21/04/08 21:07:31.40 jAHOCp/v.net
(略証)
⊿ = (1/4)√{4(aabb+bbcc+ccaa) - (aa+bb+cc)^2} (Heron)
= (1/4)√{4(xy+yz+zx) - (x+y+z)^2}
≦ (1/4)√{9xyz/(x+y+z)} (Schur-1)
= (3/4)abc/√(aa+bb+cc),
* Schur-1
F_1(x,y,z) = (x+y+z)^3 - 4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz
= x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) ≧ 0,
127:１３２人目の素数さん
21/04/10 17:40:22.55 Tq6xhZve.net
〔公式425〕
三角形の内心I、重心G、垂心H、G-Hの中点M、O-Hの中点N とすると
OI^2 = R(R-2r), (Chapple-Euler)
MH^2 - MI^2 = (2/3)r(R-2r),
NI = (1/2)(R-2r),
rは内接円の半径、Rは外接円の半径
[分かスレ４６６- 425, 495, 678, 690]
128:１３２人目の素数さん
21/04/11 08:45:56.53 sZ6ZL7G1.net
(下) の略証
三角形の外接円を重心Gのまわりに (-1/2)倍した円は、
各辺の中点など(*)を通り、9点円とよばれる。
9点円の中心N, 半径は R/2.
内接円の中心I, 半径はr.
[定理31]
三角形の9点円は内接円に接する。(Feuerbachの定理)
∴ NI = (1/2)(R-2r),
(参考書)
清宮俊雄 著「モノグラフ 15.幾何学」矢野健太郎 監修, 科学新興社 (1968/Sep)
§10. p.41
のちに科学新興新社から改訂版が発行された。(1988/Mar)
*) 垂足 (各頂点から対辺に下した垂線の足) と 各頂点と垂心Hの中点を合わせて
9点を通る。
129:１３２人目の素数さん
21/04/11 11:59:00.34 sZ6ZL7G1.net
(参考書)
矢野健太郎 著 「幾何の有名な定理」 数学ワンポイント双書36, 共立出版 (1981/Dec)
１０ フォイエルバッハの定理 p.103-111
数セミ増刊 「数学100の定理」 日本評論社 (1983/Oct)
「九点円」 p.12-13
130:１３２人目の素数さん
21/08/07 18:02:10.60 RGRd4R20.net
>>106
π/1.2 = φ^2 を利用して「円積問題」を解く。
半径rの円が与えられたとする。
(-r,0) (6r/5,0) を直径の両端とする円を描く。
y軸との交点は A(0,±L) L= r√(6/5),
B(L/2,0) とすると AB = (√5)/2・L
Bを中心とし、Aを通る円周を描く。
x軸との交点は C(Lφ,0)
OCを一辺とする正方形を描く。
その面積は与えられた円の面積にほぼ等しい。
131:１３２人目の素数さん
21/10/02 18:18:13.17 gfHy/Z2w.net
π/1.2 = 2.61799387799
φ^2 = 2.618033988750
132:１３２人目の素数さん
21/10/02 18:21:08.07 gfHy/Z2w.net
〔問題〕
3次元空間に2つの球
(x-1)^2 + y^2 + z^2 < 1,
(x+1)^2 + y^2 + z^2 < 1,
がある。
これらの球をともに内部に含む四面体のうち、
体積が最小のものはどのような四面体か。
[高校数学の質問スレPart414．236]
133:１３２人目の素数さん
21/10/02 18:25:32.16 gfHy/Z2w.net
x軸方向に伸びる傾角aの谷の上に2つの球を並べる。
z = |y| tan(a) - z1, z1 = -1/cos(a),
y方向に伸びる、傾角bの屋根を葺く。
z = z2 - |x| tan(b), z2 = (1+sin(b))/cos(b),
四面体のサイズは
⊿x = 2(z2-z1)/tan(b)
⊿y = 2(z2-z1)/tan(a),
⊿z = (z2-z1),
体積は
V(a,b) = (1/6)⊿x･⊿y･⊿z = (2/3)(z2-z1)^3 /(tan(a)･tan(b)),
Vが最小となるのは
a = 1.001631319 (57.38924722°)
b = 0.679837919 (38.95184353°)
のとき
⊿x = 9.77200177
⊿y = 5.05410762
⊿z = 3.94981057
V = 32.5127002274793
これは球の体積 (4π/3)*2 の 3.88091771585 倍
134:１３２人目の素数さん
21/10/16 14:35:54.77 bY2L66Ji.net
〔出題２〕
rは 0<r<1 を満たす定数、θは 0<θ<π を満たす定数とします。
xy平面に2点 P。=(0,0), P_1=(1,0) をとり、
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
xy平面内の折れ線P。P_1 P_2 … P_n …で次の条件を満たすものを考えます。
＿＿＿＿＿
・n=1,2,3,…に対して、P_nP_{n+1} = r^n であり、
＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿
2つの辺 P_{n-1}P_n と P_nP_{n+1} のなす角が θ または -θ である。
この折れ線が P_2 以後にx軸と交差しないとき、rとθの間に成り立つ関係式を求めてください。
ただし、「交差する」とは1点のみを共有することとします。
135:１３２人目の素数さん
21/10/16 15:58:54.29 bY2L66Ji.net
0 < θ << 1 の場合
z = r･e^(iθ) とおくと
y(P_n) = r sinθ - rr Σ[k=0,n-1] r^k･sin(kθ)
= Im{z - rrΣ[k=0,n-1] z^k}
= Im{z - rr(1-z^n)/(1-z)}
≒ Im{z - rr/(1-z)}
= Im{z - rr(1-z~)/|1-z|^2}
= Im{z - rrz/|1-z|^2}
= Im{z - rrz/(1-2r cosθ +rr)}
= Im{z} (1-2r cosθ)/|1-z|^2
> 0
∴ r･cosθ ≦ 1/2.
136:１３２人目の素数さん
21/10/19 03:42:03.25 OvSIJGC7.net
〔問題〕
ABCD を円に内接しない四角形とします。
ABCDの対辺の積 AB･CD, AD･BC と 対角線の積 AC･BD =L
を三辺の長さとする三角形が存在することを示して下さいです。
(Lに対する内角は A+C, B+D のうち 180°より小さい方)
137:１３２人目の素数さん
21/10/19 11:11:17.25 OvSIJGC7.net
(略解)
A+C<180° の場合
頂点Dを中心として
⊿ABDをCD倍して回転
⊿BCDをAD倍して回転
⊿ACDをBD倍
して同長の辺を重ね、⊿ B'-X-B" を作る。
B'X = AB･CD,
B"X = AD･BC,
B'B" = AC･BD = L,
また、
∠X = A + C, ∠XB'D + ∠XB"D = B,
138:１３２人目の素数さん
21/11/27 13:09:10.97 HxEDg/nu.net
〔問題〕
ある4面体は、どの2面も同じ角度(二面角)で交わっています。
これはどんな4面体でしょうか。
139:１３２人目の素数さん
22/11/17 04:03:39.28 f3wDsO1g.net
難しそうだな
140:１３２人目の素数さん
23/05/13 19:22:59.59 H6yqok4G.net
サンドウィッチマン&芦田愛菜の博士ちゃん★1
141:１３２人目の素数さん
23/06/22 10:13:40.90 bA5uzkgG.net
7月号の「大学への数学」の「数学アラカルト」は必読
142:１３２人目の素数さん
23/06/24 21:01:06.06 axBJODfS.net
機体に穴があき酸欠状態の宇宙船が
必死で家族が待つ地球へ戻ろうとする様を描いています。
//youtu.be/oWs3yvVADVg 想像してみてください。
イヤフォンなど使うと、緊迫感と迫力が伝わりやすいと思います。
143:１３２人目の素数さん
23/07/26 22:06:50.41 IHiRkqZG.net
軸が互いに直交する互いに合同な二つの放物線が
4つの交点を持てば
それらは同一円周上にあることを示せ
144:１３２人目の素数さん
24/01/20 11:03:24.18 CpRTTCyr.net
教育 サイエンスZERO 自然が愛する六角形
145:１３２人目の素数さん
24/01/20 21:29:40.00 T8JaMoL1.net
三つ巴 三神 クロワッサン トリオ ・・ 人の愛する３系列
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