16/11/27 08:58:23.84 dKz7cXDk.net
>>510 補足
ヒルベルト空間の分かり易い説明
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
ＥＭＡＮの量子力学
波動関数っていうのは、難しく考えなくても、ただのド・ブロイ波（物質波）だ。
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
ＥＭＡＮの物理学・量子力学・ヒルベルト空間: 知らなくてもいいのだが、知らないと恥ずかしい。
(抜粋)
量子力学をやっていると「ヒルベルト空間」なんて言葉によく出くわす。実は学ぶ上でどうしても知っていなければいけないという言葉ではない。なぜならこれは数学用語だから�
583:ｾ。 しかし、知らないというのは立場が弱い。学んだばかりの知識をひけらかす友人たちや、生徒を買い被ったフリをして楽しんでいる教授たちの口から「波動関数とはヒルベルト空間内で定義されるベクトルだ」なんて言葉が飛び出してくると、「それは一体何を意味するんだ？知ってなきゃいけないのか？」と不安にさせられてしまう。 もしこんな事態に遭遇しても、 「ああ、そうだね。ついでに言えば、それは『無限次元複素ヒルベルト空間』のことだよね。」 と軽くかわすことが出来れば時間を無駄にしないで済む。 ベクトル空間 内積空間・ノルム空間 完備性 さて「ヒルベルト空間」はまだなのかと待っていることと思うが、ここまでの話にもう一つ条件を加えるだけでいい。 内積空間が完備性を持つとき、「ヒルベルト空間」という。 ノルム空間が完備性を持つとき、「バナッハ空間」という。 バナッハ空間については今回の話とは関係ないが、まぁ、数学ではこんな具合に分類されて名前が付いているんだよ、という雰囲気をつかめるように書いておいた。 な。物理学者は「ヒルベルト空間」なんて言葉でカッコつけなくてもいいんだよ。他の数学的空間の性質と区別する必要があるときにだけ使えばいいんだからさ。 で、気になっていることと思うが、「完備性」とは何だろうか。 つづく
584:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 09:00:54.00 dKz7cXDk.net
>>529 つづき
数学的な表現はやめて、分かりやすく言い直そう。これはベクトルが連続であることを定義しているのである。この性質は微分などを定義するためには是非とも必要なものだ。そして、それはもっと分かりやすく言えば、このベクトルの要素は実数か複素数の範囲でなければならないという意味である。初めからそう言えよ、って？私もそう思う。
こんなもんなんだよ
なんだ、それだけか？結局、ぶっちゃけて言えば、「取り敢えずの計算に困らないベクトル空間」というくらいの意味だったということだ。実に他愛のない話だ。だからこそ一度知ってしまうと今度は逆に、これくらいは知ってないと恥ずかしいと思えてしまうわけで。
まあ、奥は深いのだが、これだけ知ってるだけでもしばらくは困らない。さあ、立場の弱い友達の所へ行って知ったかぶりをするのだ！（笑
ま、この程度のものは黙ってた方が恥かかなくて済むかとも思うのだが、・・・判断はお任せしよう。
波動関数がどうして無限次元複素ヒルベルト空間内のベクトルなのかを説明しないのかって？それは本文中できっちりやるつもりだ。取り敢えず、こういう本質ではない部分は脇へよけておきたかったのである。
(引用終り)
585:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 09:09:02.69 dKz7cXDk.net
>>528
そうそう
私は、「科学的には」と前置きを付ける人ではないが、科学者ではない
だから、ほとんど必ず引用を付ける
引用に語らせる
俗には「コピペ」とかいう（＾＾； （ ”楽”という理由が圧倒的に大だが（＾＾； ）
まあ、「コピペ」にもセンスが要るんだ
引用元は、必ずしも、専門家や科学者ではない
数学なら結構大学教員の「コピペ」ねたが落ちているが
非専門家は非専門家で良い面がある
専門家で分かりすぎる人のＰＤＦなど、普通の人の悩みが分からんのだろう、「自明」とか、同義語の「かんたんな演習にした」とか書いてある
その点、非専門家は同じ目線であることが多いね
586:１３２人目の素数さん
16/11/27 09:37:47.72 i0HiwW/z.net
お前と同じ目線のものはゴキブリかミジンコじゃないか
587:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 09:41:00.55 dKz7cXDk.net
>>530
> 波動関数がどうして無限次元複素ヒルベルト空間内のベクトルなのかを説明しないのかって？それは本文中できっちりやるつもりだ。
588: 全然きっちりしていると見えないが、まあコピペしておこう http://eman-physics.net/quantum/schrodinger.html ＥＭＡＮの物理学・量子力学・シュレーディンガー方程式 (抜粋) ド・ブロイ波と古典力学を直接結びつけた賢い方法とは・・・。 動機「ド・ブロイ波の形が知りたい」 ド・ブロイ波の存在が実験で確かめられるようになると、単なる面白いアイデアだと笑ってはいられなくなる。それは一体どんな形をした波なのだろうという事を真剣に考えざるを得ない。ある運動量を持つ物質のド・ブロイ波の波長はいくつだろうか、とか、あるエネルギーの時は周波数がいくつだというくらいの単純な計算では満足していられない。一体どんな条件の波が存在してどのように伝わっていくのだろうか？ 歴史的にはド・ブロイ波の存在が実験で確かめられる以前にシュレーディンガーの方程式が発表されている。やはり世の名声を勝ち得るためには時代を先取りしないとダメだということか。 シュレーディンガーの賢い方法 シュレーディンガーは、裏技とも言える賢いやり方で新しい方程式を作ってしまった。これからその方法を説明しよう。「そんなのありかよー！」と思うかもしれないような方法だ。 そう言えば、微分しても形の変わらない関数があった。それは「指数関数」である。もしcos 関数の代わりに指数関数を使えたら・・・。ここで数学のトリックを使う。オイラーの公式という大変便利な公式があるのだ。 それは、e^ix = cosx + isinx というもので、複素関数論を学べばすぐに出て来る公式である。 このことを利用して古典力学の関係式 E=p^2/2m+V に当てはめてみよう。p2を取り出すにはψをxで 2 回微分して?ih~ を 2 回かけてやればいい。そのようにして出来たのが「シュレーディンガー方程式」である。 つづく
589:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 09:41:21.51 dKz7cXDk.net
>>532
おまえも
590:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 09:42:51.51 dKz7cXDk.net
>>533 つづき
ih~∂ψ/∂t = ?(h~^2/2m)(∂^2ψ/∂x^2)+Vψ
これは、「古典力学の関係を満たす運動量とエネルギーの組を同時に取り出すことの出来る波動関数ψはどのような形のものか」という意味の方程式である。
これは微分方程式になっているので、あとは「微分方程式の解き方」とかいう種類の参考書を読めば解を求める方法が解説されていることであろう。また量子力学の教科書もこれを解く部分には十分な解説がしてあるのでわざわざここで解説するまでもないだろう。
本当にこんな小細工でうまく行くのか？
こんなパズルみたいな方法で果たしてうまく行くのか、と思われるかもしれない。実際この方程式が発表された当時もこの数学的意味をめぐって議論がされた。
そして難解ではあったが当時すでに支持を得ていたハイゼンベルクの行列形式と数学的に同等であることが証明されると、シュレーディンガー流の方が直観的に理解しやすくて使いやすいというので多くの人が安心してこの方法を受け入れるようになった。
実数の波動関数に虚数を取り入れて指数関数を導入した部分を少し怪しく思うかもしれないので、ここで確認をしておくことにしよう。
このように虚数部分は、実数の三角関数に微分計算をしたときと結果が同じになるように助けてくれているのである。波動関数の実数部分だけを見ていれば計算結果は実数だけで計算した時と同じなのである。
三角関数の代わりにわざわざ虚数を導入してまで指数関数を用いるのは、微分しても関数の形が変わらないので微分方程式が非常に楽に解けるというメリットのためであると言えるだろう。
ここまで見る限りでは、波動関数に虚数が出てくるのは何か理解できない深い意味があると考えるより、単に数学を使った計算テクニックの結果だと考える方がいいように思える。
しかし、�
591:рｪ言う事を疑ってかかることをお勧めする。 つづく
592:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 09:43:55.69 dKz7cXDk.net
>>535 つづき
なぜなら、シュレーディンガー方程式を作った時の意味に従うのなら指数形式で書ける解のみが許されるべきであって、さらにその実数部分のみがド・ブロイ波としての意味を持つはずである。
しかし指数形式の解のみを認めるという制限をつけると、まったく当たり前すぎて面白みのない答えしか出て来ないことになってしまう。しかも境界条件の関係で解けないことの方が断然多いのだ。そんな応用に使えないようなことではシュレーディンガー方程式がこれほど有名になることもなかったことであろう。
そこで元の意味を離れて指数形式以外の解も解として認めることにしたのであるが、その結果、何とも解釈の難しい複素数の解が出てきてしまうことになってしまった。
では、適用範囲を広げて求められたこの複素数の解はどうやって解釈したらいいのだろう。虚数部分は一体何を表すのだろう？
不思議なことに、求められた波動関数の絶対値の 2 乗が粒子の存在確率を表すと考えると計算結果が事実と合うのである。素直に認めるべきか、うまく行く理由を考え直すべきなのか・・・。多分これが、シュレディンガー方程式が発表された当時の人々の反応だったのではなかろうか。
現在では、教科書を鵜呑みにする限りこのような問題に悩むことがない。これでうまく行くことだけは事実だからだ。
(引用終り)
593:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 09:51:54.31 dKz7cXDk.net
>>536 つづき
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
ＥＭＡＮの物理学・量子力学・波動関数の規格化:
(抜粋)
世にある解説本は量子力学を神秘的にとらえ過ぎだな。
確率解釈を取る理由
前回、波動関数の絶対値の 2 乗が粒子の存在確率を表すと解釈されていることを話したが、これは根拠のないことではない。
もともと波動関数は電磁波からの類推で導かれた概念であった。電磁波の振幅は電場や磁場の強さを表しているが、これらを 2 乗した量はエネルギーを意味している。
電磁波に限らず、多くの場合、波の振幅の 2 乗は波のエネルギーを表すと考えられる状況になっているものだ。
なぜなら正弦波が生じるためには変位に比例した復元力が働いているはずであり、その復元力を振幅の変位分だけ積分すればエネルギーを表すことになるが、この計算が振幅の 2 乗に比例するという結果となるからである。
相対論によればエネルギーはすなわち質量であり、振幅の 2 乗が物体の存在する量を表すと考えるのはごく自然な発想なわけだ。
しかし物質が波のようにあらゆる場所に広がって存在していると考えるのには不都合がある。電子を標的にぶつける実験では、ぶつかった一点のみが光る。ぶつかるまでは多分どこかにあるはずだが、どこで見つかるかは分からない。そして、必ずある一点で見つかるのであり、波のようにぼんやりと全体的に反応するわけではない。
そこでこの「波動関数の絶対値の 2 乗」は「粒子をそこに見出す確率を表すのだ」ということで落ち着いた。
しかし私としてはそんな主流の解釈に反して、物質は「波として」「本当に」「全体的に」存在しているのだと考えたい気持ちがある。
そして他の物質と反応する時にはその拡がった波が一瞬にして消え失せる、というイメージで捉えたいわけだ。
正確に言えば波動関数は消えてしまうのではなく、一瞬にしてデルタ関数に変化するということだが。
このイメージは「波束の収縮」と呼ばれており、その変化の過程を説明することができないという大問題があることから疑問視されている。
位置を観測されるまでの間に拡がりに拡がった粒子が、観測の瞬間、光の速さを越えて一点に集中するなんてことがあるだろうか？ 世捨て人になりたいのでなければ私を見習わない方がいい。
つづく
594:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 09:53:21.00 dKz7cXDk.net
>>537 つづき
しかし確率解釈にしてもこの同じ問題を背負っているのであり、「物理量は観測する前は不定だが、観測した以後はその観測値に確定する」という何とも不安な言い換えをしているに過ぎない。よってこれも「波束の収縮」問題と呼ばれている。同じ穴のムジナだ。
まぁ、実体が消えるよりは確率の波が消えると表現しておいた方が確かに無難だ。この話はまた後でたびたび論じることにしよう。
存在確率の計算
複素数の絶対値の 2 乗を求めるためには、元の複素数と、その複素共役を取ったものとの積を計算すればいい。複素数で表された波動関数ψ(x,t)の絶対値の 2 乗|ψ(x,t)|~2は、
|ψ(x,t)|~2 = ψ^?(x,t)/ψ(x,t)
と表現すればいいわけだ。
すると、位置xの近辺のごく狭い範囲dxに粒子が見出される確率というのは
ψ?ψdx
と表せばいいことになる。ここでdxを付けておくことは極めて大切である。
幅を広げれば確率は高くなるし、狭めれば 0 になってしまう。粒子が厳密に座標xの一点に存在するなんてことは決してないのだからこういう書き方をしなくてはならないのだ。
このことをもう少し詳しく話しておこう。例えばあるクラスに身長 160 cm の人間が存在する確率だってほぼ 0 に等しいと言える。身長が 160.000000 cm の位まで厳密に一致するやつなど決していやしないのだから。こういうことはちゃんと幅を考慮しないといけない。
それで上の式のdx
を除いた部分を「確率密度」と呼ぶ。
(引用終り)
595:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 09:57:20.13 dKz7cXDk.net
>>538 訂正
誤記と文字化けがあるね
|ψ(x,t)|~2
↓
|ψ(x,t)|^2
ψ^?(x,t)/ψ(x,t)
↓
ψ^*(x,t)/ψ(x,t)
ψ?ψdx
↓
ψ^*ψdx
596:１３２人目の素数さん
16/11/27 09:59:58.79 C7ghjjL/.net
>>480
>どうやって、無限数列のしっぽを見分けるのか？
>（時枝記事の>>114 推移律チェックは、「無限数列のしっぽが見分けられたら」
>が前提であることを、再度注意しておくよ）
>>114の記事の
>２．続けて時枝はいう
> 私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別して
>Rを構成するやりかた(の冒頭)に似ている. 但しもっときびしい同値関係を使う.
>実数列の集合 R^Nを考える.
>s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，
>ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき
>同値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
の部分をいい換えると、
>実数列の集合 R^Nを考えて、
>s＝(s_1, s_2, s_3, …), s'＝(s'_1, s'_2, s'_3, …)∈R^N が、
>或る番号 n_0 から先のしっぽが一致する ∃n_0：n≧n_0 → s_n＝s'_n とき
>関係～を s～s' と定義すること(いわばコーシーのべったり版)をしている。
時枝問題の記事では、このように R^N における関係～を定義した後、
～の推移律チェックが行われている。
文脈上、以上のように時枝が行った定義の条件の下で、スレ主がいう
「推移率チェックに注意しつつ、どのように無限数列のしっぽを見分けるのか？」
という問いは、意味をなさない。
597:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 10:04:53.02 dKz7cXDk.net
とつぜんですが
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
ＥＭＡＮのあいさつ 2000年3月10日 広江 克彦
ＥＭＡＮのひとり言
(抜粋)
自分が大学生の時、やる気はあったけど、授業が全然わからなかった。 大学の先生というのは、生徒を過剰評価してくれている。 生徒がどれだけ単純なことでつまづいているのか分かってくれていないようだ。
大学を卒業する頃、自分がそれまでの必死の努力の末、ようやく理解した内容を振り返ってみるに、 誰かが分かり易く教えてくれさえすれば半年で習得できた事じゃないか、と感じた。
自分の４年間はあれは何だったのか、と挫折感を味わったものだ。
恐ろしいことに、それでも私は決して落ちこぼれだったわけではないのだ。
学生時代、私はトイレ、風呂、台所が共同の安アパートに住んでいた。 学期末テストの時期になると、同じアパートの後輩たちが教えてくれと言って 私の部屋の前に並んだものだ。（これは自慢話だ）
そして、「教授が半年かけて言っていた事の意味が、この一時間でやっと分かった。」 と言って彼らが喜んで部屋を出てゆく顔を見るとき、何と嬉しかったことか。
もし、現在同じような境遇にいる学生がこのページを見つけてくれて、 彼らにとって少しでも助けになれば、と思ってこれを作った。
ひょっとしたらすでに大学の教育が改革されてこのような事が必要でなくなって いるかも知れないが、それなら嬉しいことである。
(引用終り)
598:１３２人目の素数さん
16/11/27 10:09:47.70 C7ghjjL/.net
>>480
>>540では、はじめに書き忘れたが、おっちゃんです。
(>>540で書いた文章の続き)
仮に、2つの s＝(s_1, s_2, s_3, …), s'＝(s'_1, s'_2, s'_3, …)∈R^N に対して
スレ主のいう「推移率チェックに注意しつつ、無限数列のしっぽ」が見分けられたとしよう。
nを自然数変数としよう。無限列 s, s'∈R^N のしっぽが見分けられたということは、
関係～の定義から、2つの無限数列
s＝(s_1, s_2, s_3, …), s' ＝(s'_1, s'_2, s'_3, …)
の対 (s, s')∈R^N×R^N に対して既に或る番号 n_0 が定まって、s, s' の各成分について、
n≧n_0 のとき s_n＝s'_n と判断出来たことを意味する。n≧n_0 のとき s_n＝s'_n＝s''_n とおくと、
s, s' のしっぽは s''_n (n≧n_0) と表わせ見分けられる。
なのだから、推移率チェックをしなくても、s, s'∈R^N に対しては
「無限数列のしっぽを見分けられた」ことになる。
これは、「推移率チェックに注意しつつ、無限数列のしっぽが見分けられた」と
仮定していることに反し矛盾する。なのだから、スレ主がいう「無限数列のしっぽを見分ける」操作
を行うにあたっては、必ずしも「推移率チェックを行う」必要は「ない」ということになる。
従って、推移率チェックに注意しつつ、無限数列のしっぽ」が見分けられる
ような R^N の無限数列が存在することになる。事実、任意の10進表示で表わされた有理数の小数部分
は循環小数になるから、有理数列全体からなる空間 Q^N の或る2点に対しては、
スレ主が行おうとしている操作は出来る。例えば、値が等しくなる10進表示で表わされた2つの有理数
a_1.a_2a_3a_4…a_n…, b_1.b_2b_3b_4…b_n… ∈Q (a_k,b_k∈{0,1,2,…,9}, ∀k∈N＼{0})
に対して2つの Q^N⊂R^N の点つまり2つの有理数列
a＝(a_1, a_2, …, a_n, …), b＝(b_1, b_2, …, b_n, …)∈Q^N
を構成して、a, b に対してスレ主のいう操作を行えばよい。なのだから、
>>480でスレ主が述べているような、推移律の確認の前に無限数列のしっぽを見分ける方法
を見出そうとする問いは、意味をなさない。R^N における関係～が推移率を満たすことを確認し、
関係～が同値関係であることを確認する以前の問題になる。
599:１３２人目の素数さん
16/11/27 10:14:22.98 C7ghjjL/.net
>>480
>>540と>>542の文章に所々ある漢字間違いの訂正：推移率 → 推移律
600:１３２人目の素数さん
16/11/27 11:33:31.89 C7ghjjL/.net
>>480
>>542の途中の
>従って、推移率チェックに注意しつつ、無限数列のしっぽ」が見分けられる
>ような R^N の無限数列が存在することになる。
の部分は
>従って、推移律チェックに注意「しなくても」、無限数列のしっぽ」が見分けられる
>ような R^N の無限数列が存在することになる。
に訂正。あと、スレ主のオツムのレベルに合わせると、>>542の後半の方の部分について、
>値が等しくなる10進表示で表わされた2つの有理数
>a_1.a_2a_3a_4…a_n…, b_1.b_2b_3b_4…b_n… ∈Q (a_k,b_k∈{0,1,2,…,9}, ∀k∈N＼{0})
>に対して2つの Q^N⊂R^N の点つまり2つの有理数列
>a＝(a_1, a_2, …, a_n, …), b＝(b_1, b_2, …, b_n, …)∈Q^N
を構成するときは、単純に任意の k∈N＼{0} に対して、a_k＝b_k∈{0,1,2,…,9} とすれば、
推移律チェックに注意「しなくても」、簡単に無限数列のしっぽ」が見分けられることに注意な。
601:１３２人目の素数さん
16/11/27 11:44:09.78 C7ghjjL/.net
>>480
>>544の最後の方の
>簡単に無限数列のしっぽ」が見分けられる
の部分の括弧「」の部分「 」 」は不要。
これ、10進表示された有理数の小数点以下の桁が途中から循環すること
が分かっていれば無意味な問いであることがすぐ分かる。
数列や微分積分が分かっているかどうかの問題だ。
602:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 12:28:06.85 dKz7cXDk.net
>>532
おまえGa
603:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 12:38:19.33 dKz7cXDk.net
>>540 >>542-545
どうも。スレ主です。
おっちゃんのレスは貴重だな
スパイスですよ、スパイス
ブラックペッパーかな？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
収穫のタイミングや製法の違いにより以下の4種類が存在する。 ピペリン (piperine) という化学物質が胡椒に独特の風味を与える。
黒胡椒
別名『ブラックペッパー』とも呼ばれ、胡椒の木から取れた完全に熟す前の実を長時間かけて乾燥させたものである。世界中のどんな地域を旅しても、塩の隣にブラックペッパーの小瓶が並んでいると言われている。強い独特の風味があり、特に牛肉との相性が良い。
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
ピペリン (英: piperine) は、アルカロイドに分類される有機化合物のひとつで、シス-トランス異性体のカビシン（Z,Z体。シャビシンとも）とともにブラックペッパーの辛みのもととなっている成分である。
この化合物は伝統医学や殺虫剤の用途にも用いられてきた。1819年、ハンス・クリスティアン・エルステッドによって、Piper nigrum（コショウ）の果実から最初に発見された[1]。ヒハツ(Piper Lognum)とヒハツモドキ (Piper officinarum) [2]や、Piper guineense[3]（西アフリカ産コショウ）にも含まれている。
ピペリンやカプサイシンの辛みは、感覚神経に発現している温度受容体TRPV1（TRPVイオンチャネルファミリーのひとつ）の活性化によりもたらされる。
ピペリンはまた、生体異物や代謝産物の代謝・輸送をつかさどるヒトの CYP3A4 や P-グリコプロテイン のはたらきを阻害する[4]。
ピペリンが薬物代謝に重要な他の酵素をも阻害した動物実験の結果が報告されている[5][6]。
薬物の代謝を阻害するはたらきにより、ピペリンはさまざまな化合物の生物学的利用能を向上させる可能性がある。ヒトでクルクミンの生物学的利用能を2000%まで向上させたという報告がある[7]。
一方、薬物との相互作用が報告されており、多量に摂取すると健康被害が発生する可能性を否定できず注意が必要とされる [8] 。
(引用終り)
604:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 12:58:15.97 dKz7cXDk.net
>>540 >>542-545
おっちゃんらしい外し方だな
当方が、>>480で聞いたことは、下記
”どうかおっちゃんの数学センスをみせてくれよ（＾＾；
どうやって、無限数列のしっぽを見分けるのか？
（時枝記事の>>114 推移律チェックは、「無限数列のしっぽが見分けられたら」が前提であることを、再度注意しておくよ）”
これを、時間の順でステップ分けして書くと
１）無限数列のしっぽを見分ける
↓
２）しっぽの一致不一致が分かる
↓
３）同値か否かが分かる
↓
４）同値な関係の３つの数列の推移律の確認ができる
まあ、こういう４段階に分けて、時枝の>>114 「念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs
605:"は2015番目から先一致する.」 は、上記の３）と４）を実行しただけだ、と言ったわけだ そこで、問題は、１）と２）の実行（ 特に１）の実行）は、だれがどうやってやるのか？ そこは全く時枝記事では触れられていないよと。そこを問題視している だから、>>542「推移率チェックに注意しつつ、無限数列のしっぽが見分けられた」なんてことは、上記の４段階の流れを全く逆転させた話で、まったく求めていないのだ 従って、”スレ主がいう「無限数列のしっぽを見分ける」操作を行うにあたっては、必ずしも「推移率チェックを行う」必要は「ない」ということになる”という議論は、全くの的外れだな（＾＾；
606:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 13:02:30.01 dKz7cXDk.net
>>548 つづき
おっちゃん、「構成主義的数学」（下記）わかりますか？
URLﾘﾝｸ(fomalhautpsa.sak)<) 強制改行
ura.ne.jp/Science/Murata/sugaku-kisoron-rekishi.pdf
数学基礎論の歴史 ―その一つの断面― 村田 全
(抜粋)
経験主義―E. Borel 達の解析学者の主張に始まる。集合論における「対応」が
どの程度まで具体的であるべきか等を論じた。特に集合論の選択公理の妥当性を
めぐって論争したが，その主旨は今日の「構成主義的数学」，あるいは回帰的関
数(recursive function) の理論などに生かされている。
(引用終り)
607:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 13:02:57.96 dKz7cXDk.net
sakura がＮＧワード
608:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 13:12:06.81 dKz7cXDk.net
>>549 補足
構成主義と”自然数の定義における非述定性”、（推移性）を見るだけでは不十分！
URLﾘﾝｸ(www.info.human.nagoya-u.ac.jp)
久木田水生のページ - 人間情報学研究科 - 名古屋大学
URLﾘﾝｸ(phsc.jp)
URLﾘﾝｸ(ibrarian.net)
久木田水生「フレーゲの論理主義再考」（科学基礎論学会，鳥取大学，2007年）
(抜粋)
１ フレーゲによる数学的帰納法の導出
フレーゲは概念の間の等数性を、二つの概念に帰属する対象の間に一対一の対応がつけられること、として定義する。概念Fz とGz が等数であるということをFz ≡ Gz によって表すことにする。
つまり任意の概念Fz、Gz、Hz に対して、
（反射性）Fz ≡ Gz
（対称性）Fz ≡ Gz ならば、Gz ≡ Fz
（推移性）Fz ≡ Gz かつGz ≡ Hz ならば、Fz ≡ Hz
が成り立つ。ある集合の上に定義された同値関係は、その集合を同値類によって直和分割することを可能にする。
しかし定義（GZ）によっては、実際に全ての自然数に対応する基数が存在することは保証できていない。というのも、任意の自然数n について、その自然数に対応する基数が定義されるためには、Az (Fz) がn に対応するような概念Fz が、少なくとも一つ存在することが言えなければならないからである。
しかしこれでもまだ十分ではない。上の説明は、個々の自然数n に対応する基数n がどのように与えられるかを説明してはくれるが、しかしこれで自然数全体に対応する有限基数一般が定義されたわけではないのである。
２ 自然数の定義における非述定性
非述定的定義がしばしば問題にされるのは、それが循環的であるということ、またその循環
609:性ゆえに、種々の集合論的パラドクスの原因になったということによる。 ここから明らかなのは、非述定的定義が循環であるとする議論と、循環ではないとする議論の間の対立は、数学的概念についての構成主義的な見解と実在論的な見解との間の対立に還元することができる、ということである。 (引用終り)
610:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 13:16:19.10 dKz7cXDk.net
>>551
要するに、ここで示したのは、「（推移性）を確認しました」→「だからそういう集合が存在します」とは言えないと
話は逆で、「そういう集合（または対象）が存在する」→「（推移性）を確認しました」が話の順序だろうと
611:１３２人目の素数さん
16/11/27 13:55:49.30 CnaRbCke.net
>>548
> そこで、問題は、１）と２）の実行（ 特に１）の実行）は、だれがどうやってやるのか？
> そこは全く時枝記事では触れられていないよと。そこを問題視している
R^Nが類別可能であることはこの記事の大前提。
その仮定を認めないのはお前の勝手だ。
認めないならお前にとってこの記事は意味をなさない。
この記事を論じるにあたってお前の発言はすべて無意味。
だからひっこんでろ。
612:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 14:00:43.49 dKz7cXDk.net
>>540 >>542-545
おっちゃん
URLﾘﾝｸ(www.ole-b.com)
円周率計算の世界記録は12.1兆桁らしいが、これって本当にあってるの？ - おれブログ: 2014-09-19
(抜粋)
先日新聞で読んだ円周率に関する記事。
計算桁数記録は現在12.1兆桁。日本人の近藤茂さんと米国人のアレクサンダー・Ｊ・イーさんのタッグで生み出された成果らしい。
12.1兆桁という途方もない桁数にも驚いたが、それよりも気になったのは前人未踏の12.1兆桁って誰がどうやって正しいことを証明するんだろうってこと (´・ω・`)
多分この疑問を解消してくれるエピソードが手計算時代にあったみたいです。
1850年頃から1873年にかけてウィリアム・シャンクスという人が段階的に707桁まで計算したんですね。
あれ？ さっき上では「1800年代に527桁」って書いたよね？
実はシャンクスさんは707桁まで計算したんですが、計算結果は527桁までしか合ってなかったんです。なので公式記録は527桁ってことになってます。
その計算ミスを確認したのが、先ほど最後の手計算記録として登場したD.F.ファーガソンなんです。彼が1945年に540桁まで計算したことで約70年前のシャンクスの計算ミスが判明したんです。そしてこの約70年の間はシャンクスの計算ミスした707桁の数値が信用されていたようです。
つまり、最長記録の計算結果が正しいかどうかってのは、記録が塗り替えられるときに初めて分かるってことなのかと。
なので、現在最長の12.1兆桁の結果も現時点では正しいのかどうかは分からないってことなんですかね。なんか微妙だけど、、、まぁ、そういうものなんでしょう。
(引用終り)
613:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 14:03:47.33 dKz7cXDk.net
>>553
>R^Nが類別可能であることはこの記事の大前提。
妄想にすぎない
否定するなら、論文を提示してくれ
と構成主義者ならいうね
いや、具体的手順を示せというかもな（＾＾；
614:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 14:08:51.64 dKz7cXDk.net
>>554 つづき
例えばネイピア数の公式 （πの公式はこの粗末な板で書くには複雑すぎる・・・）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ネイピア数の表現
(抜粋)
級数による表現
ネイピア数 e は次のような級数で表される。
１． e = Σ k 0→ ∞ (1/ k !)
２． e = Σ k 0→ ∞ ((k+1)/ k !)/2
(引用終り)
１式－２式＝Δ（誤差）
で、いわゆる無限小数展開（＝コーシー列）では、Δ（誤差）はゼロに収束する
∵ヒルベルト空間
615:では、内積（～距離）が入り、収束が保証されているから まあ、大げさに言わなくても、当たり前 だが、時枝のR^N空間では、そうではない。 無限小数展開（＝コーシー列）では、少数のしっぽの方は、ゼロに収束するから、小さな違いは無視していい。だから、１式と２式とは収束先は同じで、ネイピア数 e だが、時枝のR^N空間では、あたまの箱もしっぽの箱も軽重は付けられていない。だから、しっぽの先の差が大きな問題となる いわば、１式－２式＝Δ（誤差）のΔが消えない。（ 例えだが、無限小数展開では、Δ＝D/10^n みたいな形で、少数の下位の桁はどんどん小さくなる。が、時枝のR^N空間ではそうではない ） ところで、上記のように、１式と２式とが明示的に与えれていればともかく、１式や２式が隠されていて（明示なし）、はき出される数列のみを見て、同値か否か その判断ができるのか？ それ、上記の”円周率計算の世界記録は12.1兆桁らしいが、これって本当にあってるの？ ”ってこと 人類はいまだ円周率πの無限小数展開のしっぽがどうなっているか知らないのだ。知っているのは、12.1兆桁あたりまで 可算無限個の箱の数列のしっぽの同値類なるものは、上記のような胡散臭さがある 人類はいまだどの一つの超越数さえ、無限小数展開のしっぽをしらない そして、無限小数展開では、箱に入る数はわずか０～９にすぎないのだ 無限小数展開は、コーシー列と同一視できるから、ヒルベルト空間内。 圧倒的に扱いやすい。時枝のR^N空間よりは圧倒的に扱いやすい それでもなお、人類はいまだどの一つの超越数さえ、無限小数展開のしっぽを具体的にしらない！
616:１３２人目の素数さん
16/11/27 14:09:37.95 CnaRbCke.net
>>555
だから『仮定』と言ってるだろｗアホウ。
617:１３２人目の素数さん
16/11/27 14:26:12.61 CnaRbCke.net
それともなに？『仮定』がZF公理系に矛盾するとでも言いたいの？
そういう主張は大歓迎だ。証明しろ。今すぐに。
証明できないなら論文を提示しろｗ
俺はR^Nが類別可能であることの無矛盾性など示す気はない。
（暇ならお前やれば？ｗ）
だから俺は『仮定』と言った。
このR^Nが類別可能であると『仮定』して記事を読んでいる。
仮定を認めないお前は時枝記事を語る資格無し。
（その場合、お前の大好きなヴィタリ集合の存在とどう折り合いをつけるのか知らんがｗ）
外野から『この仮定は成り立たないじゃないかなーー・・・』と孤独につぶやいてれば良しｗ
618:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 14:30:09.57 dKz7cXDk.net
>>556
コンピュータ計算のα線によるソフトエラー をご存知だろうか？
URLﾘﾝｸ(toshiba.semicon-storage.com)
Si-SiO2界面 | 東芝 ストレージ＆デバイスソリューション社: 2016年4月現在
(抜粋)
ソフトエラー (参考文献6)
以前より、微細化デバイスではパッケージや配線材料に含まれる微量な放射線元素 (ウランU、トリウムTh) から放射されるα線が問題となっています。
このα線がデバイス内のPN接合近傍に入射された時、その飛程に沿って電子-正孔対を発生させます。
この発生した少数キャリアにより、DRAMやSRAMなどのメモリセル内のデバイス情報が反転してしまう現象をソフトエラーと呼んでいます。
ソフトエラーは、メモリセルモード、ビット線モードに大別されます。
(参考文献6): T.C.May and M.H.Woods: A New Physical Mechanism for Soft Errors in Dynamic Memories 16th annual Proc., Rel., P33 (1987)
(引用終り)
仮に、>>554 の円周率計算の世界記録 12.1兆桁 の先を、二つのコンピュータで、それぞれ別のπの公式で計算させているとする
理想的には、どちらも、πに収束するはず
だが、上記のα線によるソフトエラーがどこかで起こらないとも限らない
というか、起きる可能性は否定できない
その場合、二つのコンピュータから出力される数列たちのしっぽは一致しないことになる
しっぽの不一致がどこで起きるか？ それは神のみぞ知る
可算無限長のしっぽのどこかで起きるかも知れないα線によるソフトエラー
さて、人は、α線によるソフトエラーが起きるかどうか、いや、α線によるソフトエラーが起きたかどうかを知ることができるのか？
数列の先頭から調べることで・・・
数列の長さは可算無限長なのに・・・
（コンピュータが可算無限長だったら止まらないという話もある。まあ、そこは量子コンピュータが使えてクリアできるとでもしましょう ）
619:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 14:37:48.46 dKz7cXDk.net
>>557-558
仮定仮定か
「宝くじが当たって１億円」>>470 と同じだな
仮定が現実離れしていては意味がない
「貯金が１億円あれば」と仮定しても、現実の今日の生活とは無関係
「時枝の記事は正しい」と仮定すれば、議論はすぐ終わる
が、それでは雑誌の記事としては、意味がないだろ
あくまで、既存の数学の枠内でどう解釈できるのか
そして、時枝の示した解法が、どれだけ現実的意味を持つのかの評価
そこが論点だろ？
620:１３２人目の素数さん
16/11/27 14:48:19.45 CnaRbCke.net
もう少し補足しよう。
有理数の差をもつ2つの実数を同一視した剰余群R/Qを考える。
たとえば1.234111111...と2.345111111....は同値である。
区間[0,1]で得られる代表系をヴィタリ集合と呼ぶのであった。
スレ主の論法によると、2つのa,b∈Rはいつまでたっても同値性を判定できない。
なぜなら末尾の1111...がいつなんどき2や3に変化するとも知れないからだ。
となると、スレ主にとっては『有理数の差をもつ2つの実数を同一視する』という
同値関係自体が認めがたいものになる。
よってスレ主がたびたび話題に挙げたヴィタリ集合は存在不可、
無意味な仮定に基づいた妄言に過ぎない、となる。
明らかになったのは、お前の論じる数学の立ち位置は
時枝氏やHart氏と異なるどころか、
ヴィタリ集合の存在を認める 全 て の 数 学 者 と異なる
ということだｗ
621:１３２人目の素数さん
16/11/27 14:54:04.86 CnaRbCke.net
じゃあ時間の無駄なのでさようなら。御馬鹿殿。
622:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 14:57:30.40 dKz7cXDk.net
>>541
個人的に下記の記事は結構面白かった
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
非相対論的にスピンを導く シュレーディンガー方程式の線形化。
(抜粋)
動機
ディラック方程式ばかりを使ってスピンの話をしていると、スピンは相対論的な効果の現れだというイメージで考えが固まってしまう惧れがある。今回はディラック方程式を使うことなくスピンの存在を導いて見せて、その辺りの考えを突き崩しておくことにしよう。
基本的な思想は前にクライン・ゴルドン方程式を線形化してディラック方程式を得たのと同じなのだが、途中の計算には少しばかり技巧的なところがあって、一体どうしてこんなことが思いつけるだろうかと感じるかも知れない。
なぜそんな手続きが必要なのか、と問われたら何と答えようか。時間と空間座標は対等であるべきだから・・・などと説明すれば、やはり相対論の思想が根底にあるのではないか、という結論になってしまいそうだ。
しかしディラックの「線形化しないと相対論の要求を満たさないから」という思い付きは現代の視点から見るとそれほど正しいわけではなかったのである。そのままでは使えないと思われたクライン・ゴルドン方程式は、相対論的な場の理論において、スピンを持たない粒子を表すのに活用されている。
そうなると、次のように答えておくより他にないのではないだろうか。「線形化することでスピンが自然に導かれてくることが分かっているからだ」と。
尚、今回の記事の計算は1967年の Levy-Leblond の論文 「Nonrelativistic Particles and Wave Equations」 ( Commun. math. Phys. 6, 286 (1967) ) を頼りにしている。
つづく
623:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 14:59:36.84 dKz7cXDk.net
>>563 つづき
手続きの説明
この展開結果を (2) 式と比較すれば解決しそうである。しかし残念ながら、今回はそれほど単純には答えは出ない。できるものならやってみるといい。私ならこの程度の障害にぶつかった時点で「シュレーディンガー方程式の線形化は不可能である」と結論して早々に諦めてしまうことだろう。
しかし頭のいい人がいるもので、A、B、Cとは全く別の係数A′、B′、C′を導入して、
という式を作り、これを展開したものが (2) 式と同じになるようにすればいいと考えたのである。係数を増やすなんて無茶なことをすればそれだけ面倒な要素が増えてしまう気がする。そういう事は出来るだけ避けたいという思いが新しい思い付きを鈍らせる原因になっているのだが、実はそれほど複雑なことにはならない。
ここで導入したMは正則な行列（つまり逆行列を持つ行列）であるとする。この置き換えを使えば、(4) 式は
という、前に見たことのある式に書き換わってしまう。何と、ディラック方程式の係数を決めた時の条件式と全く同じである！徹底的に簡素化されたこの表現の事を前に「ただの趣味でしかない」と言ってしまった事を大いに反省する。
この時の波動関数ψはディラック方程式の場合と同じく、4 成分のスピノルで表されることになるわけだ。ああ、前に「相対論万歳」と叫んだあの感動は何だったのだろうか。・・・いや、今は別の感動がある。
(引用終り)
624:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 15:17:03.31 dKz7cXDk.net
>>561-562
その声は、Tさんだな
なんど、「さようなら」を言っては戻ってきたことか？
もう、来るなよ（＾＾；
ヴィタリ集合論との違いは
１．ヴィタリ集合論は、ヒルベルト空間の中(内積＝距離が定義され、完備な空間)。時枝解法R^Nは、外
２．さらに、時枝解法は、その後完全同値類分類を達成し、代表元を定めて、決定番号を決めるプロセスに繋げる必要がある
３．さらに、１００列で、確率99/100を導くことのできる良い性質を備えなければならない
いま論じているのは、「時枝解法R^Nは、確率99/100を導くことのできる良い性質を備えてはいない」（解法不成立）という視点からの議論だよ
以前にも書いたが、ヴィタリ集合論、ヒルベルト空間の中では、しっぽ（小数点の下位）の先の些末な差は、距離が定義されているから、小さくなり、ゼロに収束するのだ
だが、距離が定義されていない時枝解法R^Nではそうならないだろう？
また、「代表元を定めて、決定番号を決めるプロセスに繋げる」ってところも曖昧だし
「１００列で、確率99/100を導く」もできない
要するに、１もダメだが、２と３もダメ
そこが、ずっと分かっていなかったね、あなたは
625:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/27 15:49:12.42 dKz7cXDk.net
>>565 補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
超越数（ちょうえつすう、英: transcendental number）とは、代数的数でない数、すなわちどんな有理係数の代数方程式
の解（英語版）にもならないような複素数のことである。
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。
(引用終り)
いま、実数に限定して
超越数（transcendental number）として、一つ Tran という 数を考えよう
Tranのε近傍に、代数的数（algebraic number）Algn という 数を考えよう
つまり、| Tran - Algn |< ε で、いつもの�
626:謔､に、εはいくらでも小さく取れるとする ところで、仮定より 明らかに 「 Tran not = Algn 」が成り立つ。 εをいくら小さくとろうとも つまり、Tran と Algn とのしっぽは一致しない。εをいくら小さくとろうとも ∵しっぽは一致したら、Tran = Algn となり矛盾 ただ、εはいくらでも小さく取れるから、頭からしっぽの先に近い部分まで、いくらでも一致させることはできる さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」 → 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える ∵無限少数展開のしっぽは一致しないから つまり、命題Aで、超越数や代数的数という情報を与えたから、命題Bが言えたのだ （ここが、ヴィタリ集合論と類似の議論（有理数、無理数という情報を与えてヴィタリ集合の存在を導く）だ） 問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？ εはいくらでも小さく取れるから、頭からしっぽに近い部分まで、いくらでも一致させることはできる それで、命題Bが言えるには、具体的にどういう情報が必要なのだろうか？ （そこをすっきり理論的に解明できれば、論文が一つ書けるだろう ） そこを時枝記事はスルーしているのだよ そして、普通の実数でのヒルベルト空間（コーシー列）でさえ、現代数学では、無限小数のしっぽは扱いかねる まして、ヒルベルト空間外のR^Nにおいておや
627:１３２人目の素数さん
16/11/27 16:21:56.19 CnaRbCke.net
>>566
> さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」 → 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える ∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
>
> つまり、命題Aで、超越数や代数的数という情報を与えたから、命題Bが言えたのだ
お前の主張はほとんどこれｗｗ
『aとbが同値でないならば、aとbは同値でない』
628:１３２人目の素数さん
16/11/27 16:31:45.67 C7ghjjL/.net
>>548
>どうやって、無限数列のしっぽを見分けるのか？
>（時枝記事の>>114 推移律チェックは、「無限数列のしっぽが見分けられたら」が前提であることを、再度注意しておくよ）”
Nで1以上の自然数全体の集合を表わす。xy平面 R^2 上で、すべての n∈N に対して、x座標がnの点 P(n) を通りx軸に垂直
な直線 L(n) を引く。直線 L(n) 上の1点から R^2 上の右側に向けx座標を増加させながら曲線 C(n) を引く。
いわゆる、幾何的には高校で習うような関数のグラフを考えることになる。すると、各 C(n) n∈N に対して、
数列空間 R^N の点 s＝(s_1, s_2, s_3,…) の全体が構成される。そこでスレ主が>>548で
>１）無限数列のしっぽを見分ける
> ↓
>２）しっぽの一致不一致が分かる
> ↓
>３）同値か否かが分かる
> ↓
>４）同値な関係の３つの数列の推移律の確認ができる
>
>そこで、問題は、１）と２）の実行（ 特に１）の実行）は、だれがどうやってやるのか？
>そこは全く時枝記事では触れられていないよと。そこを問題視している
と書いたようなことを考える。
629:１３２人目の素数さん
16/11/27 16:34:58.65 C7ghjjL/.net
>>548
(>>568の続き)
スレ主のいうように1)と2)の実行が出来るかどうかを問題視するにあたっては、
文脈上と読解上「無限数列のしっぽを見分けられないこと」を前提とするしかない。
つまり、「無限数列のしっぽを見分けられない」として話を進めることになる。
3角関数のグラフの曲線のように、上下の値が有界であるような周期関数のグラフ C(n), ∃n∈N に対して、
C(n) との交点が可算無限個存在するような直線 l(n) を引いた場合も含めて考えることになる。
このような可算無限個の交点と l(n) の存在性は、周期関数の定義と周期関数の上下の有界性から幾何的にはすぐ分かる。
各 n∈N に対して L(n) と l(n) の交点のx座標を s_n とする。値が小さい方から s_1, s_2, … と並べて行く。
すると、R^N の点 s＝(s_1, s_2, …) が構成出来る。このような R^N の点 s＝(s_1, s_2, …) の構成は、
スレ主の趣旨に沿った R^N の点の構成である。だから、s＝(s_1, s_2, …) に対しては、
スレ主の趣旨に添うと、スレ主のいう1)と2)の実行が出来るかどうかを検証しても構わない。
そこでスレ主のいうような1)と2)の実行についての検証を行う。
数列 s_1, s_2, … の各項 s_n∈R (n∈N) は、有理直線Qを実数直線Rに埋め込んで、QをRに完備化し、
Rの元として定義される。いわゆる、カントール式の実数の定義をすることになる。
カントール式の実数の定義をするにあたっては、その後、一旦距離空間 R^N を定義して、距離空間 R^N の点列
の収束や極限、部分列などを定義する。そして、コーシー列も定義する。
そうしてRが連結なハウスドルフ空間なることを確かめる。その後、任意の完備な順序体がRに同型なことも確かめる。
それから、一旦、有理数列全体 Q^N に対して時枝がいった関係～と同様な関係～を定め、数列空間 Q^N の中で
関係～が同値関係になることを確かめて、Q^N に属する有理コーシー列として実数を定義する。
これが実数の定義の大体のあらましである。
しかし、カントール式の実数の定義とデデキントによる実数の定義は同値だから、
やはりスレ主の投げ掛けた問いは意味をなさない。実数のカントール式の実数の定義の話に戻っただけである。
630:１３２人目の素数さん
16/11/27 16:35:48.64 CnaRbCke.net
混沌のおっちゃんが現れたので本当に退散しますｗ
お勤めがんばってねスレ主さん
631:１３２人目の素数さん
16/11/27 16:44:24.64 C7ghjjL/.net
>>548
ぶっちゃけ、スレ主のいう問いかけは、スレ主が杉浦解析入門のような
微分積分の本を読んでいないことがバレバレになるだけの問いかけなんだよ。
632:１３２人目の素数さん
16/11/27 17:21:19.41 C7ghjjL/.net
>>548
スレ主の趣旨に添うと、>>569の
>C(n) との交点が可算無限個存在するような直線 l(n) を引いた場合も含めて考えることになる。
と書いた段階では、まだ「l(n)」は「直線」ではなく一般には「曲線」として考えているから、
「直線 l(n) を引いた」は「曲線 l(n) を引いた」に訂正しないといけないな。
ぶっちゃけ、数列や微分積分が分かる人にとっては、l(n) が直線であることは明らかなんだけど。
じゃ、疲れたから私も寝る。
633:１３２人目の素数さん
16/11/27 17:33:58.46 C7ghjjL/.net
>>548
>>572の
>ぶっちゃけ、数列や微分積分が分かる人にとっては、l(n) が直線であることは明らかなんだけど。
はいい過ぎで、間違いだったから取り消し。反例があった。
それじゃ、私は寝る。
634:１３２人目の素数さん
16/11/27 17:58:49.91 C7ghjjL/.net
>>548
>>568の
>すると、各 C(n) n∈N に対して、数列空間 R^N の点 …(略)…
の部分は
>すると、各 C(n) n∈N に対して、C(n) と L(n) との交点 (n, s_n) s_n∈R
>を考えることにより、数列空間 R^N の点 …(略)…
に訂正。じゃ、本当に寝る。
635:１３２人目の素数さん
16/11/27 18:02:33.58 VHnvKcoU.net
>>560
＞仮定が現実離れしていては意味がない
現実離れしていると？
なら、類別不可能であることを容易に証明できるわけだな？
さあ、証明してみてくれ
できないなら、お前は只のホラ吹きだ
636:１３２人目の素数さん
16/11/27 18:49:18.04 lTB4w9cF.net
> 無限数列のしっぽでの同値類分類：数列のしっぽが一致すれば同値＝つまりは、数列の最後の数が一致するかどうか
> 有限数列であれば、なんの問題もない。だが、可算無限個の箱に入った数列ではどうか？
>>498や
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:35番) の補足になるが
a0=1, a1=1.4, a2=1.41, a3=1.414, a4=1.4142, ... , a(D-1), aD=√2, √2, √2, √2, ...
b0=1, b1=4, b2=1, b3=4, b4=2, ... , b(D-1), bD={√2の小数点以下n桁目}, b(D+1)={√2の小数点以下n+1桁目}, ...
a0=2, a1=2.7, a2=2.71, a3=2.718, a4=2.7182, ... , a(D-1), aD=e, e, e, e, ...
b0=2, b1=7, b2=1, b3=8, b4=2, ... , b(D-1), bD={eの小数点以下n桁目}, b(D+1)={eの小数点以下n+1桁目}, ...
時枝記事の極限(べったり版)の場合だとa0はある項以降が全て同じ数字になってaD=√2, √2, √2, √2, ... であり
ある項以降が全て√2であることを(√2)^*で表せばa0=1, a1=1.4, a2=(√2)^*やa0=1, a1=1.4, a2=1.41, a3=1.414, a4=(√2)^*と書ける
またa0=1, a1=1.4, a2=(e)^*やa0=2, a1=2.7, a2=2.71, a3=(√2)^*などとも書ける
anからbnの変換はbD={(√2)^*の小数点以下D桁目以降}などと書けば
b0=1, b1=4, b2={(√2)^*の小数点以下2桁目以降}やb0=1, b1=1.4, b2=1.41, b3=1.414, b4={(√2)^*の小数点以下4桁目以降}
b0=1, b1=4, b2={(e)^*の小数点以下2桁目以降}やb0=2, b1=7, b2=1, b3={(√2)^*の小数点以下3桁目以降}と書ける
この場合はシッポが一致するかどうかは最後の()^*の中の数が一致するかによる
{(√2)^*の小数点以下n桁目以降}などを全て可算無限個の数字に置き換えることは
> "全ての箱に数を入れる行為"までは、問題の仮定だからOK
> スレ主は(R^Nの)任意の無限数列が出題可能であると仮定しているのでしょう？
> 当然。
可能であると仮定されている
スレ主曰く「当然。」
637:１３２人目の素数さん
16/11/27 19:18:48.14 PIO+92bt.net
古典ガロア理論の基礎の部分をもっとていねいに説明した方がいいと思う。例えば、対象となってるのは文字を使った有理式で、その文字に値が定義されているもの、なんだよね。だから式として同じなのか、値として同じなのか、読み分ける必要がある。
638:１３２人目の素数さん
16/11/27 20:03:50.47 VHnvKcoU.net
読み分けできないアホは読まないでよろしい
639:１３２人目の素数さん
16/11/27 22:00:35.56 jM5y5Pjg.net
>>565
R^Nはヒルベルト空間だぞアホか
640:１３２人目の素数さん
16/11/27 22:02:56.17 jM5y5Pjg.net
Nは自然数表してるのか。だとｌ_2の場合だけか
641:１３２人目の素数さん
16/11/28 16:57:42.18 gwm0EUHA.net
そんなことおっしゃいましても、
642:数学ガールの結城先生だって誤解するんだから、ちゃんと説明してほしかったです。
643:１３２人目の素数さん
16/11/29 15:20:44.30 D1PsVsDV.net
結城？
あれはトウシロウなんだがw
644:１３２人目の素数さん
16/11/29 17:35:05.33 GlCgAQ0n.net
>>566
おっちゃんです。
スレ主の問題視していた点が少しは分かった。
nを任意の2以上の自然数とする。任意のn進無限小数展開表示された実数を r_n とする。
r_n の小数点以下の各桁を表すのに用いられ相異なる高々n個の数字(或いはその代わりとなる記号)
を k_0(r_n), k_1(r_n), …, k_{n-1}(r_n) とする。r_n に対して集合 K(r_n) を
K(r_n)＝{k_0(r_n), k_1(r_n), …, k_{n-1}(r_n)}
と定義する。このとき、r_n の小数点以下に現れる K(r_n) の元がどのような頻度で分布しているか
をスレ主は問題視していたのだろう。いわゆる、実数 r_n をn進無限小数展開表示するときに使われれる
K(r_n) の元の無限列 k'_1(r_n), …, k'_m(r_n), … ( K'_1(r_n)∈K(r_n), ∀i∈N＼{0})
における数字(或いはその代わりの記号)の一様分布の問題だな。
スレ主が、ボレルの経験主義だの、無限小数展開の末尾が分かるだの、
構成的主義だの、同じしっぽの同値類に属するかどうかだの、確率分布だの、
そういった言葉をよく書いていた点からエスパーすると、スレ主は恐らく、
以上のような一様分布の問題を考えていたのだろう。
そうすればスレ主の書き込みに或る程度整合性が付く。こういう問題やその理論は確かにあるが、
ただ、やはり現代数学の形の理論で、時枝問題より難しい。時枝問題より高度な知識が必要になる。
この問題を考えられるなら、時枝問題の答えが0でないことは比較的容易に分かる筈だ。
645:１３２人目の素数さん
16/11/29 17:41:46.78 GlCgAQ0n.net
>>566
あと、
>さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」→ 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える
>∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
>
>つまり、命題Aで、超越数や代数的数という情報を与えたから、命題Bが言えたのだ
>（ここが、ヴィタリ集合論と類似の議論（有理数、無理数という情報を与えてヴィタリ集合の存在を導く）だ)
>
>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
>εはいくらでも小さく取れるから、頭からしっぽに近い部分まで、いくらでも一致させることはできる
>
>それで、命題Bが言えるには、具体的にどういう情報が必要なのだろうか？
>（そこをすっきり理論的に解明できれば、論文が一つ書けるだろう ） そこを時枝記事はスルーしているのだよ
について。標数を0として考える。10進無限小数展開された実数を任意に取り、xとする。
任意に、実数体Rの完全不連結な部分体K(Kは、例えば Q(e) eはネイピア数 などのような或るRの部分体の超越拡大体でもいい)
を取る。そうすると、実数xがK上代数的か超越的かどちらなのか、が分かればいい。実数xについて或る体K上代数的か超越的か
のどちらなのかが分からないなら、これが分かればいい。そのことが分かれば、あとは、複素数体C上ではKの代数的閉包Fが存在し、
K∩F はRの部分体で体の拡大 F/K の部分体だから、x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F) のどちらなのかが分かる。だから、上の
>さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」 → 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える
>∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
と同様なことがいえて、Bと同様な命題が成り立つための1つの十分条件が分かる。スレ主のいう
>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
という問題は、超越数や代数的数の定義から、任意に与えられかつ10進無現表示された実数xの超越性を判定する問題に帰着される。
646:１３２人目の素数さん
16/11/29 18:05:33.07 GlCgAQ0n.net
>>556
>それでもなお、人類はいまだどの一つの超越数さえ、無限小数展開のしっぽを具体的にしらない！
ちなみにこれは半分嘘で、チャンパーノウン数とかいう超越数を10新無限小数展開して表示したときは
規則性というか或る種の法則があって、0.12345678910111213141516… と、小数点以下の桁の数字は、
有限個の数字を用いて10進表示された1以上の自然数 1, 2, 3, … が小数点第一位以下から順番に、
単調増加するように並んでいる。
647:１３２人目の素数さん
16/11/29 18:27:57.74 GlCgAQ0n.net
>>566
>>583の
>K(r_n) の元の無限列 k'_1(r_n), …, k'_m(r_n), … ( K'_1(r_n)∈K(r_n), ∀i∈N＼{0})
の「( K'_1(r_n)∈K(r_n), ∀i∈N＼{0}) 」の部分は「( K'_i(r_n)∈K(r_n), ∀i∈N＼{0}) 」に訂正。
そして、>>584の
>x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F) のどちらなのかが分かる。
の「x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F)」の部分は
「x∈K∩F⊂R (xがK上代数的) か x∈R＼(K∩F) (xがK上超越的)」に訂正。
まあ、もう寝るから、もし訂正箇所があったら、明日以降。あとの見直しは明日。
もっとも、スレ主には、自分で訂正して読んでもらうのが一番いいんだが。
648:１３２人目の素数さん
16/11/29 20:53:41.75 X7ZuZkX1.net
たとえ、しろうとでも、読者にわかったつもりになってもらおうと、頑張ってるわけですから。
649:１３２人目の素数さん
16/11/30 19:18:53.74 IE5WHrRL.net
§15. 既約方程式の根の添加によるガロア群の簡約
§16. 根の有理式の添加によるガロア群の簡約
§15 で、ガロア分解式が体の拡大で分解されれば、それに対応して、ガロア群が部分群で剰余類分割されること、を述べ、§16では逆に、ガロア群の部分群から、ガロア分解式が分解されることを述べている。
両方ないとガロア対応にならない。ところが倉田先生は、§15の方だけでいいようなことを言ってる。倉田先生の見解は不可解です。
650:１３２人目の素数さん
16/12/01 16:40:48.62 i2ODE144.net
>>566
>>586で行った2つの訂正について、
＞そして、>>584の
＞>x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F) のどちらなのかが分かる。
＞の「x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F)」の部分は
＞「x∈K∩F⊂R (xがK上代数的) か x∈R＼(K∩F) (xがK上超越的)」に訂正。
の方の訂正は取り消し。そして、この訂正すべき部分は改めて
＞そして、>>584の
＞>x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F) のどちらなのかが分かる。
＞の「x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F)」の部分は
＞1)：K≠Q Qは有理数体Q のとき、「x∈K∩F⊂R (xがK上代数的) か x∈R＼(K∩F) (xがK上超越的)」に訂正する。
＞2)：K＝Q のとき、K∩F＝Q となるから「x∈Q⊂R (xが有理数) か x∈R＼Q⊂R (xが無理数)」に訂正する。
とする。あと、>>584の最後の行の「超越数や代数的数の定義から、」の部分は取り消し。
651:１３２人目の素数さん
16/12/01 18:42:16.03 WMAXafGY.net
ガロアを読む、に書いてある証明は不自然ですね。ガロアの群に関す知識がどのようなものだったか、そこをもっとまとめるべきだった。
例えば、X+YZ のような多項式をガロアの方法で分析することから初めるべきです。
652:１３２人目の素数さん
16/12/01 19:04:28.10 i2ODE144.net
>>566
>>584を書き直すと次のようになる。
>さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」→ 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える
>∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
>
>つまり、命題Aで、超越数や代数的数という情報を与えたから、命題Bが言えたのだ
>（ここが、ヴィタリ集合論と類似の議論（有理数、無理数という情報を与えてヴィタリ集合の存在を導く）だ)
>
>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
>εはいくらでも小さく取れるから、頭からしっぽに近い部分まで、いくらでも一致させることはできる
>
>それで、命題Bが言えるには、具体的にどういう情報が必要なのだろうか？
>（そこをすっきり理論的に解明できれば、論文が一つ書けるだろう ） そこを時枝記事はスルーしているのだよ
について。標数を0として考える。有理数体をQで表す。10進無限小数展開された実数を任意に取り、xとする。
任意に、実数体Rの完全不連結な部分体K(Kは、例えば Q(e) eはネイピア数 などのような或るRの部分体の超越拡大体
でもいい)を取る。
653:１３２人目の素数さん
16/12/01 19:14:02.88 i2ODE144.net
>>566
(>>591の続き)
そうすると、
1)：K≠Q のときは、実数xがK上代数的か超越的かどちらなのか、が分かればいい。
実数xについて或る体K上代数的か超越的かのどちらなのかが分からないなら、これが分かればいい。
そのことが分かれば、あとは、複素数体C上ではKの代数的閉包Fが存在し、K∩F はRの部分体であって、
かつQに対するRにおいての体の拡大 F/K の中間体だから、Q⊂K∩F⊂R、R＼(K∩F)⊂R＼Q から
x∈K∩F⊂R (xがK上代数的) か x∈R＼(K∩F) (xがK上超越的) のどちらかが分かる。なのだから、上の
>さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」 → 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に
>属さない」 が言える ∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
と同様なことがいえて、Bと同様な命題が成り立つための1つの十分条件が分かる。
ここで改めて、K∩F はQに対するRにおける体の拡大 R/Q の中間体で、Q⊂K∩F⊂R、R＼(K∩F)⊂R＼Q なることに注意する。
2)：K＝Q のとき、K∩F＝Q だから「x∈Q⊂R (xが有理数) か x∈R＼Q⊂R (xが無理数)」が分かればいい。
654:１３２人目の素数さん
16/12/01 19:43:55.08 i2ODE144.net
>>566
(>>582の続き)
1)、2)から、結局、上のスレ主のいう
>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
という問題は、段階的に次の(1)～(5)を考えていく問題に帰着される。
(1)：任意に与えられかつ10進無現表示された実数xの無理性を判定する問題に帰着される。
(2)：次に、もし、xが無理数であれば、xの超越性の判定の問題に帰着される。
(3)：更に、xが超越数であれば、K＝Q∩F FはQの代数的閉包 とすると、KはQに対するRにおける
体の拡大 R/Q の中間体で、Q⊂K⊂R となる。その上、K(x) はRにおける超越拡大体で、
x∈K(x)⊂R となるから、K(x) 上での代数的独立な実数の存在性の問題に帰着される。
655:１３２人目の素数さん
16/12/01 19:51:29.02 i2ODE144.net
>>566
(>>593の「(>>582の続き)」は「(>>592の続き)」の続きに訂正)
(>>593の続き)
(4)：x∈K(x) (Kは(3)と同じ) に対して K(x) 上代数的独立な実数x'が存在するときは、
K(x, x') はx'のRの中での K(x) の超越拡大体で x∈K(x, x')⊂R となるから、
Rにおいて同様に K(x, x') 上代数的独立性な実数の存在性の問題や
Rにおける超越拡大体の構成の問題を考えることにより、xが属するような
Rにおける超越拡大体をRの中で帰納的にどこまでRの中で拡大して構成出来るか、
という問題に帰着される。
(5)：あとは(4)と同様な問題になって、(4)と同様な問題をどこまでつまり何回帰納的に
繰り返して考えるられるかという問題か、或いはあり得ないことだとは思うが
どこかで(4)(か(3))と同様なことが出来なくなることを示す問題になる。
こんな感じだろうな。まあ、Rにおける完全不連結な位相体K (Kは(3)と同様) からはじめ、
デデキント切断と同様な操作を帰納的に繰り返して行くと、RにおけるKの超越拡大体は
無限回Rの中で体の拡大の操作を繰り返してRにおける完全不連結な位相体の列
K, K(x, x', …), … を構成出来るから、どこかで打ち切らないと意味がなくなる問題だな。
656:１３２人目の素数さん
16/12/01 20:31:43.09 i2ODE144.net
>>566
>>593の(1)の「10進無現表示された実数x」の部分は「10進無現小数表示された実数x」
と訂正。
まあ、10進無現小数表示された実数xが、ど�
657:ﾌような R＼Q やRにおける完全不連結な位相体 としてのQの超越拡大体(或いはQの代数拡大体AとQの差集合A＼Q)に属するのかによって、 xの小数点第一位以下にどのような数字が現れるかということについての法則性は違う筈だ。 これは>>592の1)から大体すぐ見当が付く。xが代数的無理数のときは>>593の K＝Q∩F FはQの代数的閉包 とQの差集合 K＼Q∋x についても考えることになるな。 スレ主のいう命題Bについての1つの十分条件は大体分かったわな。 じゃ、おっちゃん寝る。今度の訂正は明日以降。
658:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/01 23:06:27.59 IC32DEwi.net
￥
659:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/01 23:24:25.99 IC32DEwi.net
￥
660:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/12/01 23:45:01.71 IC32DEwi.net
￥
661:１３２人目の素数さん
16/12/02 07:23:10.55 EiFQky51.net
>>566
おっちゃんです。
実数xが10進無現小数表示されたときだけのスレ主のいう命題Bと同様な命題が成り立つ
十分条件を求めるだけなら、>>593-594の(2)～(5)、及び>>595で書いた
「まあ、…(略)…」以降の部分は不要で、単純に>>593-595の部分は
＞1)、2)から、結局、上のスレ主のいう
＞>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
＞という問題は、(1)のようなことを考えるだけでよく、
＞任意に与えられかつ10進無現小数表示された実数xの無理性を判定する問題に帰着される。
と整理して書ける。
問題は、有限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表されるような
無限小数表示された実数xや、或いは可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて
表されるような無限小数表示された実数yに対して、スレ主のいう問題と同様な問題を考えた
ときにどうなるかということだな。有限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表されるような
無限小数表示された実数xについての場合は、xを10進無限小数表示することが出来るから、
やはりxが10進無現小数表示されたときと同様に、xの無理性の判定の問題に帰着される。
可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表されるような無限小数表示された実数yに対して、
スレ主のいう問題と同様な問題を考えたときはどうなるかは正確には知らん。
こういうのを考えるときは、>>593-594の(2)～(5)、及び>>595で書いた「まあ、…(略)…」以降
の部分のようなことを考えるようなことになるんだろうな。
662:１３２人目の素数さん
16/12/02 07:50:33.90 EiFQky51.net
>>566
(>>599の続き)
まあ、可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされる実数は、
次のようにして構成的に示せ、その存在性は保証される。
[第１段]：第n項が a_n＝b_n－1 と表わせて a_n≦n を満たすような
非負の実数列 {a_n} と、非有界で単調増加な1以上の実数列 {b_n} を構成する。
整数部分を表わす数字代わりの記号 c_0 を {a_n} の項を任意に用いて表わすことからはじめ、
各 k＝1,2,… に対して、小数点以下、小数点第k位を表わす数字代わりの記号 c_k を、
c_k＝a_{k+1} と a_{k+1} を用いて c_1＝a_2, c_2＝a_3, … と帰納的に可算無限回表わして行く。
そして、{a_n} の項の部分列 c_0, c_1, c_2, … つまり c_0, a_2, a_3, … を構成する。
[第２段]：c_0, a_2, a_3, … を用いて無限小数表示された実数を c_0.c_1c_2…c_k… と表わして
構成し y＝c_0.c_1c_2…c_k… とおく。そして、yが実数になることを確認する。
yが実数なることの確認作業は、次のようにする。
k, n を n＞k を満たすような2以上の自然数変数とする。k≧2 のとき 0＜a_1≦1 で、
c_1/(n^1)＝a_2/n であり、c_k/(n^k)＝a_{k+1}/(n^k)≦(k＋1)/ (n^k) だから、
y－c_0＝0.c_1c_2…c_k… ( 右辺は上で構成したyから c_0 を引いたときの表示 )
＝Σ_{k＝1,…,+∞}( c_k/(n^k) )＝Σ_{k＝1,…,+∞}( a_{k+1}/(n^k) )
＝a_2/n＋Σ_{k＝2,…,+∞}( a_{k+1}/n^k )
≦a_2/n＋Σ_{k＝2,…,+∞}( (k＋1)/n^k )
≦a_2/n＋Σ_{k＝2,…,+∞}( 1/n^{k-1} ) ( ∵ n≧k＋1 )
＝a_2/n＋Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^k )
＝a_2/n＋(1/n)・Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^{k-1} )＝a_2/n＋(1/n)・( 1/(1－1/n) )
＝a_2/n＋1/(n－1)、
従って、k→+∞ とすると n→+∞ となり a_2/n＋1/(n－1)→+0 となるから、y－c_0≦0。
そして、yの構成に注意すると、y－c_0≧0。従って、y－c_0＝0 から y＝c_0 となり、
c_0 が可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされた実数になる。
663:１３２人目の素数さん
16/12/02 08:07:52.55 EiFQky51.net
>>566
>>600の
> ……(略)……
> ＝a_2/n＋Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^k )
> ＝a_2/n＋(1/n)・Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^{k-1} )＝a_2/n＋(1/n)・( 1/(1－1/n) )
> ＝a_2/n＋1/(n－1)、
>従って、k→+∞ とすると n→+∞ となり a_2/n＋1/(n－1)→+0 となるから、y－c_0≦0。
>そして、yの構成に注意すると、y－c_0≧0。従って、y－c_0＝0 から y＝c_0 となり、
>c_0 が可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされた実数になる。
の部分には計算間違いがあって、「＝a_2/n＋Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^k )」以降の部分を
> ……(略)……
> ＝a_2/n＋Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^k )
> ＝a_2/n＋( 1/(1－1/n) )
> ＝a_2/n＋n/(n－1)、
>従って、k→+∞ とすると n→+∞ となり a_2/n＋n/(n－1)→「+1」 となるから、y－c_0≦「1」。
>そして、yの構成に注意すると、y－c_0≧「1」。従って、y－c_0＝「1」 から y＝「c_0＋1」 となり、
>「y＝c_0＋1」 が可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされた実数になる。
に訂正。
664:１３２人目の素数さん
16/12/02 09:20:17.66 EiFQky51.net
>>566
>>600の第1行の
>可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされる実数
は
>可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて
>「10進無限小数表示などと同様に、
665:可算無限進表示して」表わされる実数 と訂正。そして、 >[第２段]：c_0, a_2, a_3, … を用いて無限小数表示された実数を c_0.c_1c_2…c_k… と表わして >構成し y＝c_0.c_1c_2…c_k… とおく。そして、yが実数になることを確認する。 >yが実数なることの確認作業は、次のようにする。 の部分は >[第２段]：c_0, a_2, a_3, … を用いて「可算無限進小数表示された」実数を c_0.c_1c_2…c_k… と表わして >構成し y＝c_0.c_1c_2…c_k… とおく。そして、yが「可算無限進小数表示された」実数になることを確認する。 >yが「可算無限進小数表示された」実数なることの確認作業は、次のようにする。 と訂正。そして、>>601で行った訂正後の ＞>「y＝c_0＋1」 が可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされた実数になる。 の部分は ＞>「y＝c_0＋1」 が可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて ＞「可算無限進小数表示して」表わされた実数になる。 に再び訂正。まあ、>>600-601は可算無限進小数表示された実数の話だな。 ちなみに、>>599の後半での実数yも >可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表されるような「可算無限進小数表示された」実数 として考えている。
666:１３２人目の素数さん
16/12/02 10:17:00.25 EiFQky51.net
>>566
実数yについての「可算無限進小数表示」の定義は、
yに対して可算無限個の数字やその代わりとなる記号 a_0, a_1, a_2, …, a_n, …
が定まり、記号列 a_0, a_1, a_2, …, a_n, … を用いて、
y＝lim_{n→+∞}(lim_{k→+∞}[Σ_{j＝0,1,2,…,k}(a_j/n^j)])
と表わせることと定義する。
nが有限な数字10に等しいときは、yに対して、高々11個の数字やその代わりとなる記号
0, 1, 2, …, 9, a_0 (a_0 はyの整数部分) により構成される
数字やその代わりとなる記号の列 a_0, a_1, a_2, …, a_n, … が定まり、
記号(数字)の列 a_0, a_1, a_2, …, a_k, … を用いて
y＝lim_{k→+∞}[Σ_{j＝0,1,2,…,k}(a_k/10^k)] と表せるから、
実数の10進無限小数表示に似た定義になる。
667:１３２人目の素数さん
16/12/03 10:19:19.81 lwy6STi8.net
他になにか言いたいことはありますか？
他になにか訂正したいことはありますか？
668:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 10:38:42.48 6Rgz8i9T.net
>>575
>＞仮定が現実離れしていては意味がない
まず、再度強調しておくが
１．もともとは、箱には任意の実数を入れる。つまり１つの箱に連続無限大の自由度があるのだ。
２．対して、いまは、箱に０～９の極簡単なミニモデルを考えている。
３．０～９の数を箱に入れる極簡単なミニモデルでも、可算無限数列のしっぽは、現代数学では扱えない。
４．まして、任意の実数が箱に入る場合においておや。
669:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 10:41:24.80 6Rgz8i9T.net
>>605 つづき
で、例えば、話は変わるが、仮に、下記”超越数かどうかが未解決の例”「e+π、e-πが有理数であるのか無理数であるのか証明されていない」を認めるとしよう
また、十進法で、下記”有理数”で「有限小数または循環小数のいずれかとなる」ことも認めよう。
もし、０が続くことを循環小数に含めるなら（1/3=0.333・・・の類似）、循環小数かどうかを見極めることができるなら、有理数であるのか無理数であるのか見分けることが可能だということだ
つまり、実数を無限小数に展開したときに、そのしっぽを見れば、循環小数かどうかを見極めることができ、有理数か否か判定可能
ところが、「e+π、e-πが有理数であるのか無理数であるのか証明されていない」のだから、現代数学は、いまだe+π、e-πの少数展開のしっぽが循環小数かどうかを見極める方法を持たないということだ
これは、>>575 時枝解法での可算無限のしっぽの見分け>>114が、箱に０～９の極簡単なミニモデルでさえも、現代数学では不可という例示だ
つまり、e+πの少数展開からなる十進法の数の各位取りの数から成る数列を考えたとき、現代数学では実数しっぽの見分け（有理数か無理数か）ができない
（もし実数しっぽの見分けができるから、循環小数かどうかすぐ分かるはず）
もちろん、いずれ時代が進んで、不可能が可能になることもあるだろう
（例えば、e+π、e-πが超越数であることが証明されるとか）
現時点では、実数しっぽの見分け不可レベルの現代数学では、時枝解法は絵に描いた餅にすぎない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越数かどうかが未解決の例
e+π、e-π
などの円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有理数
十進法などの位取り記数法を用いて小数表示した場合、どの有理数も位取りの基数のとり方に関わらず有限小数または循環小数のいずれかとなる（もちろん、ある基数で表示したとき有限小数となる有理数が、別の基数では循環小数となったりすること、あるいはその逆になることはある）。同様に、有理数は必ず有限正則連分数展開を持つ。
670:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 10:43:10.30 6Rgz8i9T.net
>>599-603
どうも。スレ主です。
おっちゃんの覚醒も期待できそうやね。もうすぐかな？
正直、おっちゃんがいま書いている>>599などの趣旨がいまいち理解できていないが（＾＾；
おっちゃんの努力は素晴らしいと思うよ
もうすぐ意見が一致しそうな
予感（＾＾；
671:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 10:49:16.36 6Rgz8i9T.net
>>606 つづき
１．箱に０～９の極簡単なミニモデルで、数列a0,a1,a2,a3,・・・・,an,・・・を考える
２．これに対応して、関数sn(x)=a0+a1/x+a2/x^2+a3/x^3+・・・・+an/x^n+・・・ を考える
３．x=10とすると、sn(10)=a0+a1/10+a2/10^2+a3/10^3+・・・・+an/10^n+・・・ という無限小数が対応する
４．sn(10)=a0+a1/10+a2/10^2+a3/10^3+・・・・+an/10^n+・・・ は、区間[0,10)の実数を表現していると見ることが出来る
そして、sn(10)は十進法によるコーシー列を形成し、級数は収束する
５．一方、数列a0,a1,a2,a3,・・・・,an,・・・ には収束という概念はないし、ヒルベルト空間ではない
∵ ３，４項では、”an/10^n”としているので、指数関数的にこの項は小さくなる。対して、anそのものは小さくならない
つまり、無限小数展開の各少数の位は、”an/10^n”として、指数関数的にこの項は小さくされているということを強調したのだ
６．なので、ヒルベルト空間外の時枝の数列a0,a1,a2,a3,・・・・,an,・・・のしっぽによる同値類は可能としても、決定番号にきちんとした意味づけが出来るかどうか？
672:１３２人目の素数さん
16/12/03 10:50:51.39 lwy6STi8.net
>>606
> 有理数か否か判定可能
壮大な論点ずらし乙
673:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 10:56:30.53 6Rgz8i9T.net
>>608 つづき
さらに、箱に０～９で有限数列 a0,a1,a2,a3,・・・・,anを考えてみよう
１．逆に、数列の頭での同値類を考えよう。>>114の２項にならって、推移律をチェックすることは容易だ
２．決定番号は、類別の同値類の代表元Ad=(a0,a1,a2,a3,・・am,・・,an)と、その類の任意の元A'=(a0,a'1,a'2,a'3,・・a'm,・・,a'n) との比較で、
(a0,a1,a2,a3,・・am)と(a0,a'1,a'2,a'3,・・a'm)とが一致するとき（当然これ（a'm）以降は不一致）に、決定番号をmとする
３．決定番号mの確率分布を考えると、m=1の確率が一番高く、m=1の場合の数は、10^n-10^(n-1)
（説明：10^nは、a1からanまでの順列の場合の数で、10^(n-1) は、a2からanまでの順列の場合の数で、決定番号2以上の順列の場合の数を除いている）
４．同様に、決定番号m=xの場合の数は、10^(n+1-x)-10^(n-x)
５．同値類の集合の濃度は、A'=(a0,a'1,a'2,a'3,・・a'm,・・,a'n) の順列全てであるから、10^n
６．これから分かることは、決定番号m=xの場合の確率Px＝(10^(n+1-x)-10^(n-x) )/10^n＝10^(1-x)-10^(-x)＝9*10^(-x)。
７．つまり、xが大きくなると、Pxは指数関数的に小さくなる。つまり、すその軽い確率分布になる。（大数の法則や中心極限定理が成立）
つづく
674:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 10:57:21.42 6Rgz8i9T.net
>>610 つづき
逆に、同じように、箱に０～９の有限数列 a0,a1,a2,a3,・・・・,anで、しっぽの同値類を考えると
上記の全く逆で、前後を逆転させた議論になる
そうすると、xが大きくなると、Pxは指数関数的に大きくなる。つまり、すそが超重い確率分布になる。（大数の法則や中心極限定理が不成立）
ここで、n→∞の極限を考えると
上記の頭での同値類を考えた場合には、まだ数学的な取り扱いはできるだろう（すそは、ゼロになるから）
しかし、しっぽの同値類では、すそが超重い確率分布で、発散してしまうから、数学的な取り扱いは困難
ここで、いまの場合は、箱に０～９の極簡単なミニモデルだったことを思い出そう
もともとは、箱には任意の実数を入れる。つまり１つの箱に連続無限大の自由度があるモデルだ
箱に０～９の極簡単なミニモデルでさえ扱いかねるのに、まして箱に任意の実数を入れる場合においておや
要は、決定番号の確率分布を考えても、上記のように決定番号で確率99/100>>115は言えないだろう
675:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 10:57:53.03 6Rgz8i9T.net
>>585
>ちなみにこれは半分嘘で、チャンパーノウン数とかいう超越数を10新無限小数展開して表示したときは
>規則性というか或る種の法則があって、0.12345678910111213141516… と、小数点以下の桁の数字は、
>有限個の数字を用いて10進表示された1以上の自然数 1, 2, 3, … が小数点第一位以下から順番に、
>単調増加するように並んでいる。
ここだけ
これだけでは、チャンパーノウン数の可算無限のしっぽをつかまえたとは言えないだろう
つまり、単に有限からの類推を示したにすぎない（結局実際には可算無限を直接見ていないのだ）
上記のレベル（単に有限からの類推を示した）でよければ、下記eの 1/n!の 数列和の方がシンプルですっきりしていないか？
両者とも、可算無限のしっぽは、霧の彼方で見えないが・・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ネイピア数
(抜粋)
自然対数の底である。記号として通常は e が用いられる。その値は
e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …
と続く超越数である。ネピアの定数、ネピア数とも呼ばれる。
e=1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・+1/n!+・・・
(引用終り)
676:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 11:06:34.39 6Rgz8i9T.net
>>609
e =1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・+1/n!+・・・
π=1-1/3+1/5-1/7+・・・=Σn=0-∞(1/(2n+1))*(-1)^n （ライプニッツの公式） URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
e、πとも収束する
両者を表現する公式も分かっている
だけど、e＋πのしっぽが分からん
循環小数になるか否かがわからん
が、e＋πの無限小数展開から、時枝数列 a0,a1,a2,a3,・・・・,an,・・・は構成可能だ
どうぞ、しっぽの類別お願いします。完全でなくとも、「しっぽがある周期をもって巡回するか否か」だけの判定でも可だよ。どうぞ！！（＾＾；
再度強調しておくが、無限小数展開モデルは、箱に０～９の極簡単なミニモデルにすぎない>>605 ！！
e、πとも、古くから人類には良く分かっている代表的な超越数だ。でも、しっぽが分からん。e＋πが循環小数になるか否かがわからん
似た例で、オイラー常数γがある。公式は分かっている。でも、しっぽが分からん。循環小数になるか否かがわからん
それが、現代数学のいまのレベルだろ？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オイラーの定数
(抜粋)
この値は、およそ0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...である。
オイラーの定数は超越数であろうと予想されているが、無理数であるかどうかさえ分かっていない。
(引用終り)
677:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 11:15:56.13 6Rgz8i9T.net
>>605つづき
ところで
＜数学は、同値を定義し、推移律を確認すれば終わりなのか？＞
１．同値を定義し、推移律を確認したところから、数学が始まるのでは？
２．例えば、下記サーストンによる幾何化予想、コンパクト3次元多様体の8つの部分多様体による分類。これはまさに上記の例では？
（同値を定義し、推移律を確認したところから、数学が始まる）
３．だから、>>114の”同値を定義し、推移律を確認すれば終わり”という書き方は、有限を扱うならまだしも、可算無限を扱うには、あまりにも粗雑だろう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
幾何化予想（きかかよそう、Geometrization conjecture）は、1982年にアメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって提出された「コンパクト3次元多様体は、幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解される」という命題。
位相幾何学と微分幾何学を結びつけるものでありミレニアム懸賞問題にも挙げられていたポアンカレの予想問題の解法の過程として思いつかれた。
2003年、グリゴリー・ペレルマンによるリッチフローを用いた証明が示され、現在ではその証明が基本的に正しいものとされている。これにより、およそ100年にわたり未解決だった3次元ポアンカレ予想が証明されることになった。
(引用終り)
678:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 11:18:44.74 6Rgz8i9T.net
>>608 つづき
ヒルベルト空間について
吉田 伸生
679:先生いいね http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/index_j.html 吉田 伸生 名古屋大学大学院多元数理科学研究科 http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/tch_web/index_j.html 吉田伸生★ 教育活動: http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/tch_web/fana/10/index_j.html 2010年度 関数解析学 担当教員： 吉田伸生 講義ノート (授業で述べる以外の内容も含む．公開後も加筆・修正することがある． 各節の最終更新日は冒頭部分に表示．) 序 具体例からの準備 http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/pdf/fana/10/fana10_1.pdf バナッハ空間とヒルベルト空間 http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/pdf/fana/10/fana10_2.pdf ヒルベルト空間続論 http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/pdf/fana/10/fana10_3.pdf 有界作用素 閉作用素 リゾルベントとスペクトル 共役作用素(ヒルベルト空間の場合) ハーン・バナッハの拡張定理とその応用 ベールのカテゴリー定理とその応用 補足
680:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 11:21:14.38 6Rgz8i9T.net
>>615 つづき
>>579-580 そうL^2数列空間（ヒルベルト空間）なんだ
で
＜なぜヒルベルト空間なのか？＞
１．これがよく纏まっている
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp) ヒルベルト空間 - 大人になってからの再学習: 2012-05-21 [物理数学]ヒルベルト空間
(抜粋)
物理学で参考になる「物理のかぎしっぽ」のサイトでも、簡潔に言うと次のような説明のされ方をしている。
ヒルベルト空間とは内積を定義したベクトル空間
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
ところで、WolframAlphaで検索してみたら、次のような説明があった。
A vector space that has a complete inner product. Hilbert spaces are important in the study of infinite-dimensional vector spaces.
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
これは「物理のかぎしっぽ」同様、「内積を定義したベクトル空間」ということだ。シンプルで明快。
ちなみに、内積が計算できるということは、自分自身との内積の平方根から距離（ノルム）を定義でき、角度も扱えるということで、一般的な幾何学の概念を扱える。ということに他ならない。
(引用終り)
２．ヒルベルト空間での数列では、級数(数列の和)が収束する（有限）ことを要求することで、数列を容易に扱うことができるようにしてあると
逆に言えば、ヒルベルト空間外での数列では、級数(数列の和)が必ずしも収束しない（有限でない）から、数列を容易に扱うことはできないと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) で級数
n = 1 -∞ | zn | ^2
が収束するようなもの（自乗総和可能な無限複素数列）全体の成す数列空間を L^2 で表す。
空間 L^2 の完備性は「L^2 の元からなる級数が（ノルムの意味で）絶対収束するならば必ず、その級数が L^2 の何らかの元に収束する」ことを示せば言える。このことの証明は解析学の初歩であり、この空間の元からなる級数は複素数（あるいは有限次元ベクトル空間のベクトル）からなる級数と同程度容易に扱うことができる[5]。
(引用終り)
681:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 11:24:54.55 6Rgz8i9T.net
>>616 つづき
吉田 伸生先生のテキストの歴史の記述が良いね
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
バナッハ空間とヒルベルト空間
(抜粋)
2.3 バナッハ空間とヒルベルト空間
有限次元空間Kd で点列の収束を考えるとき, 完備性(任意のコーシー列が収束すること) が役立つことが少なくない. 例えば, 「絶対収束級数が収束する」という命題は完備性と等価である.
実は, こうした事情は無限次元のノルム空間にも共通している. そこで, 有限次元空間での概念の自然な拡張として完備性を定義し, 完備なノルム空間, 内積空間をそれぞれバナッハ空間, ヒルベルト空間と呼ぶことにする(詳細は定義2.3.1).
今日、バナッハ空間と呼ばれる完備なノルム空間の概念は、1920 年から1922 年にかけて、N. ウィナー, S. バナッハ, E. ヘリー達が独立に導入した^17。
ヒルベルト空間の具体例(主にL^2(N)) はD. ヒルベルトやE. シュミット達が20 世紀初頭から調べていたが, 抽象的な公理はJ. フォンノイマンによる^18(1929 年).
17Norbert Wiener(1894-1964), Stefan Banach(1892-1945), Eduard Helly(1884-1943)
18Johann von Neumann (1903-57)
(引用終り)
なお
”2.4 有限次元ノルム空間
関数解析の俎上にのせるノルム空間はほとんどが無限次元であり, 今我々は本格的に無限次元へ旅立とうとしている. だが, ここで少し立ち止まり有限次元の特性について考えてみよう. この考察は,
逆に無限次元とはどんなものか？
を垣間見ることでもある.”
も、ご注目だ
682:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 11:26:10.45 6Rgz8i9T.net
>>617 つづき
吉田 伸生先生つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
3 ヒルベルト空間続論
(抜粋)
”無限次元内積空間で(3.3) の成立は無条件でない. まず(3.3) の成立にはM が閉部分空間であることが必要(補題3.1.2 参照). また(3.3) が任意の閉線型部分空間M に対して成立するにはX がヒルベルト空間であることが必要十分.
ここでは, 次の二つの場合に(3.3) の証明を目標とする(命題3.1.5)：
a) X が内積空間, dimM < ∞;
b) X がヒルベルト空間, M が閉線型部分空間.
これらは, 後にリースの表現定理(定理4.3.4) で重要な役割を果たす.”
(引用終り)
は、ヒルベルト空間の重要性を示す記述として、示唆的だろう。
683:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 11:29:52.34 6Rgz8i9T.net
>>618 つづき
で (連番は＜なぜヒルベルト空間なのか？＞>>616のつづき)
３．時枝解法のようなヒルベルト空間外での数列を扱う理論は？ 良くしらない。全くないわけではないのだろうが・・・、ヒルベルト空間ほどの理論整備が行われているとは思えない
４．ところで、時枝解法は、あきらかに、級数の収束は要求していない。だから、ヒルベルト空間外での数列を扱うのだ。だが、どうやって？
ヒルベルト空間外での数列のしっぽ？ 同値類？ 決定番号？ そんな理論あるのか？ あるなら教えて・・（＾＾；
684:１３２人目の素数さん
16/12/03 11:38:42.21 mQeh06cb.net
>>604
>>600-602の議論が自然数変数 k≧2 の値を固定せずに上から評価したり、
y-c_0 の下からの評価が抜けていたりして杜撰だった。
しかし、そもそも、スレ主のいう問題に答える「だけを考える」場合は、
可算無限進小数展開なる概念が無意味だった。
>>583で述べたような一様分布の問題や正規数「だけ」を扱ったり考える
にあたっては、可算無限進小数展開なる概念は必要ない。
もし意味が生じたら、有理数体Qが実数体Rの商体で
Rの最小の部分体なることに反し矛盾が生じる。
この場合は、>>591-593の(1)までや、>>599の前半のxの無理性の判定
に帰着されることの議論だけで済む。
685:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 11:53:32.39 6Rgz8i9T.net
形式的冪級数は、ヒルベルト空間の外かな？（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
形式的冪級数
(抜粋)
数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series）とは、多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（X を不定元として）
(n = 0 - ∞) X n = 1 + X + X^ 2 + X^ 3 + ? + X^ n + ・・・
は（多項式ではない）冪級数である。
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, a formal power series is a generalization of a polynomial, where the number of terms is allowed to be infinite; this implies giving up the possibility of replacing the variable in the polynomial with an arbitrary number.
686:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 12:21:35.44 6Rgz8i9T.net
>>621 形式的冪級数 関連 引用
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:125番)
125 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2016/05/15(日) 07:50:16.70 ID:2TKPQHsX
>>93 自己レス
”時枝の箱の列←→形式的冪級数の集合R[[x]]”と書いたけど
下記、落合理先生は、「係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である.」という
「時枝の箱の列←→形式的冪級数 という全単射対応は、認めるとしよう」と書いたけど、間違いかな。ここ突っ込んでくる人いなかったけど（＾＾；
K[[X]] が”次元は非可算無限”という理由は、テイラー展開の二項定理 (1+x)^α （αは任意の実数 または複素数）で、これが形式的冪級数に展開できるからだろう
しかし、全単射可能だと、ベクトル空間の次元は一致しないといけない。だから全単射ではない？ はて
メモしておきます
ともかく、時枝先生のなぞかけは、けっこう深いね
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
数学考究２ 確認小テスト解説(10-8) 落合理 大阪大学 20151008
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
確認小テスト問題(10/8)
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
確認小テスト解説(10/8)
Q.[3] 次のベクトル空間V に対して, 基底を具体的に記せ.
(4) K 係数の1 変数多項式環K[X].
A.[3](4)
例えば, 1,X,X^2, ． ． ． ,X^n, ． ． ． が基底となる.
発展的コメント
若干の注意を与えておく. 教科書の定理1.6.7 によって勝手なK ベクトル空間は基底を持つことが知られている.
しかしながら, V が無限次元のときには与えられたベクトル空間に(4) のようにわかりやすい基底がとれるとは限らない.
例えば, K[X] の代わりに係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である.
（引用おわり）
以下略
687:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 12:25:59.79 6Rgz8i9T.net
>>622 補足
落合理先生は、形式的冪級数で、”係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である.”
とあるから、ヒルベルト空間の外なんだろうね
が、「次元は非可算無限である」の理屈がわからん・・（＾＾；
688:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 13:08:34.29 6Rgz8i9T.net
>>623 ついでに
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
教育活動およびその他の仕事 落合理 大阪大学
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
「数学オリンピック財団主催JMO夏季セミナー」 でのレクチャートーク (180分)(2010/8/26) (木)
「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」
講演ノートのPDFファイル （実際の講義では 本ノートの６割ほどの内容しか話せず, 複素数の部分, 素数定理, ゼータ関数の部分の後半や レムニスケート関数の部分はカットせざるを得なかった）
(抜粋)
1.4. 超越数.
先にみたように「ほとんどの」数は超越数である. 広い海岸に果てしなく敷き詰められた砂の一粒一粒を数に例えるとその一粒（数）を何の作為もなく勝手につまみあげたならば,
その数はたいてい超越数でなければならない. が, 一方で, 実際に数が与えられたときに,その数が超越数であるかを判定するのは簡単ではない.
軽く脱線して, [Kd] の中に採録された小平邦彦氏が定年間近で書いた「数学に王道なし」という文章を引用すると,
「筆者は中学の時からπ が無理数であることをよく理解していたが最近までその証明を知らなかった. . . 不思議なことに最近I.Niven によるその（無理数性の）証明を読んだ時それによってπ が無理数であるという事実に対する理解が一段と深くなったとは感じなかった
. . . 証明はただπ が無理数であるという明白な事実を確かめたに過ぎないと感じた. . .」
というくだりがあって興味深い^10.
10 その前後に小平氏が学習過程で発展的発見をしたエピソードや勉強の仕方も挙げられているので上の言葉だけを引用するのは少し誤解を誘導する危険があるかもしれない.
現代数学の超越数論にはまだまだ限界があり, 超越数であるかそうでないかを判定できない数が沢山ある.
例えば, [S, p 69] によると和e+π は無理数かどうかもわからない. あとで登場するリーマンゼータの奇数点での値のように超越数であると予想されていても何も知られていない数もある.
つづく
689:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 13:09:30.61 6Rgz8i9T.net
>>624 つづき
3. 数論的多様体の周期積分
3.1. 周期とは. Kontsevich とZagier の概説論文[KZ] を参考にして周期という概念を導入したい.
問 P の中に入らない実数を与えられるだろうか？
という問もKontsevich-Zagier の論説のなかで提起されている. これに関しては吉永正彦さんの結果[Y] としてひとつの解答が得られている.
吉永さんは, 数学基礎論や計算論の研究でよく知られている次のような複素数の世界の階層構造に着目した.
{ 代数的数} ⊂ { 初等数} ⊂ { 計算可能数} ⊂ { 複素数}.
そしてさらに次の定理を示した.
定理3.4 (吉永). P ⊂ { 初等数} となる.
[Y] にも説明があるように, 初等数でない複素数の例が知られているので, Kontsevich-Zagier の問に対する答えが得られたことになる.
(引用終り)
690:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 13:47:07.15 6Rgz8i9T.net
sage
691:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 13:51:14.04 6Rgz8i9T.net
>>623
こんなのが
URLﾘﾝｸ(math.sta)
ckexch
ange.com/questions/176475/what-is-the-standard-proof-that-dimk-mathbb-n-is-uncountable
linear algebra - What is the standard proof that dim(k^N is uncountable? - Mathematics Stack Exchange: asked Jul 29 '12 at 13:46 Chindea Filip
What is the standard proof that dim(kN)is uncountable?
This is my (silly) proof to a claim on top of p. 54 of Rotman's "Homological algebra".
略
1 Answer answered Jul 29 '12 at 14:29 Asaf Karagila
One liner argument which uses a much more difficult theorems (swatting gnats with cluster bombs kind of proof):
kN is the algebraic dual of the polynomials in one variable,
692:k[x] which has a countable dimension. If kN had a countable basis then k[x] would be isomorphic to its dual, and since this cannot be we conclude that kN has a basis of uncountable size. The arguments given in Arturo's answer show that the above is indeed a proof (in particular Lemma 2 with κ=?0 ).
693:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/12/03 13:52:09.33 6Rgz8i9T.net
>>627 再投稿
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linear algebra - What is the standard proof that dim(k^N is uncountable? - Mathematics Stack Exchange: asked Jul 29 '12 at 13:46 Chindea Filip
What is the standard proof that dim(kN)is uncountable?
This is my (silly) proof to a claim on top of p. 54 of Rotman's "Homological algebra".
略
1 Answer answered Jul 29 '12 at 14:29 Asaf Karagila
One liner argument which uses a much more difficult theorems (swatting gnats with cluster bombs kind of proof):
kN is the algebraic dual of the polynomials in one variable, k[x] which has a countable dimension. If kN had a countable basis then k[x] would be isomorphic to its dual, and since this cannot be we conclude that kN has a basis of uncountable size.
The arguments given in Arturo's answer show that the above is indeed a proof (in particular Lemma 2 with κ=?0 ).