17/01/21 15:37:35.09 h5b1EsCb.net
実関数 f(x)＝x^x x＞0 と超越的性質との性質を考える。
xが正の有理数のときは x^x は正の代数的数である。
xが正の代数的無理数のときは、ゲルフォント・シュナイダーの定理より、x^x は超越数。
f(x) x＞0 は確かに連続である。x＞1 のとき f(x) x＞0 は単調増加で、
f(1)＝1、f(2)＝2^2＝4 だから、f(a)＝2 を満たす正の実数aが存在し、a＞1。
ゲルフォント・シュナイダーの定理に注意すると、aは有理数か超越数である。
aが有理数とする。aが既約分数として a＝q/p p,qは互いに素、と表されているとする。
すると、a^a＝2 だから、(q/p)^{q/p}＝2 であり (q/p)^q＝2^p から q^q＝2^p・p^q。
従って、qは偶数で、1≦m＜q を満たすような整数mを用いて q＝2m と表せる。
(2m)^{2m}＝2^p・p^{2m} から 2^{2m}・m^{2m}＝2^p・p^{2m} であり、2^{2m-p}・m^{2m}＝p^{2m}。
ここで、確かに a＞1 だから、確かに q＞p つまり 2m＞p であり、2m-p は正の整数である。
従って、p^{2m} は偶数であり、pは偶数である。しかし、p,q は互いに素だから、
p,q が両方偶数となることはあり得ない。この矛盾はaを有理数としたことから生じたから、
背理法が適用出来る。そこで、背理法を適用すると、a^a＝2 を満たすような正の実数aは超越数である。
この結果から、xが正の超越数のときは、f(x)＝x^x x＞0 が有理数となることがある。