16/11/06 13:49:43.68 nJxS0NAD.net
>>242
＞で、>>200だよ
その >>200 には間違った主張が含まれている。>>200 では
3 14159265358979…17 ∈ R^N が成り立つ
と言っているが、これは成り立たない。
どの理屈を採用するかではなく、これは完全に成り立たない。
都合がいいとか悪いとかではなく、数学的な事実として、
これは成り立たない。スレ主が間違えている。
266:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:49:47.01 0RehzJJ1.net
>>199
おっちゃんです。
私とスレ主との比較はしないでくれ。
確か、一番はじめに時枝問題の初等的な解法を見つけたのは私だった筈だ。
何で確率の話がモノイドの話になっているんだよ。
私がよく分からないというか自信が持てないのは、無限集合への排中律の使い方だ。
267:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:50:16.28 ivLdkhn2.net
>>241
矛盾でもなんでもないだろ？
"3"と"7"の添え字が具体的数字で示せないから、数列が存在しない？
そんな理屈では、πが有限小数になったりしちゃうだろ？
無限小数わかります？
1/3って、何桁の数？
1/3って、Ｒ＾ωの元じゃないのか？
268:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:51:21.54 ivLdkhn2.net
>>244
論文にしてね
100年待っているよ
269:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:52:37.40 ivLdkhn2.net
>>245
おっちゃん、どうも。スレ主です。
時枝問題の初等的な解法って・・・
それで終わりなら、数セミの記事にならんよ
270:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:53:07.69 6UoZYVsS.net
>>239
時枝は無限個の確率変数の独立性に極限を用いただけで、同値類においては用いていない
271:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:54:21.83 nJxS0NAD.net
>>233
＞２）しっぽでの分類と決定番号を考えると、単純に考えて、z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… のようなキマイラ数列の扱いに困ることになる
＞ （可算無限個という単純な規定だけでは不十分で、キマイラ数列を排除する規定を加えないといけないよ）
R^N の中で考えれば全く困らない。
なぜなら、R^N の中にキマイラ数列は全く存在しないからだ。
もちろん、R^N の中で同値類を定義することは普通に可能だし、
そのときに位相は全く必要ない。時枝の記事は R^N の中で
普通に完結している話であり、キマイラ数列などという
ゴミを持ち出す必要性がない。
勘違いのないように補足しておくと、キマイラ数列が存在しない、
といっているのではなく、キマイラ数列というゴミを持ち出す必要性がない、と言っている。
それでも敢えてキマイラ数列を持ち出すことは不可能ではないが、
そんなのスレ主だけが勝手に吠えていればいい、という話。
そんな中でスレ主は、
「いや、キマイラ数列は R~N の中にも存在しているのだ」
という明らかなウソをついているから話がこじれているのだ。
272:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:56:43.44 nJxS0NAD.net
>>247
3 14159265358979…17 ∈ R^N が成り立つと仮定する。
具体的に y∈R^N による表記で記述してみる。とりあえずは
y_1＝3, y_2＝1, y_3＝4, y_4＝1, …
と記述できる。では、末尾の「17」は、一体どの y_i で出現するのか？
明らかに、i∈N の範囲では「17」は出現しない。
しかし、y の添え字は N の元のみである。
よって、この y は
y ＝ 3 14159265358979…
しか表現できておらず、末尾の「17」を表現する手段が存在しない。よって、
3 14159265358979…17 ∈ R^N
は成り立たない。以上により、スレ主は論破された。
273:１３２人目の素数さん
16/11/06 14:00:08.83 HFEBVKW8.net
>>242
いつ定義したんだ？レス番号教えて？
274:１３２人目の素数さん
16/11/06 14:05:49.78 0YhMgXeu.net
>>246
> そんな理屈では、πが有限小数になったりしちゃうだろ？
は？ならないよ。
> 無限小数わかります？
>
> 1/3って、何桁の数？
>
> 1/3って、Ｒ＾ωの元じゃないのか？
R^ωの元とみなせるよ。
お前はいつまで目をそむけ続けるの？
314159265358979…37がR^ωの元だというなら
"3"と"7"の添え字をindex set ωの元で表してみろよ。
お前以外の全員はそれがR^ωの元ではないことを知っている。
R^ωの元だと仮定すれば、"3"のindexはNの元kで表される。
Nの元はすべて有限値なので、kも有限値。
このとき314159265358979…の桁数は有限個となり矛盾が導かれる。
それともお前は314159265358979…を有限個のつもりで書いているのか？ｗ
275:１３２人目の素数さん
16/11/06 14:09:12.04 HFEBVKW8.net
ここ二か月くらい堂々巡りだなｗ
二か月かかって何の進歩も無いスレ主ｗ
276:１３２人目の素数さん
16/11/06 14:14:17.76 nJxS0NAD.net
結局スレ主は、時枝の記事が R^N の中だけで完結されてしまうと困るんだろうな。
なぜなら、R^N の中には "キマイラ数列" が存在せず、スレ主が提唱するキマイラ数列の
出番がなくなるからだ。
我々の認識としては、
・ 時枝の記事は R^N の中だけで完結している。
・ キマイラ数列を提唱して時枝の記事を再考察したいなら勝手にどうぞ(バカじゃねーの)
という感じだ
277:が、これだとスレ主としては、 ハシゴを外された形になって気に食わないのだろう。だから、 ・ R^N の中にもキマイラ数列は存在しており、キマイラ数列は時枝の記事に不可欠だ ということにして存在感をかもし出したいのであろう。 もちろん実際には、R^N の中にキマイラ数列は全く存在しないわけだが。
278:１３２人目の素数さん
16/11/06 14:17:05.16 0YhMgXeu.net
>>254
とにかくスレが伸びることが重要なんだろうよ。
馬鹿レスで人間を釣るのがこいつの仕事。
度重なる長文コピペの目的を考えてもみろ。
2chは俺のメモ帳だ、とか見え透いてるだろｗ
いずれ埋もれて参照できなくなる2chより
自分の手元のメモ帳のほうがいいに決まってるｗ
とにかくさっさと500kB超えして、
時枝氏でもHart氏でも何でも利用できるものは利用して
スレを伸ばしに伸ばしまくる。それがスレ主の土日の副業。
279:１３２人目の素数さん
16/11/06 14:37:50.31 hjVtC/th.net
>>233
> １）決定番号の確率分布は平均値も標準偏差も存在しない奇妙なものだから、１００列で99/10は導けないこと（大数の法則も、中心極限定理も不成立だよ）
何度も言うが「決定番号の確率分布」なんてもの、時枝の戦略とは何の関係もない
何の関係もないものがどうなっていようが、全く時枝の戦略の成否と関係ない
スレ主は「決定番号の確率分布」が時枝の戦略に関係することを示さなければならないのに、それができないでいる >>74
280:１３２人目の素数さん
16/11/06 15:01:16.34 HFEBVKW8.net
>>256
だな、逆にガチなら相当ヤバいｗ
281:１３２人目の素数さん
16/11/06 15:13:13.99 knf0VEs3.net
決定番号ってどう決まるんだっけ
代表元を選んでおいて同値類からひとつ取り出したときにそのふたつを見比べて決まるんだっけか
282:１３２人目の素数さん
16/11/07 17:26:37.58 pQP5HMiI.net
URLﾘﾝｸ(this.kiji.is)
夜中になると…看護師がわしのチンポしごうきよる。。。
わしは！両手両足拘束されてから、チンポは立ちっぱなしじゃあああ！
そのまま、朝の看護師さんが回って来る。ワシちゃう！ちゃうよ？
拘束されたまま、新しい一日がはじまる。
283:１３２人目の素数さん
16/11/08 10:49:27.30 ZPMSEH3Y.net
おっちゃんです。
論理のゲーデルの完全性定理や不完全性定理とかについて書かれている
啓蒙書っぽいモノを読んで少しは分かった。
>>91の
＞>>85がいうように、eπの超越性まで一気に証明出来ることになるな。
の部分は取り消しで、やはりはじめからやり直し。
個別の対象に対して背理法を用いるときは、その対象に依存した性質
を用いないといけないことは分かった。
>>94の
>＞ディオファンタス近似の理論が正しい以上は、
>＞>>85がいうように、eπの超越性まで一気に証明出来ることになるな。
>の部分は変わりがない訳だが。ディオファンタス近似の理論の有名な定理に、
>与えられた有理数xに対して |x－p/q|＜1/p^2 となる
>既約分数p/qは高々有限個しか存在しない、
>というのがあるが、よく考えると、有理数の稠密性を認める限りは、
>この定理が偽であることが構成的に証明出来る。
の話も取り消しで、これはトンデモだった。
やはりあの背理法の論法が正しかった。逆に、ディオファンタス近似
の理論で、何か直観に反する結果が得られたことになる。
だけど、啓蒙書っぽいモノには、数学を学ぶ人は誰でもゲーデルの完全性定理を知っている云々
と書かれていたが、果たしてそんなモノなのかい？ その証明まで分かるのか？
284:１３２人目の素数さん
16/11/08 22:46:06.09 sDGdw7XG.net
>>261
俺は知らないよ
周りのやつらも知ってるようには見えない
285:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 07:10:04.99 CRbt3jrT.net
レベル合わせをしておこう
現代数学は、無限を扱うことができる
１）無限について
URLﾘﾝｸ(c-faculty.chuo-u.ac.jp)
西岡國雄の頁 中央大
URLﾘﾝｸ(c-faculty.chuo-u.ac.jp)
「数学入門」の「無限」西岡國雄 中央大 2015
”現代数学の特徴は, 無限を頻繁に扱う点にあるが, 例題1.1, 1.2 に示されるように, 無限を扱うには特別の注意が必要である.”
”可算無限(アレフゼロ) と呼ぶ( 「N の濃度はアレフゼロ」)”
”1.3 有理数から実数へ “有理数からなる数列”で「基本列」と呼ばれる性質(1.7) を備えたものの極限全体を考え, それを実数R とよぶ.”（いわゆるコーシー列）
２）”無限（むげん、infinity）とは、限りの無いことである。
直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) より
２'）∞は無限を示す記号である。数字の8を90度回転したような記号である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
３）公理的集合論：現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無限公理と選択公理
４）極限 ”無限遠点における挙動 関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。 f ( x ) → ∞ ( x → ∞ ) と表す。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
５）超限帰納法 ”数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。 任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
つづく
286:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 07:10:25.56 CRbt3jrT.net
>>263 つづき
６）なので、例えば有限集合について定義された２項演算＊を、無限の要素を含む２項演算に拡張することはよく行われる。数学的帰納法や極限を使って
７）集合の和（合併）∪なども、普段意識しないが、その類い。
８）順序集合ならば、合併は連接と見ることもできる。
９）文字集合を台集合とする有限のモノイドについて定義された２項演算＊連接を、無限の要素を含む２項演算に拡張することは、数学的帰納法を使えば容易だろう
287:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 07:11:07.85 CRbt3jrT.net
>>264 つづき
さて、
１）数列とくれば収束という条件反射が、みなさんにも形成されているだろう いわゆるコーシー列
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 数列
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) コーシー列
２）>>200や>>233で示したのは、コーシー列との比較で、時枝のしっぽによる無限数列の同値類を考えてみたのだった
３）数列のしっぽによる同値類。数列のしっぽとは、極限すれば最後の数。有限数列なら、最後の数Ａnが異なれば、つまりＡn≠Ａ'nなら、同じ同値類に属さない
４）これを、時枝記事で見ると、>>114「箱が可算無限個ある」から、�
288:ｱれは先のレベル合わせでいう、可算無限(アレフゼロ) 。無限大記号∞。ここはしっかり押さえておこう。定義だから ５）可算無限個の箱を、>>115「100列に並べる」。そして、各列のしっぽによる同値を決める。>>114 ”「決定番号」を決める”という つづく
289:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 07:11:45.49 CRbt3jrT.net
>>265 つづき
６）あきらかに、可算無限における”ヒルベルトの無限ホテル”>>51や”デデキント無限”>>116 の性質を使っている
７）さて、数列のしっぽによる同値類で、有限数列なら、最後の数Ａnが異なれば、つまりＡn≠Ａ'nなら、同じ同値類に属さない。極限 lim n→ ∞ を考えれば、可算無限数列に拡張できる
８）時枝記事の可算無限個ある箱から、先に３つ取っておく。名前を付ける。X,Y,Zと。
９）数列の先頭に、X 後ろにYZを置く。その間に順次残りの箱を入れて行く（数学的帰納法）。X ・・・YZという数列ができる。
１０）Y→Y'に変えて、別にX ・・・Y'Zという数列を考えよう。YとY'には別の数が入っているとする。X とZには同じ数。”・・・”の部分は同じとする。”・・・”の部分は、可算無限。
この場合、X ・・・YZとX ・・・Y'Zとは、同じ同値類に属する。決定番号は、Y（ あるいはY'）の部分で決まる。つまり、 ∞ 。
１１）この二つの数列X ・・・YZとX ・・・Y'Zとは、あきらかにR^N の中
おわり
290:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 07:15:08.08 CRbt3jrT.net
>>265
この程度、２ちゃんねるでは、スレが伸びるとはいわない
稼ぐなら、かそっている数学板などでやらずに他の板へ行けば、話は早い
そもそも、sage進行
ここは、おれ一人で十分という意味
なお、時枝の記事は不成立だよ
291:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 07:19:16.24 CRbt3jrT.net
>>261
おっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃんは、このスレに居ていいよ
貴重な住人の一人だよ
ゲーデルの完全性定理
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
数理論理学においてゲーデルの完全性定理（ゲーデルのかんぜんせいていり、英: Godel's completeness theorem、独: Godelscher Vollstandigkeitssatz）とは、第一階述語論理の恒真な論理式はその公理系からすべて導出可能であることを示した定理を言う[1]。1929年にクルト・ゲーデルが証明した。
(引用終り)
292:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 07:34:47.45 CRbt3jrT.net
これいいわ
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
加藤 五郎 著 『コホモロジーのこころ』 岩波書店 2003 年
(抜粋)
専門書としては珍しいが，一般的な数学書で繰り返し登場する「定義」や「定理」
といった単語で始まるパラグラフが，この本にはほとんど見当たらない．「証明」で始まるパ
ラグラフにいたっては，まったく存在しないのである．では，書かれている結果に証明はま
ったく施されていないのか．そうではない．むしろ非常に証明に力が入れられている．証明
は，パラグラフとして独立していないだけで，本文中にしっかり織り込まれているのだ．こ
のような構成になっているのは，読者が著者と同じ意識レベルで読み進められるように著者
が工夫した結果である．
本書を読んで最も印象に残ったことは，著者のコホモロジーに対する思いである．著者は
コホモロジーに心底惚れ込んでいる．コホモロジーが持つ魅力を読者にもわかってほしい，
読者とこの感動を共有したい，という著者の願いが随所に感じられる．実際，その気持ちの
強さは，非常に懇切�
293:囈Jな書き方にも反映されている．例えば，右随伴関手の定義をした後 に，普通の本なら「同様に」あるいは「双対的に」といった枕詞に続けて左随伴関手の定義 もできるとだけ言って終わってしまうところを，本書では練習問題にもせずにきちんと説明 してあるのだ．ただ，それゆえにスマートに整理されて書かれているというわけではないの で，読者はどこに何が書いてあったかを後で振り返る際に多少苦労するかもしれない．しか し，他の本が省略しているようなところがきちんと説明されているので，読者は自分の理解 が正しいかどうかを自分自身でチェックすることができる．これは特に初学者にとってあり がたい書き方である．また，数学的に若い人たちにはコホモロジーというものを大きくつか んでもらい，コホモロジーに対して何らかの違和感を持っている人にはそれを解消してもら うために本書を書いた，と著者自身が言っているように，本書は‘イメージ’をとても大切 にしている．抽象的な概念は，初学者にとってはイメージが湧きにくくなかなか理解しがた いものである．その理解を助けるために，著者ならではの独特のイメージが本書全体に散り ばめられている．
294:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 07:35:37.26 CRbt3jrT.net
ついで
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
(抜粋)
トップカスタマーレビュー
5つ星のうち 5.0他分野の研究者、学生のための最高の入門書
投稿者 猫先生 投稿日 2011/8/9
形式: 単行本
親しみやすい文体で書かれた異色の数学書である。私は、或る所で著者のコホモロジーの講義を拝聴した経験があるが、まさにこの本の文体そのままの、気さくで気取らない、親切な方であった。実質的には160ページそこそこの分量で、圏と関手の基礎から初めて、ホモロジー代数の現時点での到達点である「三角化カテゴリー」までを説き及んでいる。
Gelfand-Manin の Methods of Homological Algebra などの本格的教科書に取り組むための準備として最高の入門書であろう。
295:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 07:48:26.80 CRbt3jrT.net
>>267 訂正
>>265
↓
>>256
296:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 08:06:34.09 CRbt3jrT.net
>>268 補足
定理とその帰結
ゲーデルの完全性定理は、一階述語計算の演繹系が、全ての論理的に妥当な論理式の証明に追加の推論規則を必要としないという意味で「完全」であるとしている。完全性の逆は健全性であり、演繹系において論理的に妥当な論理式のみが証明可能だということを意味する。
これらから、論理式が論理的に妥当であることと、それが形式的演繹の帰結であることは同値である。
ゲーデルの完全性定理をより一般化した版もある。すなわち、任意の一階の理論 T とその理論での言語における任意の命題 S について、T における S の形式的演繹が存在することと、S が T のあらゆるモデルで成り立つことは同値である。
この一般化された定理は暗黙のうちに使われており、例えば、命題を群論の公理系で証明可能であることを示すとき、任意の群についてその命題が成り立つことを示すことで証明とする。
異なるモデルでも真となることを扱う数理論理学の一分野をモデル理論と呼ぶ。証明論という一分野では形式体系の証明そのものの構造を研究する。完全性定理は意味論と統語論の間を繋ぐことでこれら2つの分野の基本的な繋がりを確立している。
しかし、完全性定理はこれら2つの概念の差異をなくすものではない。実際、もう1つの成果であるゲーデルの不完全性定理によれば、数学における形式的証明で達成できることには本質的な限界がある。不完全性定理でいう「完全」は別の意味で使われている。
完全性定理は一階の理論の論理的帰結である論理式を扱い、不完全性定理は特定の理論の論理的帰結にはならない論理式を構築する。
完全性定理の重要な帰結の1つとして、一階の理論での論理的帰結の集合が帰納的可算集合であるという事実がある。論理的帰結の定義は特定の言語でのあらゆる構造上で全称化するもので、論理式が論理的に妥当かどうかをアルゴリズム的に検証する直接の手段とはならない。
さらに言えば、ゲーデルの不完全性定理の帰結により、論理的に妥当な論理式の集合は決定可能ではない。しかし完全性定理は、実効的な理論の帰結の集合が枚挙可能であることを示している。
そのアルゴリズムは、まずその理論から全ての形式的演繹を枚挙する方法を構成し、それを使って帰結の枚挙を生み出すことになる。
形式的演繹の有限かつ統語的性質により、それらを枚挙することが可能になっている。
297:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 08:16:01.37 CRbt3jrT.net
>>272
英語版 （日本語版だけではよくわからん）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
(抜粋)
As a theorem of arithmetic
The Model Existence Theorem and its proof can be formalized in the framework of Peano arithmetic.
Precisely, we can systematically define a model of any consistent effective first-order theory T in Peano arithmetic by interpreting each symbol of T by an arithmetical formula whose free variables are the arguments of the symbol. However, the definition expressed by this formula is not recursive.
Consequences
An important consequence of the completeness theorem is that it is possible to recursively enumerate the semantic consequences of any effective first-order theory, by enumerating all the possible formal deductions from the axioms of the theory, and use this to produce an enumeration of their conclusions.
This comes in contrast with the direct meaning of the notion of semantic consequence, that quantifies over all structures in a particular language, which is clearly not a recursive definition.
Also, it makes the concept of "provability," and thus of "theorem," a clear concept that only depends on the chosen system of axioms of the theory, and not on the choice of a proof system.
つづく
298:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 08:17:11.54 CRbt3jrT.net
>>274 つづき
Relationship to the incompleteness theorem
Godel's incompleteness theorem, another celebrated result, shows that there are inherent limitations in what can be achieved with formal proofs in mathematics. The name for the incompleteness theorem refers to another meaning of complete (see model theory ? Using the compactness and completeness theorems).
It shows that in any consistent effective theory T containing Peano arithmetic (PA), the formula CT expressing the consistency of T cannot be proven within T.
Applying the completeness theorem to this result, gives the existence of a model of T where the formula CT is false. Such a model (precisely, the set of "natural numbers" it contains) is necessarily non-standard, as it contains the code number of a proof of a contradiction of T. But T is consistent when viewed from the outside.
Thus this code number of a proof of contradiction of T must be a non-standard number
299:. In fact, the model of any theory containing PA obtained by the systematic construction of the arithmetical model existence theorem, is always non-standard with a non-equivalent provability predicate and a non-equivalent way to interpret its own construction, so that this construction is non-recursive (as recursive definitions would be unambiguous). Also, there is no recursive non-standard model of PA. (引用終り)
300:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 08:43:24.78 CRbt3jrT.net
ご存知大栗先生
URLﾘﾝｸ(ooguri.caltech.edu)
大栗 博司
URLﾘﾝｸ(www.theory.caltech.edu)
大栗 博司 アウトリーチ
(「IPMU特集」科学 (2009年, 7月) )
URLﾘﾝｸ(www.theory.caltech.edu)
宇宙の数学とは何か - Caltech Particle Theory 特集 宇宙はどんな《言葉》で書かれているか 宇宙の数学とは何か 大栗博司 科学 2009
(抜粋)
なぜいまさら量子論（その1）: 千年紀の問題
1970 年代初頭のゲージ理論のくりこみ可能性の証明と漸近的自
由性＊3の発見によって，場の量子論はようやく素
粒子物理学の基本言語となった．しかし，80 歳
となった今日でも，場の量子論は数学者からは理
論として認知されていない（6）（7）．
2000 年にクレイ数学研究所は千年紀を記念し
て，7 つの“ミレニアム問題” を提起した．その
中の1 問に，「ヤン-ミルズ場の量子論を数学的
に定式化せよ」というものがある（8）．このいわゆ
るヤン-ミルズ問題が，リーマン予想やポアンカ
レ予想と並んでミレニアム問題のひとつに選ばれ
た理由は，場の量子論に数学者にも納得できる定
義を与えることで，この理論を数学の1 分野とし
て確立し，数学の発展に新しい方向が開かれるこ
とを期待するからだという．
場の量子論の正しい定式化を追究することは，
数学者を満足させるためだけではない．物理学者
が場の量子論の計算をするときに，最初に試みる
近似法は，相互作用の強さを表す結合定数につい
てのべき展開，すなわち摂動展開である．過去
60 年以上にわたって，この近似計算にはファイ
ンマン図を使う方法が標準的であった．しかし，
ここ数年の間にこれに代わるまったく新しい方法
が開発されつつあり，ファインマン図の方法では
技術的に困難とされてきた高次の近似計算ができ
るようになってきた（9）．摂動展開のような，もは
や調べ尽くされたと思われていた部分にも新しい
驚きがあり，美しい数学的構造が隠されている．
われわれは，場の量子論とは何なのかをまだ理解
していないのである．
つづく
301:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 08:43:58.63 CRbt3jrT.net
>>275 つづき
一方，量子論に着想を得た数学は，この20 年
ほどの間に大きな進歩を遂げている（10）．これは，
1990 年以来のフィールズ賞受賞数学者の4 割近
くが，量子論に関連する数学の研究に深くかかわ
っていることからもわかる．たとえば，場の量子
論の計算の中でもとくに性質のよいものを数学的
に定式化した“量子不変量” の理論が，幾何学の
理解に大きなインパクトを与えている＊4．場の量
子論の深淵に現代数学の光が差し込もうとしてい
るのである．
(引用終り)
302:１３２人目の素数さん
16/11/12 10:12:26.60 ZyUt2tCS.net
>>266
これは酷い
303:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/11/12 10:21:00.75 ey0LlGcz.net
￥
>544 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/10(木) 14:51:03.66 ID:Q64a0U8Q
> 違う貧民の総意
> 貧民は手玉に取られたのだ
>
>545 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/10(木) 18:31:02.97 ID:XWS/rnm/
> メディアの政治操作を許さない民主主義の保全システムが
> 目的通りに完全に機能したのがすごい
>
>546 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/10(木) 18:37:05.74 ID:6c0BrRUL
> メディアとかお上を鵜呑みにするどっかの馬鹿国民とは大違いですわ。
>
> ￥
>
>547 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/10(木) 19:46:32.78 ID:6c0BrRUL
> 貧民の総意を汲んだらアカンのや、なるほどナ。そらァ自民党が喜ぶわサ。
>
> ケケケ￥
>
>548 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/10(木) 19:52:21.65 ID:6c0BrRUL
> しかも貧民を手玉に取ってもアカンのかいな。ほしたら共産党とか、また
> かつての民主党とかはどないしたらエエのや。エライこっちゃwww
>
> コココ￥
>
>549 名前：貧民 ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/10(木) 20:00:41.60 ID:6c0BrRUL
> 貧民
>
304:１３２人目の素数さん
16/11/12 14:28:01.34 Y7/HAZuU.net
>>266
・ 可算無限個ある箱には、全て 1 が入っているものとする。
・ Y' のみ、2 が入っているものとする。
・ この場合、X ・・・YZ と X ・・・Y'Z はそれぞれ 1111…11, 1111…21 という列になる。
この状況下で、
＞１１）この二つの数列X ・・・YZとX ・・・Y'Zとは、あきらかにR^N の中
これは成り立たない。なぜなら、1111…21 に対応する R^N の中の数列は存在しないからだ。
「論文にしろ。100年待っている」とか言うなよ？
スレ主が提唱するこの手のおかしな列は、R^N の中では決して扱えない。用語を「箱」に置き換えても無駄。
別の体系を用意すれば扱えるが、そんなのスレ主が勝手にやっていればいい。そこに関しては誰も文句は言わない。
しかし、それが「 R^N の中に存在する 」というスレ主の主張は明確に間違っている。
305:１３２人目の素数さん
16/11/12 14:42:04.53 Y7/HAZuU.net
結局こいつは、R^N の中に存在してくれないと
自分の主張の存在感がなくなるので都合が悪いのだな。
しかし、いくら表現の仕方を変えても、R^N の中では決してその手の列は扱えない。
だって、R^N の中では、末尾の YZ とか Y'Z とかを表現する「桁」が存在しないからね。
先週から皆が言い続けている間違いが今回も繰り返されているだけ。
もちろん、別の体系を用意すれば扱える。また、その体系において
「時枝の記事は間違っている」と主張するのは一向に構わん。
スレ主が勝手に吠えていればいい(バカじゃねーの)。
しかし、R^N の中ではスレ主の議論は決して扱えない。
306:１３２人目の素数さん
16/11/12 15:51:46.93 ZyUt2tCS.net
先週どころか2か月以上前からだよｗ
307:１３２人目の素数さん
16/11/12 17:34:11.10 vHlUydxk.net
>>281
これがスレ主の"連結理論"の萌芽。確かに2ヶ月前にさかのぼる。
R^Nとは何なのか、トンと分からないまま時間だけが過ぎてゆくスレ主であった。
-------------
632 :
１３２人目の素数さん
2016/09/17(土) 08:13:09.27 ID:MokdApDK
前スレ32より
時枝問題（数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.」
”可算無限個ある.箱”なので、箱に連番を振れば、自然数全体の集合 N= {0,1,2,3,・・・}であり、これはωだな
さて、ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス（ Hilbert’s paradox of the Grand Hotel ）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
で、時枝記事 前スレ32より「どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.もちろんでたらめだって構わない.」だった
まあ、無限ホテルの各部屋が満員で、それぞれ泊まっている人が勝手に数字を書いたと思え
それで可算無限個の数からなる数列ができる。それをS1としよう。数列S1の長さは、ωだ
数列S1のコピーを作って連結し、S2＝S1+S1 (ここで+は数列の連結を意味する)を作る。数列S2の長さは、ω+ωだ(もちろんこれも可算無限)
ここで、後ろの数列+S1を固定し、前半のS1をシャッフルしてS1’を作る。ここで機械を使ってランダムにシャッフルしたとする。S1’がどうなったかだれも知らないとする
ここで、時枝問題の決定番号を考えると、数列S1+S1と数列S1’+S1S2との対比の最大値は明らかにωだ
それはおかしいと、納得できないという人がいるかも知れないが、そういう人は、ヒルベルトの無限ホテルのパラドックスを熟読願いたい
308:１３２人目の素数さん
16/11/12 20:01:55.90 l01oWD+6.net
数列の同値を先頭からの有限個を除いて一致すると定めると、実はωに限らず任意の順序数で時枝戦略は成立するから
スレ主の的はずれな抵抗は本当に無駄なんだよね
309:１３２人目の素数さん
16/11/12 20:13:44.55 38EadNqY.net
>>266
過去スレより
> 自然数全体の集合の順序数をωと書くことにするとωは可算無限集合の順序数のなかで最小の順序数である
> 任意の有限集合の順序数をnと書くことにすると n < ω であり
> n + ω = ω ≠ ω + ω
> よって自然数全体の集合は必ず「アタマ」=有限数列かつ「シッポ」=無限数列になる
> スレ主は前スレの631に自然数全体の集合には無限大は含まれていないと自分でコピペしているじゃないか
> ω {0, 1, 2, ...} すべての有限な順序数の集合
> ω+1 {0, 1, 2, ..., ω}
> URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
> 順序数の和は一般には可換でない。例えば、1 + ω = ω ≠ ω + 1 である。
上の最後の式より
1 + (1 + ω) = 2 + ω = ω ≠ (ω + 1) + 1 = ω + 2
左右から1を加えることを有限回行えば任意の有限集合の順序数をnと書くことにすると
n < ω であり n + ω = ω < ω + n < ω + ω
長さωの無限数列があって左から有限数列を加えたものは長さωのままで変わりないので
R^ωの元の決定番号は有限であることを意味する
一方右から有限数列を加えた場合には長さは ω < ω + 1 < ω + 2 < ... < ω + n < ... < ω + ω
となるのでR^ωの元にはならない
310:１３２人目の素数さん
16/11/13 09:24:41.08 VLV/Mogw.net
>>268
ここ数日の間、担当者は席を外しております。
しばらくお待ち下さい。
311:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/11/13 09:55:40.67 hMdd9vJ7.net
ネット掲示板で学術を行うのは、とても良い習慣です。なので続けましょう。
￥
312:１３２人目の素数さん
16/11/13 17:45:40.32 VLV/Mogw.net
おっちゃんです。
>>262
そうだよな～。
>>268
標準的な確率の考え方では、時枝問題において
確率を用いる部分は高校レベルであり、時枝の答えは1で終わっている。
まあ、サイトのコピペを読んで分かる人がどれ位いるか分からないから、
数理論理学や基礎論のスレのコピペはやめとけ。
313:１３２人目の素数さん
16/11/13 17:48:32.40 VLV/Mogw.net
日本語が分かる外国人にメールを送ると、>>285のような返事が返って来ることがある。
>>285はジョーダンで書いたつもりだw
今日はスレ主の動向を観察してみた。
まあ、何故今日スレ主がこれまで全く書かなかったのかは分からないが、もう寝る。
314:１３２人目の素数さん
16/11/13 17:54:08.15 VLV/Mogw.net
>>287の訂正：
時枝の答えは1で終わっている。 → 時枝「問題」の答えは1で終わっている。
315:１３２人目の素数さん
16/11/13 18:01:59.70 VLV/Mogw.net
外出してかなりの距離を歩いていたし、
今日は暖かかったというか熱い方だったな。
もう、目がまどろんで来て疲
316:れたから寝る。
317:１３２人目の素数さん
16/11/13 18:27:26.15 QYgYi1ij.net
自分で勉強する時間もたっぷりあったし、住人がいろいろ教えてた
それでもわからないんだから、もう永久にわからないんだろうな
318:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/13 23:40:37.40 V7Qq+5Yj.net
>>277-291
>>266のつづき
１）時枝記事で見ると、>>114「箱が可算無限個ある」から、これは先のレベル合わせでいう、可算無限(アレフゼロ) 。無限大記号∞。ここはしっかり押さえておこう。定義だから（重要なので再録）
２）可算無限個の箱を１列に並べる。そして、先頭の箱から順に自然数を１から順に入れていく。これを集合Vとする。数列としては、1,2,3,・・・,n,・・・。この数列は、∈R^N
３）このとき、先頭の箱から順に連番を書くとする。１から順に。箱の番号は、1,2,3,・・・,n,・・・となる
（なお、奇数番の箱は赤、偶数番の箱を青に塗ることにしよう。）
４）選択公理を仮定する（可算選択公理でも可）。
奇数番の赤箱のみを取り出す。その集合をV1としよう。残った、偶数番の青箱の集合をV2としよう。
５）集合V1で箱から数だけを取り出した集合をV1'とする。同様に、V2で箱から数だけを取り出した集合をV2'とする。また、Vで箱から数だけを取り出した集合をV'とする。
６）明らかに、V1'∪V2'＝V'＝N（自然数(0を除く)）
７）集合V1、V2は、箱の番号を使って、順序集合とすることができる。
なので、集合V1から、数列1,3,5,・・・,2n-1,・・・が作れる。同様に、集合V2から、数列2,4,6,・・・,2n,・・・が作れる。両数列とも、∈R^N
８）奇数列1,3,5,・・・,2n-1,・・・と、偶数列2,4,6,・・・,2n,・・・とを連接すると、
自然数を並べ変えた1,3,5,・・・,2n-1,・・・, 2,4,6,・・・,2n,・・・という数列を作ることができる。この数列も、∈R^N ∵自然数Nを並べ変えたに過ぎないから
つづく
319:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/13 23:41:23.96 V7Qq+5Yj.net
>>292 つづき
９）なお、連接で 1,3,5,・・・,2n-1,・・・,2,4,6,・・・,2n,・・・という数列を作るには、数学的には
有限数列 Sn＝（1,3,5,・・・,2n-1, 2,4,6,・・・,2n ）で、数学的帰納法を適用するか
極限 lim n→ ∞ Sn＝ lim n→ ∞ （1,3,5,・・・,2n-1, 2,4,6,・・・,2n ）＝1,3,5,・・・,2n-1,・・・, 2,4,6,・・・,2n,・・・ としてもよい
（”1,3,5,・・・,2n-1,・・・,2,4,6,・・・,2n,・・・という数列は作れない”などと言われそうなので、先回り）
10）なお、単純に、赤い箱だけを先に並べ、青い箱をその後ろに並べたと考えれば、分かり易いだろ？ それは、選択公理で可能だ
（自然数を並べ変えた1,3,5,・・・,2n-1,・・・, 2,4,6,・・・,2n,・・・という数列は、not ∈R^N ・・とか、存在しないとかいう声が聞こえてきそうだな・・おい（＾＾； ）
おわり
320:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/13 23:47:47.56 V7Qq+5Yj.net
233 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/11/06(日) 13:30:50.10 ID:ivLdkhn2
再録＆修正>>176
時枝記事の解法が成り立たない理由は、主に下記３つ
１）決定番号の確率分布は平均値も標準偏差も存在しない奇妙なものだから、１００列で99/10は導けないこと（大数の法則も、中心極限定理も不成立だよ）
２）しっぽでの分類と決定番号を考えると、単純に考えて、z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… のようなキマイラ数列の扱いに困ることになる
（可算無限個という単純な規定だけでは不十分で、キマイラ数列を排除する規定を加えないといけないよ）
３）無限数列のしっぽで同値類を分類するなど、従来の数学には無かったわけで、これを本当に扱えるかどうか
lim(n→∞)の極限を考えている限り、コーシー列ならlim(n→∞) e/10^n→0で収束するが、しっぽの同値類では収束しないよ
補足
１）は、おそらく根本的な問題で、解決できないだろう。（１００列で99/10は導けない）
２）は、なんとかなるかもしれないが、結構難しいと思う
３）も、結構致命的かな。同値類を分類と決定番号の有限が両立しないように思う
なお、lim(n→∞)の極限を考えるという話は、上記時枝記事>>173-174にある通り
321:１３２人目の素数さん
16/11/14 00:13:41.21 JSH+7gQ5.net
こいつどうしたら成仏するんだろ。
322:１３２人目の素数さん
16/11/14 00:27:37.92 BSW0XRVU.net
封印しました
323:１３２人目の素数さん
16/11/14 01:16:22.19 yhNmCQ8l.net
2は�
324:謇ｽ項なんでしょう
325:１３２人目の素数さん
16/11/14 01:57:36.55 mUGM1e3t.net
国宝級のバカ
326:１３２人目の素数さん
16/11/14 04:12:39.61 OPksCmfn.net
＞10）なお、単純に、赤い箱だけを先に並べ、青い箱をその後ろに並べたと考えれば、分かり易いだろ？ それは、選択公理で可能だ
時枝の記事にある「可算無限個の箱」という設定を
そのように解釈することは確かに可能である。
しかし、その設定は R^N の中で記述できない。
なぜなら、R^N では青い箱に対応する添え字が存在しないからだ。
もちろん、R^N 以外の体系を持ってくれば記述可能だし、
その体系において「時枝の記事は不成立」と主張する分には全く構わない。
そんなのはスレ主が勝手に吠えてればいい(バカじゃねーの)。
しかし、その設定が R^N の中で記述できるとしているスレ主は明確に間違っている。
＞（自然数を並べ変えた1,3,5,・・・,2n-1,・・・, 2,4,6,・・・,2n,・・・という数列は、not ∈R^N ・・とか、存在しないとかいう声が聞こえてきそうだな・・おい（＾＾； ）
察しがいいな。もちろん、そのとおり。
1,3,5,・・・,2n-1,・・・,2,4,6,・・・,2n,・・・
に対応する R^N の数列は存在しない。
もし存在するなら、それを y∈R^N とするとき、
y_1＝1, y_2＝3, y_3＝5, …
とするしかないので、y＝1,3,5,・・・,2n-1,・・・ となってしまい、
y_n＝2 を満たす n が存在しない。だから、R^N の中には存在しない。
並べ替えがどうこうとか、数学的帰納法とか、そういう問題ではない。
どういう屁理屈を経由しようとも、y_n＝2 を満たす n が存在しないのだから、
その時点でアウト。スレ主のキマイラ数列は R^N の中では決して記述できない。
327:１３２人目の素数さん
16/11/14 04:37:33.25 OPksCmfn.net
結局は>>280に帰着される。
R^N の中で記述できないとなると、周囲の人間からは
＞もちろん、R^N 以外の体系を持ってくれば記述可能だし、
＞その体系において「時枝の記事は不成立」と主張する分には全く構わない。
＞そんなのはスレ主が勝手に吠えてればいい(バカじゃねーの)。
という評価にしかならず、自分の主張の存在感がなくなってしまう。
だから、何としても「R^N の中で記述できる」ということにしておきたいわけだ。
しかし、実際には R^N の中では記述できない。
選択公理だの数学的帰納法だの赤い箱だのと言って、キマイラ数列の構成の仕方を変更しても無駄。
結局は y_n＝2 を満たす n が存在しないのだから、どんな構成を経由しても同じことで、
R^N の中では決して記述できない。
スレ主はどうも「キマイラ数列の構成の仕方の問題」にすり替えようとしているが、
そういう問題ではないのだ。構成の仕方の如何によらず、結局は y_n＝2 を満たす n が
存在しないのだから、どんな構成を経由しても同じことで、R^N の中では決して記述できない。
328:１３２人目の素数さん
16/11/14 19:10:33.87 IQpprmLG.net
>>293-294
> 連接で 1,3,5,・・・,2n-1,・・・,2,4,6,・・・,2n,・・・という数列を作る
出題者がそのような数列Sを出題したとしても解答者は100列の数列をSのアタマから順番に
a1, a101, a201, a301, ... : 数列の長さはω
a2, a102, a202, a302, ... : 数列の長さはω
以下同様にして
a99, a199, a299, a399, ... : 数列の長さはω
a100, a200, a300, a400, ... : 数列の長さはω
と構成すれば an = 2n - 1 となって上の数列Sの後ろの部分 bn = 2n は解法に出現しないので
解答者が行う作業の中にキマイラ数列は一切出現しない
329:１３２人目の素数さん
16/11/16 01:17:08.76 7tk3QJ0z.net
ここまで引っ張っといて
R^Nの定義を勘違いしてましたテヘ
じゃすまねーぞおいｗ
330:１３２人目の素数さん
16/11/16 01:22:54.21 7tk3QJ0z.net
> y_n＝2 を満たす n が存在しない。だから、R^N の中には存在しない
この説明で分からないのは確信犯のプロとしか考えられんだろｗ
スレ主はR^Nの定義を言ってみろよ。どうせ独自定義なんだろ？ｗ
331:１３２人目の素数さん
16/11/16 09:08:52.36 c4B4b8Br.net
>>292
そもそも4で選択公理使ってねえ
自然数から奇数を取り出すのは分出公理であって選択公理じゃねえよ
自身の論理に権威持たせるために知ったかで知らない数学持ち出すのやめよう
332:１３２人目の素数さん
16/11/16 10:50:12.10 P/Rjx/d+.net
スレ主は何処で選択公理が要るのかも分からん馬鹿か
低脳にもほどがあるwww
333:１３２人目の素数さん
16/11/16 16:17:43.23 YcEvAvac.net
スレ主の主張は、次の2つの条件(1)、(2)を満たすような
2つの単調増加列 {a_n}, {b_n} が存在することはあり得ない
こと(を示すこと)によって、否定される。但し、自然数は正とする。
(1)：任意の自然数nに対して各第n項は a_n＝2n-1, b_n＝2n と表わされる、
(2)：n≧N のとき a_n＜b_1 なるような自然数Nが存在する。
条件(1)、(2)を満たすような2つの単調増加列 {a_n}, {b_n} 及び正の自然数Nが存在するとする。
任意の自然数nに対して第n項を c_n＝1/a_n,
334:d_n＝1/b_n とおくことで、 2つの数列 {c_n}, {d_n} を定義する。条件(1)から、任意の自然数nに対して c_n＝1/(2n-1), d_n＝1/(2n) だから、 0＜…＜d_{n+1}＜c_{n+1}＜d_n＜c_n＜d_1＜c_1 従って、{c_n}, {d_n} は単調減少列である。 条件(1)の {b_1} についての定義から b_1＝2 だから、条件(2)から、n≧N のとき a_n＜2 であり、 また条件(1)の {a_n} が満たすべき条件と n≧0 とから a_n＞0 なので、1/2＜1/a_n。 従って、{b_n}, {c_n}, {d_n} の各定義に注意すると、n≧N のとき c_n＞1/2＝1/b_1＝d_1 となる。 {c_n}, {d_n} は単調減少列で、c_1＞d_1 だから、正の自然数N について N≦1 から N＝1。 従って、任意の自然数nに対して c_n＞d_1 が成り立つ。 しかし、{c_n} は単調減少列で、c_n＞d_1 なる正の自然数nは n＝1 に限られる。 これで矛盾が導けた。 スレ主の「連接」何チャラに関する主張は、 モノイド云々以前に数列(微分積分以前)の問題に帰着して否定出来る。 だから、スレ主の「連接」何チャラの主張は標準的な考え方では正しくないことになる。
335:１３２人目の素数さん
16/11/16 16:25:18.12 YcEvAvac.net
>>306の訂正：
n≧0 とから a_n＞0 → n≧1 とから a_n＞0
336:１３２人目の素数さん
16/11/16 16:49:26.33 YcEvAvac.net
>>293
>自然数を並べ変えた1,3,5,・・・,2n-1,・・・, 2,4,6,・・・,2n,・・・という数列は、not ∈R^N ・・
このような書き方だと、2つの数列
>1,3,5,・・・,2n-1,・・・、
>2,4,6,・・・,2n,・・・
を書いていることになって、1つの数列を上のようには書けない。
スレ主の書き方には不備がある。
337:１３２人目の素数さん
16/11/16 21:43:51.86 WZ1ygUx+.net
スレ主は数列が何なのかわかってない
つまり大学一年一学期の勉強すらまともにやってない
バカのくせに勉強嫌いｗ
338:１３２人目の素数さん
16/11/18 07:30:11.75 wBezoyR9.net
>>293
おっちゃん(=>>306-308)です。
>>306の更なる訂正：
>条件(1)の {b_1} についての定義から b_1＝2 だから
の部分の「{b_1}」は「{b_n}」に訂正。ついでに、>>308についてだが、
>1,3,5,・・・,2n-1,・・・∈R^N
のように書くと、「R^N」の部分が「R」の書き間違いだった場合
文脈上曖昧な書き方になる恐れがあるので、そのようには書かずに、
単純に「{a_n}∈R^N」みたいに書いた方がいい。
まあ、>>306は少し端折った部分があるから、数列が分かっていない
といわれたスレ主は、自分の身のためにも再構成して読むことだ。
339:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 10:52:43.52 0Q0Vh9CE.net
レベル合わせその2 （>>263関連）
＜無限とは＞
１）（再録>>263）”無限（むげん、infinity）とは、限りの無いことである。
直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) より
２）無限大は存在しますか？ 2013年7月29日
URLﾘﾝｸ(qixil.jp)
最も支持が多い回答 柳生 三最 Lv.2 2013年7月30日
数学者ではありませんが、高校の数学を思い出して説明しますと
Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/n
という式が発散するのは高校の数学で習いました。
y = 1/x の積分を利用して評価するやつです。詳しい説明は省略します。
nが大きくなればなるほど増加する値は小さくなるのにSnが無限大に発散するのは不思議ですね。
しかしこれはある条件付きです。それは「nを無限に大きくし続ける事」です。
nの値をある場所で止めてしまったとたん、Snは有限値になります。
無限大の説明をしているのに、その説明の中で無限大を使ってしまうのは何ともナンセンスな気もしますが。。。
質問者様の数直線上に還元しての考えですが、
「直線」・・・無限に続く両端のない直線
「線分」・・・任意の点A,B を両端とするまっすぐな線
「半直線」・・・直線のどちらか一端がある
多少表現が間違っているかもしれませんが、ニュアンス的にはこんな感じだったと思います。
つまり、直線で考えている以上、両端は存在せず、無限大の点は置く事が出来ないということになります。
というわけで、私の考えでは、無限大は存在するが、表現する事は出来ない。と思います。
-------追記
あらゆる実数に対する有限回数の四則演算の繰り返しから無限大は導き出されうるかという問いに関しては、「有限回数」と含まれている限り、それは有限値になると思われます。
-------追記
Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/n
An = 1/n
Snはnを大きくすると大きくなり続けます → 発散 → ∞ と表記する
Anはnを大きくすると限りなく0に近づきます → 収束 → 0 と表記する
ではないでしょうか？
340:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 10:54:14.59 0Q0Vh9CE.net
>>311つづき
３）ここで強調しておきたいことは、上記２）のように、”「直線」・・・無限に続く両端のない直線”で、この数直線上の整数の点、もっと限定すれば自然数ｎの点を考える。
ｎは確かに有限である。しかし、ｎには限りがないという意味で、無限である。これで直感的に理解できると思うが、「ｎは確かに有限であるが、自然数の集合Nは無限集合」
もっと言えば、ｎの取り得る範囲は、0≦ｎ＜∞ 、”0から∞を考えるべし”というのが正解だ。
”ｎの取り得る範囲は？”と聞かれて、”有限”と答えるのは、ばつ。従って、ｎの最大値も有限ではない！（ここはしっかり区別願いたい）
341:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 10:56:12.48 0Q0Vh9CE.net
>>312つづき
＜デデキント無限とヒルベルトの無限ホテル＞
１）デデキント無限
URLﾘﾝｸ(dspace.wul.waseda.ac.jp)
無限集合の定義について 高瀬礼文 早稲田商学 1982
URLﾘﾝｸ(dspace.wul.waseda.ac.jp)
(抜粋)
Cantor集合論の基礎に置かれた“無限”の定義は，今日Dedekind無限
と名づげられている次のようなものである。
「全体（自分自身）と1対1に対応するような真部分集合を内部に含む集合。」
(引用終り)
２）ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
パラドックスの内容
客室が無限にあるホテルを考える。現実にある客室が有限のホテルの場合には、「満室である」ということと「もう1人も泊められない」ということは同値である。しかし「無限ホテル」ではそうはならない。
無限ホテルが「満室である」としよう。この場合でも次のようにして新たな客を泊めることができる。客室数は無限とはいえ 1, 2, 3, … と番号を付けられる。客が1人来たら、1号室にいた客を2号室へ、2号室の客を3号室へ、3号室の客を4号室へ、…、n 号室の客を n + 1 号室へ、…と順番に移す。客室は無限にあるのだから誰もあぶれることはない。
新たな客は1号室に泊めればよい。新たな客は1人どころか、複数でも、（可算）無限でもよい。例えば、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、3号室の客を6号室へ、…、n 号室の客を 2n 号室へ、…と移せば、1号室、3号室、5号室、…つまり奇数号室は空室になるから、無限の客を新たに泊めることができる。
つづく
342:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 10:57:06.66 0Q0Vh9CE.net
>>313つづき
さらに次のようなこともできる。それぞれに無限の乗客が乗った無限台の車がホテルに乗りつけたとする。この場合、まず奇数号室を上のようにして空け、1台目の乗客を 3^n（n = 1, 2, 3, …）号室に、2台目の乗客を 5^n（n = 1, 2, 3, …）号室に、…というふうに入れる。i 台目の乗客は p^n（ここで p は i + 1 番目の素数）に入れればよい。
現実にある（2室以上ある）有限ホテルでは、当然奇数号室の数は全室数より少ないが、無限ホテルではそうではない。数学的には、全室からなる集合の基数（有限集合における要素の個数に当たる）は、その真部分集合である奇数号室すべての集合の基数と等しい。
これは無限集合の特徴である。この可算無限集合の基数は
343: aleph _{0}（アレフ・ゼロ、アレフ・ヌル）と表される。 (引用終り)
344:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 10:58:18.18 0Q0Vh9CE.net
>>314つづき
＜一般のR^ Nについて＞
１）無限列 ( s n ) ∈ R^ N
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
関数 (数学) - Wikipedia:
(抜粋)
一般化
数列
有限集合からの関数は実質的に数の組あるいは数列と呼ばれるものになる（適当な演算をいれてベクトルと見ることもできる）。それはつまり、集合の各元に序列を与えて {1, 2, ..., n} と並べるとき、k = 1, 2, ..., n に対して xk = x(k) を対応付ける関数 x を
( x 1 , x 2 , … , x n ) ∈ R^ n
のかたちに表すのである。これは有限列であるが、無限列
( s n ) n ∈ N ∈ R^ N
を考えれば、それは各自然数 n に対して、数 sn を対応させる
s : N → R ; n → s n
という関数を考えていることに他ならない。もっと一般に数の族を考慮に入れれば、通常の実関数 f = f(x) を x を添字に持つ実数の族
( f x ) x ∈ R ∈ R^ R
と読みかえることができる。
(引用終り)
２）”任意の実数αは有限または無限小数で表わされる”→つまり、無限列は現代数学に必須だよ（実数が存在しなくなる）！ なお、強調しておくが、「R^ N は無限次元！→無限次元だから、次元はデデキント無限！」だと
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
大学での数学の問題 任意の実数αは有限または無限小数で表わされることを示せ meshigasuki2455さん 2011/4/30 Yahoo!知恵袋
(抜粋)
実数Rを1, 1/10 1/100・・・・とくぎって考えればいいらしいのですが
筋道が全く見当がつきません
示すに至る過程を教えていただけないでしょうか
(引用終り)
345:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 11:02:10.19 0Q0Vh9CE.net
>>315つづき
さて、本論１
＜時枝記事では、R^ Nは未定義。だから、R^ Nをどう解釈が問題となる＞
１．時枝記事では、R^ Nは未定義：>>114に引用の通り。
２．だから、”可算無限個の箱”から類推解釈するしかない。
が、上記の通り、”R^ N は無限次元！→無限次元だから、次元は当然デデキント無限！”と考えるべし
３．実際、>>115のように時枝記事でも”問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる”としているが、100列を、>>114の実数列の集合 R^Nと比較しているのだから、正にデデキント無限→ヒルベルトの無限ホテルのロジックを使っている！！
つまり、客室が無限にあるホテルで、部屋番をｎ→(1+100*n,2+100*n,・・・,99+100*n,1+100*n) | n=1,2,3,・・・ とできる
それぞれ、可算無限だ
346:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 11:03:28.67 0Q0Vh9CE.net
>>316つづき
＜時枝記事のR^ Nとヒルベルトの無限ホテル＞
１．ちょっと、順序集合と”直積集合上の順序”とを復習しておこう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序集合
(抜粋)
数学において順序集合（じゅんじょしゅうごう、英: ordered set）とは「順序」の概念が定義された集合の事で、「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化したものである。ただし、順序集合内の2つの元 a, b に順序関係が定まっている（「比較可能」である）必要はなく、両者が「比較不能」であってもよい。
比較不能のケースを許容していることを強調して順序集合の事を半順序集合（はんじゅんじょしゅうごう、英: partially ordered set, poset）ともいう。一方、半順序集合の中で比較不能のケースがないものを特に全順序集合 (totally ordered set) という。（「半順序」という言葉が「全順序」の対義語ではない事に注意。全順序集合も半順序集合の一種である。）
直積集合上の順序
ふたつの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の
347:三種類が考えられる。 ・辞書式順序: ( a , b ) ? ( c , d ) ? a < c ∨ ( a = c ∧ b ? d ) ・積順序: ( a , b ) ? ( c , d ) ? a ? c ∧ b ? d ・ ( a , b ) ? ( c , d ) ? ( a < c ∧ b < d ) ∨ ( a = c ∧ b = d ) 最後の順序は対応する狭義全順序の直積の反射閉包である。これらの三種類の順序はいずれもふたつよりも多くの半順序集合の直積に対しても同様に定義される。 体上の順序線型空間に対してこれらの構成を適用すれば、結果として得られる順序集合はいずれもふたたび順序線型空間となる。 (引用終り) 注意：辞書式順序の図が、載ってます。直線で表現されている。つまり、辞書式順序では直積だが１次元で表現できると
348:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 11:04:34.30 0Q0Vh9CE.net
>>317つづき
２．ところで、上記で奇数偶数で考えて、部屋番をｎ→(1+2*n,2+2*n) | n=1,2,3,・・・ としよう
当然（デデキント無限でもあり）、奇数偶数とも可算無限。
ヒルベルトの無限ホテルが２棟ある。左の棟と右の棟。左の棟に右の棟の奇数番の客を移す。左の棟の奇数番の部屋に入ってもらう。
直積で書くと、左をa,右をbとして、左の棟は（a,2n+1）,右の棟は（b,2n）
ホテル左右の棟の客室の集合は、{（a,1）,（a,2）,・・・,（a,2n+1）,・・・,（b,2）,（b,4）,・・・,（b,2n）,・・・}
辞書式順序を採用して、定義：a < b かつ 数字は普通の大小関係とする
これで、ホテル左右の棟の客室の集合は、順序集合として定義された。
順序集合{（a,1）,（a,2）,・・・,（a,2n+1）,・・・,（b,2）,（b,4）,・・・,（b,2n）,・・・}の部屋に、数を入れると数列になる。
というか、もともとの時枝記事の”可算無限個の箱”から出発して、選択公理などを使えば、上記の順序集合は（現代数学として）構成可能。そして、明らかに∈R^ N
（∵右の棟の奇数番は空き部屋だから、左の棟の客を戻す逆操作も可。だから、集合全体としては、順序を無視すれば、なんら変化していない。）
注：直積を考えるまでもない単純な話だが、反論を封じるために、あえて直積から直積集合上の順序集合を構成した。
なお、”∈R^ N”は、時枝記事の決定番号を考慮しなければ、数学的にはなんら問題とならないことを注意しておく
（”決定番号が有限”と整合しないだけの話）
349:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 11:06:10.43 0Q0Vh9CE.net
>>318つづき
本論２
＜確率分布＞
１．100列から、決定番号の確率 99/100を導くことについて
もし、決定番号の確率分布が、正規分布のようなすその軽い確率分布なら、大数の法則や中心極限定理から、99/100を導くことができる。だから、決定番号の確率分布が問題となる
URLﾘﾝｸ(reference.wolfram.com)
裾の重い分布?Wolfram言語ドキュメント:
裾の重い分布は，非常に大きい値を得る確率の方がより高いことを意味する．したがって裾の重い分布は一般に弱いランダム性とは対照的に強いランダム性を表す．
収入の分布，財務収益，保険の支払金，Web上の参照リンク等，結果が裾の重い分布であると見なされる種類は増え続けている．裾の重い分布に含まれる特筆すべきものは，確率密度関数がベキであるベキ乗則である．
技術的に難しいのは，これらの分布にすべてのモーメントが存在する訳ではないということである．代りに分位数等の順序統計量が使われる．また，これは中心極限定理が成り立たないことも意味する．
代りに，平均などの一次結合のための新しい標準極限分布，つまり安定分布を得る．
２．少し考えてみれば、すぐ分かるが、決定番号の確率分布は、すそが重い分布（超ヘビー）なのだ（ｎ→∞では）。だから、通常の確率論では、ｎ→∞の決定番号の確率分布は扱えない
350:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 11:07:39.02 0Q0Vh9CE.net
以上をまとめると、つまりは、”可算無限個の箱”から出発して、しっぽの同値類から決定番号を考える限り、その最大値∞は避けられないように思う
最大値∞で、「100列から、決定番号の確率 99/100」がすんなり証明できるのか？？？
再度附言しておくが、R^ Nについては、上記のように、いろんな直積集合上の順序が考えられ、それは現代数学の中
ただし、しっぽの同値類から成る決定番号は、現代数学の外。ここを強調しておく
351:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 11:10:35.57 0Q0Vh9CE.net
>>317 文字化け訂正
・辞書式順序: ( a , b ) ? ( c , d ) ? a < c ∨ ( a = c ∧ b ? d )
・積順序: ( a , b ) ? ( c , d ) ? a ? c ∧ b ? d
・ ( a , b ) ? ( c , d ) ? ( a < c ∧ b < d ) ∨ ( a = c ∧ b = d )
↓
・辞書式順序: ( a , b ) ≦ ( c , d ) ←→ a < c ∨ ( a = c ∧ b ≦ d )
・積順序: ( a , b ) ≦ ( c , d ) ←→ a ≦ c ∧ b ≦ d
・ ( a , b ) ≦ ( c , d ) ←→ ( a < c ∧ b < d ) ∨ ( a = c ∧ b = d )
（原文サイトを見る方が分かりやすいだろう）
352:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 11:12:22.75 0Q0Vh9CE.net
>>306-310
どうも。スレ主です。
おっちゃん、お疲れです
おっちゃんが書いてくれると、助かるよ（＾＾；
ありがとう
353:１３２人目の素数さん
16/11/19 11:30:11.18 DaGMNr45.net
>>293で2は第何項なのか教えてくれよおおおおお
354:１３２人目の素数さん
16/11/19 12:51:16.55 jXhg5uy0.net
＞時枝記事では、R^ Nは未定義
だから数列を勉強しろとあれほど言ってるのに聞かない奴だなあ
自分の馬鹿を頑固に守って何がしたいのか？
355:１３２人目の素数さん
16/11/19 13:01:33.88 jXhg5uy0.net
馬鹿は勉強の一つもせずに独自解釈に明け暮れます
356:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 14:02:37.43 0Q0Vh9CE.net
>323
「有限主義」だね
”これでは現代数学が、基礎からもろとも崩れ去ってしまうのではないかと思われるでしょう。そうです。ウィトゲンシュタインは現代数学をまったく認めていません。集合論を基礎におく現代数学など、そもそも誤解から成り立っているものでしかないのだというのです。”
”現代数学の擁護者たちは、あきれ果てて、もはや見解の相違だといって、議論もすることなく去っていってしまうでしょう。ウィトゲンシュタインはそれを承知です。それでもなお、現代数学は間違っているというのがウィトゲンシュタインの主張なのです。”
URLﾘﾝｸ(swansong3478.web.fc2.com)
真の哲学体系を求めて Ｖｅｒ.２ 横井直高
URLﾘﾝｸ(swansong3478.web.fc2.com)
第２１節 不動の一者から逃れ得たウィトゲンシュタイン
(抜粋)
間違いを正すというところにこそウィトゲンシュタインの哲学者としての正義があります。それは哲学だけでなく、数学にも及びます。
ウィトゲンシュタインは厳格な有限主義の立場をとります。数学における数とは、私たちが日常使っている限りの数字だけで十分だというのです。たとえば私たちはだいたい１２桁程度の電卓を使っています。これを基準にするなら、最高、１２桁までの自然数があれば十分だというのです。
確かに、私たちの日常にとって、電卓の桁を越えてしまうような桁など、めったに扱うことはありません。そうとするなら、それ以上の数などなくても、いったい、どんな不都合があるだろうかとウィトゲンシュタインは問うのです。
このような問いに対して、私たちはすぐに反発したくなります。たとえば、これでは現代数学が、基礎からもろとも崩れ去ってしまうのではないかと思われるでしょう。そうです。ウィトゲンシュタインは現代数学をまったく認めていません。集合論を基礎におく現代数学など、そもそも誤解から成り立っているものでしかないのだというのです。
これでは、現代数学の擁護者たちは、あきれ果てて、もはや見解の相違だといって、議論もすることなく去っていってしまうでしょう。ウィトゲンシュタインはそれを承知です。それでもなお、現代数学は間違っているというのがウィトゲンシュタインの主張なのです。
(引用終り)
357:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 14:04:42.96 0Q0Vh9CE.net
>>326 つづき
訂正
>323
↓
>>323
”基礎付け主義者の中でも特に有限主義者は無限集合の存在を認めず、有限集合にのみ基づいた数学を提唱した。”
URLﾘﾝｸ(yourei.jp)
ユウゲン シュギ【有限主義】の例文集・使い方辞典 - 用例.jp
(抜粋)
基礎付け主義者の中でも特に有限主義者は無限集合の存在を認めず、有限集合にのみ基づいた数学を提唱した。 多くの数学者は厳密な有限主義は制限しすぎていると見なしたが、その相対的な一貫性は認めていた。
(引用終り)
358:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 14:05:22.54 0Q0Vh9CE.net
>>327 つづき
URLﾘﾝｸ(ask.fm)
有限主義ってなんですか？直観主義とは違うのですか？ | ask.fm/ytb_at_twt
(抜粋)
有限主義とは「有限的な数学的対象」のみの存在を認める立場です。ベースとなる論理は、古典論理でもかまいません（排中律とかそういうこだわりはありません）。その点で直観主義と大きく異なります。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
背景ですが、20世紀、公理的集合論などの無限的理論や無限的手法が広く数学の中で使われるようになりました。無限集合などの無限的対象も広く登場します。しかし一方で、無限的対象は、かつての無限小のように、一部の「数学の基礎」を気にする数学者にとっては、ものすごく胡散臭いものにうつります。
そこで、無限的対象を心置きなく使用できるようにしようと、ヒルベルトらが有限主義を提唱しました。これは二段ロケット方式です。
１）本当に存在する数学的対象は有限的なもの（自然数とか）だけである。疑うヤツには自然数を構成してみせればよい
２）だけど有限的対象だけで数学をやろうとするとえらくメンドイ。だから、略記として無限的対象を導入し、ショートカットをする。
ポイントは（無限小をεδ論法で置き換えた時みたいに）「無限的対象・手法は、やろうと思えばちゃんと有限的なやり方で書ききれるが、しんどいので略記として導入している」というスタンスを貫くことです。
まあ、ホントにどんな有限的対象でも書ききれるのか？とか、逆に「ショートカットをせずにちゃんと書く」ってそもそもどういう事よ、とかいろいろ問題はあるのですが、ともかく、20世紀前半には中心的な立場として広く議論されてきました。直観主義と混同すると、いろいろな人が悲しみますよ？
(引用終り)
359:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 14:07:10.71 0Q0Vh9CE.net
>>328
URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
林晋, 京都大学大学院文学研究科 現代文化学専攻 情報・史料学教授
URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
ヒルベルトと２０世紀数学 -公理主義とはなんだったか？- 雑誌「現代思想」、２０００年１０月臨時増刊 (林晋 はやしすすむ・数理論理学)
(抜粋)
現代思想2000年１０月臨時増刊「数学の思考」掲載の「ヒルベルトと２０世紀数学」の完全版です。OCRで読み込んだので、おかしなところがあるかもしれません。気づかれましたら、お教えください。BBSの方で結構です。（これについては、匿名でもかまいません。）
1 はじめに
二〇世紀最後の今年はヒルベルトの「数学の問題」一〇〇周年にあたる。それはまた「公理主義」一〇〇周年でもある。この機会に二〇世紀数学の方向を決定づけたといわれるヒルベルトの数学とは何だったのか、「公理主義」とはなんだったのか、それは二〇世紀数学にとって何をもたらしたかを考えてみたい。
現代の我々が「構造」として捉えるものをヒルベルトは「証明・論理」により捉えようとしたらしい。現代の我々にとって公理とは、集合論や圏論などの言語により、ブルバキ的な「集団としての構造」を記述する条件であるが、ヒルベルトにとっては公理はよりシンククティカルなものであった。
なぜだろうか? 公理論を数学の存在論として捉えるヒルベルトにとっては、「言語のもつ有限性」こそが重要だったからである。「幾何学基礎論」や「数の概念について」の公理系はある種の極大構造を定義している。たとえば「数の概念について」の実数論の公理系が記述しているものは極大アルキメデス順序体である。
我々は当然集合論を前提としてこれを理解する。特に実数の完備性を保証する極大という条件は非常に集合論的である。しかし、奇妙なことに一九〇〇年のヒルベルトは、極めて集合論的なこの極大性条件さえ「有限性」を実現するものとして捉えている。
ヒルベルトは、実数の有限個の公理から・有限ステップの証明だけで考えることにより、カントールのように任意の基本列を考える必要がなくなり、この極大性の公理により一無限の世界が排除されクロネッカーの批判から免れると主張した。
つづく
360:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 14:08:36.2
361:4 ID:0Q0Vh9CE.net
362:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 14:09:05.93 0Q0Vh9CE.net
>>330 つづき
この意味で、一九二〇年代の証明論のテーマが、すでにここにある。現在の我々は公理論を数学の方法論として認識し、数学基礎論 の意味での数学の基礎付としての役割を期待することは少ないが一) ヒルベルトの公理論には、このように登場当初から基礎論的色彩が 種めて濃い。
そして、それが後にブルバキが「初期公理論の失敗」 として切って捨てたものだった。
(引用終り)
注：「極大元の存在を主張する、極めて無限的な冶」とは？ 「シンククティカル」とは？
363:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 14:10:11.86 0Q0Vh9CE.net
>>331 つづき
スコーレムの有限主義
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義( 本文 ) 出口康夫 哲学論叢 (2002)
(抜粋)
１ 序
本論は、この数学の哲学上の空白を埋める、本格的なスコーレム研究
の呼び水となるべく、さしあたって彼の有限主義に焦点を絞り、その哲学的含意を明らか
にし、それを基に数学の哲学におけるその位置付けを目指す。
位置付けの際、特に注目されるのは次の諸点である。
（一）スコーレムの有限主義は、数学における構成主義(constructivism)の一つと目されるが、だとしたら、それはどのような意味で構成主義的なのか。
（二）構成主義の他の立場、特にその哲学的分析が比較的進んでいる直観主義(intuitionism)と有限主義との異同は何か。
（三）有限主義はどのような点で「有限的(finitary)」であると言えるのか。
(引用終り)
364:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 14:14:29.82 0Q0Vh9CE.net
ウィトゲンシュタイン、ヒルベルト、スコーレムらの有限主義。あなたの悩み！ わかります、哲学ですね！（＾＾；
しかし、現代数学は、有限主義の立場をとらないし、大学でも有限主義の数学は教えないだろう
365: 現代数学は、カントールの無限集合論を認める 集合 A には A の濃度card(A)などが、定義される https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 濃度 (数学) (抜粋) 数学でいう濃度（のうど、英: cardinality）とは、集合論において無限集合同士のサイズを比較するために、有限集合の要素の個数という概念を無限集合にも拡張させたものである。 一般に集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。有限集合では要素の個数と濃度は等しい。 歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された。 定義 全ての集合が濃度を持つことを言うために選択公理が必要である。選択公理を仮定すればかなる集合X は整列可能であることから、ある順序数αに対して |X| = α なるαが存在する。 選択公理を仮定せず、正則性公理を使って濃度を定義する方法も知られている。それは、集合 A との間に全単射が存在するような集合で階数が最小のものをすべて集めた集合を A の濃度と定義する方法であり、これは発見者の名から「スコットのトリック」と呼ばれている。 (引用終り) ”2は第何項なのか？” ウィトゲンシュタインの厳格な有限主義の立場からの疑問ですね（＾＾； よく分かりますよ、その悩みは（＾＾； >>326”現代数学の擁護者たちは、あきれ果てて、もはや見解の相違だといって、議論もすることなく去っていってしまうでしょう。ウィトゲンシュタインはそれを承知です。それでもなお、現代数学は間違っているというのがウィトゲンシュタインの主張なのです。” はいはい（＾＾；
366:１３２人目の素数さん
16/11/19 14:24:26.37 jXhg5uy0.net
馬鹿は他人と意見が合わないとき、そいつが馬鹿なんだと勘違いします
そしてどんどん拗らせます
367:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 14:32:00.99 0Q0Vh9CE.net
>>333
Scottのトリック補足
URLﾘﾝｸ(alg-d.com)
本当は怖い濃度の話 : 選択公理 | 壱大整域 2013年10月27日更新
(抜粋)
この定義は明らかに選択公理に依存しています．では選択公理を使わずに濃度が定義できるのかというと，Scottのトリックというものを使い定義することができます．
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Scott's trick
(抜粋)
In set theory, Scott's trick is a method for giving a definition of equivalence classes for equivalence relations on a proper class (Jech 2003:65). The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice.
It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo?Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott (1955).
Beyond the problem of defining set representatives for ordinal numbers, Scott's trick can be used to obtain representatives for cardinal numbers and more generally for isomorphism types, for example, order types of linearly ordered sets (Jech 2003:65).
It is credited to be indispensable (even in the presence of the axiom of choice) when taking ultrapowers of proper classes in model theory. (Kanamori 1994:47)
368:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 14:45:13.78 0Q0Vh9CE.net
>>334
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
双対
(抜粋)
アーベル群の双対
アーベル群 G から、0 を除く複素数全体のなす乗法群 C× への準同型（これは（1 次の）指標 (character) と呼ばれる）全体のなす群 G^ を双対群（または 指標群）という。指標の間の演算は、写像の値の複素数としての積によって入れる。
アーベル群 G が有限のとき
369:には、双対群はもとの群と同型になり、双対群の双対群 G^^ には元の群との間に自然な同型がある。アーベル群とその指標群との双対性はポントリャーギン双対の一種である。 なおポントリャーギン双対は、一般には局所コンパクト位相群で考えられる双対性であり、有限アーベル群は離散位相を入れてコンパクト群（したがって局所コンパクト）である。
370:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 14:57:04.59 0Q0Vh9CE.net
>>333 補足
数学の哲学
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学の哲学
(抜粋)
数学の哲学（すうがくのてつがく、英: philosophy of mathematics）は、哲学（科学哲学）の一分野で、数学を条件付けている哲学的前提や哲学的基礎、そして数学の哲学的意味を研究するものである。数理哲学とも言われる。
20世紀の初めに形式論理学と集合論が驚くべき、そして反直感的な発展を遂げた結果、「数学の基礎」と伝統的に呼ばれてきたものに関係する新たな疑問が生じた。
紀元前300年前後のユークリッドの時代以来、公理に基づく手法は、数学の自然な基点だと受け止められていたが、20世紀が進むにつれ、当初の関心の焦点が拡張され、数学の基礎的な公理に対する制限のない探求へと至るようになった。
公理、命題、そして証明といった観念、そしてまた数学的対象の命題の真理についての観念が、形式化され、数学的に扱うことが許されるようになった。ツェルメロ＝フレンケルの公理系は、多くの数学的議論を解釈する概念的枠組みを提供するものとして集合論を定式化した。
物理学におけるのと同様に数学においても、新しい、予期しないアイデアが登場し、特筆すべき変化が訪れた。ゲーデル数によって、数学理論の無矛盾性の研究が可能となった。
検討されている数学的理論が「それ自体、数学的研究の対象となる」という反省的批判を、ヒルベルトは「超数学」（メタ数学）（英: metamathematics）又は「証明論」（英: proof theory）と呼んだ[3]。
20世紀の中ごろ、圏論として知られる新たな数学理論が、自然言語による数学的思考に対する新たな競争者として登場した（Mac Lane 1998）。
論理主義
論理主義は、数学は論理学に還元可能で、ゆえに数学は論理学の一部以外の何者でもないというテーゼである（Carnap 1931/1883, 41）。
形式主義
詳細は「形式主義 (数学)」を参照
形式主義とは、数学的言明はいくつかの記号列の操作ルールの帰結についての言明とみなしてよいと考えるものである。
構成主義
詳細は「構成主義 (数学)」を参照
直観主義と同様、構成主義もまた、一定のいみで明白に構成することのできる数学的なものだけが数学的言説において認められるべきであるという規制原理を主張する。
371:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 14:59:11.03 0Q0Vh9CE.net
>>316 訂正
部屋番をｎ→(1+100*n,2+100*n,・・・,99+100*n,1+100*n) | n=1,2,3,・・・ とできる
↓
部屋番をｎ→(1+100*n,2+100*n,・・・,99+100*n,100+100*n) | n=1,2,3,・・・ とできる
372:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 15:10:18.87 0Q0Vh9CE.net
>>310
おっちゃん、どうも。スレ主です。
>>317 順序集合の”直積集合上の順序”の”辞書式順序: 辞書式順序: ( a , b ) ≦ ( c , d ) ←→ a < c ∨ ( a = c ∧ b ≦ d )”
”注意：辞書式順序の図が、載ってます。直線で表現されている。つまり、辞書式順序では直積だが１次元で表現できると”
あたりを見てくれ
おっちゃんにはレベルが高すぎるかもしらんがね
373:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 15:20:17.36 0Q0Vh9CE.net
>>333 関連
物理でも無限大
URLﾘﾝｸ(mitsuno-y.com)
特異点｜現代未解決問題取扱所
(抜粋)
ビッグ・バン理論によれば宇宙は膨張していることになっているので、時間を遡ってゆくと宇宙はどんどん小さくなり、百数十億年前の始まりの時には、宇宙の全物質が一点に集まり、密度および温度が無限大になっていたことになる。
この一点のことを特異点という。これは普通のブラック・ホールの特異点が持つ「事象の地平面」で覆われていなかったと予測されるため「裸の特異点」と呼ばれている。事象の地平面で覆われていれば数学的に、すなわち理論的に問題はないが、裸のままでは理論上あってはならないものだという。
現代物理学では密度や温度が無限大というのは許されないことなので、裸の特異点はビッグ・バン理論を揺るがす致命的な問題となっている。にもかかわらず理論物理学者のステｲーブン・ホーキングとロジャー・ペンローズはこの特異点の存在を証明し、その事象においては一般相対性理論が破綻することを示した。
一般相対論は有限の値しか扱えないので、密度無限大が出てくると機能しなくなる。ではいったいどういうことなのか。中には一般相対論が破綻するのは古典物理学を基礎として証明を行なったからであり、量子効果を含めた考察は、かの二人の専門の範囲外にある、とかばう人もいる。
これを打開するためにペンローズは「宇宙検閲官仮説」なるものを持ち出し、自然界には裸の特異点が存在しないようになっていると言い出した。学者が得意とするまやかしの論理だ。
374:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 15:49:03.56 0Q0Vh9CE.net
>>269
表現可能関手、HomC(-, X) や HomC(X, -)
これが分からなかった
加藤 五郎ちゃん、ありがとう
Awodey >>126-127 と併読すると、ようやく分かった
表現可能関手、HomC(-, X) や HomC(X, -) は、米田で使うから、結構大事なんだね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
関手の概念の萌芽はエヴァリスト・ガロアによる群を用いた代数方程式の研究に見ることができる。20世紀はじめのエミー・ネーターらによる加群の研究において拡大加群などさまざまな関手的構成が蓄積された。
20世紀半ばの代数的位相幾何学において実際に関手が定義され、図形から様々な「自然な」代数的構造を取り出す操作を定式化するために利用された。ここでは（基本群のような）代数的対象が位相空間から導かれ、位相空間の間の連続写像は基本群の間の代数的準同型を導いている。
その後アレクサンドル・グロタンディークらによる代数幾何学の変革の中でさまざまな数学的対象の関手による定式化が徹底的に追求された。
表現可能関手
圏 C の対象 X について HomC(-, X) や HomC(X, -) の形にかけるような C から Sets （または C の hom-集合の構造を表すしかるべき圏）への関手は表現可能関手（ひょうげんかのうかんしゅ、representable functor）とよばれる。米田の補題によって表現可能関手たちとその間の自然変換はもとの圏の構造を完全に反映していることが知られる。
数学のさまざまな場面で与えられた関手が表現可能であるかどうかやどんな対象によって表現されるか、あるいはその関手が表現可能になるように圏を変形できるかということが問題になる。
特定の形の図式に関する極限は図式圏への対角埋め込み関手に対する右随伴関手として定式化できる。テンソル積や対象積、交代積は多重線形写像の関手を表現するような対象として定式化できる。
375:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 15:51:43.57 0Q0Vh9CE.net
>>129
前層が函手なんやね
加藤 五郎ちゃんに丁寧に説明がある
よく分かるわ（＾＾；
376:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 15:54:49.72 0Q0Vh9CE.net
”前層はモノイドの集合への作用の一般化” by 「圏論の歩き方」 P253,P31
分かったような、分からんような
でも、なんとなく分かった気になるね～（＾＾；
377:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 15:56:04.97 0Q0Vh9CE.net
前層の圏までいかないと、モノイドと対比できないような気もするが・・
378:１３２人目の素数さん
16/11/19 17:40:44.18 ADamYXwO.net
>>339
おっちゃんです。スレ主がトンデモであること�
379:ﾍ、スレ主が>>316で >時枝記事では、R^ Nは未定義。だから、R^ Nをどう解釈が問題となる と書いたところに端的に現れている。 R^N は、実数列全体からなる空間で、数列空間の1つである。 時枝記事を読むにあたり、文脈上 R^N は定義されている。 何も問題はない。
380:１３２人目の素数さん
16/11/19 17:50:27.98 ADamYXwO.net
>>339
>>114では
>実数列の集合 R^Nを考える.
と明記されている。>>316で
>１．時枝記事では、R^ Nは未定義：>>114に引用の通り。
>２．だから、”可算無限個の箱”から類推解釈するしかない。
と書き解釈することがスレ主の思い込みである。
381:１３２人目の素数さん
16/11/19 17:58:08.39 zvdoNxu/.net
>>318
> そして、明らかに∈R^ N
明らかにとごまかさずに数列の順番を変えないで自然数と1対1に対応させてみなさい
> {（a,1）,（a,2）,・・・,（a,2n+1）,・・・,（b,2）,（b,4）,・・・,（b,2n）,・・・}
(上の(a,2)は(a,3)に直す)
{1, (a,1)}, {2, (a,3)}, {3, (a,5)}, ... , {n, (a,2n-1)}, ... の部分は可算無限でありこの部分だけで自然数との対応は終了する
{?, (b,2)}, {?, (b,4)}, ... , {?, (b,2n)}, ... の?の部分に入る自然数は無い
> その最大値∞は避けられないように思う
決定番号を求めるには代表元と同じ長さの数列を比較しなければいけないが解答者はスレ主が挙げた数列から
代表元と同じ長さの可算無限数列{(a,1), (a,3), ... , (a, 2n-1), ... }あるいは{(b,2), (b,4), ... , (b, 2n), ... }
を使って決定番号を求めればよい
382:１３２人目の素数さん
16/11/19 19:05:12.77 WbKIAMeX.net
おいおいまじかｗ
>>302-303の通りじゃねえかｗ
>>302
> ここまで引っ張っといて
>
> R^Nの定義を勘違いしてましたテヘ
>
> じゃすまねーぞおいｗ
>>303
> > y_n＝2 を満たす n が存在しない。だから、R^N の中には存在しない
>
> この説明で分からないのは確信犯のプロとしか考えられんだろｗ
> スレ主はR^Nの定義を言ってみろよ。どうせ独自定義なんだろ？ｗ
まあ逃げを打つとしたらこの線しかないわなｗｗ
383:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 19:30:32.48 0Q0Vh9CE.net
>>341 関連
「前層 P∈ Set^C_op」が分からなかったんだ
Set^C_opが集合の写像を表すベキ記号のパロディーなんだね（＾＾；
なんか、昔そんな話を聞いた気もしたんだけど・・（＾＾；
URLﾘﾝｸ(infinitytopos.wordpress.com)
圏論 ? はじまりはKan拡張:
∞カテゴリーIV
投稿日: 2015年2月15日
(抜粋)
・米田、余完備、Kan拡張
任意の前層 P∈ Set^C_opは表現可能関手の余極限 P =? lim_∞ Hom(-,c_i)と同型である．
384:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 19:34:40.15 0Q0Vh9CE.net
>>349 つづき
集合の写像を表すベキ記号 B^A の説明
URLﾘﾝｸ(teenaka.at.webry.info)
「べき集合」のおさらい T_NAKAの阿房ブログ/ウェブリブログ:2006/08/04
(抜粋)
さて、このページ
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.saku)<) 強制改行
a.ne.jp/taiwaN/taiwa3/taikaku/node5.html
集合の概念:2014-05-23
(抜粋)
べき集合
Aの部分集合と集合Aから集合{0, 1}への写像fは一対一に対応している．
これを一般化し，二つの集合AとBに対し，集合Aから集合Bへの写像の集合をべき集合といい
B^A
と書く．先に2^A と書いたのは，この場合 B ={ 0, 1}となり，Bの要素の個数が2だからである．
(引用終り)
京都大学 高崎金久 先生、詳しくていいね
URLﾘﾝｸ(www.math.h.kyoto-u.ac.jp)
数理論理学入門 高崎金久（京都大学）?京都大学での全学共通科目講義に基づく?
URLﾘﾝｸ(www.math.h.kyoto-u.ac.jp)
講義資料 注意：この講義資料は通年で講義を担当していた2000年?2003年頃のものです．
(抜粋)
II. 数学的準備
2. 写像
2.1 定義と概念
【写像】二つの集合 X, Y を考える． X の各要素 x に対して Y の一つの要素 y = f(x) を 対応させるもの f を X から Y への写像という． f が X から Y への写像であることを記号で f:X -> Y と あらわす．X から Y への写像をすべて集めてできる集合を Map(X,Y), Y^X, などの記号で あらわす．
空欄の埋め方は n ×…× n = n^m = |Y|^|X| あるから，X から Y への写像の 個数について
|Y^X| = |Y|^|X|
という等式が成り立つ．X から Y への写像全体の集合を Y^X という記号で表わすのは一つにはこのため である．
(引用終り)
385:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 19:35:19.17 0Q0Vh9CE.net
このサクラのスペルがNGワードらしい
386:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 19:55:30.24 0Q0Vh9CE.net
>>345-346
どうも。スレ主です。
おっちゃん、レスありがとう
そうやって、おっちゃんが、時枝記事擁護側にいることが、ありがたい（＾＾；
>時枝記事を読むにあたり、文脈上 R^N は定義されている。
>何も問題はない。
いや、定義の話は、>>114で、「実数列の集合 R^Nを考える」としか書いていないよ
だから、「実数列の集合 R^N」をどう考えるか？ 「何も問題はない」ように解釈する必要があるってこと
それを>>316で書いた
いいかい、「実数列の集合 R^N」は非常に明確だ。但し、”数列のしっぽによる同値類の決定番号”が絡んでこなければ
そして、>>320で書いたように、”数列のしっぽによる同値類の決定番号”は、現代数学の外
そこを忘れないように
「実数列の集合 R^N」を、ベクトル空間と考えよう。x1,x2,x3,・・・,xn,・・・だ
これを、y1,y2,y3,・・・,yn,・・・と書こうが、本質は同じだ。単に座標の表記だけの話だよ
ところが、現代数学の外の”数列のしっぽによる同値類の決定番号”が絡んでくると、単に座標の表記だけの話で済まなくなると
それだけの話でしょ？
387:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 20:23:29.32 0Q0Vh9CE.net
>>316 訂正
＜時枝記事では、R^ Nは未定義。だから、R^ Nをどう解釈が問題となる＞
↓
＜時枝記事では、R^ Nは未定義。だから、R^ Nをどう解釈するかが問題となる＞
>>347
カントールの集合論を否定したいのか？
「有限主義」？
>> そして、明らかに∈R^ N
>明らかにとごまかさずに数列の順番を変えないで自然数と1対1に対応させてみなさい
数列の順番を変えないで?
それ自分の独自定義か？
>>316 「時枝記事では、R^ Nは未定義。だから、R^ Nをどう解釈するかが問題となる」と書いたろ？
そもそも、はじまりは、「可算無限個の箱」>>114だよ。この時点で順番はない
それを、適当に並べるだったろ？ 数列の順番を変えないでとは? そもそも数列の順番は固定されたものではないだろ
数列の順番が問題なら、自分できちんと定義しな いつどの時点の「順番」なのか
繰り返すが、最初は「可算無限個の箱」で、順番は未定。箱の中は見ないで並べるんだよ。箱には番号も目印もない前提だろう？？
順番にどんな意味を持たせるんだ？ 決定番号の都合よくか？
>> その最大値∞は避けられないように思う
>決定番号を求めるには代表元と同じ長さの数列を比較しなければいけないが解答者はスレ主が挙げた数列から
>代表元と同じ長さの可算無限数列{(a,1), (a,3), ... , (a, 2n-1), ... }あるいは{(b,2), (b,4), ... , (b, 2n), ... }
>を使って決定番号を求めればよい
「決定番号を求めるには代表元と同じ長さの数列を比較しなければいけない」か
その通りだ
だが、>>114の「実数列の集合 R^Nを考える」では、数列の長さは自然数N全体を使っている。この時点で、同値類を決め、代表元を決めているよ
対して、例えば{(b,2), (b,4), ... , (b, 2n), ... }は、明らかに偶数だけを使っているから、自然数N全体の半分しか使っていないよ、だから長さの比を有限からの極限で考えると半分だよ
同じ長さと言えるのか？
388:１３２人目の素数さん
16/11/19 20:34:03.18 jXhg5uy0.net
これは酷い、酷過ぎる
389:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/11/19 20:37:01.40 21LrO2+x.net
ネット掲示板で学術を行うのは、とても良い習慣です。なので続けましょう。
￥
390:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 21:05:47.19 0Q0Vh9CE.net
>>349 関連
下記”このような「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である．”�
391:､ーむ、至言だね（＾＾； https://infinitytopos.wordpress.com/category/%E5%9C%8F%E8%AB%96/ 圏論 ? はじまりはKan拡張: ∞カテゴリーIII 投稿日: 2015年2月10日 (抜粋) ・抽象化の力 しかし，この説明にはかなり不満も多いだろう．というのも，位相空間にはイメージのしやすさという明確な優位性がある．少々simplicial setの圏の性質が良かったところで，少なくとも位相空間に関する事は位相空間内で考えるほうが「分かりやすい」だろう． これは圏に関してもそうだ．ある程度，圏論のイメージを掴んでいる人なら，Nerveを取らなくとも通常の圏のまま扱う方が分かりやすいに決まっている． その感覚は正しいだろう．では，わざわざなぜsimplicial setで考えるのか？ 圏同値なのならどちらも同じかと思うかもしれないが，そういう訳ではない．前者は一見シンプルで分かりやすいが，2-圏的な対象であるという難しさがある．それに比べ後者は少々複雑な条件が伴うが，2-圏的な要素を排除する事に成功している．このような「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である． (引用終り)
392:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 21:24:01.36 0Q0Vh9CE.net
￥さん、どうも。
昔、湯川先生がノーベル賞、そのあと朝永先生とつづいた
湯川先生は、朝永先生の繰り込み理論に不満で、晩年まで繰り込み理論の克服を探求された
時代は進んで、超ひも理論で、発散の困難は押さえられるとなったけど、期待したが繰り込み理論の克服まで行っていない
一方で、ビッグバン宇宙論で、量子ゆらぎと宇宙の大規模構造が関連しているとか、びっくりですね
やっと、ここまで分かったんだと
ただ、２１世紀には、繰り込み理論を扱う正統な数学が出来ているだろうと思っていたんですけど
自然の奥行きは深い・・・
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
宇宙の大規模構造
URLﾘﾝｸ(www.kyoto-su.ac.jp)
小さなゆらぎが作り出した宇宙の大規模構造?銀河の分布から見えてくる宇宙の全体像? | サイエンス＆テクノロジー | 研究・社会連携 | 京都産業大学: 理学部 物理科学科 原 哲也 教授
(抜粋)
大規模構造の起源は宇宙誕生まで遡る
追伸
あんまり、学術というほどのことはしていませんが・・・、ま、私の備忘録です
宇宙の大規模構造が、いつ、どのようにして形成されたのか、というのは私の研究対象のひとつです。
そのメカニズムは完全に解明されたわけではありませんが、現在もっとも有力な説は、宇宙が誕生したころの小さな「量子ゆらぎ」が宇宙の膨張に伴って、数億光年という気の遠くなるスケールにまで成長したとするものです。
393:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 21:27:05.69 0Q0Vh9CE.net
>>357 訂正
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
宇宙の大規模構造
URLﾘﾝｸ(www.kyoto-su.ac.jp)
小さなゆらぎが作り出した宇宙の大規模構造?銀河の分布から見えてくる宇宙の全体像? | サイエンス＆テクノロジー | 研究・社会連携 | 京都産業大学: 理学部 物理科学科 原 哲也 教授
(抜粋)
大規模構造の起源は宇宙誕生まで遡る
追伸
あんまり、学術というほどのことはしていませんが・・・、ま、私の備忘録です
宇宙の大規模構造が、いつ、どのようにして形成されたのか、というのは私の研究対象のひとつです。
そのメカニズムは完全に解明されたわけではありませんが、現在もっとも有力な説は、宇宙が誕生したころの小さな「量子ゆらぎ」が宇宙の膨張に伴って、数億光年という気の遠くなるスケールにまで成長したとするものです。
↓
追伸
あんまり、学術というほどのことはしていませんが・・・、ま、私の備忘録です
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
宇宙の大規模構造
URLﾘﾝｸ(www.kyoto-su.ac.jp)
小さなゆらぎが作り出した宇宙の大規模構造?銀河の分布から見えてくる宇宙の全体像? | サイエンス＆テクノロジー | 研究・社会連携 | 京都産業大学: 理学部 物理科学科 原 哲也 教授
(抜粋)
大規模構造の起源は宇宙誕生まで遡る
宇宙の大規模構造が、いつ、どのようにして形成されたのか、というのは私の研究対象のひとつです。
そのメカニズムは完全に解明されたわけではありませんが、現在もっとも有力な説は、宇宙が誕生したころの小さな「量子ゆらぎ」が宇宙の膨張に伴って、数億光年という気の遠くなるスケールにまで成長したとするものです。
(引用終り)
394:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 21:37:11.10 0Q0Vh9CE.net
>>356 関連
URLﾘﾝｸ(junology.hatenablog.com)
Godement 層の理論ノート0 前層 - junologyのブログ: 2012-05-26
(抜粋)
前層の例
順序集合A
は、順序関係?を射として圏と思えることに注意する。
URLﾘﾝｸ(junology.hatenablog.com)
junologyのブログ 2012-06-14
Godement 層の理論ノート1 層とetale space
前回、前層（presheaf）の定義をしたけれど、あれは反変関手ならなんでもござれで、あまりにも一般的すぎる。
特に、Xの位相O(X)の意味に一切触れていない。
そこで、位相空間Xの性質について自然になるように、もう少�
395:ｵ条件をつけたのが層である。 層の定義 前回の最後に前層の例を3(+1)個挙げた。 しかし、元の個数やら被覆の重複やらというものは、X の位相の意味を見失っている例であろう。 Xの位相が最も良く表われていると考えられるのが、連続関数の層である。 何故これがXの位相と関係が深いかといえば、いくつか理由はあるが、特に層の定義の根拠になっているものは、空間Xの「局所的」性質と「大域的」性質の関連性を良く受け継いでいることだろう。 この事を定式化して層を次のように定義する。 略 (SH1)は、各点の近傍で一致していれば全体で一致しているということであり、「大域→局所」のつながりを意味し、逆に(SH2)は「貼り合わせ」操作が可能であるということで、「局所→大域」のつながりを意味する。 注意すべき点として、(SH2)で存在を保証されたfUは、(SH1)から唯一つである。 また、?∈O(X)であるが、(SH2)でI=?の場合を考えるとF(?)は一点集合である。 例 連続写像の層 F(U)={f:U→Y : conti.}は層である。 特に、YがRやCなどの位相環の場合が重要である。
396:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 21:39:17.92 0Q0Vh9CE.net
>>359 訂正
また、?∈O(X)であるが、(SH2)でI=?の場合を考えるとF(?)は一点集合である。
↓
また、Φ∈O(X)であるが、(SH2)でI=Φの場合を考えるとF(Φ)は一点集合である。
補足：Φは空集合を意味する。正規の空集合記号は文字化けで、ギリシャ文字で代用した
397:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 21:39:55.27 0Q0Vh9CE.net
ことほど左様に不便な板なのよ、ここは（＾＾；
398:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 22:30:35.68 0Q0Vh9CE.net
>>359 関連
加藤 五郎ちゃんの前層の定義も、開集合とその包含写像をベースにした位相カテゴリーTからの集合Setsやアーベル群のカテゴリーGへの反変函手という説明
Awodeyは、位相カテゴリーTに限らず、一般のカテゴリーCをベースにした説明だ
399:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 22:38:07.64 0Q0Vh9CE.net
>>353 補足
>> そして、明らかに∈R^ N
>明らかにとごまかさずに数列の順番を変えないで自然数と1対1に対応させてみなさい
大学レベルの数学における添字集合分かりますか？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
添字集合
(抜粋)
数学における添字集合（そえじしゅうごう、index set）は、別の集合の元に対して「ラベル」付けを行うときの、「ラベル」の集合を言う[1]。
各「ラベル」は指数、添数、添字 (index) などと呼ばれる。添字となるものは、列の項の番号であったり、媒介変数であったりと様々である。
添字付けられた族のラベル付けや次数付き代数系の次数付けの添字として使うものは、数学的には種類はなんでもよく、適当な集合 Λ を選んで、その元 λ ∈ Λ を添字にすることができる。添字付けの数学的な意味は、添字集合からの写像である。
多くの場合、添字は添字記法と呼ばれる、典型的には記号の上方や下方に置かれ、本文に用いられる文字よりやや小さな文字や数字を用いる記法に従って書かれる。添字が、上方に置かれるとき上付き添字（うえつきそえじ、superscript）、下方に置かれるとき下付き添字（したつきそえじ、subscript）と呼ばれる。
特定の添字集合による添字付けには、特別な呼び方をすることがある。たとえば、I が自然数からなる（つまり I ⊂ N となる）とき、集合 S の元の I による添字付け
I → S ; i →s i
は S の元への賦番、あるいは S の元の数え上げといい、集合 S の元がこのような添字付けによって尽くされるならば、S は可賦番であるという。
400:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/19 22:48:43.77 0Q0Vh9CE.net
>>363 補足
大学レベルでは、超限帰納法で、普通に自然数以外の添字集合使います。整列可能定理により、任意濃度の集合に対して、添字集合として使えますが、なにか
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超限帰納法(ちょうげん�
401:ｫのうほう)とは - コトバンク: ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説 超限帰納法 ちょうげんきのうほう transfinite induction 順序数αで番号づけられた命題 P(α)について，ξ＜αについて P (ξ) が成立すれば，P (ξ) を証明することによって P (α) を証明する方法。自然数についての数学的帰納法を一般化したものである。 本文は出典元の記述の一部を掲載しています。 世界大百科事典 第２版の解説 ちょうげんきのうほう【超限帰納法 transfinite induction】 一般化された数学的帰納法の一種で，次のような証明法である。整列集合Λの各元λに命題Pλが対応しているとき，次のことが証明できれば，すべてのPλは正しい。 〈各λ∈Λに対して，μ＜λならばPμが正しいという仮定のもとで，Pλは正しい〉。 これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。 するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95 (抜粋) 超限帰納法 上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。 任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。 (引用終り)