16/09/01 22:02:23.27 rrvGRLoE.net
決定番号の定義の仕方：
写像 g：R^N → M を以下のように定義する。
s∈R^N を任意に取る。(2)より、s∈R^N＝∪[A∈M] A であるから、
s∈A を満たす A∈M が存在する。また、(1)より、そのような A∈M は一意的である。
その A に対して、g(s)＝A と定義する。こうして g：R^N → M を定義すると、
明らかに次が成り立つ。
(5) ∀s∈R^N [ s∈g(s)∈M ].
次に、P(N)をNのベキ集合として、写像 h：R^N → P(N) を以下のように定義する。
s∈R^N を任意に取る。(5) より、g(s)∈M である。
特に、f(g(s)) が定義できて、f(g(s))∈R^N である。そこで、
h(s) ＝ { m≧1｜∀n≧m [ s_n＝f(g(s))_n ] } ⊂ N
と定義する。こうして h：R^N → P(N) を定義すると、次が成り立つ。
(6) ∀s∈R^N [ h(s)≠φ ].
以下でこのことを示す。s∈R^N を任意に取る。
h(s)≠φ を示したい。背理法を使う。h(s)＝φと仮定する。
よって、任意の m≧1 に対して ￢(m∈h(s)) が成り立つ。
すなわち、任意の m≧1 に対して
∃n≧m [ s_n≠f(g(s))_n ]
が成り立つ。これが任意の m≧1 で言えるから、
∀m≧1, ∃n≧m [ s_n≠f(g(s))_n ]
が成り立つことになる。すなわち、
￢(∃m≧1, ∀n≧m [ s_n＝f(g(s))_n] ) … (*)
が成り立つことになる。さて、(5)より、s∈g(s)である。
また、(4)より、C(f(g(s)))＝g(s) である。
よって、s∈C(f(g(s))) である。よって、s ～ f(g(s)) である。
～の定義から、次が成り立つ。
∃n_0≧1, ∀n≧n_0 [ s_n＝f(g(s))_n ].
これは(*)に矛盾する。以上より、h(s)≠φ である。
以上より、(6)が成り立つ。
最後に、写像 d：R^N → N を以下のように定義する。
d(s)＝ min g(s).
(6)に注意して、この定義は well-defined であり、確かに d(s)∈N が成り立つ。