16/10/16 08:39:54.68 cAQHiE8M.net
>>403
モノイドは、台集合が無限でも可能だ（下記）
そもそも、モノイドの演算（連接）に、「有限」限定の制約があると発想するのがへん
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モノイドや半環は、群や環とはかけ離れている - 檜山正幸のキマイラ飼育記 2014-09-10 (水)
(抜粋)
有限集合のときに「消約的可換モノイド ＝ アーベル群」であっても、台集合が無限になると、アーベル群とは違った様相になることは注意すべきです。
ω-総和可能性と消約可能性
「引き算と無限個の足し算は両立しない」
足し算は ∞ + n = ∞ として定義します。無限和が発散するときは、値を∞にしてしまうことにより、N∞はω-総和可能に出来ます。
ω-総和可能な可換モノイドでは消約律を維持することは出来ず、どこかで消約可能性が壊れていることが分かります。実際、N∞でも、∞ + 0 = ∞ + 1 ですが、0 = 1 は導けません。
何が分かったか
可逆性や消約可能性は、可換モノイドがアーベル群に近いことを計る尺度で、Inv(M)やCanc(M)が大きければ、Mが扱いやすくなることが期待できます。（実際のところ、意味不明・中途半端に大きくても仕方ないでしょうが。）
ところが、ベキ等性はCanc(M)を{0}に潰してしまいます。Inv(M)⊆Canc(M) なので、当然にInv(M)も潰れます。ω-総和可能性もInv(M)を{0}に潰します。Canc(M)は、ω-総和可能性のもとでもある程度の大きさを保てますが、Canc(M) = M になることは許されません。
ベキ等性やω-総和可能性が成立する世界にいる限り、可逆性や消約可能性の恩恵は受けられないのです。引き算や消約律を使った議論は成立しないので、諦めるか他の手段を使うしかありません。
(引用終り)