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ご存知大栗先生
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大栗 博司
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大栗 博司 アウトリーチ
(「IPMU特集」科学 (2009年, 7月) )
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宇宙の数学とは何か - Caltech Particle Theory 特集 宇宙はどんな《言葉》で書かれているか 宇宙の数学とは何か 大栗博司 科学 2009
(抜粋)
なぜいまさら量子論（その1）: 千年紀の問題
1970 年代初頭のゲージ理論のくりこみ可能性の証明と漸近的自
由性＊3の発見によって，場の量子論はようやく素
粒子物理学の基本言語となった．しかし，80 歳
となった今日でも，場の量子論は数学者からは理
論として認知されていない（6）（7）．
2000 年にクレイ数学研究所は千年紀を記念し
て，7 つの“ミレニアム問題” を提起した．その
中の1 問に，「ヤン-ミルズ場の量子論を数学的
に定式化せよ」というものがある（8）．このいわゆ
るヤン-ミルズ問題が，リーマン予想やポアンカ
レ予想と並んでミレニアム問題のひとつに選ばれ
た理由は，場の量子論に数学者にも納得できる定
義を与えることで，この理論を数学の1 分野とし
て確立し，数学の発展に新しい方向が開かれるこ
とを期待するからだという．
場の量子論の正しい定式化を追究することは，
数学者を満足させるためだけではない．物理学者
が場の量子論の計算をするときに，最初に試みる
近似法は，相互作用の強さを表す結合定数につい
てのべき展開，すなわち摂動展開である．過去
60 年以上にわたって，この近似計算にはファイ
ンマン図を使う方法が標準的であった．しかし，
ここ数年の間にこれに代わるまったく新しい方法
が開発されつつあり，ファインマン図の方法では
技術的に困難とされてきた高次の近似計算ができ
るようになってきた（9）．摂動展開のような，もは
や調べ尽くされたと思われていた部分にも新しい
驚きがあり，美しい数学的構造が隠されている．
われわれは，場の量子論とは何なのかをまだ理解
していないのである．
つづく