ω^(Ω*Ω)) = Ω*(ω^Ω)^Ω = Ω*Ω^Ω = Ω^Ω
θ(1,Ω_2) = ε_(Ω+1)
θ(2,0) = Ω_2
θ(Ω,0) = Ω_Ω
θ(Ω_Ω,0) = Ω_Ω_Ω
θ(I,0) = ψ_I(0)
θ(1,0,0) = I
θ(1,1,0) = I_2
θ(1,I,0) = I_I
θ(1,I_I,0) = I_I_I
θ(2,0,0) = χ(1,0)
θ(1,0,0,0) = M
θ(K,0,0,0) = Ξ(K,0)
θ(1,0,0,0,0) = K
こんな関数
多変数のいいところはどれだけでかい順序数を入れてもいいところだよね、とか言いつつ
計算があってるか怪しいし本当に定義できるかどうかも怪しいあやしーた関数
あやしーた関数で定義できないほど大きい巨大基数を仮に∞と置いて順序数崩壊関数的に使える
逆に定義を変えてθ(1,0)=ω_1^CK, θ(1,0,0)=I^CK, ...みたいにして∞=Ωにもできそう
θ(Ω) = ω_1^CK
θ(Ω^2) = I^CK
θ(Ω^3) = M^CK
θ(Ω^4) = K^CK
θ(Ω^ω) = ?
θ(Ω^Ω) = ??
θ(Ω^Ω^Ω) = ???
θ(1,0) = Ω
θ(1,Ω) = Ω^2
θ(1,Ω*2) = Ω^3
θ(1,0,0) = I
348:１３２人目の素数さん
17/04/30 19:44:45.80 CwztWAnr.net
ビジービーバー関数のそれぞれの値は、任意の推論が妥当かどうかを判断するアルゴリズムが
存在しないほど高度な、健全かつ無矛盾な論証体系で求めることができる（かもしれない）。
そんなもの本当に発見出来たらゲーデルの不完全性定理を計算可能な理論全体で克服できて
ZFCの無矛盾性やらが健全かつ無矛盾に証明できたりするし、そういう言語を対角化することで
現代の論理では根本から及ばないほど強力な関数が出来上がったりする。
フィールズ賞受賞レベル
349:１３２人目の素数さん
17/04/30 23:53:01.90 gvviREjk.net
無理ぽ
350:１３２人目の素数さん
17/05/01 13:53:17.55 ydxda6cS.net
ラヨ数<BIG FOOT<Little Biggedon<ふぃっしゅ数バージョン7<Big Biggedon
かな。定義不可能な関数を導入した方が効率が良さそうだし、それでふぃっしゅ数バージョン8的なものを作りたい。
でももしかしたらDeedlit氏が既に何か作ってるのかもしれない。
351:１３２人目の素数さん
17/05/01 20:20:11.37 rFkCrA8g.net
どうやら(省略に無理あるけど)
魚4<ラヨ数<魚7<BIGFOOT<リトルビッケドン<サスクワッチ(ビッグビッケドン)
となるみたいですよ
352:１３２人目の素数さん
17/05/01 23:42:02.91 ydxda6cS.net
リトルビッゲドンについて初歩的な勘違いをしていた。
話変わるけど、oodle theory はウードル論理と訳したほうがいいんじゃなかろうか。
意味ではなく形式を定義するものだから。
353:１３２人目の素数さん
17/05/02 13:00:49.36 nNYHjXfm.net
logicじゃなくてtheoryだからFirst Order Set Theoryにあわせてウードル論で良さげか
ある言語で記述される理論の総称と考えればただ単に形式を定義したものでもないし
354:１３２人目の素数さん
17/05/03 05:12:00.48 PMqbMWLq.net
>>341
Deedlitは去年の暮れにFOFTという理論を使ってBIG FOFTという巨大数を作っててそれがBig Biggedonが出るまでは長らく一位だったよ
URLﾘﾝｸ(googology.wikia.com)
比較に関しては
FOFT の func^0_0 = FOOT の Ord
FOFT^1_0 = FOOT
FOFT^1_0 = Little Biggedon の言語 {∈,T} < FOFT^2_0
なので
BB<F4<Rayo<F7<FOOT<Little Biggedon<FOFT<Big Biggedon
355:１３２人目の素数さん
17/05/03 05:15:52.26 PMqbMWLq.net
ミスりました
FOFT^1_0 = FOOT
FOFT^1_1 = Little Biggedon の言語 {∈,T}
<FOFT^2_0
の間違い
356:１３２人目の素数さん
17/05/03 23:30:42.21 yb/JqroS.net
可算個の字母集合で記述されるすべての有限の文字列の集合とすべての自然数から自然数への写像
の集合は同じ濃度を持つ。
可算個の字母集合からなる有限の文字列で任意の自然数から自然数への写像を定義すること
はできない。
証明は高校生の宿題にしよう
357:１３２人目の素数さん
17/05/04 00:01:19.75 rYgTQkOz.net
上は反証
358:１３２人目の素数さん
17/05/04 21:15:54.00 rYgTQkOz.net
kを非可算な基数とし、
濃度がkより小さい字母集合で記述されるすべての長さがkよりも短い文字列の集合
と、すべての自然数から自然数への写像の集合は同じ濃度を持つ。
が成り立たないとき、kは弱コンパクト基数
359:１３２人目の素数さん
17/05/06 11:13:05.36 3Kfw3jY1.net
変なこと言ってしまったがこれ弱コンパクト基数でもなんでもないわ
360:１３２人目の素数さん
17/05/06 18:59:40.29 WjjYNWQk.net
↗m(0#n+1)＝n+1
↗0(X[n変数],b+1)＝↗0(X[n変数],b)↑↑↑(n+1)
↗m+1(X[n変数],b+1)＝↗m(↗m+1(X[n変数],b)#n+1)
↗m(X,a+1,0#n+1)＝↗m(X,a,↗m(X,0#n+1,a+1),0#n)
T(n)＝↗n(n#n)とした時の T＾1301(1301)
361:１３２人目の素数さん
17/05/06 21:15:32.13 CsJ4nctg.net
なんかこういうの、無数に考えられてるけど、テキスト入れたら「はい、80点！」みたいに大きさ出てくるようにならないかな。
「はい、それは<f_θ(Ω_ε_ω+1)(0)！」でもいいし
362:１３２人目の素数さん
17/05/06 21:56:48.87 QnuzqpGf.net
>>352
多分計算不能だろう。
テキストに制限をいれたらいけるかもだが。
363:１３２人目の素数さん
17/05/07 06:31:37.42 EpCT8n/L.net
いや、だいたいの大きさの見積もりをする話で。
みんなやってるじゃん。>>30 みたいな感じで。
2chに書き込めるってことは1024文字以内で見積もれてるわけで。
364:１３２人目の素数さん
17/05/07 20:08:39.29 TTQkzu7i.net
どう見積もるかにもよる。
計算可能であれば全部<ω^CKですませてもいいんだし
365:１３２人目の素数さん
17/05/08 05:00:51.33 8vMZj4FY.net
どうなんだろうね
366:１３２人目の素数さん
17/05/09 11:24:25.70 OU70enD6.net
算術と巨大基数は関係ある？何というか、順序数に使われるけど
367:１３２人目の素数さん
17/05/09 19:16:16.79 Mfauo/Vg.net
証明論的順序数とか? 演繹のみの証明の長さの上限
368:１３２人目の素数さん
17/05/11 21:24:23.87 wU5tSbVm.net
証明論的順序数、興味あるな。
ペアノ算術がε0とかだっけ？
369:１３２人目の素数さん
17/05/14 18:39:30.48 tBqfkrBY.net
>>357
巨大基数は、算術に対してというよりもZFCに対して使われる
370:１３２人目の素数さん
17/05/14 20:31:59.09 UUyUg4KK.net
>>360
横からですまんけど、巨大基数っていうのは全部無限の向こう側で、巨大数wikiに出てくるような順序数はまだ有限のめちゃくちゃ巨大な数ってこと?
なんか基数、順序数、א数とかもう訳わからない
ちゃんと高校生のとき数学勉強しとけばよかった
371:１３２人目の素数さん
17/05/14 20:35:39.22 Qy/avCVD.net
高校じゃならわんだろ。
大学でも数学科とかじゃないと習わんのじゃないか。
372:１３２人目の素数さん
17/05/14 21:02:31.50 ti+NLOdC.net
大学の数学科でもマニアックな部類に入るんじゃなかろうか。
藻の人も結構知らないことあるようだし
373:１３２人目の素数さん
17/05/14 21:24:53.64 N4QpwugY.net
只でさえマニアックな公理的集合論の更にマニアックな分野。
374:１３２人目の素数さん
17/05/14 21:42:19.35 UUyUg4KK.net
>>362
いや、せめて数学記号だけでも読めたらちょっとは違ったのかなって思ったから
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17/05/14 22:25:25.04 fNprJr1l.net
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385:１３２人目の素数さん
17/05/15 08:59:37.69 4BhInYny.net
ちなみにBIG FOOTを発見した人は今18才だって。
発見したのは3年前だから高校1年生くらいの時になるのか。
ノルウェー出身で今アメリカの大学に行ってるんだって。
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17/05/15 10:41:16.00 D6Tvv8g8.net
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396:１３２人目の素数さん
17/05/17 15:40:17.93 DP16gMQ4.net
進まないので適当に一つ(弱いけど)
回転斜め矢印表記
①多変数タワー表記
小文字アルフ
397:ァベット : 1以上の整数 X : 0個以上の1以上の整数 [a]↑b＝a^b [X,a]↑b＝[X]↑^b a 注意 [X,a]↑^n b＝[X,a]↑b [X,a]↑^(n+1) (b+1)＝[X,a]↑^n([X,a]↑^(n+1) b) 注意について:変数が1つの時は上のルールを使います。0変数のときに、1変数に変える事はできます。 ②シャープ収納表記 [X]"＝[X]↑^y z [a#b]"＝[a,a,a(b個)a,a,a]" [a#^n 1]"＝[a]" [a#^(n+1) (b+1)]"＝[a#^n ([a#^(n+1) b]")]" ③右上矢印表記 [a]↗b＝[a#^b a]↑^a b この他は①の↑を↗に変えるだけです。 ④回転斜め矢印表記 ③の定義の部分を、↗,↘,↙,↖,↗1,↘1,↙1,↖1,↗2 と言うように強化していきます。 ⑤例 [52,7,43]{↘7}{↘7}{↘7}5＝[52,7,43]{↘7}{↘7}([52,7,43]{↘7}{↘7}{↘7}4)
398:１３２人目の素数さん
17/05/17 23:54:51.59 Mb4Tj9LN.net
未だに新しい記号使って新しい関数作って～とかやってんのか。
399:１３２人目の素数さん
17/05/18 18:15:23.92 w2wSPcXI.net
逆に全く新しい記号を使わずに何とかしようとすると最終的に0と1だけで頑張ることになる。
渋いな
400:１３２人目の素数さん
17/05/18 20:35:05.29 0L8jXFhH.net
何そのトンチンカンなレス
401:１３２人目の素数さん
17/05/18 21:32:27.58 jOdZF0w/.net
左の値を加法でm個並べ、n個の演算子全てをhyper(n)に変更し
変更後の式を全て加法になるまで展開しn'個の演算子全てをhyper(n')に……という工程をm回繰り返す演算子¶
例) 2¶3 → 2+2+2 → 2*2*2 → 2+2+2+2 → 2^2^2^2 → 2+...(計32768個)...+2 →2(32767)2(32767)...2
タワー表記同様、¶をn個連ねた物を¶(n)と表記し、
A¶(n)BはB個のAに¶(n-1)を挟んだ式になる。
3¶(3¶(3¶3)3)3と入れ子にも出来る。
402:１３２人目の素数さん
17/05/18 21:54:19.44 NGHGFtV9.net
さっさと～演算子を～回繰り返すとかいう拡張の限界をもとめて終止符を打てばいいんじゃね？
403:１３２人目の素数さん
17/05/18 23:00:35.04 epkgbiCW.net
演算子の拡張って手段として強いのか弱いのかよくわからん
でも矢印表記とかのわりとクラシックな巨大関数の頃からある手法だから陳腐感は否めないと思う
404:１３２人目の素数さん
17/05/18 23:12:28.25 jOdZF0w/.net
>>391を見直して意味不明だったので改良
拡張ハイパー演算子の定義
A[hyper(N)M]B =
A[hyper(N+B)M-1]A[hyper(N+B)M-1]A[...]A
└─ B ─┘
[hyper(N)0] = hyper(N)
3[+1]2 = 3^3 3[+1]3 = 3↑↑3↑↑3 3[+1]4 = 3↑↑↑3↑↑↑3↑↑↑3
3[↑1]2 = 3↑↑↑3 3[↑1]3 = 3↑↑↑↑3↑↑↑↑3 = 3→3→5
3[+2]3 = 3[↑↑1]3[↑↑1]3
= 3[↑↑1](3→3→6)
= 3 hyper(4 + 3→3→6) 3 hyper(4 + 3→3→6) 3 (...) 3
3[+(3[+3]3)]3 = 3[+(3[+3]3 - 1)]3[+(3[+3]3 - 1)]3...
405:１３２人目の素数さん
17/05/19 23:23:37.64 qVk0E4+o.net
ZFC+マーロ基数とマーロ基数を崩壊させた関数。例えばこの二つに違いはあるのかとか、比べる意味がないとか、具体的な大きさが両方わからないけれど知りたい。
406:１３２人目の素数さん
17/05/20 00:46:27.48 ZYfp3QXf.net
ZFC+マーロ基数(が存在するという公理)はこの理論で全域性を証明できるかどうかで強さを計れる。
マーロ基数を崩壊させる方はどう崩壊させるかによる。
407:１３２人目の素数さん
17/05/27 20:56:48.70 49TXQkSb.net
マーロ基数や弱コンパクト基数の扱い方がまれによく間違われているような気がする。
Ξ(3,0)=C(Ω_2^3,0)=1-マーロ基数
Ψ[Ξ(3,0)](2,0)=C(Ω_2^2*C(Ω_2^3,0),0)=α→M_αとなる最小の不動点
Ψ[Ψ[Ξ(3,0)](2,0)](1,0)=C(Ω_2^2+Ω,0)=M+1-到達不可能基数
Ψ[Ψ[Ψ[Ξ(3,0)](2,0)](1,0)](0,0)=C(Ω_2^2+C(Ω_2^2+Ω,0),0)=M_M_M_･･･
408:１３２人目の素数さん
17/05/27 21:05:41.54 49TXQkSb.net
Ψ関数はもっと簡単に表してもよい
409:１３２人目の素数さん
17/05/29 19:47:58.63 LHX9Eg6u.net
何が分かりやすいかってある程度突き詰めたところから先は人それぞれとしか言いようがなくて、
最終的にその人の努力に委ねられるなと思った。
410:１３２人目の素数さん
17/05/30 21:14:36.31 fg0nsAMB.net
順序数を崩壊させる方法と関数を対角化させる方法ってどういう関係にあるの。
411:１３２人目の素数さん
17/06/01 22:34:52.42 jeH7c5bC.net
とりあえず崩壊過程が複雑であればそれだけ強力な関数を対角化できる。
話変わるけどあれは論理的帰決と定理、存在論からいえば隔絶された神話的世界
から存在すると言われていることと観測可能であることを同列に語っている点が
どうしてももやもやするんだ。
412:１３２人目の素数さん
17/06/02 22:29:27.04 BUc+RQjs.net
やりたいことは巨大数の成長率の比べっこだから、じゃあ欲張りクリーク列とかはFGHで評価できるか、みたいな問いになるのかな
413:１３２人目の素数さん
17/06/06 14:18:53.62 gxGOoUEn.net
テトレーション以降の複素数域への拡張は、ただ見解が統一されてないだけで
無数にあるのね
414:１３２人目の素数さん
17/06/06 19:30:09.12 MQdWYnd+.net
まじで
415:１３２人目の素数さん
17/06/07 21:35:29.60 U01GwOAh.net
3↑↑3.5とか例えばいくつになるの？
416:１３２人目の素数さん
17/06/07 22:31:54.79 0htKA+DA.net
3^3^3^{3^(1/3)}かな
有理数のテトレーションは一般化可能だが無理数のテトレーションとなると見当もつかない
417:１３２人目の素数さん
17/06/07 22:54:21.34 mijQo9HI.net
ほれ
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
418:１３２人目の素数さん
17/06/07 23:13:06.28 xQEzI+kB.net
ていうか有理数で可能ならその極限としてそのまま無理数に持って行けるんじゃ。
419:１３２人目の素数さん
17/06/09 15:28:36.47 xqwCkWac.net
f(0)=ω
f(n+1)=ω^f(n)
f(0)=ω
f(1)=ω^ω
f(2)=ω^ω^ω
f(ω)=ε_0
f(ω+1)=ω^ε_0
f(ω+2)=ω^ω^ε_0
f(ω×2)=ε_0^ε_0
f(ω×3)=ε_0^ε_0^ε_0
f(ω^2)=ε_1
f(ω^2+1)=ω^ε_1
f(ω^2+2)=ω^ω^ε_1
f(ω^2+ω)=ε_0^ε_1
f(ω^2+ω×2)=ε_0^ε_0^ε_1
f(ω^2×2)=ε_1^ε_1
f(ω^2×3)=ε_1^ε_1^ε_1
f(ω^3)=ε_2
f(ω^4)=ε_3
f(ω^ω)=ε_ω
f(ω^ω+1)=ω^ε_ω
f(ω^ω+2)=ω^ω^ε_ω
f(ω^ω+ω)=ε_0^ε_ω
f(ω^ω+ω×2)=ε_0^ε_0^ε_ω
f(ω^ω+ω^2)=ε_1^ε_ω
f(ω^ω+ω^2×2)=ε_1^ε_1^ε_ω
f(ω^ω+ω^3)=ε_2^ε_ω
f(ω^ω+ω^4)=ε_3^ε_ω
f(ω^ω×2)=ε_ω^ε_ω
f(ω^ω×3)=ε_ω^ε_ω^ε_ω
f(ω^(ω+1))=ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+1)=ω^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+2)=ω^ω^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω)=ε_0^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω×2)=ε_0^ε_0^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω^2)=ε_1^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω^2×2)=ε_1^ε_1^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω^3)=ε_2^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω^4)=ε_3^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω^ω)=ε_ω^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω^ω×2)=ε_ω^ε_ω^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)×2)=ε_(ω+1)^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)×3)=ε_(ω+1)^ε_(ω+1)^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+2))=ε_(ω+2)
f(ω^(ω+3))=ε_(ω+3)
f(ω^(ω×2))=ε_(ω×2)
f(ω^(ω×3))=ε_(ω×3)
f(ω^ω^2)=ε_(ω^2)
f(ω^ω^3)=ε_(ω^3)
f(ω^ω^ω)=ε_(ω^ω)
f(ε_0)=ε_(ε_0)
f(ε_(ε_0))=ε_(ε_(ε_0))
f(ε_(ε_(ε_0)))=ε_(ε_(ε_(ε_0)))
f(η_0)=η_0
420:１３２人目の素数さん
17/06/09 19:43:57.10 A9o/M496.net
n状態のチューリングマシンでチューリング完全でないものが読み取ることができる関数の上限
ビジービーバー的な関数の値を求めるのはある程度探究されてるがこっち方面も面白そう
421:１３２人目の素数さん
17/06/09 19:49:01.00 A9o/M496.net
たとえばSコンビネータだけ、Kコンビネータだけとか。
Iコンビネータだけだと定数関数、ステップ数を数えあげても後者関数にしかならない。
422:１３２人目の素数さん
17/06/10 20:10:58.05 gsiWtBme.net
Kコンビネータだけだと加法の計算しかできないし、ステップ数かぞえてもx+aくらいの
関数にしかならんな。
Sコンビネータはいろいろできそうだ。Sを0、SSSを後者関数としてなんやかやと。
Sコンビネータのみに限定したΞ関数は計算可能なはずだが、どれくらいの強さになるだろう。
423:１３２人目の素数さん
17/06/12 20:02:15.77 NgJnyNz4.net
Sのみによる
424:計算が終了するかどうかを評価するΩコンビネータを考える。ビッゲドンみたいに高階化してもよい。 KのみIのみと違い計算が終了しないことがある。 S(S(SSS))(S(SSS)(SSS))とか とても強そう。計算可能?
425:１３２人目の素数さん
17/06/12 20:17:30.13 NgJnyNz4.net
バシク行列もそうだけど、チューリング完全よりも弱い言語を対角化した関数を定義できる言語を・・・
という構造は型システムで表現できる。これは見方を変えれば、チューリング完全な言語による
表現の内、計算が終了すると証明できる形(バシク行列でいう標準形)のみを対角化できる言語を・・・
ということになる。型システムの場合は型検査で証明する。バシク行列システムでは
まだもろもろ証明もできてないし、標準形の判断方法も定まっていない。
しかしそれらの問題を解決できたら、CoCはおろかCICをはるかに上回る証明支援システム
として扱うことができるのではなかろうか。
426:１３２人目の素数さん
17/06/12 22:23:54.70 NgJnyNz4.net
このレベルになると計算可能レベルも計算不可能レベルと同じように言語を開発して殴り合う戦いに
なりそうだ。
出来上がったら証明支援ツールにそのまま応用が利くし、プログラミング業界にも何か恩恵があるかもしれない、
とか適当なことを言ってみる
427:１３２人目の素数さん
17/06/12 22:51:53.72 mQhNb3PE.net
チューリング完全な言語で遺伝的アルゴリズムとか使って巨大数を生成したら
ビジービーバーにどこまで迫れるんだろう？
チューリング完全をはずれて真の乱数生成装置とかが使えると仮定したら
ビジービーバーに追いつく可能性も出てくるんだろうか。
428:１３２人目の素数さん
17/06/12 23:14:49.41 8sETnOOh.net
数式(数字が出てくるとは言っていない)
429:１３２人目の素数さん
17/06/17 16:33:35.56 cUb2IScH.net
計算可能性の証明って、システムが強力であればある程、必然的になにかしらの巨大基数公理を
生み出すのだな
430:１３２人目の素数さん
17/06/17 22:07:10.09 vqhkVmpO.net
ε0は切がいい順序数のように見えるけどその次の切の良い順序数ってГ0あたり？
431:１３２人目の素数さん
17/06/18 00:39:46.31 mgRw1pqa.net
巨大基数公理ってどこまで巨大になっていくんだろ
計算不可能レベルの巨大数も可算基数も不可算基数も、大きさのイメージとかが掴めない
それぞれの違いがわかりやすい解説とか無いのかな
432:１３２人目の素数さん
17/06/18 22:06:03.93 bH1MdwxR.net
>>419
ε_0は文字が変わるから切りがいいように見えて本質はω↑↑ωっていうだけだよ。
ω^ωに比べて大したことない。
433:１３２人目の素数さん
17/06/19 02:12:14.58 0g0bgrzX.net
>>419
多変数ヴェブレン関数で表すと、
ε_0(イプシロン・ノート) = φ(1,0)
Г_0(フェファーマン・シュッテの順序数) = φ(1,0,0)
どちらの順序数もヴェブレン関数の変数が1個増えるターニングポイントという点では
キリがいいのかも
（※同様の順序数として
ω = φ(1)、アッカーマン順序数φ(1,0,0,0)、小ヴェブレン順序数φ(1,0,…,0)(0がω個)
等がある模様）
434:１３２人目の素数さん
17/06/19 02:15:16.20 0g0bgrzX.net
しかし>>421さんを見るとε_0が人為的に文字に置き換えられてる感も否めなくなるな…
ε0より大きい順序数でもわざわざ新しい記号を使わなくともωだけでも表せそうな気もするし
（例えばω↑↑↑↑ω、{ω,ω,1,2}みたいな感じで）
その方が直感的で分かり易そうなんだが今の所そういう表し方は見た事が無い
やはりこの表し方だと何かしらの問題があるのだろうか？
435:１３２人目の素数さん
17/06/19 14:13:45.45 zA+HMm6O.net
バードがやっているよ
URLﾘﾝｸ(mrob.com)
ここに書か
436:れているように、 ω^^(ω+1) = ω^(ω^^ω) = ω^ε_0 = ε_0 となってしまうため、通常の計算規則だとε_0よりも大きくならない。 そこで、バードは ω^^(ω+1) = ω^(ε_0+1) かつ、 ω^^β = ε_αのときに ω^^(β+1) = ω^(ε_α+1) であると「定義を変える」ことで、ωに関する演算の定義を拡張している。 ただ、このように「定義を変える」ことは必ずしも自明のことではないので、 表記するときにはいちいちことわらなければならないし、 数学的には Veblen 階層や順序数崩壊関数を使う方が自然なので、 そのような表記法はあまり一般的ではない。
437:１３２人目の素数さん
17/06/19 21:56:32.18 /pvQJFRQ.net
{ω,ω,1,2}みたいなのを発展させたのがレギオン配列とかじゃないの？
438:１３２人目の素数さん
17/06/20 00:53:07.46 9Y0Bg4uy.net
そう。それで、ω^^(ω+1)がε_0よりも強くならないから、BEAFのテトレーション配列
以上は定義がうまくできていない、と Hyp cos が指摘をした、ということが「巨大数論」の
221ページに書かれている。
439:423
17/06/20 07:08:30.44 lJTsjSZO.net
なるほど、ありがとう
という事は矢印表記は右結合だからω↑↑…↑↑ωの矢印を幾ら増やそうが
この調子でその拡張であるチェーンやBEAFを使おうが
結局はω↑↑(ωの式)の形に行きついてε_0止まりなのか…
超限順序数ならではの奇妙な現象だ
左結合である下矢印表記を使えばより大きくできるのかとか
そもそもなぜω^ε_0 = ε_0が成り立つのかとか
まだまだ謎が尽きないな
自分でももっと色々調べてみた方がよさそうだ
440:１３２人目の素数さん
17/06/20 11:09:08.99 1dEUMKFE.net
配列を記述する配列の計算ルールを左結合になるよう変えて成り立つようにしてたよな
441:１３２人目の素数さん
17/06/21 13:17:33.50 oHvI/mhA.net
御風結界
巨大数を作ったけど
近似してくれないですか
画像で説明したいけど
どう貼り付けたらいいの
ふぃしゅ数ver1.2よりはでかいのはわかってるけど
自分でも大きさがわからない
バード数よりも大きい気がする
タワー数とチェーン表記に行きつくけど
行きつかないくらいでかい感じがする
バードの拡張表記をさらに拡張した感じの巨大数
合成前のスタート地点を(3.3.3.3)$(3.3)と配列表記では定義する
442:￥
17/06/21 14:00:03.98 cGYdNhEa.net
★★★数学徒は論理的な考察により客観的に暮らし、日頃から深い学術を志すべき。★★★
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17/06/21 17:42:56.97 cGYdNhEa.net
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17/06/21 17:43:14.54 cGYdNhEa.net
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17/06/21 17:43:31.98 cGYdNhEa.net
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17/06/21 17:43:50.18 cGYdNhEa.net
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17/06/21 17:44:26.27 cGYdNhEa.net
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453:１３２人目の素数さん
17/06/22 00:35:25.20 7Rt+NRL+.net
ω(↑^ω)ω=N_0 なんだって。そうなの？
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
454:１３２人目の素数さん
17/06/22 02:59:50.52 nydReERO.net
ω(↑^ω)ωの濃度はアレフ0、つまり可算だと言っているだけで、特に不思議はないような。
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17/06/22 04:48:47.09 TA0WspoK.net
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17/06/22 07:46:09.49 TA0WspoK.net
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466:１３２人目の素数さん
17/07/01 00:21:04.58 7Mq6iIVS.net
天文学的確率でエントロピーが自然に減少することがなかったっけ？
グラハム数分の１よりは大きいんだろうけど
467:１３２人目の素数さん
17/07/05 01:34:31.77 6QmaXpqZ.net
>>454の現象
＜宇宙の取りりうる全パターンの順列
＜グラハム数
468:１３２人目の素数さん
17/07/05 21:01:18.55 wGzquPmi.net
ビジービーバー関数BB(n)は、任意の自然数nについてその値が定まると言っていいのだろうか?
例えば連続体仮説でよく知られるように、"可算無限濃度より大きく、連続体濃度より小さい濃度の個数"
の値はZFCのモデルのとり方によって変わり、連続体仮説が真となるモデルなら0、そうでないなら0以外となる。
BB(n)の値も、自然数のモデルのとり方によって変わってしまうことはないか。
"自然数論(ペアノ算術)における妥当な論理式を枚挙し、矛盾を導出したら停止するチューリング機械M"
を構成すると、 これが停止する <=> 自然数論は矛盾 となるから、
自然数論が無矛盾ならこの機械は停止しないはずである。
一方で、自然数論が無矛盾なら自己の無矛盾性は証明できないから、Mが停止しないことを証明できない。
一階述語論理の完全性より、恒真ならば証明可能なので、停止することも停止しないことも証明不能なら
停止するモデルと停止しないモデルの2つがありえる、ということになる。
(一階述語論理の完全性と呼ばれるものは、ゲーデルの第一不完全性定理で言うところの完全性(任意の論理式に
ついて、その肯定か否定のどちらかが証明可能)とは全く意味が異なることに注意)
そもそもチューリング機械Aが停止するとは、"Aがnステップ目で停止状態"を意味する論理式H_A(n)に対し、
∃n (H_A(n))が真であることだと言える。
∃n (H_M(n))が成り立つモデルと成り立たないモデルがあるとはどういうことか。
単純に、∃n (H_M(n))が成り立つ自然数論のモデルはより多くの自然数を含んでいる、ということである。
(集合論で言うところの、巨大基数公理が成り立つモデルのほうが、そうでないモデルよりたくさんの
集合を含んでいることに似ている)
469:１３２人目の素数さん
17/07/05 21:06:35.56 wGzquPmi.net
では、自然数論の公理PAに、∃n (H_M(n))を加えたことによって追加される自然数とは何か。
自然数論が無矛盾なら、Mは1ステップ目で停止しないだろう。同様に、2,3,4,...ステップ目でも停止しない。
追加される自然数はMが停止するまでにかかるステップ数だから、これをcとすると、
0<c, 1<c, 2<c, 3<c, 4<c,...が成り立つことになる。つまり、PAだけから存在を証明できるいかなる自然数
よりもcのほうが大きい、という奇妙な性質があることが分かる。このcが超準的自然数と呼ばれるもので、
これを含むモデルは超準モデルと呼ばれる。
冒頭の話に戻ると、状態数m以下でMを構成できるなら、Mが停止するモデルを選択すれば、
BB(m)の値は超準的自然数になってしまい、意味をなさなくなってしまう。
ならばBB(n)の定義に補足を加え、
"状態数n以下で(いかなる自然数のモデルでも)停止する機械のうち最も多く1を出力するもの"
とすればこのような問題は起きないと思うかもしれない。
実はそれでもBB(n)の値は超準的自然数になってしまうのだが、それはまた後日の話とする。
470:１３２人目の素数さん
17/07/05 22:30:24.81 Wo7Ji0uk.net
ヲヨ数のイメージがいまいち掴みづらいのですが、
たとえば円周率は第一階述語論理の言語で表記するとどうなるのですか？
471:１３２人目の素数さん
17/07/06 00:03:48.67 VqI6Xr1R.net
>>456
自然数論単体は矛盾するか矛盾しないかのどちらかであり、1階述語論理の完全性と健全性
により矛盾すればモデルは存在せず、無矛盾であれば存在する
無矛盾であれば、たとえばPA+TとPA+SでBB(x)が取る値が異なることが考えられるのではないか、
ということになるが、どちらの理論も自然数論を含む以上自然数型を部分集合としてもっており、
自然数型をもっていれば異なるモデルに属していても大きさを比べることができ、それなら同じ文字数制限で
出力される最大の数でどちらが大きいかを比べることができ、BB(x)の値が一意に定まる。
自然数型の
472:すべてを持っている必要もない でいいだろうか
473:１３２人目の素数さん
17/07/06 00:12:35.95 VqI6Xr1R.net
BB(x)はモデルによる制限がない、というのを付け加えるのを忘れていた
474:１３２人目の素数さん
17/07/06 00:15:50.11 VqI6Xr1R.net
超準的自然数を出力する(とあるモデルで解釈される)プログラムは有限の値を出力しない
=停止しないものと見なされると言うことで
475:１３２人目の素数さん
17/07/06 00:21:19.45 VqI6Xr1R.net
“加算無限濃度より大きく連続体濃度より小さい濃度の個数”というだけでは
答えが自明にならないため、自明になるまでいろいろ理論を付け加えなければ
ある数を命名したことにはならない、というのがラヨ関数のルールのひとつ
476:１３２人目の素数さん
17/07/06 22:00:17.89 s9ExDxZU.net
つまりチューリングマシンも1階述語論理も自然言語や人間の持つあいまいさから完全には解放されていないというわけだ
477:１３２人目の素数さん
17/07/07 09:33:49.33 4cWe5aPz.net
>>458
lim[n→inf]Σ[n=0~N]4(-1^n)/2n+1
478:１３２人目の素数さん
17/07/07 09:57:48.39 IvvOQVCj.net
>>463
解放されていなんじゃなくて、関わっていない。曖昧な領域は対象外。
479:１３２人目の素数さん
17/07/07 14:39:34.01 5pa7VV1Y.net
より曖昧な部分をなんとか扱えるようにしていくことで、より強力なFOOTやFOFTなんかができるわけだし。
>>459
自然数型をもってるというより自然数型と同型な部分構造を持っている、といった方が正確かな
480:１３２人目の素数さん
17/07/07 14:48:25.77 5pa7VV1Y.net
「1階述語論理で円周率を表現する」といわれるとまず実数を定義するところから
始めるべきだろうか
1階述語論理じゃ実数「のように見えるもの」までしか作れない。
まぁ普通は見えるだけで十分かもしれない
481:１３２人目の素数さん
17/07/07 14:54:14.49 5pa7VV1Y.net
一般的に簡単な具体例を挙げれば分かりやすく説明できるのに、その簡単な具体例がなかなか挙げられない
のがこのあたりの難しいところ。
1+1=2をノート一冊まるまるつかって証明するような世界だもの
482:１３２人目の素数さん
17/07/08 20:44:57.11 fLvsPSGe.net
反響があるとは意外。
>>459 多分勘違いをしていると思う。
まず、集合論でも連続体仮説が成り立つモデルと成り立たないモデルがとれることからも分かるように、
一般に、ある一つの無矛盾な公理系に対して、それが成り立つモデルはたくさん存在する。
そして、PA + ∃n (H_M(n))のモデルは、当然PAも成り立つから、同時にPAのモデルでもある。
(PA + ∃n (H_M(n))は矛盾していない。PAが無矛盾なら、PAから ￢∃n (H_M(n))が導出されてしまう心配は無いのだから)
PAのモデルに属していれば自然数であるから、∃n (H_M(n))の証拠となる超準的自然数さえも、自然数であることに
変わりなく、0,1,2のようなPAだけから存在を証明できる自然数(仮に普通の自然数と呼ぼう)と比較可能で、
どんな普通の自然数よりも大きい。
だから、異なるモデルでも大きさを比較できるのはその通りだが、超準的自然数を含んでいるモデルのほうが圧倒的に有利である。
超準的自然数を出してしまえば、超準的自然数を含まないモデルに属する自然数に必ず勝てるのだから。
そして機械Mの状態数がm以下であれば、BB(m)には超準的自然数が採用されるだろう。
機械Mを構成するのに必要な状態数はせいぜい普通の自然数で足りるだろう。
483:１３２人目の素数さん
17/07/08 20:52:06.98 fLvsPSGe.net
>>461で言うところの、超準的自然数を出力するプログラムは停止しないものと見なす、というのは、
それこそまさしく>>457で言った補足入りBB(n)の定義と同じではないか。
いかなる自然数のモデルでも停止する機械、と言っているのだから、停止するまでにかかるステップ数を表す自然数が、
モデルによってあったりなかったりする可能性は無くなる。
>>462については後にしよう。
>>457で後日にすると約束した、補足入りBB(n)の定義においてさえも(普通の自然数に対して)超準的自然数を返すという話が
そっくりラヨ関数にも適用できるため、その話をしてからのほうが良さそうだ。
あと、こちらはBB(n)の値の一意性を問題にしてるわけではない。問題にしてるのは、ある程度大きな数nについてのBB(n)、
例えばBB(100)とかBB(10000)とかBB(10^20)とかについて、その返り値がPAのモデルのとりかたによらず存在してるのか、
言い換えると普通の自然数でありえるのか、という存在性についてである。
484:１３２人目の素数さん
17/07/08 21:01:01.84 fLvsPSGe.net
>>457の続き
証明の前に、用語の確認をしておく。
公理がω矛盾であるとは、ある論理式Q(n)について、∃n ∈ (自然数)(Q(n))が証明可能であるのに、
Q(0),Q(1),Q(2),...のうちのいずれも証明不能であることである。
公理がω無矛盾であるとは、任意の論理式Q(n)について、∃n ∈ (自然数)(Q(n))が証明可能ならば、
Q(0),Q(1),Q(2),...のうちのどれかが証明可能であることである。
ある公理がω無矛盾ならば、その公理は無矛盾でもある。
したがって自己の無矛盾性を証明できない公理は、自己のω無矛盾性も証明できない。
BB(n)の定義は
"状態数n以下で、自然数論PAのモデルのとりかたによらず、停止するまでにかかるステップ数である
自然数が存在するようなチューリング機械のうち、最も多くの1を出力するものが出力する1の個数"
このままだと扱いにくいので、次に定義するS(n)によって代用する。
"万能チューリング機械に、桁数n以下の二進数でコードを与えエミュレートさせ、PAのモデルのとりかた
によらず停止するまでのステップ数である自然数が存在するコードのうち、最後に停止するものの総ステップ数+1"
S(n)がBB(n)の性質を反映しているということは明らかだろう。
証明することは、
"(PAがω無矛盾 ∧ ある自然数Nについて∃n (n = S(N))がPAのモデルによらず真 ) => 矛盾"
したがって "自然数論PAがω矛盾 ∨ ∃n (n = S(N))がモデルによっては偽 )"
なお、NはPAだけから存在を証明できる自然数とする。
485:１３２人目の素数さん
17/07/08 21:11:33.04 fLvsPSGe.net
ここから内容
PAがω無矛盾 ∧ ある自然数Nについて∃n (n = S(N))がPAのモデルによらず真
と仮定する。
∃n (n = S(N))がPAのモデルによらず真であるから、
一階述語論理の完全性(恒真 => 証明可能)より、∃n (n = S(N))はPAから証明可能
※PAがω無矛盾なので、0 = S(N), 1 = S(N), 2 = S(N),...のうちのいずれかがPAから証明可能
これからすることは、 n = S(N)という式を具体的な論理式に変換し、
それができたら 0 = S(N), 1 = S(N),...の証明の試みを(順番に子プロセスを生成しながら)
並列的に行うチューリング機械が作れ、かつそのような機械が※より停止することが保障されることから、
S(N)を実際に計算できてしまうということを示し、一般的にS(n)は計算不能であることとの
矛盾を示すことである。