19/09/24 07:52:41.87 CUDTSBu2.net
〔三平方の定理〕
自然数Nが三個の平方数の和で表されるための必要十分条件は
n≧0, k≧0, a∈{1,2,3,5,6} により N = (4^n)(8k+a) と表わされることである。
必要性は容易に示せる。
十分性はルジャンドル(1798)によって証明されたが、二次形式に関する議論を要し、複雑である。
Melvyn B. Nathanson, "Additive number theory : the classical bases", GTM 164, Springer-Verlag, New York, Tokyo, (1996)
の第1章を参照。
336:１３２人目の素数さん
19/11/27 03:24:23.71 YEgb5q8J.net
>>269
√2 = 1 + 1/{2 + 1/[2 + 1/(2 + ････)]} = 1 + [2,2,2,2,2,････],
白銀数 1 + √2 = 2 + [2,2,2,2,････],
黄金数 φ = (1+√5)/2 = 1 + 1/{1 + 1/[1 + 1/(1 + ････)]} = 1 + [1,1,1,1,1,･････]
>>270
√3 = 1 + 1/{1 + 1/[2 + 1/(1 + 1/(2 + ･･･))]} = 1 + [1,2,1,2,1,2,････]
337:１３２人目の素数さん
19/11/27 14:55:50.87 YEgb5q8J.net
〔三平方の定理〕
自然数Nが三個の平方数の和で表されない条件は
n≧0, k≧0 により N = (4^n)(8k+7) と表わされることである。
338:１３２人目の素数さん
19/11/27 15:30:54 YEgb5q8J.net
〔補題3〕
a) 直角三角形の三辺が自然数のとき、その面積は平方数でない。
b) 2つの4乗数の差は平方数でない。
(x^4 - y^4 = zz は自然数解をもたない。)
c) 3つの平方数が等差数列をなしているとき、公差eは平方数でない。
(d-e, d, d+e; e) が4つとも平方数にはならない。
a) → b)
x^4 - y^4 = zz に自然数解があったとすると、
(x^4-y^4, 2(xx)(yy), x^4+y^4) が直角三角形の三辺となり
しかも面積は (xyz)^2 で平方数となり、 a) に矛盾する。
a) ⇔ c)
栗原将人:「フェルマーとワイルスと」
数理科学 (サイエンス社), No.374, p.46-51 (1994/Aug)
339:１３２人目の素数さん
19/11/27 16:13:58.32 YEgb5q8J.net
a)
(a,b,c) を直角三角形の三辺、aa+bb=cc とする。
a,b は互いに素としてよい。aを奇数、bを偶数とすると
a = dd - ee, b = 2de,
と書ける。従って ab/2 = de(d+e)(d-e),
a,b は互いに素だから (d-e,d,d+e; e) も互いに素。
ここで、 (a,b,c) は面積 ab/2 が平方数である直角三角形
のうち最小のものと仮定する。
(d-e,d,d+e; e) は4つとも平方数で
d-e = ii, d = ff, d+e = hh; e = gg,
(f,g,h,i は互いに素な自然数)
と書ける。
(h+i)(h-i) = hh - ii = 2e = 2gg から
h+i,h-i の一方が平方数で、他方は平方数の2倍である。
h+i,h-i が共に偶数だから
h = jj + 2kk, i = |jj - 2kk| (j,kは自然数)
と書ける。
f^2 = d = (hh+ii)/2 = (jj)^2 + (2kk)^2,
となる。従って (jj,2kk,f) が直角三角形の三辺となり
その面積は (jk)^2 で平方数となる。
つまり、(a,b,c) より小さな直角三角形で同じ条件を
みたすものが存在することになる。
しかしこれは (a,b,c) の最小性と矛盾する。 (終)
340:１３２人目の素数さん
19/11/27 17:11:21.97 YEgb5q8J.net
b) 省略
x^4 ＋ y^4 = zz が自然数解をもたないことが次にある。
A.O.ゲルフォント：「方程式の整数解」 東京図書 数学新書5 (1960)
銀林 浩：訳
341:１３２人目の素数さん
19/11/27 17:16:58.25 YEgb5q8J.net
c)
(d-e,d,d+e; e) は4つとも平方数である組のうち、
最小のものと仮定する。
(d-e,d,d+e; e) = (ii, ff, hh; gg)
(f,g,h,i は互いに素な自然数)
と書ける。
(h+i)(h-i) = hh - ii = 2e = 2gg から
h+i,h-i のうち一方が平方数で他方が平方数の2倍である。
(h+i,h-iが共に偶数だから)
h = jj + 2kk, i = |jj - 2kk|,
(j,k は自互いに素な自然数)
と書ける。
ff = d = (hh+ii)/2 = (jj)^2 + (2kk)^2,
となる。従って (jj,2kk,f) が直角三角形の三辺となる。
jj = DD-EE, kk = DE, f = DD+EE
(D,E は互いに素な自然数)
と書ける。その面積は
DE(D+E)(D-E) = (jk)^2 = (平方数),
(D-E,D,D+E; E) は4つとも平方数である。
つまり (d-e,d,d+e; e) より小さな4つ組で
同じ条件をみたすものが存在することになる。
しかしこれは (d-e,d,d+e; e) の最小性と矛盾する。(終)
342:１３２人目の素数さん
19/11/28 02:52:06 ghZZAPQ9.net
>>316
d) 1以外の三角数は4乗数でない。
( n(n+1)/2 = m^4 は m≧2 なる整数解を持たない。)
n(n+1)/2 >1 が4乗数であれば n, n+1 のうち一方が4乗数で他方が4乗数の2倍。
∴ x^4 - 2y^4 = ±1 に整数解 (x,y) がないことに帰着する。
e) yy = x^3 - x (楕円曲線) は y≠0 なる有理点 (x,y) を持たない。
(証明略)
343:１３２人目の素数さん
19/11/28 04:33:24.53 ghZZAPQ9.net
>>318
〔補題〕
x^4 + y^4 = zz は xyz≠0 となる自然解 (x,y,z) をもたない。
(略証)
題意をみたす (x,y,z) のうち、zが最小のものをとる。
x,y,z は互いに素であるとしてよい。
xを奇数、ｙを偶数とすれば
xx = aa - bb,
344: yy = 2ab, z = aa + bb, (aは奇数、bは偶数、互いに素な自然数) をみたす整数 a, b が存在する。 2abは平方数だから、aは平方数、bは平方数の2倍 a = ZZ, 2b = ss, また、xx=aa-bb から x = mm - nn, b = 2mn, a = mm + nn, (m,nは互いに素な自然数で、偶数と奇数) をみたす整数 m, n が存在する。 mn = b/2 = (s/2)^2, となり m, n は互いに素だから m = XX, n = YY, (X,Yは互いに素な自然数) ∴ X^4 + Y^4 = nn + mm = a = ZZ, となる。ところが z = aa + bb > aa = Z^4, だから 0 < Z = √a < z^(1/4) (z>1) つまり (x,y,z) より小さな (X,Y,Z) で 同じ条件をみたすものが存在することになる。 しかしこれは (x,y,z) の最小性と矛盾する。(終) A.O.ゲルフォント 「方程式の整数解」 東京図書 数学新書5 (1960) p.71～74
345:日高
19/12/01 08:52:40.81 UkzAFPct.net
ピタゴラス数は、
y^2=2x+1のyに任意の有理数を代入すれば、求めることが出来ます。
346:高添沼田エロ老義父の告発（葛飾区青戸６－２６－６）
21/02/05 17:53:35.50 WSArCHeX.net
491色川高志「井口千明の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」2018/10/18(木) 18:33:15.90ID:78662J73
龍神連合五代目総長・井口千明（葛飾区青戸6－２３－１９）の挑発
井口千明「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合四代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!! 糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)
492盗聴盗撮犯罪者色川高志（青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３2021/02/03(水) 13:53:22.55ID:QtP78E4Z
●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父の逮捕を要請します」
長木親父＆長木よしあき（盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6－23－20
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父
高添沼田ハゲエロ老義父の住所＝東京都葛飾区青戸6－26－６
【通報先】亀有警察署＝東京都葛飾区新宿4ー22ー19 ℡０３ー３６０７ー０１１０
盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／愛人変態メス豚家畜清水婆婆（青戸6－23－19）の
五十路後半強制脱糞
URLﾘﾝｸ(img.erogazou-pinkline.com)
アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父によりバスタブで清水婆婆の巨尻の肛門にシャワーのキャップをはずしてずっぽり挿入。
そして、大量浣腸。 勢い良く噴出！腸内洗浄状態です。
URLﾘﾝｸ(101.dtiblog.com)
浣腸器と異なりどくどくと直腸内に注入され清水婆婆は激しくあえぎます
347:１３２人目の素数さん
21/02/05 19:23:13.31 0vW6EBkH.net
>>322
y=1
348:日高
21/02/16 18:20:46.64 3kd34q0c.net
>324
>>322
y=1
訂正します。
ピタゴラス数は、
y^2=2x+1に、y>1の有理数を代入して、xを求めれば得られます。
349:１３２人目の素数さん
21/03/01 13:04:29.18 C+7k2GlV.net
a = 5
350:√2 - 4√3, b = 3√3 - 5, c = 3√2 - 4, とおくと 3a + 4b - 5c = 0, ∴ a^2 + b^2 - c^2 = (-2a -b +2c)^2 + (c-a)(3a+4b-5c) = (-2a -b +2c)^2 = (-3 -4√2 +5√3)^2 = {2/(147 + 104√2 + 85√3 + 60√6)}^2 ≒ (1/294)^2, ∴ a：b：c ≒ 3：4：5,
351:１３２人目の素数さん
21/03/01 15:47:00.05 C+7k2GlV.net
aa + bb = cc = 65^2 をみたす自然数 (a, b) の組を求めよ。
(略解)
a = k(mm - nn), b = k(2mn), c = k(mm+nn),
k>0, m > n > 0,
とおく。
(k,m,n; a,b) = (1,8,1; 63,16) (5,3,2; 25,60) (1,7,4; 33,56) (13,2,1; 39,52)
352:１３２人目の素数さん
21/03/02 10:52:04.08 K/oD/Qs/.net
d = 5√3 - 4√2 = 3.00340
e = 4√3 + 5√2 = 13.99927
とおくと
dd + ee = (5^2+4^2)(3+2) = 41･5 = 205,
√2 ＝(-4d+5e)/41,
√3 = (5d+4e)/41,
ここで d≒3, e≒14 とすれば
√2 ≒ 58/41 = 1.41463
√3 ≒ 71/41 = 1.73171
353:１３２人目の素数さん
21/03/03 02:30:21.76 SY070HAY.net
a = 5√2 - 4√3 = 1.00005207 / 7,
d = -4√2 + 5√3 = 3.003399788
より
dd - aa = (5^2-4^2)(3-2) = 9,
√2 = (5a+4d)/9,
√3 = (4a+5d)/9,
ここで a ≒ 1/7, d≒3 とすれば
√2 ≒ 89/63 = 1.41270
√3 ≒ 109/63 = 1.73016
354:１３２人目の素数さん
21/08/08 19:29:25.07 HBabw/1p.net
三平方の定理「最古の応用例」
3700年前ごろの古バビロニア (現在のイラク) の遺跡から見つかった粘土板に、
数学の「三平方の定理」を使った正確な直角三角形が描かれていたことが分かった。
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
2021/Aug/08 08:00
てことは「ピタゴラスの定理」ぢゃなかったのか
355:過去ログ ★
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