20/01/28 16:36:34 PEBGFRNv.net
〔出題１〕
△ABCに対し、同じ平面上の点Pからその3辺BC,CA,ABまたは延長上に引いた垂線の足(垂線と辺との交点)を D,E,F とします。
3直線AD,BE,CFが同一点で交わるとき、点Pを垂足チェヴァ点と呼ぶことにします。
問1 △ABCの3頂点、外心O、垂心Hが垂足チェヴァ点であることを示せ。
問2 P(≠O)が垂足チェヴァ点ならば、外心Oに関してPと対称な点P~も垂足チェヴァ点であることを示せ。
101:１３２人目の素数さん
20/01/29 01:45:09 XXmEFPLU.net
f(P) = (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB),
とおく。ここで3点 D,E,F は問題文のように定める。
チェヴァの定理より
Pが垂足チェヴァ点 ⇔ f(P)=1
問1
外心Oから辺BCまたは延長上に引いた垂線の足Mは、辺BCの中点。
∴ (BM/MC) = 1, 他の2辺についても同様。
∴ f(O) = 1,
チェヴァの定理の逆より、外心Oは垂足チェヴァ点である。
Pが△ABCの垂心Hのとき、HはAD,BE,CFの交点。
∴ 垂心Hは垂足チェヴァ点である。
問2
3点 P,O,P~ から辺BCまたは延長上に引いた垂線の足を D,M,D~ とする。
P, P~は点Oに関して対称。
∴ D, D~ は中点Mに関して対称。
∴ BD = D~C, DC = BD~
∴ (BD/DC)(BD~/D~C) = 1, 他の2辺についても同様。
∴ f(P)f(P~) = 1,
なお、外心Oに関して垂心Hと対称な点はド・ロンシャン点と呼ぶらしい。。。
102:１３２人目の素数さん
20/03/11 22:18:43 zi4olkqu.net
「数学セミナー」2020年２月号, 日本評論社 (2020)
エレ解 出題１
103:１３２人目の素数さん
20/03/12 11:05:07 mKJwV7nJ.net
ド・ロンシャン点Lはオイラー線上にある。
HG：GO：OL = 2：1：3
外接三角形の垂心である。
104:１３２人目の素数さん
20/03/13 13:41:46.38 Pzzsy05r.net
ピタゴラスの定理。
ターレスの円周角の定理。
アポロニウスの円。
デザルグの定理。
パッポスの定理。
105:１３２人目の素数さん
20/04/18 07:34:35.39 cXu1ZGgp.net
〔シルヴェスターーガライの定理〕
平面上に有限個の点があって、共線(すべて同一直線上にある)ではないとする。
このとき、2点だけを通る直線がある。
J.J.Sylvester: Educational Times (1893)
T.Gallai (1933)
〔ケリー＆モーザーの定理〕
平面上にn個の点があって、共線(すべて同一直線上にある)ではないとする。
このとき、2点だけを通る直線の数は 3n/7 より小さくはない。
L. M. Kelly & W. O. Moser (1958)
106:１３２人目の素数さん
20/04/18 07:44:26 cXu1ZGgp.net
>>104
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984)
p.142-143
107:１３２人目の素数さん
20/06/28 16:47:19.91 DrzpFm0+.net
〔円積問題〕
単位円から中心角60°の部分を取り除いた扇型の面積（π/1.2）は
一辺の長さ１のペンタゴンの対角線を一辺とする正方形の面積（φ^2）に等しい。
これを利用すればて、円と面積が等しい正方形を作図できる。
108:１３２人目の素数さん
20/07/16 11:38:36 QIPnOtMS.net
Lは平面上の凸閉曲線とする。
Lの内部の点Xを通る直線は、Xの両側で一度ずつLと交わる。
〔問題〕
Lについて方べきの定理が成立つとき、Lの形を求めよ。
〔方べきの定理〕
Lの内部の点をXとし、Xを通る2直線をとる。
これらとLの交点を(A,C) および (B,P) とすると、
AX･CX = BX･PX
分かスレ４６１-172
109:１３２人目の素数さん
20/08/23 12:48:08.95 qhSoFq1l.net
〔問題〕
AB = 8, AC = 72/7, ∠A = 2∠C のとき ⊿ABCの外接円の半径Rを求めよ。
中学数学の範囲で解けるでしょうか。
(三平方の定理、円周角の定理、トレミーの定理は使えます｡)
110:１３２人目の素数さん
20/08/24 09:58:31.76 HWPbccmb.net
∠A の2等分線と外接円の交点をDとする。
∠BAD = ∠DAC = ∠C
円周角の定理により
BD = CD = AB = 8,
対称性より
AD = BC
四角形ABDC は円に内接するから
トレミーの定理より
AD･BC = AB･CD + AC･BD,
AD = BC = 32/√7,
半径ODは弦BCを垂直に2等分する。
その交点をMとおく。
BM = MC = 16/√7,
三平方の定理より
OM^2 = RR - BM^2,
これと
OM = R - MD,
より
R = (BM^2+MD^2)/2MD,
さらに
BM^2 + MD^2 = BD^2,
だから
R = (BD^2)/{2√(BD^2-MB^2)}
= 28 / √21,
111:１３２人目の素数さん
20/08/27 10:51:54.74 BaPql3dT.net
教育評論家のミーム
112:１３２人目の素数さん
20/09/01 19:26:12 2qjbTlF5.net
2615
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号�
113:ﾌ宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。 https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737 (deleted an unsolicited ad)
114:１３２人目の素数さん
20/09/05 15:29:19.84 PPfS1P0p.net
初等幾何をどの程度教えるべきかについては数学者の間でも議論が分かれるようですね
小平邦彦は初等幾何重視派(『怠け数学者の記』岩波現代文庫)。
遠山啓は初等幾何不要派(『新数学勉強法』講談社ブルーバックス)。
115:１３２人目の素数さん
20/09/10 15:28:18 7NHP8bMP.net
〔問題〕
平面上の△ABCの辺BC上に点Dをとり、
AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + BD^2 + CD^2,
をみたすようにします。
このときDは辺BCの中点Mに限るでしょうか。
数セミ増刊「数学の問題」第２集, 日本評論社 (1978)
●116改
116:１３２人目の素数さん
20/09/10 15:39:23 7NHP8bMP.net
Aから辺BCに下した垂線の足をHとおくと
AB^2 = AH^2 + BH^2,
AC^2 = AH^2 + CH^2,
辺々たせば与式となる。
点Dは辺BCの中点Mと垂足Hに限るでしょうか。
117:１３２人目の素数さん
20/09/10 15:57:16 7NHP8bMP.net
A(a,h) B(b,0) C(c,0) D(x,0) H(a,0)
とおけば
AH = h,
AB^2 = hh + BH^2 = hh + (b-a)^2,
AC^2 = hh + CH^2 = hh + (c-a)^2,
AD^2 = hh + DH^2 = hh + (x-a)^2,
BD = |x-b|,
CD = |x-c|,
AB^2 - AD^2 - BD^2 = -2(x-a)(x-b),
AC^2 - AD^2 - CD^2 = -2(x-a)(x-c),
辺々たすと
0 = -2(x-a)(2x-b-c),
x = a または x = (b+c)/2,
D = H または D = M.
118:１３２人目の素数さん
20/11/28 13:10:29.96 FagdS+YP.net
>>93
〔定理4〕〔定理5〕
四面体 ABCD で次の2つの条件は同値である。
1．4つの面の面積がすべて等しい。
2．4つの面はすべて合同である。
3．重心と外心が一致する。
4．外心と内心が一致する。
5．内心と重心が一致する。
青空学園数学科 → 数学対話 → ●幾何分野
→ 特別な四面体 → 等面四面体 / 等面四面体の特徴付け
119:１３２人目の素数さん
20/12/18 21:21:24.87 DAoaiwdi.net
(i)
λは実数で 0 < |λ| <1 とする。
↑A_o ≠ ↑B_o から始めて
↑A_{n+1} = ((λ+1)/2)↑A_n + ((λ-1)/2)↑B_n,
↑B_{n+1} = ((λ-1)/2)↑A_n + ((λ+1)/2)↑B_n,
とおくと、n→∞ で ↑A_n, ↑B_n は収束する。
↑A_∞ と ↑B_∞ は相異なるか？
(ii)
μは実数で 0 < |μ| <1 とする。
↑C_o から始めて
↑C_{n+1} = (μ-1)↑A_n + 2(1-μ)↑B_n + μ↑C_n,
とおくと、n→∞ で ↑C_n も収束する。
B_∞ は A_∞C_∞ の中点であるか？
120:１３２人目の素数さん
21/02/17 19:59:24.80 pOGUunX7.net
〔補題〕
放物線上にない点Pをとる。
Pを通る2直線L1、L2を曳く。
L1と放物線の交点を A,B とし
L2と放物線の交点を C,D とする。
このとき AP・BP = CP・DP は (一般に) 成り立た
ない。....orz
￣￣
しかし、放物線の軸と垂直な座標軸をとり
A,B,C,D, P の座標を a,b,c,d,p とすれば
(p-a)(p-b) = (p-c)(p-d)
[分かスレ４６５-985,986]
121:１３２人目の素数さん
21/02/19 03:34:47.24 45fvrIx7.net
定規とコンパスにより正五角形を作図する方法
ARを直径とする円Xを描く。
これに内接する正五角形 ABCDEA を作図しよう。
A (-1, 0)
C (cos(36), sin(36))
D (cos(36), -sin(36))
R (1, 0)
T (1/2, 0)
とする。
第二余弦定理より
CT^2 =
122:1 + 1/4 - cos(36) = 5/4 - φ/2 = 5/4 - 29/36 = 4/9, CT = DT = 2/3, 直径ARの4等分点Tを中心とし、ARの1/3を半径とする円Yを描く。 円X と 円Y の交点を C および D とする。 ACの垂直2等分線と円Xの交点を B とする。 ADの垂直2等分線と円Xの交点を E とする。 弦AB = BC = CD = DE = EA, (終) http://suseum.jp/gq/question/3233
123:１３２人目の素数さん
21/02/23 12:01:40.65 mfVhACbJ.net
>>73
面白スレ 二十四
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:686番)-691,717-720,730-732
124:１３２人目の素数さん
21/04/08 21:03:41.67 jAHOCp/v.net
〔例2.4.6〕
辺の長さが a,b,c である三角形において,
面積⊿ ≦ (3/4)abc/√(aa+bb+cc),
佐藤(訳) 「美しい不等式の世界」 朝倉書店 (2013) p.89
125:１３２人目の素数さん
21/04/08 21:07:31.40 jAHOCp/v.net
(略証)
⊿ = (1/4)√{4(aabb+bbcc+ccaa) - (aa+bb+cc)^2} (Heron)
= (1/4)√{4(xy+yz+zx) - (x+y+z)^2}
≦ (1/4)√{9xyz/(x+y+z)} (Schur-1)
= (3/4)abc/√(aa+bb+cc),
* Schur-1
F_1(x,y,z) = (x+y+z)^3 - 4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz
= x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) ≧ 0,
126:１３２人目の素数さん
21/04/10 17:40:22.55 Tq6xhZve.net
〔公式425〕
三角形の内心I、重心G、垂心H、G-Hの中点M、O-Hの中点N とすると
OI^2 = R(R-2r), (Chapple-Euler)
MH^2 - MI^2 = (2/3)r(R-2r),
NI = (1/2)(R-2r),
rは内接円の半径、Rは外接円の半径
[分かスレ４６６- 425, 495, 678, 690]
127:１３２人目の素数さん
21/04/11 08:45:56.53 sZ6ZL7G1.net
(下) の略証
三角形の外接円を重心Gのまわりに (-1/2)倍した円は、
各辺の中点など(*)を通り、9点円とよばれる。
9点円の中心N, 半径は R/2.
内接円の中心I, 半径はr.
[定理31]
三角形の9点円は内接円に接する。(Feuerbachの定理)
∴ NI = (1/2)(R-2r),
(参考書)
清宮俊雄 著「モノグラフ 15.幾何学」矢野健太郎 監修, 科学新興社 (1968/Sep)
§10. p.41
のちに科学新興新社から改訂版が発行された。(1988/Mar)
*) 垂足 (各頂点から対辺に下した垂線の足) と 各頂点と垂心Hの中点を合わせて
9点を通る。
128:１３２人目の素数さん
21/04/11 11:59:00.34 sZ6ZL7G1.net
(参考書)
矢野健太郎 著 「幾何の有名な定理」 数学ワンポイント双書36, 共立出版 (1981/Dec)
１０ フォイエルバッハの定理 p.103-111
数セミ増刊 「数学100の定理」 日本評論社 (1983/Oct)
「九点円」 p.12-13
129:１３２人目の素数さん
21/08/07 18:02:10.60 RGRd4R20.net
>>106
π/1.2 = φ^2 を利用して「円積問題」を解く。
半径rの円が与えられたとする。
(-r,0) (6r/5,0) を直径の両端とする円を描く。
y軸との交点は A(0,±L) L= r√(6/5),
B(L/2,0) とすると AB = (√5)/2・L
Bを中心とし、Aを通る円周を描く。
x軸との交点は C(Lφ,0)
OCを一辺とする正方形を描く。
その面積は与えられた円の面積にほぼ等しい。
130:１３２人目の素数さん
21/10/02 18:18:13.17 gfHy/Z2w.net
π/1.2 = 2.61799387799
φ^2 = 2.618033988750
131:１３２人目の素数さん
21/10/02 18:21:08.07 gfHy/Z2w.net
〔問題〕
3次元空間に2つの球
(x-1)^2 + y^2 + z^2 < 1,
(x+1)^2 + y^2 + z^2 < 1,
がある。
これらの球をともに内部に含む四面体のうち、
体積が最小のものはどのような四面体か。
[高校数学の質問スレPart414．236]
132:１３２人目の素数さん
21/10/02 18:25:32.16 gfHy/Z2w.net
x軸方向に伸びる傾角aの谷の上に2つの球を並べる。
z = |y| tan(a) - z1, z1 = -1/cos(a),
y方向に伸びる、傾角bの屋根を葺く。
z = z2 - |x| tan(b), z2 = (1+sin(b))/cos(b),
四面体のサイズは
⊿x = 2(z2-z1)/tan(b)
⊿y = 2(z2-z1)/tan(a),
⊿z = (z2-z1),
体積は
V(a,b) = (1/6)⊿x･⊿y･⊿z = (2/3)(z2-z1)^3 /(tan(a)･tan(b)),
Vが最小となるのは
a = 1.001631319 (57.38924722°)
b = 0.679837919 (38.95184353°)
のとき
⊿x = 9.77200177
⊿y = 5.05410762
⊿z = 3.94981057
V = 32.5127002274793
これは球の体積 (4π/3)*2 の 3.88091771585 倍
133:１３２人目の素数さん
21/10/16 14:35:54.77 bY2L66Ji.net
〔出題２〕
rは 0<r<1 を満たす定数、θは 0<θ<π を満たす定数とします。
xy平面に2点 P。=(0,0), P_1=(1,0) をとり、
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
xy平面内の折れ線P。P_1 P_2 … P_n …で次の条件を満たすものを考えます。
＿＿＿＿＿
・n=1,2,3,…に対して、P_nP_{n+1} = r^n であり、
＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿
2つの辺 P_{n-1}P_n と P_nP_{n+1} のなす角が θ または -θ である。
この折れ線が P_2 以後にx軸と交差しないとき、rとθの間に成り立つ関係式を求めてください。
ただし、「交差する」とは1点のみを共有することとします。
134:１３２人目の素数さん
21/10/16 15:58:54.29 bY2L66Ji.net
0 < θ << 1 の場合
z = r･e^(iθ) とおくと
y(P_n) = r sinθ - rr Σ[k=0,n-1] r^k･sin(kθ)
= Im{z - rrΣ[k=0,n-1] z^k}
= Im{z - rr(1-z^n)/(1-z)}
≒ Im{z - rr/(1-z)}
= Im{z - rr(1-z~)/|1-z|^2}
= Im{z - rrz/|1-z|^2}
= Im{z - rrz/(1-2r cosθ +rr)}
= Im{z} (1-2r cosθ)/|1-z|^2
> 0
∴ r･cosθ ≦ 1/2.
135:１３２人目の素数さん
21/10/19 03:42:03.25 OvSIJGC7.net
〔問題〕
ABCD を円に内接しない四角形とします。
ABCDの対辺の積 AB･CD, AD･BC と 対角線の積 AC･BD =L
を三辺の長さとする三角形が存在することを示して下さいです。
(Lに対する内角は A+C, B+D のうち 180°より小さい方)
136:１３２人目の素数さん
21/10/19 11:11:17.25 OvSIJGC7.net
(略解)
A+C<180° の場合
頂点Dを中心として
⊿ABDをCD倍して回転
⊿BCDをAD倍して回転
⊿ACDをBD倍
して同長の辺を重ね、⊿ B'-X-B" を作る。
B'X = AB･CD,
B"X = AD･BC,
B'B" = AC･BD = L,
また、
∠X = A + C, ∠XB'D + ∠XB"D = B,
137:１３２人目の素数さん
21/11/27 13:09:10.97 HxEDg/nu.net
〔問題〕
ある4面体は、どの2面も同じ角度(二面角)で交わっています。
これはどんな4面体でしょうか。
138:１３２人目の素数さん
22/11/17 04:03:39.28 f3wDsO1g.net
難しそうだな
139:１３２人目の素数さん
23/05/13 19:22:59.59 H6yqok4G.net
サンドウィッチマン&芦田愛菜の博士ちゃん★1
140:１３２人目の素数さん
23/06/22 10:13:40.90 bA5uzkgG.net
7月号の「大学への数学」の「数学アラカルト」は必読
141:１３２人目の素数さん
23/06/24 21:01:06.06 axBJODfS.net
機体に穴があき酸欠状態の宇宙船が
必死で家族が待つ地球へ戻ろうとする様を描いています。
//youtu.be/oWs3yvVADVg 想像してみてください。
イヤフォンなど使うと、緊迫感と迫力が伝わりやすいと思います。
142:１３２人目の素数さん
23/07/26 22:06:50.41 IHiRkqZG.net
軸が互いに直交する互いに合同な二つの放物線が
4つの交点を持てば
それらは同一円周上にあることを示せ
143:１３２人目の素数さん
24/01/20 11:03:24.18 CpRTTCyr.net
教育 サイエンスZERO 自然が愛する六角形
144:１３２人目の素数さん
24/01/20 21:29:40.00 T8JaMoL1.net
三つ巴 三神 クロワッサン トリオ ・・ 人の愛する３系列
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