16/08/19 18:43:49.55 wFw5As7s.net
代数的数全体の集合が可算であることの証明ですが、以下であっていますか？
P_n を n 次の整係数多項式全体とする。
写像 (Z-{0})×Z^n ∋ (a_n, a_(n-1), …, a_0) → a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + … + a_0 ∈ P_n
は明らかに全単射である。 (Z-{0})×Z^n は可算だから P_n も可算である。
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↑の定理2により、 I = ∪_{n=1}^{∞} P_n は可算である。
p ∈ I とする。
A_p を p = 0 の複素数解全体の集合とする。
∪_{p∈I} A_p は代数的数全体の集合に等しい。
A_p は有限集合であり、 I は可算集合であるから、
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↑の定理2の系により、 ∪_{p∈I} A_p は可算集合である。