17/04/11 16:43:16.72 lkRTR/rP.net
>>357-358
どうも。スレ主です。ゲルフォント・シュナイダーの定理か
おっちゃん、面白いことを考えるね
証明はあやしいと思うが（＾＾
もし命題にトリビアルな反例がなく、かつ初出なら、「おっちゃんの予想」とでもいえるかな？（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ゲルフォント・シュナイダーの定理
(抜粋)
ゲルフォント＝シュナイダーの定理 (ゲルフォント＝シュナイダーのていり、英: Gel'fond-Schneider's theorem) は、指数関数の値の超越性に関する定理である。
定理の主張[編集]
α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、 α ~βは、超越数である。
系[編集]
系1
α1,α2を 0, 1 以外の代数的数とする。 log α1/log α2は、有理数であるか超越数である。
系2
α1,α2,β1,β2 を 0 以外の代数的数とする。もし、 log α1,log α2 が有理数体上線形独立であるならば、 β1log α1+β2log α2 not =0である。
歴史[編集]
ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題のうち、7番目の問題として、「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、a^b は超越数であるか」を提出した。
1934年に、ゲルフォントとシュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。 この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。 ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。
ゲルフォント＝シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが(系2)、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカーによって、1966年に発表された(ベイカーの定理を参照)。
422:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/11 16:52:00.51 lkRTR/rP.net
>>366 訂正
α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、 α ~βは、超越数である。
↓
α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、 α ^βは、超越数である。
423:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/11 16:58:17.82 lkRTR/rP.net
>>357
どうも。スレ主です。
私は、ここら素人以前ですが、ベイカーの定理の系３（下記）が、おっちゃんの命題に近くないか？（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
ベイカーの定理 (ベイカーのていり、英: Baker's theorem) とは、1966年-1968年にかけて、アラン・ベイカーによって発表された、対数関数の一次形式に対する線形独立性、および下界の評価に関する一連の定理のことである。 下界の評価が計算可能であることから、数論の様々な分野で応用されている。
定理の主張[編集]
定理1 (対数関数の一次形式の線形独立性)
α1,・・・,αnを 0 ではない代数的数とする。もし、 log α1,・・・,log αnが有理数体上線形独立であるならば、1, log α1,・・・,log αn は、代数的数体上線形独立である。
定理からの派生的な結果
系3 α1,・・・,αnを 0 でも 1 でもない代数的数とする。また、 β1,・・・,βnを、 1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数としたとき、
α1^β1・・・,αn^βn
は、超越数である。
424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/11 17:16:01.23 lkRTR/rP.net
>>368 補足
>>357の”素数”は、ベイカーの系３の”0 でも 1 でもない代数的数”だな。だから前段は系３の範囲内
で
>>357の”任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n ” vs ベイカーの系３の”1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数”
の比較だが・・
{任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n} ⊃ {1, β1,・・・,βn が、有理数上線形独立な代数的数}
かな？
”1, βiが、有理数上線形独立な代数的数”(1<=i<=n)なら、βiは代数的無理数が言えると思うから、”β1,・・・,βn”は代数的無理数が言える。だから、任意の代数的無理数で”上線形独立”の制約を外せるから
だが、そんな拡張が簡単にできるのか？という疑念も湧いてくる（”素数”という制約が効いている？）
はてさて？
425:１３２人目の素数さん
17/04/11 17:19:47.73 Yji/Wubi.net
>>366
意外に c≠1 を示すのが難しい。これさえ示せれば…。
426:１３２人目の素数さん
17/04/11 17:24:49.71 Yji/Wubi.net
c
427:＝1 とすると >>357の(2)は b_1・log(a_1)＋…＋b_n・log(a_n)＝0 になるんだが。まあ、少し考えてみる。
428:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/11 18:29:13.03 lkRTR/rP.net
突然ですが、Boole値モデル
URLﾘﾝｸ(konn-san.com)
Boole値モデルと強制法 konn-san.com posted on 2016/07/11 11:00:00 JST
(抜粋)
概要
集合論における無矛盾性証明で用いられる主要な手法である強制法と，密接に関連するBoole 値モデルの手法について，本稿では幾らか証明を省略しつつ概略を採り上げます．また，Hamkins ら [1] の説明に基づいて，超冪と Boole 値モデルの関係についても簡単に解説します．
[PDF版] URLﾘﾝｸ(konn-san.com)
強制法の基本的な考え方と Boole 値モデル
直観的には，現在の集合の宇宙 VV に新しい元 GG を付加した，新たな宇宙 V[G]V[G] を得たい，というのが強制法のモチヴェーションです． しかし，そうはいっても集合の全体は既に VV で確定しているので，「新しい元」というのはそのままでは意味を成しません．
そこで，強制法では集合概念を拡張することを考えます． どういう事でしょうか？ まず，一般の集合 x∈Vx∈V は，と同一視することで，部分関数 x:V?2x:V?2 と見做すことが出来ます． 22 というのは「各元が xx に属すか？」という真偽値ですから，この真偽値を一般の Boole 代数 BB に一般化しようというというのが強制法の基本的なアイデアです．
このように，所属関係の真偽値を完備 Boole 代数 BB に一般化した集合のことを，BB-nameと呼びます．
＜関連＞
URLﾘﾝｸ(konn-san.com)
konn-san.com 建設予定地 konn-san.com posted on 2016/11/01 13:54:45 JST
集合論など数理論理学関連を中心に、数学・関数型プログラミング・ミステリなどに関する情報を集積してあります。
429:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/11 18:43:01.12 lkRTR/rP.net
>>372
「層・圏・トポス―現代的集合像を求めて」竹内外史の”前書き”に、”ブール価モデルの理論”が出てきてね（下記）
”層やトポスの理論と相似性とに驚かれるであろう”と竹内先生はいう・・
これが分からなかったんだ。>>372は良いね（＾＾；
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
学校では教えてくれない数学 2007年01月13日 今日の一冊？
(抜粋)
集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために
竹内外史ワールド炸裂の一冊です。
・コーエンの業績の中核（Forcing relation & Generic filter)を、Scott＆Solovayが解りやすく整理した、ブール価モデル
・古典論理、直観論理、量子論理の考え方の違い
などの解説は、何回読んでもピカイチの出来だと思います。
読み返して思うのは、こんな難しい（売れないであろう）本よく出版したなー、ということです。
この本の後に、数理論理学や公理的集合論など、数学基礎論の本を読み漁るのもいいですが、たとえば、
層・圏・トポス―現代的集合像を求めて
などの、層・圏から、トポスなどの代数幾何学との関連（がありそう）な本にのめりこむもよし、さまざまに発展できそうです。
そんな私も、「層・圏・トポス」と格闘中ですが、 米田のレンマ がわかりません。しばらく、もやっと したままの日々が続きそうです。すっきり できるのはいつ
430:ごろか？ 補足：数学の各分野で、これだけの内容を書ける人がどれだけいるのだろう。 入門書で、その分野全体を俯瞰し、かつその分野の将来展望の記述にその著者の哲学が強く出ている、３０年以上たっても読める本を書ける人が。
431:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/11 19:45:53.21 lkRTR/rP.net
>>373 補足
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
新装版 集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために (ブルーバックス) 新書 ? 2001/5/18 竹内 外史 (著)
トップカスタマーレビュー
(抜粋)
5つ星のうち 5.0ZF集合論は欠陥商品か？
投稿者 あだちのりお 投稿日 2012/3/5
形式: 新書
本書は「集合論の概説書」あるいは「入門書」というよりは、「集合とは何か」を考える本である。「はじめて学ぶ人のために」という副題はミスリーディングで、読者対象はある程度以上集合論を弁えている数学専攻者、あるいは論理学や哲学の専攻者であろう。ある程度の素養がないと、面白いことは面白いだろうが、本当に味わうことはできないと思う。
記号使用を最少に止め、自然な言葉によって雰囲気をわからせるというのは一流の学者であり、独特の個性を持つ竹内さんだからこそ可能だったと思われる。こうした一般書を書く際には、同業者の目を意識しないでは書けないものだが、本書の場合はそうした配慮は一切なく、自分が思ったように書かれている。そういう意味でも貴重な本である。
実に巧みに、竹内節を交えながら、集合論の（1960年代までの）全貌が書かれていて、同じ物書きの立場から見てとても感心した。とりわけ「第4章 現代集合論」の出来栄えはすばらしく、構成的集合の解説、到達不能数や決定の公理の解説など、ブルーバックスに収めるのはもったいなく、もう少しこういう調子で丁寧な解説をしてほしかったと思う。
何かのまちがい？
投稿者 renqing 投稿日 2008/5/20
形式: 新書 Amazonで購入
本書、p.75 に掲載されている「カントールの対角線論法」証明のための表に、おかしな箇所がある。
いま、中学生と一緒に読んでいて、私も変だと思い、その中学生も指摘している。たんなる数学アマチュアと中学生の勘違いかも知れないが、新しく購入される方、購入済みの方に、一応、情報としてお伝えしておく。当方の思い違いなら幸い。下記トピック欄にでもご指摘いただければ嬉しい。
追記：出版社から誤植の確認を受領した。下記トピック欄に転載。ご参照を乞う。
「08年5月26日
ご指摘の件でございますが、確認したところ、たしかに誤植でございました。申し訳ありません。
次回重版の際には、訂正させていただきます。
略
432:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/11 20:09:49.56 lkRTR/rP.net
これ、以前も紹介したが、渕野 昌先生、 12．November 2016 (04:31JST) 版とあるから、改訂されたんやね
が、手元の2014版との違いが分からない
ファイルサイズが大きくなってはいるが
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
“コーエンの強制法” と強制法1) 2)
渕野 昌 12．November 2016 (04:31JST) 版
1) このテキストは，『数理科学』2014 年 10 月号に掲載予定の同名の記事の拡張版です．ペー
ジ数の制限のために
433:記事から削除せざるを得なかった細部や，そこには含めないことにしたリ マークのいくつかを加えてあります．
434:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/11 20:18:18.06 lkRTR/rP.net
以前も紹介したかな？（＾＾；
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
(抜粋)
くるるの数学ノート > 2010-06-25 > アメリカのとある大学で数学やっております。
３時間でわかった気になる強制法（その1-1）
その1、その2、その3がそれぞれ１時間ずつでわかった気になって３時間で完成という方針で。Cohenの元々の論文にあるような強制法のことは全く知らずに書いています。Kunenの定式化がやっぱりベースになっているかな。
あなたがスタンフォード大学でSol Fefermanにそそのかされてこの問題を解こうと思い立ったとします。まずなにをやればよいでしょうか？
ZFCが無矛盾*2であると仮定します。証明したいのはすなわちZFC+￢CHが矛盾しないこと*3。論理式の集合が無矛盾であることを証明するときには、以下の定理が役に立ちます。
定理（コンパクト性定理）Γを論理式の集合とする。このとき、
Γが無矛盾であることと、Γの任意の有限部分集合が無矛盾であることは同値である。
定理（(意味論的)完全性と健全性）Γを論理式の集合、φを論理式とする。このとき、
Γからφが証明できることと、Γを満たすようなすべてのモデルがφを満たすことは同値である。
というわけで、方針としては、ZFCの無矛盾性を仮定して、
ZFC+￢CHの有限部分集合Γを任意にとる
完全性定理により、ZFCのモデルVが存在するので、それを固定する
Vの中で、Γのモデルとなるような集合の存在を示す。
コンパクト性定理によりZFC+￢CHの無矛盾性が言える
ウマー
照り焼きにするです*4。
ここで問題になるのは三番目のステップのみですね。どうやって、Γのモデルを構成すればよいのでしょうか？そこがCohenがぶち破った壁なわけです。これから、まず単純にやってみた場合にはうまくいかないことを説明してみようと思います。
*2：本当は整合的と書きたいのですが、まあこの記事は多くの人に読んでもらいたいので普通の言い方にします。
*3：細かい点ですが、この証明を行う体系はZFCでなくても構いません。すなわち、ZFC+Con(ZFC)は仮定しなくても、コンパクト性定理や完全性定理が証明できるような体系上でのZFCの無矛盾性さえあれば大丈夫です。なんか2ちゃんねるで誤解していた人がいたので念のため。
435:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/11 20:54:24.60 lkRTR/rP.net
これ面白いわ（＾＾
URLﾘﾝｸ(sites.google.com)
数学基礎論と消えたパラドックス 仙台ロジック倶楽部 『数学セミナー』1993年8月号より）
パラドックスから数学基礎論の誕生，不完全定理への流れを解説．
■ はじめに
ヒルベルトの提起した２３問題の筆頭である連続体仮説の独立性をコーエンが証明してからちょうど３０年になる．
集合論の研究者たちはよく冗談に“コーエン以前”をB.C. (Before Cohen の意)といい、
ゲーデル (Goedel) を B.C. の神 (God) であるといったりするが、
1960 年代には数学基礎論の各分野でこのような大事件が起きており、
まさに基礎論全体の変革期であった．
６０年代革命の激しさは、その教科書の変化によく現われている．
古き良き時代の教科書（例、文献[1]）にはパラドックスから数学基礎論の誕生に至る歴史が悠然と述べられていたが、
革命後のもの（例、文献[2]）にはパラドックスのパの字の解説もなく、�
436:ｻれはもはや禁句になった感すらある． （残念ながら日本では今もB.C. 時代のイメージが蔓延しているようで、それについては文献[5]の筆者のコメントを参照．） このような状況を踏まえた上で、なぜまたここでカビ臭いパラドックスの話を持ち出すかというと、 新歴３０年を迎え、そろそろ新・旧基礎論を総括的に見直そうという気運が高まっているように思うからである． 最近次々と基礎論の専門誌の編集方針が変わったのだが、そこにもそういう動きが読み取れる． 以下略
437:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/11 21:05:23.59 lkRTR/rP.net
仙台ロジック倶楽部
各資料にURLリンクがあって読める（＾＾
URLﾘﾝｸ(sites.google.com)
資料ページ
■ 新入荷
□ゲーデルの定理 あとがき（フランセーン著『ゲーデルの定理 利用と誤用の不完全ガイド』の訳者あとがき）
本書の内容を手っ取り早く理解したい方にオススメ．
■ 入門系
□数学基礎論入門（『数学完全ガイダンス』より抜粋，一部修正）
「数学基礎論」という学問について．基礎論の３大定理．
□逆数学のすすめ（『逆数学と２階算術』(河合出版 1997)より）
「逆数学」とは何か．その目的とあらまし。個人的に超オススメ．
□ラムダ計算ＡＢＣ（『数学セミナー』1992年8月号より）
ラムダ計算入門．ラムダ計算の背景から，判りやすく説明．
□ランダム性と不完全性定理（『数学ってなんだろう』(日本評論社 1997)の抜粋，一部修正）
「ランダム」とは何か．コルモゴルフ・チェイティンの定理の簡単な説明．
■ ヒルベルト系
□ヒルベルトの第１０問題（『ヒルベルトの２３問題』(日本評論社 1997)より）
ヒルベルトの第１０問題の歴史，背景について．
□ヒルベルトのプログラム（『数学セミナー』2000年2月号より）
ヒルベルトのプログラムの背景や関連する話題について．最近の話題である「逆数学」「田中の予想」なども．
■ 読み物系
□数学基礎論と消えたパラドックス（『数学セミナー』1993年8月号より）
パラドックスから数学基礎論の誕生，不完全定理への流れを解説．
□数学の「はだいろ」（『数学セミナー』1999年8月号巻頭言）
「数学」の「数」という言葉について．
□基礎の論争（『数学の基礎をめぐる論争』より）
「数学の基礎をめぐる論争」のダイジェスト版？興味を持った方は，是非とも買いましょう．面白いです．
438:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 05:22:18.71 JwtGN80z.net
sage
439:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 05:26:35.15 JwtGN80z.net
>>377 関連
仙台から京都
Susumu Hayashi 林晋先生は、以前もどこかで引用したと思う
URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
Susumu Hayashi 林晋 京都大学文学研究科 情報・史料学専修
URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
論理学の歴史資料 2016.12.12
前回までの資料から （まとめ）
(抜粋)
ラッセルと Term Logic (=名辞論理学・伝統論理学）
10月24日の資料で名前がでてきた、イギリスの哲学者バートランド・ラッセルは、現代的数理論理学の成立に非常に大きな役割をした人である。
数理論理学革命により得られたものと失われたもの
得られたもの
表現力：アリストテレス論理学で表現できる命題は、すべて述語論理で表現できた。さらに、Loves(i,j)などの導入により、表現力が各段に増していることは明らか。
数学的に精密な推論の体系：上の４で説明したもの。
失われたもの
実はアリストテレス論理学にはあり，記号論理学では消えたものがある。それが形而上学。そして、その部分はＩＴが必要としているものだった。
しかし，ラッセルは，この空にも上る様な時期のすぐ後，経験したことがないようなショックを受けることとなる．
それは，ラッセルのパラドックスとして知られるものの発見．自伝の該当部分を見てみよう．
URLﾘﾝｸ(books.google.co.jp)
ここで，intelectual set-back 知的逆転 とラッセルが書いているものがそれ．
（ラッセルのパラドックス ： URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ）
この章を手がかりに，伝統論理学と記号論理学の比較と，現代のITにおける伝統論理学的側面について説明していく．
440:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 06:32:01.57 JwtGN80z.net
林晋先生いいね
イデアル論（下記）
これでつまづく人も多いと思う
ある種の集合を、一つの数とか実体（幾何）と思う
渕野先生の”デーデキントの「切断」”の話を読んで、イデアルのアイデア（しゃれです）がちょっと分かった気がした
URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
全学共通科目「科学史」メモ 2016.12.15
(抜粋)
揺らぐ数学の基礎 クンマーの理想数の場合
デーデキントのイデアル論
クンマーは、理想数を「王様の衣」のように扱った。つまり、理想数Aがもつ、現実にあると既に数学者が考えたものに対して持つ、「２と１+√５i を割り切るA」の様な関係を使って、それを指定する方法をとった。
一方で、クロネッカーは、それを少し「現実への存在」に近いものにして、不定元という、代入してはいけない「変数」を導入して、それに「理想的な存在」の代役をさせた。つまり、拡張現実のスマホの画面上に現れる、ポケモンの画像のようなものを、導入したといえる。
これらの方法で重要なのは、たとえば、クンマーの理想数の理論では、ある理想数が、他の数を割り切る、たとえば、仮に「現実に存在する数」である、Rの数に限定すれば、上の例のA，B, C，Dが、現実の代数的整数 a+b√５i を割り切る条件を具体的に語ることができることであった。
つまり、「Aは x を割り切る」という理想数宇Aとｘ の関係が成り立つ条件を、ｘ に対して決めることができればよい。ただし、ｘはa+b√５iという形で、a,b が整数であるような代数的整数、つまり、上に定義したRの要素である。
それならば、その「関係」を利用して、Aとは、｛ｘ∈R|Aは x を割り切る}という集合のことだと思えば良い。
何故かと言えば、y∈｛ｘ∈R| Aは x を割り切る} ⇔ Aは y を割り切る （y∈R) となるのだから。
と、考えた人がいた。それが、ドイツの数学者で、クロネッカーのライバルと言えた、リヒャールト・デーデキントという人。
Rの数αを、どうやって集合として考えるかというと、｛ｘ∈R| αは x を割り切る｝とすればよさそうだと解る。これは、要するに、｛ｘ∈R| ｘ＝α＊ｗ （ｗ∈R）｝、つまり、αの倍数の集合である。
これは通常（α）と書く。その代表的な性質を見てみると、次の三つがある：
つづく
441:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 06:34:31.88 JwtGN80z.net
>>381 つづき
１．ｘ∈R、ｙ∈（α） ならば、ｘ＊ｙ∈（α）
２．ｘ∈（α）、ｙ∈（α） ならば、ｘ＋ｙ∈（α）
３．(α）は空集合ではない。（少なくとも、αが入っている）
要するには、αの倍数に、何かの数を倍すると、やはり倍数。倍数と倍数を足すと倍数、ということ。
それで、デーデキントは、この三つの性質をもつ、Rの集合を、Rの理想数の代わりだと見なして、イデアルと名付けた。
先に
・２と１+√５i を割り切るA
442: ・２と１-√５i を割り切るB ・３と１+√５i を割り切るC ・３と１-√５i を割り切るD としたA,B,C,Dの特徴づけが、実は、Aならば、２と１+√５iの「最大公約数」にあたるイデアルとして定義できたのである。この「最大公約数」にあたるイデアル<2,１+√５>の定義は、｛2*a+(１+√５i)*b|a,b∈R}だった。 集合であるイデアルを、「実体」と考えれば、これはデーデキントが、クンマーでは単に間接的に語られるもの、クロネッカーでは、不定元という記号であったものに実体を与えることに成功したといえる。 注：普通の整数の場合、正整数 x,y の最大公約数は、実は、x*a+y*b (a,b は負の数も含む普通の整数）という形の正整数の最小のものに一致する。この定義は、それに由来している。 実は、このイデアルの考え方は、彼の若き日の尊敬する先輩であった、リーマン、つまり、リーマン面のアイデアの創始者、ベルンハルト・リーマンから継承したものだった。 実は、このイデアルの考えたかに辿り着く、遥か前に、デーデキントは、「切断」という概念を考え出し、クロネッカーが、その存在を否定した、円周率πなどの無理数の概念を基礎づける理論を考え出していた。 それは、後のイデアル論と同じ傾向を持つものだったが、控え目な人物だったデーデキントは、それを、彼の尊敬する先輩リーマンが考え出したものだとしている。 つづく
443:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 06:35:28.03 JwtGN80z.net
>>382 つづき
デーデキントは、そのリーマンの考えを、彼流に推し進めて、クロネッカーが社会的な必要性から人間が発明したとする自然数さえ、集合として定義しようとした。
これらは、19世紀の話だが、２０世紀に入ると、ヘルマン・ワイルという人が、実際にリーマン面を集合として定義できることを示すことになる。この話は、この講義では非常に重要な役割を果たす。
しかし、その話を見る前に、デーデキントの切断の話と、それによる解析学の集合による基礎づけの話、そして、ラッセルという人が、すべての数学を、集合で基礎づけようとして、実は、数学の基礎、そのものを危険にさらしてしまったという話をする。
以下略
おわり
444:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 07:15:43.32 JwtGN80z.net
林晋先生面白いね（＾＾
下記ブログ、リンクが一杯あるのだが、ぜひ原文を参照ください
URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2015年6月9日(火曜日) 林晋ブログ
Collective noun, 集合名辞
カテゴリー: 特殊講義〔前・後期とも） 京都学派 論理学の歴史講義 - susumuhayashi @ 11時13分04秒
月曜日の特殊講義で、オブジェクト指向におけるクラス概念の誕生を、Hoareさんの Record Handling の論文（レポート）に求めて、説明をしていたとき、科哲史の川西君が、僕の説明に「えっ？」というような顔をしていたので、何か変な事を言ってしまったかと思って調べてみて、この4年ほど「創造的間違い」「創造的勘違い」をしていたことに気が付き驚く。
木曜日後期の「論理学の歴史」で、少なくとも2011年から、尾崎咢堂の文章の非常に稚拙な読み違いをしていた。
それは、アリストテレス論理学の term(名辞） が特称の場合(これの１の意味）に、オブジェクト指向や集合論でいう singleton と解釈する(前者では、singleton pattern で使うインスタンスが一つのクラス, 後者では要素が一つの集合として理解する（すればよい）という立場。
つまり、ソクラテスとは、ソクラテスというオブジェクトのみをインスタンスとして持てるクラス、集合ならば、ソクラテスだけからなる集合。
この見方は、実は、随分昔にATTTという形理論を作ったときに考えたものなのだが、憲政の神様尾崎咢堂行雄が若かりし頃書いた論理学書の11ページの集合名辞の説明を間違えて読ん
445:でしまい、すでに明治時代位の伝統論理学の見方では常識だったのだと考えていた。 つづく
446:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 07:18:52.19 JwtGN80z.net
>>384 つづき
そして、さらにそれに、term の原語 horos, terminus の意味を利用し、また、西田が西洋的論理を分別（ふんべつ）に基づく論理と理解するところを利用して、伝統論理学を term により、個も、集団も、それ以外と分別して、区切り取ってしまい、
塀や壁の中に閉じ込める論理、と理解することにより、ハイデガー流に、論理を拒否する、あるいは、避ける、西谷の回互連関が、実は、一般者、類、種が、上から押さえて来る、あるいは包んでくる「縦の論理」ではなくて、個も類も種も横倒しにして平等にしてしまった「論理構造」として理解して、西田、田辺、西谷に共通の柱を通す、
という昨年度の後期の特殊講義から始めた作業（今年の後期も前年は全く時間不足だった西田の部分をやります。今年夏の西田哲学会でも発表予定。完成したら「日本哲学史研究」に投稿させてもらうよう上原さんにお願いしてある）に発展させた。
で、この term, term logic の見方、伝統的論理学をちゃんと知っている人には常識で、オリジナルとして主張しては駄目なんだろう、それを西谷の空・回互連関に結び付けたところだけがオリジナルだと思っていたのだが、
ポール・ロワイヤル論理学や、19世紀を中心にして、様々な伝統論理学の教科書を見てみると、どうも、それほど明瞭には理解されていなかったように見えて来た。
おそらくボンヤリとは理解されていて、分かっていた人には、当たり前と思われていたのだろう。しかし、明瞭な言葉で図まで使ってハッキリ言いだしたのは、僕が始めたことと思っていいらしいことがわかり驚いた。
で、11ページの集合名辞の説明を、どんな風に読み違えていたかというと、「集合名辞(collective term)は、特称名辞でも、通称名辞でもありえる」、つまり、G7 は集合名辞で、その意味は、the group of G7 でも the nations of G7 でもあり得るというような話なのだが、これを「特称名辞と通称名辞を合わせて集合名辞という」と誤解して読んでいた。
その誤解を元に書いた講義資料が、これ。
つづく
447:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 07:20:28.45 JwtGN80z.net
>>385 つづき
実は、Hoare さんが、変な言葉の使い方をしていて、Record Handlingの 1.3 節で、The objects of the real world are often conveniently classified into a number of mutually exclusive classes, and each class is named by some collective noun, s.uch as “person”, “bankloan”, “expression”, etc. と書いている。
"people” なら良いのだが、"person” は、集合名詞 collective noun ではない。集合名辞を集合名詞と結び付けて理解していなかった僕は、それに気が付かず、「僕の意味集合名辞」として理解して話してしまい、それで川西君は「えっ？」という顔をしたらしい。
Hoareさんの間違い（ここでわざわざ collective nouns という必要ない。Plural nouns と書けば十分）と、僕の間違いが重層し、それに川西君が否定的に反応し、それに僕が気が付く、という契機が触媒して、見つかった事実。まあ、発見とは、こういうものですね。実に面白い！ :-D
で、それが契機となって、全体が明瞭になった。とはいっても、伝統論理学やらヨーロッパ言語文法における名辞、名詞の分類は、非常に曖昧に見えるし、納得いかないというところがどこかにある。恐らく、多くの日本人には、そうなのでは？この辺りが、西田の出発点の一つではないのかとも思うの�
448:ｾが、 そうなると、結構、良い議論ポイントを探し当てていたといえそう。 いずれにせよ、この誤解は、大々的に言い立てて、修正せねば！まず、来週の特殊講義、その後で、今も出している2014年の月曜日後期の資料を修正。また、今年の月曜日後期では、伝統論理学の教科書をもってお extensive に survey して、その上で、自分の見方として提示する必用あり。 このテキストが役立ちそう。ようするに、僕のATTTのアイデアはラッセルの記述理論から来ているのだな… （昔、Logic of Partial Term というものを考えていたが、その型理論版だった。） :-D 以下略 おわり
449:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 07:25:36.61 JwtGN80z.net
>>386
重箱の隅ですが
自分の見方として提示する必用あり。
↓
自分の見方として提示する必要あり。
かな
ATTTがよく分からない
ピコ太郎のPPAPみたいなものか（＾＾；
450:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 07:56:44.72 JwtGN80z.net
>>380 補足
論理学の歴史資料について、どこかにこれをリストアップしたサイトがないかと探したが見つからず・・・と
えーと、キャッシュにあるね
URLﾘﾝｸ(webcache.googleusercontent.com)
論理学の歴史：アリストテレスから情報論理学まで 2016 開講形態：後期 開講時間：月５ 場所:６講
これの 2016.12.12 が>>380だな
2016.10.03 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp) 論理学の歴史資料 2016.10.03
シラバス URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
本講義の目的 アリストテレス以来の西洋論理学の歴史に就いて，
(a) 現代の記号論理学に繋がる系譜と，
(b) 日本における第二次世界大戦までの論理学受容の系譜，
の二つを解説する．
以下略
2016.10.24 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.10.31 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.11.07 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.11.14 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.11.28 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.12.05 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.12.12 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.12.19 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.12.26 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2017.01.04 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2017.01.16 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2017.01.23 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
昨年度の資料 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
451:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 07:58:22.69 JwtGN80z.net
>>380 補足
論理学の歴史資料について、どこかにこれをリストアップしたサイトがないかと探したが見つからず・・・と
えーと、キャッシュにあるね
URLﾘﾝｸ(webcache.googleusercontent.com)
論理学の歴史：アリストテレスから情報論理学まで 2016 開講形態：後期 開講時間：月５ 場所:６講
これの 2016.12.12 が>>380だな
2016.10.03 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp) 論理学の歴史資料 2016.10.03
シラバス URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
本講義の目的 アリストテレス以来の西洋論理学の歴史に就いて，
(a) 現代の記号論理学に繋がる系譜と，
(b) 日本における第二次世界大戦までの論理学受容の系譜，
の二つを解説する．
以下略
2016.10.24 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.10.31 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.11.07 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.11.14 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.11.28 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.12.05 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.12.12 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.12.19 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2016.12.26 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2017.01.04 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2017.01.16 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
2017.01.23 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
昨年度の資料 URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
452:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 08:00:16.76 JwtGN80z.net
>>388-389
書き込み失敗と出るから、修正して投稿したら、被った（＾＾；
453:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 08:21:16.05 JwtGN80z.net
>>380 もどる
林先生おもしろすぎで脱線したが
言いたかったのは下記
URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
論理学の歴史資料 2016.12.12
(抜粋)
ラッセルのパラドックス
嘘つきのパラドックス
これは，嘘つきのパラドックスと呼ばれるものと類似したものである．この嘘つきのパラドックスとは，
あるカードに次のように書いてあった．このカードに書いてあることは嘘か本当か？
カード：”このカードに書いてあることは嘘”
Principia Mathematica
ラッセルは，このパラドックスを何か手違いで，少し考えれば何とかなると思ったらしいが，結局は解決できなかった．
(引用終り)
”カード：”このカードに書いてあることは嘘””というのは、二階述語論理かな
まあ、リカーシブコール（再帰呼び出し）とか、再帰関数みたいなもの
自分自身（この場合カード）を、再帰的に呼び出している
だから、矛盾が出た！
だから、「再帰呼び出し禁止！」が、一階述語論理かな？（初期のプログラミング言語はこれ（再帰呼び出し未実装）だった）
でも、プログラミング言語をいろいろ試した人は分かると思うが、リカーシブコール（再帰呼び出し）を実装した言語は表現力が上がる
だから、人は高階述語論理を求めるかなと思った
454:次第 そして、高階述語論理を正当化するのが、圏論とかトポスかな？
455:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 08:44:37.59 JwtGN80z.net
>>380 余談
林先生、下記「あるソフトウェア工学者の失敗 -日本のITは何故弱いか」を読んだ。面白いわ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
あるソフトウェア工学者の失敗 -日本のITは何故弱いか-、山口栄一著編、イノベーション政策の科学、東京大学出版会、2015、の情報産業の章の元となった文章（early version)。
『しくじり先生』を連想したよ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
『しくじり先生 俺みたいになるな!!』（しくじりせんせい おれみたいになるな）は、テレビ朝日で2014年10月3日未明（2日深夜）から放送されている教養バラエティ番組。過去に3回特別番組として放送された。
456:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/12 21:35:17.87 JwtGN80z.net
これ面白いわ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
矢田部俊介
資料公開 >> コンテンツ詳細
タイトル ウソツキのパラドックス 傾向と対策
カテゴリ 講義資料
概要 平成25年度京都大学文学部・文学研究科・研究科横断Ｂタイプ集中講義「論理学上級I」（9月26日?27日）のために、ウソツキのパラドックスへの対応を軸に、真理理論の初歩を解説する。
ダウンロード Kyoto_TT_130927.pdf(2976) URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
457:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/13 06:41:50.32 9N/uveQv.net
矢田部俊介先生、過去スレに複数回登場しているね
こうやって資料を公開してくれているのはありがたいね
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:10番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:305番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:384番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:35番)
458:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/13 07:55:34.10 9N/uveQv.net
こんなご意見もあります
もちろん、私は矢田部先生の方がすきですが
URLﾘﾝｸ(miya.aki.gs)
(抜粋)
四畳半大学 宮国研究室
純粋経験論についてまとめています。2017年のテーマは現象学・分析哲学形成期における心理主義批判の問題点について（哲学という学問分野において「言葉の意味」に関する深刻な誤解が生じている）。本ブログやPDFファイルの内容を引用される場合は、出典を明記してくださるようお願いいたします。
自己言及のパラドックスというものなどない 2014年1月11日
矢田部俊介「循環性を受け入れる : 構成主義における可述性の位置づけの変更とその影響」『科学哲学科学史研究』 (2013), 7: 1-26
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
からの引用である。
459:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/13 08:17:15.04 9N/uveQv.net
突然ですが、これ分かり易いかも（＾＾
URLﾘﾝｸ(biteki-math.hatenablog.com)
美的数学のすすめ 2015-04-06 ガロア理論超入門
(抜粋)
ここまで見てきたガウス周期をガロア理論の立場から見直してみます。ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、完全にガロア理論と同様のことを理解していたと言われています。
ガロアが決闘に行く前日に友人のシュヴァリエに宛て「ヤコビかガウスに、これらの定理の正しさではなく重要性について、公の場で意見を求めてほしい。」と最後の手紙を書きました。（"定理の正しさではなく重要性について"と書いたのは、ガロアにとってガロア理論－後にそう呼ばれることとなった一連の理論－が正しいことは当然だったのでしょう。）
今回はガロア理論の初歩について説明します。ガロア理論をなぜ”ガロアの定理”ではなく”ガロア理論”と呼ぶのか、それは、ガロア理論とは個別の定理を指すのではなく、一連の定理の集合体を指すからです。ガロア理論は、大学１，２年程度（？）の知識で理解できる数学の理論としては、最も美しく、最も有用で、最も示唆に富むものの1つではないかと思います。
460:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/13 08:28:37.03 9N/uveQv.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
数学史シンポジウム報告集
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
第15回数学史シンポジウム(2004.10.16?17) 所報 26 2005
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
三宅克哉 ガロアの逆問題について 第15回数学史シンポジウム2004
461:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/13 08:38:31.15 9N/uveQv.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数学入門公開講座 バックナンバー（講義ノート）
2006年7月31日-8月3日 （第28回）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
ガロア理論とその発展 玉川 安騎男
ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、 代数方程式の解の置換に関する理論です。 その基本定理は「体」と「群」という代数学の基本概念を用いて述べることができ、 現在でも整数論の研究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。
この講義では、まず、 ガロア理論の基本定理の感じをつかんでもらうことを目標にしたいと思います。
次に、 ガロア理論の古典的に有名な応用（ギリシャ数学３大難問のうちの角の３等分問題と立方体倍積問題の否定的解決、 あるいは、５次以上の方程式の加減乗除とべき根のみを用いた解の公式の非存在の証明、 など）の中から題材を選んで解説したいと思います。
最後に、 遠アーベル幾何など、現代の整数論・数論幾何におけるガロア理論の展開についても紹介したいと思います。
462:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/13 17:19:42.59 9N/uveQv.net
突然話が飛びますが・・・（＾＾；
URLﾘﾝｸ(maruyama097.blogspot.jp)
It From Qubit 過去・現在・未来 丸山不二夫のblog 2017年4月11日火曜日
物理学は、今、大きな変革期を迎えているようだ。
その特徴は、物質・時空の理論だった物理学が、情報の理論と結びつこうとしていることだと思う。
先月の3月20日から22日にかけて、 "Computational Complexity meets Quantum Gravity." をスローガンに掲げて、Stanford大学で開催された "It-From-Qubit Complexity Workshop" URLﾘﾝｸ(goo.gl) は、そのことを強く印象付ける、とても刺激的なものだった。
こうした研究の方向を推進している一人が、Susskindである。以前にリンゴをかじって講義している先生として紹介した�
463:ﾌだが、本当はエライ人なのだ。 図は、2015年の彼の講演、"Entanglement and Complexity: Gravity and Quantum Mechanics" https://goo.gl/J0wSkf からとったものだが、様々な問題領域の中核に、一般相対論と量子情報理論の二つがあることが強調されている。 量子論と相対論の統一については、String TheoryやQuantum Loop Gravity など、いくつかの取り組みがあるのだが、その枠組みを、量子情報理論を加えて拡大しているのが、ミソである。 Erik Verlindeのエントロピー的重力理論や、日本の笠・高柳のエンタングルメントのエントロピーの定式化も、こうした流れの重要なトピックになる。 Aaronsonのblogを見たら、3月のStanfordでのWorkshop、Googleのセルゲイ・ブリンも聞きに行っていたらしい。
464:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/13 17:22:57.68 9N/uveQv.net
URLﾘﾝｸ(www.nikkei-science.com)
日経サイエンス 2017年4月号
量子ビットから生まれる時空
C. モスコウィッツ（SCIENTIFIC AMERICAN編集部） 監修：大栗博司（カリフォルニア工科大学／東京大学）
時空は情報の基本単位からできていて，それらの構成要素は「量子もつれ」という奇妙な現象を介して結びついているのかもしれない。
量子もつれ状態にある2つの粒子は，遠く離れていても，その振る舞いが同期する。量子コンピューターを扱う量子情報の研究者と，一般相対性理論や超弦理論を研究する物理学者が共同で，「It from Qubit」というプロジェクトのもとでこの仮説を追求している。
相性の悪い量子力学と一般相対論を統合する量子重力理論の実現が最終目標だ。監修者の大栗教授による関連記事「量子誤り訂正符号とAdS/CFT対応の関係」も併せて掲載。
著者
Clara Moskowitz ／ 監修：大栗博司
モスコウィッツはSCIENTIFIC AMERICAN編集部に所属。大栗はカリフォルニア工科大学カブリ冠教授，同大学ウォルター・バーク理論物理学研究所長，東京大学カブリ数物連携宇宙研究機構主任研究員，アスペン物理学センター所長。専門は素粒子論，主に超弦理論を研究。
関連記事
「ワームホールと量子もつれ 量子時空の謎」，J. マルダセナ，日経サイエンス2017年1月号。
「ホログラフィー原理を解く エンタングルメント・エントロピーと笠・高柳公式」，中島林彦，協力：大栗博司／高柳匡，日経サイエンス2017年1月号。
原題名
Tangled Up in Spacetime（SCIENTIFIC AMERICAN January 2017）
465:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/13 17:27:17.07 9N/uveQv.net
URLﾘﾝｸ(planck.exblog.jp)
大栗博司のブログ 2016年 07月 27日
心のしおり
カナダのトロントの近くにあるペリメータ研究所で開催されている「It from Qubit」と題した夏の学校と研究会に来ています。
URLﾘﾝｸ(www.perimeterinstitute.ca)
「It from Qubit」は、サイモンズ財団が支援している研究グループです。この数年の間に、超弦理論、量子重力や場の量子論と、量子情報理論との深い関係が明らかになり、そこから実り多い成果があがっているので、その間の風通しをよくしようという試みです。
夏の学校では、量子情報の基礎から、量子回路、誤り訂正符号、量子シャノン理論などの丁寧な講義があって、宿題
URLﾘﾝｸ(www.perimeterinstitute.ca)
も出ているので、私にもとても勉強になります。
講義は、すべてビデオで見ることができるので、この分野に興味のある人にはおすすめです。
URLﾘﾝｸ(www.perimeterinstitute.ca)
私の講演のビデオもリンクしておきます。
⇒ 「情報不等式から重力エネルギー正定値性へ」
中日新聞から、「心のしおり」というエッセイのコーナーに寄稿を依頼されたので、アスペン物理学センターの所長になった感想について書いてみました。
URLﾘﾝｸ(planck.exblog.jp)
７月２７日（水）の朝刊の文化欄に掲載されましたので、よろしければご覧ください。
466:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/13 17:29:38.02 9N/uveQv.net
>>399
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
丸山不二夫（まるやま ふじお、1948年〈昭和23年〉 - ）は、日本のIT教育者。大学院時代の専門は数理哲学。稚内北星学園大学初代学長。元早稲田大学客員教授。IT関連のコミュニティーの組織者としても知られている。日本Javaユーザ会、日本Androidの会初代会長。クラウド研究会代表。
現在はIT技術者の情報共有コミュニティー「マルレク」を主宰。昨今は学生向けのディープラーニングの開発・教育のコミュニティー「MaruLabo」も主宰している。
略歴[編集]
秋田県大館市出身。東京大学教育学部卒業。一橋大学大学院社会学研究科博士課程修了。1987年（昭和62年）稚内北星学園短期大学経営情報学科教授。2000年から2007年まで稚内北星学園大学初代学長。2007年早稲田大学大学院情報生産システム研究科客員教授。
主著[編集]
『情報メディア論』（八千代出版、2000年）
首藤一幸と共著『クラウドの技術 ― 雲の世界の向こうをつかむ』（アスキー・メディアワークス、2009年）
467:１３２人目の素数さん
17/04/13 18:31:11.40 5knGSu/Y.net
おっちゃんです。>>357-360で示した
>a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とする。
>このとき、任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
>(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n}≠1 ならば (a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。
の「(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n}≠1 ならば」という条件を取っ払って
>a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とする。
>このとき、任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
>(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。
が示せた。>>357-360に似たような手法で、c＝1 のとき、つまり、>>357の(2)が
b_1・log(a_1)＋…＋b_n・log(a_n)＝0
になるときも示せる。n≧3 のときは C＝－log(a_n) とおき
α＝b_1・log(a_1)＋…＋b_{n-1}・log(a_{n-1})－a_n・C＝0
として考えればよい。このときは>>357-360のCを a_n・C におき換えて考えればよい。
n＝3 のときは (4) が A_1＝p_2・A_2 になって矛盾が生じる。
n≧4 のときは似た議論を続けていく。その一方で、
n＝2 のときは b_1・log(a_1)＋b_2・log(a_2)＝0 とすると、(log(a_1))/(log(a_2))＝-b_2/b_1
となって、左辺が超越数、右辺が実代数的数で矛盾が生じる。
>>357-360に似てはいるが微妙な違いが生じる。
まあ、全文がまだ未整理で、今再度全部書くと少し長くなることもあり、ここに全部書くのはやめるけど。
ただ、まだ c≠1 が直接的には示せない。
468:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/13 19:18:18.77 9N/uveQv.net
>>400
469: 関連 http://www.nikkei-science.com/?p=52354 英語で読む日経サイエンス SCIENTIFIC AMERICAN January 2017 Tangled Up in Spacetime 量子ビットから生まれる時空 By Clara Moskowitz C. モスコウィッツ
470:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/13 19:21:49.95 9N/uveQv.net
>>403
おっちゃん、どうも。スレ主です。
ご苦労さまです。
やはり、このスレはおっちゃんが書かないと、盛り上がらないね（＾＾
471:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/14 05:47:47.41 ouMeYXIZ.net
>>401 リンク抜け補足
私の講演のビデオもリンクしておきます。
⇒ 「情報不等式から重力エネルギー正定値性へ」
URLﾘﾝｸ(www.perimeterinstitute.ca)
472:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/14 09:43:44.93 ouMeYXIZ.net
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ここら整数論については、私は全く素人で、小学生以下のレベルだが・・（＾＾；
かつ、あまり証明を読む気が無いというか、２CHみたいに視認性の悪い掲示板の証明は特に読まない主義だが
ちょっと、おっちゃんの予想に興味があって、証明を見たけど・・
疑問あり
>>358
>各 i=1,2,…,n に対して a_i≠1 だから、ゲルフォント・シュナイダーの定理
>(以降、「ゲルフォント・シュナイダーの定理」を「G-Fの定理」と略記する) の系から、
>A_1,…,A_n は有理数体Q上線型従属である。
これ言える？ >>357で、i=1,…,n に対して A_i＝log(a_i) とおきだったね
a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とするだったね
分かり難いので、a_1,a_2 ,…, a_nに替えて、記号を素数で常用されるp1,p2 ,…, pn としましょうか？
log p1, log p2, ・・・, log pn が、任意の2個以上のn個の素数に対して、有理数体Q上線型従属？ 直感的にそんなことは成り立たないように思うけど・・
証明も、反例構成も、すぐに出来るレベルではないですが・・
それから、「ゲルフォント・シュナイダーの定理」は、>>366に引用したけど、
系２ α1,α2,β1,β2 を 0 以外の代数的数とする。もし、 log α1,log α2 が有理数体上線形独立であるならば、 β1log α1+β2log α2 not =0である。
でしょ？ それで直ちに、任意の2個以上のn個の素数に対して、有理数体Q上線型従属って、なんでそれが言える？
473:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/14 11:06:20.65 ouMeYXIZ.net
>>407 つづき
>>368にベイカーの定理を引用したけど
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
定理1 (対数関数の一次形式の線形独立性)
α1,・・・,αnを 0 ではない代数的数とする。もし、 log α1,・・・,log αnが有理数体上線形独立であるならば、1, log α1,・・・,log αn は、代数的数体上線形独立である。
(引用終り)
で、log p1, log p2, ・・・, log pn （p1,p2 ,…, pn は、任意の相異なる2個以上のn個の素数）で、有理数体Q上線型従属というおっちゃんの主張でしょ？
で、ベイカーの定理とは真逆の主張に見えるけど
さらに初等的考察で、URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 対数の底の変換 log a (x) = log x / log a (ここに ”log a (x) ”は、aを底とする対数を表す)
任意の二つの素数、例えば３と５で log 3 と log 5 が、有理数体Q上線型従属と仮定すると、log 3 / log 5 ＝q (q ∈Q)なる有理数が存在するが
底を５とすると、log 5 (3) ＝q (q ∈Q)なる有理数が存在することになる
底を５とする対数 log 5 (3) は、直感的には超越数でしょ（すぐに証明できるほどレベル高くないが） 注＊）
だから、任意の二つの素数で、log pi, log pj は、有理数体Q上線型独立だろうと思う
まあ、こんな論法で、任意の二つの素数の対数が有理数体Q上線型独立とすれば、log p1, log p2, ・・・, log pn が有理数体Q上線型従属は、直感的には成り立たないと思うけど？ 少なくとも要証明だろ
注＊）リンデマンの定理 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
で、「0 でも 1 でもない代数的数 β に対して、log β は超越数である。」は言えるらしい。
だから、log p1, log p2, ・・・, log pn は、すべて超越数は言える
log 3 と log 5 とは、超越数だが
log 3 / log 5 あるいは、log 5 (3) がどうか
こんな程度はだれでも思いつきそうなんで、どこかに証明が落ちてないか検索したが見つからず。はて？（＾＾；
474:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/14 12:27:13.76 ouMeYXIZ.net
>>355 関連 https://www.skybusiness-jp.com/single-post/2017/03/02/%E5%87%BA%E7%89%88%E8%A8%98%E5%BF%B5%E5%AF%BE%E8%AB%87%EF%BC%88%EF%BC%91%EF%BC%89%E3%80%8C%E4%BA%BA%E9%96%93%E3%82%92%E8%B6%85%E3%81%88%E3%82%8B%E4%BA%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%BC%B7%E3%81%BF%E3%81%A8%E3%81%AF%E3%80%8D 出版記念対談（１）「人工知能を超える人間の強みとは」March 2, 2017 小南仔先生＆奈良潤 いよいよ、技術評論社から奈良潤代表の初の著作『人工知能を超える人間の強みとは』が3月15日に発売されます。 今回から数回にわたって、著者の奈良代表に本書の読みどころやハイライト、ちょっとした裏話などを伺ってみたいと思います。今流行りの人工知能ですが、本当に万能な存在なのでしょうか？将来、私たちの仕事（「私」の仕事も含めて）を奪うのでしょうか？ さっそく、奈良代表から執筆秘話をお伺いしましょう。 K： 奈良代表、お疲れ様です。そもそも、どういう経緯で本書を執筆するに至ったのですか。 N： もともと私は、アメリカの認知心理学者ゲイリー・クライン博士の著作 The Power of Intuition （直観力）というご著作を翻訳して出版するつもりでいたんです。2015年末にクライン博士の『「洞察力」があらゆる問題を解決する』（フォレスト出版 / 原書 Seeing What Others Don't）を翻訳・出版しまして、その続編を世に出したかったのです。 といっても、原書では、直観力の方が洞察力のよりもかなり早く出版されています（2003年）。そこで、企画を引き受けてくださる出版社をまた探さなくてはなりませんでした。何社かに問い合わせたら、幸いにも技術評論社（以下、技評）さんが興味を示してくださったのです。 そこで、新宿区の技評本社で「カリスマ編集者」と名高い傳智之さんとお会いしたのです。ところが、傳さんは「クラインさんの直観力の本はアメリカで2003年に出版されて古いし、翻訳本はお金がかかるから難しいですね」などとあっさり言うんですよ。「ええっ～、人のこと呼び出しといて、それはないでしょう～」なんて思いましたよ（苦笑）。 でも、傳さんが、「いっそうのこと、奈良さんが直観についての本を書いたらどうですか」って言ってくださったんですね。 つづく
476:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/14 12:31:59.19 ouMeYXIZ.net
抜けた：（以下、小南仔： K、奈良代表： N） 追加よろしく
>>409 つづき
当時、まさか自分自身の著作を出せるチャンスなど夢にも思っていなかったので、うれしいというよりもむしろ驚きましたねえ～。
K： なるほど。でも、奈良代表ははじめから人工知能に詳しかったのですか。どうして、「直観と人工知能」をテーマとした本を執筆することになったのですか。
N: いいえ、人工知能については素人同然でしたよ。ただ、2015年夏に日本認知科学会のサマースクール（夏期合宿研修）があって、そこでのテーマが人工知能だったんですね。
それで、傳さんが「ただ直観についての本はダメで、たとえば、人工知能と比較するとかしないと企画は通らないでしょう」とか言うんですよ。それからですかね、人工知能の文献を読みはじめたのは。
K： そうだったのですか。でも、将棋やチェス、碁などのプロが人工知能との対局で負け、人と会話するようなものまで開発されている現状を考えると、人間が人工知能には勝
477:てないと思ってしまいますが。。。。 N: ふつう、そう思いますよね。でも、私は人工知能のことを調べる前から直観的に「人工知能にも盲点や弱点があるはずだ」と思っていましたね。でも、それを認知心理学的に証明するのができなかった。 ところが、私はクライン博士の指導のもとで直観や洞察力について勉強してきて、それなりの知識をもっているわけです。それで、人工知能のことを勉強していくうちに、人間の直観と人工知能の思考のそれぞれのメカニズムが正反対の性質であることを突きつめたのです。 人工知能の思考のメカニズムや開発技術上の課題がいくつもあり、万能ではないのです。 まして、人間と人工知能では、学習のメカニズムや創造力の発揮の仕方も大きく違います。 K: じゃあ、人工知能が人間の仕事を奪ったり、ドラえもんのような人工知能ロボットが開発されることはないということですか？ N: たしかに、今後も人工知能は進化することで人間の仕事や作業のある部分がオート化されたり、効率化がはかられていくことだと思います。でも、人工知能が人間のすべての仕事や作業の代行をすることは絶対にできないし、 つづく 抜粋引用おわり
478:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/14 12:44:12.89 ouMeYXIZ.net
>>409 補足
『人工知能を超える人間の強みとは』
は、発注かけました。本は、明日来る予定
それはともかく、数学でも、あしたからは、AIと数学の共存時代でしょう
人間の強みである、直観力や洞察力や創造性など、従来日本の数学教育はこれらを軽視して論理の厳密性のみが前面に押し出されていたが
そこらは見直さないと、日本の数学はだめでしょう
いまでも、あやしいけど
従来日本の数学教育は論理の厳密性のみが前面に押し出されていて、内容が１９世紀から２０世紀中期がせいぜい
でも、論理の厳密性というのは、算数で言えば、かけ算割り算の世界でしょ？ そんなところは、コンピュータやAIが人間より遙かに上
コンピュータやAIを使いこなすという視点が欠ければ
あっというまに、世界においていかれる
いまでもそうなりつつ
あるように思います
479:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/14 12:49:14.28 ouMeYXIZ.net
ほい
URLﾘﾝｸ(www.skybusiness-jp.com)
出版記念対談（２）「人工知能を超える人間の強みとは」
March 6, 2017
|
小南仔部長＆奈良潤代表
＜小南仔（こにゃんこ）部長（K）と奈良潤代表（N）の対談のつづき＞
480:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/14 12:51:42.94 ouMeYXIZ.net
ほい
URLﾘﾝｸ(www.skybusiness-jp.com)
出版記念対談（４）「人工知能を超える人間の強みとは」（舞台裏編）
March 10, 2017
|
小南仔部長＆奈良潤代表
N： みなさん、やっとサンプル本が手に入りました！応援、ありがとうございます！
K: 奈良代表、よかったね！（チュ?）
N: こにゃんこセンセ、ありがとう...
Read More
出版記念対談（３）「人工知能を超える人間の強みとは」
March 8, 2017
|
小南仔部長＆奈良潤代表
＜小南仔（こにゃんこ）部長（K）と奈良代表（N）の対談の続き＞
K： そういえば、今日、著作のサンプル本ができたそうですね。傳さんによると、表紙は水戸部...
481:１３２人目の素数さん
17/04/14 18:05:08.50 JwU9XgSh.net
>>407
おっちゃんです。
＞疑問あり
＞>>358
＞>各 i=1,2,…,n に対して a_i≠1 だから、ゲルフォント・シュナイダーの定理
＞>(以降、「ゲルフォント・シュナイダーの定理」を「G-Fの定理」と略記する) の系から、
＞>A_1,…,A_n は有理数体Q上線型従属である。
＞
＞これ言える？
そこは「ゲルフォント・シュナイダーの定理」ではなく、「素数と有理数の各定義から」の間違い。
p_1・log(a_1)＋…＋p_n・log(a_n)＝0 p_1,…,p_n はすべてが0ではないよいな有理数
とすると、(a_1)^{p_1}・…・(a_n)^{p_n}＝1 になるが、素数の定義から、a_1,…,a_n は
どの2つも互いに素でそれらの正の最大公約数が1の正整数だから、これは成り立ち得ない。
だから、「A_1,…,A_n は有理数体Q上線型従属である。」はいえる。
もう予想では既に示した。ただ、似たような議論を繰り返して示すことになり
議論が少し長くなって、別の方法で示せないだけ。
482:１３２人目の素数さん
17/04/14 18:07:41.71 JwU9XgSh.net
普段他人が書いた証明を読まない主義なら、その方針にしてほしい。
483:１３２人目の素数さん
17/04/14 18:23:13.58 JwU9XgSh.net
484:有理数体Q上線型「従属」でなく有理数体Q上線型「独立」か。
485:１３２人目の素数さん
17/04/14 19:01:19.08 JwU9XgSh.net
まあ、>>357-360は改良の余地はあるだろう。
486:１３２人目の素数さん
17/04/14 19:02:48.11 JwU9XgSh.net
じゃ、おっちゃん寝る。
487:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/14 20:04:23.29 ouMeYXIZ.net
>>414-418
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さまです
>普段他人が書いた証明を読まない主義なら、その方針にしてほしい。
いやね、ゲルフォント・シュナイダーの定理ってのを詳しく知らなかったので、その周辺を調べて、ちらっと証明みたら、「あれあれ？」ってことだったわけ
>有理数体Q上線型「従属」でなく有理数体Q上線型「独立」か。
そうでしょうね（＾＾
>じゃ、おっちゃん寝る。
ゆっくり休んでください
488:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/14 20:32:36.53 ouMeYXIZ.net
>>414
(>>419に従い、おっちゃんのコメントを、有理数体Q上線型「独立」などに修正すると・・)
>p_1・log(a_1)＋…＋p_n・log(a_n)＝0 、p_1,…,p_n はすべてが0ではないような有理数
>とすると、(a_1)^{p_1}・…・(a_n)^{p_n}＝1 になるが、素数の定義から、a_1,…,a_n は
>どの2つも互いに素でそれらの正の最大公約数が1の正整数だから、これは成り立ち得ない。
>だから、「A_1,…,A_n は有理数体Q上線型独立である。」はいえる。
さーて、>>408 ベイカーの定理より
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
定理1 (対数関数の一次形式の線形独立性)
α1,・・・,αnを 0 ではない代数的数とする。もし、 log α1,・・・,log αnが有理数体上線形独立であるならば、1, log α1,・・・,log αn は、代数的数体上線形独立である。
(引用終り)
また、リンデマンの定理 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
から、「0 でも 1 でもない代数的数 β に対して、log β は超越数である。」は言える
だから、log p1, log p2, ・・・, log pn は、すべて超越数は言える
整理すると
１）互に異なる２つ以上の素数p1,p2 ,…, pn で、これはあきらかに代数的数
２）リンデマンの定理から、log p1, log p2, ・・・, log pn は、すべて超越数だが、リンデマンの定理だけでは”代数的数体Q~上線形独立”はまだ言えない
３）但し、>>408で考察したように、”任意の二つの素数で、log pi, log pj は、有理数体Q上線型独立”だろうと思う （未証明）
さらに進んで、”log p1, log p2, ・・・, log pn 全体として、有理数体Q上線型独立”が言えるかどうか 注１＊）
４）もし、log p1,・・・,log pnが有理数体上線形独立であるならば、ベイカーの定理より, ”1, log p1,・・・,log pn は、代数的数体上線形独立である”注２＊）は言える。
５）なので、注１＊）が証明できるかどうか。それと、注２＊）のベイカーの定理で、”1”を落として良いかどうか？ **) そこが個人的にはギャップありと思うよ
**) ベイカーの定理で、”1”が付属している数学的な意味がいまいち分かっていないスレ主です（＾＾；
489:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/14 22:46:42.64 ouMeYXIZ.net
>>420
どうも。スレ主です。
しばし考えてみると、３）は簡単に言えそうだね
１．まず、”任意の二つの素数で、log pi, log pj は、有理数体Q上線型独立”は、背理法で命題を否定して、>>408で考察したように
log pi / log pj = m/n (m/nはある有理数で、m,nはある整数 と書けたとする。
log pi = m/n ・ log pj から
pi = pj ^m/n ここで、両辺をn乗して
pi^n = pj^m となるが、pi, pj が異なる素数なら、不成立で矛盾する
２．次に３以上でも、>>414でおっちゃんが書いた筋でOKだな
（m1/n1）・log p1 +(m2/n2)・log p2 + ・・・+(mn/nn)・ log pn =0 が成立するとして
これを積に直して、p1^（m1/n1）・p2^(m2/n2) ・ ・・・・ pn^(mn/nn) =1 が成り立ち
両辺を、n1・n2・・・・・nn乗すると、、p1^（m1）・p2^(m2) ・ ・・・・ pn^(mn) =1 となるが、p1, p2,・・・ , pnが異なる素数なら、不成立で矛盾する
そうすると、残るは、「ベイカーの定理で、”1”を落として良いかどうか？ 」だな
ベイカーの定理はあまり理解できていないので、現状では私スレ主の手に余る
ベイカーの定理（やさしい方だけでも）を勉強してみたい気はするが・・（＾＾
490:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/14 22:52:04.03 ouMeYXIZ.net
>>421 訂正
両辺を、n1・n2・・・・・nn乗すると、、p1^（m1）・p2^(m2) ・ ・・・・ pn^(mn) =1 となるが
↓
両辺を、n1・n2・・・・・nn乗すると、、p1^（m1・n2・・・・・nn）・p2^(m2・n1・・・・・・nn) ・ ・・・・ pn^(mn・n1・n2・・・・・nn-1) =1 となるが
491:１３２人目の素数さん
17/04/14 23:22:40.50 yyQdAFWm.net
> **) ベイカーの定理で、”1”が付属している数学的な意味がいまいち分かっていないスレ主です（＾＾；
一般に超越数の和が超越数とは限らない
1があるためにより強い結果が言えている
492:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 05:38:55.95 4+NnYKN2.net
>>423
ID:yyQdAFWmさま、どうも。スレ主です。
レスありがとう
>一般に超越数の和が超越数とは限らない
> 1があるためにより強い結果が言えている
きっとそうなんや
しかし、ここまでかみ砕いて言われても、まだすとんと数学的理解に至らないスレ主でした。まあ、ちょっと自分で調べてみます（＾＾；
でも
493:あなたは、きっとおっちゃんじゃないね（＾＾ レベル高そうやね
494:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 05:41:31.62 4+NnYKN2.net
>>421 訂正追加
１．まず、”任意の二つの素数で、log pi, log pj は、
↓
１．まず、”任意の互いに異なる二つの素数で、log pi, log pj は、
495:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 06:04:09.90 4+NnYKN2.net
>>424 関連
過去スレ15 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:68番) より再録
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
2014-11-07 数学の「超越数論」を独学するための教科書PDF。
「代数的数論」の発展分野で，未解決問題多し
超越数論を勉強するためのテキストPDF
しっかりした教科書を無料で読める。
日本語のPDF：
日大の平田さんのレポート
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
40ページ，日大(公開は理科大)。報告の形式を取っているが，日本語で読める超越数論の教科書PDFとして最良か。
(引用終り)
と書いていたけど、このとき、日大の平田先生を学生かなにかと勘違いしていたわ（＾＾；
調べると、すごいエライ先生やね。論文いっぱいあるし
学位が、パリ第6大学と東北大学と二つか・・、めずらしいね。なんで東北？とは思うけど・・。中学・高校「数学科」 教員免許か。中学・高校も可なんや（＾＾；
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
研究者氏名 平田典子（河野典子）ヒラタ ノリコ
(抜粋)
URLﾘﾝｸ(kenkyu-web.cin.nihon-u.ac.jp)
日本大学 理工学部 数学科 更新日：2017/04/10
教授 河野 平田 典子 コウノ ヒラタ ノリコ HIRATA-Kohno Noriko
(抜粋)
■ 学位 （公開件数：2件）
理学博士(パリ第6大学) パリ第6大学（フランス） 1989/02/16
理学博士(東北大学) 東北大学 1991/01/23
■ 免許・資格 （公開件数：1件）
教育職員免許 1981/03 中学・高校「数学科」
496:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 06:14:09.98 4+NnYKN2.net
>>426
日大の平田さんのレポート
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
より抜粋
Theorem 1.1 (Liouville の定理)
Theorem1.1 の証明では，整数のような「粗に存在している」集合の元に対して，異なる元の
距離が1 以上つまり「ゼロでない整数の絶対値は1 以上」という事実に帰着して考えるところ
が本質的な点である．
ディオファントス問題で我々の興味を持つ対象は，有理点と総称されるような，Q, Z, Q，有
限次代数体などの元であるが，これらはすべて粗なる集合である．この考え方で見ることが必
然である．単に有理数を実数の中で捉えたら，有理数の稠密性という性質があって困る訳だ
が，有理数を分母と分子の整数の組である数と捉えることが重要なのである．異なる有理数と
いうものを，異なる整数の話に帰着させれば良いのである．そうすれば異なる元の距離が1 以
上という断固たる事実から，非自明なる下からの評価が従い，興味のある有理点の考究が可能
となる．
同様に，d 次の代数的数α も，「Z 係数のα の最小多項式fα の係数」を並べたd + 1 次元整
数格子の点と考えられる．整数格子の点は距離が一定以上離れているのだから，異なる代数
的数同士が互いに近いことは不可能であると言うのがLiouville の定理である．すなわち，代
数的数同士は良く近似できないということを表していて，実に自然な定理なのである．なお，
Liouville の定理よりも後述のRoth の定理が（一部の範疇の数を除いて）より良い近似を与え
ている．
(引用終り)
はあ・・、すごいね。目から鱗やわ（＾＾；
Liouville の定理なんて、なんども見たけど、意味分からんし、スルーしてたけど
”異なる元の距離が1 以上つまり「ゼロでない整数の絶対値は1 以上」という事実に帰着して考えるところが本質的な点である．”
”単に有理数を実数の中で捉えたら，有理数の稠密性という性質があって困る訳だが，・・・異なる元の距離が1 以上という断固たる事実から，非自明なる下からの評価が従い，興味のある有理点の考究が可能となる．”
なるほど！ そうなんや！ （＾＾
497:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 06:23:11.12 4+NnYKN2.net
>>427 関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ディオファントス近似
(抜粋)
リウヴィルの定理[編集]
詳細は「リウヴィル数」を参照 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
この結果によってジョゼフ・リウヴィルは、超越数であることが初めて証明された例であるリウヴィル数、
を得た。この数は、次数 n をどのようにとっても、リウヴィルの定理を満たさない。
ディオファントス近似と超越数論の間のこのつながりは、今日まで続いている。証明の技術の多くが2つの分野の間で共有されている。
最後のロスによる結果は、以下の様に表現される：ロスの定理(1955年)。
リドゥ (D. Ridout) は、近似分数の分母、分子に現れる素因数を制限することで、ロスの結果が改良されることを示した。ロス?リドゥの定理(1957年)。
c の値の導出
もし、与えられた α に対して、c の値を求めることが可能になれば、不定方程式の整数解に対して、解が有限個しか存在しないだけでなく、整数解の存在範囲を示すことが可能となる。
ベイカーによる対数の1次形式の評価定理を用いて、以下のことが証明されている。
(引用終り)
498:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 06:27:46.37 4+NnYKN2.net
>>427 関連
出典は、これやね。2006 数論サマースクール
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
2006年度整数論サマースクール 「Diophantine Equations」
1. 平田典子 （日本大学）
(1)「対数一次形式の理論と応用:HermiteからBaker, Matveevまで」
(2)「部分空間定理と単数方程式:SiegelからSchmidt, Faltingsまで」
(3)「最近の新結果の紹介」
(4)「ディオファントス問題における未解決問題」
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
2006年度整数論サマースクール報告集
平田典子（日本大学）
「対数一次形式の理論と応用:HermiteからBaker, Matveevまで」
「部分空間定理と単数方程式:SiegelからSchmidt, Faltingsまで」
「最近の新結果の紹介」
「ディオファントス問題における未解決問題」
pdfファイル URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
499:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 08:25:32.26 4+NnYKN2.net
>>423-424
ああ、スレ主は、線型独立がきちんと理解出来ていなかったんやね(^^
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
線型独立
線型従属[編集]
ベクトル空間 V の部分集合 S が非自明な線型関係を満たすとき
すなわち、ある有限個の相異なるベクトル v1, v2, ..., vn ∈ S とスカラー a1, a2, ..., an が存在して、(a1, a2, ..., an) ≠ (0, 0, ..., 0) かつ
a1v1+a2v2+・・・ +anvn=0
を満たすとき
S は線型従属（一次従属）であるという。言い換えると、集合が線型従属であるとは、集合のベクトルの線型結合によるゼロベクトルの非自明な表示が存在することである。
線型独立[編集]
ベクトル空間 V の部分集合 S は線型従属でないとき S は線型独立 （一次独立）であるという。明示的には、任意の有限個の相異なるベクトル v1, v2, ..., vn ∈ S とスカラー a1, a2, ..., an に対して
a1v1+a2v2+・・・ +anvn=0
ならば (a1, a2, ..., an) = (0, 0, ..., 0) となるとき S は線型独立であるという[1]。言い換えると、集合が線型独立であるとは、集合のベクトルの線型結合によるゼロベクトルの表示が自明なものに限るということである[2]。
500:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 09:19:11.95 4+NnYKN2.net
>>430 補足
ｎ次元ベクトル空間 V で、v1, v2, ..., vn が線型独立なら、ｎ-1次元 v2, v3, ..., vn も線型独立が言える。
さらに
（補足）
�
501:P．線型従属 a1v1+a2v2+・・・ +anvn=0 スカラー a1, a2, ..., an が存在して、(a1, a2, ..., an) ≠ (0, 0, ..., 0) ２．線型独立 a1v1+a2v2+・・・ +anvn=0 スカラー a1, a2, ..., an が存在して、必ず(a1, a2, ..., an) ＝ (0, 0, ..., 0) ３．ｗ＝a2v2+・・・ +anvn と置く。もしｎ-1次元 v2, v3, ..., vn が線型従属として、 (0, 0, ..., 0)以外でｗ=0となったとすると ｘ＝a1v1+ｗにおいて、a1＝0とするとｘ＝0とできることになり、この場合、必ず(a1, a2, ..., an) ＝ (0, 0, ..., 0)に反する だから、ｎ-1次元 v2, v3, ..., vn も線型独立でなければならない。つまり、ｎ次元以下でも、すべて線型独立 ４．これを>>423 に当てはめると、”ベイカーの定理で、”1”が付属している数学的な意味”は、代数的数体をQ~として １）log α1,・・・,log αn は、代数的数体Q~上線形独立のみならず ２）”1”即ち代数的数体Q~からも線形独立→log α1,・・・,log αnの線型結合は超越数である そういうことかいな（＾＾ やっとわかった。ID:yyQdAFWmさま>>423、どうもありがとう
502:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 09:51:01.55 4+NnYKN2.net
>>431 まとめ
ということは、>>420-421で示したように
おっちゃんの命題>>357
a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とする。
このとき、任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。
は、>>368 ベイカーの定理1 の 系3 α1,・・・,αnを 0 でも 1 でもない代数的数とする。また、 β1,・・・,βnを、 1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数としたとき、α1^β1・・・,αn^βn は、超越数である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
と、一部重なるね。系3で
「1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数」という条件を落としたらどうなるか？
（おっちゃんは「代数的無理数」と書いたから、「有理数上線形独立な代数的数」とほぼ重なるかな？）
（私は、そもそも系３の「1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数」という条件とベイカーの定理1との関係があまり理解できてないレベルだが・・）
あとは、おっちゃんのレス待ちやね
目が覚めたら頼むよ（＾＾
503:１３２人目の素数さん
17/04/15 14:58:41.63 cD1rLoeX.net
test
504:１３２人目の素数さん
17/04/15 15:00:47.68 cD1rLoeX.net
>>424
＞>一般に超越数の和が超越数とは限らない
＞> 1があるためにより強い結果が言えている
＞
＞きっとそうなんや
おっちゃんです。
「きっと」ではなくて、これは当然のこと。
2つの異なる超越数 x,y に対して x+y を、多項式のように扱って、
計算してより簡単な形にすることが出来るかどうかが分からないから、
一般には超越数の和が超越数といえるかどうかが分からない訳で。
あと、あの人の個人的事情を書いたサイトや pdf とかを挙げるのは止めておいた方がいい。
チンプンカンプンでよく分からんが、超越数というよりむしろ
ディオファンタス幾何とかいう難しい数論幾何の一分野をしている人だ。
505:１３２人目の素数さん
17/04/15 15:12:39.35 cD1rLoeX.net
そんなことより、聞いて下さい。
久しぶりに散歩がてらに根津っていうところに行って来たんです。
地下鉄の千代田線のホームが2層構造になっていて、
坂道が少しあるけど、ここはレトロな雰囲気が漂っていていい町でした。
お隣の千駄木駅のホームも2層構造になっているんです。
このあたりは谷根千っていわれていて下町情緒溢れるいい町です。
反対の湯島駅は普通のホームになっている。
506:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 15:18:51.45 4+NnYKN2.net
>>432 補足
>（私は、そもそも系３の「1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数」という条件とベイカーの定理1との関係があまり理解できてないレベルだが・・）
検索したが、日本語では、あまり適切な情報がヒットしなかったな
で、下記英文が相当しているように見えるが、日本語でもすらすらとはいかないのに、英文だからね。もっとも、英文の方が分かりやすいときもあるけど・・（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Baker's theorem
(抜粋)
Statement
Just as the Gelfond?Schneider theorem is equivalent to the statement about the transcendence of numbers of the form ab, so too Baker's theorem implies the transcendence of numbers of the form
a1^b1 ・・・ an^bn ,
where the bi are all algebraic, irrational, and 1, b1,…,bn are linearly independent over the rationals, and the ai are all algebraic and not 0 or 1.
507:１３２人目の素数さん
17/04/15 15:25:43.71 cD1rLoeX.net
根津駅の近くに
508:は言問通りが通っていて、弥生っていう町があるんです。 そこを西に行くと比較的静かな住宅が密集している町につながる。 晴れた日の夕方に行くと、3丁目の夕日を思い出させるような景色が見れると思う。
509:１３２人目の素数さん
17/04/15 15:28:20.97 cD1rLoeX.net
いや～、根津は昔ながらのレトロな雰囲気に溢れていていい町です。
510:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 15:35:02.02 4+NnYKN2.net
>>435
おっちゃん、どうも、スレ主です。
根津ねー、懐かしいな～
なんで行ったか思い出せないが（＾＾
もちろん、仕事でだったけど
湯島は、よく行きました
研修施設があったから
東京は、古い町はどこでも、なにか歴史がありますよね～（＾＾
511:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 15:38:21.29 4+NnYKN2.net
>>437
おっちゃん、どうも、スレ主です。
弥生町ねー
ああ、確か根津から、東大工学部へ上がっていった記憶がある
東大工学部で学会があったような
弥生式土器発見の碑かなんかがあってね
弥生町で発見されたから、弥生式土器と名付けたと書いてありました
512:１３２人目の素数さん
17/04/15 15:41:41.83 cD1rLoeX.net
根津は文豪の町に近く、根津神社があったりする。
513:１３２人目の素数さん
17/04/15 15:44:57.53 cD1rLoeX.net
>>440
正門や赤門より、出入りには弥生門の方が近かっただろう。
514:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 15:49:54.28 4+NnYKN2.net
>>434
どうも。スレ主です。
>2つの異なる超越数 x,y に対して x+y を、多項式のように扱って、
まあ、多項式→ベクトルやね
アルティン先生いうところの体の拡大で、線型空間と見る視点
x,yを不定元（超越数だから）ということなのでしょうが・・
>あと、あの人の個人的事情を書いたサイトや pdf とかを挙げるのは止めておいた方がいい。
あの人とは、平田典子先生かな？
まあ、超越数の日本語の資料が少ないんだ
検索ヒットするのは、あと、西岡 久美子先生、無理数と超越数 | 塩川 宇賢 先生くらい
イエカタと読むのか。読めなかったな・・
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
研究者氏名 塩川 宇賢 シオカワ イエカタ
所属慶應義塾大学
部署理工学部 数理科学科 理工学部 理工学部 数理科学科
職名教授
学位理学 (筑波大学)
515:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 15:53:01.10 4+NnYKN2.net
>>442
門の名前は分からなかったが、多分弥生門でしょう
会社が、大手町にあってね。地下鉄などで、一番行きやすい駅を探すと、根津だったと思う。地図を見ながら行った
516:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 15:57:01.57 4+NnYKN2.net
まあ、おっちゃん書いてくれると助かるよ
さっきも、一人で連投９で、”埋めですか”なんてコメントと規制がかかってね
まあ、はたから見れば埋めと言えなくもないが、そういうつもりではない。ウメではなく、メモですから～（＾＾
517:１３２人目の素数さん
17/04/15 16:04:47.96 cD1rLoeX.net
>>443
文字 x,y を超越数とすると、x,y には
複素数の位相構造か実数の大小関係による位相構造が入って
扱いが難しくなるから、通常の代数的な文字のようには扱えなくなる訳で。
西岡氏は資料をどんどん挙げると喜ぶと思う。
一家で超越数関係のことやっていて、息子には斉次君もいるからな。
518:１３２人目の素数さん
17/04/15 16:09:25.25 cD1rLoeX.net
>>443
>>446の訂正：斉次君 → 斉治君
519:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 16:19:45.22 4+NnYKN2.net
>>434
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>あと、あの人の個人的事情を書いたサイトや pdf とかを挙げるのは止めておいた方がいい。
>チンプンカンプンでよく分からんが、超越数というよりむしろ
>ディオファンタス幾何とかいう難しい数論幾何の一分野をしている人だ。
おっちゃんな、ここらになると、Bakerもディオファンタスも平田も塩川も同じなんよ
全部、かなり、チンプンカンプンやから・・（＾＾；
けど、おっちゃんBaker分かるか？ 昔、数学セミナーでBakerのフィールズ賞記事を読んだ記憶があるが、effctive な定量評価ということだけ記憶にあるが、なにがそんなにエライのか分からなかったな
広中とトンプソンも同時か・・
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.hatenablog.com)
(抜粋)
2017-02-20 ベイカーの定理と類数１の虚二次体の決定 tsujimotterのノートブック 日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート
(抜粋)
*1:ちなみに，アラン・ベイカーは岩澤理論の研究者であるジョン・コーツの師匠です。コーツの有名な弟子として，フェルマーの最終定理を解決したアンドリュー・ワイルズがいます。したがって，ワイルズにとって，アラン・ベイカーは師匠の師匠にあたります。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
アラン・ベイカー（Alan Baker、1939年8月19日-）はロンドン出身のイギリスの数学者。王立協会フェロー。数論、特に超越数の理論の研究で知られる。1970年、31歳の時に、ディオファントス方程式に関する功績により、フィールズ賞を受賞した。
彼はユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドンのハロルド・ダベンポート（英語版）の下で数学の研究を始め、後にケンブリッジ大学に移った。専門は他にディオファントス幾何（英語版）などである。教え子にジョン・コーツらがいる。
1970年
アラン・ベイカー / 広中平祐 / セルゲイ・ノヴィコフ / ジョン・G・トンプソン
520:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 16:27:46.52 4+NnYKN2.net
>>446-447
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>文字 x,y を超越数とすると、x,y には
>複素数の位相構造か実数の大小関係による位相構造が入って
>扱いが難しくなるから、通常の代数的な文字のようには扱えなくなる訳で。
解析とか位相の見方はそうかも知らんが
代数的には、Q上の超越拡大やね（下記）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数
(抜粋)
例
・n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。
ベクトル空間の次元とのアナロジー[編集]
ベクトル空間の次元の理論との類似がある。代数的に独立な集合は線型独立な集合と対応し、L が K(S) 上代数的であるような集合 S は spanning sets と対応し、超越基底は基底と対応し、そして超越次数は次元と対応する。
521:１３２人目の素数さん
17/04/15 16:40:18.99 cD1rLoeX.net
>>449
>おっちゃんな、ここらになると、Bakerもディオファンタスも平田も塩川も同じなんよ
>全部、かなり、チンプンカンプンやから・・（＾＾；
>けど、おっちゃんBaker分かるか？
私の考えでは、超越数論にそんな大道具はいらない。1とiは実数体R上線型独立で
複素数は a+bi a,b∈R と表せるんだから、実数の超越性を考えれば十分。
必要な代数は、せいぜい微分体や代数的従属性と実2次体の数論あたりまでで十分。
ゲルフォントシュナイダーの証明にも、代数ではなく一変数複素解析の方が使われている。
むしろ、私の場合、ディオファンタス近似や連分数、普通の解析やリー群の考え方の方が役に立つ。
522:１３２人目の素数さん
17/04/15 16:43:42.63 cD1rLoeX.net
>>449
あとは幾何も役に立つか。
523:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 16:44:16.76 4+NnYKN2.net
>>446-447
>西岡氏は資料をどんどん挙げると喜ぶと思う。
>一家で超越数関係のことやっていて、息子には斉次君もいるからな。
へーえ、おっちゃん、えらく数学業界に詳しいね（＾＾；
ああ、微分方程式系をやっているから、おっちゃんの分野に近いのかね？
Nishioka, K., Nishioka, S.は親子共著かな
URLﾘﾝｸ(yudb.kj.yamagata-u.ac.jp)
(抜粋)
山形大学 研究者情報 ニシオカ セイジ 西岡 斉治 理学部 数理科学科 職名 准教授
取得学位 【 表示 ／ 非表示 】
博士（数理科学），東京大学，2010年03月
修士（数理科学），東京大学，2008年03月
学士（理学），東京都立大学，2006年03月
所属学会・委員会 【 表示 ／ 非表示 】
日本応用数理学会
URLﾘﾝｸ(sci.kj.yamagata-u.ac.jp)
(抜粋)
Preprints
Nishioka, S., Transcendence of solutions of q-Airy equ
524:ation. Published Nishioka, K., Nishioka, S., Autonomous equations of Mahler type and transcendence, Tsukuba Journal of Mathematics, Vol. 39, No. 2 (2015), 251--257. Nishioka, K., Nishioka, S., Algebraic theory of difference equations and Mahler functions, Aequationes Mathematicae, Volume 84, Issue 3 (2012), 245--259. doi:10.1007/s00010-012-0132-3 Nishioka, S., Transcendence of Solutions of $q$-Painleve Equation of Type $A_7^{(1)}$, Aequat. Math., 79 (2010), 1--12. doi:10.1007/s00010-010-0007-4 Proceedings http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/171257 西岡斉治, 差分Riccati方程式の可解性, 数理解析研究所講究録1765「可積分系数理の多様性」 (2011), 64--71.
525:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 16:46:16.39 4+NnYKN2.net
>>450-451
おっちゃん、どうも、スレ主です。
へーえ、おっちゃんえらいね。見直したわ
証明むちゃくちゃやけど・・（＾＾
526:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 16:49:15.61 4+NnYKN2.net
>>411
AI本来ました
読んだら、報告します（＾＾
527:１３２人目の素数さん
17/04/15 17:02:40.19 cD1rLoeX.net
>>452
>へーえ、おっちゃん、えらく数学業界に詳しいね（＾＾；
微分体の理論の序文に、その本では扱っていない「差分体」という言葉が現れることと、
Wikiの「超越数」の日本語のページに西岡啓二氏と久美子氏が揃って出てくることが多いことと、
斉治君が書いたその pdf を読んで、微分代数を研究している西岡啓二氏と似たことをしていると感じたことから、
直観的に、西岡啓二、久美子、斉治は一家なんだな～と思った。
別に学会に属している訳ではない。
528:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 19:04:20.68 4+NnYKN2.net
西岡 啓二先生
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
研究者氏名 西岡 啓二 ニシオカ ケイジ 所属慶應義塾大学 部署環境情報学部環境情報学科
職名教授 学位理学 (大阪大学)
書籍等出版物
微分代数から差分代数へ
西岡 啓二
[藤沢] : 慶應義塾大学湘南藤沢学会 2014年6月
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
自己紹介
生まれ 1951年、大阪市浪速区
学んだところ 大阪大学理学研究科博士課程
学んだこと 微分代数
授業関連
数理と社会
まとめ2
まとめ3
まとめ4
まとめ5
まとめ6
まとめ7
まとめ8
まとめ9
まとめ10
まとめ11
補足と文献
変化の理論
授業内容
問題の訂正と解答
模擬問題の解答
数理と現象
フラクタルの理論
数理モデル
暗号と有限幾何
グラフ理論
現代数学
研究会
確率過程
講演、談話
神戸
Painleve I の線形化方程式の Galois 群
Painleve I の解の代数的独立性
数理解析研究所
代数的微分方程式の変分方程式
Memoirs
Brownawell-Kubota の定理について
529:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 19:40:53.27 4+NnYKN2.net
>>455
微分体の理論ねー
東京の丸善で見た記憶がある
名古屋の梅村先生とか
Painleveは神戸大がやっていた記憶がある・・
530:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 19:50:10.04 4+NnYKN2.net
>>455
>西岡啓二氏と久美子氏が揃って出てくることが多い
なるほど
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
No.1060 数論とその応用 Number Theory and its Applications 研究集会報告集 1997/11/10～1997/11/14 金光 滋 Shigeru Kanemitsu
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
10. Transcendence of Rogers-Ramanujan continued fraction and reciprocal sums of Fibonacc
531:i numbers (Number Theory and its Applications)---91 リル大学 / 慶応義塾大学環境情報学部 / 慶応義塾大学経済学部 / 慶応義塾大学理工学部 / 西岡 啓二 / 西岡 久美子 / 塩川 宇賢 (Duverney, Daniel / Nishioka, Keiji / Nishioka, Kumiko / Shiokawa, Iekata)
532:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 19:57:52.42 4+NnYKN2.net
西岡先生退職か
URLﾘﾝｸ(www.jukushin.com)
慶應塾生新聞 2016年度定年退職者 発表 2017年2月10日
(抜粋)
西岡啓二（環境情報学部教授）
西岡久美子（経済学部一般教授）
西岡久美子教授は選択定年である。
533:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 20:28:01.74 4+NnYKN2.net
>>448
ついでにご紹介
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
Diophantus 近似 平田典子 数学 Vol. 64 (2012) No. 3 p. 254-277
534:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 20:43:12.23 4+NnYKN2.net
>>432 補足
>（私は、そもそも系３の「1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数」という条件とベイカーの定理1との関係があまり理解できてないレベルだが・・）
ネット検索で良い資料がヒットしない
仕方ないので、「超越数とはなにか」西岡久美子 ブルーバックスを引っ張り出してきた
この本はすごいね。ブルーバックスなのに、読者レベルを大学数学科２年以上を想定しているんじゃないかな
もしこの本を読むのが三日前なら、読めなかったろう
おっちゃんのカキコで、ベイカーだリウヴィルだリンデマだゲルフォント・シュナイダーだと見ていたから
なんとかついて行けるようになったけど・・・
まあ、しかし、和書の数学専門書で、超越数についてこのレベルを書いてある本がほとんどないね。塩川くらいか
超越数とはなにか」西岡久美子 第３章の後半に、代数的数に対する線型独立の記述があったね。これでいいんや（＾＾
535:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 21:05:54.79 4+NnYKN2.net
>>461 つづき
とすると
>>432より
おっちゃんの命題>>357
「a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とする。
このとき、任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。」
に対して、ベイカーの定理1 の 系3を使えるようにするために、この命題を書き換えると
「a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とする。
（a_1,a_2 ,…, a_n は、0 でも 1 でもない代数的数である）
このとき、1, b_1, b_2,…, b_n が、有理数上線形独立な代数的数に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。」
つまり
b_1, b_2,…, b_n 任意の代数的無理数
vs
1, b_1, b_2,…, b_n が、有理数上線形独立な代数的数
の対比が問題となる
後者でも、b_1, b_2,…, b_n は、代数的無理数なのだ（∵ 1とb_j （ｊ＝1～n）は、有理数上線形独立）
但し、任意ではなく、有理数上線形独立という制約がつく
で、問題は、ベイカーの定理1 の 系3から外れる部分をどうやって証明するのか？
そもそも、有理数体上線形独立という制約を外しても、命題が成立するのだろうか？ それがよく分からない・・（＾＾；
536:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 21:13:02.14 4+NnYKN2.net
>>461
>この本はすごいね。ブルーバックスなのに、読者レベルを大学数学科２年以上を想定しているんじゃないかな
>もしこの本を読むのが三日前なら、読めなかったろう
和書では貴重やね
天才は別として、一般学生は
これは副読本として見ておいた方がいいだろう
537:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 21:37:30.71 4+NnYKN2.net
ブルーバックス 西岡本では
ベイカーの定理 を、wikipedia の対偶の形で示しているんだね
なるほど。この形の方が証明が易しいんだ（＾＾
538:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/15 22:37:29.67 4+NnYKN2.net
こんなのが・・（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.jams.or.jp)
一般社団法人 国際数理科学協会会報 No.81, May 2012(pdf 432kb)
＊寄稿(2)
数学とは何か ― 数学と人間について
群馬大学名誉教授・アヴェイロ大学研究員 齋藤三郎
6 天才少年
10 奇妙な発想
上記少年前出祐亮君については、次のようなことがあり、ブログ記事に書きました: (前
出君の整数に関する予想:2011.2.6.12:00
今前出裕亮君とスカイプをしました。前出君は、次のような予想をしていますが、如何で
しょうか?:
p を7 以上の素数とする。1 をp ?? 1 個並べて得られる、整数はp で割り切れる。
p が、29 まで、筆算で実験して、
539:確認していると言うのです。これは正しそうですが、証 明は簡単でしょうか。) ? これは正しいことを、澤野嘉宏氏とL. P. カストロ教授によっ て独立に証明されました。 普通は7 まで成り立つので、一般にも成り立つと予想すると思いますが、これは逆で、7 以上では成り立ち、それまでは成り立たないというのですから、発想が天才的としか言い ようがない。 http://www.jams.or.jp/isms_top_j.html 一般社団法人 国際数理科学協会 http://www.jams.or.jp/Kaiho.html 国際数理科学協会会報
540:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
17/04/16 06:27:56.54 ScaBoXOo.net
>>462 補足
>で、問題は、ベイカーの定理1 の 系3から外れる部分をどうやって証明するのか？
>そもそも、有理数体上線形独立という制約を外しても、命題が成立するのだろうか？ それがよく分からない・・（＾＾；
１．後者の「有理数体上線形独立という制約を外しても、命題が成立するのだろうか？」について
・予想として、”ｘｘは超越数である”は、超越数同士の積などでは当然だろう。なんの驚きもない
∵実数の集合において、超越数の補集合は、ルベーグ理論では零集合。つまり、有理数や代数的数になる確率を考えると、それは０。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 測度論 零集合 (null set )
・しかし、”ある二つの超越数同士の積が、超越数である”を、証明する手段をまだ現状の数学は、ほとんど手にしていない
例えば、積ｅπは、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 超越数
・つまり、個々の(a_j)^{b_j} （ｊ＝1～n）たちはベイカーの定理から超越数になるから、零集合からの予想として、それらの積は超越数だろうと言える。が、完全な証明は難しいかな・・（下記）
２．前者の「ベイカーの定理1 の 系3から外れる部分をどうやって証明するのか？」について
・b_1, b_2,…, b_n たちのベイカーの定理の制約（線形独立に関する）を外して、数学的な証明をしようとすると、積ｅπさえ扱えない数学の現状では、まあ難しいのかなと思う
・a_1,a_2 ,…, a_n たちには、素数というしばりがある。だが、その代数的無理数乗の積を、超越数という視点からどう扱うか？ もし、実現できたら、専門誌に投稿できる論文になるな（＾＾
ということで、後はおっちゃんに任せる～（＾＾；