16/12/30 14:27:32.76 zFouRTR2.net
さて
（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>2 再録
１．時枝問題（「箱入り無数目」数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」
２．続けて時枝はいう
私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
～は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/～の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd(実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字
3:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 14:27:51.73 zFouRTR2.net
３．つづき
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列S^1,S^2，・・・，S^lOOを成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
第1列～第(k-1) 列，第(k+1)列～第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， S^1～S^(k-l),S^(k+l)～SlOOの決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・.いま
D >= d(S^k)
を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってS^k(d)が決められるのであった.
おさらいすると，仮定のもと， s^k(D+1)，s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・を見て代表r＝r(s~k) が取り出せるので
列r のD番目の実数r(D)を見て， 「第k列のD番目の箱に入った実数はS^k(D)＝r(D)と賭ければ，めでたく確率99/100で勝てる.
確率1-ε で勝てることも明らかであろう.
(補足)
S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・：ここで^kは上付き添え字、(D+l)などは下付添え字
4:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 14:28:14.06 zFouRTR2.net
（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>614 再録
数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
さらに、前スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう.
確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」
（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>176 より 再録
数学セミナー201511月号P37 時枝記事より
「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
5:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 14:28:40.83 zFouRTR2.net
>>4
補足
（引用開始）
「(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
・・・
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
（引用終了）
これは、(1)無限を直接扱う を否定している。だから、残る選択肢は、(2)有限の極限として間接に扱う だ
ところが、上記で見たように、(2)有限の極限として間接に扱う と、無限数列のしっぽによる
6:同値類分類は、相性がよくない 果たして、(2)有限の極限として間接に扱う で、無限数列のしっぽによる同値類分類が完遂できるのか？ 大きな問題だろう
7:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 14:29:01.59 zFouRTR2.net
>>5
前スレより
651 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/12/03(土) 18:40:32.23 ID:6Rgz8i9T [39/39]
時枝記事の問題点>>114-115 を、まとめておく
１．そもそも、可算無限の数列のしっぽなんて、「同値から推移律確認！ はいおわり」 それですむ話じゃないだろう
２．コーシー列はヒルベルト空間内だが、時枝記事のR^Nはヒルベルト空間外。ヒルベルト空間外の数列は扱いが難しい。ま、そこらがトリックのネタだろう
３．”しっぽが一致する”を実際の数列について、判別する方法（実行方法）が与えられていない（絵に描いた餅だ。数列の最初から見て行っては終わらない）
４．決定番号があやしい。特に、決定番号の確率分布がすそが重い（超ヘビー）確率分布になるから、99/100が言えない（∵大数の法則も中心極限定理も不成立だから）
５．さらに、確率分布の変数として、決定番号を見たときに、定義域は[1, ∞)となる。だから、∞まで考える必要がある。この点からも、99/100は簡単に言えない
６．０～９の数を箱に入れる極簡単なミニモデルでも、可算無限数列のしっぽは、現代数学では扱えない
（このミニモデルでは、実数の無限小数展開と平行して論じられるので、便利なのだが）
まして、任意の実数が箱に入る場合（つまり１つの箱に連続無限大の自由度があるモデル）においておや
8:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 14:29:30.57 zFouRTR2.net
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
674 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 23:02:43.81 ID:MokdApDK [41/44]
>>654
>無限級数に対してよくある誤解
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
新たな客は1人どころか、複数でも、（可算）無限でもよい。例えば、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、3号室の客を6号室へ、…、n 号室の客を 2n 号室へ、…と移せば、1号室、3号室、5号室、…つまり奇数号室は空室になるから、無限の客を新たに泊めることができる。
さらに次のようなこともできる。それぞれに無限の乗客が乗った無限台の車がホテルに乗りつけたとする。この場合、まず奇数号室を上のようにして空け、1台目の乗客を 3n（n = 1, 2, 3, …）号室に、2台目の乗客を 5n（n = 1, 2, 3, …）号室に、…というふうに入れる。i 台目の乗客は pn（ここで p は i + 1 番目の素数）に入れればよい。
現実にある（2室以上ある）有限ホテルでは、当然奇数号室の数は全室数より少ないが、無限ホテルではそうではない。数学的には、全室からなる集合の基数（有限集合における要素の個数に当たる）は、その真部分集合である奇数号室すべての集合の基数と等しい。これは無限集合の特徴である。この可算無限集合の基数は アレフ 0 と表される。
（引用おわり）
9:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 14:29:50.16 zFouRTR2.net
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
675 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 23:11:52.43 ID:MokdApDK [42/44]
>>654
>無限級数に対してよくある誤解
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
デデキント無限
デデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。それはつまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。
選択公理との関係
整列可能な任意の無限集合はデデキント無限である。
ACは任意の集合が整列可能であることを述べた整列可能定理と同値であるから、ACから無限集合はデデキント無限集合であるということが簡単に導かれる。
10:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 14:30:08.96 zFouRTR2.net
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
507 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/10(土) 14:08:29.04 ID:q7Skbg74 [7/14]
>>506 つづき
上記のように解析においては、有限と無限はあまり混乱しないが
代数においては、有限と無限の言葉使いがよく混乱する
例えば、有限単純群の理論がある URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 単純群 - Wikipedia
有限単純群の中に、いくつかの無限系列の族がある。簡単な例では、Zp ? 素数位数の巡回群。素数pは考えている範囲では有限だが、取り得るp値の範囲としては無限だ
有限と無限の言葉使いの混乱の例はさておいて
いま確率が問題になっているのだから、決定番号d(s)の値域dom(d(s))がどうなっていて、dom(d(s))の範囲がどうかとか、d(s)の平均値や分散、標準偏差・・・
そういう確率分布を特徴づける値がどうかと
その場合には、dom(d(s))の範囲は無限大まで考えるべし、正規分布同様にだ
11:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 14:31:08.26 zFouRTR2.net
前スレ26より
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
量子系について - 量子系はなぜヒルベルト空間で記述されるのでしょう... - Yahoo!知恵袋: 2008/5/19
量子系はなぜヒルベルト空間で記述されるのでしょうか？
ヒルベルト空間は内積(ノルム)が定義され要素の列がコーシー列となる空間のことだと思いますがなぜこれらの性質が必要となるのですか？
ベストアンサーに選ばれた回答 phd_ninoさん 2008/5/20
なぜ、ヒルベルト空間が必要かはお答えできませんが、
少なくとも交換関係を導くためにはヒルベルト空間が必要です。
ノルムが定義されないと、交換関係が導かれません。
完備性が物理的になぜ必要かは、私ははっきりは知りませんが、
量子力学の固有値をヒルベルト空間内のベクトルとして扱うことと関連しているのではないでしょうか？
12:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 14:44:27.18 zFouRTR2.net
前 スレ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:666番)
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2016/06/19 - 2 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2016/06/19(日) 04:50:40.78 ID:suG/dCz5: （時枝問題をまだ引っ張ってます） 前々スレ>>2 再録 （現代 ...... ホイテカ・ワトソンと一緒で、そういうのを持ってると自分の肥しになり ますわ。時々眺める ...
数学の本 第34巻 - 2ちゃんねる
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2009/06/22 - あのホイテカ・ワトソンもそんな感じですわな; 95 ：132人目の素数さん：2009/07/11(土) 00:32:44: 要するにそれ以外は、ほとんどすべてダメだと 森先生は解析概論についてゆうておる とある物好きが、過去の遺物としての、興味ある単なる ...
代数学・幾何学・解析学スレッド - 2ちゃんねる
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2010/09/09 - 17 ：132人目の素数さん：2010/09/09(木) 23:36:03: なんだ、代数学・幾何学・解析学の全ての手法を使う分野のスレ ...... 556 ：猫は一匹180円 ◇MuKUnGPXAY ：2011/11/20(日) 12:09:27.03: ホイテカ・ワトソンにも書いてあるんじゃない ...
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2009/12/26 - たとえば、数学をMASTERできた人のやりかたをまねるとか、名著と呼ばれるものを読みつくすとか、数学の歴史を調べてみるとか、歴史上の数学者が何故難問をとけたのかを探る ...... そやからホイテカ・ワトソンでもっちゅうか数学科向けには
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13:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 14:45:06.07 zFouRTR2.net
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oku.com
がNGワードだった
14:１３２人目の素数さん
16/12/30 15:17:59.50 DA9ugHgO.net
前スレの書き込みに対して
> 「正の無限大に発散する」場合も、極限は存在するよ・・、おい
スレ主は元々
> Δrは、個別には有限の数列の長さだが、確率を考えるときは、集合としては、数列の有限の数列の長さに
> 上限はなく、無限大の極限を考える必要がある
と書いているでしょう
それでたとえΔrの極限が存在しても極限をとる前に存在していた0[n]の開始番号がΔrの極限をとると無くなるので
Δrの極限から決定番号を求めることができないと言っている
> 決定番号がlim →∞ になっても、∞－∞＝０に限られないんだよ
> ∞－∞＝１も可能だな
これは間違いで決定番号の極限に関しては∞－∞＝０になる
自然数全体の集合の順序数をωと書くことにして任意の有限集合の順序数をnと書くことにすると
n + ω = ω ≠ ω + n であってこれを用いれば
[An_{1}{?}, 0[n]_{?+1}{∞}]のように無限数列を書いた場合
An_{1}{?}が有限数列であれば0[n]_{?+1}{∞}は無限数列となり (n + ω = ωに対応)
An_{1}{?}が無限数列であれば0[n]_{?+1}{∞}は長さが0(つまり∞－∞＝０)にならなければならない (ω ≠ ω + nに対応)
決定番号の極限に関して∞－∞＝１ならばω = ω + 1となって矛盾する
15:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 15:51:27.67 zFouRTR2.net
>>11
Whittaker-WatsonのA Course of Modern Analysis
正直、この本はいままで見てないな
訳は下記か・・、記憶がない・・
URLﾘﾝｸ(wwwhep.s.kanazawa-u.ac.jp)
数和 モダンアナリシス E.T.Whittaker, G.N.Watson 宇野書店 無限の取扱いと解析函数への入門 主要な超越函数の解説 translator:佐藤常三,洲之内治男, 所在不明
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ワトソンと共著、佐藤常三・洲之内治男 訳、「モダンアナリシス 解析学の方法 第1冊」、宇野書店、1967年。
ワトソンと共著、佐藤常三・洲之内治男 訳、「モダンアナリシス 解析学の方法」、新科学出版社、2001年。
ワトソンと共著、正野重方 訳、「解析学」、文政社、1943年。
欧文の著作・参考文献。電子版を無料公開しているものも多い。 {{:en:Wikisourceauthor|Edmund Taylor Whittaker}}
A Course of Modern Analysis. 1902.
16:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 16:24:21.76 zFouRTR2.net
>>13
ID:DA9ugHgOさん、端的に書かせて貰って悪いが
あなたは、いわゆる文系の数学で終わって、いま趣味で大学レベルの数学の勉強をしていると見た
Y or N 嘘でも良いから、答えてくれ
17:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 16:38:42.41 zFouRTR2.net
>>14
R・クーラン、D・ヒルベルト 『数理物理学の方法』は有名だし、手に取ったことはある
まあ、買えなかったが
スミルノフ高等数学教程は、大学の図書館にそろっていたね（大きな書店にもあった）
これも眺めただけだが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リヒャルト・クーラント
(抜粋)
リヒャルト・クーラント（Richard Courant, 1888年1月8日 - 1972年1月27日）は、ドイツおよびアメリカ合衆国の数学者。
ユダヤ人だったクーラントは1933年、同胞達よりも早くドイツを脱出し、1年後ケンブリッジ大学の、1936年にはニューヨークへ渡りニューヨーク大学の教授となった。そこで大学院での数学研究の学会立ち上げの仕事を与えられ大成功した。クーラント数学研究所（1964年に改名）は数学で最も権威ある研究所の1つであり続けている。
彼の著名な組織的才能とは別に、クーラントは数学の業績でも名高い。彼の書いた教科書Methods of mathematical physics（邦題：『数理物理学の方法』）は80年以上後もいまだに使われている。
ハーバート・ロビンズと共に一般書What is Mathematics?（邦題：『数学とは何か』）はいまだに出版されている。クーラントの名は元々技師によって発明された有限要素法でも知られており、彼はそれを確固たる数学の手法へ置いて様々な問題へ応用した。この方法は今、偏微分方程式を数量的に解く最重要な方法となっている。
アメリカ合衆国ニューヨークで死去。84歳没。
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
目次情報： スミルノフ高等数学教程 全12冊 - とね日記:2016年04月04日
(抜粋)
「超弦理論への最短ルート： ４０冊の物理学、数学書籍」
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
という記事で紹介した「スミルノフ高等数学教程」は物理数学を学ぶための決定版。気になっている方もいることだろう。全巻の目次情報を掲載しておくので購入するかどうかの判断材料としてお使いいただきたい。
18:１３２人目の素数さん
16/12/30 16:44:33.70 DA9ugHgO.net
>>15
前スレに
> 見るところ、甘くて大学１年か。極限が分かってない？ 高１？
とスレ主は書いていたからレベルにこだわりたかったらそれで良いのではないですか
他の人にとってはスレ主の理解度がどのレベルなのか判断する目安になるでしょう
19:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 17:29:56.05 zFouRTR2.net
>>17
了解
>あなたは、いわゆる文系の数学で終わって、いま趣味で大学レベルの数学の勉強をしていると見た
>Y or N 嘘でも良いから、答えてくれ
に対して、否定はしないってことね
正直だね
ま、うそついても墓穴を掘るだけだろうが
ところで、「∞－∞＝不定」って、理系の常識なんだよね
順序数をωを持ち出して正当化しようという気持ちは分かるが、正直順序数 ωは、物理などでは使わないから、よく理解できていないところがあるが、正当化できないと思うよ
例えば、不老不死の神様が居て、弟が１年後に生まれた
年の差１は、何年経っても変わらないだろ。お互い年をとって無限に生きても、年の差１は不変だ
で、弟が生まれるのは１年後に限らない
ｎ年後が普通に考えられる
だから、「∞－∞＝ｎ」だ
ところで、ｎを年単位にしているが、端数を考えると、任意のｒ（実数）を考えられる
だから不定なんだよ
ところで、数列で元の数列の長さを兄と思いなよ
決定番号が弟だよ
20:１３２人目の素数さん
16/12/30 17:48:14.13 w9LCLLk2.net
＞[1,∞)は開集合であることにご注意
that tell us his level well.
21:１３２人目の素数さん
16/12/30 17:49:01.22 3TupPN97.net
前スレ>678宛て
＞>実数列 {d(n)} は正の無限大に発散するから、決定番号の極限は存在しない。
＞
＞そういう言い方がさ、数学科含む理系の人が聞いたら、目を丸くする表現だわさ、やれやれ
極限は通常は実数の値として定義する。
実数列 {a_n} が極限を持つとき {a_n} は収束する。
{a_n} が極限を持たないとき {a_n} は発散する。
ここに、{a_n} が n→+∞ のとき振動するときも {a_n} は発散する。
収束性に関する転換法により、{a_n} が極限を持たないことと {a_n} は発散することとは同値である。
だから、{a_n} が発散することがいえたら、{a_n} が極限を持たないことが従う。
こういうことは、殆ど高校数学の範囲に入る。
元々、スレ主の高校レベルの確率や極限の理解不足から生じて長引いた話だろう。
22:１３２人目の素数さん
16/12/30 17:51:37.56 +x/x8/0M.net
スレ主は極限をとっても属する同値類が変わらないと思っているのか。おめでてーな
23:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 18:06:46.53 zFouRTR2.net
>>18-21
えーと、順序数ね（下記）
下記では、順序数の演算で和は定義できるが、差は定義されていないよ
だから、>>13の「決定番号の極限に関して∞－∞＝１ならばω = ω + 1となって矛盾する」は不成立だな
（下記の拡張された複素平面も見てね。”拡張された複素平面”理系の複素関数論やれば常識だが）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序数
(抜粋)
数学でいう順序数（じゅんじょすう、英: ordinal number）とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
順序数の演算
順序数の間には自然数の場合と同じく和、積、冪が定義できる。特に有限順序数の間の演算は通常のそれと一致する。
注釈
１^ 本項目では、各自然数が自分自身より小さな自然数全体の集合と等しくなるような仕方で自然数が定義されているものとする。例えば、0 = ? , 1 = { 0 } , 2 = { 0, 1 } である。
(引用終り)
順序数と同様な話は、下記の拡張された複素平面でもある
URLﾘﾝｸ(www.eng.niigata-u.ac.jp)
無限遠点と拡張された複素平面
(抜粋)
∞ という「数」をある程度きちんと導入することもできて、とくに複素数全体の集合 C に ∞ という1点を付け加えた集合では微分のような演算もきちんと定義される。ここでは複素数の1つとしての ∞ の取り扱い方について簡単に説明しよう。
24:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 18:20:07.77 zFouRTR2.net
極限からみで、こんなのがヒットしたので貼っておく
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
論法の形成過程の考察 : 解析学の基礎の転換の要因 成城大学立教大学 中根美知代 数理解析研究所講究録 1195 巻2001 年
(抜粋)
1. はじめに
今日多くの微分積分学の教科書は, この論法は, フランスの数学者
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) によりとられたものとしている.
ところがε - δ 論法が登場したといわれているCauchy の代表的な教科書『解析学教程』
はそのようには書かれていない. そこではε - δ 論法で回避したはずの「限りなく近づく」
という表現を全面的に打ち出して様々な概念が定義されているのみならず, 無限小も概念
を定義したうえで活用して, 微積分の理論を展開している. その後にCauchy が書いた教
科書『微分積分学要論』(1823 年),『微分学講義』(1829 年) においてもこの状況はほと
んど変わっていない. 私達が期待したようなことをCauchy はやっていないのである.
教科書の歴史的記述は, 原典や数学史の専門的な文献にあたったうえでなされたとは限
らないので, むやみに信頼しないほうがいい場合もある. ところが数学史の専門的研究も
また, Cauchy をε - δ 論法の創始者・厳密な解析学を構築した人と位置づけているのであ
る.
Cauchy が敷いた路線をweierstrass が継承し, 今日見るような解析学が完成したとす
るのが先行研究の見解であるが, この道のりは, 「解析学の厳密化」の?言で片づけられ,
十分に論じられていないのが現状_{で}ある}.2)$ 本報告では, この過程もあらためて注目し, 解
析学の基礎づけの転換の要因を探っていきたい.
25:１３２人目の素数さん
16/12/30 18:33:50.10 +x/x8/0M.net
極限を理解していないスレ主らしい的外れなコピペだな
26:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 19:42:06.87 zFouRTR2.net
>>24 じゃ、貴方たちにはこれを
URLﾘﾝｸ(park20.wakwak.com)
ｎ→∞
(抜粋)
「無限大を記号で表すと∞になる。可能無限の立場では、この記号は認められていない。これは実無限の記号さ」
「でも、魅力的な記号だわ。うっとりするほど、引き込まれる記号よ」
「８を横にしただけだろう？。それだけで、これほど魅了されるのか？」
「サクくん、あなたにはこの記号の魅力がまだわかっていないのよ。これは、数学を超えた神聖な記号なのよ」
「超えすぎているさ」
数学を超えた記号が数学内で使用されていることに、サクくんはすでに気がついていました。
「でも、便利よ」
「確かに∞は便利な記号であることは認めるよ。だからこそ、可能無限でも使用しているのさ。たとえば、ｎ→∞という記号は、可能無限では『ｎという自然数を無限に大きくして行く』という意味さ。これを『ｎを無限大に近づける』と読んではいけないし、『ｎを無限大にする』と読んでもいけない」
「読み方に規定があるのね」
「もちろんだ。誤解を招かない読み方を守ることは、とても大切さ。ｎをいくら大きくしても、ｎは無限大にはまったく近づかない。ｎと∞の間には、決して埋めることのできない概念上の大きな隔たりがあるからさ。この隔たりを埋める作業は、拡張と呼ばれている論理の飛躍だけだ」
「ｎはどこまで大きくしても自然数であって、無限大という名前の非自然数には変化しないのね。でも、無限先で自然数ｎは∞という非自然数に変化できると考えたほうがかっこ良くないかしら？」
「かっこ良いか悪いかの問題ではない。俺たちが問題にしているのは、記号が実無限で、意味は可能無限だということだ。ここにも、実無限と可能無限の混在が認められるのさ。でも、可能無限と実無限の違いをしっかり理解しながら使う限りは、あまり混乱しないですむ。この２つを見分ける力がないと、パラドックスが発生して頭の中が混乱するだけさ」
ロマンチックな気分に浸っているミサさんを現実に引き戻したサクくんは、女性の心理をあまり理解していないようでした。
「∞は無限大を表す記号さ。ｎ→∞は記号の組み合わせで、これ自体も立派な記号さ」
∞は、記号である。ｎ→∞も、記号である。
つづく
27:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 19:42:46.74 zFouRTR2.net
>>25 つづき
「∞は記号といっても、実無限の記号だ」
「すると、ｎ→∞も実無限の記号なの？」
「いいや、違う」
「ええ？」
ミサさんはびっくりしました。
「∞を言葉に直すと、『無限大』になる。しかし、ｎ→∞を言葉に直すと、『ｎを無限大に近づける』にならずに、『ｎを無限に大きくする』になる」
「ｎ→∞は∞を含んでいるのに、これを言葉になおすと∞が消えてしまうの？」
「そうさ。記号では無限大を含んでいるのに、それを言葉に変換すると無限大が消えるのさ。つまり、実無限が可能無限に変化したのさ」
∞は、実無限の記号である。
ｎ→∞は、可能無限の記号である。
「なるほど、実無限の記号を一部だけ使いながら、思考からは実無限をみごとに消し去ったのね」
「昔の人は、このような巧みな技を使っていたのさ。たぶん、無意識的だと思うよ」
何という巧妙な思考でしょう。ミサさんは改めて、昔の人たちの数学の技を見直しました。
「ちなみに、ｎ→∞という記号の組み合わせが分解できないことは知っているか？」
「分解できるわよ。ｎと→と∞にね」
「ｎは自然数で、∞は無限大だ。では→はどんな論理記号なのだ？」
「Ａ→Ｂという論理式と違うわね」
「もちろん違う。ｎ→∞を『ｎならば∞である』と読む人はいないだろう。これは∞を含んでいるけれども、分解できない記号さ」
「つまり、記号の組み合わせの形をしているけれども、形式上の組み合わせにすぎないのね」
「そうさ」
「それならば、サクくん。limから切り離すこともおかしいわ」
「どうしてだ？」
「lim という記号は、これ１個だけで意味上の最小単位
ｎ→∞
でしょう。これを分解することはできないはずよ」
痛いところを突かれたサクくんでした。
(引用終り)
28:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 20:38:10.16 zFouRTR2.net
>>25
(抜粋)の(抜粋)
「確かに∞は便利な記号であることは認めるよ。だからこそ、可能無限でも使用しているのさ。たとえば、ｎ→∞という記号は、可能無限では『ｎという自然数を無限に大きくして行く』という意味さ。これを『ｎを無限大に近づける』と読んではいけないし、『ｎを無限大にする』と読んでもいけない」
「誤解を招かない読み方を守ることは、とても大切さ。ｎをいくら大きくしても、ｎは無限大にはまったく近づかない。ｎと∞の間には、決して埋めることのできない概念上の大きな隔たりがあるからさ。この隔たりを埋める作業は、拡張と呼ばれている論理の飛躍だけだ」
「ｎはどこまで大きくしても自然数であって、無限大という名前の非自然数には変化しないのね。」
「俺たちが問題にしているのは、記号が実無限で、意味は可能無限だということだ。ここにも、実無限と可能無限の混在が認められるのさ。でも、可能無限と実無限の違いをしっかり理解しながら使う限りは、あまり混乱しないですむ。この２つを見分ける力がないと、パラドックスが発生して頭の中が混乱するだけさ」
「∞は無限大を表す記号さ。ｎ→∞は記号の組み合わせで、これ自体も立派な記号さ」
∞は、記号である。ｎ→∞も、記号である。
「∞は記号といっても、実無限の記号だ」
「すると、ｎ→∞も実無限の記号なの？」
「いいや、違う」
「∞を言葉に直すと、『無限大』になる。しかし、ｎ→∞を言葉に直すと、『ｎを無限大に近づける』にならずに、『ｎを無限に大きくする』になる」
「ｎ→∞は∞を含んでいるのに、これを言葉になおすと∞が消えてしまうの？」
「そうさ。記号では無限大を含んでいるのに、それを言葉に変換すると無限大が消えるのさ。つまり、実無限が可能無限に変化したのさ」
∞は、実無限の記号である。
ｎ→∞は、可能無限の記号である。
「なるほど、実無限の記号を一部だけ使いながら、思考からは実無限をみごとに消し去ったのね」
「昔の人は、このような巧みな技を使っていたのさ。たぶん、無意識的だと思うよ」
何という巧妙な思考でしょう。ミサさんは改めて、昔の人たちの数学の技を見直しました。
29:１３２人目の素数さん
16/12/30 21:04:04.30 +x/x8/0M.net
s_1 = (1, 0, 0, 0, 0, 0, …),
s_2 = (1, 1, 0, 0, 0, 0, …),
s_3 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, …),
…
すなわち、nを自然数としたとき、数列s_nを初項から第n項までを1、それ以降を0とする数列とする。
このとき、すべての自然数nについて、s_nはs_1の同値類に属すのは明らか。
では、lim[n→∞]s_n はs_0の同値類に属すか？
これに理由をつけて答えてよ
30:１３２人目の素数さん
16/12/30 21:11:15.10 +x/x8/0M.net
では、lim[n→∞]s_n はs_1の同値類に属すか？
31:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 21:48:28.80 zFouRTR2.net
>>27
(抜粋)の(抜粋)の(抜粋)
「ｎ→∞という記号は、可能無限では『ｎという自然数を無限に大きくして行く』という意味さ。これを『ｎを無限大に近づける』と読んではいけないし、『ｎを無限大にする』と読んでもいけない」
「ｎをいくら大きくしても、ｎは無限大にはまったく近づかない。ｎと∞の間には、決して埋めることのできない概念上の大きな隔たりがあるからさ。この隔たりを埋める作業は、拡張と呼ばれている論理の飛躍だけだ」
「ｎはどこまで大きくしても自然数であって、無限大という名前の非自然数には変化しないのね。」
「俺たちが問題にしているのは、記号が実無限で、意味は可能無限だということだ。ここにも、実無限と可能無限の混在が認められるのさ。でも、可能無限と実無限の違いをしっかり理解しながら使う限りは、あまり混乱しないですむ。この２つを見分ける力がないと、パラドックスが発生して頭の中が混乱するだけさ」
「∞は無限大を表す記号さ。ｎ→∞は記号の組み合わせで、これ自体も立派な記号さ」
∞は、記号である。ｎ→∞も、記号である。
「∞は記号といっても、実無限の記号だ」
「すると、ｎ→∞も実無限の記号なの？」
「いいや、違う」
「∞を言葉に直すと、『無限大』になる。しかし、ｎ→∞を言葉に直すと、『ｎを無限大に近づける』にならずに、『ｎを無限に大きくする』になる」
「ｎ→∞は∞を含んでいるのに、これを言葉になおすと∞が消えてしまうの？」
「そうさ。記号では無限大を含んでいるのに、それを言葉に変換すると無限大が消えるのさ。つまり、実無限が可能無限に変化したのさ」
∞は、実無限の記号である。
ｎ→∞は、可能無限の記号である。
「なるほど、実無限の記号を一部だけ使いながら、思考からは実無限をみごとに消し去ったのね」
「昔の人は、このような巧みな技を使っていたのさ。たぶん、無意識的だと思うよ」
何という巧妙な思考でしょう。ミサさんは改めて、昔の人たちの数学の技を見直しました。
32:１３２人目の素数さん
16/12/30 22:05:56.54 DA9ugHgO.net
>>18
> 年の差１は、何年経っても変わらないだろ。お互い年をとって無限に生きても、年の差１は不変だ
前スレより
> ”lim_{m→∞}[An_{1}{m}, 0n_{m+1}{∞}]=An_{1}{∞}”が言えるかも知れないが、別のことも言えるよ
> 拡張実数では、普通の実数に対してm+1≠m だが、∞＋１＝∞ 成立だよ。ここらが分かってないと見た・・
スレ主は
33:0[n]_{∞+1}{∞}だと数列の始まりと終りが逆転して困るから自分で「∞＋１＝∞」 つまり年齢差をなくしているじゃないか
34:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/30 23:29:34.56 zFouRTR2.net
>>31
どうも。スレ主です。
あなたが言いたいことがよく分からないが
実無限とかlim_{m→∞}（可能無限）とか
無限がからむと、いろんなことが、言えるってことさ
でも、決定番号で、lim_{m→∞}（可能無限）が考えられるよというわけ
もちろん、∞とか、ωを考えることも可能さ
それは人が考えることだから、なんでも可能だよ（選択公理を使う使わないと同じことさ）
だが、今回の時枝記事に限っていえば、その前提は
>>2
１．可算無限個の箱
２．実数列の集合 R^N s = (s1，s2，s3 ，・・・)
３．決定番号は、任意の実数列Sと同値な代表r= r(s)とで、sとrとがそこから先ずっと一致する番号という定義（もちろん s,r ∈R^N ）
この３つは押さえておこうね
で、「可算無限個の箱」だから、これは実無限だよ
それから、問題は、これらの前提から
「100列で確率99/100」が数学的に厳密に導けるかの問題だというゴールも意識しておこう
決定番号で、∞とか、ωを考える必要は無いんじゃないかな？
lim_{m→∞}（可能無限）を考えれば十分だろ
35:１３２人目の素数さん
16/12/30 23:45:50.04 w9LCLLk2.net
Why do you ignore >>28?
36:１３２人目の素数さん
16/12/31 01:08:18.89 3V1BVKBo.net
>>32
> 決定番号で、∞とか、ωを考える必要は無いんじゃないかな？
> lim_{m→∞}（可能無限）を考えれば十分だろ
・決定番号が有限値でないことがあるから時枝の戦略は成り立たない
・キマイラ数列∈/R^Nが存在するから時枝の戦略は成り立たない
・決定番号の確率分布は裾が重いから時枝の戦略は成り立たない
・決定番号の確率分布では期待値や分散が求まらないから時枝の戦略は成り立たない
・R^Nはヒルベルト空間外だから時枝の戦略は成り立たない
・ヒルベルトのホテルのパラドックスを考えると時枝の戦略は成り立たない
・決定番号は宇宙に存在する原子数よりも大きくなるから時枝の戦略は成り立たない
・エントロピーはほとんど変化しないから時枝の戦略は成り立たない
・"確率の専門家"が疑問を呈したから時枝の戦略は成り立たない
・"院生クラスの誰か"が与太話とコメントしたから時枝の戦略は成り立たない
・なにはともあれ個人的に時枝の戦略は不成立だと思う
今は一番上のやつなｗ
釣り師も釣られ師もお疲れさん
よいお年を
37:１３２人目の素数さん
16/12/31 01:21:05.24 NLxhAFAx.net
スレ主からの回答がないけど、やっぱり極限を理解してないのか？
>>28-29でタイポしたからもう一度書くと
s_1 = (1, 0, 0, 0, 0, 0, …),
s_2 = (1, 1, 0, 0, 0, 0, …),
s_3 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, …),
…
すなわち、nを自然数としたとき、数列s_nを初項から第n項までを1、それ以降を0とする数列とする。
このとき、すべての自然数nについて、s_nはs_1の同値類に属すのは明らか。
では、lim[n→∞]s_n はs_1の同値類に属すか？
これに理由をつけて答えてよ
念のため言っておくと、ここでいう数列は普通の実数列、すなわち自然数から実数への写像、つまりインデックスは自然数だ。
自然数でないωや∞を（自分で何らかの定義をしなければ）インデックスにとることはできない。
38:１３２人目の素数さん
16/12/31 01:56:24.37 EYH44b4P.net
>>35
All he can do is run away.
39:１３２人目の素数さん
16/12/31 02:01:00.13 Q2SC3jm+.net
>>32
スレ主の引用では
> 可能無限では『ｎという自然数を無限に大きくして行く』という意味さ。これを『ｎを無限大に近づける』
> と読んではいけないし、『ｎを無限大にする』と読んでもいけない
> ｎをいくら大きくしても、ｎは無限大にはまったく近づかない。ｎと∞の間には、決して埋めることのできない
> 概念上の大きな隔たりがあるからさ。この隔たりを埋める作業は、拡張と呼ばれている論理の飛躍だけだ
> ｎはどこまで大きくしても自然数であって、無限大という名前の非自然数には変化しないのね。
時枝記事に出てくる極限
> (2)有限の極限として間接に扱う
を上の引用の言葉を使って書き換えると可能無限と実無限の間には埋めることのできない概念上の大きな隔たり
があるから実無限を上限のない有限(つまり可能無限)の極限として間接的に扱うということになる
よって時枝記事に出てくる数列に対しての極限は上の引用とは逆に「nを無限大にする」と読まなければいけない
> Δrは、個別には有限の数列の長さだが、確率を考えるときは、集合としては、
> 数列の有限の数列の長さに上限はなく、無限大の極限を考える必要がある
スレ主も「無限大の極限を考える必要がある」と実際に書いていてそのことに対して前スレで最初はlim記号を
用いずに書き込んだら
> lim記号（下記）を使って、(略)書いていることを表現してほしい。
とスレ主が要求してきたのだから
> 決定番号で、∞とか、ωを考える必要は無いんじゃないかな？
> lim_{m→∞}（可能無限）を考えれば十分だろ
というのは言っていることがまるで正反対ですよ
> ゴールも意識しておこう
スレ主は時枝記事に出てくる数列に対しての極限の定義を理解していないようだからまだスタートすらしていないよ
40:１３２人目の素数さん
16/12/31 02:40:26.40 5NruHwvP.net
スパイラル粒子論
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
41:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 06:12:20.46 VK/jj9Lp.net
こういう話だったよね（前スレより再録）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:334番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む26
334 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/12/17(土) 11:39:43.39 ID:sIK9xcpB
>>183-184 にもどる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
循環小数
ロバートソン(J.Robertson,1712-1776）の方法
循環小数
a + b ( 10^ n /(10^ n - 1) )
b ( 10^ n /(10^ n - 1) )が、循環節
aが、冒頭の循環していない有限小数部分
(引用終り)
時枝>>2の数列しっぽ同値類で、ロバートソンの方法類似の表現が考えられるね
代表r= r(s)= (s1，s2，s3 ，・・・，sn ，・・・)
ここで、同じ類の元を一つ取る
r'= r(s')= (s'1，s'2，s'3 ，・・・，s'm ，・・・)
しっぽの”・・・)”の部分は、同値類なので同じ（後述の差を取ると、なくなる部分）
いま、簡単に n<mとしよう
そうして、数列の差を考える
r'-r = (s'1-s1，s'2-s2，s'3-s3 ，・・・，s'n-sn ，・・・，s'm-sm ，0,0,0・・・)
しっぽの”0,0,0・・・)”の部分は、しっぽの同値類なので、差を取ると0になる。そこで、これをなくなると見なす
Δr= r'-r = (s'1-s1，s'2-s2，s'3-s3 ，・・・，s'n-sn ，・・・，s'm-sm ) として
Δrは、個別には、有限の長さの数列になり、ロバートソンの方法類似の表現で
r'= Δr +r
とできる
Δrは、個別には有限の数列の長さだが、確率を考えるときは、集合としては、数列の有限の数列の長さに上限はなく、無限大の極限を考える必要がある
それは>>188と同じだ
かつ、大きな違いは、
循環小数では、箱の数字は０～９の１０通りだが、時枝やSergiu Hart氏では、箱の中は任意の実数だから、card(R)つまり（非加算）無限大通りになる
42:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 06:59:40.91 VK/jj9Lp.net
>>34-37 にお答えしよう
>>37に引用頂いている通りだが
時枝>>4-5に従って
無限を扱うには，(2)有限の極限として間接に扱う，を実行してみよう
１．時枝>>2により
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N
これを、一度有限に落とす。数列の長さL＝nを考えよう
２．s = (s1，s2，s3 ，・・・，sn)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・，s'n )∈R^nとなる
「ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版)」は、そのままでいい
３．「任意の実数列S に対し，同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)」を、r =（=r(s)）= (r1，r2，r3 ，・・・，r n-1, r n)と表現しよう
同値の定義より、sn=r n だ。そして
「sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す」も、そのままでいい。とすると、決定番号d = d(s)=nとなることに注意をうながしておく
４．で、s = (s1，s2，s3 ，・・・，sn-1,r n) と書くことができる
今、 sn-1 ≠ r n-1と仮定しよう
５．そうすると、明らかにd = d(s) = nだ
６．r = (r1，r2，r3 ，・・・，r n)= (r1，r2，r3 ，・・・，r n-1, r n)として、>>38の引用に当てはめてみよう
Δr= s - r =(s1，s2，s3 ，・・・，sn-1,r n) - (r1，r2，r3 ，・・・，r n-1, r n)= (s1-r1，s2-r2，s3-r3 ，・・・，sn-1-r n-1 ，0 ) となり、なんの不都合もない
Δr= (s1-r1，s2-r2，s3-r3 ，・・・，sn-1-r n-1 )として、数列の長さLを、n-1と考えることも可能
７．ここで、極限を考える。n→∞だ。d = d(s) = nだった
lim (n→∞)d で、d→∞。そして、極限を考えても、同値s ～ r は不変だ
43:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 07:04:04.23 VK/jj9Lp.net
>>40 つづき
私スレ主が想定した、lim記号を使った表現は、>>40の通り
44:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 07:11:49.92 VK/jj9Lp.net
（前スレより再録）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:380番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む26
380 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/12/17(土) 20:39:34.96 ID:sIK9xcpB
再録
３．Aは、係数a1,
45:a2,・・・,anの組み合わせで、場合の数を考える ４．n=3 の場合、A= a1/10+a2/10^2+a3/10^3 ここで、A= a1/10+a2/10^2と少数2位までの数になる場合は、a1、a2とも０～９のどれかで、10^2=100通り 一方、a3が１～９のどれかのとき、A= a1/10+a2/10^2+a3/10^3 少数3位の場合の数は、9*10^2=900通り。両者の計10^3=1000通り 確率は、少数2位までの数になる場合1/10、少数3位の場合9/10 ５．これを一般化すると、少数n位のA= a1/10+a2/10^2+a3/10^3+・・・・+an/10^nで 少数n-1位までの数になる場合は10^(n-1)通り、少数n位までの数になる場合は9*10^(n-1)、両者の計10^n通り (引用終り) >>368の一様分布のアナロジーで言えば 宝くじの発行で、本来各番号１枚のところ、game2の決定番号では、複数枚発行するようなもの １番10枚、2番10^2枚、3番10^3枚、・・・100番10^100枚、・・・1000番10^1000枚、・・・n番10^n枚 みてお分かりのように、100番ですでに100億（=10^10）どころじゃない、100億の10乗（=(10^10)^10）です 1000番では10^1000枚なので、100億の10乗（=10^100）のさらに10乗・・・ ところで、面白いのは、Hart氏のgame2では、先に問題の数列を固定してしまう。だから、同値類と決定番号も最初から決まっているんだ そこで、問題の数列の同値類がどうなるかを考えてみると・・・ game2の同値類で、循環節以外の頭の側で、問題の数列と代表の数列との比較で、決定番号は、循環節以外の頭の側の長い方で決まる ロバートソンの方法>>334で、aの部分で、長さが長い部分だが、ここの場合の数（組み合わせ）上記のように、宝くじと同じ １番10通、2番10^2通、3番10^3通、・・・100番10^100通、・・・1000番10^1000通、・・・n番10^n通・・・ だから、小さい数は出ない というか、ｎ→無限大を考えると、一様分布とは比べられないくらい、裾が重いことがわかる
46:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 07:21:00.76 VK/jj9Lp.net
>>32 に戻る
>決定番号で、∞とか、ωを考える必要は無いんじゃないかな？
>lim_{m→∞}（可能無限）を考えれば十分だろ
この話は、もともとは前スレから引用した>>42の「小さい数は出ない」
「ｎ→無限大を考えると、一様分布とは比べられないくらい、裾が重いことがわかる」から発しているのだった
だから、ｎ→無限大を考えると、”「100列で確率99/100」が数学的に厳密に導けないだろ”というのが私のゴール
47:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 08:10:35.21 VK/jj9Lp.net
>>34 戻る
>釣り師も釣られ師もお疲れさん
以前、”哀れな素人さん”が、2016/05/21(土) に、
「スレ主はこういうチンピラではない。
だからたとえ時枝問題に関してスレ主が間違っていようと、
私はスレ主の味方だ。
スレ主は、あなたに味方している人間もいることを知って、
他の連中の罵倒嘲笑にめげないで書いてほしい。」と励ましてくれたが・・・
最近、見るところ、理系の連中は、「時枝記事不成立」でご理解頂いたようだ
残っているのは、”いわゆる文系の数学で終わって、いま趣味で大学レベルの数学の勉強をしている”(>>15)連中と見た
まあ、複素関数論（１変数）とか、量子力学をやると、無限に対する理解が自然に深まる
その素養がないなら仕方がないが・・
”釣られ師”というか、いまだ覚醒できない人たちだな
釣り針は、すでに時枝問題から離れている・・。が、時枝問題から離れられない覚醒できない人たちがいる
思うに、数学科の人たちは、かなり早く離れたと思う。例えば、バリバリの数学科はそうそうに引いた。のぞきに来たおそらく数学科の修士クラスは、「時枝は与太話」と言ってさった
その後、多くの理系が覚醒していった
さすがにTさんも悟ったようだな
おっちゃんも、前スレの最後で分かったのかな？
残った、文系の君たちも、「釣り針は、すでに時枝問題から離れている」ということを早く理解するように
もう一度強調しておくが、数学セミナーの時枝記事は不成立だよ。それを早く理解することだ
48:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 08:24:45.48 VK/jj9Lp.net
>>43 補足
>だから、ｎ→無限大を考えると、”「100列で確率99/100」が数学的に厳密に導けないだろ”というのが私のゴール
文系のために説明しておくと
時枝問題は、一様分布とは比べられないくらい、裾が重い分布なので>>42
ｎ→無限大を考えると、平均値も発散し、標準偏差も発散してしまう
そういう確率分布では、”「100列で確率99/100」が数学的に厳密に導けないだろ”ということ
まあ、文系では理解できないかも知れないがね
理系の連中は、分かって去って行ったと思う
そのためには、ｎ→無限大で十分で、ｎ＝∞でも同じだが
なお、裾の軽い分布例えば正規分布などでは、ｎ→無限大やｎ＝∞でも何も困らない ∵裾の軽い分布では、ｎ→無限大の辺りは無視できるから。（それは、数学として証明できるよ）
裾が重いと、逆にｎ→無限大の辺りが無視できない。というか、ｎ→無限大の辺りが全てを支配することになる。だから、”「100列で確率99/100」が数学的に厳密に導けないだろ”と
49:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 08:33:04.79 VK/jj9Lp.net
>>34
君も早く時枝記事不成立を理解して、次の釣り針へ移りなさい
50:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 08:34:32.94 VK/jj9Lp.net
URLﾘﾝｸ(www.ma.huji.ac.il)
PUZZLES ”Choice Games”Sergiu Hart November 4, 2013
51:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 09:07:02.14 VK/jj9Lp.net
>>47
Sergiu Hart氏のPDFと時枝>>2-3との決定的違いは、
Sergiu Hart氏のGAME1,2とも、数列の並べ変えはしないってこと
時枝>>2-3は、数列の並べ変えをするので、その分複雑になる
（Sergiu Hart氏の場合、問題の数列には触れずに、問題の数列の箱とは別に問題の数列と同じような（同値な）数列を作ることにしている）
52:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 09:26:11.33 VK/jj9Lp.net
時枝>>2-3は、数列の並べ変えをするので、数列の並べ変えの定義をはっきりさせておかないと、>>34のキマイラ数列みたいなことが起きる
もともと１列だった箱の列から、同じ長さ（可算無限）の100列を作るのだから、それは>>7のヒルベルトの無限ホテルのパラドックスそのもので、よほど上手く定義しないと、ヒルベルトの無限ホテルのパラドックスを成立させかつ時枝の決定番号の確率99/100に悪影響がないようにというのは、結構難しい決定だと思う
53:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 09:29:05.04 VK/jj9Lp.net
（前スレより再録）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:330番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む26
330 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/12/17(土) 10:12:20.83 ID:sIK9xcpB [16/68]
キマイラ数列について補足しておくと、簡単な話で、自然数を辞書式順序集合と見るというだけのこと
＜参考＞
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序集合
(抜粋)
直積集合上の順序
ふたつの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類が考えられる。
・辞書式順序: ( a , b ) ≦ ( c , d ) ←→ a < c ∨ ( a = c １∧ b ≦ d )
(引用終り)
で、( a , b )で２列
a1,a2,a3,・・・,an,・・・
b1,b2,b3,・・・,bn,・・・
の辞書式順序を考える
a1<b1<a2<b2<a3<b3<・・・<an<bn<・・・
この順序は、まず1<2<3<・・・<n<・・・を考えて、同じ1の中なら次にa<bという順序を考えるということ
対して、a1,a2,a3,・・・,an,・・・、b1,b2,b3,・・・,bn,・・・
この順序は、まずa<bを考えて、同じaの中なら次に1<2<3<・・・<n<・・・という順序を考えるということ
直積( a , b )に対するこの二つの順序の入れ方は、現代数学では普通だ
ところで、人間の集合で、男女を考えて
男性は、a1,a2,a3,・・・,an,・・・という番号を付ける
女性は、b1,b2,b3,・・・,bn,・・・という番号を付ける
似たようなことは、現代数学でなくとも日常茶飯事だ
が、現代数学で考えると、無限集合の扱いで間違いをすることが少ない
奇数偶数で
奇数に、a1,a2,a3,・・・,an,・・・という番号を付ける
偶数に、b1,b2,b3,・・・,bn,・・・という番号を付ける
大学以上の数学では、添え字集合の自由度が高いから、これは可能だ
奇数の集合∪偶数の集合＝自然数の集合
a1,a2,a3,・・・,an,・・・、b1,b2,b3,・・・,bn,・・・を、キマイラ数列と商業宣伝風に名付けただけで、特別なことはしていない
54:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 09:34:44.11 VK/jj9Lp.net
>>40 訂正
６．r = (r1，r2，r3 ，・・・，r n)= (r1，r2，r3 ，・・・，r n-1, r n)として、>>38の引用に当てはめてみよう
↓
６．r = (r1，r2，r3 ，・・・，r n)= (r1，r2，r3 ，・・・，r n-1, r n)として、>>39の引用に当てはめてみよう
55:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 09:54:18.25 VK/jj9Lp.net
以上、はやく、文系連中が覚醒して、時枝問題を離れられるように、まとめて書いておいた
56:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 09:54:59.61 VK/jj9Lp.net
Tさんも覚醒したようだし、まさか、おっちゃんが最後なんてことないよね
57:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 10:08:25.17 VK/jj9Lp.net
さて
（前スレより再録）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:562番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む26
562 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/12/23(金)
ガロアコホモロジーって知ってる？
(引用終り)
58:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%83%AF%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC ガロワコホモロジー (抜粋) 数学において、ガロワコホモロジー (Galois cohomology) はガロワ加群の群コホモロジー（英語版）の研究、つまり、ホモロジー代数学のガロワ群に対する加群への応用である。 体拡大 L/K と結びついたガロワ群 G はあるアーベル群、例えば L から直接に構成されたアーベル群、に自然に作用するが、より抽象的な手段によって導き出される他のガロワ表現を通して構成されたアーベル群もである。ガロワコホモロジーはガロワ不変元をとることが完全関手でなくなる理由を説明する。 歴史 ガロワコホモロジーの現在の理論は代数的整数論においてイデアル類群のガロワコホモロジーが自身を L-関数とのつながりから取り除く過程の時に類体論を定式化する1つの方法であることが実現されたときに1950年頃一体となった。 ガロワコホモロジーはガロワ群がアーベル群であるという仮定を全くしないので、これは非アーベルコホモロジー論（英語版）であった。それは類構造（英語版）の理論として抽象的に定式化された。1960年代の2つの発展は position を turn around した。 1つ目に、ガロワコホモロジーはエタールコホモロジー（大雑把に言うと 0 次元スキームに適用するときの理論）の基本的な layer として現れた。2つ目に、非可換類体論がラングランズ哲学の一端として着手された。 ガロワコホモロジーと同一視できる初期の結果は代数的整数論と楕円曲線の数論においてかなり前から知られていた。正規基底定理は L の加法群の一次コホモロジー群が消えることを意味している。 これは一般の体拡大についての結果であるが、リヒャルト・デデキントにある形で知られていた。乗法群に対する対応する結果はヒルベルトの定理90として知られており、1900年以前に知られていた。クンマー理論は理論の別のそのような早期の部分であった。これは m 次冪写像から来る連結準同型の記述を与える。 (引用終り)
59:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 10:08:58.14 VK/jj9Lp.net
この日本語訳はひどいね
60:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 10:15:29.18 VK/jj9Lp.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, Galois cohomology is the study of the group cohomology of Galois modules, that is, the application of homological algebra to modules for Galois groups.
A Galois group G associated to a field extension L/K acts in a natural way on some abelian groups, for example those constructed directly from L, but also through other Galois representations that may be derived by more abstract means.
Galois cohomology accounts for the way in which taking Galois-invariant elements fails to be an exact functor.
google訳（多少手直し）
数学では、ガロアコホモロジは、ガロアモジュールの群コホモロジー、すなわちガロア群のモジュールに同型代数を適用する研究です。
フィールド拡張L / Kに関連するガロア・群Gは、例えばLから直接構築されたもののようないくつかのアーベル・群上で自然なやり方で作用するが、より抽象的な手段によって導かれる他のガロア表現を介して作用する。
ガロアコホモロジーは、ガロア不変要素を取ることが正確な函手ではない方法を説明します。
61:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 10:26:40.46 VK/jj9Lp.net
つづき
History
The current theory of Galois cohomology came together around 1950,
when it was realised that the Galois cohomology of ideal class groups in algebraic number theory was one way to formulate class field theory,
at the time it was in the process of ridding itself of connections to L-functions.
Galois cohomology makes no assumption that Galois groups are abelian groups,
so that this was a non-abelian theory.
It was formulated abstractly as a theory of class formations.
Two developments of the 1960s turned the position around.
Firstly, Galois cohomology appeared as the foundational layer of etale cohomology theory (roughly speaking, the theory as it applies to zero-dimensional schemes).
Secondly, non-abelian class field theory was launched as part of the Langlands philosophy.
google訳（多少手直し）
797/5000
歴史
ガロアコホモロジーの現在の理論は1950年頃にまとめられ、
代数的数論におけるイデアル類群のガロアコホモロジーが類体理論を定式化する一つの方法であることが分かったとき、
当時はL関数への接続を取り除く過程にあった。
ガロア・コホモロジーは、ガロア群がアーベル群であると仮定することはなく、
これは非アーベル理論であった。
これは、クラス形成の理論として抽象的に定式化された。
1960年代の2つの開発がその周りを回った。
第一に、ガロアコホモロジーは、エテールコホモロジー理論の基礎的な層（大まかに言って、ゼロ次元スキームに適用される理論）として現れた。
第2に、ラングランドの哲学の一部として、非アーベル・クラスの場理論が打ち出された。
おわり
62:１３２人目の素数さん
16/12/31 10:28:56.58 3V1BVKBo.net
>>52-53
必死の釣り乙
63:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 10:30:14.26 VK/jj9Lp.net
さて
（前スレより再録）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:619番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む26
619 名前：華厳のパンダ ◆2VB8wsVUoo [sage] 投稿日：2016/12/25(日) 02:45:35.79 ID:O010A8Dr [1/3]
数学を何だと思うかは「その人それぞれ」ですが、私の場合には構造と
いう考え方を重視するので、従って『数学の完成形はブルバキの形式』
という思想ですね。そもそも数学の価値とか意味は：
★★★『人間の都合とか恣意性を完全に排除する理性の象徴としての絶対神』★★★
であり、従ってある特定の数学に応用がアルか否かに関しては客観的な
判定基準なんて当然に存在しません。だから一見して応用がなさそうに
見えるものが後日に有用になったりします。但し甚大な応用がアル理論
は（その妥当性から）「ソコから豊かな構造が取り出せる場合がアル」
というだけの事でしょうね。
でもこれは人間に更に近い物理でさえそうであり、例えば黎明期の電磁
気学に膨大な応用がアルなんて事をFaradayやMaxwellが具体的に予想し
たとはとても思えない。そして「点接触型トランジスタ」を最初に発見
したShockley-Bardeen-Brattainが現代社会に於ける膨大な応用（とい
うかもはや社会構造の一部でさえある半導体集積回路）を予想した筈は
ないでしょう。
初代インテルチップの設計者のおひとりであられる嶋正利先生でさえも、
ご自分の貢献が（生きてるうちに！）神戸の京速計算機の基本構成要素
に使われるなんて、まさかお考えにはなられなかったのではないかと。
だから理学と工学の間の線引きなんて、そもそもナンセンスでしかない。
そういう�
64:ﾚ先の恣意的な違いに拘泥している場合ではないと、ノーベル 賞の大隅さんも警告なさったのでは？ 学問とは、そして特に数学の場合は： ☆☆☆『非力で無能な人間が、全能の神を前にして平伏して苦悩するその姿そのもの』☆☆☆ という風に私は思って居ます。 ￥
65:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 10:34:18.86 VK/jj9Lp.net
>>59
どうも。スレ主です。
私ら凡人は、昔ニュートンが、天体（惑星）の運動を解明しようとして、まあそれだけが動機かどうか不明だが、微分積分を作った
その数学の力で、太陽系の天体の運動が解明された
そこに大きな数学の力と魅力を感じます
66:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 10:42:47.96 VK/jj9Lp.net
ニュートン、ライプニッツによる微分積分の発明のあと、
微分積分ほか、自然現象や身の回りに、数学の力を適用してみようと
当時の数学は未熟だったから、巨人オイラーは手作りで、オイラー流の数学を作った
オイラー流の数学は、現代数学にも多く継承されている
たしか、流体の偏微分方程式のもとは、オイラーだったような
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707年4月15日 - 1783年9月18日）は18世紀の数学者・天文学者（天体物理学者）。 18世紀の数学の中心となり、続く19世紀の厳密化・抽象化時代の礎を築いた[1]。スイスのバーゼルに生まれ、現在のロシアのサンクトペテルブルクにて死去した。
概要・生涯
ヨハン・ベルヌーイによって才能を見出されたことと、オイラー自身が数学に興味を抱いていたことから、数学者になる道を選んだ。オイラーの父も数学の教育を受けた人物であったが、オイラーには自分の後を継いで牧師になることを望んでいた[1]。
1727年、オイラーはサンクトペテルブルクの科学学士院に赴任した[1]。この地でダニエル・ベルヌーイの同僚となり、バーゼル問題を解決したことで有名になった。しかし、エカチェリーナ1世の突然の死でロシアは政情不安となり、視力の悪化も伴って、研究生活は不安定になった。
1741年、プロイセン王国のフリードリヒ2世の依頼でベルリン・アカデミーの会員となり、ドイツへ移住した[1]。
その業績からフリードリヒ2世に「数学のサイクロプス（単眼の巨人）」と賞賛される（右目を失明していたため）。彼は『無限解析入門』 "Introductio in analysin infinitorum" と『微分学教程』 "Institutiones calculi differentialis" という2冊の数学書を出版した。
つづく
67:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 10:43:54.41 VK/jj9Lp.net
>>61 つづき
数理物理学
数理物理学では、ニュートン力学の幾何学的表現を解析学的に修正して、現代的なスタイルに変更した。 彼は1736年に初めて力をはっきり定義し、解析的な形で運動方程式を与えた。
それ以後、この定式化に基づいて振動弦の問題を論じ、また地球の章動の研究において運動方程式による3体問題の定式化を行った。 そして1755年には流体力学の基礎方程式（連続方程式と運動方程式）を導いて体系化した。
さらに1760年には剛体の力学を論じ、剛体に固定した運動座標系を導入してオイラーの運動方程式を得、これを発展�
68:ｳせた。剛体の方位を規定する3つの角は「オイラーの角」と呼ばれている。 だが、彼は1760年代までニュートンの重力理論を容認できず、デカルトの充満理論・エーテル理論に固執した。 その他、変分法に関する業績も多い。 関数概念の導入 ライプニッツによって定義された関数を初めてy=f(x)の形で表したのもオイラーである。 このような近代的関数の概念は1748年に導入され、物理学など応用方面でも使いやすいものとなった[1]。 (引用終り)
69:１３２人目の素数さん
16/12/31 10:55:59.26 B1yFbXyS.net
いまの2chに人なんかいない
70:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 10:56:51.65 VK/jj9Lp.net
数理物理学系で
覚えているのが
・上記、オイラーの流体力学の基礎方程式（連続方程式と運動方程式）
・同 変分法
・ガウスのベクトル解析と、ガウスの発散定理
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 発散定理
発散定理（はっさんていり、divergence theorem）は、ベクトル場の発散を、その場によって定義される流れの面積分に結び付けるものである。ガウスの定理とも呼ばれる。1762年にラグランジュによって発見され、その後ガウス（1813年）、グリーン（1825年）、オストログラツキー（1831年）によってそれぞれ独立に再発見された[1] [2]。オストログラツキーはまたこの定理に最初の証明を与えた人物でもある。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ガウスの法則とは（ガウスのほうそく、英: Gauss' law[1]）とは、カール・フリードリヒ・ガウスが1835年に発見し、1867年に発表した電荷と電場の関係をあらわす方程式である。この式はジェームズ・クラーク・マクスウェルにより数学的に整備され、マクスウェルの方程式の1つとなった。
・フーリエ 熱伝導方程式の解法から、フーリエ級数、フーリエ変換を発明。後の、偏微分方程式解法の基礎になる
・・・・・
（その他沢山ありすぎて思い出せないので飛ばして（＾＾
・フォンノイマンの量子力学定式化：これは無限次元ベクトル空間（ヒルベルト空間）論の発展をうながした
・ウィッテンの超弦理論：ウィッテン先生だけじゃないけど、超弦理論の現代数学に対するインパクトは、グロタン先生に匹敵するくらい大きいと
71:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 10:58:40.99 VK/jj9Lp.net
>>63
どうも。スレ主です。
デカルトだな
”我語る（主にコピペだが）ゆえに我あり”
72:１３２人目の素数さん
16/12/31 11:00:00.74 B1yFbXyS.net
本当に一般人なら
ブログでやるよね？
73:１３２人目の素数さん
16/12/31 11:01:54.41 B1yFbXyS.net
そのへんの本を見るか
検索すればわかることばかり
引用してもアクセスは増えません
74:１３２人目の素数さん
16/12/31 11:02:22.60 B1yFbXyS.net
広告もしょぼくなりましたね
75:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 11:03:44.05 VK/jj9Lp.net
関連
”１９９０年以来の過去５回のICMでは、フィールズ賞受賞者のおよそ４割が場の量子論や超弦理論に関係する分野で研究をされていたので、今回はどうなるのだろうかと思っていました。”ですと
URLﾘﾝｸ(planck.exblog.jp)
フィールズ賞 : 大栗博司のブログ: 2010年 08月 21日
(抜粋)
今週はインドのハイデラバードで国際数学者会議 (ICM) が開かれ、フィールズ賞受賞者が発表されました。１９９０年以来の過去５回のICMでは、フィールズ賞受賞者のおよそ４割が場の量子論や超弦理論に関係する分野で研究をされていたので、今回はどうなるのだろうかと思っていました。
今回の受賞者のひとりはスタニスラフ・スミルノフさんで、ある種の２次元の統計模型がスケール極限で共形対称性を持つことを示し、物理学者のジョン・カーディさんの予想していた公式に数学的証明を与えました。
場の量子論に数学的基礎を与えることは数理物理学の長年の課題ですが、２次元の共形場の理論では確実な進歩が起きています。前回の２００６年のICMでフィールズ賞を受賞されたウェンデリン・ウェルナーさんの業績も２次元の共形場の理論に関係するものでした。
スミルノフさんはCaltechの大学院の卒業生なので、今回の受賞はCaltechにとってもうれしいニュースでした。
もうひとりの受賞者のセドリック・ビラニさんへの授賞対象は気体分子の運動論で、非平衡の状態からどのように平衡状態への移行が起きるのかの理解を進められたのだそうです。
物理学の提起する問題は、依然として数学の新しい発展を触発し続けているようです。
76:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 11:11:52.96 VK/jj9Lp.net
>>65-68
まあ、そうだが、おれなんかブログ書いても
それこそ無意味
メモ帳にもならんし
>検索すればわかることばかり
>引用してもアクセスは増えません
プロ固定がどんなのかしらんが
レス数かせぐなら、検索引用なんて効率悪い
複数のスレ立てて、￥さん呼び込んで、10回書いてもらって、合いの手入れて、ageスタイルが一番だろう
まあ、数学板はもうだめでしょ
レス稼ぐには
レス稼ぐなら別に住人の多い板があるし
まあ、ここで書いていると
あんたみたいな同じ穴の狢さんが来るし（＾＾；
ぶちぶち言わずにROMしていきな（＾＾；
77:１３２人目の素数さん
16/12/31 11:17:42.35 3V1BVKBo.net
数学板の糞スレ主No1はお前
78:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 11:21:39.31 VK/jj9Lp.net
>検索すればわかることばかり
ここな
ちょっと異論があるのは、まだまだ”検索”には、キーワード＋スキルがいるんだな（将来AIが発展すれば別として）
誤解していると思うが、単純に、検索引用と思っているだろうが、そうではない
「過去にこんなことを読んだね」という経験値があって、それを引くキーワードを考えて、かつ一回でヒットしなければ、キーワードを変えてと
だから、あなたがキーワードを思いつかなければ、同じ検索はできないよ
例えば、>>69は”大栗 フィールズ賞 素粒子”という検索で、検索トップに出た記事なんだ
大栗先生が、そういうことを語っていたという記憶があるから、検索可能なんだよね
79:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 11:24:30.68 VK/jj9Lp.net
>>71
どうも。スレ主です。
賛辞をありがとう
だが、間違っている
スレ主を名乗っているのは、おれ一人なので、Only Oneだな
また、￥さんを差し置いて、No1はおこがましい
だから、￥さんの次でいいよ
わかったら、ROM1してな！
80:１３２人目の素数さん
16/12/31 11:30:07.38 3V1BVKBo.net
ところで有限値と有界の区別はついたの？ｗｗｗｗ
81:１３２人目の素数さん
16/12/31 11:32:08.19 3V1BVKBo.net
>>32
> 決定番号で、∞とか、ωを考える必要は無いんじゃないかな？
> lim_{m→∞}（可能無限）を考えれば十分だろ
・決定番号が有限値でないことがあるから時枝の戦略は成り立たない
・キマイラ数列∈/R^Nが存在するから時枝の戦略は成り立たない
・決定番号の確率分布は裾が重いから時枝の戦略は成り立たない
・決定番号の確率分布では期待値や分散が求まらないから時枝の戦略は成り立たない
・R^Nはヒルベルト空間外だから時枝の戦略は成り立たない
・ヒルベルトのホテルのパラドックスを考えると時枝の戦略は成り立たない
・決定番号は宇宙に存在する原子数よりも大きくなるから時枝の戦略は成り立たない
・エントロピーはほとんど変化しないから時枝の戦略は成り立たない
・"確率の専門家"が疑問を呈したから時枝の戦略は成り立たない
・"院生クラスの誰か"が与太話とコメントしたから時枝の戦略は成り立たない
・なにはともあれ個人的に時枝の戦略は不成立だと思う
いまだに一番上のやつなｗ
82:１３２人目の素数さん
16/12/31 11:32:40.13 EYH44b4P.net
>>40
(
83:s1，s2，s3 ，・・・)∈R^N (s1，s2，s3 ，・・・，sn)∈/R^N therefore (s1，s2，s3 ，・・・)≠(s1，s2，s3 ，・・・，sn) (Recall how it is defined that two sequences are equal.) but you wrote ＞s = (s1，s2，s3 ，・・・)∈R^N ＞s = (s1，s2，s3 ，・・・，sn)∈R^nとなる i.e. (s1，s2，s3 ，・・・)=(s1，s2，s3 ，・・・，sn) It's already wrong completely. You don't understand sequence at all.
84:１３２人目の素数さん
16/12/31 11:39:27.66 3V1BVKBo.net
スレ主ってこのスレで会話するのが生きがいなんだよね。
これがないと日々労働するだけで生きる目標がなくなっちゃうｗｗ
だからみんな、哀れなスレ主をかまってやろうぜｗ
馬鹿をいってても釣られてやろうよ。（おれは嫌だけどな）
決定番号が有限値かどうかであと5年は話せるんじゃねえの？？ｗｗｗｗｗ
時枝の話題は他でやれ、とか言っておきながらきちんと>>2-4で説明してるしねｗｗｗ
85:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 12:04:35.81 VK/jj9Lp.net
>>89
関連
URLﾘﾝｸ(www.math.chuo-u.ac.jp)
ENCOUNTERwithMATHEMATICS
URLﾘﾝｸ(www.math.chuo-u.ac.jp)
第67回 AGT 対応の数学と物理
2016年10月28日(金)，10月29日(土)
講演予定者：柳田伸太郎（名古屋大），中島啓（京大），名古屋創（金沢大），立川裕二（東大），松尾 泰（東大）
組織委員会：山田泰彦（神戸大），寺嶋郁二（東工大），柳田伸太郎（名大）
場の量子論の数学と二次元四次元対応
立川裕二(東大・Kavli IPMU)
講演では、場の量子論は数学的に如何に捉えるべきか、また、その立場から、二次元四次元対応
はどのように理解されるか、ということをお話いたします。以下、講演では触れないと思いますが、
折角なので日記と電子メールを辿って二次元四次元対応が見つかった経緯を再構成してみます。
僕がアメリカでポスドクをしていた2009 年の1 月のある寒い日ダヴィデ・ガイオット(以下ダ
ヴィデ) がザイバーグ先生に彼の最新の研究を説明していたところに巡り合ったので、僕もそこで
それについて教えてもらいました1。それが今では四次元のクラスS 理論と呼ばれているものとの
僕のはじめての遭遇です。その後、ダヴィデはルイス・フェルナンド・アルダイ(以下フェルナン
ド) と共同研究をはじめたようなのですが、その共同研究に、僕が以前修論でやっていたインスタ
ントン分配関数の計算が使えそうだと判ったそうで、2 月中旬になって僕も共同研究に加わること
になりました。
そこからしばらくは良く判らない闇雲な計算を三人でしていましたが、5 月のある日の夕方、僕
が近くの運河脇の小径を自転車で散歩していると、携帯にダヴィデから「1 ループの寄与はリュー
ビル理論の三点関数の積だ」と短いメールが届きます。家に戻ってから「じゃあインスタントン分
配関数の寄与は?」と返事を書くと、すかさず「それは共形ブロックであるはずだ」と返信があり
ました。
つづく
86:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 12:06:10.91 VK/jj9Lp.net
>>78 つづき
リュービル理論も共形ブロックも、二次元の場の理論の話題で、それまで四次元の場の理論一辺
倒だった僕にはちんぷんかんぷんで、彼が何のことを言っているのかさっぱりでした。しばらく
は、修士の頃に書いたマセマティカのプログラムに手を入れて、ダヴィデが計算してくれと言うイ
ンスタントン分配関数を、闇雲に計算すると、ダヴィデが別に計算した共形ブロックと答えが一致
する、というのの繰り返しです。これは魔法にかけられたような経験でした。彼はその度「ほらそ
うだろう」と言うのですが、僕は何故これらが一致しないといけないのか、そもそも何故彼がこの
パラメタでインスタントン分配関数を計算してくれといったのか、全く判らなかった記憶があり
ます。
そんなこんなのうちに、6 月になり、ダヴィデがローマの研究会でこの話を発表するので、それま
でに論文にまとめようとなって、フェルナンドと三人でなんとか書き上げたのが、今回のEncounter
with Mathematics の題目になっている対応のはじまりの論文です2 が、以上のエピソードからわ
かるように、僕は何も判らず論文を書いたので、自分ではこの対応の例の名前を使うのには非常に
抵抗があります。
実際、僕がダヴィデの当時の発想を理解できるようになるには数年の時間が必要でした。その間
に、フェルナンドもダヴィデもこの対応の研究を直接することからは離れてしまって、僕ばかりが
この対応を調べているという、不思議なことになっています。
注
1 その内容はようやく4 月になってarXiv:0904.2715 として出た。ダヴィデは雑誌に投稿するのを忘れていたらしく、
出版されたのは2012 年。
2 arXiv:0906.3219、2010 年に出版。
(引用終り)
87:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 12:08:24.28 VK/jj9Lp.net
>>74-77
あーあ、釣られちゃったね
わかったら、ROMしてなって！（＾＾；
88:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 12:13:43.73 VK/jj9Lp.net
文系くんにも困ったものだ
知識の基礎レベルが分からないからね
ちょっと難しいことをいうと、よけい分からなくなるのかね？
微積、ベクトル解析、微分方程式、偏微分方程式、量子力学、熱力学、統計力学・・・
そこら理系の基礎がどこまで分かっているのか？
説明してもざるか
89:１３２人目の素数さん
16/12/31 12:18:23.07 Y0KEj3p3.net
スレ主ってこのスレで会話するのが生きがいなんだよね。
これがないと日々労働するだけで生きる目標がなくなっちゃうｗｗ
だからみんな、哀れなスレ主をかまってやろうぜｗ
馬鹿をいってても釣られてやろうよ。（おれは嫌だけどな）
決定番号が有限値かどうかであと5年は話せるんじゃねえの？？ｗｗｗｗｗ
時枝の話題は他でやれ、とか言っておきながらきちんと>>2-4で説明してるしねｗｗｗ
90:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 12:31:30.65 VK/jj9Lp.net
>>78
AGT対応
URLﾘﾝｸ(ci.nii.ac.jp)
CiNii 論文 - AGT対応 : 予想から証明へ: 瀧 雅人 Taki Masato 理化学研究所理論科学連携研究推進 日本物理學會誌 71(1), 6-15, 2016
抄録
遠い未来の論文誌が手に入り,問いの数々への解答が垣間見れたならば,と夢想された事のある方は少なくないのではないだろうか?
もちろんこのような事は不可能だが,双対性という不思議な性質は,しばしば「未来の知識を垣間見る」ような感覚を引き起こす.
二つの異なる理論が同じ物理を記述しているとき,それらの間には「双対性」(duality)がある,という.ひとたび非自明な双対性が発見されれば,伝統的な手法の射程を大きくこえて理論を理解する事ができる.
実際AdS/CFTに代表されるような様々な双対性の発見が,近年の弦理論の発展を牽引してきた.
そして2009年,Alday,Gaiottoおよび立川は,超対称ゲージ理論に関する,全く新しいタイプの双対性を発見する.
それが本稿の主題「AGT予想(AGT対応)」である.
この予想における主役は4次元時空中のN=2超対称理論と,それに付随して定まる2次元の共形場理論であり,それらの分配関数と相関関数が厳密に一致するというのが,彼らの予想である.
この数十年の研究により,どちらの理論も,量子効果と対称性による拘束が競合した結果,とても非自明な形で解けてしまう理論である事がわかっている.
その両者が実は密接に関係しているという事実は,その物理の重要な「何か」がいまだに理解されていない事を示唆する.これまでにAGT予想に対する数多くの拡張やチェックがなされ,この予想は広汎な理論たちの間に対して成立している一般的な性質だと考えられている.
特にGaiottoの発見したクラスSというグループに属した4次元理論であれば,AGT予想が成立している証拠がある.
つづく
91:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 12:33:04.61 VK/jj9Lp.net
>>83 つづき
そこで次に理解すべきは,このような現象の起こる物理的なメカニズムである.完全では無いものの,有望なシナリオがいくつかある.
その一つは,超弦理論の親玉であるM理論に起源を求める考え方である.M理論には,M5ブレインという6次元的な広がりを持つ高次元の膜的な物体が存在する.
このブレインの広がりを2次元と4次元時空に分け,一方をつぶしてしまうと,残された空間にのみ住む理論が得られる.
これによりゲージ理論と共形場理論が結びつくという説明法がそれである.M5ブレイン上に励起する物理的自由度に関してはよくわかっていない事が多く,この「導出」は完全ではないが,いくつもの傍証が見つかっている.
また興味深い事に,AGT予想を理解する事でM5ブレインに関する理解が進展する可能性もある.
AGT予想に関する数学的な理解にも進展がみられる.特にMaulikとOkounkovは,ゲージ理論側を記述するインスタントン解のモジュライ空間のコホモロジーに,2次元共形対称性の表現空間としての構造が入る事を示し,予想の一部の証明に成功した.
また逆にAlbaらは,2次元共形対称性の表現の上に,インスタントンモジュライ空間と類似の組み合わせ論的な構造が隠れている事を示す事で,予想の一部を証明した.
A mysterious correspondence, which is called the AGT correspondence, between 4d supersymmetric gauge theories and 2d conformal field theories was found. The AGT correspondence sheds new light on these well-studied theories. This conjectural AGT correspondence, its generalizations and mathematical proofs are reviewed.
(引用終り)
92:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 12:37:00.59 VK/jj9Lp.net
>>82
あーあ、釣られちゃったね
わかったら、ROMしてなって！（＾＾；
文系くんと会話してなんになる
というか、会話が成立してないだろ？ 無限わかってないし、limとで説明しろといったらトンチンカンで胸をはる
わかったら、ROMしてなって！（＾＾；
おれは、ここに自分の好きなことをコピペするのが生き甲斐ですよ
あと、おっちゃんと￥さんがいたら、サイコー！（＾＾；
繰り返すが、時枝不成立が理解できない文系くんはいらんぜ。ROMしてな
93:１３２人目の素数さん
16/12/31 12:44:32.63 Y0KEj3p3.net
スレ主ってこのスレで会話するのが生きがいなんだよね。
これがないと日々労働するだけで生きる目標がなくなっちゃうｗｗ
だからみんな、哀れなスレ主をかまってやろうぜｗ
馬鹿をいってても釣られてやろうよ。（おれは嫌だけどな）
決定番号が有限値かどうかであと5年は話せるんじゃねえの？？ｗｗｗｗｗ
時枝の話題は他でやれ、とか言っておきながらきちんと>>2-4で説明してるしねｗｗｗ
94:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 12:46:34.38 VK/jj9Lp.net
>>82
>時枝の話題は他でやれ、とか言っておきながらきちんと>>2-4で説明してるしねｗｗｗ
時枝の話題への準備は、広く>>2-10だよ。読めてないね
>>2-4は単なる引用で、説明ではないよ
「時枝成立」の主張が出たら、潰します！
理系の人には、納得でき、分かる程度に
文系のレベルに分からせるのは、考えていない・・・
文系のレベルは、下には下があるから、説明してもざるみたいな人もいるし、きりがないだろ？（＾＾；
95:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 12:55:05.41 VK/jj9Lp.net
>>86
>決定番号が有限値かどうかであと5年は話せるんじゃねえの？？ｗｗｗｗｗ
そこは理系では常識だよ
（すくなくとも極限の存在までは）
それ、理解できない人は理系ではもぐり
だから、そこはおれはスルーだな。勝手に恥じかいてなと
96:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 12:57:22.69 VK/jj9Lp.net
この程度の極限は、理系では高２か高３だろう
大学入試前に終わっている
97:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 13:01:52.25 VK/jj9Lp.net
>>84
>そして2009年,Alday,Gaiottoおよび立川は,超対称ゲージ理論に関する,全く新しいタイプの双対性を発見する.
>それが本稿の主題「AGT予想(AGT対応)」である.
「AGT予想(AGT対応)」
A:Alday
G:Gaiotto
T:立川
か
98:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 13:07:44.83 VK/jj9Lp.net
>>83 関連
URLﾘﾝｸ(www.jps.or.jp)
AGT対応 予想から証明へ - 日本物理学会 瀧雅人 著 - ?2016
―Keywords―
超対称ゲージ理論：
素粒子を記述する基礎理論で
あるゲージ理論は，一般には
激しい量子論的効果により定
量的計算が困難になる．この
ようなフェルミオンとボソン
の入れ替えのもとでの超対称
性を課すことで，量子論的効
果は抑えられ，しばしば理論
の振る舞いが良くなる．その
ため超対称なゲージ理論は非
常に詳細にわたるまで解析す
ることができる．
共形場理論：
臨界点においては物理現象を
特徴付ける距離スケールが失
われるため，このような物理
はスケール不変な物理理論で
記述される．共形場理論とは，
時空の各点で勝手なスケール
変換を行っても理論自身が不
変であるものであり，臨界現
象の理解に対して統一的な視
点を与える．
インスタントン：
場の理論には基本場以外にも，
場の配位がトポロジカルにね
じれることで生じる非自明な
励起状態がある．ゲージ理論
におけるインスタントンもそ
の一例であり，時空の一点に
局在化したようなゲージ場の
配位で与えられる．
99:１３２人目の素数さん
16/12/31 13:11:33.60 3V1BVKBo.net
>>87
> 「時枝成立」の主張が出たら、潰します！
> 理系の人には、納得でき、分かる程度に
成立/不成立の定義自体がお前一人だけ違うので議論になるわけがないｗｗｗ
100:１３２人目の素数さん
16/12/31 13:14:45.20 3V1BVKBo.net
有限値、有界、同値関係、代表系
定義をろくすっぽ理解してなかったスレ主さんｗｗ
お前の孤独を哀れんで付き合ってやってる釣られ師とおちゃべりしてなさいｗ
101:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 13:14:57.29 VK/jj9Lp.net
>>91 関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
ゲージ理論(gauge theory)とは、連続的な局所変換の下でラグランジアンが不変となるような系を扱う場の理論である。
数学におけるゲージ理論
1970年代になって、マイケル・アティヤは古典的ヤン＝ミルズ方程式の数学的解決法の研究を始めた。
1983年、アティヤの学生サイモン・ドナルドソンは滑らかな4次元微分可能多様体の分類では、位相同型の違いを除いた分類とは異なっていることを示す方向の研究を進めた。
マイケル・フリードマンは、ドナルドソンの研究成果を用いて、エキゾチック R4（英語版） の存在、すなわち、4次元ユークリッド空間とは異なるエキゾチックな微分構造（英語版）(Differential structure)が存在することを示した。
このことは、ゲージ理論自体が持つ基礎物理学における成功とは独立して、数学的構造に対するゲージ理論への関心を呼び起こした。1994年、エドワード・ウィッテンおよびネーサン・サイバーグは、超対称性に基づいたゲージ理論的テクニックを発見した。
ここでの方法はあるトポロジー的不変性の計算を可能とする方法でもある。これら、ゲージ理論からの数学への貢献は、この分野の新たな関心として注目されている。
ゲージ理論および場の量子論の歴史に関するより詳細な資料はPickeringの書籍を参照のこと[3]。
102:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 13:16:48.94 VK/jj9Lp.net
>>92-93
>成立/不成立の定義自体がお前一人だけ違うので議論になるわけがないｗｗｗ
理系は理解していると思うけど
理解できてないのは文系だろ？
103:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 13:25:14.58 VK/jj9Lp.net
>>94
サイモン・ドナルドソンとマイケル・フリードマンとは、これらの関連でフィールズ賞
104:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 13:30:56.50 VK/jj9Lp.net
>>78
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(2,0)-%E8%B6%85%E5%85%B1%E5%BD%A2
105:%E5%A0%B4%E7%90%86%E8%AB%96 6次元 (2,0)-超共形場理論 (抜粋) 理論物理学では、6次元 (2,0)-超共形場理論 (six-dimensional superconformal field theory) は、超共形場理論（英語版）(superconformal field theories)の分類により存在が予言されている場の理論である。 作用汎函数の項として理論が記述できていないので、いまだ良く理解されていない。この理論の固有の難しさにもかかわらず、物理学と数学の双方から、様々な理由で興味が持たれている対象と考えられている[1][2]。 応用 (2,0)-理論は、場の量子論の一般的性質の研究にとって重要であることが証明されている。実際、この理論は有効場理論への数学的興味を多く呼び起こし、これらの理論に関連する新しい双対性を指摘する。 たとえば、ルイス・アルダイ、ダヴィデ・ガイオット、立川祐二は、この理論を曲面へコンパクト化することにより、4次元の場の量子論を得て、この理論の物理と曲面自身に付帯するある物理的概念に関係付ける双対性が存在することを示した。 この双対性はAGT対応として知られている[3]。さらに詳しくは、理論家たちはこのアイデアを拡張し、3次元へコンパクト化すると得られる理論を研究している[4]。 この場の量子論への応用に加え、(2,0)-理論は、純粋数学での多くの重要な結果をもたらしている。たとえば、(2,0)-理論の存在は、ウィッテン(Witten)により幾何学的ラングランズ対応と呼ばれる数学の関係性の予想を「物理学的」に説明することに使われた[5]。 その仕事の結果、ウィッテンは、(2,0)-理論がコバノフホモロジーと呼ばれる数学の概念とも近いことを示すことにも使った[6]。 ミハイル・コバノフ（英語版）(Mikhail Khovanov)により2000年ころに開発されたコバノフホモロジーは、結び目の異なった形を研究し分類する数学の一分野である結び目理論へツールを提供した[7]。 数学への (2,0)-理論の他の応用では、ダヴィデ・ガイオット、グレゴリー・ムーア(Greg Moore)、アンドリュー・ナイツケ(Andrew Neitzke)の仕事があり、そこでは物理的アイデアが超ケーラー幾何学(hyperkahler geometry)における新しい結果を導いている[8]。
106:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 13:34:26.03 VK/jj9Lp.net
>>97
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
AGT対応
(抜粋)
理論物理学において、AGT対応 (AGT correspondence) は、2次元リウヴィル場理論のVirasoro共形ブロックと4次元 N = 2 {\displaystyle {\mathcal {N}}=2} {\mathcal {N}}=2超対称SU(2)ゲージ理論のインスタントン分配関数が一致するという関係である。
この関係は超弦理論から現れる双対性の一種であり、この2つの理論は6次元 (2,0)-超共形場理論をそれぞれ別の曲面上へコンパクト化することで得られる。
この関係は、アルダイ、ガイオット、立川裕二により2009年に発見された[1]。
またこの関係は、W代数を対称性にもつ A N ? 1 {\displaystyle A_{N-1}} A_{N-1}型戸田場理論と4次元SU(N)ゲージ理論との間の関係や、変形Virasoro/W代数を対称性にもつ理論と5次元ゲージ理論との間の関係にも拡張され、またAGT対応が発見されて以来、そのアイデアは、3-次元理論の間の関係性の記述へも拡張されている[2][3]。
107:１３２人目の素数さん
16/12/31 13:37:30.04 3V1BVKBo.net
>>95
> >>92-93
> >成立/不成立の定義自体がお前一人だけ違うので議論になるわけがないｗｗｗ
>
> 理系は理解していると思うけど
> 理解できてないのは文系だろ？
ほう
じゃあ理系のスレ主さん、定義を書いてみな
108:１３２人目の素数さん
16/12/31 13:51:11.19 Q2SC3jm+.net
>>43
> ｎ→無限大を考えると、”「100列で確率99/100」が数学的に厳密に導けないだろ”というのが私のゴール
スレ主は決定番号にこだわって時枝戦略を何とか不成立にしようとしているが無限数列の出題にも決定番号は
関わっていることを理解しないといけないよ
出題する数列をSn(= s1, s2, ... sn, ... )また代表元をRn(= r1, r2, ... , rn, ... )で表すとして前スレの記号も
そのまま用いる
ある自然数mがあってSn-Rn = [(Sn-Rn)_{1}{m}, 0[n]_{m+1}{∞}] ---(1)と
109:書けたとすると m < nとなる全ての自然数nに対して |sn - rn| = 0となっていてこれは前スレにも書いたが 時枝記事ではこれが代表元との比較による極限の定義になりこの式を変形すると 有限数列Sn_{1}{n}のnを無限大にした極限はSn_{1}{∞} = [Sn_{1}{d-1}, Rn_{d}{∞}]と書ける ここでdはある自然数であって決定番号である(式(1)においてd=m+1) > (2)有限の極限として間接に扱う [Sn_{1}{d-1}, Rn_{d}{∞}]においてはSn_{1}{d-1}が有限の部分であり極限によって扱われるのが Rn_{d}{∞}である これは出題する前にあらかじめ完全代表系を決めておけば出題者は有限個の数字を決めて極限値を1つ選べば 間接的に可算無限個の数字を全て選んで箱に入れたとみなせるということを意味する 決定番号が出題にも関わっているのは極限値がRn_{d}{∞}でありdを含んでいることから明らかであるが 決定番号がdであるときには出題者は最低でもd-1番目までのd-1個の数字を極限とは関係なく自分で 選ばないと出題する数列の数字全てを選んだとはみなせない だから任意の無限数列を出題可能と仮定した段階でスレ主の挙げた不成立の根拠は一切意味がなくなる
110:１３２人目の素数さん
16/12/31 14:08:35.29 of0VgBsT.net
句読点を活用しませう
111:１３２人目の素数さん
16/12/31 14:12:01.09 LBrkDjF8.net
surfaceを考察せよ
URLﾘﾝｸ(astamuse.com)
ここに新しい数学がある
112:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 14:14:15.74 VK/jj9Lp.net
>>97 関連うすいが
>その仕事の結果、ウィッテンは、(2,0)-理論がコバノフホモロジーと呼ばれる数学の概念とも近いことを示すことにも使った[6]。
URLﾘﾝｸ(www.kyotoprize.org)
歴代受賞者記念講演録 | 京都賞:
URLﾘﾝｸ(www.kyotoprize.org)
2014年 第30回 基礎科学部門数理科学（純粋数学を含む） エドワード・ウィッテン
(抜粋)
物理と数学を巡る冒険
エドワード・ウィッテン
幼い頃から私は天文学に魅せられていました。もっとも当時これはさほど珍しい
ことではありません。と言いますのも、1950年代後半に宇宙開発競争が始まり、誰
もが宇宙に胸を躍らせていたからです。それ以前から天文学に興味があったかど
うかはあまりよく覚えていません。ただ、9 歳か10歳の頃に、3 インチ反射望遠鏡
を贈られて、それで土星の環を見ることが、少年時代の私には無上の楽しみの1 つ
でありました。
子供の頃は天文学者になりたかったのですが、自分が大人になる頃には、天文学
者は宇宙で暮らし、宇宙で仕事をしなければならなくなると子供心に思い込んでい
ました。私にはそれがとても危険なことのように思えました。
11歳の頃、その年齢にしては高度な数学の本をプレゼントされました。理論物
理学者だった父は、私に微積分の手ほどきをしてくれました。そのため、しばらく
の間は数学に熱中しました。ただし両親は、数学（と両親が考えるもの）に私が急激
にのめり込んでしまうことをよしとせず、ですから、私が初歩的な微積分よりもは
るかに本格的な数学に触れることになるのは、それからずいぶん先のことになりま
す。当時の両親の方針が良かったのかどうか、今の私にはわかりません。ただ、そ
のため長い間、私が教わるたぐいの数学が、抜本的に新しいものであるとか手ごた
えがあるものというふうには思われませんでした。それがどの程度影響�
113:ｵたのかは わかりませんが、いずれにせよ私は長い間、数学に興味を感じなくなったのです。 つづく
114:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 14:15:13.83 VK/jj9Lp.net
>>103 つづき
しかし最終的に、私が最も才能に恵まれているのは数学と理論物理学であって、
自分にはそうした分野に進む以外の道はないと思い至りました。21歳の頃、私は、
数学と理論物理学のどちらを選択するかを決めたのですが、当時の私には、どちら
の分野についても乏しい知識しか持ち合わせていませんでした。その知識をもとに
理論物理学を選んだわけですが、その大きな理由は素粒子に魅せられたからです。
私がプリンストン大学大学院に入学した1973年の秋、素粒
子の研究は、少なくともその20年ほど前からの激動期が続いていました。ただし、
その表面下では変化が兆していました。現在、素粒子物理学の標準模型として知ら
れる理論が生み出されていました。本質的には現在と変わらない形式で、長い試行
錯誤の末にようやく生み出されつつあったのです。これが私が大学院に進学するわ
ずか数ヵ月前に起きたことで、デビッド・グロス、フランク・ウィルチェック、デ
ビッド・ポリツァーの3 氏によって行われました（ちなみにデビッド・グロスは、
後に私の指導教官を務めてくれることになります。）
1970年代中頃に大学院生だった私が何
に興味を持っていたのかをわかっていただくためです。簡単に言うと、私の大学院
時代、素粒子物理学の分野では、果てしない革命の時代が全盛期を迎えていまし
た。その時代がずっと続くと思っていた私は、自分もその一翼を担いたいと考えて
いました。ただ、今にして思えば、ジェイプサイ中間子を理解することから、科学
全体に変化が起きつつあることを察知できていればよかったのかもしれませんが。
事実、この新しい粒子の持つ驚くべき特性は、標準模型によって完全な説明が可能
であり、しかもそれについては、すでにいくつかの論文で予想されていたことが明
らかになったのです。もっとも、そうした予想を行った論文がどれほど知られてい
たのかはわかりません。実際私はそれらの存在を知らなかったのです。
つづく
115:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 14:16:16.71 VK/jj9Lp.net
>>104 つづき
その一方で、大学院生の私にはもう1 つ興味を引かれることがありました。そ
して、ある意味、それがその後の私の研究につながっていくところもあったので
す。ところで、物理学が専門でない皆さんのために、ここで少しご説明しておかな
ければなりません。それは、理論物理学者は自然の法則を理解しようとする一方
で、様々な状況で方程式を解き、今後何が起こるのかを予想しようとしているとい
うことです。理論物理学のこの2 つの側面は、必ずしもはっきりと区別できるわ
けではありません。たとえば、自然の法則を解き明かし、その法則による予測を明
らかにできなければ、どれが正しい法則なのかを理解することはできません。とこ
ろが実際に物理学者が行っているのは、ほとんどの場合、少なくとも原理的には適
切な方程式が明らかな状況で、物質の振る舞いを理解しようとすることです。この
2 つの側面を同時に実践するのは、口で言うほど簡単なことではありません。一例
を挙げれば、電子や原子核の振る舞いを説明するシュレーディンガー方程式につい
て知っているということと、そうした方程式をいくつも解いて一本の銅線の振る舞
いについて理解することとは、別問題だからです。
素粒子物理学者として、基本的に私の目標とするところは、そうした基礎方程式
が何なのかを理解することでした。ところが、標準模型の登場によって新たな状況
が生まれたのです。私が大学院で研究を始めたちょうどその頃、全く新しい基礎方
程式がいくつか確立されつつあり、中には理解することがきわめて難しいものもあ
りました。特に、標準模型では、陽子、中性子、パイ中間子、そしてそれ以外の相
互作用を行う粒子はクォークで形成されているものの、どのクォークも観察できな
いとされていました。この矛盾を解消するためには、クォークが「閉じ込められて
いる」、つまり、どんなにエネルギーを費やしてもクォークを取り出すことはでき
ないと考えざるをえませんでした。クォークの閉じ込めを説明しうると思われてい
た標準模型の方程式には、わかりにくく、しかも解くのが難しいという問題点があ
りました。そのため、クォークの閉じ込めが本当に起こるのかどうかは、なかなか
解明することができなかったのです。
つづく
116:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 14:17:08.71 VK/jj9Lp.net
>>105 つづき
大学院時代とその後も長きにわたって、私はクォークの閉じ込めを解明すること
に情熱を燃やしました。しかし、これはきわめて困難な問題であり、私はあまり成
果を上げることはできませんでした。実際、標準模型の方程式を用いてクォークの
閉じ込めを説明するということは現在にいたるまで未解決のままです。もっと正確
に言うなら、コンピュータによる大規模なシミュレーションによって結論が正しい
ことはわかっているのですが、それがなぜかということは、私たち人間の理解を超
えているのです。
この問題を解きたいという願いは叶わなかったものの、この経験からいくつか得
るところもありました。1 つは苦い教訓です。そこでつくづくと思い知らされたこ
とが、現在私が研究を行う際にもっとも重視することの1 つとなっています。す
なわち、研究者は現実に即した態度で臨まなければならないということです。解明
しようとする問題について先入観の持ちすぎは禁物です。チャンスが巡ってきた時
に、そのチャンスを活かせるように準備しておく必要があるのです。
残念ながら私は、クォークの閉じ込めという問題の解明が、自分には難しすぎる
ということを認めざるを得ませんでした。何らかの成果を出すためには、もっと目
標を低く設定して、もっと限定された問題に取り組む必要がありました（後で詳し
くお話ししますが、結局私は、クォークの閉じ込めという問題に少しばかりの貢献
をすることになります。ただし、20年近く経ってからの話ですが）。
しかし、もっとプラスの面についても言うなら、この現実を受け入れ、より限定
的な問題で何らかの成果を出そうとすることで、私は相対論的量子系の強結合での
振る舞いと物理学者が呼ぶ現象―標準的な方法で方程式を解くことが難しい場合
の相対論的量子系の振る舞い―について考察することで、ある程度の経験を積ん
でいくようになりました。そしてこの経験が、のちの私の研究に大きな意味を持つ
ことになるのです。
つづく
117:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/31 14:18:07.40 VK/jj9Lp.net
>>106 つづき
ここでももう1 つ、物理学が専門でない皆さんのために、少し説明しておかな
ければならないことがあります。大学院で物理学を専攻する学生は、弱結合の場合
にどうすべきかを学ぶにすぎません。強結合の場合には、様々な疑問や方法が入り
乱れて浮かび上がってくるのです。ですから、強結合の場合に量子系がどのような
振る舞いを示すのかについての専門家のような存在はいないはずですし、少なくと
も私自身は決してそのような専門家ではありません。かなりのことを研究してきま
したが、いつでも初学者のような気がしているのです。
1976年、プリンストン大学で博士号を取得した私はハーバード大学に移り、そ
の後の4 年間をそこでポスドク生活を送ることになります。その間、私生活では
いろいろなことがありました。私と同じ時期にポスドク研究員としてハーバードに
やってきたキアラ・ナッピとは1979年に結婚しました。彼女と出会ったのは、1975
年にフランス・アルプスで開催された物理学のサマースクールでした。彼女は、著
名な数理物理学者のアーサー・ジャフィーに誘われてハーバードにやってきたので
す。最初の子供を授かったのも、ハーバードにいた時でした。
ハーバードでは、