16/12/03 11:21:14.38 6Rgz8i9T.net
>>615 つづき
>>579-580 そうL^2数列空間（ヒルベルト空間）なんだ
で
＜なぜヒルベルト空間なのか？＞
１．これがよく纏まっている
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp) ヒルベルト空間 - 大人になってからの再学習: 2012-05-21 [物理数学]ヒルベルト空間
(抜粋)
物理学で参考になる「物理のかぎしっぽ」のサイトでも、簡潔に言うと次のような説明のされ方をしている。
ヒルベルト空間とは内積を定義したベクトル空間
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
ところで、WolframAlphaで検索してみたら、次のような説明があった。
A vector space that has a complete inner product. Hilbert spaces are important in the study of infinite-dimensional vector spaces.
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
これは「物理のかぎしっぽ」同様、「内積を定義したベクトル空間」ということだ。シンプルで明快。
ちなみに、内積が計算できるということは、自分自身との内積の平方根から距離（ノルム）を定義でき、角度も扱えるということで、一般的な幾何学の概念を扱える。ということに他ならない。
(引用終り)
２．ヒルベルト空間での数列では、級数(数列の和)が収束する（有限）ことを要求することで、数列を容易に扱うことができるようにしてあると
逆に言えば、ヒルベルト空間外での数列では、級数(数列の和)が必ずしも収束しない（有限でない）から、数列を容易に扱うことはできないと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) で級数
n = 1 -∞ | zn | ^2
が収束するようなもの（自乗総和可能な無限複素数列）全体の成す数列空間を L^2 で表す。
空間 L^2 の完備性は「L^2 の元からなる級数が（ノルムの意味で）絶対収束するならば必ず、その級数が L^2 の何らかの元に収束する」ことを示せば言える。このことの証明は解析学の初歩であり、この空間の元からなる級数は複素数（あるいは有限次元ベクトル空間のベクトル）からなる級数と同程度容易に扱うことができる[5]。
(引用終り)
681:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 11:24:54.55 6Rgz8i9T.net
>>616 つづき
吉田 伸生先生のテキストの歴史の記述が良いね
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
バナッハ空間とヒルベルト空間
(抜粋)
2.3 バナッハ空間とヒルベルト空間
有限次元空間Kd で点列の収束を考えるとき, 完備性(任意のコーシー列が収束すること) が役立つことが少なくない. 例えば, 「絶対収束級数が収束する」という命題は完備性と等価である.
実は, こうした事情は無限次元のノルム空間にも共通している. そこで, 有限次元空間での概念の自然な拡張として完備性を定義し, 完備なノルム空間, 内積空間をそれぞれバナッハ空間, ヒルベルト空間と呼ぶことにする(詳細は定義2.3.1).
今日、バナッハ空間と呼ばれる完備なノルム空間の概念は、1920 年から1922 年にかけて、N. ウィナー, S. バナッハ, E. ヘリー達が独立に導入した^17。
ヒルベルト空間の具体例(主にL^2(N)) はD. ヒルベルトやE. シュミット達が20 世紀初頭から調べていたが, 抽象的な公理はJ. フォンノイマンによる^18(1929 年).
17Norbert Wiener(1894-1964), Stefan Banach(1892-1945), Eduard Helly(1884-1943)
18Johann von Neumann (1903-57)
(引用終り)
なお
”2.4 有限次元ノルム空間
関数解析の俎上にのせるノルム空間はほとんどが無限次元であり, 今我々は本格的に無限次元へ旅立とうとしている. だが, ここで少し立ち止まり有限次元の特性について考えてみよう. この考察は,
逆に無限次元とはどんなものか？
を垣間見ることでもある.”
も、ご注目だ
682:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 11:26:10.45 6Rgz8i9T.net
>>617 つづき
吉田 伸生先生つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
3 ヒルベルト空間続論
(抜粋)
”無限次元内積空間で(3.3) の成立は無条件でない. まず(3.3) の成立にはM が閉部分空間であることが必要(補題3.1.2 参照). また(3.3) が任意の閉線型部分空間M に対して成立するにはX がヒルベルト空間であることが必要十分.
ここでは, 次の二つの場合に(3.3) の証明を目標とする(命題3.1.5)：
a) X が内積空間, dimM < ∞;
b) X がヒルベルト空間, M が閉線型部分空間.
これらは, 後にリースの表現定理(定理4.3.4) で重要な役割を果たす.”
(引用終り)
は、ヒルベルト空間の重要性を示す記述として、示唆的だろう。
683:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 11:29:52.34 6Rgz8i9T.net
>>618 つづき
で (連番は＜なぜヒルベルト空間なのか？＞>>616のつづき)
３．時枝解法のようなヒルベルト空間外での数列を扱う理論は？ 良くしらない。全くないわけではないのだろうが・・・、ヒルベルト空間ほどの理論整備が行われているとは思えない
４．ところで、時枝解法は、あきらかに、級数の収束は要求していない。だから、ヒルベルト空間外での数列を扱うのだ。だが、どうやって？
ヒルベルト空間外での数列のしっぽ？ 同値類？ 決定番号？ そんな理論あるのか？ あるなら教えて・・（＾＾；
684:１３２人目の素数さん
16/12/03 11:38:42.21 mQeh06cb.net
>>604
>>600-602の議論が自然数変数 k≧2 の値を固定せずに上から評価したり、
y-c_0 の下からの評価が抜けていたりして杜撰だった。
しかし、そもそも、スレ主のいう問題に答える「だけを考える」場合は、
可算無限進小数展開なる概念が無意味だった。
>>583で述べたような一様分布の問題や正規数「だけ」を扱ったり考える
にあたっては、可算無限進小数展開なる概念は必要ない。
もし意味が生じたら、有理数体Qが実数体Rの商体で
Rの最小の部分体なることに反し矛盾が生じる。
この場合は、>>591-593の(1)までや、>>599の前半のxの無理性の判定
に帰着されることの議論だけで済む。
685:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 11:53:32.39 6Rgz8i9T.net
形式的冪級数は、ヒルベルト空間の外かな？（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
形式的冪級数
(抜粋)
数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series）とは、多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（X を不定元として）
(n = 0 - ∞) X n = 1 + X + X^ 2 + X^ 3 + ? + X^ n + ・・・
は（多項式ではない）冪級数である。
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, a formal power series is a generalization of a polynomial, where the number of terms is allowed to be infinite; this implies giving up the possibility of replacing the variable in the polynomial with an arbitrary number.
686:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 12:21:35.44 6Rgz8i9T.net
>>621 形式的冪級数 関連 引用
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:125番)
125 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2016/05/15(日) 07:50:16.70 ID:2TKPQHsX
>>93 自己レス
”時枝の箱の列←→形式的冪級数の集合R[[x]]”と書いたけど
下記、落合理先生は、「係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である.」という
「時枝の箱の列←→形式的冪級数 という全単射対応は、認めるとしよう」と書いたけど、間違いかな。ここ突っ込んでくる人いなかったけど（＾＾；
K[[X]] が”次元は非可算無限”という理由は、テイラー展開の二項定理 (1+x)^α （αは任意の実数 または複素数）で、これが形式的冪級数に展開できるからだろう
しかし、全単射可能だと、ベクトル空間の次元は一致しないといけない。だから全単射ではない？ はて
メモしておきます
ともかく、時枝先生のなぞかけは、けっこう深いね
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
数学考究２ 確認小テスト解説(10-8) 落合理 大阪大学 20151008
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
確認小テスト問題(10/8)
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
確認小テスト解説(10/8)
Q.[3] 次のベクトル空間V に対して, 基底を具体的に記せ.
(4) K 係数の1 変数多項式環K[X].
A.[3](4)
例えば, 1,X,X^2, ． ． ． ,X^n, ． ． ． が基底となる.
発展的コメント
若干の注意を与えておく. 教科書の定理1.6.7 によって勝手なK ベクトル空間は基底を持つことが知られている.
しかしながら, V が無限次元のときには与えられたベクトル空間に(4) のようにわかりやすい基底がとれるとは限らない.
例えば, K[X] の代わりに係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である.
（引用おわり）
以下略
687:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 12:25:59.79 6Rgz8i9T.net
>>622 補足
落合理先生は、形式的冪級数で、”係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である.”
とあるから、ヒルベルト空間の外なんだろうね
が、「次元は非可算無限である」の理屈がわからん・・（＾＾；
688:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 13:08:34.29 6Rgz8i9T.net
>>623 ついでに
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
教育活動およびその他の仕事 落合理 大阪大学
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
「数学オリンピック財団主催JMO夏季セミナー」 でのレクチャートーク (180分)(2010/8/26) (木)
「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」
講演ノートのPDFファイル （実際の講義では 本ノートの６割ほどの内容しか話せず, 複素数の部分, 素数定理, ゼータ関数の部分の後半や レムニスケート関数の部分はカットせざるを得なかった）
(抜粋)
1.4. 超越数.
先にみたように「ほとんどの」数は超越数である. 広い海岸に果てしなく敷き詰められた砂の一粒一粒を数に例えるとその一粒（数）を何の作為もなく勝手につまみあげたならば,
その数はたいてい超越数でなければならない. が, 一方で, 実際に数が与えられたときに,その数が超越数であるかを判定するのは簡単ではない.
軽く脱線して, [Kd] の中に採録された小平邦彦氏が定年間近で書いた「数学に王道なし」という文章を引用すると,
「筆者は中学の時からπ が無理数であることをよく理解していたが最近までその証明を知らなかった. . . 不思議なことに最近I.Niven によるその（無理数性の）証明を読んだ時それによってπ が無理数であるという事実に対する理解が一段と深くなったとは感じなかった
. . . 証明はただπ が無理数であるという明白な事実を確かめたに過ぎないと感じた. . .」
というくだりがあって興味深い^10.
10 その前後に小平氏が学習過程で発展的発見をしたエピソードや勉強の仕方も挙げられているので上の言葉だけを引用するのは少し誤解を誘導する危険があるかもしれない.
現代数学の超越数論にはまだまだ限界があり, 超越数であるかそうでないかを判定できない数が沢山ある.
例えば, [S, p 69] によると和e+π は無理数かどうかもわからない. あとで登場するリーマンゼータの奇数点での値のように超越数であると予想されていても何も知られていない数もある.
つづく
689:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 13:09:30.61 6Rgz8i9T.net
>>624 つづき
3. 数論的多様体の周期積分
3.1. 周期とは. Kontsevich とZagier の概説論文[KZ] を参考にして周期という概念を導入したい.
問 P の中に入らない実数を与えられるだろうか？
という問もKontsevich-Zagier の論説のなかで提起されている. これに関しては吉永正彦さんの結果[Y] としてひとつの解答が得られている.
吉永さんは, 数学基礎論や計算論の研究でよく知られている次のような複素数の世界の階層構造に着目した.
{ 代数的数} ⊂ { 初等数} ⊂ { 計算可能数} ⊂ { 複素数}.
そしてさらに次の定理を示した.
定理3.4 (吉永). P ⊂ { 初等数} となる.
[Y] にも説明があるように, 初等数でない複素数の例が知られているので, Kontsevich-Zagier の問に対する答えが得られたことになる.
(引用終り)
690:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 13:47:07.15 6Rgz8i9T.net
sage
691:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 13:51:14.04 6Rgz8i9T.net
>>623
こんなのが
URLﾘﾝｸ(math.sta)
ckexch
ange.com/questions/176475/what-is-the-standard-proof-that-dimk-mathbb-n-is-uncountable
linear algebra - What is the standard proof that dim(k^N is uncountable? - Mathematics Stack Exchange: asked Jul 29 '12 at 13:46 Chindea Filip
What is the standard proof that dim(kN)is uncountable?
This is my (silly) proof to a claim on top of p. 54 of Rotman's "Homological algebra".
略
1 Answer answered Jul 29 '12 at 14:29 Asaf Karagila
One liner argument which uses a much more difficult theorems (swatting gnats with cluster bombs kind of proof):
kN is the algebraic dual of the polynomials in one variable,
692:k[x] which has a countable dimension. If kN had a countable basis then k[x] would be isomorphic to its dual, and since this cannot be we conclude that kN has a basis of uncountable size. The arguments given in Arturo's answer show that the above is indeed a proof (in particular Lemma 2 with κ=?0 ).
693:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 13:52:09.33 6Rgz8i9T.net
>>627 再投稿
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
linear algebra - What is the standard proof that dim(k^N is uncountable? - Mathematics Stack Exchange: asked Jul 29 '12 at 13:46 Chindea Filip
What is the standard proof that dim(kN)is uncountable?
This is my (silly) proof to a claim on top of p. 54 of Rotman's "Homological algebra".
略
1 Answer answered Jul 29 '12 at 14:29 Asaf Karagila
One liner argument which uses a much more difficult theorems (swatting gnats with cluster bombs kind of proof):
kN is the algebraic dual of the polynomials in one variable, k[x] which has a countable dimension. If kN had a countable basis then k[x] would be isomorphic to its dual, and since this cannot be we conclude that kN has a basis of uncountable size.
The arguments given in Arturo's answer show that the above is indeed a proof (in particular Lemma 2 with κ=?0 ).
694:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 13:52:25.87 6Rgz8i9T.net
>>627-628
695:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 13:54:13.97 6Rgz8i9T.net
なにかこの略のところに、NG原因があるんだね
HTTP 403 エラーメッセージ Forbidden が出て書けなかった
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
696:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 14:03:09.06 6Rgz8i9T.net
>>628 ついで
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
Finding a basis of an infinite-dimensional vector space? asked Nov 29 '11 at 16:30 InterestedGuest
2 Answers answered Jan 20 '12 at 19:25 Qiaochu Yuan
For many infinite-dimensional vector spaces of interest we don't care about describing a basis anyway; they often come with a topology and we can therefore get a lot out of studying dense subspaces, some of which, again, have easily describable bases.
In Hilbert spaces, for example, we care more about orthonormal bases (which are not Hamel bases in the infinite-dimensional case); these span dense subspaces in a particularly nice way.
4. answered Jan 20 '12 at 19:09 David Wheeler
The "hard case" is essentially equivalent to this one:
Find a basis for the real numbers R over the field of the rational numbers Q.
The reals are obviously an extension field of the rationals, so they form a vector space over Q. It should be clear that such a basis has to be uncountable (for if it were countable, the reals would likewise also be countable).
It should also be clear that such a basis is a subset of {1}∪R?Q. The trouble is, that the power set of the reals is "so big" that it's not even clear how to name the sets we need to apply the axiom of choice TO. Linearly independent subsets however, DO satisfy the requirements for Zorn's Lemma, a form of the Axiom of Choice.
A relatively easy-to-follow proof of the existence of a basis for any vector space using Zorn's Lemma can be found here: URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
697:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 14:20:00.87 6Rgz8i9T.net
>>631 ついで
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
Ring of formal power series finitely generated as algebra? asked Jan 6 '13 at 13:44 user55354
I'm asked if the ring of formal power series is finitely generated as a K-algebra. Intuition says no, but I don't know where to start. Any hint or suggestion?
2 Answers
Let A be a non-trivial commutative ring. Then A[[x]] is not finitely generated as a A-algebra.
Indeed, observe that A must have a maximal ideal m, so we have a field k=A/m, and if k[[x]] is not finitely-generated as a k-algebra, then A[[x]] cannot be finitely-generated as an A-algebra. So it suffices to prove that k[[x]] is not finitely generated.
Now, it is a straightforward matter to show that the polynomial ring k[x1,…,xn] has a countably infinite basis as a k-vector space, so any finitely-generated k-algebra must have an at most countable basis as a k -vector space.
However, k[[x]] has an uncountable basis as a k-vector space. Observe that k[[x]] is obviously isomorphic to kN, the space of all N-indexed sequences of elements of k, as k-vector spaces. But it is well-known that kN is of uncountable dimension: see here, for example.
698:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 14:24:42.83 6Rgz8i9T.net
Arturoの回答が、詳しいが
あまり理解できない
和文落ちてないかな（＾＾；
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
Why are vector spaces not isomorphic to their duals?
asked Aug 19 '11 at 19:04 Asaf Karagila
3 Answers edited May 1 '15 at 10:55 community wiki 9 revs, 4 users 99% Arturo Magidin
This is just Bill Dubuque's sci.math proof (see Google Groups or MathForum) mentioned in the comments, expanded.
Edit. I'm also reorganizing this so that it flows a bit better.
略
699:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 14:39:07.78 6Rgz8i9T.net
>>633 追加
正直わからん
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com) tor-spaces-not-isomorphic-to-their-duals/58598#58598
8. answered Aug 19 '11 at 21:07 MartianInvader
(抜粋)
And a finite linear combination of things that have finite-dimensional support will still have finite-dimensional support, and thus can't send infinitely many independent vect ors all to 1.
What you need is a notion of convergence if you want to add infinitely many things, which isn't always obvious how to define.
In the end, it boils down to a cardinality issue - not of the vect or spaces themselves, but of the dimensions. In the example you give, R＾<ω has countably infinite dimension, but the dimension of its dual is uncountable.
700:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 14:40:37.85 6Rgz8i9T.net
NGワード出まくりで、わけわからんな 怪しいところを全部カットした。リンクを辿れ
おっと、リンク通るかな？
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
701:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 14:41:21.99 6Rgz8i9T.net
ああ、vector は通るみたいだな
702:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 15:01:30.15 6Rgz8i9T.net
>>633
和文の証明がないが・・・（＾＾；
下記教えて！gooの対角線論法で、「R の位相的特徴を抜きにその濃度が可算でないことを示すことは非常に困難だと思われます」に従うと
f(x)=x^α ｜ αは任意の実数で、連続に取れるとする
f(x)をテーラー展開すると、形式的べき級数が得られるから
形式的べき級数→x^α ｜ αは任意の実数で、連続に取れる→次元αは連続の濃度
みたいな筋は浮かぶけど
そんな程度かな？
>>622の落合理先生の数学考究２は、初年度に近いところの講義らしいからね
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
対角線論法 １０進数展開 質問者：gururinbus 質問日時：2007/06/15 03:02 教えて！goo:
No.4 回答者： koko_u_ 回答日時：2007/06/16 10:58
着眼がイイですね。
実数 R は通常、有理数 Q を通常のユークリッド位相 |・| で完備化したものとして定義されるので、その位相が R を特徴付けていると言っても過言�
703:ﾅはないでしょう。 そのため、R の位相的特徴を抜きにその濃度が可算でないことを示すことは非常に困難だと思われます。 形式的な 10進表記を定式化するならば、羃級数の環 S = { Σ_{i=i_0～∞} a_iX^i | a_i ∈ Z } を考えて、位上げは 10X - 1 ∈ S から生成される単項イデアルによる剰余環を考えることになるでしょう。 剰余環 S/(10X-1) の元 f(X) に (1/10) を「代入」すると実数 R の元が得られます φ: S/(10X-1) -> R S/(10X-1) にも対角線論法は使えますが、上記の φ を考えるには、やはり R の位相的性質を考えざるを得ません。
704:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 15:18:40.72 6Rgz8i9T.net
>>114 あと、いままで押さえて言ってない話が、計算複雑性理論
「～は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.」>>114
は、計算複雑性理論からは現実的実行は無理だよ（実行不可能）
これは、数学的可否の理論よりずれているから、いままで出さなかったが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
計算複雑性理論
計算複雑性理論（けいさんふくざつせいりろん、computational complexity theory）とは、計算機科学における計算理論の一分野であり、アルゴリズムのスケーラビリティや、特定の計算問題の解法の複雑性（計算問題の困難さ）などを数学的に扱う。計算量理論、計算の複雑さの理論、計算複雑度の理論ともいう。
「計算量」と「計算複雑性」はともに computational complexity に対応する語であるが、個々のアルゴリズムの効率に着目する文脈では「計算量」が広く用いられるのに対し、問題に内在する本質的困難さを表す意識からは「複雑性」「複雑さ」が好まれる傾向がある。
概要
計算複雑性理論は計算可能関数の計算の複雑さを扱う。計算理論のもう一つの重要な分野である計算可能性理論では問題の解法があるかどうかだけを扱い、その複雑さや必要とする計算資源量は問わない点が異なる。
具体的には、計算複雑性理論は「あるアルゴリズムへの入力データの長さを増やしたとき、実行時間や必要な記憶量はどのように増えるか？」という問いに答える。これは、計算機の実際的な限界を与えるものであり、この理論は産業や社会にとって重要な意味を持つ。
なぜならば、計算機の性能は向上しているが、解析すべき情報も増加しているため、アルゴリズムが入力データ長の増大にうまく対応できるか否かで、計算機が現実的な問題を解決するのに役に立つか否かが決まるからである。
計算複雑性理論では、計算問題やそれを解くアルゴリズムを、NPやPといった複雑性クラスに分類する。
個々の計算問題を少ない計算資源で解くアルゴリズムを発見することはもちろん計算機科学の重要な課題だが、複雑性理論ではこれにとどまらず、計算問題が何らかの複雑性クラスに属すること、あるいは属しないことを証明したり、クラス間の階層構造を解明することも目標とする。
705:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 15:46:19.37 6Rgz8i9T.net
>>624 追加
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
「数学オリンピック財団主催JMO夏季セミナー」 でのレクチャートーク (180分)(2010/8/26) (木)
「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」
(抜粋)
複素数の中で, Q :={ 代数的数} は代数的な手法（ガロア理論）で扱える最も広い世界であり, Q の外に少しでもはみ出た世界は全て超越数であり, 通常のガロア理論では統制されない世界である.
次のような互いに相反する２つの事実に注意したい.
注意1.14. (1) Q は(ある意味で) それほど「大きくない」. 濃度をみると|Q| = |Q| である. (実際, 各自然数i でSi をQ 係数のi 次既約多項式の集合のi 個の和集合として, 定理1.8 (3) の応用として示すことができる. もちろん定理1.8 (
706:1), (2) も用いる) (2) Q は(ある意味で) それなりに「大きい」. Q の体としての対称性をつかさどる群（ガロア群）は非常に豊富かつ複雑な構造をもっている. ここで数学と言うのは対称性を非常に大事にするとともに対称性を研究対象とする学問であり対称性を記述するのが「群」の言葉である例えば多面体の対称性などは多面体群という種類の群のことばで記述される. また体の対称性など目には見えない対称性もガロア群で司られている. ガロア理論成立以後の１世紀以上間の様々な整数論の研究の積み重ねによって有理数体上の代数拡大の対称性は以下の問題としても集約されている. そして現代数学の課題Q がもつ対称性の構造を究明したい. という問題がある. 例えば, 次のような予想は有名である: 予想（ガロアの逆問題） 全ての有限群はQのガロア群の商となるだろう. 同値な言い換えとして, 勝手な有限群 G に対してQ の有限次ガロア拡大K でGal(K/Q)～=G となるものが存在するだろう. 例1.15. 例えば正４角形（正方形）の対称性をつかさどる群 ?σ, τ |σ4 = τ 2 = 1, τστ = σ?1? に対しては, K = Q( 4√2, i) とすると, τ : i 7→ ?i, 4√2 7→ 4√2σ : i 7→ i, 4√2 7→ i 4√2 なる変換は加減乗除を保つ体の同型である. (引用終り)
707:１３２人目の素数さん
16/12/03 16:44:48.18 mQeh06cb.net
>>612
>つまり、単に有限からの類推を示したにすぎない（結局実際には可算無限を直接見ていないのだ）
おっちゃんです。
可算無限を実無限の世界で直接見ることが出来ると思っていることが間違い。
実無限の世界で可算無限を直接見ることが出来るとする。
平面Cに無限遠点∞を加えることで、リーマン球面 P^1＝C∪{∞} が構成される。
無碍遠点∞から P^1 上の点Pに引いた直線全体の集合をXとする。
無限遠点∞から引いた P^1 上のあらゆる点と交わらない直線との全体の集合をYとする。
S＝X∪Y とする。任意のXの直線と交わりかつYのあらゆる直線と交わらない平面が一意に存在し、
広義の複素平面 C∪{∞} は P^1 で表せる。複素平面 C とユークリッド平面 R^2 は同型で、
無限遠点∞と正の無限大 +∞ の絶対値について、|∞|＝|+∞|＝+∞ である。
従って、平面 C＝P^1＼{∞} から広義の複素平面 P^1 を構成したことと同様にして考えると、
平面 R^2 に対して無限遠点∞にあたる正の無限大 +∞ を点として加えて
広義の複素平面 P^1＝C∪{∞} にあたる広義の平面 R^2∪{+∞} が構成出来る。
広義の平面を P＝R^2∪{+∞} とおく。すると、広義の平面P上では、平面 R^2＝P＼{+∞} 上の
実無限での可算無限にあたる点としての +∞ を直接見られる。そして、広義の複素平面 P^1 上の
無限遠点∞は、平面C上の点0から任意の方向に半直線を引くと、実無限での正の無限大 +∞ にあたる点である。
従って、平面 R^2 上の原点 O(0, 0) から任意の方向に半直線を引いたとき、
可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見ることが出来ることになる。
しかし、Oから半直線を引いたとき、可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見られるのは、
Oからx軸の正方向に半直線を引いたときだけである。これで矛盾が導けた。
幾何的に見て、実無限の世界で可算無限を直接見ることは出来ないことは分かる。
708:１３２人目の素数さん
16/12/03 17:03:07.61 mQeh06cb.net
>>612
>>640の訂正：
無碍遠点∞ → 無「限」遠点∞
そして下から行目の「しかし、…(略)…。」の文は、
>しかし、任意の正の実数εに対して ε＜+∞ だから、Oから半直線を引いたとき、…(略)…。
と訂正した方がよいか。
平面 R^2 上で、任意の ε＞0 に対して、(ε, 0) はx軸上の点である。
709:１３２人目の素数さん
16/12/03 17:37:22.50 mQeh06cb.net
>>612
>>641の「そして下から行目」の部分は「そして下から3行目」の間違い。
下から3行目の文の話。
710:１３２人目の素数さん
16/12/03 17:51:46.69 mQeh06cb.net
>>612
ややこしいから、まとめて>>640を訂正する。>>640の下の方の
>従って、平面 R^2 上の原点 O(0, 0) から任意の方向に半直線を引いたとき、
>可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見ることが出来ることになる。
>しかし、
711:Oから半直線を引いたとき、可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見られるのは、 >Oからx軸の正方向に半直線を引いたときだけである。これで矛盾が導けた。 の部分は >従って、平面 R^2 上の原点 O(0, 0) から任意の方向に半直線を引いたとき、「広義の平面P上では」 >可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見ることが出来る。 >しかし、任意の正の実数εに対して ε＜+∞ であり、(ε, 0) は座標平面 R^2 のx軸上の点だから、 >Oから半直線を引いたとき、「広義の平面P上で」、可算無限にあたる点としての実無限での >正の無限大 +∞ を見られるのは、Oからx軸の正方向に半直線を引いたときだけである。 >これで矛盾が導けた。 と訂正。
712:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 17:55:38.34 6Rgz8i9T.net
>>640-642
おっちゃん、どうも。スレ主です。
分かってるじゃんか！（＾＾；
だから、「幾何的に見て、実無限の世界で可算無限を直接見ることは出来ない」にもかかわらず
あたかも、直接見ることは出来るような、時枝記事の可算無限数列のしっぽの同値類
そこは大いに怪しいところだろうよ（＾＾；
713:１３２人目の素数さん
16/12/03 17:59:51.97 mQeh06cb.net
>>612
>>640で「S＝X∪Y とする。」必要はないか。
じゃ、おっちゃん寝る。
714:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 18:07:49.21 6Rgz8i9T.net
突然ですが
Home page of Yoshinobu Laboratory at ISSP:
吉信研究室 東大
URLﾘﾝｸ(yoshinobu.issp.u-tokyo.ac.jp)
徒然なるままに Jun YOSHINOBU
素粒子の狩人（2009/4/12）
(抜粋)
朝日新聞夕刊のニッポン人脈記は面白い連載記事であり，現在は「素粒子の狩人」というシリーズが続いている．このシリーズは昨年３人の日本人がノーベル物理学賞を受賞したことが下地となっている．
シリーズ第２回目では「イチゴの味？ チョコの味？」と題して，東大・数物連携宇宙研究機構（IPMU）の村山さんにスポットを当てた記事であった．その中に，懐かしい名前を見つけて少々感動した．
京都大学理学部1~2回生で同じクラス（1980年入学のS６）だった大栗博司さん（カリフォルニア工科大学=CALTEC H 教授）がその人である．
当時，京大理学部の入学定員は281人であったが，それは1人の天才＋280人の凡才であり，彼がその一人であるとよく仲間で話をしたものだ．
実際，「彼が物理に行くから」という理由で，３回生からの専門分野を化学や生物にした人が何人かいる．
昨年，京大理で集中講議をしたあと，人文研所属（生命科学研究科兼任）で科学コミュニケーション論・生命倫理が専門の加藤和人准教授の研究室に立ち寄ったときも，その話で盛り上がった（加藤さんもS６だった）．
私がピッツバーグ大学でポスドクをしていた時，大栗さんはすでにシカゴ大学の助教授をされており（一度シカゴを訪ねたときお世話になった），その後，京大数理研，カリフォルニア大バークレー校を経て，現在CALTECHに在籍．
昨年はLeonard Eisenbud Prize for Mathematics and PhysicsおよびHumboldt Research Awardと続けて国際的な賞を受賞された．
大栗さんは東大IPMUの主任研究員でもある．IPMUの建物は柏キャンパスの物性研と宇宙線研の間に現在建設中である．
715:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 18:11:15.03 6Rgz8i9T.net
>>645
おっちゃん、ありがとうよ（＾＾；
お疲れです
追伸
おっちゃんも、分かっていると思うが
可算無限の数列のしっぽなんて、「同値から推移律確認！ はいおわり」
それですむ話じゃないだろうと
716:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 18:18:01.13 6Rgz8i9T.net
大栗先生からみ
URLﾘﾝｸ(research.kek.jp)
瀬戸秀紀（せと・ひでき） �
717:ｃGネルギー加速器研究機構 物質構造科学研究 中性子科学研究系教授・工学博士 http://research.kek.jp/people/seto/road2res1.html 研究者への道 表紙へ 1. 学部生まで (抜粋) 私が物理学者を志したのは高校生の時だったと思うのだが、きっかけは中学3年生の時だった。同級生から紹介されて読んだ相対性理論に関するブルーバックス。たぶん都筑卓司さんか佐藤文隆さんの本だったのではないだろうか。 もう一つ印象に残っているのが、3回生の時のシッフの「量子力学」を原書で読んだゼミ。同級生同士でやったのだがその中の１人がめちゃくちゃできるやつで、何だかひどい劣等感に呵まれた記憶がある。 その１人、と言うのは大栗博司君で、その後京大の修士課程を出た途端に東大の助手になり、超弦理論の有名人となり若くしてカリフォルニア工科大の教授になった、とのこと。さもありなん、である。 つづく
718:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 18:19:20.10 6Rgz8i9T.net
>>648 つづき
また当時遠藤研の助手だった田村剛三郎先生には、物性実験とはどういうものか、その神髄を教えてもらったような気がする。
この課題演習での実験は泥臭く、高校生の頃に想像していたような華々しい「物理学」とは印象を異にするものだったのだが、しかしむしろ私の進路に対する影響は大きかった。
なんせそれまで同級生や先輩と接してきて自分より優秀な人が多いものだなー、と感じていて、当初の志望だった素粒子論や宇宙論なんて無理かも、と思っていた矢先である。自分に向いているのは理論よりも物性実験かも知れない。そんな方向性を決定づけてくれたのが、このＢ１での半年間の経験だった。
そして十分に準備して大学院入試に臨んだものの残念ながら面接で落とされ（今でも覚えているのだが、物一の面接に進んだ19人の中で落とされたのは3人だけだった）、たまたま受けた（確か友達が受ける、と言ったからつきあいで受けたのだったと思う）阪大基礎工への進学、と言う道を選択せざるをえなくなる。
しかし後から考えると、この転換点は私の「研究者への道」にとっては非常に大きなものだったようだ。
阪大基礎工の大学院に進学した理由は、もちろん京大に落ちてそこしか行くところがなかったからなのだが、それよりも院試に落ちた直後に浅井先生に相談に行った時に「あなたは阪大に行きなさい」と言われたのが決定的だった。
浅井先生と他に話をした記憶はほとんど残っていないのだが、この冷たい宣告（と、当時は思った）は非常に印象的で、これを聞いて私は「いずれ京大を見返してやるぞ」と思ったものだった。とは言え「相転移」をメインテーマにしたいと思っていた私にとっては、実は京大理よりも阪大基礎工の方が適していた、と言うのは後から分かったこと。
そう言う意味では、浅井先生の忠告は極めて適切だった、と言わざるをえない。
因みにその浅井研での課題研究でやったこと、と言えば、同級生の川口昭夫君と一緒にエイコサンの結晶を走査電子顕微鏡で見て、その写真を撮っただけだった。
京大理学部の伝統のおかげで卒論を書くこともなく（つまり「研究」の名には値しない）課題研究の単位をもらい、高校の理科教員の資格ももらって、学ぶ
719:ことの多かった京都の4年間を無事終えて大阪に移ることになった。 (引用終り)
720:１３２人目の素数さん
16/12/03 18:38:26.96 a5s7rEiu.net
お前が言ってるのは
類別可能か不可能かわからない
ってだけだ。俺が言ったのは
類別不可能であることを証明せよ
だ。何故ならお前が
類別可能であるとの仮定は現実離れしている
と言ったからだ
自分の発言に責任を持ちなさい、持てないならお前はただのホラ吹き小僧だ
721:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 18:40:32.23 6Rgz8i9T.net
>>647
時枝記事の問題点>>114-115 を、まとめておく
１．そもそも、可算無限の数列のしっぽなんて、「同値から推移律確認！ はいおわり」 それですむ話じゃないだろう
２．コーシー列はヒルベルト空間内だが、時枝記事のR^Nはヒルベルト空間外。ヒルベルト空間外の数列は扱いが難しい。ま、そこらがトリックのネタだろう
３．”しっぽが一致する”を実際の数列について、判別する方法（実行方法）が与えられていない（絵に描いた餅だ。数列の最初から見て行っては終わらない）
４．決定番号があやしい。特に、決定番号の確率分布がすそが重い（超ヘビー）確率分布になるから、99/100が言えない（∵大数の法則も中心極限定理も不成立だから）
５．さらに、確率分布の変数として、決定番号を見たときに、定義域は[1, ∞)となる。だから、∞まで考える必要がある。この点からも、99/100は簡単に言えない
６．０～９の数を箱に入れる極簡単なミニモデルでも、可算無限数列のしっぽは、現代数学では扱えない
（このミニモデルでは、実数の無限小数展開と平行して論じられるので、便利なのだが）
まして、任意の実数が箱に入る場合（つまり１つの箱に連続無限大の自由度があるモデル）においておや
722:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/03 19:11:54.70 gn3EMfBZ.net
￥
723:１３２人目の素数さん
16/12/03 19:16:35.86 5clYESIp.net
哲也～ん
724:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/03 19:28:09.71 gn3EMfBZ.net
馬鹿板は反知性的。そやしセンでもヨロシ。
￥
725:１３２人目の素数さん
16/12/03 19:40:17.22 lwy6STi8.net
誰が反知性的か明確にしたらどう？
726:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 19:42:06.68 6Rgz8i9T.net
>>650
はいはい
訂正しておくよ
（訂正開始）
2016年の現時点では、ある実数が、下記のような収束級数として、与えられたときに、e＋πなどは、無限小数展開で、有理数であるのか無理数であるのか証明されていない」、つまり判別できない
有理数は、無限小数展開で、循環小数になることが分かっている（「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」落合理 P2より）
だから、e＋πなどは、無限小数展開のすその方で、循環小数になるか否か現時点では不明
さて、e＋πの無限小数展開から、時枝記事の数列a0,a1,a2,a3,・・・・,an,・・・ が構成可能だ
ところで、e＋πなどは、無限小数展開のすその方で、循環小数になるか否かが分からないとなにが不都合か？
>>114 2項で「～は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく」となっているので、この実行が時枝解法のキモ
数列のしっぽの判別で、どの類に属するか（例えば大まかに言えば有理数に属するか無理数に属するか）が分からないと、この解法が実行できない
2016年の現時点では、数列のしっぽの判別が、実行できない例があると
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
収束級数
例
オイラーの定数 γ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オイラーの定数 γ
あるいは、
e =1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・+1/n!+・・・
π=1-1/3+1/5-1/7+・・・=Σn=0-∞(1/(2n+1))*(-1)^n （ライプニッツの公式）
で、e＋πやe－πや円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない。（下記）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
「数学オリンピック財団主催JMO夏季セミナー」 でのレクチャートーク (180分)(2010/8/26) (木)
「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」落合理 大阪大学
(抜粋)
実数の中で有理数は循環小数として特徴づけられる.
(引用終り)
（訂正おわり）
727:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 19:43:50.63 6Rgz8i9T.net
新スレ立てた （＾＾；
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む26
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
728:１３２人目の素数さん
16/12/03 20:45:28.09 a5s7rEiu.net
お前の理屈だと、解けない方程式は解を持たないことになるなｗ
729:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/03 21:50:21.43 gn3EMfBZ.net
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730:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/04 01:04:45.83 l4ny/Yu3.net
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16/12/04 06:20:20.28 l4ny/Yu3.net
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16/12/04 11:21:21.14 l4ny/Yu3.net
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16/12/04 11:21:40.36 l4ny/Yu3.net
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16/12/04 11:22:20.91 l4ny/Yu3.net
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736:１３２人目の素数さん
16/12/04 20:03:32.13 9Uelqk4z.net
対称群の剰余類分割を、ガロアのようなに順列の軌道で説明するやり方は、とてもわかりやすいですね。基礎的な性質が自明に思える。
737:１３２人目の素数さん
16/12/07 16:31:12.25 lwpx36vY.net
理科大ですらブルバキで集合・位相学ぶのにおまえらときたら。これ本当の話ね
738:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/07 16:58:49.13 1OWUkAqJ.net
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739:１３２人目の素数さん
16/12/07 17:45:34.82 SeS5cKZo.net
フランス語の原典じゃないんでしょ？
740:１３２人目の素数さん
16/12/07 19:31:45.17 lwpx36vY.net
もちろん日本語の翻訳版です
741:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/07 19:55:40.19 1OWUkAqJ.net
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16/12/07 19:55:55.63 1OWUkAqJ.net
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16/12/07 19:56:47.35 1OWUkAqJ.net
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16/12/07 19:57:04.53 1OWUkAqJ.net
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16/12/07 19:57:41.87 1OWUkAqJ.net
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16/12/07 19:57:59.04 1OWUkAqJ.net
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749:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/07 19:58:15.25 1OWUkAqJ.net
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750:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/07 19:58:31.15 1OWUkAqJ.net
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751:１３２人目の素数さん
16/12/07 20:26:54.01 SeS5cKZo.net
翻訳じゃあダメだ。無意味。
752:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/07 21:15:06.41 1OWUkAqJ.net
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753:１３２人目の素数さん
16/12/08 18:14:05.09 ZmhBdN6W.net
代入で同型写像を実現していることも注意しなくてはならない。ガロア第一論文を理解するためには。
754:１３２人目の素数さん
16/12/15 22:53:24.32 6L1NmMuY.net
ガロア群の中で考えれば、値を変えない置換の全体が、群をなす。これは極めて重要な性質で、きちんと証明しておくべき。
そのあたりを倉田先生が誤解してるので、ガロアを読む、はへんな本になってしまたのではないか。
755:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/17 15:11:10.84 LhaePwX1.net
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16/12/17 15:11:30.44 LhaePwX1.net
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16/12/17 15:11:49.47 LhaePwX1.net
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16/12/17 15:12:08.16 LhaePwX1.net
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16/12/17 15:12:26.99 LhaePwX1.net
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16/12/17 15:12:46.48 LhaePwX1.net
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16/12/17 15:13:06.29 LhaePwX1.net
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16/12/17 15:13:25.16 LhaePwX1.net
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16/12/17 15:14:05.31 LhaePwX1.net
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765:１３２人目の素数さん
16/12/17 18:55:44.83 fNfr31X/.net
ガロア第一論文では、正規列に工夫があり、
G1⊃G2⊃G3⊃… として、
Gi+1は、Giの正規部分群で指数が最小の素数となるもの、になってる。どうしてかというと、ラグランジュ分解式の１のべき根が、変化しないことを保証するため。
これも、第一論文を理解するには重要です。
766:１３２人目の素数さん
16/12/18 14:59:52.50 uqxYD+Rm.net
あなた誰？ まさかトンデモの「哀れな素人」とか。
767:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/18 17:09:47.19 PXSJSVkX.net
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16/12/18 17:10:04.78 PXSJSVkX.net
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16/12/18 17:11:50.22 PXSJSVkX.net
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774:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/18 17:12:09.00 PXSJSVkX.net
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775:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/18 17:12:26.66 PXSJSVkX.net
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776:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/18 17:12:44.64 PXSJSVkX.net
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777:１３２人目の素数さん
16/12/20 21:11:32.16 BoiY85vy.net
ガロアの“順列の群”すばらしいですね。順列をグループ分けして書き、それらの性質から、ラグランジュに足りなかったものすべてを発見した。
本来なら感動的に語られるべきですが、“ガロアを読む”での扱いは酷いです。
あの本は日本の数学教育をねじまげてしまったのではないか。
778:１３２人目の素数さん
16/12/20 23:40:39.65 7eI1x8Ue.net
何だか話題が変わったと思ったら、スレタイに帰ったのか。
よきかなよきかな
779:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/21 14:41:14.38 0N19MYRA.net
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