23/01/02 17:12:38.10 1c1d1HQU.net
コホモロジーのところで撃沈した
337:１３２人目の素数さん
23/01/03 23:44:05.28 1A5bcamd.net
ドラームの？
338:１３２人目の素数さん
23/01/03 23:53:14.54 ckInMlXc.net
そうだよーん
339:１３２人目の素数さん
23/01/04 04:06:05.04 d/vabi9+.net
コホモロジーに触れてから俄然興味が増した。
340:１３２人目の素数さん
23/01/04 08:49:49.01 uVcKfXVJ.net
>>これは現在ボホナー技法とよばれる証明法の起源であり，読者がこれによって>>現代数学の美しい手法の一端を味わわれることを期待している。
さりげなく「松島・村上の消滅定理」をアピールしている
341:１３２人目の素数さん
23/01/05 08:43:04.88 X8X6CMy8.net
村上先生はお弟子のKさんのことを「鬼子」と評されていたそうだ
342:１３２人目の素数さん
23/01/05 08:47:12.22 GpWF2lp3.net
>>334
bott-tu？
343:１３２人目の素数さん
23/01/05 11:33:11.17 X8X6CMy8.net
最近はドラームよりもボット・チャーン
344:１３２人目の素数さん
23/01/10 22:02:03.09 ajNdzfm5.net
次は坪井、服部にチャレンジ
345:１３２人目の素数さん
23/01/10 22:37:49.47 mKyw77m0.net
>>338
星新一の第一作品集
346:１３２人目の素数さん
23/01/10 22:44:49.50 3173oKkU.net
＞多様体
左様かい？
347:１３２人目の素数さん
23/01/10 23:14:11.57 ajNdzfm5.net
>>340
それはボッコちゃん
348:１３２人目の素数さん
23/01/13 22:06:04.60 C3eRYlyK.net
微分幾何と積分幾何を併せて多様体という理解で良いかな？
349:１３２人目の素数さん
23/01/13 22:40:58.91 22h15Q8H.net
いいよ
350:１３２人目の素数さん
23/02/04 14:49:31.17 S+bpe1P3.net
よくない
351:１３２人目の素数さん
23/02/04 18:09:35.53 pd0mp3jW.net
弦双対性の示唆する22世紀の幾何学: 母空間, 保型空間
URLﾘﾝｸ(member.ipmu.jp)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
1994年にハーバード大学の物理学者ヴァッファから電子メールが送られてきて,
頭を思いっきり殴られたような衝撃を受けたことを, つい昨日のように思い出します.
そのメールの内容は次のようなものでした.
４次元多様体 X の上のインスタントン数が n の
インスタントンのモジュライ空間 Mnのオイラー数をe(Mn)としたときに,
(1) Z(q) = Σn=0∞ e(Mn) q^n
という関数を考えます. ここで, q は不定元です.
(収束の問題は考えず,単なる形式的べき級数と考えています.)
このとき, ヴァッファとウィッテンは, 上の関数が保型性を持つという予想をしていて,
ある多様体の例, 当時私が研究していたALE空間という４次元多様体の場合に
成立しているかどうかを知りたい, と尋ねてきたのでした.
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（つづく）
352:１３２人目の素数さん
23/02/04 18:10:32.29 pd0mp3jW.net
>>346
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
最初のヴァッファの質問に戻りましょう.
彼らの予想を証明しようとしたら, どのような方針が有効でしょうか？
e(Mn) という数列を考えて, フーリエ展開の式 によって関数 f(z) を定義し,
そして f(z) が保型性 を持つことを確かめるという方針は, 馬鹿げています.
まず, e(Mn) を計 算することが大変なこと,
そしてたとえ e(Mn) が計算されていたとしてもそれがよく分かっている
保型形式のフーリエ展開の係数と一致していることが分からなければ,
保型性をチェックするのはほとんど不可能です.
アイゼンシュタイン級数のときのように,
1) 保型性が明らかな関数をうまく選び,
2) それをテーラー展開して, モジュライ空間のオイラー数と一致すること を確かめる,
という方針が正しいはずです
しかし, どんな４次元多様体についても成り立つ証明を与えるためには,
オイラー数のレベルでものを考えるのでなく,
1) 保型性を持つある空間を取り, そして,
2) その"展開''の係数としてモジュライ空間が現れる,
と空間のレベルで成り立っていることを期待する方が筋がいいように思われます.
すると展開の逆として, モジュライ空間の列から数列の母関数のように空間を作る操作も必要になります.
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（つづく）
353:１３２人目の素数さん
23/02/04 18:21:28.58 pd0mp3jW.net
>>347
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
前の節で説明した母空間は, 双対性を理解するために必要な言葉に過ぎなかったわけです.
アイゼンシュタイン級数との類似を考えて, 我々が何を必要とするかをもう一度再検討しましょう.
母関数/母空間 保型関数/保型空間
σk-1(n) Σn=1∞ σk-1(n) q^n アイゼンシュタイン級数
Mn Σn=1∞ q^n Mn ???
我々が, 本当に知りたいことは保型性をどのように理解したらよいか,であって,
??? に入る対象, すなわち保型性を持っている空間であって,
展開することによってその係数にモジュライ空間が見えてくるもの, を得たいわけです.
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（つづく）
354:１３２人目の素数さん
23/02/04 18:22:55.24 pd0mp3jW.net
>>348
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ヴァッファによる弦双対性の比喩に, 異なるバージョンの弦理論の間の座標変換である, と言うものがあります.
同じものの二つの違う見方(=座標)に過ぎないと言うわけです.
そして, 座標が貼り合って多様体になっているように, いろいろなバージョンの弦理論達が貼り合わさって,
一つの理論(=究極の理論)を作っているわけです.
但し, 多様体はユークリッド空間が貼り合わさっているだけで, 貼り合わせられるものは同じですが,
ヴァッファの言っている究極の理論では, 一見すると非常に違うものが貼り合わせられています.
例えば, 今まで述べてきたことでは,モジュライ空間のホモロジー群の直和と
ヘテロティックな弦理論のBPS状態(=頂点代数の表現空間)が移りあっています.
我々数学者の発想の中にはこの両者に関係があることを示唆できるようなものは,何一つ ありません.
みかけの異なる多様な対象が貼り合わさってできる, と言うのですから
これこそ, ``多様体''と言う言葉がふさわしいものでしょう.
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（つづく）
355:１３２人目の素数さん
23/02/04 18:23:33.13 pd0mp3jW.net
>>349
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
今, 我々が扱っている多様体は, 至る所ユークリッド空間と同じで, 単調な景色が続くので,
''単調体''と呼んだ方がいい, と私はいつ も言っています.
また, アイゼンシュタイン級数の比喩を考えると,モジュライ空間の一つ一つ,
しかもインスタントン数 n が小さいところを調べている我々の20世紀(既に終わりつつありますが)の幾何学が
いかに, つまらないかがはっきりします. それは,小さい n についてσk-1(n)を計算しているに過ぎなかったのです.
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
356:過去ログ ★
[過去ログ]
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています